Notas Del Capítulo 1

Notas de Clase

Geometrıa Vectorial y Analıtica

Diego Mejıa (Coordinador del curso)

Profesor Escuela de Matematicas

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellın

II

Indice general

1. Vectores y rectas en el plano cartesiano 1

1.1. La recta numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Suma de vectores y multiplicacion de un vector por un escalar . . 8

1.4. Magnitud y direccion de un vector. Angulo entre vectores. . . . . . 21

1.5. Producto escalar o producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6. La lınea recta: definicion y condiciones que la determinan . . . . 32

1.7. Rectas paralelas y perpendiculares. Angulo entre rectas. . . . . . 46

1.8. Proyeccion ortogonal sobre una lınea recta. Distancia de un pun-

to a una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.9. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III

IV INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Vectores y rectas en el plano cartesiano

1.1. La recta numerica

Comencemos el estudio de la geometrıa analıtica recordando la imagen geo-

metrica (o visual) del conjunto R de los numeros reales. Dibujemos una lınea

recta y en ella escojamos un punto cualquiera que llamamos origen denotado

por la letra O (o mayuscula). Al origen le asignamos el numero real 0. A conti-

nuacion seleccionamos (arbitrariamente) una unidad de medida y dibujamos

sobre la recta el punto U correspondiente a la unidad de medida. Al punto U

(que es distinto del origen) le asignamos el numero real 1.

El punto U nos proporciona una orientacion de la recta en el siguiente

sentido: llamamos lado positivo de la recta al rayo que sale del origen en la

direccion del punto U , y lado negativo al rayo que sale del origen en direccion

contraria al punto U .

En seguida establecemos una correspondencia biunıvoca (es decir, corres-

pondencia uno a uno) entre los numeros reales y los puntos sobre la recta:

si P es un punto situado del lado positivo de la recta que dista p unidades

del origen entonces le asignamos el numero real p, y si esta situado del lado

negativo le asignamos el numero real −p. Ası, los numeros reales positivos

1

2 Vectores y rectas en el plano cartesiano

b

b

b

A

OU

(a)

(0)

(1)

(-)Lado negativo

(+)Lado positivo

Figura 1.1: Recta numerica

corresponden a los puntos situados del lado positivo de la recta, y los negati-

vos a los puntos situados del otro lado de la recta. Esta imagen visual de los

numeros reales es lo que llamamos recta numerica o recta real o, inclusive, eje

coordenado.

La identificacion anterior nos permite denotar un punto A sobre la recta

teniendo en cuenta el numero real a que le corresponde, el cual llamamos la

coordenada del punto, y escribimos A = (a) (vease la Figura 1.1).

Quiza la primera inquietud que surge de forma natural es como expresar

la distancia entre dos puntos A = (a) y B = (b) de la recta numerica con base

en sus coordenadas. Supongamos inicialmente el caso particular en el que el

punto B es el origen O = (0). Nuestro modelo visual nos dice que si el punto

A esta del lado positivo de la recta entonces la distancia entre ambos puntos

debe ser a unidades, mientras que si A esta del lado negativo la distancia entre

ambos puntos es −a unidades. En otras palabras, nuestro modelo visual nos

dice que la distancia entre el punto A = (a) y el origen O = (0) es el valor

absoluto de la coordenada a del punto A.

Supongamos ahora que el punto B no es el origen y que tanto A como B se

encuentran del lado positivo de la recta. Si el punto A esta a la ”derecha”del

1.1. La recta numerica 3

b

b

b

b

B

OU

A

(b)

(0)

(1)

(a)

(-)

(+)|a−b|

Figura 1.2: Distancia entre puntos

punto B, es decir, si a > b, estaremos de acuerdo en que la distancia entre

ambos puntos es igual a la distancia entre el origen y el punto A menos la

distancia entre el origen y el punto B, esto es: a − b unidades; y si B esta a la

”derecha”de A entonces esta distancia es b − a unidades. Ambas situaciones

se resumen diciendo que la distancia entre A y B es |a− b| unidades.

En seguida suponemos que el punto A esta del lado positivo de la recta

mientras que el punto B esta del lado negativo; es decir, a > 0 y b < 0 (vease

la Figura 1.2). En este caso estaremos de acuerdo en que la distancia entre

ambos puntos es igual a la distancia entre el punto A y el origen mas la

distancia entre el punto B y el origen, es decir, dicha distancia es igual a

a + (−b) = a − b unidades. Si la situacion fuera al contrario, con el punto B

del lado positivo y el punto A del lado negativo, entonces llegamos a que la

distancia entre ambos puntos es b − a unidades. Luego, cualquiera que sea

el caso, la distancia entre los puntos A y B es |a − b| unidades. Solo falta

por considerar la situacion en que ambos puntos estan del lado negativo de

la recta. El lector puede convencerse que, al igual que en los casos anteriores,

nuestro modelo visual nos conduce a que la distancia entre los puntos A y B

es |a− b| unidades.


Ejercicio 1.1. Sean A = (a) y B = (b) dos puntos de la recta real con a < 0 y

b < 0. Use un argumento visual para verificar que la distancia entre A y B es

|a− b|.

La discusion anterior nos lleva de manera natural a la siguiente definicion:

Definicion 1.1. Sean A = (a) y B = (b) dos puntos de la recta real. Definimos

la distancia entre A y B, denotada por dist(A,B), como sigue:

dist(A,B) = |a− b|. (1.1)

Puesto que |a− b| = |b− a|, vemos que dist(A,B) = dist(B,A).

Ejemplo 1.1. A manera de ejemplo, sean A = (−5) y B = (7) dos puntos de la

recta numerica. La distancia entre ambos puntos es

dist(A,B) = | − 5− 7| = | − 12| = 12.

Ejercicio 1.2. Sean A = (a) y B = (b) dos puntos de la recta numerica y sea

M = (m) el punto medio del segmento AB. Pruebe que m = a+b2

. ¿Cual es la

coordenada del punto medio del segmento AB del ejemplo anterior?

1.2. El plano cartesiano

El plano cartesiano se fundamenta en el concepto de par ordenado de

numeros reales. Un par ordenado es una pareja de numeros reales a y b en la

cual uno de los numeros, digamos a, se distingue como el primero mientras

que el otro, b, es el segundo, y lo escribimos en la forma

a

b

. El conjunto de

todos los pares ordenados de numeros reales se denota por R2, es decir:

R2 =

a

b

: a, b ∈ R

.

1.2. El plano cartesiano 5

Eje x

III

III IV

Eje y

0

Figura 1.3: Plano cartesiano

Visualicemos R2 dibujando en una superficie plana dos ejes coordenados

perpendiculares, ambos con la misma unidad de medida y con el punto de

interseccion como origen comun. Uno de los ejes lo trazamos horizontalmente

y el otro, entonces, verticalmente. Al eje horizontal lo llamaremos eje x y lo

orientamos positivamente hacia la derecha. Al eje vertical lo llamamos eje y y

lo orientamos positivamente hacia arriba. Los ejes dividen la superficie plana

en cuatro regiones llamadas cuadrantes que se numeran de uno a cuatro en

sentido contrario a las manecillas del reloj (sentido antihorario) (vease la Fi-

gura 1.3).

A cada punto P del eje x le asignamos el par ordenado

x

0

, donde x es

la coordenada del punto P en el eje x, y escribimos P =

x

0

; si el punto P

esta sobre el eje y le asignamos el par ordenado

0

y

, donde y es la coordena-


x

P =( xy

)

P’ =(

x0

)

P” =(

0

y

)

b

y

Figura 1.4: Plano cartesiano

da del punto P en el eje y, y escribimos P =

0

y

. Si el punto P no esta sobre

los ejes trazamos desde P dos rectas: una perpendicular al eje x que corta a

este eje en el punto P ′ =

x

0

y otra perpendicular al eje y que lo corta en

el punto P ′′ =

0

y

. Entonces, asignamos al punto P el par ordenado

x

y

y escribimos: P =

x

y

(ver Figura 1.4). Recıprocamente, el lector puede

verificar que cada par ordenado

x

y

determina un unico punto sobre la su-

perficie plana .

Hemos establecido ası una correspondencia biunıvoca entre las parejas

de numeros reales y los puntos de la superficie plana. Las coordenadas x y

y se llaman coordenadas cartesianas o rectangulares del punto P ; ademas,

llamamos plano cartesiano o, mas sencillamente, plano, a R2 con el sistema

de coordenadas rectangulares; los elementos del plano cartesiano los llama-

mos puntos o vectores; cuando empleamos la palabra vector para designar un

punto del plano cartesiano usualmente lo dibujamos con una flecha desde el

1.2. El plano cartesiano 7

y

O x

X

Figura 1.5: Punto como vector

b

b

B=(−2

−1

)

A=(−3

4

)

x

y

Figura 1.6: Ubicacion de puntos en el plano cartesiano

origen hasta el punto (vease la Figura 1.5). Al origen O =

0

0

lo llamamos

tambien vector nulo o vector cero.

Ejemplo 1.2. La Figura 1.6 ilustra la ubicacion en el plano cartesiano de los

puntos A =

−3

4

y B =

−2

−1

.


1.3. Suma de vectores y multiplicacion de un vector por un

escalar

Comenzamos el estudio de las operaciones basicas de los vectores del plano

con la suma y la multiplicacion por escalar.

Definicion 1.2. Sean X =

x

y

y U =

u

v

vectores del plano y sea r un

numero real al cual llamaremos escalar. Definimos la suma , X + U , y la mul-

tiplicacion por escalar, rX, por:

X + U =

x+ u

y + v

, rX = X =

rx

ry

. (1.2)

A continuacion enunciamos las propiedades de estas operaciones las cua-

les son consecuencia de la aritmetica de los numeros reales.

Sean X, Y y Z vectores cualesquiera del plano y r y s numeros reales arbi-

trarios; tenemos:

P1 (Propiedad conmutativa para suma de vectores): X + Y = Y +X.

P2 (Propiedad asociativa para suma de vectores): (X +Y )+Z = X +(Y +Z).

P3 (Existencia de neutro aditivo): X +O = X = O +X.

P4 (Existencia de inverso aditivo) : Existe un vector W tal que W + X =

X +W = O.

P5 (Propiedad distributiva para vectores): r(X + Y ) = rX + rY .

P6 (Propiedad distributiva para escalares): (r + s)X = rX + sX.

P7 (Propiedad asociativa para escalares): r(sX) = (rs)X.

P8: 1X = X.

Si X =

x

y

entonces el vector W de la propiedad P4 es W =

−x

−y

y lo lla-

mamos el (vector) opuesto o inverso aditivo de X y lo denotamos por −X (vease

la Figura 1.7). Notemos tambien que −X = (−1)X. Invitamos al lector a que

1.3. Suma de vectores y multiplicacion de un vector por un escalar 9

y

O x

X

-X

Figura 1.7: Vector opuesto

verifique las propiedades anteriores suponiendo conocidas las propiedades de

los numeros reales.

Ejercicio 1.3. Use la aritmetica de los numeros reales para probar las propie-

dades anteriores.

Es util y conveniente tener una interpretacion geometrica (o visual) de la

suma y multiplicacion por escalar para tener una mejor comprension de estas

operaciones.

Definicion 1.3. Supongamos que U =

u

v

es un vector no nulo, el conjunto

{

X ∈ R2 : X = rU, r ∈ R

}

=

ru

rv

: r ∈ R

se llama la recta generada por el vector U .

Los puntos de la recta generada por el vector U son los multiplos escalares

de U . Si r > 0 obtenemos el rayo o semirrecta que sale de

0

0

y pasa por

u

v

,


y

O x

(

uv

)

b

b

(

rurv

)

,r > 0

(

rurv

)

,r < 0

Figura 1.8: Recta generada por un vector

y si r < 0 obtenemos el rayo opuesto (vease la Figura 1.8).

Cualquier multiplo escalar no nulo de U genera la misma recta como se

ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.3. La Figura 1.9 es el dibujo de la recta generada por U =

−1

3

,

pero esta recta tambien es generada por el vector (−1/2)U =

1

2

−3

2

, en otras

palabras:

X = r

−1

3

: r ∈ R

=

X = s

1

2

−3

2

: s ∈ R

.

Usamos letras diferentes, r y s, en la igualdad anterior, para enfatizar que un

mismo vector no nulo es tanto un multiplo escalar de

−1

3

como de

1

2

−3

2

,

pero los escalares son distintos. Por ejemplo,

−2

6

= 2

−1

3


b

b

( −13

)

(

1

2

− 3

2

)

x

y

Figura 1.9: Ejemplo de recta generada por un vector

y tambien

−2

6

= (−4)

1

2

−3

2

.

Ejercicio 1.4. Sean U y V vectores no nulos tales que V = rU para algun

escalar r. Pruebe que las rectas generadas por los vectores U y V son iguales.

Definicion 1.4. Si un vector U es multiplo escalar de otro vector X, es decir, si

U = rX, para algun escalar r, decimos que los vectores U y X son linealmente

dependientes. Cuando dos vectores no son linealmente dependientes decimos

que son linealmente independientes.

Ejemplo 1.4. Por ejemplo, los vectores A =

−1

3

y B =

2

−6

son linealmen-

te dependientes pues B = (−2)A.

Ejemplo 1.5. Cualquiera sea el vector X, los vectores O y X son linealmete

dependientes porque O = 0X.


Comentario 1.1. Geometricamente, la dependencia lineal significa que los

dos vectores yacen en una misma recta que pasa por el origen. Observemos

ademas que si U = rX con r 6= 0, entonces X = (1/r)U .

La dependencia lineal de vectores se puede caracterizar en terminos de las

coordenadas:

Teorema 1.1. Sean A =

a

b

y B =

c

d

vectores del plano. A y B son lineal-

mente dependientes si y solo si ad− bc = 0.

Prueba. Supongamos inicialmente que A y B son linealmente dependientes.

Entonces existe un escalar t tal que A = tB; luego

a

b

= t

c

d

y por lo tanto

a = tc y b = td;

al multiplicar la primera de estas ecuaciones por d y la segunda por c obtene-

mos

ad = tcd y bc = tdc,

y por lo tanto ad− bc = tcd− tdc = 0.

Ahora supongamos que ad − bc = 0 y probemos que A y B son linealmente

dependientes. Si a = d = 0 entonces de la condicion ad − bc = 0 se sigue que

bc = 0; luego o b = 0 o c = 0; en otras palabras, o A = O o B = O, y por lo tanto A

y B son linealmente dependientes. Enseguida suponemos que o a 6= 0 o d 6= 0;

tratemos el caso a 6= 0 pues el otro es muy similar. De la condicion ad − bc = 0

se sigue que

d =bc

a,


y por lo tanto

B =

c

d

=

c

bca

=c

a

a

b

=c

aA,

luego B es multiplo escalar de A y por consiguiente A y B son linealmente

dependientes.2

Ejercicio 1.5. Termine la prueba del teorema anterior probando que si ad −

bc = 0 y d 6= 0 entonces A = bdB.

Los vectores E1 =

1

0

y E2 =

0

1

son particularmente importantes. Son

linealmente independientes (afirmacion que debe probar el lector) y todo vector

del eje x puede escribirse en la forma:

x

0

= x

1

0

, ası como todo vector del

eje y puede escribirse en la forma:

0

y

= y

0

1

; es decir, los vectores E1 y E2

generan los ejes x y y, respectivamente. Puesto que

X =

x

y

= x

1

0

+ y

0

1

= xE1 + yE2, (1.3)

podemos expresar todo vector del plano como la suma de un vector del eje x y

un vector del eje y.

Ejemplo 1.6. Por ejemplo,

U =

−1

3

= (−1)

1

0

+ 3

0

1

= (−1)E1 + 3E2.

Cuando escribimos un vector como lo acabamos de hacer decimos que lo

hemos expresado como una combinacion lineal de los vectores E1 y E2. Sobre

el tema de combinaciones lineales volveremos un poco mas adelante. Por el

momento agregamos que, debido a lo anterior, la pareja de vectores {E1, E2}


es llamada base canonica o estandar de R2, y a la expresion (1.3) la llamamos

descomposicion canonica del vector X.

La descomposicion canonica permite ilustrar el punto

x

y

como el cuarto

vertice de un rectangulo cuyos otros tres vertices son

x

0

,

0

0

y

0

y

(vease

la Figura 1.4).

De manera mas general podemos obtener una interpretacion geometrica

de la suma de vectores

x

y

+

u

v

=

x+ u

y + v

como sigue. Para simplificar

supongamos que las coordenadas de los vectores son todas positivas. Comen-

cemos con el triangulo con vertices

0

0

,

x

0

,

x

y

; lo trasladamos parale-

lamente a el mismo de tal manera que su primer vertice se mueve a lo largo

del segmento dirigido desde el origen al punto

u

v

hasta que coincida con es-

te ultimo punto; entonces los otros dos vertices del triangulo coincidiran con

u+ x

v

y

u+ x

v + y

, respectivamente (vease la Figura 1.10). Luego, la suma de

los vectores X =

x

y

y U =

u

v

puede obtenerse graficamente trasladando

el segmento dirigido desde O a X, paralelamente a el mismo de tal manera

que su punto inicial se mueve sobre el segmento dirigido desde O a U hasta

que quede superpuesto sobre el punto U . El nuevo punto final del segmento

dirigido representa al vector U +X, y este sera el cuarto vertice de un paralelo-

gramo cuyos otros tres vertices son U , O y X. El procedimiento descrito de

sumar vectores graficamente se conoce como regla del paralelogramo o, tam-

bien, regla del triangulo, y es aun valido si una o ambas coordenadas de los

vectores son negativas o cero. Invitamos al lector a que verifique la regla del


b

b

b

b

(

xy

)

(

uv

)

(

x+uy+v

)

(

x+uv

)

x

y

Figura 1.10: Regla del paralelogramo

paralelogramo en otros casos.

Aunque las pruebas de las propiedades de la suma y la multiplicacion por

escalar son consecuencia de propiedades conocidas sobre la aritmetica de los

numeros reales, es instructivo que el lector verifique por su cuenta tales pro-

piedades apelando a la interpretacion geometrica de las operaciones.

Ejercicio 1.6. Verifique las propiedades de la suma y multiplicacion por esca-

lar utilizando el procedimiento grafico.

Es posible que el procedimiento grafico produzca un segmento de recta

si sumamos dos multiplos escalares de un mismo vector; inclusive, puede

resultar en el origen cuando sumamos un vector con su inverso aditivo.

Ejemplo 1.7. La Figura 1.11 ilustra diferentes situaciones que resultan de

operar geometricamente con los vectores A =

1

2

y B =

3

1

; se muestran

las sumas A+ B, A+ A y B + (−B).


(

24

)

(

43

)

(

31

)

(

12

)

( −3−1

)

x

y

Figura 1.11: Ilustracion

El inverso aditivo de un vector puede usarse para definir la nocion de dife-

rencia entre dos vectores (vease la Figura 1.12).

Definicion 1.5. Sean X y U vectores del plano. Definimos la diferencia X − U

por:

X − U = X + (−U).

Usando coordenadas,

x

y

−

u

v

= X − U = X + (−U) =

x

y

+

−u

−v

=

x− u

y − v

.


X-UU

X

-U

x

y

Figura 1.12: Inverso aditivo y diferencia de vectores

Puesto que (X − U) + U = X + ((−U) + U) = X + O = X, vemos que X − U

es el vector que sumado a U nos da el vector X. Luego, si movemos X − U

paralelamente a el mismo hasta que su punto inicial se superponga sobre U ,

obtenemos el segmento de recta dirigido desde U hasta X. La diferencia de

vectores no es una operacion conmutativa:

Ejemplo 1.8. por ejemplo si A =

−3

1

y B =

2

5

entonces

A−B =

−3

1

−

2

5

=

−3− 2

1− 5

=

−5

−4

y

B − A =

2

5

−

−3

1

=

2− (−3)

5− 1

=

5

4

.

De hecho U − X es el opuesto de X − U pues el uso apropiado de las pro-

piedades de la suma y multiplicacion por escalar justifican las igualdades

U −X = (−1)(−U) + (−1)X = (−1)((−U) +X) = (−1)(X + (−U)) = −(X − U).


Finalizamos esta seccion retomando los conceptos de dependencia e inde-

pendencia lineal. La afirmacion fundamental es la siguiente:

Teorema 1.2. Todo vector del plano puede escribirse (o descomponerse), de

manera unica, como una combinacion lineal de dos vectores linealmente in-

dependientes.

”Prueba”. Preferimos explicar esta afirmacion mediante un procedimiento

grafico que ilustramos en la Figura 1.13 (una prueba rigurosa, que emplea las

coordenadas de los vectores, la dejamos como un ejercicio al lector). Supon-

gamos que los vectores X y U son linealmente independientes y sean LX y LU ,

respectivamente, las rectas generadas por ellos; sea Y cualquier otro vector

del plano. Si Y esta en la recta generada por X entonces Y = rX + 0U para

algun escalar r. Similarmente, si Y esta en la recta generada por U entonces

Y = 0X + sU para algun escalar s. Si Y no pertenece a ninguna de dichas rec-

tas entonces procedemos como sigue. Por el punto Y trazamos dos rectas: L′U ,

paralela a la recta LU , y L′X , paralela a la recta LX . La recta L′

U corta la recta LX

en el punto W ; la recta L′X , por su parte, corta la recta LU en el punto Z. Por

lo tanto los vectores W y Z son multiplos escalares de X y U respectivamente;

es decir, existen escalares, r y s tales que W = rX y Z = sU . Ademas, por la

regla del paralelogramo, Y = W + Z = rX + sU .

La unicidad de la que se habla en la afirmacion radica precisamente en que

los vectores X y U son linealmente independientes: si Y = rX + sU y tambien

Y = r′X + s′U entonces rX + sU = r′X + s′U ; luego, (r − r′)X = (s′ − s)Y . Si

tuvieramos r 6= r′ entonces X = s′−sr−r′U , con lo cual X y U serıan linealmen-

te dependientes. Por consiguiente r = r′. El mismo tipo de razonamiento nos

permite concluir que s = s′, y entonces hay unicidad en la escritura de Y co-

mo combinacion lineal de X y U . 2 El calculo preciso de los escalares r y s

requiere manipulaciones algebraicas como se muestra en el siguiente ejemplo.


Y

U

WX

Z

Lu

L′u

L′x

Lx

x

y

Figura 1.13: Ilustracion de la descomposicion de un vector

Ejemplo 1.9. Hallemos los escalares r y s tales que

−2

1

= r

3

1

+ s

−1

−2

.

La Figura 1.14 muestra el diagrama de la descomposicion. Para calcular los

valores de r y s resolvemos el sistema de dos ecuaciones de primer grado con

dos incognitas que se obtiene a partir de la igualdad anterior:

−2 = 3r − s

1 = r − 2s.

Si multiplicamos la primera de estas dos ecuaciones por −2 y el resultado lo

sumamos con la segunda ecuacion obtenmos 5 = −5r; luego r = −1. Este valor


(

12

)

(

31

)

( −21

)

( −3−1

)

( −1−2

)

x

y


lo reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema para hallar

el valor de s; este es s = −1.

La ”prueba”que hemos dado del teorema anterior nos proporciona una com-

prension grafica del contenido. Una prueba rigurosa requiere utilizar coorde-

nadas. En el siguiente ejercicio se pide hacer la prueba con coordenadas; el

lector debe tener presente el teorema sobre la caracterizacion de la dependen-

cia lineal de vectores.

Ejercicio 1.7. Sean A =

a

b

y B =

c

d

dos vectores linealmente indepen-

dientes. Sea P =

α

β

cualquier vector del plano. Demuestre que existen es-

calares r y s unicos tales que P = rA+ sB.

1.4. Magnitud y direccion de un vector. Angulo entre vectores. 21

1.4. Magnitud y direccion de un vector. Angulo entre vecto-

res.

Definicion 1.6. La magnitud o norma de un vector X =

x

y

, denotada por

‖X‖, es la cantidad

‖X‖ =

∥

∥

∥

∥

∥

x

y

∥

∥

∥

∥

∥

=√

x2 + y2.

Ejemplo 1.10. Las magnitudes de los vectores A =

2

3

y B =

−4

1

son:

‖A‖ =√22 + 32 =

√13 y ‖B‖ =

√

(−4)2 + 12 =√17. La magnitud del del vector

nulo es ‖O‖ =√02 + 02 = 0.

Como la raız cuadrada de un numero es no negativa entonces la magnitud

de un vector nunca es negativa. De hecho el unico vector con magnitud 0 es el

vector nulo ya que la ecuacion

x2 + y2 = 0,

tiene como unica solucion x = 0 y y = 0; en cualquier otro caso la magnitud es

positiva.

El Teorema de Pitagoras nos proporciona la interpretacion geometrica de

la magnitud de un vector. El triangulo con vertices

x

y

,

x

0

y

0

0

es

rectangulo (vease la Figura 1.15); la magnitud del vector X =

x

y

es la lon-

gitud de la hipotenusa de dicho triangulo y representa la distancia entre el

origen y el punto X. De manera mas general tenemos la siguiente definicion:


X=( xy

)

||X||

(

00

) (

x0

)

x

y

Figura 1.15: Magnitud de un vector


x

y

y U =

u

v

puntos del plano; la ecuacion

‖X − U‖ =

∥

∥

∥

∥

∥

x− u

y − v

∥

∥

∥

∥

∥

=√

(x− u)2 + (y − v)2,

define la distancia entre los puntos X y U que simbolizamos por dist(X,U).

El paralelogramo con vertices O, X, U y X − U de la Figura 1.16 justifi-

ca geometricamente la definicion: los segmentos XU y O(X − U) tienen igual

longitud.

Ejemplo 1.11. El triangulo con vertices A =

7

−7

, B =

1

−5

y C =

3

1

es

isosceles pues

dist(A,B) = ‖A−B‖ =√

(7− 1)2 + (−7− (−5))2 =√

62 + (−2)2 =√36 + 4 =

√40,

dist(B,C) = ‖B − C‖ =√

(1− 3)2 + (−5− 1)2 =√

(−2)2 + (−6)2 =√4 + 36 =

√40,

dist(A,C) = ‖A− C‖ =√

(7− 3)2 + (−7− 1)2 =√

42 + (−8)2 =√16 + 64 =

√80.

La magnitud tiene las siguientes propiedades:

P1 ‖X‖ ≥ 0 y ‖X‖ = 0 si y solo si X = O,

P2 ‖rX‖ = |r|‖X‖,


U

X

X-U

-U

||X−U ||

O

x

y

Figura 1.16: Distancia entre puntos

P3 ‖X + U‖ ≤ ‖X‖+ ‖U‖.

Ya hemos comentado acerca de la primera propiedad. En cuanto a la se-

gunda, para cualquier escalar r tenemos:

‖rX‖ =

∥

∥

∥

∥

∥

rx

ry

∥

∥

∥

∥

∥

=√

(rx)2 + (ry)2 =√

r2x2 + r2y2 =√

r2(x2 + y2) = |r|√

x2 + y2 = |r|‖X‖.

La tercera propiedad recibe el nombre de desigualdad triangular porque, si

los vectores X y U son linealmente independientes, los lados del triangulo con

vertices O, X y X + U tienen longitudes ‖X‖, ‖U‖ y ‖X + U‖ (vease la Figura

1.17), y la longitud de un lado de un triangulo es menor que la suma de las

longitudes de los otros dos lados. Desde luego, podemos dar una prueba ri-

gurosa de la desigualdad triangular sin apelar a la visualizacion grafica. Tal

prueba es consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz que veremos


||X||

X

U

||X+U||

X+U

||U||

O x

y

Figura 1.17: Desigualdad triangular

en la proxima seccion.

En Geometrıa Analitıca hay dos problemas fundamentales de los cuales nos

vamos a ocupar en este curso. El primero consiste en hallar el conjunto de los

puntos del plano cartesiano que satisfacen una o mas condiciones expresadas

como igualdades y/o desigualdades en las variables x y y. El segundo pro-

blema es el recıproco del anterior; es decir, dado un lugar geometrico, es decir,

dado un conjunto de puntos del plano cartesiano, hallar las igualdades y/o de-

sigualdades que satisfacen las coordenadas x y y de los puntos pertenecientes

a dicho lugar geometrico. Un ejemplo sencillo pero ilustrativo (e importante)

de lo anterior lo constituye el lugar geometrico de una circunferencia.

Definicion 1.8. Una circunferencia es el conjunto de los puntos del plano

que equidistan de otro punto llamado centro. La distancia de los puntos de la

circunferencia al centro se llama radio.

Si X =

x

y

es un punto cualquiera de la circunferencia K con centro en


C =

h

k

y radio r entonces ‖X − C‖ = r y por lo tanto

∥

∥

∥

∥

∥

x− h

y − k

∥

∥

∥

∥

∥

=√

(x− h)2 + (y − k)2 = r.

Por lo tanto los puntos

x

y

pertenecientes a la circunferencia K satisfacen la

ecuacion

(x− h)2 + (y − k)2 = r2 (1.4)

De otra parte, reversando los pasos anteriores, se puede ver que si

x

y

satis-

face la ecuacion 1.4, entonces pertenece a la circunferencia K.

Ejemplo 1.12. La ecuacion de la circunferencia con centro en el origen y radio

1 es

x2 + y2 = 1.

A esta circunferencia la llamamos circunferencia unitaria, y a sus puntos los

llamamos vectores unitarios. Los vectores canonicos E1 y E2 son ejemplos de

vectores unitarios pues: ‖E1‖ =√12 + 02 = 1 =

√02 + 12 = ‖E2‖.

A partir de todo vector distinto del vector cero podemos obtener un vector

unitario de la siguiente forma: si X 6= O entonces el vector U = 1

‖X‖X es unitario

ya que

‖U‖ =

∥

∥

∥

∥

∥

1

‖X‖X∥

∥

∥

∥

∥

=

∣

∣

∣

∣

∣

1

‖X‖

∣

∣

∣

∣

∣

‖X‖ =‖X‖‖X‖ = 1.

El proceso de obtener el vector U = 1

‖X‖X a partir del vector X 6= O se llama

normalizacion del vector X.


U= 1

||X||X

X

x

y

Figura 1.18: Normalizacion de un vector

X

x

y

φ

Figura 1.19: Direccion de un vector

Ejemplo 1.13. Si X =

1

1

entonces ‖X‖ =√12 + 12 =

√2. Luego, al normali-

zar el vector X obtenemos

U =1√2

1

1

=

1√2

1√2

.

Comentario 1.2. Observemos que el vector normalizado U es un multiplo

escalar del vector X y por lo tanto pertenece a la recta generada por este.

(Vease la Figura 1.18)

Supongamos que X =

x

y

es un vector no nulo. El angulo φ ∈ [0, 2π) en

posicion estandar cuyo lado terminal es el rayo {rX : r > 0} es denomina-

do la direccion del vector X, y escribimos dir(X) = φ (vease la Figura 1.19).

Sabemos de nuestro curso de trigonometrıa que cualquier otro angulo ψ en

posicion estandar cuyo lado terminal sea tambien el rayo {rX : r > 0} es de la

forma ψ = φ+2kπ, donde k es algun numero entero. Ademas los valores de las


(

cosφsenφ

)

x

y

φ

X= ||X||( cosφsenφ

)

Figura 1.20: Forma polar de un vector

funciones trigonometricas de φ y ψ son iguales, y estan relacionadas con las

coordenadas del vector X de la siguiente forma:

senφ =y

‖X‖ , cosφ =x

‖X‖ .

Estas relaciones nos permiten escribir el vector X en la llamada forma polar

(vease la Figura 1.20)

X =

x

y

=

‖X‖cosφ

‖X‖senφ

= ‖X‖

cosφ

senφ

.

Observemos que el vector

cosφ

senφ

es unitario pues cos2φ + sen2φ = 1 para

cualquier angulo φ. Ademas, en la forma polar podemos usar cualquier angulo

con lado terminal igual al del angulo φ.

Ejemplo 1.14. Para calcular la direccion φ del vector A =

−2

−2

podemos usar

la funcion tangente ası:

tanφ =−2

−2= 1;

puesto que el punto A esta en el cuadrante III concluimos que

φ = π + Arctan(1) = π +π

4=

5π

4.


X

U

x

y

θ

Figura 1.21: Angulo entre vectores

La forma polar del vector A es por lo tanto

A = ‖A‖

cosφ

senφ

=√

(−2)2 + (−2)2

cos5π4

sen5π4

=√8

cos5π4

sen5π4

.

Finalizamos la seccion definiendo la nocion de angulo entre vectores. Si X y

U son dos vectores no nulos con direcciones φ y ψ respectivamente, definimos

el angulo entre X y U , denotado ∡(X,U), por:

∡(X,U) =

|φ− ψ|, si |φ− ψ| ≤ π,

2π − |φ− ψ|, si |φ− ψ| > π.

El angulo θ entre dos vectores es entonces un valor en el intervalo cerrado

[0, π], y toma uno de los dos extremos cuando un vector es un multiplo escalar

del otro: si U = rX con r > 0, entonces φ = ψ en cuyo caso θ = 0; en el caso

U = rX con r < 0, φ = π + ψ o ψ = π + φ, y por lo tanto θ = π. En la Figura 1.21

ilustramos el angulo entre dos vectores. Observemos que ∡(X,U) = ∡(U,X).

Definicion 1.9. Sean X y U dos vectores del plano. Diremos que X y U son

ortogonales si el angulo entre ellos es π/2 (90◦).

1.5. Producto escalar o producto punto 29

Los vectores canonicos E1 y E2 son un ejemplo de vectores ortogonales pues

dir(E1) = 0 y dir(E2) = π/2. En la proxima seccion daremos una caracterizacion

de la ortogonalidad de vectores.

Ejemplo 1.15. Consideremos los vectores A =

1√3

y B =

2

−2

. Sean φ y ψ

las direcciones de A y B, respectivamente. Puesto que tanφ =√3 y A esta en el

cuadrante I, la direccion de A es φ = π3. De otra parte, B esta en el cuadrante

IV y tanψ = −2

2= −1; por lo tanto ψ = 2π+arctan(−1) = 2π− π

4= 7π

4. Se sigue que

|φ− ψ| = |π3− 7π

4| = | − 17π

12| = 17π

12> π,

por consiguiente

∡(A,B) = 2π − 17π

12=

7π

12.

1.5. Producto escalar o producto punto

La tercera operacion entre vectores es el producto escalar que definimos a

continuacion.


x

y

y U =

u

v

vectores del plano. El producto

escalar o producto punto entre X y U , denotado por X · U , esta definido por

X · U = xu+ yv. (1.5)

El resultado de esta operacion es un numero real (o escalar) obtenido al

sumar el producto de las primeras coordenadas al producto de las segundas

coordenadas.

Ejemplo 1.16. Por ejemplo, si A =

2

3

y B =

−4

1

entonces A ·B = 2 · (−4)+

3 · 1 = −8 + 3 = −5.


Hay varios casos especiales que debemos resaltar. Si U = E1 y U = E2

X · E1 =

x

y

·

1

0

= x · 1 + y · 0 = x y X · E2 =

x

y

·

0

1

= x · 0 + y · 1 = y,

es decir, obtenemos, respectivamente, las coordenadas x y y del vector X.

Por otra parte

X ·X =

x

y

·

x

y

= x2 + y2 = ‖X‖2.

A continuacion listamos las propiedades del producto escalar que son con-

secuencia de la artimetica de los numeros reales.

Sean U , X y Y vectores del plano y r un escalar cualquiera. Tenemos:

P1. (Propiedad conmutativa): X · U = U ·X,

P2. (Propiedad distributiva): U · (X + Y ) = U ·X + U · Y ,

P3. (Propiedad asociativa): (rX) · U = r(X · U).

El producto escalar puede expresarse en terminos geometricos involucran-

do el angulo entre los vectores. Este resultado se utiliza a menudo como la

definicion de producto escalar.

Teorema 1.3. Sean X =

x

y

y U =

u

v

vectores no nulos del plano. Si

θ = ∡(X,U) entonces

X · U = ‖X‖‖U‖ cos θ.

Prueba. El caso especial en el que U es multiplo escalar del vector X lo

dejamos al lector para que lo realice. Supongamos entonces que X y U son

linealmente independientes. Para la prueba en este caso utilizaremos un ar-

gumento geometrico en el que se emplea la Ley del coseno de la trigonometrıa.

Los puntos O, X y U son los vertices de un triangulo en donde el angulo θ

es opuesto al lado con extremos X y U . Por la Ley del coseno tenemos

‖X − U‖2 = ‖X‖2 + ‖U‖2 − 2‖X‖‖U‖ cos θ;

1.5. Producto escalar o producto punto 31

pero

‖X − U‖2 = (X − U) · (X − U)

= X ·X −X · U − U ·X + U · U

= ‖X‖2 − 2X · U + ‖U‖2.

Por lo tanto

‖X‖2 − 2X · U + ‖U‖2 = ‖X‖2 + ‖U‖2 − 2‖X‖‖U‖ cos θ.

Despues de cancelar los terminos ‖X‖2 y ‖U‖2 obtenemos −2X·U = −2‖X‖‖U‖ cos θ;

ahora dividimos por −2 ambos lados de esta ultima ecuacion y llegamos al re-

sultado requerido.2

Ejercicio 1.8. Complete la prueba del teorema anterior demostrando el resul-

tado en el caso especial en el que el vector U es multiplo escalar del vector

X.

Corolario 1.1. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean X y U vectores del

plano. Entonces

|X · U | ≤ ‖X‖‖U‖.

Prueba. Sea θ el angulo entre los vectores X y U . Por el teorema anterior y

por el hecho de que | cos θ| ≤ 1 para cualquier angulo θ, tenemos

|X · U | =∣

∣

∣‖X‖‖U‖ cos θ

∣

∣

∣= ‖X‖‖U‖| cos θ| ≤ ‖X‖‖U‖. 2

La desigualdad de Cauchy-Schwarz puede probarse sin hacer uso del teo-

rema anterior mediante un argumento netamente algebraico.

Ejercicio 1.9. Pruebe la desigualdad de Cauchy-Schwarz utilizando un argu-

mento algebraico, sin apelar al teorema anterior.


Ejercicio 1.10. Pruebe la propiedad de la desigualdad triangular de la mag-

nitud de vectores utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Corolario 1.2. Dos vectores no nulos del plano, X y U , son ortogonales si solo

si X · U = 0.

Prueba. Sea θ = ∡(X,U). Del teorema anterior tenemos

X · U = ‖X‖‖U‖ cos θ.

Puesto que los vectores son no nulos entonces ‖X‖ 6= 0 6= ‖U‖. Se sigue de la

ecuacion anterior que X · U = 0 si y solo si cos θ = 0. Pero θ ∈ [0, π], entonces la

ultima ecuacion se verifica si y solo si θ = π/2. 2

Ejemplo 1.17. Los vectores A =

3

1

y B =

2

−6

son ortogonales pues

A ·B = 3 · 2 + 1 · (−6) = 6− 6 = 0.

Ejemplo 1.18. Sean a y b numeros reales arbitrarios, y sean A =

a

b

y B =

−b

a

. Entonces A · B = a · (−b) + b · a = −ab + ab = 0. Similarmente, A · (−B) =

a · b + b · (−a) = ab − ab = 0. Luego, A es ortogonal a B y (−B). La Figura 1.5

ilustra este ejemplo con A =

3

1

y B =

−1

3

.

1.6. La lınea recta: definicion y condiciones que la determi-

nan

Excepto por la definicion de ”recta generada por un vector”, dada en la

Seccion 1.3, hasta el momento hemos usado las idea de ’recta’ de una forma

1.6. La lınea recta: definicion y condiciones que la determinan 33

A=(

3

1

)

B=(

2

−6

)

O x

y


A=(

3

1

)

B=(−1

3

)

-B=(

1

−3

)

x

y

O



intuitiva. En esta seccion abordaremos el tema en profundidad utilizando la

herramienta de vectores que hemos construido.

Definicion 1.11. Una lınea recta en el plano cartesiano es un conjunto de

puntos

x

y

pertenecientes a R2 que verifican una ecuacion general de primer

grado de la forma

ax+ by + c = 0, (1.6)

donde a, b y c son numeros reales, con a y b no simultaneamente iguales a

cero.

Comentario 1.3. Podemos ver que si a 6= 0, todo punto

(−b/a)t− c/a

t

, t ∈ R,

satisface la ecuacion 1.6, y si b 6= 0 entonces dicha ecuacion se verifica para

los puntos

t

(−a/b)t− c/b

, t ∈ R; luego una lınea recta contiene infinidad de

puntos.

La ecuacion 1.6 se acostumbra llamar forma general o ecuacion general de

una lınea recta. Al multiplicar una ecuacion general por un escalar diferente

de cero no se altera la lınea recta sino la forma de su ecuacion. De hecho,

veremos mas adelante que si una lınea recta esta representada por las ecua-

ciones ax+ by + c = 0 y αx+ βy + γ = 0, entonces hay un unico escalar r 6= 0 tal

que α = ar, β = br y γ = cr.

El vector N =

a

b

, cuyas componentes son los coeficientes de las variables

x y y en la ecuacion general, es de gran importancia para la mejor comprension

de la lınea recta. Sea P =

x0

y0

un punto especıfico de la recta L con ecuacion

general 1.6 y sea X =

x

y

otro punto cualquiera de dicha recta; entonces


ax + by + c = 0 y ax0 + by0 + c = 0. La resta de estas dos ecuaciones produce la

ecuacion a(x− x0) + b(y− y0) = 0 que, escrita vectorialmente, adquiere la forma

a

b

·

x− x0

y − y0

= 0 ⇐⇒ N · (X − P ) = 0; (1.7)

es decir, el vector N es ortogonal a todo vector X−P con X ∈ L y L queda com-

pletamente determinada por N y P . Por lo anterior establecemos la siguiente

defincion.

Definicion 1.12. Sea L una lınea recta que pasa por un punto P . Decimos

que un vector no nulo N es normal a L si N es ortogonal a todo vector X − P

con X ∈ L.

En virtud de esta definicion la ecuacion 1.7 recibe el nombre de forma

normal o ecuacion normal de la lınea recta. Es en realidad la misma ecuacion

general pero escrita en un lenguaje vectorial. La forma normal no es unica

pues depende del vector normal y del punto sobre la recta escogidos. Sin

embargo tenemos las siguiente proposicion.

Proposicion 1.1. Sea L una lınea recta que pasa por un punto P . Si los vec-

tores N y N ′ son ambos vectores normales a L entonces son linealmente de-

pendientes.

Prueba. Escribamos N =

a

b

, N ′ =

a′

b′

y P =

x0

y0

. De acuerdo con el

Teorema 1.1 debemos probar que se verifica la ecuacion ab′− ba′ = 0. Para esto

escribimos L en sus formas normales

N · (X − P ) = 0 y N ′ · (X − P ) = 0.


El punto Q =

b′

−a′

+ P esta en L porque

N ′ · (Q− P ) =

a′

b′

·

b′

−a′

= 0.

Por lo tanto tambien se verifica N · (Q − P ) = 0. Pero esta ultima ecuacion es

precisamente ab′ − ba′ = 0. 2

Comentario 1.4. De otra parte, podemos ver que si N es un vector normal a

una lınea recta L que pasa por un punto P , y N ′ es un vector no nulo multiplo

escalar de N , digamos N ′ = rN , entonces N ′ tambien es normal a L pues,

cualquiera sea X ∈ L, N ′ · (X − P ) = (rN) · (X − P ) = r[N · (X − P )] = r · 0 = 0.

Comentario 1.5. Se sigue de la proposicion que todos los vectores normales a

una lınea recta con ecuacion general ax+ by+ c = 0 son los multiplos escalares

no nulos del vector N =

a

b

.

Ejemplo 1.19. Hallemos una ecuacion general de la recta L que pasa por el

punto P =

3

5

con vector normal N =

−1

3

. Esta recta tiene forma normal

3

5

·(

x

y

−

−1

3

)

= 0.

Resolviendo el producto escalar obtenemos 3x+5y−(3·(−1)+5·3) = 3x+5y−12 =

0.

Ejemplo 1.20. La recta L generada por un vector U =

u

v

6=

0

0

es un

ejemplo fundamental de lınea recta. Recordemos que

x

y

∈ L si y solo si


U

b

b

b

b

b

P-2U

P-U

P

P+ 1

2U

P+U

x

y

O

Figura 1.24: Recta dirigida

x

y

= t

u

v

para algun escalar t. De esta igualdad vectorial se siguen las

ecuaciones escalares x = ut y y = vt.

Como el vector U es distinto del vector cero entonces, o bien u 6= 0 o v 6= 0.

Por lo tanto el parametro t puede despejarse de alguna de las dos ecuaciones

escalares anteriores: si, por ejemplo, u 6= 0, entonces t =x

uy por lo tanto y = v

x

uo, equivalentemente, vx−uy = 0, que tiene la forma de la ecuacion de una lınea

recta con a = v, b = −u y c = 0.

En la recta generada por un vector no nulo, el origen pertenece a la recta.

Podemos ampliar esta idea fijando un punto del plano y considerando una

recta que pase por dicho punto y que sea ”paralela” a un vector no nulo (vease

la Figura 1.24).

Definicion 1.13. Sea P un punto del plano y sea U un vector no nulo. La recta

dirigida por el vector U que pasa por P es el conjunto de puntos

{

X ∈ R2 : X = P + tU, t ∈ R

}

. (1.8)

Ejemplo 1.21. La recta L dirigida por el vector U =

−1

2

y que pasa por el


U=(−1

2

)

b P=(

3

1

)

L

x

y


punto P =

3

1

es el conjunto

L =

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

3

1

+ t

−1

2

, t ∈ R

}

=

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

3− t

1 + 2t

, t ∈ R

}

.

La igualdad vectorial 1.8 equivale a dos ecuaciones escalares; de hecho, si

escribimos X =

x

y

, P =

x0

y0

y U =

u

v

entonces

X = P + tU ⇐⇒ x = x0 + ut y y = y0 + vt. (1.9)

Las ecuaciones escalares 1.9 se llaman ecuaciones parametricas de la recta

dirigida por U y que pasa por P .

Un procedimiento similar al que hicimos un poco antes con la recta gene-


rada por un vector, lo podemos replicar en este caso. Si u 6= 0 y v 6= 0 entonces

x = x0 + ut y y = y0 + vt ⇐⇒ x− x0u

=y − y0v

⇐⇒ vx− vx0 = uy − uy0

⇐⇒ vx− uy + uy0 − vx0 = 0,

que tiene la forma general de la lınea recta con a = v, b = −u y c = uy0 −

vx0. Los casos u 6= 0, v = 0 y u = 0, v 6= 0 son muy parecidos y conducen,

respectivamente, a las ecuaciones −uy + uy0 = 0 y vx − vx0 = 0. Ası que toda

recta que pasa por un punto y es dirigida por un vector es, en realidad, una

lınea recta de acuerdo con nuestra definicion; dicho de otra manera, el punto

y el vector no nulo determinan una lınea recta.

Igualmente importante es el hecho de que toda lınea recta es expresable

como una recta dirigida por un vector no nulo al cual llamamos vector director

de la recta. Esta afirmacion es el contenido de la siguiente proposicion.

Proposicion 1.2. Sea L una lınea recta con ecuacion ax+ by+ c = 0, con a 6= 0.

Entonces

L =

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

−c/a

0

+ t

−b

a

, t ∈ R

}

.

Comentario 1.6. La proposicion nos dice especıficamente que L es expresable

como la recta que pasa por el punto P =

−c/a

0

y es dirigida por el vector

U =

−b

a

, el cual es ortogonal al vector N =

a

b

. Si en la ecuacion general

de L, b es distinto de cero, entonces el lector puede probar que L es expresable

como la recta que pasa por el punto P =

0

−c/b

y es dirigida por el vector

U =

−b

a

.


Prueba. Denotemos por L′ el conjunto

L′ =

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

−c/a

0

+ t

−b

a

, t ∈ R

}

,

y veamos que L = L′. Supongamos inicialmente que

x

y

∈ L. Puesto que

a 6= 0, al despejar x de la ecuacion de L obtenemos x = −ca+ −b

ay. Entonces,

asignemos al parametro t el valor t = y

a. Se sigue que y = 0+ at y x = −c

a− bt; es

decir,

x

y

∈ L′. Recıprocamente, si

x

y

∈ L′, entonces y = at y x = −ca− bt. De

la primera de estas dos ecuaciones se sigue que t = y

a; este valor lo sustituimos

en la ecuacion de x y obtenemos x = −ca− by

a, luego ax+ by+ c = 0 y por lo tanto

x

y

∈ L. 2

Ejercicio 1.11. Sea L una lınea recta con ecuacion ax + by + c = 0, con b 6= 0.

Pruebe que

L =

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

0

−c/b

+ t

−b

a

, t ∈ R

}

.

Cuando una lınea recta se escribe en la forma de recta dirigida decimos que

esta escrita en forma vectorial parametrica. Una lınea recta admite multiples

representaciones vectoriales parametricas; veamos un ejemplo.

Ejemplo 1.22. La recta L que pasa por el punto P =

3

1

y con vector director

U =

−1

2

es el conjunto

{

X ∈ R2 : X = P + tU, t ∈ R

}

=

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

3

1

+ t

−1

2

, t ∈ R

}

.


Resolviendo de las ecuaciones parametricas para el parametro t obtenemos

t = x−3

−1y t = y−1

2. Al igualar estos valores obtenemos una ecuacion general de

L, a saber: 2x+ y − 7 = 0. Luego L =

{

x

y

∈ R2 : 2x+ y − 7 = 0

}

.

Ahora bien, el punto Q = P + U =

2

3

pertenece a L; ademas el vector V =

2

−4

es multiplo escalar del vector U . Afirmamos que:

L =

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

2

3

+ s

2

−4

, s ∈ R

}

.

Para probar la afirmacion basta verificar que el conjunto

L′ =

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

2

3

+ s

2

−4

, s ∈ R

}

,

es igual al conjunto

{

x

y

∈ R2 : 2x + y − 7 = 0

}

. Para esto empleamos el

mismo procedimiento que hicimos con la recta L: si

x

y

∈ L′, entonces de sus

ecuaciones parametricas resolvemos para el parametro s y obtenemos s = x−2

2

y s = y−3

−4. Igualando estos valores llegamos a la ecuacion 4x + 2y − 14 = 0, la

cual, al dividir por 2, resulta en 2x+ y − 7 = 0. Los pasos son reversibles como

puede verificarlo el lector. Ası que L y L′ estan completamente determinados

por la ecuacion general 2x+ y − 7 = 0 y por lo tanto, L = L′.

La relacion entre los vectores director y normal de una misma recta es de

ortogonalidad como lo muestra la siguiente proposicion.

Proposicion 1.3. Sea L una lınea recta con vector normal N y vector director

D. Entonces N y D son ortogonales.


U=(−1

2

)

V=(

2

−4

)

b

b

P=(

3

1

)

Q=(

2

3

)

L = L′

x

y


Prueba. Sea P un punto de L. Entonces L tiene la forma vectorial parametri-

ca X = P + tD, t ∈ R y la forma normal N · (X − P ) = 0. Sustituyendo la pri-

mera de estas dos ecuaciones en la segunda, con el valor t = 1, obtenemos

0 = N · (P +D − P ) = N ·D; luego N y D son ortogonales. 2

Proposicion 1.4. Sea L una lınea recta. Si U y V son vectores directores de L

entonces son linealmente dependientes. Recıprocamente, si U y V son lineal-

mente dependientes y U es vector director de L entonces V tambien es vector

director de L.

Prueba. Supongamos primero que U y V son vectores directores de L. Esto

quiere decir que L puede expresarse de las formas

{

X ∈ R2 : X = P + tU, t ∈ R

}

y{

X ∈ R2 : X = Q+ sV, s ∈ R

}

,

donde P y Q pertenecen a L. Consideremos el caso P 6= Q (el caso P = Q lo

dejamos al lector para que lo verifique). Entonces hay escalares t′ y s′ diferentes


de cero tales que Q = P + t′U y P = Q + s′V . Por lo tanto t′U = Q − P = (−s′)V ,

luego U = (−s′/t′)V y por lo tanto U y V son linealmente dependientes.

Ahora supongamos que U y V son linealmente dependientes y que U es

vector director de L. Entonces existe un escalar r 6= 0 tal que U = rV . De la

forma vectorial de L tenemos: X = P + tU = P + t(rV ) = P + (rt)V . Ahora bien,

como r es un ecalar fijo, y el parametro t toma todos lo valores reales, entonces

el producto s = rt es un parametro que tambien toma todos los valores reales.

Por consiguiente L es expresable en la forma

{

X ∈ R2 : X = P + sV, s ∈ R

}

,

luego V es vector director de L. 2

Comentario 1.7. Se sigue de esta proposicion que todos los vectores directo-

res de una lınea recta con ecuacion general ax + by + c = 0 son los multiplos

escalares no nulos del vector D =

−b

a

.

Ejemplo 1.23. La recta L del Ejemplo 1.21 tiene por ecuacion general

2x+y−7 = 0. Entonces los vectores directores de L son los multiplos escalares

del vector D =

−1

2

; en otras palabras, el conjunto de vectores directores de

L es la recta generada por el vector D.

Podemos indagar sobre otras condiciones que determinan una lınea recta.

Quiza la mas grafica o intuitiva se refiere a la lınea recta determinada por

dos puntos distintos del plano. Si P y Q son dos puntos distintos del plano,

entonces la lınea recta cuya forma vectorial es

{

X ∈ R2 : X = P + t(Q− P ), t ∈ R

}

. (1.10)

pasa por los puntos P y Q. El punto Q se obtiene con t = 1 y P con t = 0. Esta


D= Q-Pb

b

P

Q

x

y

Figura 1.27: Recta determinada por dos puntos

recta tiene como vector director D = Q− P y, en virtud del siguiente teorema,

la llamamos la lınea recta determinada por P y Q (vease la Figura 1.27).

Proposicion 1.5. Sean P y Q dos puntos distintos del plano. Si L es cualquier

lınea recta que pasa por P y Q entonces

L ={

X ∈ R2 : X = P + t(Q− P ), t ∈ R

}

. (1.11)

Prueba. Escribamos L′ ={

X ∈ R2 : X = P + t(Q− P ), t ∈ R

}

. Ya hemos visto

que P y Q pertenecen a L′. Debemos probar que L = L′. Supongamos que una

representacion vectorial de L es

L ={

X ∈ R2 : X = R + sD, s ∈ R

}

, (1.12)

donde R ∈ L y D es un vector director de L. Puesto que P y Q son dos puntos

distintos pertenecientes a L existen escalares s′ y s′′ diferentes tales que P =

R + s′D y Q = R + s′′D. Luego Q− P = (s′′ − s′)D o D =1

s′′ − s′(Q− P ).

Sea X = P + t(Q− P ) un punto cualquiera de L′. Entonces

X = R + s′D + t(s′′ − s′)D = R + (ts′′ − ts′ + s′)D;

por lo tanto X ∈ L. Recıprocamente, si X = R + sD es un punto cualquiera de

L, entonces

X = R+sD = P−s′D+sD = P+(s−s′)D = P+(s−s′) 1

s′′ − s′(Q−P ) = P+

s− s′

s′′ − s′(Q−P ),


b

b

P(−1

2

)

Q(

3

1

)

x

y


luego X ∈ L′, y por lo tanto L = L′. 2

Ejemplo 1.24. La lınea recta que pasa por los puntos P =

−1

2

y Q =

3

1

tiene como vector director Q − P =

3− (−1)

1− 2

=

4

−1

, y por lo tanto una

forma vectorial de la misma es

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

−1

2

+ t

4

−1

, t ∈ R

}

=

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

−1 + 4t

2− t

, t ∈ R

}

.

Debemos insistir que la anterior no es la unica representacion vectorial de

la recta que pasa por los puntos P y Q. Hay infinidad de representaciones

vectoriales de la misma que dependen del punto elegido sobre la recta y del

vector director escogido.

Ejercicio 1.12. Encuentre otras tres representaciones vectoriales para la rec-

ta del ejemplo anterior.

Ejemplo 1.25. Consideremos la lınea recta L que pasa por el punto P =

−1

2

y con vector director D =

3

1

(ver Figura 29). Entonces un vector perpendi-


b

P=(−1

2

)

L

D=(

3

1

)

x

y


cular a L es N =

−1

3

. Por lo tanto X =

x

y

∈ L si y solo si

−1

3

·

x

y

−

−1

3

·

−1

2

= 0.

Al desarrollar las operaciones obtenemos la ecuacion −x + 3y − (1 + 6) = 0, o

x− 3y + 7 = 0.

Corolario 1.3. Si ax+ by + c = 0 y αx+ βy + γ = 0 son ecuaciones generales de

una misma recta entonces existe un unico escalar r tal que α = ra, β = rb y

γ = rc.

Prueba. (Ejercicio)

1.7. Rectas paralelas y perpendiculares. Angulo entre rec-

tas.

Definicion 1.14. Dos lıneas rectas diferentes L y L′ son paralelas, y escribi-

mos L ‖ L′, si sus vectores directores son linealmente dependientes.

Ejemplo 1.26. La recta L con forma vectorial

L =

{

X ∈ R2 : X =

−1

−1

+ t

−3

4

t ∈ R

}

1.7. Rectas paralelas y perpendiculares. Angulo entre rectas. 47

( −34

)

b( −1−1

)

L

L’

x

y


es paralela a la recta L′ con ecuacion 8x+6y−12 = 0 porque el vector V =

−6

8

es vector director de L′ y V = 2

−3

4

(vease la Figura 1.30).

Las lıneas rectas horizontales son las paralelas a la recta generada por E1

(eje x) y las verticales son las paralelas a la recta generada por E2 (eje y). Por

consiguiente, una recta L horizontal tiene una forma vectorial del tipo

L =

{

X ∈ R2 : X = P + tE1, t ∈ R

}

=

{

x

y

∈ R2 :

x

y

=

x0

y0

+ t

1

0

, t ∈ R

}

,

donde P =

x0

y0

∈ L. De la forma vectorial deducimos las ecuaciones escala-

res x = x0 + t y y = y0, donde el parametro t recorre el conjunto de los numeros

reales. Por lo tanto, independientemente del valor de t, la coordenada y de los


b

bb

P’=( x0

0

)

P=( x0y0

)

P”=(

0

y0

)

L

L’

x

y

Figura 1.31: Rectas paralelas a los ejes

puntos de una recta horizontal permanece constante y por eso una ecuacion

general de L es y = y0 o y − y0 = 0. Esta ecuacion general tambien la pudi-

mos haber obtenido de (1.12) con α = 0 y β = 1 porque el vector E2 =

0

1

es

ortogonal a cualquier lınea recta horizontal.

En forma completamente analoga, el lector puede verificar que una recta

vertical L′ que pasa por el punto P =

x0

y0

tiene por ecuaciones parametricas

x = x0, y = y0 + t, con t ∈ R, y por ecuacion general x− x0 = 0. (Vease la Figura

1.31).

Comentario 1.8. Como dos lıneas rectas tienen vectores directores linealmen-

te dependientes si y solo si tienen vectores normales linealmente dependien-

tes entonces, la condicion de paralelismo entre rectas se puede refrasear en

terminos de vectores ortogonales; es decir, dos lıneas rectas son paralelas si

sus vectores ortogonales son linealmente dependientes.

Para las lıneas rectas no verticales tenemos, adicionalmente, el concepto

de ”pendiente” que nos permite medir la inclinacion de la recta con respecto


al eje x.

Definicion 1.15. Sea L una recta no vertical con vector director D =

d1

d2

.

La pendiente de L, denotada por m, es el cociente m =d2d1

.

Lo primero que debemos resaltar es que el valor de la pendiente m no de-

pende del vector director escogido porque si D′ tambien es vector director de

L entonces D′ = rD =

rd2

rd1

para algun escalar r, y por lo tantord2rd1

=d2d1

.

Por consiguiente, si L tiene por ecuacion general ax + by + c = 0, con a 6= 0, su

pendiente es m = −ab

pues D =

−b

a

es vector director de L.

Ejemplo 1.27. La pendiente m de la lınea recta L con ecuacion general 3x +

4y − 25 = 0 es m = −3

4.

De otra parte, si m es la pendiente de una lıne recta no vertical L, con vector

director D =

d1

d2

entonces m = d2d1

y por lo tanto

d1

d2

=

d1

d1m

= d1

1

m

.

Por consiguiente

1

m

tambien es vector director de L.

Comentario 1.9. De las definiciones de rectas paralelas y pendiente se deduce

de manera inmediata que dos rectas no verticales son paralelas si y solo si sus

pendientes son iguales.

En una lınea recta no vertical L tambien destacamos su punto B =

0

b

de

interseccion con el eje y. Al escalar b se le llama usualmente intercepto de la

recta. Puesto que

−m

1

es ortogonal a L, una ecuacion general de L es enton-

ces −mx+y−b = 0 o y = mx+b, la cual es llamada la forma pendiente−intercepto


D=(

1

m

)

bB=

(

0

b

)

x

y

Figura 1.32: Forma pendiente-intercepto

de L. Esta forma escalar de la ecuacion de L es particularmente importante

porque contiene mucha informacion geometrica sobre la recta. (Vease la Figu-

ra 1.32). Si la recta no vertical L pasa por los puntos P =

x0

y0

y Q =

x1

y1

entonces Q− P =

x1 − x0

y1 − y0

es vector director de L y por lo tanto la pendiente

de la recta es el cociente m = y1−y0x1−x0

. Mas generalmente, si X =

x

y

es un pun-

to arbitrario de L diferente de P entonces m = y−y0x−x0

. De aquı resulta la forma

escalar punto-pendiente de la ecuacion de L, a saber: y − y0 = m(x− x0).

Definicion 1.16. Sea L una recta no vertical con vector director D. Definimos

el angulo de inclinacion de L, denotado α, por

α =

dir(D), si dir(D) ≤ π,

dir(−D), si π < dir(D) < 2π.

(1.13)

Visualmente, α es el angulo medido en sentido antihorario desde el eje x

hasta encontrarse por vez primera la recta L; es, por defincion, el angulo de

inclinacion de la recta generada por el vector director D. Ası que lıneas rectas

paralelas tendran todas el mismo angulo de inclinacion (vease la Figura 1.33).


αD=

(

1

m

)

x

y

Figura 1.33: Inclinacion de un recta

La relacion entre la pendiente y el angulo de inclinacion es el contenido de la

siguiente proposicion.

Proposicion 1.6. Sea L una lınea recta no vertical con pendiente m y angulo

de inclinacion α. Entonces m = tanα.

Prueba. El vector D =

1

m

es vector director de L. Sea θ = dir(D). Si

m > 0 entonces θ = α y por lo tanto m = tan θ = tanα; y si m < 0 entonces

α = dir(−D) = θ − π en cuyo caso m = tan θ = tan(θ − π) = tanα. 2

Definicion 1.17. Dos lıneas rectas L y L′ son perpendiculares, y escribimos

L ⊥ L′, si sus vectores directores son ortogonales o, equivalentemente, si sus

vectores normales son ortogonales.

Ejemplo 1.28. Las lınea recta L con ecuacion general 3x − 4y + 5 = 0 es per-

pendicular a la lınea recta L′ con ecuacion vectorial X =

−1

2

+ t

6

−8

porque sus vectores directores D =

4

3

y D′ =

6

−8

son ortogonales, pues

D ·D′ = 4 · 6 + 3 · (−8) = 24− 24 = 0

Un criterio eficiente de perpendicularidad de lıneas rectas no verticales es

el siguiente.


Proposicion 1.7. Sean L y L′ dos lıneas rectas no verticales con pendientes m

y m′ respectivamente. Entonces L ⊥ L′ si y solo si mm′ = −1.

Prueba. L y L′ tienen vectores directores D =

1

m

y D′ =

1

m′

respecti-

vamente. Luego

L ⊥ L′ ⇐⇒ D ·D′ = 0 ⇐⇒

1

m

·

1

m′

= 0

⇐⇒ 1 · 1 +m ·m′ = 0

⇐⇒ 1 +mm′ = 0

⇐⇒ mm′ = −1. 2

Terminamos esta seccion con el concepto de angulo entre lıneas rectas. Lo

que haremos es generalizar la idea de angulo de inclinacion. El lector puede

demostrar con todo rigor que dos lıneas rectas L y L′ no paralelas concurren

en un punto, y dividen el plano en cuatro sectores o angulos (vease la Figura

1.34). Visualmente, podemos definir el angulo orientado desde la lınea recta

L hasta la lınea recta L′ como el angulo barrido en sentido antihorario desde

uno cualquiera de los rayos de L hasta el primer rayo que nos encontremos de

L′. Esta idea grafica (que podrıa ser suficiente en muchas de las aplicaciones)

puede precisarse usando los vectores directores de ambas rectas. Para este

efecto veamos primero la nocion de angulo orientado de vectores.

Definicion 1.18. Sean X y U dos vectores no nulos con direcciones φ y ψ, res-

pectivamente. Definimos el angulo orientado del vector X al vector U , denotado

por ∡〈X,U〉, como

∡〈X,U〉 =

ψ − φ si ψ − φ ≥ 0,

2π + (ψ − φ) si ψ − φ < 0.

(1.14)


L

L´

Figura 1.34: Angulo entre rectas

X

U

x

y

U

X

x

y

Figura 1.35: Angulo orientado

Ejemplo 1.29. El angulo orientado del vector E1 al vector E2 es ∡〈E1, E2〉 =

π/2 − 0 = π/2, mientras que el angulo orientado del vector E2 al vector E1 es

∡〈E2, E1〉 = 2π − π/2 = 3π/2.

Observacion 1.1. Por lo general, el angulo orientado del vector X al vec-

tor U es distinto al angulo orientado del vector U al vector X. De hecho,

∡〈X,U〉 = ∡〈U,X〉 si y solo si X y U son linealmente dependientes, como lo

puede demostrar el lector. Por otro lado, a diferencia del angulo entre dos vec-

tores que siempre esta en el intervalo [0, π], el angulo orientado de un vector a

otro puede tomar valores en el intervalo [0, 2π).


Ejercicio 1.13. Sean X y U dos vectores no nulos. Pruebe que ∡〈X,U〉 =

∡〈U,X〉 = si y solo si X y U son linealmente dependientes.

Ejercicio 1.14. Sean X y U dos vectores no nulos. Pruebe que ∡〈X,U〉 −

∡〈X,−U〉 = ±π.

Ahora podemos definir el angulo orientado entre dos rectas no paralelas.

Definicion 1.19. Sean L y L′ dos lıneas rectas no paralelas con vectores di-

rectores D y D′ respectivamente. Definimos el angulo orientado de la recta L a

la recta L′, denotado por ∡〈L,L′〉, como

∡〈L,L′〉 =

∡〈D,D′〉 si 0 < ∡〈D,D′〉 < π,

∡〈D,−D′〉 si π < ∡〈D,D′〉 < 2π.

(1.15)

Ejemplo 1.30. Consideremos las rectas L y L′ con ecuaciones generales x+y−

1 = 0 y√3x+y−2 = 0. Los vectores D =

−1

1

y D′ =

−1√3

son, respectivamen-

te, vectores directores de L y L′ (vease la Figura 1.36). La direccion del vector

D es 3π/4, y la direccion del vector D′ es 2π/3. Por lo tanto el angulo orientado

del vector D al vector D′ mide ∡〈D,D′〉 = 2π+(2π/3−3π/4) = 2π−π/12 = 23π/12,

que es mayor que π. Luego, ∡〈L,L′〉 = ∡〈D,−D′〉 = 5π/3 − 3π/4 = 11π/12. De

otra parte, el angulo orientado de D′ a D mide ∡〈D′, D〉 = 3π/4 − 2π/3 = π/12,

cantidad que es menor que π. Por lo tanto el angulo orientado de L′ a L es

∡〈L′,L〉 = ∡〈D′, D〉 = π/12.

Comentario 1.10. El lector puede concluir de la Figura 1.34 que ∡〈L,L′〉 +

∡〈L′,L〉 = π. Lo invitamos a que haga una demostracion de este hecho.

Cuando ninguna de las dos lıneas rectas es vertical disponemos de una

formula que nos permite calcular el angulo orientado de una recta a la otra, a

partir de las pendientes de las rectas.


D=(−1

1

)

D´=(−1√

3

)

LL´

x

y


Teorema 1.4. Sean L y L′ dos lıneas rectas no verticales y no perpendiculares

con pendientes m y m′, respectivamente. Si θ = ∡〈L,L′〉 entonces

tan θ =m′ −m

1 +m′m. (1.16)

Prueba. Sean D y D′ vectores directores de L y L′ con direcciones φ y ψ, res-

pectivamente. Del Ejercicio 1.13, ∡〈D,−D′〉 = ∡〈D,D′〉±π. Luego, tan(∡〈D,D′〉) =

tan(∡〈D,−D′〉); se sigue de la ecuacion (1.15) en la Definicion 1.19 que tan θ =

tan(∡〈D,D′〉). Ahora bien, por la ecuacion (1.14) en la Definicion 1.18 tenemos

que tan(∡〈D,D′〉) = tan(ψ − φ), por consiguiente

tan θ = tan(ψ − φ) =tanψ − tanφ

1 + tanψ tanφ=

m′ −m

1 +m′m. 2

Ejemplo 1.31. En las lıneas rectas L y L′ del Ejemplo 1.30, m = −1 y m′ = −√3.

Por lo tanto, si θ es el angulo orientado de L a L′, tenemos

tan θ =m′ −m

1 +m′m=

−√3− (−1)

1 + (−√3)(−1)

=−√3 + 1

1 +√3.

Como θ toma valores en el intervalo [0, π] concluimos que

θ = π − arctan

√3− 1√3 + 1

= π − arctan(2−√3).


LU

PL(U)b

b

x

y

Figura 1.37: Proyeccion ortogonal sobre una recta

Este ultimo valor es 11π/12 de acuerdo con lo hallado en el Ejemplo 1.30. El

angulo orientado de L′ a L es el suplemento del anterior, es decir, π/12.

1.8. Proyeccion ortogonal sobre una lınea recta. Distancia

de un punto a una recta.

Comenzamos la seccon con la definicion de proyeccion ortogonal de un

punto sobre una lınea recta. Esta basada en el hecho de que dada una recta

L y un punto U del plano, hay una unica recta que pasa por U y es perpendi-

cualar a L.

Definicion 1.20. Sea L una lınea recta y U un punto del plano. Definimos

la proyeccion ortogonal de U sobre L, denotada por PL(U), como el punto de

interseccion de L con la lınea recta que pasa por U y es perpendicular a L

(vease la Figura 1.37).

A continuacion desarrollamos una formula que nos permite calcular con

relativa facilidad la proyeccion ortogonal de un punto sobre una recta.

Teorema 1.5. Sea L una lınea recta con ecuacion general ax+by+c = 0 y sea U

un punto del plano. Entonces la proyeccion ortogonal de U sobre L esta dada

1.8. Proyeccion ortogonal sobre una lınea recta. Distancia de un punto a una recta.57

por la ecuacion

PL(U) =1

‖D‖2[

(D · U)D − cN]

=D · U‖D‖2D +

−c‖N‖2N, (1.17)

donde N =

a

b

y D =

−b

a

son, respectivamente, los vectores normal y

director de L dados por la ecuacion general.

Prueba. La recta recta L′ que pasa por U y es perpendicular a L tiene

como vector director N y como vector normal D ya que estos vectores son,

respectivamente, los vectores normal y director de L. Por consiguiente, si

x

y

= X = PL(U), este punto verifica las ecuaciones normales de L y L′, a

saber

N ·X = −c y D ·X = D · U. (1.18)

Ahora resolvermos este sistema para las componentes x y y del vector X. Mul-

tipliquemos la primera de las ecuaciones (1.18) por a y la segunda por −b, y

sumemos los resultados. Ası,

−ac+ (−b)(D · U) = a(N ·X) + (−b)(D ·X)

= (aN − bD) ·X

=

(

a

a

b

− b

−b

a

)

·X

=

(

a2

ab

+

b2

−ab

)

·X

=

a2 + b2

0

·X

=

‖D‖2

0

·

x

y


= ‖D‖2x,

Por lo tanto,

x =1

‖D‖2(

(−b)(D · U)− ac)

. (1.19)

Analogamente, multiplicamos la primera de las ecuaciones (1.18) por b y la

segunda por a, sumamos los resultados y procedemos de manera similar para

hallar el valor de la componente y; llegamos al resultado

y =1

‖D‖2(

a(D · U)− bc)

. (1.20)

Finalmente, las ecuaciones 1.19 y 1.20 son equivalentes a las ecuaciones vec-

toriales

PL(U) =1

‖D‖2

(−b)(D · U)− ac

a(D · U)− bc

=1

‖D‖2

(

(−b)(D · U)

a(D · U)

− c

a

b

)

=1

‖D‖2

(

(D · U)

−b

a

− c

a

b

)

=1

‖D‖2(

(D · U)D − cN)

,

lo cual prueba la primera igualdad en (1.17). La segunda igualdad en (1.17) se

sigue de la primera teniendo en cuenta que ‖N‖2 = a2 + b2 = ‖D‖2. 2

Antes de dar un ejemplo de aplicacion de esta formula es menester hacer

algunos comentarios sobre la misma.

Comentario 1.11. 1. La formula (1.17) expresa la proyeccion ortogonal co-

mo una combinacion lineal de los vectores D y N ; y estos vectores estan

dados de acuerdo con la ecuacion general con la que hemos expresado la

recta L (vease la Figura 1.38). De otra parte, si P es cualquier punto de L


D

N

−c||N ||2 N

D.U||D||2 D

LU

PL(U)

b

b

b

b

x

y

Figura 1.38: Descomposicion de la proyeccion ortogonal

entonces el escalar −c puede escribirse como N ·P ya que N ·P+c = 0; lue-

go, podemos expresar la formula (1.17) en terminos de un punto conocido

de la recta L, ası:

PL(U) =D · U‖D‖2D +

N · P‖N‖2N. (1.21)

2. La formula (1.21) para la proyeccion ortogonal nos permite deducir la

invariancia de dicha expresion con respecto a los vectores director y nor-

mal utilizados. Mas precisamente, D′ y N ′ son tambien vectores director

y normal de L entonces D = tD′ y N = sN ′ para algunos escalares t y s.

Reemplazando T y N en (1.21) tenemos

PL(U) =D · U‖D‖2D +

N · P‖N‖2N

=(tD′) · U‖(tD′)‖2 (tD

′) +(sN ′) · P‖(sN ′)‖2 (sN

′)

= tt(D′ · U)t2‖D′‖2 D

′ + ss(N ′ · P )s2‖N ′‖2 N

′

=D′ · U‖D′‖2D

′ +N ′ · P‖N ′‖2N

′.

3. En el caso particular c = 0, es decir, cuando L pasa por el origen, la


D

N

−c||N ||2 N

PD(U)

LU

PL(U)b

b

b

b

bPN (U)

x

y

Figura 1.39: Proyeccion de un vector sobre otro vector

formula se reduce a

PL(U) =D · U‖D‖2D.

Esta expresion suele llamarse la proyeccion del vector U sobre el vector D

y denotarse por PD(U); es, en realidad, la proyeccion ortogonal del punto

U sobre la recta generada por el vector D (vease la Figura 1.39). Por

supuesto, no hay nada de especial con el vector D; la proyeccion de un

vector U con respecto a otro vector V es la proyeccion ortogonal de U

sobre la recta generada por V . En particular, la proyeccion de U sobre el

vector N , normal a L, es

PN(U) =N · U‖N‖2N.

4. La observacion del anterior numeral y la formula (1.21), nos permiten

escribir la proyeccion ortogonal de U sobre L como

PL(U) = PD(U) + PN(P ), (1.22)


donde D y N son, respectivamente, vectores director y normal cuales-

quiera de la recta L, y P es un punto arbitrario perteneciente a ella.

5. Todos los puntos de la lınea recta que pasa por U y es perpendicular a

L se proyectan ortogonalmente sobre el mismo punto, y si el punto U

esta sobre la recta L entonces PL(U) = U ; en este caso N · U + c = 0 y por

lo tanto,

U =1

‖D‖2[

(D · U)U + (N · U)N]

=D · U‖D‖2U +

N · U‖N‖2N = PD(U) + PN(U).

6. Si U es ortogonal a D, D · U = 0 y por lo tanto,

PL(U) =−c

‖D‖2N =−c

‖N‖2N.

Ejemplo 1.32. Hallemos de dos maneras la proyeccion ortogonal del punto

U =

5

9

sobre la recta L con ecuacion general 2x + y + 1 = 0, primero, di-

rectamente de la definicion, y despues haciendo uso de la formula (1.17). Los

vectores director y normal a L que nos proporciona la ecuacion general son,

respectivamente, D =

−1

2

y N =

2

1

. Luego, la recta L′ que pasa por U y

es perpendicular a L tiene por ecuacion normal

−1

2

·

x

y

−

−1

2

·

5

9

= 0,

y por ecuacion general

−x+ 2y − (−5 + 18) = 0 ⇐⇒ x− 2y + 13 = 0.

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales

2x+ y + 1 = 0 y x− 2y + 13 = 0


obtenemos la proyeccion ortogonal de U sobre L, a saber, PL(U) =

−3

5

.

De otra parte, D ·U = (−1) · (5)+2 ·9 = −5+18 = 13. Luego, por la formula (1.17),

PL(U) =1

(−1)2 + 22

[

13

−1

2

−

2

1

]

=1

5

−13− 2

26− 1

=1

5

−15

25

=

−3

5

.

Ejercicio 1.15. Sean A y B dos vectores no nulos ortogonales. Pruebe que

cualquiera sea el vector X del plano, X = PA(X) + PB(X).

Finalizamos la seccion con una formula que nos permite calcular la distan-

cia de un punto a una lınea recta.

Definicion 1.21. Sea L una lınea recta y sea U un punto del plano. Definimos

la distancia de U a L, denotada por dist(P,L), como la distancia entre U y la

proyeccion ortogonal de U a L; es decir,

dist(U,L) = ‖U − PL(U)‖. (1.23)

Teorema 1.6. Sea L una lınea recta con ecuacion general ax+ by+ c = 0, y sea

U =

u

v

. Entonces

dist(U,L) = |au+ bv + c|√a2 + b2

. (1.24)

Prueba. Por el Ejercicio 1.14, U = PD(U)+PN(U) donde D =

−b

a

y N =

a

b

.

Sea P el punto de interseccion de L con la recta generada por N . Entonces,

por (1.21), PL(U) = PD(U) + PN(P ). Por lo tanto,

‖U − PL(U)‖ = ‖PD(U) + PN(U)− (PD(U) + PN(P ))‖

= ‖PN(U)− PN(P )‖

=

∥

∥

∥

∥

∥

N · U‖N‖2N − N · P

‖N‖2N∥

∥

∥

∥

∥

1.9. Aplicaciones. 63

=

∥

∥

∥

∥

∥

N · U −N · P‖N‖2 N

∥

∥

∥

∥

∥

=|N · U −N · P |

‖N‖2 ‖N‖

=|au+ bv + c|√

a2 + b2. 2

1.9. Aplicaciones.

Aplicacion 1.1. En esta aplicacion vamos a precisar la nocion de segmento

de recta dirigido al cual, con frecuencia, tambien se le denomina ((vector)), y la

vamos a utilizar para hallar el punto en el que concurren las medianas de un

triangulo.

Definicion 1.22. Sean P y Q dos puntos distintos del plano. El segmento de

recta dirigido de P a Q, denotado por−→PQ, es el conjunto

−→PQ =

{

X ∈ R2 : X = P+t(Q−P ), t ∈ [0, 1]

}

={

X ∈ R2 : X = (1−t)P+tQ, t ∈ [0, 1]

}

.

La palabra ((dirigido)) en esta definicion se refiere a que recorremos la recta

determinada por P y Q desde el punto P hacia el punto Q, a medida que el

parametro t aumenta desde 0 hasta 1; graficamente, dibujamos el segmento

dirigido−−→OX como una flecha con punto inicial P y punto final Q. (Vease la

Figura 1.40).

El segmento de recta dirigido de Q a P es entonces

−→QP =

{

X ∈ R2 : X = Q+ t(P −Q), t ∈ [0, 1]

}

.

Como conjuntos,−→PQ y

−→QP son iguales pero han sido recorridos de forma di-

ferente. Cuando el sentido del recorrido del conjunto no es relevante, simple-

mente hablamos del segmento de recta PQ. El segmento de recta dirigido−→PQ

es entonces una parametrizacion del conjunto PQ donde el parametro es t,


b

P

Q

O x

y

Figura 1.40: Segmento dirigido

ası como la recta dirigida es una parametrizacion de la lınea recta.

Nota 1.1. Cuando no haya lugar a confusion diremos, por simplicidad, ((segmento))

en lugar de ((segmento de recta)).

Notemos que la distancia entre el punto P y cualquier punto X del segmen-

to PQ es

dist(X,P ) = ‖X − P‖ = ‖(P + t(Q− P ))− P‖ = ‖t(Q− P )‖ = t‖Q− P‖,

y entre los puntos X y Q,

dist(X,Q) = ‖X −Q‖ = ‖(1− t)P + tQ−Q‖ = ‖(1− t)P − (1− t)Q‖

= ‖(1− t)(P −Q)‖ = |1− t|‖P −Q‖

= (1− t)‖Q− P‖.

En particular, cuanto t = 1 obtenemos la distancia entre los puntos P y Q,

que, por definicion, es la longitud o magnitud del segmento−→PQ, denotada por

‖−→PQ‖, y si t = 1/2 obtenemos el llamado punto medio del segmento, a saber,

M =1

2(P +Q).

Comentario 1.12. La razon entre las distancias dist(X,P ) y dist(X,Q) es

dist(X,P )

dist(X,Q)=

t‖Q− P‖(1− t)‖Q− P‖ =

t

1− t.


A

B

C

b

b

b

R

S

T

X

O x

y

Figura 1.41: Baricentro de un triangulo

Cuando este cociente es un numero racional lo escribimos en la format

1− t=

m

n; ası, t =

m

m+ n, y por lo tanto,

X =n

m+ nP +

m

m+ nQ. (1.25)

Una bonita ilustracion del concepto de segmento dirigido es la que nos

permite probar que las medianas de un triangulo se cortan en un punto, y lo-

calizar dicho punto en el plano cartesiano. Las medianas del triangulo son los

segmentos de recta desde cada vertice al punto medio del lado opuesto. Si A,

B y C son los vertices de un triangulo, △ABC, y R, S y T son, respectivamente,

los puntos medios de los segmentos AB, BC y CA, entonces las medianas de

△ABC son los segmentos CR, AS y BT (vease la Figura 1.41). Notemos que

R =1

2(A + B). Si X es el punto del segmento dirigido

−→RC tal que su distancia

al punto C es el doble de su distancia al punto R, entonces usamos (1.25) con

P = R, Q = C, m = 1 y n = 2: luego,

X =2

3R +

1

3C =

2

3

[

1

2(A+B)

]

+1

3C =

1

3(A+ B + C). (1.26)


El lado derecho de la ecuacion (1.26) solo depende de los vertices del triangulo,

y no de la mediana CR. Es decir, obtenemos el mismo punto,1

3(A + B + C),

si razonamos con la mediana AS o con la mediana BT . Por lo tanto las tres

medianas se cortan en el punto X dado por (1.26). Este punto es llamado el

baricentro del triangulo.

Ası como hemos definido la magnitud de un segmento dirigido, podemos

tambien definir su direccion.

Definicion 1.23. Sea−→PQ un segmento dirigido. Definimos la direccion de

−→PQ,

denotada por dir(−→PQ), como

dir(−→PQ) = dir(Q− P ). (1.27)

Comentario 1.13. De nuestras definiciones podemos observar que, cualquie-

ra sea el punto X, ‖−−→OX‖ = ‖X‖ y dir(−−→OX) = dir(X); aunque la representacion

grafica del vector X coincide con la del segmento dirigido−−→OX, debemos recal-

car que X es un punto del plano cartesiano mientras que−−→OX es un segmento

de recta. Esta similitud entre X y−−→OX sugiere definir otras nociones geometri-

cas y algebraicas para segmentos dirigidos.

Definicion 1.24. Sean−→PQ y

−→PR segmentos dirigidos desde el punto P . Defi-

nimos el angulo entre−→PQ y

−→PR, denotado por ∡(

−→PQ,

−→PR), como

∡(−→PQ,

−→PR) = ∡(

−−−−→Q− P ,

−−−−→R− P ). (1.28)

Notemos que ∡(−→PQ,

−→PR)=∡(

−→PR,

−→PQ). Las definiciones tienen un sentido geometri-

co muy claro, como se aprecia en la Figura 1.42. El triangulo con vertices

P , Q y R se traslada paralelamente a si mismo desde el punto P usando como

guıa el segmento OP , hasta que el punto P coincida con el origen; entonces,

los puntos Q y R quedan superpuestos a los puntos Q−P y R−P , respectiva-

mente.


P

Q

R

R-P

Q-P

O x

y

Figura 1.42: Angulo entre segmentos dirigidos

Ejemplo 1.33. Si P =

1

−3

, Q =

−1

−1

y R =

√3 + 1

−2

entonces Q − P =

−2

2

y R− P =

√3

1

. Luego

∡(−→PQ,

−→PR) = ∡

(

−2

2

,

√3

1

)

=3π

4− π

6=

7π

12.

Comentario 1.14. Podemos sumar segmentos dirigidos que parten de un mis-

mo punto, multiplicarlos por un escalar e, inclusive, hacer el producto punto

entre ellos. La idea es siempre la misma: utilizar los puntos final e inicial de

la flecha para definir tales operaciones. Sin embargo estas operaciones no son

necesarias en nuestro curso de Geometrıa Analıtica y por eso no profundiza-

remos en el tema. Solo diremos que la idea de considerar segmentos dirigidos

conduce al concepto de ((vector libre)) que es util en Fısica. Mas exactamen-

te, dos segmentos dirigidos−→PQ y

−→RS se consideran equivalentes, y escribimos

−→PQ ∼ −→

RS si y solo si ‖−→PQ‖ = ‖−→PR‖ y dir(−→PQ) = dir(

−→RS). Esta nocion de equi-

valencia nos permite agrupar los segmentos dirigidos en conjuntos disjuntos,


cada uno de los cuales se llama clase de equivalencia, y un segmento dirigido

perteneciente a una clase de equivalencia se llama representante de la clase.

Para las clases de equivalencia podemos definir operaciones algebraicas cuyo

resultado es independiente del representante de la clase.

Documents

Notas Del Capítulo 1