Nmeros reales
Se representan con la letra.El conjunto de los Nmeros Reales ()
est integrado por: El conjunto de losNmeros Racionales() que
corresponden a la unin de todos los nmeros cuyaexpresin
decimalesfinita, infinita peridicaoinfinita semiperidica. El
conjuntode losnmeros enteros, positivos y negativos, ms elcero El
conjunto de losNmeros Irracionales (I)queest formado por la unin de
todos los nmeros que admiten una expresin infinita no
peridica.Entonces, se llamanNmeros Realesatodos aquellos que se
pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el
conjunto de los Nmeros Reales () est formado por los elementos del
conjuntounido conI.El siguiente cuadro es ilustrativo:
Todos los nmeros reales pueden ser representados en la recta
numrica.
A cada punto de la recta numrica le corresponde un nmero real y
viceversa; es decir, existe unacorrespondencia uno a unoentre los
puntos de la recta numrica y los nmeros reales.Importante:Con
nmeros reales pueden realizarse todo tipo de operaciones bsicas con
dos excepciones importantes:1.- Noexisten racesde orden par
(cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de nmeros negativos en nmeros
reales, razn por la cual existe el conjunto de losnmeros
complejosdonde estas operaciones s estn definidas.2.- No existe
ladivisin entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o
entre nadie; es decir, no existe la operacin de dividir entre
nada.En otras palabras, no son reales las fracciones con
denominador cero y las races de ndice par y radicando
negativo.Infinito no es un nmero realInfinito no es un nmero real,
es una idea. Una idea de algo que no termina.Recuerde, adems, que
cualquier fraccin con numerador cero, tiene como resultado final,
el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero)Operaciones
aritmticas y propiedades con nmeros reales
Los nmeros reales (designados por ) son casi todos los nmeros
que podemos escribir o conocer.
Segn esto, en los reales se incluyen:Losnmeros racionales (Q),
ya sea como fracciones o como decimales (3/4, 6/8, -0,234, 6, 589,
etc.)Losnmeros naturales (N)y losnmeros enteros Z)(1, 2, 3, 4, 5,
etc.)Losnmeros irracionales (I):(pi, phi, raz de 2, de 3, de 5,
etc.)Losnmeros racionalesson aquellos que pueden expresarse como
elcocientede dos nmeros enteros, tal como 3/4, 21/3, 5, 0, 1/2,
mientras que los irracionales son todos los dems.Los nmeros
racionales tambin pueden describirse como aquellos cuya
representacin decimal es eventualmente peridica, mientras que los
irracionales tienen una expansin decimal aperidica.Los nmeros
reales pueden ser positivos, negativos o cero.Entre los que no son
reales tenemos la raz cuadrada de menos 1, que es un nmero
imaginario.El nmero infinito, tampoco es un nmero real, al igual
que otros que usan los matemticos.Propiedades de los reales en la
suma o adicinLa suma de nmeros reales, tambin llamada adicin, es
una operacin que se efecta entre dos nmeros, pero se pueden
considerar tambin ms de dos sumandos. Siempre que se tengan dos
nmeros reales, se pueden sumar entre s.La suma de nmeros reales
tiene las siguientes propiedades:Propiedad Interna:El resultado de
sumar dos nmeros reales es otro nmero real.Propiedad Asociativa:El
modo de agrupar los sumandos no vara el resultado.Propiedad
Conmutativa:El orden de los sumandos no vara la suma.Propiedad del
Elemento neutro:El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque
todo nmero sumado con l da el mismo nmero.Propiedad del Elemento
opuesto oElemento inversoTodo nmero real tiene un inverso aditivo,
lo que quiere decir que si se suman el nmero y su inverso, el
resultado es 0 (cero): si a es un nmero real, entoncesEl opuesto
del opuesto o inverso de un nmero es igual al mismo
nmero.Propiedades de los reales en la Diferencia (resta o
sustraccin)La diferencia de dos nmeros reales se define como la
suma del minuendo ms el opuesto del sustraendo.a b = a + (b)La
resta es la operacin inversa de la suma, es una operacin entre dos
nmeros: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos
nmeros reales, se pueden restar; por ejemplo:13,2 17,8 =
4,6Minuendo sustraendo = restoAl efectuar restas hay que tener
cuidado con los signos de los nmeros.Al efectuar sustracciones o
restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos: Si
el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor
que el sustraendo, se efecta la resta y el resultado es
positivo.Por ejemplo:27,8 12,1 = 15,7 Si el minuendo y el
sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo,
se efecta la resta y el resultado es negativo.Por ejemplo:12,1 27,8
= 15,7 Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se
efecta la suma de ambos nmeros y al resultado se le pone el signo
menos.Por ejemplo:21,8 12,1 = 33,9 Restar un nmero positivo es lo
mismo que sumar un nmero negativo.Por ejemplo:27,8 12,1 = 27,8 +
(12,1) = 15,7 Restar un nmero negativo es lo mismo que sumar un
nmero positivo.Por ejemplo:27,8 (12,1) = 27,8 + 12,1 = 33,9 27,8
(12,1) = 27,8 + 12,1 = 12,1 27,8 = 15,7Aunque la resta est muy
emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la
suma.Por ejemplo, la resta no es una operacin conmutativa:54,2 33,1
= 21,1y ese resultado es distinto de33,1 54,2 = 21,1Propiedades de
los reales en un Producto (multiplicacin)La regla de los signos que
se aplica para el producto de los nmeros enteros y racionales se
sigue manteniendo con todos los nmeros reales.Entre las propiedades
del producto o multiplicacin con nmeros reales tenemos:Propiedad
Interna:El resultado de multiplicar dos nmeros reales es otro nmero
real.Propiedad Asociativa:El modo de agrupar los factores no vara
el resultado.Si se tienen ms de dos factores, da igual cul de las
multiplicaciones se efecte primero:Si a, b y c son nmeros reales
cualesquiera, se cumple que:Propiedad Conmutativa:La expresin usual
de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el
producto". Si a y b son dos nmeros reales, entonces:Propiedad del
Elemento neutro:El 1 es el elemento neutro de la multiplicacin,
porque todo nmero multiplicado por l da el mismo nmero.Propiedad
del Elemento opuesto:Un nmero es inverso del otro si al
multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad.Propiedad Distributiva:El producto de un nmero por una suma
es igual a la suma de los productos de dicho nmero por cada uno de
los sumandos.Propiedad que permite Sacar factor comn
(factorizar):Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.Si
varios sumandos tienen un factor comn, podemos transformar la suma
en producto extrayendo dicho factor.Propiedades de los reales en la
DivisinLa divisin es la operacin inversa de la multiplicacin, es
una operacin entre dos nmeros: eldividendoy eldivisor. Con una
excepcin, siempre que se tengan dos nmeros reales, se pueden
dividir; por ejemplo:1,86 3,1 = 0,6Dividendo divisor cocienteLa
excepcin es queel divisor no puede ser cero. Esto es, no se puede
dividir entre ceroPero, ojo, queel dividendo s puede ser cero, y
cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero.Por
ejemplo:0 5,41 = 0Las reglas de los signos en el caso de la divisin
son las mismas que para la multiplicacin: el cociente de dos nmeros
de igual signo siempre es positivo; el cociente de dos nmeros de
distinto signo siempre es negativo.Aunque la divisin est muy
emparentada con la multiplicacin, no tiene todas las propiedades de
la multiplicacin.Por ejemplo, la divisin no es una operacin
conmutativa:Como vemos en:6,24 3 = 2,08y ese resultado es distinto
de3 6,24 0,4807La divisin no es una operacin asociativa:Como vemos
en:(8 4) 2 = 1mientras que8 (4 2) = 4Conjuntos numricos
1)N = Conjunto de losNmeros NaturalesN = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7,.......}El conjunto de los Nmeros Naturales surgi de la necesidad
de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus
inicios.Este conjunto se caracteriza porque:Tiene un
nmeroilimitadode elementosCada elemento tiene unsucesory
todos,excepto el 1,unantecesor.
El sucesor de un nmero natural se obtiene sumando uno (+1); el
antecesor se obtiene restando uno (-1).2) N* = N0= Conjunto de los
Nmeros CardinalesN0= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}Al Conjunto de los
Nmeros Naturales se le agreg el 0 (cero) y se forma el Conjunto de
los Nmeros Cardinales.3) Z = Conjunto de losNmeros EnterosZ = {
..... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}El Conjunto de los Nmeros Enteros
surge de la necesidad de dar solucin general a la sustraccin, pues
cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustraccin no
tiene solucin en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo:
5 20 = ?). Debido a esto, la recta numrica se extiende hacia la
izquierda, de modo que a cada punto que representa un nmero natural
le corresponda unpunto simtrico, situado a la izquierda del cero.
Punto simtrico es aquel que est ubicado a igual distancia del cero
(uno a la derecha y el otro a la izquierda de l).Z = N* U Conjunto
de los Nmeros Enteros negativosZ =Tiene 3 Subconjuntos:Enteros
Negativos: ZEnteros Positivos: Z+Enteros Positivos y el Cero:
Z0+Por lo tanto, el Conjunto de losNmeros Enteroses la unin de los
tres subconjuntos mencionados.Z = Z U {0} U Z+4) Q =Conjunto de los
Nmeros RacionalesQ = {....- , - , - , 0, , , ,.....}El conjunto de
los Nmeros Racionales se cre debido a las limitaciones de clculo
que se presentaban en el conjunto de los Nmeros Naturales, Nmeros
Cardinales y Nmeros Enteros. Por ejemplo, slo se puede dividir en
el conjunto de los Nmeros Enterossi y slo sieldividendo es mltiplo,
distinto de cero, del divisor.Para solucionar esta dificultad, se
cre este conjunto, el cual est formado por todos los nmeros de la
formaa / b. Esta fraccin en la cual el numerador esa,es un nmero
entero y el denominadorb,es un nmero entero distinto de
cero.(Ver:Fracciones)El conjunto de losNmeros Racionales (Q )se ha
construido a partir del conjunto de losNmeros Enteros (Z).Se
expresa por comprensin como:Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0
}Este conjunto se representa grficamente, dividiendo cada intervalo
de una recta numrica en espacios iguales, que representen nmeros
enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fraccin con
denominador igual al nmero de partes de la subdivisin.Cada fraccin
es unnmero racionaly cada nmero racional consta de infinitas
fracciones equivalentes.5) I = Q* = Conjunto deNmeros IrracionalesI
=Conjunto de Nmeros Decimales Infinitos no PeridicosEste conjunto
surgi de la necesidad de reunir a ciertos nmeros que no pertenecen
a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a lasraces
inexactas, elnmero Pi,etc. A l pertenecen todos losnmeros decimales
infinitos puros, es decir aquellos nmeros que no pueden
transformarse en una fraccin. No deben confundirse con los nmeros
racionales, porque stos son nmeros decimales finitos, infinitos
peridicos e infinitos semiperidicos ques pueden transformarse en
una fraccin.Ejemplos: 1,4142135....0,10200300004000005....
