Números naturales

 

El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........}

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN.

Ejemplo: 2 + 6 = 8, el 8 pertenece a IN.

            5 · 3 = 15, el 15 pertenece a IN.

No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN.

Ejemplo: 3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN.

             1 : 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN.

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:

Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que  (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis:

                                7 + 6 = 5 + 8

                                    13 = 13

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:

Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que  (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis:

                                10 · 6 = 5 · 12

                                    60 = 60

Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN.

Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5;   9 · 1 = 9 ...

Distributividad: a·(b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.

Verifiquemos que   5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6

                                 5·9 = 15 + 30

                                  45 = 45

Propiedades de los Números

Propiedades de los Números NaturalesLa adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 

(a + b) + c = a + (b + c) 

Por ejemplo: 

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 

(7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 

Los resultados coinciden, es decir, 

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5) 

Conmutativa 

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: 

a + b = b + a 

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 

7 + 4 = 4 + 7 

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin

tener en cuenta el orden.

Elemento neutro 

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: 

a + 0 = a 

Propiedades de la multiplicación de números naturales 

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

Asociativa 

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 

(a · b) · c = a · (b · c) 

Por ejemplo: 

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 

Los resultados coinciden, es decir, 

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2) 

Conmutativa 

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: 

a · b = b · a 

Por ejemplo: 

5 · 8 = 8 · 5 = 40 

Elemento neutro 

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: 

a · 1 = a 

Distributiva del producto respecto de la suma 

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 

a · (b + c) = a · b + a · c 

Por ejemplo: 

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55 

Los resultados coinciden, es decir, 

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

https://www.youtube.com/watch?v=OYDy-TJ6GOA

http://www.salonhogar.net/matem/Avanzado/matema033.htm

http://potgramatematica.galeon.com/aficiones1721820.html

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/natural.htm}