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Problema 1
Dado el sistema
dx
dt =y
dy
dt = x
se pide discretizarlo mediante Runge Kutta de segundo orden,
cuya formula es
Runge-Kutta 2
un+1 = un+12
(qu1+qu2)
vn+1 = vn+1
2(qv1+qv2)
qu1 = hfu(un, vn, tn)
qu2 = hfu(un+hqu1, vn+hqv1, tn+1)qv1 = hfv(un, vn, tn)
qv2 = hfv(un+hqu1, vn+hqv1, tn+1)
fu =
du
dt
fv =
dv
dt
En nuestro caso u= x y v= y yfx= y fy = x
Las condiciones iniciales se plantean
Condiciones iniciales
x0 = 1
y0 = 1
y = 2 s1. Se pide utilizar un paso de h= 0,0625 s. En la
siguiente figura se puede ver el resultado obtenido alcalcular el
problema.
Figura 1: Resultados obtenidos para el ejercicio 1 utilizando un
paso de h = 0,0625.
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Problema 2
Dada la ecuacin
y +y = 0
y(0) = 0
y(0) = 1
se pide discretizar por los mtodos de Taylor y de Newmark, que
estn dados por
Taylor
un+1 = un+kvn+k2
2f(tn, vn, un)
vn+1 = vn+k
2[f(tn, vn, un) +f(tn+1, vn+1, un+1)]
Newmark
un+1 = un+kvn+k2
4 [f(tn, vn, un) +f(tn+1, vn+1, un+1)]
vn+1 = vn+k
2[f(tn, vn, un) +f(tn+1, vn+1, un+1)]
donde
un y(tn)
vn y(tn)
f=y
El problema discretizado queda,
u0 = 0
v0 = 1
f(tn, vn, un) = un
Taylor
un+1 = un
1
k2
2
+kvn
vn+1 = vn+k
2[un un+1]
Newmark un+1 = un+kvn+
k2
4 [un un+1]
vn+1 = vn+ k2
[un un+1]
Con Taylor lo podemos calcular de una. Con Newmark, si laburamos
un poco las expresiones, creo que tambin:
un+1
1 +
k2
4
= un
1
k2
4
+vnk
vn+1+un+1k
2 =
k
2un+vn
un+1 = un1 k
2
4
1 + k2
4
+vnk
1 + k2
4
vn+12
k+un+1 = un+
2
kvn
un+1 = un1 k
2
4
1 + k2
4
+vnk
1 + k2
4
vn+1
2
k =un
1
1 k2
4
1 + k2
4
+
vn2
k
k
1 + k2
4
un+1 = un1 k
2
4
1 + k2
4
+vnk
1 + k2
4
vn+1 =
k
2un
1
1 k2
4
1 + k2
4
+
k
2vn2
k
k
1 + k2
4
finalmente se ha arribado a un sistema lineal que permite la
resolucin mediante el mtodo de Newmark. Matricial-mente los mtodos
quedan expresados como
Taylor
un+1
vn+1
=
1 k
2
2 k
k2
2
k2 1 1 k
2
2
un
vn
Newmark
un+1
vn+1
=
1k2
4
1+ k2
4
k
1+ k2
4
k2
1
1k2
4
1+ k2
4
k2
2
k
k
1+ k2
4
un
vn
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A continuacin se observan los resultados obtenidos. Newmark es
un mtodo implcito lo cual lo hace incondi-cionalmente estable.
Figura 2: Resultados obtenidos utilizando el paso h = 23 de la
consigna. Se puede ver que Taylor frute y
que Newmark intenta pegarle pero tambin se va.
Figura 3: Resultados obtenidos con un paso de h = 10
. Taylor sigue mandando fruta aunque Newmark le
peg al palo y entr.
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