NOTAS SOBRE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Pongo al alcance del grupo unas notas, el propósito es abrir algunas ideas para aldebate y la acción.

1. Unas categorías para abordar el problema.Una duda desde hace un tiempo me inquieta, y tiene que ver con la forma

“institucionalizada” que tenemos ‒no es una tontería‒, en relación al “hacer” del estudianteen general y al mismo en lo que respecta al “saber” matemático. Y debo comenzar porponer en claro lo que entiendo por “institucionalización”: aquí uso este término en suforma negativa ‒para diferenciarlo de otra que podríamos llamarla “positiva”‒, y pretendoseñalar con él a los límites de la acción misma; cuando decimos que la matemática escomo un lenguaje, o, que el estudiante no recuerda, o no reconoce su saber como“matemático”, se me hace necesario establecer una tensión entre dos comprensiones; poruna parte, la relacionada a la incorporación de unas competencias matemáticas, dealguna forma suficientes, para manejar el campo de ejercicio profesional ‒otrocontexto institucionalizado‒; por otra, la que abarca el desarrollo de capacidadesmatemáticas para desarrollar vías alternas a soluciones ya establecidas, o enfoquesnovedosos: dos enfoques que exigen sendos esfuerzos, en muchos aspectos antagónicos.

De estos enfoques desciendo a dos formas de acción, por una parte, el dominio delaspecto operativo de las “competencias”, a un nivel que podríamos denominar “exitoso”en el sistema de evaluación, cosa que podríamos ‒ya que no necesariamente se da‒extenderlo a un “éxito” profesional; esto es, desempeñarse en el aspecto laboral de formasatisfactoria. Por otra, el dominio de las competencias matemáticas en un gradotambién satisfactorio, desde la perspectiva de “empleo de un lenguaje, versatilidad, enun sentido amplio”, que no necesariamente se manifiesta en un éxito en el sistemainstitucionalizado de evaluación ni del ejercicio profesional. Ejemplos tengo a mi alcance.

Ahora bien, lo anterior me sirve para plantear unas categorías que me permitenordenar un asunto previo, es decir, pretendo plantear unas ideas ordenadoras sin tener quedar respuesta a qué entiendo por “capacidades satisfactorias”, lo que me permite, inclusive,renunciar por el momento a valorar algunos parámetros e indicadores. A continuación tresámbitos:

a) El del número y las operaciones en un sentido muy amplio.b) El que denominaré “de las relaciones de 1er orden”.c) El que denominaré “de las relaciones de 2do orden”.

2. Las categorías.Es necesario considerar que entre los recintos que definen las categorías

mencionadas, se debe suponer la existencia de “ámbitos de transición” o de combinación;lo mismo al considerar ámbitos de aplicación en un sentido muy amplio.

Me atrevo a decir que estas categorías nos permiten trazar y delimitar la diversidadde contenidos, campos, del territorio de la matemática. Debo aclarar que diferencio“operación” de lo que cae en el conjunto de las acciones humanas.

Ahora ¿Qué diferencia las categorías a), b) y c)? ¿Qué “contienen” las mismas? Voya describirlas:

2.1. El número y las operaciones en un sentido amplio.La unidad de números y operaciones, en el sentido restringido, parecen ser la fuente

de una analogía que recorre gran parte de la matemática y la lógica, como la concebimos almenos desde la perspectiva de los diseños curriculares. La manera en que enfocamos losnúmeros y su operación, la encontramos distribuida a lo largo de otros contenidos: númeroscomplejos, matrices, funciones, conjuntos, redes neurales (inputs y sus pesos), entre otrosmuchos elementos. Inclusive, en algunos casos, procesos complejos son reducidos aalgoritmos operacionales entre parámetros propios de los objetos que se emplean, porejemplo: = + 1 + ; ≠ −1│ │ + ; = 1como forma, esquema, reduce el proceso de integrar a operaciones básicas. Sucede algosimilar con las derivadas, el cálculo de determinantes, multiplicación de matrices,operaciones entre conjuntos, entre otros.

El énfasis en este ámbito se hace sobre el logro del algoritmo: el cálculo iterado, enlos esquemas explícitos y el proceso de extensión a problemas o planteamientos con ciertoscambios en las condiciones, suerte de una “aplicación” interna que refuerza y afianza elconcepto.

Este es un campo muy caro al desarrollo de la matemática computacional, sinembargo, una cosa es aprender un algoritmo de cálculo y otra es construirlo, derivarlo deregularidades identificadas, etc.

2.2. Las relaciones de 1er orden.El desarrollo de la noción de número y operación recorre, desde su indiferenciación

‒el estudiante no sabe cuándo, cómo y qué operar‒, hasta su síntesis estructurada, unproceso en el que se gana la noción de “relación”. La idea de relación sufre una primeracrisis ‒no necesariamente se logra su “superación”‒ justo cuando aparece la noción deinfinito e infinitésimo, y con ella, la de límite.

El límite es la primera noción de crisis con el seguro y “cálido” ámbito operativo.Nada es seguro en esa noción que trata de asimilarse, en los contenidos de cálculo, justo enel trabajo sobre el límite por definición. No sólo rompe con las nociones auxiliares deconjuntos dadas por los diagramas de Venn, sino que además, distrae y distorsiona laatención sobre la noción intuitiva de límite como simple “recorrido” de una variable.

2.3. Las relaciones de 2do orden.Ya cuando los esfuerzos cognitivos se apropian de la noción de límite y su

expresión analítica, sobreviene una segunda crisis: la de las dimensiones. La noción dedimensión obliga al estudiante a salir de otro lugar seguro, como son los espacios de una ydos dimensiones. Ya antes se alcanza la posibilidad de actuar multidimensionalmente,“como si se llevaran varias cuentas” desde algoritmos que emplean operaciones básicas,pero a la altura de las tres dimensiones, decaen las posibilidades representativas, por lo quese exige un alto grado de imaginación para poder acceder a conceptos centrales.

Este ámbito es el propio de las grandes generalizaciones (por ejemplo, el conceptode tensor o el de variedad).

3. Algo más sobre los ámbitos y sobre la acción.Lo definido hasta ahora me permite afirmar: el ámbito operativo, síntesis de número

y operación en un sentido amplio, es la perspectiva más común en la educación matemática,desde allí, no sólo estimamos las “competencias”, sino además se construyen algunasformas convencionales de valoración y evaluación. Debo resaltar que no estoy realizandoningún juicio de valor, sólo realizo, para fines de mí comprensión una racionalización quecomparto y pongo en clave de debate. El límite y la dimensión, pensados como objetosmatemáticos, no son propiamente “operaciones”, son más bien nociones, y en algúnsentido, condiciones de “operacionalidad”, que pasan, muchas veces, al fondo de lacomprensión.

Si lo que afirmo es cierto, entonces, a mi parecer, podemos partir de unos básicosacuerdos y, por mi parte, dar entrada al centro de mi propuesta de trabajo. La misma sefundamenta en dos objetivos: 1) desarrollo de lo operativo apoyado en las llamadas“situaciones de producción” (Alson1); 2) promover una “apreciación de la matemática”mediante actividades de divulgación abiertas. Presento a continuación lo relativo al primerobjetivo; el segundo será desarrollado en una tercera y última parte.

3.1. Las situaciones de producción.Como he planteado en lo anterior, la operación y el número, en un sentido amplio,

es el objeto central de lo que consideramos “competencias matemáticas”2. Representemos ala operación y al número con el siguiente símbolo:→

Donde “ ” puede pensarse como “valores iniciales”, “dato”, “datos fuente”, entreotros; “ ”, igualmente, podemos entenderlo como “resultado”, “respuesta”, entre otrasnociones. Bien, lo importante, es entender que “→” es el símbolo que “arropa” en ampliosentido a la noción de “operación”.

Mencioné al principio que diferencio operación de acción, porque de hecho,pertenecen a dos instancias ontológicas distintas: la primera es un hecho matemático, comocuando, por ejemplo, se define al cuerpo de los reales, como un conjunto de elementos(números) y a un conjunto de operaciones. En la realidad de las operaciones no cabe elerror, tampoco los procedimientos o los dispositivos de acción como, por ejemplo, la Cribade Eratóstenes, entre otros.

La acción, en un entorno operativo, es una cuestión humana, por lo tanto, escentrable, es superable, sujeta a error, a interpretaciones, entre otros. Acción, cuandohablamos de un estudiante que realiza un ejercicio, que resuelve un problema planteado,que revisa y sigue por su cuenta un ejemplo realizado en clase, es un proceso análogo al de“producir”: se parte de unas condiciones iniciales, se aplica un procedimiento bien definido‒nos referimos a la relación entre los elementos iniciales y finales‒, y se obtiene unresultado. Y de la misma manera que en un proceso productivo cualquiera, las accionesprevias modifican, no sólo a la “realidad matemática”, sino al “ejecutante” mismo, cada

1 Alson, P. (2 000). Eléments pour une théorie de la signification en didactique des mathématiques. Tesis deDoctorado presentada en la Universidad Bordeaux 1, Escuela Doctoral de Matemáticas – Informática.Francia.2 No es casual, ni es arbitrario.

acción prepara la perfección o superación de las anteriores. Es necesario aclarar que nohago una apología conductista, me refiero si, a una dialéctica evidente en toda actividadhumana.

Consideremos entonces a las situaciones de producción, cada una será explicada:3.1.1. Situación AlgorítmicaPara diferenciar operación de acción, anteponemos el símbolo “↦”. Si tenemos en

mente a las operaciones, en un sentido muy amplio, podemos comprender la siguienterelación: ( ⟶)⟼

De la primera simbolización ‒la de operación‒ deriva la de acción. Acción ennuestro ámbito significa inicialmente “ejecutar una operación aprendida en formaalgorítmica”, esto es, seguir unos pasos dados en clase, y obtener unos resultados dentro deunas expectativas. La idea de la acción es la de llevar adelante lo que la operación sugiere.Su desarrollo acompañado por nuestra actividad tiene desarrollos interesantes.

Esta es la principal actividad de aula. Si aplicamos bien los algoritmos, entendemosel planteamiento, identificamos las posibles complicaciones, y llevamos, mediante lapráctica, el asunto a la consideración de un número suficiente de casos, podemos decir que“sabemos operar”, “sabemos calcular”, “sabemos hacer”.

Esta situación, en su simplicidad, ya convoca a una serie amplia de dificultades.3.1.2. Situación SignificanteLa relación planteada al inicio, “ → ”, es nuestro objeto de análisis. Lo

interesante es que el análisis mismo nos arroja la posibilidad de diferenciar una práctica yponerla en relación directa a nuestra actividad en el aula.

La situación significante se puede representar así:(⟶ )⟼¿Cómo la expresamos en términos de acción? Podríamos decir: a partir de unos

“resultados”, “valores obtenidos”, que toman ahora el lugar de lo “inicial” en nuestraacción, junto a algoritmos aprendidos, podemos obtener ‒nótese como la acción ya no sigueexpresamente la dirección de la operación, sin dejar de suponerla‒ las condiciones iniciales,los valores premisa.

La situación algorítmica y la significante se sintetizan sobre la base de la“reversibilidad” de las operaciones, pero, más aún, sobre la posibilidad de resolverproblemas en el seno de estructuras bien definidas. La relación integral‒derivada puede serenfocada, en el seno de la unidad de estas dos situaciones, con alcances interesantes en elaula. Pero agreguemos más:

3.1.3. Situación InterpretativaLa situación siguiente compone al escenario del aula descrito una situación más

“creativa”: ⟼ ( ⟶)Dados unos resultados ‒un “estado”‒, el proceso de acción arroja una operación y

unas condiciones iniciales. Dependiendo de la relación de la acción con las operaciones que

se enseñen, podemos tener varios grados de creatividad, entendida como “iniciativa” entérminos de acción matemática. Puede, inclusive, involucrar el armado de operaciones quese realicen en conjunto para resolver un problema de aplicaciones, un proyecto de aula,entre otros. Por último:

3.1.4. Situación FormalizanteSegún mi parecer esta es la acción más significativa dentro de la acción matemática

en el aula, ya que se refiere a la construcción de una acción sujeta a formalización, es decir,de amplia generalidad e intersubjetividad. Veámosla:⟼ (⟶ )

Se corre, muchas veces, el riesgo de reducir la acción a operación, lo que eliminaríatodo el proceso que hemos llevado a delante. Creo que debemos discutir y fijar loselementos que se han presentado, esto significa ponerlo bajo la sana crítica, proceso quesólo nos llevará hacia adelante.

Prepararé la última parte, donde propongo algunas líneas referidas al segundoobjetivo. Espero podamos reunirnos pronto.

Prof. Luis Enrique Millán Arteagaluiscimarron@gmail.com

Universidad Nacional de Lanús