Notas Induccion 2015 Ing. Civil

7/23/2019 Notas Induccion 2015 Ing. Civil

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Autores:

n,junio2

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JoaqunCarlosATarsicioEnriqueMarcoLuisGuilErnesto

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15

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ContrerasLpezlbertoJnezFerrAudifredHurtadVillalobosVelzntonioNavarretllermoGonzlezAlberto

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1

DIRECTORIO

M.C.JoaqunContrerasLpez

Director

M.I.TarsicioAudifredHurtadoSolrzano

SecretarioAcadmico

M.A.EnriqueVillalobosVelzquez

SecretarioAdministrativo

Dr.CarlosAlbertoJnezFerreira

CoordinadorAcadmicodelCursodeInduccin2015

Direccin:

AvenidaFranciscoJ.MjicaS/N,EdificioCPlantaBaja,CiudadUniversitaria,C.P.58030,Morelia,Michoacn.

Telfonos:

(443)3223500extensiones1133,1134y1135(443)3167205Fax(443)3167229


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2

CONTENIDO

PRESENTACIN.. 3

1 LGEBRA. 4

2TRIGONOMETRA................................................................

25

3 GEOMETRAANALTICA........................................... 49

4 FSICA.... 66


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3

PRESENTACIN

Laingenieraes,sinduda,unadelasprofesionesmsantiguas,locualsepruebacuandoanenla

actualidad sepuedenobservarvestigiosde civilizaciones como laegipcia, la romanay lamaya,

entreotras,quienesaplicaronsusconocimientosenlaconstruccindesistemasderiego,grandes

monumentosycaminos.

La ingeniera, en lo general, es una actividad profesional que usa el mtodo cientfico para

transformar,deunamanera racional, econmica yptima, recursosnaturalesen formastiles

paraelusodelhombreyeldesarrollode las sociedades.Enparticular, la ingeniera civilaplica

conocimientosdematemticas, fsica,qumicaygeologa,entreotrasreas,para laplaneacin,

construccin, operacin y mantenimiento de obras como presas, caminos, edificacin popular,

residencial,comercial,escolar,delasalud,industrial,urbanizacin,vasfrreas,puentes,sistemas

deriego,redesdeaguapotableyalcantarillado,entreotras.

Lasfuncionesprincipalesdelaingenieracivilson:desarrollodeproyectos,construccin,control,

operacin,mantenimiento,administracine investigacin.Tambincomprendeeldesarrollode

planesdeorganizacinterritorial,prevencindedesastres,controldetrficoytransporte,manejo

de recursos hdricos, servicios pblicos, tratamiento de residuos slidos y todas aquellas

actividades que garantizan el bienestar de la humanidad que requiere de las obras civiles

construidasyoperadasporingenieros.

Laspresentesnotaspretendenproporcionar,deunamaneraaccesible,partedelosconocimientos

bsicosquerequieren losaspirantesa ingresara laFacultadde IngenieraCivilde laUniversidad

Michoacana de San Nicols de Hidalgo. Contar con bases slidas, en lo que respecta a estos

conocimientos,permite cursardemaneraefectivadiferentesasignaturasque formanpartedel

Plan de Estudios vigente, lo que esperamos incida en un mejor aprovechamiento y, por

consiguiente,reducirelndicedereprobacinenlosprimerossemestresdelacarrera.


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4

1

LGEBRA

Quaprenders?

Recordars y manejars con fluidez los principales conceptos del lgebra: nmeros reales,expresiones algebraicas, exponentes, operaciones fundamentales con expresiones algebraicas,factorizacinysolucindeecuaciones.

Paraquteservir?

El adquirir conocimientos de conceptos y tcnicas del lgebra te permitir la simplificacin,planteamientoysolucindeproblemasquesepresentanen lasmateriasde lasdiferentesreasdeformacindelIngenieroCivil(matemticas,topografa,cienciasde losmateriales,estructuras,hidrulica,vasterrestres,etc.).

1.1 Conceptosfundamentales

El lgebra es la rama de las matemticas que estudia todas las cuestiones que se pueden

proponersobre lascantidades,enotraspalabras,es laramade lasmatemticasquetienecomo

objetodeestudio lageneralizacindelclculoaritmticomedianteexpresionescompuestaspor

constantes,parmetrosyvariables.

Unnmerosepuedeconceptualizarcomolaexpresindeunacantidad.Siaybdenotanelmismonmero,escribimosa=b,queseleeaesigualabysellamaigualdad.Lanotacina bsepuedeleercomoanoesigualaboaesdiferentedeb.Lanotacin sepuedeleercomoaesmayorqueb.Lanotacin sepuedeleercomoaesmenorqueb.Paraindicarqueunnmeroxespositivoseusalanotacin 0>x yparaindicarquexesnegativo

seescribe 0


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5

El conjuntode todos losnmeros sepuede clasificar,demanerageneral,ennmeros reales ynmeroscomplejos.EnlaFigura1.1semuestralaclasificacindelosnmerosreales.

Figura1.1Clasificacindelosnmerosreales

Nmero racional: es todo nmero que puede expresarse en la forma, en donde a y b son

nmerosenterosyb 0.Lasrepresentacionesdecimalesparanmerosracionalessonfinitas,ono

finitas pero repetitivas. Por ejemplo, 2, 1.25 y 3.218 3.218181818, son

nmerosracionales.

Enterospositivosonmerosnaturales:1,2,3,...

Enterosnegativos:1,2,3,...

Nmeropar:esunnmeroquealdividirseentre2elcocienteesunnmeroenteroyelresiduoes

cero.

Nmeroimpar:esunnmeroquealdividirseentre2elcocienteesunnmeroenteroyelresiduoes1.

Sia,bycsonnmerosenterosyc=ab,entoncesaybsonfactoresydivisoresdec.

Ejemplo1.1Culessonlosfactoresodivisoresdelnmero6?Solucin:Puestoque6=(2)(3)=(2)(3)=(1)(6)=(1)(6),entonceslosnmeros1,1,2,2,3,3,6y6sonfactoresydivisoresde6.

Nmeroprimo:esunnmeronaturalpdiferentede1cuyosnicosfactoresodivisoresson1yp.Porejemplo:7,13,23.

Nmeroscompuestos:sonlosnmerosnaturalesdiferentesde1yquenosonnmerosprimos.

Nmeros irracionales: son los nmeros reales que no son racionales, las representacionesdecimales de los nmeros irracionales son siempre infinitas y no repetitivas, por ejemplo, unnmeroirracionalcomnes 3.141592653589793

Nmeros

reales

Racionales

Enteros

Positivos(nmerosnaturales)

ParImpar

Primo

Compuesto

0

NegativosFracciones

Irracionales


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6

Si representaunnmeroreal,entonces:Unmonomioenesunaexpresinde la forma,endondeyn sonnmeros reales.Porejemplo,2,5y sonmonomios.Unbinomioeslasumadedosmonomios,porejemplo,2 .Untrinomioeslasumadetresmonomios,porejemplo,2 5.Unpolinomioenes lasumadecualquiernmerodemonomiosen.Acadaexpresinde laformatambinseleconocecomotrminoalgebraico.Unaexpresinalgebraicaesunacombinacindeliteralesynmerosligadosporlossignosdelasoperacionesdeadicin,sustraccin,multiplicacin,divisinypotenciacin.Elvalordeunaexpresinalgebraicaeselnmerorealqueresultaalsustituir las literalespornmerosrealesespecficosyrealizarlasoperacionesindicadas.Eldominiodeunaexpresinalgebraicaest formadoportodos losnmerosrealesquepueden

serasignadosalasliterales,detalformaquealrealizarlasoperacionesindicadasseobtengacomoresultadounnmeroreal.

Ejemplo1.2

Encontrarelvalordelaexpresinalgebraica 5 cuando 4eindicarsudominio.Solucin. 4 54 6 4 2 0 3 4 7, mientras que su dominio es el conjunto de todos losnmerosrealespositivos,esdecir,elconjuntodetodoslosnmerosrealestalesque 0.

1.2 Exponenciacin

Exponentesnaturales

Siesunnmeronaturalmayorque1, lanotacin ,representaelproductodelnmerorealmultiplicadovecesporsmismo.Laexpresinse leecomolaala.Alnmero natural se le llama exponente y al nmero real se le llama base. Las siguientesexpresionesejemplificanloanterior:

5 5 5 5 5 5 5 3 3337 777777

12 12

12

12

12

12


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7

Leyesdelosexponentes

Ley Ejemplo

1. 1si 0 3 12. 5 3. 22 2 2 1284. 3 3 3 7295. 2 3 2 3 8 2 7 2 1 6

6.

7.

,

2 2 4

7. ,

8.

9.

Laexpresin denotalarazensimaprincipaldelnmeroreal.Alnmerorealselellamaradicandoyelnmeronaturalesel ndicee indicaelordendelradical.Elsmbolo eselsignoradical.

Definicinde Seanunnmeronaturalmayorque1yunnmeroreal.1.Si 0 ,entonces 0.2.Si 0 ,entonces eselnmerorealpositivotalque .3.a)Si 0yes impar,entonces eselnmerorealnegativotalque .3.b)Si 0yespar,entonces noesunnmeroreal.

Exponentes

racionales

Sea un nmero racional positivo, donde es un nmero naturalmayorque 1. Si esunnmero real talque esunnmero real,entonces


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8

Leyesdelosexponentesfraccionariosoradicales

Ley Ejemplo

1. 5 52.

50 2 5 2 25 2 5 2 5 23.

4. 64 64 64 2 2

1.3 Simplificacinde

expresiones

Unade lasaplicacionesms importantesde las leyesde losexponenteses la simplificacinde

trminos y expresiones algebraicas donde aparecen fracciones. Simplificar un trmino o una

expresindondehayexponentesenterosdenmerosreales,significacambiarloporotroenelque

cadanmerorealapareceslounavezytodoslosexponentessonpositivos.

Ejemplo1.3

Simplificarlostrminosoexpresionessiguientes:

1 2 2 Delaley9delosexponentestenemos 2 Elevandonumeradorydenominadoralcubo

8 Efectuandooperacionesresulta2)

Sedisponencocientesdemodoquelosexponentesnegativosaparezcanenunafraccin

yaplicandoley9paraexponentesnegativos

84 Seaplicaley3deexponentesyseefectanoperaciones

2

Resultado3)320 6 4 5 Factorizandoelradicando

4 5 Delaley2delosradicales 4 5 Alaplicarlaley1obtenemos

4 5 Resultado


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9

Ejercicios

1. Simplificalostrminosoexpresionessiguientes

a)

3

22

63

4

32

4

30

15

2

ca

b

b

ca

Respuesta. 36cb

b)

2

2

324

3

43

2

8

2

a

ca

c

ba

Respuesta.6

1612

c

ba

c) ( ) ( )423235

yxyx

Respuesta.142yx

d) 21

53

4

8

ba

ba

Respuesta. 7

42

b

a

e)4

5

3

2

2

5

32

18

6

ba

cba

Respuesta.4

17

2

5

3

4

3b

ca

f)

2

33

329

cx

bx

Respuesta.66

10

81 cb

x

g)

2

1

2

1

2

1

42

1

23

3

22

1

z

yx

zx

zyx

Respuesta. 23

2

3

3

2yx

h)

aa

a

xx

bx2

4

1

412

3

1

3

9 Respuesta.

16227 bx a

i)5 592

5 1127

9

384

zyx

zyx

Respuesta. 523

42

y

z

y

xz

1.4 Operacionesconexpresionesalgebraicas

Sedicequeuntrminoalgebraicoessemejanteaotro,siambostienenexactamente lasmismasvariables elevadas exactamente a los mismos exponentes y solamente pueden diferir en losnmerosconocidosqueaparecencomocoeficientesendichostrminos.Se dice que un trmino algebraico es igual a otro, si ambos tienen exactamente las mismasvariableselevadasexactamentea losmismosexponentesy losnmerosconocidosqueaparecencomocoeficientesendichostrminostambinsoniguales.


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10

Jerarquadelasoperacionesentreexpresionesalgebraicas

En una expresin algebraica se efectan primero las operaciones entre parntesis, luego lasmultiplicacionesydivisiones,yfinalmentelassumasylasrestas.

Ejemplo1.4Simplificarlaexpresin 3 5 4 6 2 3 Solucin. 3 5 4 6 2 3 3 4 4 9 2 3 4 4 9 2 1 2 2 Ejemplo1.5Simplificarlaexpresin3 5 4 6 3 4 Solucin.3 5 4 6 3 4 36 4 3318 4 922 9

1.4.1 Adicinysustraccin

Para sumardosoms expresiones algebraicas,es recomendableobservar sistas tienenono

trminossemejantesoigualesyenelcasodequelostengansesumanentresdichostrminossi

tienensignosigualesyserestansitienensignosdiferentesy,elresultadollevaelsignodelmayor,

lostrminosnosemejantesseescribensinmodificacinalguna,alaplicarlasleyesopropiedades

adecuadas, se obtiene de esta manera la nueva expresin que llamaremos la suma de las

expresionesdadas.

Ejemplo1.6

Realizaremoslassiguientessumasoadiciones:

1) 2 3 2 2 3 2 Eliminandoparntesis 2 Sumandotrminossemejantes

2) 2 5 23 2 5 2 3 Eliminandoparntesisinteriores 2 2 3 Efectuandolasoperacionesdentrodecorchetes

2 2 3 Eliminandocorchetes 2 Efectuandooperacionescontrminossemejantes

3)

4 3 4 3 4 3 4 3

4 3 4 3 4 3 4 3Eliminandoparntesisinteriores

4 3 8 6 4 3 Efectuandolasoperacionesdentrodelossignosdeagrupacincorchetes

4 3 8 6 4 3 Eliminandocorchetes 4 4 3 3 Efectuandooperacionesdentrodelossignosdeagrupacinllaves 4 4 3 3 Eliminandollaves 0 Efectuandooperacionescontrminossemejantes


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11

1.4.2 Multiplicacin

Paramultiplicardosexpresionesalgebraicaspodemosutilizarlasmismasleyesdelasoperaciones

connmerosreales,ascomolasdelosexponentes.

Ejemplo1.7

Realizaremoslassiguientesmultiplicaciones:

1) Aplicandolaleydistributivaresulta2)4 53 2 43 42 53 52 Porlaleydistributiva

12 8 1 5 1 0 Delasleyesdeexponentes

12

7 1 0 Sumandotrminossemejantes.

3) Aplicandolaleydistributivaresulta Delasleyesdelosexponentes Simplificandolaexpresin

Existen ciertos productos que aparecen con mucha frecuencia y, por tanto, merecen especial

atencin,estosproductossonconocidoscomoproductosnotables.

Productosnotables

Diferenciadecuadrados 2 Binomioalcuadrado 2 3 3 Binomioalcubo

3

3

Diferenciadecubos Sumadecubos


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1.4.3 Divisin

Enmuchasocasionesesnecesariodividirunaexpresinentreotra,estosepuedehacerusandoun

algoritmoparecidoalqueseutilizaparadividirnmerosnaturalespero tomandoencuenta las

leyeso reglasde losexponentes.AldividirunaexpresinAentreotraB,haydiversas formasen

quepodemosdenotarestaoperacin:

i) ii) A/B

iii)

iv) B A

Cuando la expresin algebraica entre la que se divide (divisor) es un monomio, la forma ms

simplededividir,esusandolanotaciniii)ylasleyesdelosexponentesvistasconanterioridad.

Ejemplo1.8

Realizarlassiguientesdivisiones:

1)2 Dividiendounmonomioentreunmonomio,expresamosladivisinenlanotaciniii) 2 Aplicandoleyesdelosexponentes

2)

Dividiendocadatrminodelpolinomioentreelmonomio3 2 5 Aplicandoleyesdelosexponentes

Cuandolaexpresinalgebraicaentrelaquesedivide(divisor)esunbinomio,laformamssimple

dedividir,esusandolanotaciniv)ylasleyesdelosexponentesvistasconanterioridad.

Ejemplo1.9

Realizarladivisin

,utilizandoladivisinlarga

3 3 1 Sedivideelprimertrminodeldividendoentreelprimertrminodeldivisorparaobtenerelprimertrminodelcociente

1 4 6 4 1

Semultiplica

por

1 3 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneelsegundotrminodelcociente

3 3 Semultiplica3por 1 3 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneeltercer

trminodelcociente

3 3 Semultiplica3por 1 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneelcuarto

trminodelcociente

1 Semultiplica1por 1 0 seobtieneelresiduo0alefectuarlarestayseterminael

procesodedivisin


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13

Paraobtenerelprimer trminodelcociente,sedivideelprimer trminodeldividendoentreelprimertrminodeldivisorysealineaconel trminosemejante.Acontinuacinsemultiplicaeltrmino colocado en el cociente por el divisor y el resultado se anota abajo del dividendo

alineando trminos semejantes. Se efecta la resta correspondiente para obtener un nuevodividendo.Serepitenlospasosanterioreshastaobtenerelresiduoiguala0ounaexpresincongrado menor al grado del divisor. Si el residuo es cero, se dice que la divisin es exacta y eldividendosepuedeexpresarenlaforma(Dividendo)=(Cociente)(Divisor)

Cuandolaexpresinalgebraicaentrelaquesedivide(divisor)esuntrinomio,laformamssimple

dedividir,esusandolanotaciniv)ylasleyesdelosexponentesvistasconanterioridad.

Ejemplo1.10

Realizarladivisin ,utilizandoladivisinlarga

2 1 Sedivideelprimertrminodeldividendoentreelprimertrminodeldivisorparaobtenerelprimertrminodelcociente

2 1 4 6 4 1 2 Semultiplicapor 2 1

2 5 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneelsegundotrminodelcociente

2 4 2 Semultiplica2por 2 1 2 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneeltercertrminodelcociente 2 1 Semultiplica1por 2 1

0 Se obtiene el residuo 0 al efectuar la resta y se termina elprocesodedivisin

Puesto que la divisin es exacta, el dividendo se puede expresar en la forma(Dividendo)=(Cociente)(Divisor)

Dividendo Cociente Divisor Residuo 4 6 4 1 2 1 2 1 0

Ejercicios

1)Encuentralasumadelasexpresiones 5 3 3 , 4 Respuesta. zyx 7

4

9

3

16+

2)Restalaexpresin 5 3 3 delaexpresin 4 Respuesta. zyx

4

15

3

14

3)Alaexpresin 5 3 3 rstalelaexpresin 4

Dividendo Cociente Divisor Residuo 4 6 4 1 3 3 1 1 0


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14

Respuesta. zyx ++4

15

3

14

4)Elevaalcuadradolaexpresin

Respuesta.

2222 2 ybabxyxa ++

5)Elevaalcuadradolaexpresin Respuesta. 2222 2 ybabxyxa + 6)Elevaalcuadradolaexpresin3 5 Respuesta. 4248 25309 bbaa + 7)Realizalasiguientemultiplicacin .Respuesta.

22 )( beyxybcaeacx +++

8)Realizalasiguientemultiplicacin 3 3. Respuesta. 410 9yx 9)Elevaalcubolaexpresin Respuesta. 3223 33 yxyyxx + 10)Efectalasiguientemultiplicacin .Respuesta. 33 yx + 11)Dividelaexpresin4 entreelmonomio2. Respuesta. 42x 12)Divideelpolinomio

410

512

1215entre

3.

Respuesta.ax

4

3

5

3

13++

13)Divide4 6 4 993 4 2 entre.Respuesta. 124399464 223223 ++++ hxhxhxhxhhxx

14) Divide el polinomio de cuarto grado 46 4 1 entre el binomio de primergrado 1. Respuesta.

1

1615115 23

++++

xxxx

15)Divideelpolinomiode cuartogrado 46 4 1entreel trinomiode segundogrado

2 1. Respuesta.

12

1632176

2

2

+

+++

xx

xxx

16) Divide el polinomio de cuarto grado 46 4 1 entre el trinomio de tercergrado3 1. Respuesta.

13

2531

23

2

+

++++

xx

xxx

17)Divideelbinomiodetercergrado entreeltrinomiodesegundogrado .Respuesta. yx 18)Divideelbinomiodetercergrado entreelbinomiodeprimergrado .Respuesta.

22yxyx +

1.5 Factorizacin

Alprocesodeexpresarunasumadetrminoscomounproductodepolinomios irreductiblesse

llamafactorizacin.

Ejemplo1.11

Factorizarelbinomiox29.

Solucin.

9 3 3 , pueslosbinomios 3y 3sonfactoresde 9.


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15

La factorizacin desempea un importante papel en matemticas porque permite reducir el

estudiodeunaexpresincomplicadaaldevariasexpresionesmssencillas.Las frmulasde los

productosnotablesresultanmuytilescuandoseefectalafactorizacin.

Ejemplo1.12

Factorizarcadaunadelassiguientesexpresiones:

1 25 49 5 7 Expresando comoladiferenciadedoscuadrados 5 7 5 7 Delafrmuladeunadiferenciadecuadrados

tenemos

2 8 27 2 3 Expresando comoladiferenciadedoscubos2 34 6 9 Aplicandolafrmuladeunadiferenciadecubos

3 3 2 1 2 8 3 2 128 Agrupandotrminos 3 2 432 Encontrandofactorescomunes 43 2 Expresandocomofactores 2 2 3 2 Aplicandolafrmuladediferenciadecuadrados

Alrealizarlafactorizacindeuntrinomiodelaforma ,donde, y ,sonnmerosenteros,sedebeconsiderarsieltrinomiocuadradoesperfectoonoloes,siloes,sefactorizaen

unbinomioalcuadrado,encasocontrariosefactorizaenunproductodedosbinomiosdistintos

deprimerorden.

Paraobteneruntrinomiocuadradoperfectoenprimerainstanciasedebeobtenerlarazcuadrada

tantodelprimer trmino comodel tercerodel trinomio, los cuales sernelprimery segundo

trminodelbinomioalcuadrado,posteriormentesedebemultiplicarpordoselresultadode las

raices del primer y tercer trmino del trinomio, el cual debe ser el mismo valor del segundo

trminodel trinomioparaque seacompletado, finalmenteel signodelbinomio serpositivo si

ambossignosdelsegundoytercertrminosdeltrinomiosontambiensonpositivos,ynegativoen

casodequeelsignodelsegundotrminodeltrinomioseanegativo.

Ejemplo1.13

Factorizareltrinomio

9

3025.

Solucin. 9 3025 3 5

En caso de que el trinomio cuadrado no sea perfecto, existen dos formas muy utilizadas para

factorizar,unaescuandoelcoeficientedelprimertrminodeltrinomioesdevalor1.Ahoraserequiere buscar dos valores que, multiplicados entre s, proporcionen el valor del tercer

coeficientedeltrinomio,esdecir,yquelasumadeambosvaloresdecomoresultadoelmismovalordelsegundocoeficientedeltrinomio,estoes.Posteriormentesecoloca lavariablecomoprimertrminodecadabinomio,losdosvaloresencontradosserepartencomosegundotrmino

de cadabinomio. Los signosde estos valores seobtienende la siguientemanera, el signodel


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16

segundotrminodeltrinomioeselsignodelprimervalordelbinomioyporlasleyesdelossignos

al multiplicarse los signos del segundo y tercer trminos del trinomio se obtiene el signo del

segundobinomio.

Ejemplo1.14

Factorizareltrinomio 7 1 2.Solucin.

7 1 2 4 3Otro caso es cuando el coeficiente 1, ahora se trata de multiplicar los valores y deltrinomioy coneste resultado sedebernencontrardos factoresque sumadosproporcionenel

valordelsegundotrminodeltrinomio,queesyquemultiplicadosresulteenelvalordeltercertrmino del trinomio. Posteriormente se coloca el primer trmino del trinomio como primer

trminodecadabinomio,losdosvaloresencontradosserepartencomosegundotrminodecadabinomio, los signosde estos valores seobtienende forma similar a ladescrita anteriormente.

Finalmentesesimplificaelproducto.Sedebetomarencuentaquealfactorizar lostrinomiosen

realidad lo que se requiere encontrar son las races de polinomios por lo que la ecuacin es

igualadaacero.

Ejemplo1.15

Factorizareltrinomio6 7 3.Solucin.

63 18

6 962

Semultiplicaprimerytercertrmino

6 7 3 2 331 Sesimplificaelproducto.

Ejercicios

1. Factorizarysimplificar,siesposible,cadaunadelassiguientesexpresiones.

1 49 Respuesta. ( )( )yxyx 3232 + 2)416 Respuesta. ( )22 44 yx +

3 4

129 Respuesta. ( )232 yx

4)4 1616 Respuesta. ( )242 yx+ 5 827 Respuesta. ( )( )22 96432 yxyxyx ++ 6 827 Respuesta. ( )( )22 96432 yxyxyx ++ 7 1681 Respuesta. ( )( )( )22 943232 yxyxyx ++ 8 6128 Respuesta. ( ) 32yx 9 5 1 3 6 Respuesta. 5 35 2

10 Respuesta.


18/96

17

11 Respuesta.

12

Respuesta.13

Respuesta.

1.6 Planteamientoysolucindeecuacioneslinealesconunaincgnita

Unaecuacineselenunciadoenelquedoscantidadesoexpresiones,dondeaparecenunaomsliteralesconocidascomoincgnitas,soniguales,esdecir

dcxqpx +=+

Sienunaecuacinsloapareceunaincgnitaystatienecomoexponente1,sellamaecuacinlinealconunaincgnita.Unaecuacinlinealconunaincgnitasepuedeescribirenlaforma

0,dondeysonnmerosrealescon 0.La solucin de una ecuacin lineal es un nmero tal que produce una igualdad correcta alsustituirloporlaincgnitadelaecuacinyrealizarlasoperacionescorrespondientes.Resolveruna

ecuacinlinealensignificahallarelvalordequehaceverdaderalaigualdaddelaecuacin.Al sumar, restar, multiplicar o dividir una cantidad o expresin a ambos miembros de unaecuacin, se obtiene una ecuacin equivalente. Una forma de resolver una ecuacin esencontrando ecuaciones equivalentes cada vez ms sencillas de resolver, siempre que lassoluciones de stas sean las mismas que para la ecuacin original. Si obtenemos ecuaciones

equivalentesde laecuacin 0, llegamosaque ,siempreque 0,portanto,unaecuacinlinealtieneexactamenteunasolucin.

Ejemplo1.16Resolverlassiguientesecuaciones:

1)6 7 2 5 6 7 7 2 5 7 Sumando7aambosmiembrosdelaecuacin6 2 1 2 Simplificando

6 2 2 1 2 2 Restando2aambosmiembrosdelaecuacin4 1 2 Simplificando44

124 Dividiendoentre4

3 Simplificando


19/96

18

2) 8 23 4 4 361 24 3 2 6 8 2 4 4 1 8 3 Efectuandomultiplicaciones

24 2 6 8 2 4 1 4 3 Simplificando24 2 6 8 2 4 24 1 4 3 2 4 Restando24aambosmiembrosdelaecuacin

2 6 8 1 4 3 Simplificando2 6 8 1 4 1 4 3 1 4 Restando14

1 2 8 3 Simplificando 1 2 8 8 3 8 Sumando8

1 2 5 Simplificando1212

512 Dividiendoentre12

Simplificando

3)

1 3

2 2 1 2 6

2 2 Multiplicandopor 2

3 2 6 Simplificandosi 2 03 4 Quitandoparntesisysimplificando

3 4 Restandox2 4 Simplificando22

42 Dividiendoentre2ysimplificando

2

Alsustituir 2 enlaecuacinoriginalseobtienendenominadoresigualacero,porlotanto,elnmero2noessoluciny

laecuacindadanotienesolucin.Cuandoestoocurresediceque el2esunarazosolucinextraa.

Ejemplo1.17Cincoveceselpesodeunacolumnadeconcretoparaciertaobraportuariadebeserigualacuarentayochotoneladasmselpesodeunacolumna.Encontrarelpesodeunacolumnadeconcreto.Solucin.Seaelpesodeunacolumnadeconcreto,entonces:

xx += 485 484 =x 1 2 ton


20/96

19

Ejemplo1.18Enelmomentodeescribiresteproblema,laedadactualdelpuentedeCuitzeomseltripledelaedadquetenahacecatorceaosesigualaltripledesuedadactualmenostres,cuntosaostieneahoraelpuente?Solucin.

Sealaedadactualdelpuente,entonces:( ) 33143 =+ xxx 34234 = xx 3 9aos

Ejemplo1.19Lasumadedosnmerosnaturalesconsecutivosestrece.Encontrarlosdosnmeros.Solucin.Seany 1,losnmerosnaturalesbuscados,entonces:

( ) 131 =++ xx 122 =x

716 =+= xyx

Ejemplo1.20Lasumadedosnmerosnaturalesparesconsecutivosestreintaycuatro.Encontrarlosdosnmeros.Solucin.Sean2y2 2,losnmerosnaturalesbuscados,entonces:

( ) 34222 =++ xx 324 =x

1822162 =+= xyx

Ejemplo1.21Elmayordedosnmerosnaturales imparesconsecutivoses igualacatorcemenosunterciodelmenorde

ellos.Encontrardichosnmeros.Solucin.Sean2 1y2 3,losnmerosnaturalesbuscados,entonces:

( )123

11432 +=+ xx

124296 =+ xx 328 =x

4=x 1132912 =+=+ xyx

Ejemplo1.22

Antoniovendivarillacorrugadaparaconstruirelalmacenprincipaldeuna fbrica textil.El lunesvendiciertacantidaddevarillas,elmartesladuplic,elmircoleslatriplicyeljueveslacuadruplic.SiAntoniovendi untotaldeochentavarillas,cuntasvendicadaunodelosdasmencionados?Solucin.SeaelnmerodevarillasvendidasporAntonioeldalunes,entonces:

80432 =+++ xxxx 8010 =x

8=x 324243,162,8 ==== xyxxx


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20

Ejemplo1.23Cincoveceslacantidaddelitrosconsumidosdeaguaenciertaobrahidrulicadebeseriguala48litrosmslacantidaddelitrosconsumidos.Encontrarlacantidaddelitrosconsumidosdeagua.Solucin.

Sealacantidaddelitrosconsumidosdeagua,entonces:5 4 8 4 4 8 1 2litrosEjemplo1.24Lasumadedosnmerosenterosparesconsecutivosesmenostreintaycuatro.Encontrarlosnmeros.Solucin.Sean2y2 2losnmerosenterosbuscados,entonces:

( ) 34222 =++ xx 364 =x

1622182 =+= xyx

Ejemplo1.25Elmayordedosnmerosenteros imparesconsecutivoses igualamenosdieciochomenosun terciodelmenordeellos.Encontrardichosnmeros.Solucin.Sean2 1y2 3losnmerosnaturalesbuscados,entonces:

( )123

11832 +=+ xx

125496 =+ xx 648 =x

8=x

13321512 =+=+ xyx

Ejercicios

1) Resuelvecadaunadelassiguientesecuaciones.

3 18 Respuesta. 9=x 2 18 48 Respuesta. 15=x 6746 3 0 8 6746 50 Respuesta. 86=x

3 50 850 Respuesta. 200=

x

6 59 78 4 Respuesta.10

19=x

2 25 8 1 0 8 6 2 Respuesta.19

98=x

2)Resuelvecadaunodelossiguientesproblemas.

a)ElaeropuertodelaCiudaddeMxicotieneeldobledeedadqueeldeMonterreymsdieciochoaos,si laedaddelaeropuertode laCiudaddeMxicoesdecuarentayochoaos, cules laedaddelaeropuertodeMonterrey?Respuesta:LaedaddelaeropuertodeMonterreyesde15aos.


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21

b) Encontrar un nmero tal que si se le suma dieciocho el resultado queda igual al triple delnmero.Respuesta.Elnmerobuscadoes9.

c)LaedadactualdelacarreteradePatzcuaroesigualaldoblequeladeQuiroga.Hace15aoslaedadde lacarreteraaPatzcuaroeraeltripleque ladeQuiroga.Encuentra laedadactualde lasdos carreteras. Respuesta.La carretera a Quiroga tiene actualmente 30 aos, mientras que lacarreteraaPatzcuarotiene60aos.

d)Un grupode catorceobreros tuvieronunpequeoaccidenteen la construccin,por loquetenanun ligeroadeudoconlacompaa.Dosdeellosnotraandineroenesemomento,asquepara cubrir el dao causado por todos, acordaron que doce de ellos pagaran lo que lescorresponde pagar a cada uno ms $300. Cunto es lo que debera pagar cada obreroindividualmentealpatrn?Respuesta.$1,800pesos.

e)Hallartresnmerosenterosconsecutivoscuyasumaseamenossetentaycinco.Respuesta.Losnmerosbuscadosson26,25y24.

f)Tressociosdeunamicroempresadelramodelaconstruccinrecibenelpagoporunproyectogubernamentalde6mesesdeacuerdoa sus serviciosde ingeniera,el cual fue repartidode lasiguiente manera: el primero recibi cierta cantidad, el segundo recibi seis mil setecientoscuarentayseispesosmsqueelprimero,eltercerorecibicincomildoscientospesosmsqueelsegundo. Si el monto total por el proyecto fue de cuatrocientos treinta y un mil pesos y seentregaron ciento veintitrs milpesos por impuestos al fisco, cunto recibi elprimer socio?Respuesta.Recibi$96,436pesosdesalarionetolibredeimpuestos.

g) Suponiendo que el tiempo de fraguado de una columna de concreto en condicionesambientalesdelcentrode laRepblicaenprimaveraesdeunterciodeunacolumnadelmismomaterialen lacostadeGuerrero,ysi lasumade lostiemposdefraguadodeambascolumnasesdetreintaydosdas,cuntotardacadacolumnaenfraguar?Respuesta.Laprimercolumnatarda8dasylasegunda24das.

1.7 Planteamientoysolucindeecuacionesdesegundogradoconunaincgnita.

Cualquierecuacinequivalenteaunadelaforma:

0en laque, y representannmeros reales,donde 0, se le llama ecuacinde segundogradoconunaincgnitaconcoeficientesreales.

Teoremadelfactorcero Siysonexpresionesalgebraicas,entonces 0siyslosi 0 obien 0


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22

Las soluciones de una ecuacin de segundo grado con una incgnita se pueden encontrar

mediante el uso de la factorizacin, utilizando el teorema del factor cero, completando el

cuadradoodirectamenteusando la frmulacuadrtica,obtenidaalcompletarelcuadradoen la

ecuacin 0.Frmulacuadrtica Si 0, lasracesosolucionesde 0estn

dadaspor

42

42

Elnmero 4se llamadiscriminantede laecuacincuadrticaysirveparadeterminar lanaturalezadelasracesosolucionesdelaecuacin.Valordeldiscriminante

Naturalezadelasracesde

Valorpositivo

Cero

Valornegativo

Dosracesrealesydiferentes

Unarazdemultiplicidad2,esdecir, Nohayrazreal

Ejemplo1.26Resolverlassiguientesecuaciones:

1)3 1 0 Resolviendoporfactorizacin3 1 0 1 0 1 0

Sumando 1 03 1 0 0

Simplificando

3 5 2 0Factorizando

3 5 0, 2 0 Porelteoremadelfactorcero ,

2

Despejandoobtenemoslassoluciones

2) 5 3 0 Resolviendocompletandoelcuadrado 5 3 3 0 3 Restando3 5 3 Simplificando

5 52 352

Completandoelcuadradosumando

aamboslados


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23

52 134 Factorizandoysimplificando

Sacandorazcuadradaaambosmiembros

Sumando

Simplificando

,

Soluciones

Ejercicios

1)Resolvercadaunadelassiguientesecuaciones.

a) 4 4 42 192 Respuesta. 12,8 21 == xx b) 7 1 2 0 Respuesta. 8,15 21 == xx c) 1 2 1 0 Respuesta. 14,15 21 == xx d)7 0 1 0 0 13000 Respuesta. 30,200 21 == xx

e) Respuesta.

32

95313,

32

9531321

+=

= xx

Ningunodelosdosesnmeroreal.

2)Resolverlossiguientesproblemas.

a)Lasumadeunnmeroysuinversomultiplicativoes6

13.Culeselnmero?

Respuesta.Existendosnmerosquesatisfacenlosolicitado,stosson:3

2y

2

3.

b)Uningenierocivilconstruyunabardaperimetralenunafincarectangularquetiene750m2dereay110mdepermetro.Culessonlasdimensionesdelafinca?

Respuesta.Ancho=25m,Largo=30m

c)Un topgrafoes contratadoporunejidatariopara realizareldeslindedeun terreno con lassiguientescaractersticas:ellargodelterrenoes40mmslargoqueelancho, luegoelejidatariodecidetriplicarelreadefinidainicialmente,porlotanto,compra40mmsdeanchoy80mmsdelargo.Culessonlasdimensionesfinalesdelterrenocompradoporelejidatario?

Respuesta.Ancho=100m,Largo=180m


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24

d) La suma de los primeros n nmeros naturales est dada por la frmula2

)1( +=

nnS .

Cuntosnmerosnaturales consecutivos, iniciando conel1,hayque sumarparaque la suma

resultanteseaiguala465?Respuesta.Sedebensumarlosprimeros30nmerosnaturales.

e) Se sabeque la sumadedosnmeros realesesuno yqueelproductode sus cuadrados estambinuno,hallartalesnmeros.

Respuesta.Losnmerosbuscadosresultanser2

51+y

2

51

f)Paracalcularlacantidaddevarillasnecesariasparareforzarunavigadeconcretodeunedificio,lacualseencuentrasujetaaflexinsimple,esnecesarioencontrarelmenorvalorpositivoparaen la expresin 0.152410.59, este resultado se debe multiplicar por 96.4286 paraobtenerelreadeacero,en,necesariapara reforzar lavigaencuestin.Cuntareadeaceroesnecesariaparareforzar laviga?SiunavarillaNo.6(3/4)aporta2.85 yunavarillaNo.8(1)aporta5.07 Cuntasvarillasydequnmeroutilizarasparareforzarlaviga?Respuesta.16.30


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2

TRIGONOMETRA

Quaprenders?

Losconceptosbsicosdelatrigonometra.

Paraqutevaaservir?

Manejaradecuadamenteconceptosdelatrigonometratepermitirresolverunagrancantidadde

situaciones que se presentan en reas del desempeo de la ingeniera civil tales como la

Topografaylas VasTerrestres,entreotras.

La trigonometra es la ramade lasmatemticasqueestudia las relacionesentre los ladosy los

ngulosde lostringulos.Lasprimerasaplicacionesde losconocimientosde latrigonometrase

hicieronenelarte,laingenieramilitar,lanavegacin,laconstruccindecaminos,laagrimensuraylaastronoma,enlasqueelprincipalproblemaeradeterminarunadistanciaounnguloqueno

podansermedidosdeformadirecta.Otrasaplicacionessepuedenencontrarenlafsicayencasi

todas las ramas de la ingeniera. En el campo de la ingeniera civil, la trigonometra es de

fundamental importancia en reas como la Topografa, la cual proporciona herramientas para

representarydescribirlasuperficiedeunterreno.

2.1ngulos

Elconceptotrigonomtricodenguloesfundamentalenelestudiodelatrigonometra.Unngulo

trigonomtricosegeneraconunradioquegira.LosradiosOAyOB,mostradosenlaFigura2.1,se

consideran inicialmentecoincidentesconOA.ElradioOBgirahastasuposicinfinal.Elnguloesentonceslaaberturaqueexisteentrelosdosradios.


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26

Figura2.1Representacindeunngulo.

Lamedidadeunngulosereporta,convencionalmente,conunnmeropositivosisegenerancon

unradioquegiraenelsentidocontrarioalasagujasdelreloj,yunnmeronegativosilarotacin

esenelsentidodelasagujasdelreloj(verFigura2.2).

Figura2.2Convencindesignosenmedidasdengulos.

En lamedidadengulos,seempleanvariostiposdeunidades,sibien lamsutilizadaen lavida

cotidianaeselGradoSexagesimal(unacircunferenciasedivideen360),enmatemticasesmuy

utilizado el Radin (en una circunferencia completa hay 2 radianes, recordando que valeaproximadamente3.141592654),ysedefinecomolaunidadnaturalparamedirngulos.

2.1.1Gradossexagesimales

Como se ha mencionado, las unidades de medida de ngulos ms conocidas son los Grados

Sexagesimales,seexpresancomoDEGoDenlascalculadoras,ysepuedenrepresentarpormediodeGrados(),Minutos(,)ySegundos(,,),porejemplo,201535.Estetipodemedidasestbasadoen ladivisinen360partes igualesdeunacircunferencia.Enadelante,por simplicidad,llamaremos solamentegradosa losgrados sexagesimales.En laFigura2.3 semuestranalgunosnguloscomunesconmedidasengradossexagesimales.


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27

Figura2.3Medidasdenguloscomunesengradossexagesimales.

Ejercicios

1)Losngulos interioresdeuncuadriltero suman360.Siunode susngulosmide128,otromidelacuartapartedestey untercerngulomide93,cuntomideelngulofaltante?Respuesta.Seaelngulofaltante,entonces 1 0 7 .2)Dosngulosestnenrazn6a7.Sielmenormide30,cuntomideelotrongulo?Respuesta.Seaelotrongulo,entonces 3 5 .3) Los ngulos interiores de un tringulo suman 180. Si uno de los ngulos interiores de untringulomide25yotromideeldobledeste,cuntomideelngulointeriorfaltante?Respuesta.Sea

elngulointeriorfaltante,entonces

1 0 5 .

4)Dosngulossuplementariossonaquelloscuyasumaesiguala180.Encuentralamedidadedosngulossuplementariossisesabequeestnenunaraznde5a7.

Respuesta.Sean y losngulossuplementariosmencionados, 7 5 y 1 0 5 .5)Dosnguloscomplementariossonaquelloscuyasumaes iguala90.Encuentra lamedidadedosnguloscomplementariossistosestnenunaraznde2a3.

Respuesta. Sean y los ngulos complementarios mencionados, entonces: 3 6 y 5 4 .

6)Sisesabequeunode losngulos interioresdeuntringulomide20,cuntomidecadaunodelosotrosdos,sieldobledeunomenoselotroesiguala50?

Respuesta.Sean y losngulosdesconocidos,entonces: 7 0 y 9 0 .7)Si, y sonlosngulosinterioresdeuntringuloysesabequeeldoblede ms esiguala145 y el ngulo es igual a ms 5, Cunto mide cada uno de los ngulos interiores deltringulo?Respuesta. 3 5 , 7 0 y 7 5 .


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28

2.1.2 Radianes

Existeotramedidapara losngulos llamadaRadin (rad) yes launidaddenguloplanoenel

Sistema Internacional de Unidades (SI), que se expresa como RAD o R en las calculadoras. ElRadinsedefinecomolaunidaddemedidadelngulocentralsubtendidoporunarcodelongitudigualalradiodelacircunferencia.As,sielarcoABdelaFigura2.4,tieneunalongitudigualqueelradiordelacircunferenciadada,entoncessedicequeelngulo tienelamedidadeunradin(1rad).

Figura2.4Representacingrficadeunradin.

EnlaFigura2.5semuestranalgunosnguloscomunesconmedidasenradianes.

Figura2.5Medidasdenguloscomunesenradianes.

La medida de cualquier ngulo expresada en radianes est dada por la longitud del arco decircunferenciaquelosubtiende,divididoporlalongituddelradio,esdecir

(2.1)donde es lamedidadelnguloen radianes subtendidoporelarcode circunferencia, Ses lalongituddeestearcoyreslalongituddelradio(verFigura2.6).


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Figura2.6Longituddearcodeunacircunferencia

Conbaseen loanterior, sepuede calcular la longituddeunarcode circunferencia; slobastamultiplicar la longitud del radio por la medida del ngulo en radianes, lo que a partir de laecuacin(2.1)sepuedeexpresarcomo

S r (2.2)Ejemplo2.1Calcularlalongituddelarcodeunacircunferenciaconradiode4cm,limitadoporunngulo 2.5 rad.Solucin.Utilizandolaecuacin(2.2)ysustituyendosetieneque

S 4.002.50 10.00 cmEjemplo2.2Calcularelnguloentre losdosradiosquesubtiendenunarcode30cmde largodeunacircunferenciaderadiode25cm.Solucin.Utilizandolaecuacin(2.1)ysustituyendosetieneque

30.0025.00 1.20 radTambin,sepuededeterminarelreadeunsectorcircular(Figura2.7)apartirdelalongituddesu radioy lamedidaexpresadaen radianesdelnguloquedeterminadichosectormediante lasiguienterelacin:

A r (2.3)DondeA es el readel sector circular, r es la longituddel radio de la circunferencia y es lamedidaexpresadaenradianesdelnguloquedeterminaelsectorcircular.

Figura2.7readeunsectorcircular.


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30

Ejemplo2.3Calcularelreadelsectorcirculardeunacircunferenciacon radiode20cm,determinadaporunngulo 3.1416 rad.Solucin.

Utilizandolaexpresin(2.3)ysustituyendovalores,setiene

12 203.1416 628.32

Ejercicios

1)Encuentralalongituddearcoyelreadelsectorcircularparacadaunodeloscasossealados.

a)r=20cm, 3.5 rad. Respuesta.70cmy700cm2b)r=12km, 4 rad. Respuesta.3 kmy18 kmc)r=200m,

2 rad. Respuesta.

100my

10000 m

2)Si se conoce la longituddelarcoyel radiode lacircunferencia,calculaelngulomedidoenradianesparacadaunodeloscasossealadosacontinuacin:

a) r=25cm,S=10cm. Respuesta. 0.40 rad.b) r=15m,S=90cm. Respuesta. 0.06 rad.c) r=2km,S=6283m. Respuesta. 3.1415 rad.

3) Lospuntos A yB estnubicados en la superficiede la Tierra. Si el dimetrodelplaneta esaproximadamentede12754km,determina ladistanciaentreAyB, sielngulo formadoporestospuntosyelcentrodelaTierratienelassiguientesmedidas:

a) 3 rad. Respuesta.S 6677.98 km.b) 0.017 rad. Respuesta.S 108.41 km.c) 6 rad. Respuesta.S 3338.99 km.

2.1.3 Relacinentregradossexagesimalesyradianes

Si,en laexpresin(2.1),Ssesustituyeporelpermetrode lacircunferencia,esdecirporS 2 r,seconcluyeque lamedidaenradianesdelngulocorrespondienteaungirocompletodelradiodeunacircunferenciaestdadopor

2rr 2 radEntonces, 2 rad corresponde a la medida del ngulo de un giro completo del radio de unacircunferencia,de lamismamaneraque360 correspondea lamedidadedichongulo,por lotanto

2 rad360 (2.4)


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31

Aldividir360entre2sepuedeverqueunradinesaproximadamente57.2958.Enaplicacionesprcticassetomanlassiguientesaproximaciones

1rad=57.3 (2.5)1=0.01745rad (2.6)

2.1.4 Conversindengulos

Comosemencionanteriormente,unamaneradeexpresar lamedidadeunnguloesmediantelos grados sexagesimales (grados, minutos y segundos), por ejemplo, un ngulo expresado engrados,minutosysegundoses154030.Esnecesariomencionarqueungradocontiene60minutos y a su vezunminuto contiene 60 segundos. El ngulode ejemplo, tambin sepuedeexpresarnicamenteengrados,entalcaso,losminutosylossegundosseconviertenendecimalesrepresentandolafraccindegradoquecorresponda.Deestamanera,elngulo

154030se

puedeexpresarcomo15.675haciendolassiguientesoperaciones:1. Sedividenlossegundosentre60yelresultadosesumaalosminutos.2. Sedividenlosminutosresultantesdelaoperacinanteriorentre60yelresultadosesuma

alosgrados.

Ejemplo2.4Convertiragradoselngulo=1401536Solucin.Dividimoslos36entre60

36/60=0.6

Esteresultadosesumaalos15

15+0.6=15.6

Ahoraelnguloquedaexpresado14015.6.Dividimoslos15.6entre60

15.6/60=0.26

Esteresultadosesumaalos140quedandofinalmente

=140.26

Paraconvertirdegradosagrados,minutosysegundosseprocedecomosigue:

1. Setomalaparteenteracomogrados2. Semultiplicanlosdecimalespor60ylaparteenteradelresultadoseexpresaenminutos.3. Losdecimalesqueresultarondelamultiplicacindelpasoanteriorsevuelvenamultiplicarpor60yelresultadoseexpresaensegundos.

Ejemplo2.5Convertiremosagrados,minutosysegundos =143.685Solucin.Escribimoslosenteroscomogrados,esdecir143ymultiplicamoslosdecimalespor60


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32

(0.685)(60)=41.1

Escribimos los enteros del paso anterior como minutos 143 41, posteriormente, multiplicamos losdecimalespor60

(0.1)(60)=06

Escribimoselresultadodelpasoanteriorcomosegundos,quedandofinalmente

=1434106

Losgradossexagesimalesylosradianessonunidadesangularesdiferentes,perosepuedehacerlaconversin de unos a otros. Los ingenieros y tcnicos utilizan ms los grados, mientras que lamedidaenradianesseusaenreascomoenelclculo,debidoalamayorsimplicidaddeciertosresultados.

Para cambiar un ngulo expresado en grados a radianes o viceversa, se pueden realizar lassiguientesoperaciones:

1. Degradosaradianessemultiplicapor

2. Deradianesagradossemultiplicapor

Ejemplo2.6Convertir=90aradianesSolucin.

90 1.57 radEjemplo2.7Convertir=571745aradianesSolucin.Primeroconvertir571745agradoscondecimales

45/60=0.755717.75

17.75/60=0.2958=57.2958

Ahorayapodemosconvertir57.2958aradianes

57.2958 rad180 1.00 radEjemplo2.8Convertir=0.2748radianesagradosSolucin.

0.2748 rad 180 rad15.7449Ejemplo2.9Convertir=3.655radianesagrados,minutosysegundosSolucin.


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Primeroconvertiremosagrados

3.655 rad 180

rad209.416

Paradespusconvertirstosagradosminutosysegundos,segnseexplicanteriormente:

2092457.60

Ejercicios

1)Convierteagrados,minutosysegundoslossiguientesngulosexpresadosenradianes.

a)

3.1416 rad. Respuesta.

1800001

b) 0.75 rad. Respuesta.425818.60c) 0.0625 rad. Respuesta.33451.55d) 5.2865 rad. Respuesta.3025338.90

2)Conviertearadianeslossiguientesngulosexpresadosengrados,minutosysegundos.

a)374100. Respuesta. 0.6577 radb)1152627. Respuesta. 2.0148 radc)2883952. Respuesta. 5.0381 radd)830018. Respuesta. 1.4487 rad

3)Encuentralalongituddearcoyelreadelsectorcircularparacadaunodeloscasossealados.

a)r=20cm, =2.5rad. Respuesta.S=50cmyA=500cm2b)r=12km, =17.256. Respuesta.S=3.61kmyA=21.68km2c)r=200m, =3052503. Respuesta.S=1066.11myA=106611m2

4)Si se conoce la longituddelarcoyel radiode la circunferencia, calculaelnguloengrados,minutosysegundosparacadaunodeloscasossealadosacontinuacin:

a)r=25cm,S=75cm. Respuesta.1715314.42b)r=15m,S=75cm. Respuesta.25153.24c)r=2km,S=12566.37m. Respuesta.

3595959.94

5) Lospuntos A yB estnubicados en la superficiede la Tierra. Si el dimetrodelplaneta esaproximadamentede12754km,determina ladistanciaentreAyB, sielngulo formadoporestospuntosyelcentrodelaTierratienelassiguientesmedidas:

a) 60. Respuesta.S 6677.98 km.b) 1 . Respuesta.S 111.30 km.c) 4 5 . Respuesta.S 5008.48 km.


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34

2.2Razonestrigonomtricas

Enprimerlugar,conbaseenlaFigura2.8,debemosrecordarlossiguientesconceptos:

Untringulorectnguloesuntringuloquetieneunngulorecto,esdecir,unnguloquemide90.

Enuntringulorectngulo,elladomsgranderecibeelnombredehipotenusaylosotrosdosladossellamancatetos.

TeoremadePitgoras:Enuntringulorectngulo,elcuadradodelahipotenusaesigualalasumadeloscuadradosdeloscatetos,esdecirr x y.

Figura2.8Tringulorectngulo.

LasRazonesTrigonomtricassonvaloressinunidadesquedependendelamedidadeunngulo.Estas razones se pueden definir a partir de un tringulo rectngulo, como el de la Figura 2.8,obtenindoseseisrazonesentre los ladosde lostringulosmostrados:y r ,x r ,y x ,x y ,r x yr y .Cadaunadeestasrazonestieneunnombre:seno,coseno,tangente,cotangente,secanteycosecante,respectivamente.Deestamanera,lasrazonestrigonomtricasquedandefinidascomo:

Seno:

senyr (2.7a) Cosecante:

cscry (2.7d)

Coseno: cos xr (2.7b) Secante: secrx (2.7e)

Tangente: tan yx (2.7c) Cotangente:

cot xy (2.7f)En laFigura2.9semuestran losngulosdedostringuloscomunes,porejemplo,si 4 5 ,deacuerdocon laexpresin (2.7a)setienequesen451 2 ;ysi 6 0 ,deacuerdocon laexpresin(2.7c)setienequetan60 3 1 3.

Figura2.9ngulosdetringuloscomunes.

En laTabla2.1sepuedenobservaralgunosvaloresde lasprimerastresrazonestrigonomtricasparangulosfrecuentementeutilizados(notables).


36/96

35

Tabla2.1.Valoresdesen(),cos()ytan()paraalgunosvaloresde.

Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180

radianes 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 sen() 0 1/2 2/2

3/2 1 3/2 2 /2 1/2 0

cos() 1 3/2 2/2

1/2 0 1/2 2 /2 3/2 1

tan() 0 3/3 1 3 ND 3 1 3/3 0

En laFigura2.10semuestraunamaneradedeterminarelsignode losvaloresde las funcionestrigonomtricas:Sielnguloseencuentraenel intervalo0 9 0 (primercuadrante)todaslasfuncionestrigonomtricasadquierenvalorespositivos;sielnguloseencuentraenelintervalo9 0 1 8 0 (segundo cuadrante), todas las funcionesadquierenvaloresnegativos,exceptosenycsc.Sielngulo seencuentraenel intervalo1 8 0 2 7 0 (tercercuadrante),todossonnegativosexceptotanycotyporltimo,sielnguloseencuentraenelintervalo2 7 0 3 6 0 (cuartocuadrante),todossonnegativosexceptocosysec.

Figura2.10Signodelosvaloresdelasfuncionestrigonomtricas.

Lasfuncionescuyosvaloresserepitenenintervalosregularessellamanperidicas.Lasfuncionestrigonomtricassonperidicasyelperodoparasen,cos,secycsces2(o360);paratanycot es(o180).Porejemplo,

sen0sen360sen2=0cos 4 cos 4 2 cos9 4 =0.7071tan30 tan210 tan 6 tan 6 tan7 6 =0.5773Deestamanera,elperodoeselmenorintervalodeldominio,luegodelcualelvalordelafuncinperidicasevuelvearepetir.Laamplitudeselvalorabsolutodelamitaddeladiferenciaentreel


37/96

36

valor mximo y el valor mnimo que tiene la funcin. La Figura 2.11, ejemplifica estos dosconceptos.

Figura2.11Perodoyamplituddeunafuncintrigonomtrica.

Cuando se representan las funciones trigonomtricas en el plano coordenado, usualmente sedenotalavariableindependienteconenvezde,aunqueseconservanlasmedidasenradianes.LaFigura2.12muestralasgrficasdelasseisfuncionestrigonomtricaselementales,enlascuales

se pueden identificar tanto el perodo y los valores mximos y mnimos que adquieren estasfunciones.

Estasrazonestienenunaaplicacinmuy importanteen latrigonometra,yaqueseutilizanen ladeterminacindeloselementosdeuntringulorectngulo,locualresultamuytilpararesolverproblemasrelacionadosconlaingeniera.

Ejemplo2.10

SabiendoquesenA ,calcularlasdemsrazonestrigonomtricasdelnguloA.Solucin.De la informacindada,referidaauntringulorectngulo,seconcluyequeelcatetoopuestoalnguloAmide4unidades,mientrasquelahipotenusadeltringulomide5unidades.UsandoelteoremadePitgorasseencuentraqueelcatetoadyacentealnguloAmide3unidades,luegoentonces

senA , cosA , tanA , cscA , secA , cotA Ejemplo2.11

SabiendoquetanA ,calcularlasdemsrazonestrigonomtricasdelnguloA.Solucin.De la informacindada,referidaauntringulorectngulo,seconcluyequeelcatetoopuestoalnguloAmide3unidades,mientrasqueelcatetoadyacenteadichongulomide8unidades.Usandoelteoremade

Pitgorasseencuentraquelahipotenusadeltringuloencuestinmide73unidades,luegoentonces

senA , cosA , tanA , cscA , secA , cotA


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37

a)fxsenx b)fxcosx

c)

fxtanx d)

fxcotx

e)fxsecx f)fxcscxFigura2.12Grficasdefuncionestrigonomtricascircularesdirectas.


39/96

38

Ejemplo2.12Elcordeldeunpapaloteseencuentratensoyformaunngulode46con lahorizontal.Encontraremos laalturadelpapaloteconrespectoalsuelosielcordelmide9.2metrosyelextremo inferiorde lacuerdase

sostienea1.25metrosarribadeunpisohorizontal.

Figura2.13Ejemplo2.12.

Solucin.Sea h la altura del papalotemedida a partir del punto que se encuentra a 1.25 m del suelo, entonces,partiendodeladefinicin(2.7a)setieneque

46 9.2 9.2 46 6.62 1.25 6.62 7.87 Ejemplo2.13DesdeunpuntoAenlaorilladeunroseveunrboljustoenfrenteenlaotraorilla.Sisecamina105mroabajo,por laorillarectadelro, llegamosaunpuntoBdesdeelqueseveelrbolformandounngulode33conestaorilla.Calcularemoselanchodelro.Solucin.Seahelanchodelro,entonces,partiendodeladefinicin(2.7c)setieneque

33 105 105 33 68.19 Ejercicios

1)Siladistanciadeunpuntodelpisoalabasedeunedificioesde13m,yelngulodeelevacinalapartemsaltadelaconstruccinesde44,determinarlaalturadeledificio.

Respuesta. m55.12

Piso

h

46

9.2 m

1.25 m


40/96

2)Dngu

3)Dequelcon

4)Duna

post

5)De

dista

6) CubicseesylapfuedA,B

ngude4altura)Lateodsem

sdeunpunlodeelevaci

sdeelpuesosnguloslfarosond

terminarlaistanciade

esde30.

sdeunator

ncia

de

la

to

ando se pdoenelputacionayseartemsalte3150.ACestne

loqueexist12;enesqueenlalongituddellito

y

la

verestraenla

todelpisonde48

odeobseredepresin28y55r

altura(L)d25mapart

ede35md

rre

se

encue

esentan diftoA,alavnivelaelapadelcerro.50metrosunmismoentrelahota segundastacinA,psegmentotical

CF,

conFigura2.14.

Figura

lejadode lqudistan

acindeun(haciadebspectivame

unpostedirdelabase

ealtura,un

ntra

dicho

o

icultades prticalCFquaratoenelLamedidadelaestaciplanoverticrizontalylaestacinsearalocualsF,

esdecir,lsiderando

u

2.14Esquem

Respuest

39

basedeuiaestlato

farode35jodelahornte.Calcula

eenergaeldelpostee

hombreobs

bjeto?

ra determipasaporeuntoAyseenguloprnA,sobreeal,semarcpartemsaprocurquecolocunaalturah.bna

altura

de

adelcorted

a.a)h=219.

atorrederredelpunt

dealturaizontal)dedladistanci

ctricaapalnguloent

ervaunobj

ar la distalpuntomsmideelnmedioobtlmismoalinelpuntoBltadelcerroquedaraemiraenun)Ladistancil

aparato

de

uncerrodel

5m;b)dH=

70metrosodeobserv

Resp

sobreelnivosbarcos,squesepara

Resp

rtirdelasigreelsuelo

Resp

toinclinand

Resp

ncia horizoaltodeunculoqueexinidadelaseamiento,edondeseecuyopromlanteojodlugarinterahorizontal

1.58

metro

ejercicio6.

352.84mc)

dealtura,scin?

esta. 0.153

ldelmar,situadosenlaambosba

esta. 31.41

uienteinforlapartesu

esta. 43.14

osuvista5

esta. 37.29

tal dH delerro(verFigteentrelamedicionessdecir,cuidtacionysdio,enestelaparatoaedioM.DedHqueexists.

c)

El

valor

H=220.63m

mideun

m

eobservanearectarcos.

m

acin:aperiordel

.Aqu

teodolito,ura2.14),orizontalealizadasandoquemidielcaso,fuelamismaterminar:eentreelde

H

que

.


41/96

40

2.3 Identidadestrigonomtricas

En matemticas, las identidades trigonomtricas son igualdades que involucran razonestrigonomtricas,verificablesparacualquiervalordelasvariablesqueseconsideren.

2.3.1 IdentidadesTrigonomtricasFundamentales

1. tan 2. cot 3.sec 4.csc 5. cot 6. sen sen 7. cos 8. tan tan 9. sen

10. cos

11. tan 2.3.2 IdentidadesPitagricas

1. 1 2. 1 3. 1 2.3.3 Identidadesdefuncionestrigonomtricasconsumayrestadengulos

1. 2. 3. 4. 5. 6.

2.3.4 Identidadesdefuncionestrigonomtricasconngulosdobles

1. 2 2 2.2 3. 2 2 1 4.2 2.3.5 Identidadesdeproductosdefuncionestrigonomtricas

1. 2 2. 23. 2


42/96

41

4. 5.

6. 2.3.6 Identidadesdesumasyrestasdefuncionestrigonomtricas

1. 2 2.

2

3. 2 4. 2

Ejemplo2.14Sisen()=4/5y esunnguloagudo,hallaremoslosvaloresexactosdesen(2)ycos(2).Solucin.Si seconsideracomounnguloagudodeuntriangulorectngulo,seobtienecos()=3/5.Acontinuacinsesustituyeenlasfrmulasdengulodoble.

sen(2)=2sen()cos()=2

5

3

5

4=

25

24

cos(2)=cos2()sen

2()=

25

7

5

4

5

322

=

Ejemplo2.15Demostrarquetan(a)+cot(a)=sec(a)csc(a)Demostracin.

=+ )cot()tan( aa =+

=+)()cos(

)(cos)(

)(

)cos(

)cos(

)( 22

asena

aasen

asen

a

a

asen)csc()sec(

)()cos(

1aa

asena=

Ejemplo2.16Demostrarquesec(a) cos(a) = sen(a)tan(a)Demostracin.

= )cos()sec( aa ==

=)cos(

)(

)cos(

)(cos1)cos(

)cos(

1 22

a

asen

a

aa

a)tan()(

)cos(

)(

1

)(aasen

a

asenasen=

Ejemplo2.17Demostrarquesec

2(a)+csc

2(a) = sec

2(a)csc

2(a)

Demostracin.


43/96

42

=+ )(csc)(sec 22 aa

=+

=+)()(cos

)(cos)(

)(

1

)(cos

122

22

22asena

aasen

asena)(csc)(sec

)()(cos

1 2222

aaasena

=

EjerciciosDemostrarsisecumplenlassiguientesidentidadestrigonomtricas

1) ( ) ( ) 22 sectan1 =+

2) ( )

( )( )( ) 1cos

1cos

sec1

sec1

+=

+

3) ( ) ( ) ( ) 442 cos12 = sensen

4) [ ] [ ] ( ) 2)cos(1)cos(1 sen=+

5) ( )

( )( )( )

1sec

cos

csc=+

sen

2.4Ecuacionestrigonomtricas

Una ecuacin trigonomtrica es cualquier ecuacin o igualdad que contiene expresionestrigonomtricas.Siunaecuacin trigonomtricanoes identidad,amenudosehallansoluciones

aplicandotcnicassemejantesa lasusadasparaecuacionesalgebraicas.Ladiferenciaprincipales

queprimeroseresuelve laecuacintrigonomtricapara )cos( , )(sen o )tan( ,y luegose

hallanlosvaloresde quelasatisfagan.Lassolucionessepuedenexpresarenradianesogrados.

Ejemplo2.18

Encontrarlosvaloresde queresuelvanlaecuacintrigonomtrica 2/1)( =sen para 1800 Solucin.

Sesabeque 2/1)30()6/( ==senradsen (vertabla2.1),por lotanto, == 306/ rad ,esunasolucindelaecuacintrigonomtrica.Elrazonamientoanteriorsepuedeexpresarcomo

2/1)( =sen

)2/1(arcsen= rad6/=

La expresin arcsen

2

1 se interpreta como el ngulo cuyo seno es . (nota: las calculadoras

manejan el arcsen(x) como sen1(x)). Cabe mencionar que tambin las otras razonestrigonomtricascuentanconexpresionesequivalentes.Con el auxilio de la identidad , enlistadaanteriormente,sepuedeobservarengeneralque:

180180180


44/96

43

Delatabla2.1,setieneque1800y1801,luegoentonces:180

Dedondesedesprendequesi esunasolucindelaecuacindada,tambinloser180sison grados sexagesimales y en radianes. Por este motivo, la solucin encontrada en elejemplo 2.18 no es nica, pues es fcil darnos cuenta que ( )

2

1

6

5150 =

= radsensen

tambin,luegoentoncesotrasolucindelaecuacindadaresultaser rad6

5= .

Ejemplo2.19

Encontrarunvalorde queresuelvalaecuacintrigonomtrica 2/1)cos( = ,para 1800 .Solucin.

Sesabeque 2/1)60cos()3/cos( ==rad (vertabla2.1),por lotanto, == 603/ rad ,es lasolucindelaecuacintrigonomtricadada.Elrazonamientoanteriorsepuedeexpresarcomo

2/1)cos( =

)2/1arccos(=

rad3/=

Enestecasolasolucinesnica,puesnoexisteotronguloentre0y180cuyocosenotambinseaiguala,puesenlaFigura2.10seobservaqueelcosenotomavalorespositivossielnguloesmayoroigualque0ymenorde90,mientrasquesielnguloesmayorde90ymenoroigualde180susignoesnegativo.

Ejemplo2.20

Los ladosadyacentesdeunrectngulomiden22.9my30.2mrespectivamente.Determinarcuntomidecadaunodelosngulosqueformaunadelasdiagonalesdelrectnguloconcadaunodelosladosdeste,ascomolalongituddecualquieradeladiagonales.Solucin.

Sean ylosngulosagudos formadospor ladiagonalydosde los ladosadyacentesdel rectngulo,entonces

2.30

9.22)tan( =

=

= 17.37

2.30

9.22arctan

9.22

2.30

)tan( =

=

= 83.52

9.22

2.30arctan

( ) ( ) md 9.372.309.22 22 =+=

Ejemplo2.21EncontrarelngulodeelevacindelSolsiunhombrede1.74mdeestaturaproyectaunasombrade80cmdelongitudenunpisohorizontal.Solucin.

Sea elngulodeelevacin,entonces


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44

8.0

74.1)tan( =

=

=

31.658.0

74.1

arctan

Ejercicios

1)Enuntringulorectngulo,unodelosngulos interioresmide63.Cuntomidecadaunodelosotrosdosngulosinteriores?

Respuesta.Sean y losotrosdosngulosinteriores,entonces: = 27 y = 90 .

2) Resuelve cada una las siguientes ecuaciones (los ngulos deben estar el intervalo 0 180)a) ( ) 012 =sen Respuesta. == 150,30 21 b) ( ) ( ) 022 = sensen Respuesta. 0, 180

2.5 Leydelossenos

Laleydelossenosesunarelacindetresigualdadesquesecumpleentrelos ladosyngulosdeuntringulo,yqueestilpararesolverciertostiposdeproblemasrelacionadoscontringulos.

Laleydesenosdicequelaraznentrelalongituddecadaladoyelsenodelnguloopuestoalenuntringuloesconstante.

SiobservamoslaFigura2.15,laleydesenosseescribecomosigue:

)()()( sen

c

sen

b

sen

a== (2.8)

Figura2.15Tringulodereferenciaparalaleydelossenosylaleydeloscosenos.


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45

ResolucindetringulosmediantelaLeydelossenos

Resolveruntringulosignificaobtenerelvalordelalongituddesustresladosylamedidadesustresngulos internos.Pararesolvertringulosquenosontringulosrectngulosresultamuytilusarlaleydesenos,principalmentecuandoseconocendosdesusladosyelnguloopuestoaunodeelloso cuando se conocendosngulosy cualquier lado.Teniendocuidadoalaplicarlaenel

casodetringulosobtusngulos,puesrecordemosque ( ) sensen = )180( .

Ejemplo2.25Resolvereltringulodelqueseconocenlossiguientesdatosa=9.30m,b=5.40my =30.80Solucin.

DeacuerdoalaLeydelossenos

)()( sen

b

sen

a= ,

Esdecir,)(

4.5

)8.30(

3.9

sensen= ;

3.9

)8.30(4.5)(

sensen = ; =17.30

Comolostresngulosinternosdecualquiertringulosuman180,

+ + =180;30.80+17.3+ =180; =131.90

yutilizandonuevamentelaLeydelossenos,)()( sen

c

sen

a=

)9.131()8.30(

3.9

sen

c

sen= ;

)8.30(

)9.131(3.9

sen

senc= ; c=13.52m

Enresumen:a=9.30m,b=5.40m,c=13.52m, =30.80, =17.30y =131.90.

Ejemplo2.26Resolveruntringulodelcualseconocenlossiguientesdatosa=21cm, =35y =64Solucin.

DeacuerdoalaLeydelossenos)()( sen

b

sen

a= ,

Esdecir,)64()35(

21

sen

b

sen= ;

)35(

)64(21

sen

senb= ;b=32.90cm

Comolostresngulosinternosdecualquiertringulosuman180, + +=180;35+64+=180; =81

yutilizandonuevamentelaleydelossenos,)()( sen

c

sen

a =

)81()35(

21

sen

c

sen= ;

)35(

)81(21

sen

senc= ;c=36.16cm

Enresumen:a=21.00cm,b=32.90cm,c=36.16cm, =35, =64y =81.

Ejemplo2.27UngloboseencuentraentredospuntosAyBcuyaseparacinesde16metros.ElglobosepuedeobservardesdeelpuntoAconunngulodeelevacinde56ydesdeelpuntoBconunngulodeelevacinde82.DeterminaremosladistanciaquehaydesdeelglobohastaelpuntoAyhastaelpuntoB.Solucin.


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46

SeaaladistanciaentreelgloboyelpuntoB,ybladistanciaentreelgloboyelpuntoA,entonces

( ) ( )16

4256 =

sen

a

sen

;

( )( )

msen

sena 82.19

42

5616=

=

( ) ( )16

4282 = senb

sen

;

( )( )

msen

senb 68.23428216 =

=

Ejemplo2.28EnlaFigura2.16seilustraunpanelsolarde3mdeanchoquedebeinstalarsesobreuntechoquetieneunainclinacinde25respectoalahorizontal.Calcularemoslalongitudquerequieretenerlabarraparaqueelpaneltengaunainclinacinde45conlahorizontal.

Figura2.16Panelsolar

Solucin.

( ) ( )x

sensen =

20

3

115;

( )( )

msen

senx 13.1

115

203=

=

Ejemplo2.29Desdeunpuntoenlacalleseobservaelextremosuperiordeunedificiocuyapartemsaltaformaconelsuelounngulodeelevacinde55.Sielpuntodeobservacinsealeja35m,elnguloformadoresultaserde45.Calcularlaalturadeledificio.Solucin.Seah laalturadeledificio,d ladistanciadelprimerpuntodeobservacinhastaelextremo superiordeledificioyxladistanciaexistenteentreelpuntodelsueloenelcualelngulodeelevacinesde55ylabasedeledificio,entonces

x

h=)55tan( ;

35)45tan(

+=

x

h;

( ) mx 75.81

155tan

35=

=

( ) mmh 75.116)55tan(75.81 == ;( ) ( )

= 4510

35sen

dsen

( )( )

msen

send 52.142

10

4535=

=

25

barra

3 m


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47

Ejercicios

Resolver,utilizandolaLeydelossenos,lostringulosdeacuerdoalossiguientesdatos:

1) = 41 , = 77 y a=10.5cm Respuesta. = 62 ; 5945.15=c ; 1313.14=b

2) = 20 , = 31 y b=210m Respuesta. = 129 ; 2328.316=c ; 1668.477=a 3) = 17.42 ,a=5.01mm y b=6.12mm

PrimeraRespuesta. = 0919.55 ; = 7381.82 ; 4029.7=c

SegundaRespuesta. = 9081.124 ; = 9219.12 ; 6688.1=c

4) '5050= , '3070= y c=537pies

Respuesta. '20121= ; 6765.441=b ; 5922.486=a

5) '2053= ,a=140cm y c=115cm

PrimeraRespuesta. = 5535.77 ; = 1131.49 ; 3878.108=b

SegundaRespuesta. = 4465.102 ; = 2201.24 ; 8165.58=b

2.6 Leydeloscosenos

LaleydeloscosenosesunaextensindelteoremadePitgorasyaquestapuedeseraplicableacualquier tipo de tringulo y no solamente a los tringulos rectngulos. La ley de los cosenospuedeenunciarsede lasiguientemanera:el cuadrado de un lado de un tringulo es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados

multiplicadoporelcosenodelnguloqueforman.SiaplicamosesteteoremaaltringulodelaFigura2.15seobtienentresrelaciones:

2 (2.9a) 2 (2.9b) 2 (2.9c)Estaleyresultamuytilpararesolvertringuloscuandoseconocendosdesus ladosyelnguloentreellosocuandoseconocensustreslados.

Ejemplo2.30Resolvereltringulodelqueseconocenlossiguientesdatosa=5m,c=8my =77.Solucin.

De acuerdo a la ley de los cosenos, ( )cos2222 accab += , es decir,( )77cos)8)(5(285 222 +=b ; b=71m2; b=8.43m

ParaconocerotrodelosngulosusamoslaLeydelossenos,( ) ( ) sen

b

sen

a=

( ) ( )7743.85

sensen=

;

( )43.8

775sensen = ; =35.32

Comolostresngulosinternosdecualquiertringulosuman180, + + =180;35.32+77+ =180; =67.68


49/96

48

Ejemplo2.31Resolvereltringulodelqueseconocenlaslongitudesdesustreslados:a=15m,b=12m y c=6m.Solucin.

DeacuerdoalaLeydeloscosenos, )cos(2

222

bccba +=

bc

acb

2)cos(

222 += ;

)6)(12(2

15612)cos(

222 += ; cos()=0.3125

)3125.0arccos(= ; =108.21

UsandonuevamentelaLeydeloscosenos, )cos(2222 accab +=

46.49;65.0)6)(15(2

12615

2)cos(

222222

==+

=+

= ac

bca

Comolostresngulosinternosdecualquiertringulosuman180, + + =180;108.21+49.46+ =180; =22.33

Ejemplo2.32Doscorredorespartendeunmismopunto.Unosalehaciaelsuresteconunngulode60conrespectoaladireccinsur,yelotrosaleendireccinsur.Sielprimeromantieneunavelocidadde8km/hyelotrounavelocidad de 10 km/h, determinaremos la distancia entre los dos corredores despus de 3 horas derecorrido.Solucin.Seadladistanciaqueseparaalosdoscorredores3horasdespusdeiniciadosurecorrido,entonces

( ) ( ) ( )( ) )60cos(302423024 222 +=d ; 7562 =d ; kmd 5.27=

Ejercicios

Resolverutilizandolaleydeloscosenoslostringulosdeacuerdoalossiguientesdatos:

1) = 60 ,b=20cm y c=30cm.

Respuesta. 26.46 cm; = 89.40 ; = 11.79 2) '10115= ,a=1.10m y b=2.10m.

Respuesta.c 2.75 m; = 19.21 ; = 64.43 3) '5073= ,a=87mm y c=14mm.

Respuesta. 84.18 ;96.9755; = 1911.9 4)a=20m, b=20m y c=10m.

Respuesta.

75.5225;

75.5225; = 9550.28

5)a=2pies, b=3pies y c=4pies.

Respuesta.28.9550;46.5675; = 4775.104


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49

3

GEOMETRAANALTICA

Quaprenders?

Conceptosbsicosde lageometraanaltica,comopunto,segmento, lnea recta,circunferencia,ascomoelclculodepermetrosyreasdepolgonos.

Paraqutevaaservir?

Manejar adecuadamente los conceptos tratados en la geometra analtica tepermitir resolver

unagrancantidaddesituacionesquesepresentanen laTopografaoen lasVasTerrestres,as

como para modelar situaciones de la vida diaria en las que se encuentran relacionadas dos

cantidades, donde los valores de una dependen de los de la otra, que son casos que puede

enfrentarelIngenieroCivil.

Lageometra

analtica, es la parte de las matemticas que establece una conexin entre el

lgebra y la geometra euclidiana, y en la cual se estudian figuras referidas a un sistema de

coordenadas.

3.1Distanciaentredospuntos

Ladistancia ABd entredospuntos( )11,yxA y ( )22,yxB olalongituddelsegmentoAB ,puede

sercalculadamediantelafrmula:

( ) ( )2122

12 yyxxdAB += (3.1)

Ejemplo3.1

Calcularladistanciaalaqueseencuentranlospuntos ( )2,3A y ( )4,7B .Solucin.

Aplicandolafrmulaanteriorsetiene: ( ) ( ) 52202437 22 ==+=ABd

Ejercicios

1)Hallarlaslongitudesdelosladosdeltringuloconvrtices2, 3,6,1y2,5.Respuesta. 8,8 0 45,8 0 45.


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50

2)Serequierecolocarunposteparainstalarenlapartesuperiordelunalmparaqueilumineun

jardnquetieneformatriangularydondesesabequelasesquinasdeljardn,referidasauncierto

sistemadecoordenadascartesiano,selocalizanenlospuntos )0,3(A , )7,0(B y )4,7(C .a)Culessonlascoordenadasdelpuntodeljardn,endondedebecolocarseelposteparaquela

lmparaqueestaren lapartesuperiordeste,se localicea igualdistanciadecadaunode los

vrticesmencionados?

Respuesta. ( )2,2 .

b)Qudistanciaexisteentreelpostemencionadoycadaunodelosvrticesdeljardn?

Respuesta. mm 385.529

3.2Divisindeunsegmentoenunarelacindada

Puntodedivisineselquedivideaunsegmentoenunarelacindada.Consideremoslospuntos, y , y la recta que determinan. Sea , un tercer punto que divida alsegmento en la relacin

. Como y son del mismo sentido, dicha relacin es

positiva.Sielpuntodedivisin,estuvierasituadoenlaprolongacindelsegmento,aunouotro lado del mismo, la relacin

sera negativa, ya que y tendran sentidos

opuestos.

Figura3.1

Divisindeunsegmento

TeniendoencuentalostringulossemejantesdelaFigura3.1, .

Despejando, . (3.2)

Anlogamente,

. (3.3)


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51

Enelcasoparticularenque,eselpuntomediodelsegmentodirigido,es 1demaneraque

,

.

Ejemplo3.2Hallarlascoordenadasdeunpunto,quedividaalsegmentodeterminadopor1,7y 6,3enlarelacin 2 / 3.Solucin.Comolarelacinespositiva,yhandeserdelmismosentidoy,portanto,elpunto ,estarsituadoentrelospuntosdadosexternosdelsegmento.

23

1 1 6

1 3 ;

1 7 3

1 3

Elpuntobuscadoes(3,3).

Ejercicios

1)Hallarlascoordenadasdeunpunto,quedividaalsegmentodeterminadopor2,1y3,4enlarelacin 8 / 3.Respuesta. (6,7)

2) El extremodeundimetrodeuna circunferenciade centro4,1 es2,6.Hallar lascoordenadas

,delotroextremo.

Respuesta.(10,4)

3) Hallar las coordenadasde los vrticesdeun tringulo sabiendoque las coordenadasde lospuntosmediosdesusladosson(2,1),(5,2)y(2,3).Respuesta.(1,6),(9,2),(5,4).

3.3Clculodepermetrosyreasdepolgonos

Paradeterminarelpermetrodeunpolgono,sesumanlaslongitudesdecadaunodesuslados.Si

n es elnmerode ladosdelpolgono y id es la longituddel lado i,entonces elpermetrodel

polgono, polp ,estdadopor:

(3.4)Paracalcularelreadepolgonosdenlados,quenoseentrelazan,ycuyosvrticesselocalizanen

lospuntos ( )111 ,yxA y ( )222 ,yxA ,, ( )nnn yxA , ,sepuedeutilizarelsiguienteresultado:

( ) ( )111

1

112

1xyyxxyyxA nn

n

i

iiiipol +

=

=++

(3.5)


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52

Odemaneraequivalenteyparafinesprcticos,medianteelsiguienteprocedimiento:

Seescribeunacolumnaparalasabscisas(valoresde)yotraparalasordenadas(valoresde),repitiendoalfinaldecadacolumnalascoordenadasdelprimervrticeconsiderado. Semultiplican losvaloresde lascoordenadasdemaneracruzada.Si lamultiplicacinesdeizquierdaaderechaelproductonosufrecambiodesigno.Silamultiplicacinesdederechaaizquierda,elproductocambiadesigno.

Se realiza la sumade todos losproductos (con los signos resultantes). Seobtiene el valorabsolutodelresultado,y

Elreadelpolgonoesigualaunmediodelresultadoanterior.

x1 y1x2 y2x3 y3

xn1 yn1xn ynx1 y1

Figura3.2Productosdemaneracruzada.

Ejemplo3.3Hallar el permetro y el rea de un predio cuyas coordenadas de sus vrtices, obtenidas mediante unlevantamientotopogrfico,aparecenenlasiguientetabla.VerFigura3.3.

VRTICE COORDENADAx COORDENADAy

V1 20 30V2 30 60V3 60 40

V4 50 20V5 30 10

Solucin.Primeramente,localizaremos, enunsistemadecoordenadascartesiano,losvrticesdelpredioytrazaremoslossegmentosquerepresentensuslados,siguiendoelordenapartirdelafiguracalcularemoslalongituddecadaunodelosladosdelpredio.

( ) ( ) md VV 62.3110103060203022

21=+=

( ) ( ) md VV 06.3613106040306022

32=+=

( ) ( ) md VV 36.225104020605022

43=+=

( ) ( ) md VV 36.225102010503022

54=+=

( ) ( ) md VV 36.225101030302022

15=+=

Porlotantoelpermetrodelpolgonoresultaser:

mppol 76.13453013101010 ++=


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53

Figura3.3Polgonodelpredio.

Paracalcularelreaharemoselarreglorectangularylosproductoscruzados

1200+1200+1200+500+900 900 3600 2000 600 200= 2300

Deloanteriorseconcluyequeelreadelpolgonoes:

211502

2300mApol =

=

Ejemplo3.4

SepretendevenderunprediocercadocomoelmostradoenlaFigura3.4(unidadesdelongitudenmetros).

Sesabequeenlazonadondeseencuentraubicado,elpreciopormetrocuadradoesde$1,500.00pesos.El

preciodecercaperimetralesde$100.00pesosporcadametrolineal.Elpreciodeventatotalestformado

porelpreciodelasuperficiedelterrenomselpreciodelacercaperimetral.Determinarelpreciototaldel

predio.


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54

X

0.00

414.90

Y

138.25

0.00

1

2

3

5

4

Vrtice

49.27

167.25

569.24

262.73

2

632.26 299.93

3

4

5

1

Figura3.4PolgonodelEjemplo3.3.

Solucin.

Clculodelrea

Vrtices Productos

0.00 138.25 +

414.90 0.00 0.00 57359.93

299.93 632.26 262324.674 0.00

49.27 569.24 170732.15 31151.45

167.25 262.73 12944.71 95205.39

0.00 138.25 23122.31 0.00

469123.84 183716.77469123.84 183716.77=285407.07

254.1427032

07.285407mA ==

Clculodelpermetro

( ) ( ) md 33.43707.19125525.1380090.414 2221 ==+=

( ) ( ) md 63.642026.63290.41493.299 2232 =+=

( ) ( ) md 46.25826.63224.56993.29927.49 2243 =+=

( ) ( ) md 43.32824.56973.26227.4925.167

22

54 =+=

( ) ( ) md 49.20825.13873.262025.167 2215 =+= mP 34.1875=

Preciodelterreno ( ) 00.310055214$54.1427031500 22

=

= m

m

pesos

Preciodelacerca ( ) 00.534187$34.1875100 =

= m

m

pesos

Preciototaldeventa 00.844,242'214$=


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55

Ejercicios

1)Un cuadriltero tiene tresde susvrticesen lospuntos )2,0(P , )0,2(

Q y )1,3(

R y se

sabequesucuartovrticeselocalizaenelpunto ),( yxT pertenecientealprimercuadrante,que

talpuntoesequidistantealospuntosPyR,yqueeltringulo PRTformadotieneunreaiguala

ladeltringuloPQR.

a)Encuentraelpermetroyelreadelcuadriltero PQRT .

Respuestas. 2627 +=P ,A=12.

b) Encuentra las coordenadas de los puntos medios de los lados del cuadriltero PQRT

mencionadoynelosmediantesegmentosderectadetalformaquesegenereotrocuadriltero,

qu nombre recibe el cuadriltero resultante? Cul es el rea y el permetro del nuevo

cuadriltero?

Respuestas.Paralelogramo,2

14626 +=P ,A=6.

2)Enlatabladevaloresqueapareceacontinuacinsemuestranlascoordenadasdelosvrtices

deunterrenoquetienelaformadeuncuadriltero.Dibuja,aescala,elcuadrilteromencionadoy

calculaelpermetroyelreadelmismo.

VRTICE COORDENADAx(Enmetros)

COORDENADAy(Enmetros)

V1 96 91V2 96 75

V3 67 75V4 78 97

Respuestas. mP 57.87= , 2463 mA= .

3.4Lnearecta

3.4.1Pendienteyngulodeinclinacindelalnearecta

Consideremoseltrazodeuncaminodesdeelpunto

( )2,3A hastaelpunto

( )4,7B ,seobserva

que hay una elevacin (cambio vertical) de 2 unidades y un avance (cambio horizontal) de 4unidades.Lapendientedeunalnearectaestdadaporlaraznqueresultaaldividirlaelevacin

entreelavance,porloquelalneaconsideradaenelejemplotieneunapendientede .


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56

Figura3.5LnearectaquepasaporlospuntosAyB.

Siuna lnea rectapasapor lospuntos ( )11,yxA y ( )22,yxB ,entonces lapendientede la lnearecta,seencuentramediantelafrmula:

12

12

xx

yymAB

=

(3.6)

Figura

3.6Pendiente

yngulo

de

inclinacin

EnlaFigura3.6,sepuedeobservarque,elvalordelatangentedelngulo,eselmismoqueeldelapendiente m ,esdecirque ( )tan=m ,mientrasqueelngulodeinclinacindelalnearectaestdadopor:

( ) 0,arctan = msim

( ) 0,180arctan


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57

Ejemplo3.5

Calcularlapendienteyelngulodeinclinacindelalnearectaquepasaporlospuntos ( )2,3A y ( )4,7B .Solucin.

Aplicandolafrmuladada,setieneque:

2

1

37

24=

=ABm

Mientrasque

= 565.26

2

1arctan

Dos lneas rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente o el mismo ngulo deinclinacin,assim1eslapendientedeunadelasrectasym2eslapendientedelaotra,entonces

secumpleque 21 mm = .Dos lneas rectassonperpendicularescuandoalcruzarse formanngulosde90oelngulode

inclinacindeunadeellases90mayorqueeldelaotra,enestecasosim1eslapendientedeunadelasrectasym2eslapendientedelaotra,entoncessecumpleque 121 = mm ,odemanera

equivalente2

1

1

mm = .

Ejercicio

El campen nacional de ciclismo de montaa del ao 2000, Ziranda Madrigal, originario de

Michoacn,siguiunarutaquetienetramoscondiferentespendientescomolomuestralaFigura

3.7.

Figura3.7Trayectoriadeunacarreraciclista

a)Culestramosdelarutatienependientepositiva?

Respuesta.a) .,, FGyEFBCAB

b)Culestramosdelarutatienependientenegativa?Respuesta. GHyDE

c)Cultramodelarutatienependientecero?

Respuesta. CD

d)Culfueeltramoconvalordelapendientemsgrandeyporlotantorequirimsfuerzaen

laspiernasparapedalear?

Respuesta.EF

A

B

C

D

E

F G

H


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58

3.4.2Ecuacionesdeunalnearecta

Algunasformasdeescribirlaecuacindeunalnearectason:

a.Usandolapendiente(m)ylascoordenadasdeunpunto ( )11,yxA pordondepasa

( )11 xxmyy = (3.7)

Sedicequeestaecuacintienelaformapuntopendiente.

b.Usandolapendiente(m)ylaordenadaalorigen(b)

bmxy += (3.8)

Sedicequeestaecuacintienelaformapendienteordenadaalorigen.

c.Cuandolalnearectanopasaporelorigendelsistemadecoordenadas,seusanlaabscisa(a)ylaordenadaalorigen(b),paraescribir

1=+b

y

a

x

(3.9)

Aestaecuacinselellamaecuacinsimtrica,cannicaoreducida.

d.Cuandolaecuacindeunalnearectaseescribecomo

0=++ CByAx (3.10)

Astaselellamaformageneraldelaecuacin.

Ejemplo3.6Hallar la ecuacin de la lnea recta de pendiente 3 que pasa por el punto de coordenadas (1,2) y lagraficaremos.Solucin.Puestoqueenestecaso seconoce lapendiente y lascoordenadasdeunpuntopordondepasa la lnea

recta,setieneque:

( )13)2( = xy;

( )132 =+ xy;

53 = xy; 15

3

5 =

+ yx

;053 =yx


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59

Figura3.8Lnearectadelejemplo3.6.

Ejemplo3.7Hallarlaecuacindeunalnearectaquepasaporelpunto(2,1)yesparalelaalalnearectadescritaporlaecuacin2x3y=6.Solucin.

Puestoque lapendiente de la lnea rectaperteneciente a la ecuacindada es3

2=m , se tiene que la

ecuacinsolicitadaresultaser:

( )23

21 =+ xy

; 3

7

3

2= xy

;0732 = yx

;

1

3

7

2

7 =+

yx

Ejemplo3.8Hallarlaecuacindeunalnearectaquepasaporelpunto(2,1)yesperpendicularalalnearectadescritaporlaecuacin2x+3y=6.Solucin.

Puestoque lapendientede la lnearectapertenecientea laecuacindadaes3

2=m ,se tieneque la

ecuacinsolicitadaresultaser:

( )223

1 =+ xy ; 42

3

= xy ; 0823 = yx ; 143

8 =+

yx

Ejemplo3.9

Laecuacindeuna lnearectaestdadapor 3+= kykx ,determinarelvalordekparaqueelpunto(3,7)pertenezcaadichalnearecta.Solucin.

373 += kk ; 102 =k ; 5=k 85 =yx ; 085 =yx ;

85 = xy ; 185

8 =

+ yx


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Ejemplo3.10Eltotaldeventasdeunaempresaquefabricaconcreto,enlosdosprimerostrimestresdelaofueron540y560millonesdepesos,respectivamente.Calcular,demaneraaproximada,lasventasenelltimotrimestre

delaoconsiderandoquesucomportamientoeslineal.

Solucin.Seaxelnmerodeltrimestreconsideradoyyeltotaldelasventasrealizadas,enelsemestrex.

2012

540560=

=m

;)1(20540 = xy ; 52020 += xy

Six=4: y=20(4)+520=600

Loque significaque al finaldelltimo trimestre las ventas seran aproximadamentede600millonesdepesos.

Ejemplo3.11Unaretroexcavadoracuesta$120000.00dlaresycadaaosedevalael8%desucostooriginal.EncontrarunafrmulaparaelvalorV delaretroexcavadoradespusdet aos.

Solucin.Seateltiempotranscurrido,enaos, desdequeseefectolacompra,entonces:

tV 9600120000 =

Ejemplo3.12Unacasafuevaluadaen$300,000.00pesoshacediezaos.Eldadehoyfuevendidaen$550,000.00pesosyseconsideraquesuprecioaumentalinealmente.Determinarunafrmulaquerelacioneelvalordelacasaconeltiempotranscurridodesdequeserealizelavaloyestimarelvalorquetendrdichacasadentrode5aos.

Solucin.Seateltiempotranscurrido,enaos, desdequeseavalu,entonces:

25000010

300000550000=

=m

30000025000 += ty

Si 15=t 675000300000)15(250000 =+=y Loquesignificaqueelvalordelacasaserade675000pesos.

Ejercicios

1) Hallarlaecuacindelarectaquepasapor4,3ytieneunapendiente.Respuesta. 2 1 0 0.2) Hallarlapendienteylaordenadaalorigendelarecta2 3 7 0.Respuesta.pendiente

yordenadaalorigen

.

3) Hallarlaecuacindelarectaquepasaporelpunto2,3yesparalelaalarectaqueunelospuntos4,1y2,2.Respuesta. 6 1 6 0.

4) Hallar laecuacinde larectaquepasaporelpunto2,3yesperpendiculara larecta2 3 6 0.Respuesta.3 2 0.


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61

5)Grafica la lnea rectacorrespondientea laecuacin4

32 =

xy .Encuentra supendiente, su

ngulodeinclinacinysuordenadaalorigen.

Respuesta.2

1=m , = 565.26 ,

4

3=b .

Figura3.9Grficade4

32 =

xy .

6)Imaginaquerealizasunacaminata,enlnearecta,desdeelpuntodecoordenadas )1,1( yque

elcaminotieneunapendientede2.

a)Determinalaecuacindelalnearectaquedescribetucaminoandado.

Respuesta. 12 = xy .

b)Usandolaecuacinquedeterminasteencuentralascoordenadasdetrespuntos,queestn

sobreelcaminorecorrido.

Respuesta. ( )3,1 , ( )5,2 , ( )7,3 .

c)Estelpuntodecoordenadas ( )3,2 ,sobreelcaminorecorrido?

Respuesta.No.

7)Setieneuna lminatriangulardeespesoruniformecuyosvrtices,respectodeciertosistema

decoordenadasselocalizanenlospuntos ( )4,1A , ( )3,2 B y ( )2,3 C .

a)Encuentralasecuacionesdelaslneasrectasquepasanporlospuntosmediosdelossegmentos

AB,BCyACy losvrticesopuestosa los ladoscorrespondientesaestossegmentos.Calcula

las coordenadas del punto comn a estas lneas rectas. En una cartulina dibuja, a escala, el

tringulomencionado y recrtalo, colocndolohorizontalmenteponleun soporte verticalenelpuntocomna las lneasrectas trazadasyobserva loqueocurre,qunombre recibeelpunto

comnaestaslneasrectas?

Respuestas.3

1

9

5= xy , 3

1

3

13= xy , 3

1

3

4= xy ;

3

1,0 ,baricentro,centroide,centro

degravedad,puntomedianoogravicentro.

Baricentro.eselpuntoenelcualsecortanlasmedianasdeuntringulo.

Mediana.Esunsegmentoquevadeunvrticedeltringuloalpuntomediodelladoopuestoal

ngulocorrespondientealvrticeconsiderado.


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62

b) Encuentra las ecuaciones de las lneas rectas que contienen las alturas del tringulo ABC

correspondientesalosladosAB,BCyAC.Calculalascoordenadasdelpuntocomnaestaslneas

rectas.Qunombrerecibeelpuntocomnaestaslneasrectas?

Respuestas.7

11

7

1= xy , 15 = xy , 3

5

3

2= xy ;

17

27,17

2,ortocentro.

Altura.Eselsegmentoperpendicularaunodelosladosdeltringuloyquevadedicholado(ola

prolongacindeste)asuvrticeopuesto.

Ortocentro.Eselpuntocomndelosrayosquepartendecadaunodelosvrticesdeuntringulo

yque sonperpendiculares a los ladosoprolongacionesde stos,que se localizan frente a los

nguloscorrespondientesalosvrticesconsiderados.

c)Calculaelpermetroyelreadeltringulo.

Respuestas. 171322625 =++= AyP

3.4.3Distanciadeunpuntoaunalnearecta

Paracalcular ladistanciaentreunalnearectadeecuacingeneral 0=++ CByAx yunpunto,

nopertenecienteaella,decoordenadas( )11,yx ,sepuedeusarlafrmula:

22

11

BA

CByAxd

+

++=

(3.11)

Ejemplo3.13

Calcularladistanciaalaqueseencuentraelpunto ( )2,3A delalnearectadependiente3quepasaporelpuntodecoordenadas(1,

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Notas Induccion 2015 Ing. Civil