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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 1: Números enteros
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1Números enteros
INTERNET
LECTURA INICIAL
ESQUEMA
ACTIVIDAD
En el manejo del dinero aparecen situaciones en las que tienes dinero y otras en las que lo debes.
Estas y otras situaciones han dado lugar a los números enteros.
Los mercaderes fueron los primeros en utilizar el cero y los números negativos.
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La criba de Eratóstenes
Busca en la webEnlace a configuraciones de tablas numéricas
Enlace a la historia de Eratóstenes
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Esquema de contenidos
Números enteros
Definición Valor absoluto
Operaciones
Suma y resta
Multiplicación y división Potencias de números enteros
Base y exponente de una potencia
Operaciones con potencias
Raíces cuadradas
Raíces exacta y entera
Divisibilidad entre enteros
Múltiplo y divisor
Criterios de divisibilidad
MCD y MCM
Operaciones combinadas
Jerarquía de las operaciones
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Los números enteros
El conjunto de números enteros se representa con la letra Z y está formado por:
- Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, …
- El número cero: 0
- Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, …
SIGUIENTE
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El valor absoluto de un número entero es el número que resulta de prescindir de su signo.
Se escribe:
a 3 - 4 - 10 5 - 1
3 4 10 5 1
El opuesto de un número entero es otro número con el mismo valor absoluto pero de signo contrario.
Valor absoluto
aa
a
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Para sumar dos números enteros se procede de la forma siguiente:
Ejemplo 1:
Dos sumandos con el mismo signo
Haz tú los cálculos.
Suma y resta de números enteros
Ejemplo 2:
Dos sumandos con diferente signo
13
137676
76
signomismo
1
16767
76
signodiferente
SIGUIENTE
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Para dividir dos números enteros, se dividen sus valores absolutos y se añade el signo + si son de igual signo, o el signo – si son de diferente signo.
Producto y división de números enteros
15)5(-)3d. (- 15 -) 5(- )3b. (
15-)5()3 (- c.15)5()3a. (
Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos y se añade el signo + si son de igual signo, o el signo – si son de diferente signo.
9)3(-:)27d. (- 9 -) 3(- :)27b. (
9-)3(:)27 (- c.9)3(:)27a. (
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Potencia de números enteros
Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales:
a es la base y n es el exponente.
veces n
n a...aaaa
27333)3( .c
813333)3( .b
8133333 .a
3
4
4
Conclusión:
- Si la base es positiva la potencia es positiva.
- Si la base es negativa y el exponente par, la potencia es positiva.
- Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia es negativa.
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Operaciones con potencias: producto y cociente de potencias de la misma base
Para multiplicar potencias de la misma base:
Para dividir potencias de la misma base:
mnmn aaa
mnmn aa:a
SIGUIENTE
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Operaciones con potencias: producto y cociente de potencias de la misma base
Para multiplicar potencias de la misma base:
Para dividir potencias de la misma base:
mnmn aaa
mnmn aa:a
Entonces:
23535
52323
333:3
4444
SIGUIENTE
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Potencia de una potencia
Para elevar una potencia a otra potencia:
mnm n aa 123333333343 666666)6(
124343 66)6(
Por la definición:
Utilizando la propiedad:
SIGUIENTE
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Potencia de una multiplicación y de una división
La potencia de una multiplicación es:
La potencia de una división es:
nnn baba
nnn b:ab:a
SIGUIENTE
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Potencia de una multiplicación y de una división
Por la definición Por la propiedad
21666623232323 3
SIGUIENTE
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Potencia de una multiplicación y de una división
Por la definición Por la propiedad
21666623232323 3 2168272323 333
SIGUIENTE
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Potencia de una multiplicación y de una división
Por la definición Por la propiedad
21666623232323 3 2168272323 333
625.5015151515
3535353535 4
SIGUIENTE
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Potencia de una multiplicación y de una división
Por la definición Por la propiedad
21666623232323 3 2168272323 333
625.5015151515
3535353535 4
625.50816253535 444
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Raíz cuadrada
La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número
b tal que al elevarlo al cuadrado, se obtiene el número a.
Se escribe:
donde a es el radicando, b es la raíz.
Los números que tienen raíz cuadrada exacta se dice que son cuadrados perfectos.
ab ba 2
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Jerarquía de las operaciones
En una expresión pueden aparecer diversas operaciones combinadas. Para hallar el valor de la misma, se ha de seguir estrictamente el siguiente orden en su cálculo:
1.º Las operaciones que estén incluidas entre paréntesis.
2.º Las potencias y las raíces.
3.º Los productos y las divisiones, de izquierda a derecha.
4.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
SIGUIENTE
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Jerarquía de las operaciones
Ejemplo:
1 º
2 º
3 º
4 º
22 23564(-3)
SIGUIENTE
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Jerarquía de las operaciones
Ejemplo:
1 º
2 º
3 º
4 º 22
22
23304(-3)
23564(-3)
SIGUIENTE
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Jerarquía de las operaciones
Ejemplo:
1 º
2 º
3 º
4 º
22
22
22
2274(-3)
23304(-3)
23564(-3)
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 1: Números enteros
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Jerarquía de las operaciones
Ejemplo:
1 º
2 º
3 º
4 º
42749
2274(-3)
23304(-3)
23564(-3)
22
22
22
SIGUIENTE
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Jerarquía de las operaciones
Ejemplo:
1 º
2 º
3 º
4 º
41089
42749
2274(-3)
23304(-3)
23564(-3)
22
22
22
SIGUIENTE
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 1: Números enteros
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Jerarquía de las operaciones
Ejemplo:
4117
41089
42749
2274(-3)
23304(-3)
23564(-3)
22
22
22
SIGUIENTE
1 º
2 º
3 º
4 º
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Jerarquía de las operaciones
Ejemplo:
113
4117
41089
42749
2274(-3)
23304(-3)
23564(-3)
22
22
22
1 º
2 º
3 º
4 º
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Si la división a: b es exacta (su resto es cero), podemos afirmar:
a es divisible por b
a es múltiplo de b
b es divisor de a
Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores positivos son él mismo y la unidad.
Divisibilidad entre números enteros
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Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer si un
número es divisible por otro.
DIVISIBLE POR…
CRITERIO
2 Si la última cifra es 0 o par.
3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
5 Si la última cifra es 0 o 5.
10 Si la última cifra es 0.
11 Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0 o múltiplo de 11.
SIGUIENTE
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Criterios de divisibilidad
Ejemplo: Decir si el número 4.521 es divisible
por 2, 3, 5, 10 y 11DIVISIBLE CRITERIO
2 Si la última cifra es 0 o par.
3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
5 Si la última cifra es 0 o 5.
10 Si la última cifra es 0.
11 Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0 o múltiplo de 11.
Divisible por 2: no lo es por que no acaba en 0 o
en número par.
Divisible por 3: sí, porque la suma de las cifras es
múltiplo de 3 (4 + 5 + 2 + 1 = 12).
Divisible por 5: no, porque su última cifra
no es 0 o 5.
Divisible por 10: no, porque su última cifra
no es 0.
Divisible por 11: sí, porque (4 + 2) -(5 + 1) = 0.
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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
El m.c.d. de varios números se obtiene descomponiendo
en factores primos los números y multiplicando los
factores primos comunes elevados al menor exponente.
El m.c.m. de varios números se obtiene descomponiendo
en factores primos los números y multiplicando los
factores primos comunes y no comunes elevados al
mayor exponente.
SIGUIENTE
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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Vamos a calcular el m.c.m. y el m.c.d.
Ejemplo: Hallar el m.c.m. y el m.c.d. de -16 y 12.
12
6
3
1
2
2
3
16
8
4
2
1
2
2
2
23212 2
4216
m.c.d. (12, -16) = m.c.d. (12, 16) = 22 = 4
m.c.m. (12, -16) = m.c.m.(12, 16)= 24· 3 = 48
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Enlaces de interés
Curiosidades con números enteros
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Actividad: Los números triangulares
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad1aa.htm
Realiza esta actividad de la sucesión de los números triangulares.
Para trabajar con ella,
sigue este enlace.