OBSERVACIONES ASTRONÓMICAS MAGNITUDES, FLUJO, CORRECCIONES, ETC. Los objetos emiten radiación en todo o gran parte del espectro. Idealmente a uno le gustaría

OBSERVACIONES ASTRONÓMICAS

MAGNITUDES, FLUJO, CORRECCIONES, ETC.

Los objetos emiten radiación en todo o gran parte del espectro. Idealmente a uno le gustaría obtener la distribución absoluta de energía o distribución espectral (SED). Así determinaríamos la energía recibida en términos del flujo por unidad de frecuencia (densidad de flujo) f en W m-2 Hz-1 o por unidad de longitud de onda f en W m-2 nm-1. En la práctica obtener la SED es imposible (detectores + atmósfera). Lo que se mide es el flujo en un cierto ancho de banda o . En la práctica (en el rango óptico e infrarrojo) se utilizan filtros caracterizados por una longitud de onda central (c), anchura efectiva (eff) y respuesta espectral F. Teniendo en cuenta también la transmisión atmosférica (T) y eficiencia del detector + telescopio (R) se tiene que la intensidad observada es:

Normalizando por la anchura del filtro se obtiene la densidad de flujo monocromática:

0 0f f T R F d f S d

-2 -1 W m Hzeff

ff


Unidades: normalmente se utiliza como unidad de densidad de flujo el Jansky (Jy)

1 Jy = 10-26 W m-2 Hz-1 = 10-23 erg s-1 cm-2 Hz-1

De ahí se obtiene la magnitud monocromática en dicha banda:2.5log( )

2.5log( ( 0))

m C f

C f m

La constante depende del sistema fotométrico usado (Johnson,Gunn, Sloan, HST, etc....).

Un sistema muy utilizado para obtener magnitudes monocromáticas es el llamado sistema AB :

-1 -2 -1

2.5log( ) 48.6

erg s cm Hz o

16.4 2.5log( / )

AB f

f

AB f mJy


Se define la magnitud bolométrica aparente de un objeto como:

La constante se define por convenio. Es una medida del flujo total del objeto. La diferencia entre la magnitud bolométrica y la magnitud en la banda X se llama corrección bolométrica:

Magnitud absoluta bolométrica del Sol = 4.74

Convenios:

•BCV()=0 lo que implica que Cbol=-18.90 (unidades MKS)

•BCV()=-0.19 y todas las BC son negativas

Las correcciones bolométricas de estrellas son función del tipo espectral solamente.

02.5logbol bolm f d C

X bol XBC m m


Para objetos extensos (galaxias) interesa medir la densidad de flujo por unidad de ángulo sólido o área de modo que para una densidad de flujo medida por segundo de arco cuadrado, f expresado en erg s-1 cm-2 Hz-1 arcsec-2 se obtiene la correspondiente magnitud superficial en mag arcsec-2. Así es, por ejemplo, como se expresa el brillo del cielo nocturno.

Los conceptos de magnitud absoluta, colores, etc., son los mismos.

VELOCIDADES RADIALES, REDSHIFT

Efecto Doppler (medidas espectroscópicas):

2 1/ 20

0 0

0 0

(1 ) / =(1 )

si 1

/ / / REDSHIFT

r

r

v c

v c z


EFECTOS OBSERVACIONALES

Las medidas de flujo se ven afectadas por varios factores externos a las fuentes que se observan. Estos incluyen la influencia de la atmósfera terrestre, el medio interestelar de nuestra propia galaxia, la resolución espacial limitada, procesos de detección, sensibilidad, ruido, sesgos observacionales, etc.

A) Atmósfera terrestre (extinción atmosférica). Todos los fotones con <103 Å son absorbidos por la atmósfera (UV – rayos ). La presencia de H2O, CO2 y otras moléculas provoca también la absorción de fotones en el infrarrojo, aunque hay ventanas transparentes. En radio, las observaciones están limitadas a >1cm (absorción moléculas) y < 100 m debido a la ionosfera.


La atmósfera también emite radiación: en el IR como un cuerpo negro y en el visible debido a procesos de fluorescencia. La emisión puede ser del orden de hasta 2000 Jy/arcsec2 a 21 m. En el óptico es del orden de 20-22 mag/arcsec2. Este fondo de cielo añade ruido a las medidas.

La absorción + scattering atmosférico produce lo que se denomina extinción atmosférica. En el rango UV-NIR es importante y las magnitudes aparentes observadas deben corregirse por este efecto. La intensidad de una fuente I0 se ve afectada al atravesar un espesor de material absorbente L en la forma:

donde es el coeficiente de absorción por unidad de longitud. Supongamos un modelo sencillo de atmósfera con espesor A, si la fuente se observa a la distancia zenital z, tendremos:

0 exp( )I I L

0

0

0

exp( cosec( )); cosec( ) 1/ cos( )

( ) 1.08574

I I A z X z z

m obs m AX

m kX

X es la masa de airek es el coeficiente de extinción


El coeficiente de extinción k depende de la longitud de onda, del estado de la atmósfera, de la cantidad de polvo, humedad, etc. No es trivial predecirlo y debe medirse sistemáticamente cada noche. Por ejemplo, para el Observatorio del Roque de los Muchachos (La Palma), el promedio es:


B) Absorción interestelar.El espacio entre estrellas no está vacío. Hay gas (moléculas, átomos, iones) y polvo (granos de hielo, grafito, silicatos, metales). El origen de este material (medio interestelar o ISM) es fundamentalmente eyecciones de gigantes rojas y supernovas.•La densidad varia desde ~10-3 cm-3 hasta ~103 cm-3. •Los efectos más importantes sobre las observaciones son extinción y enrojecimiento. •El polvo dispersa y absorbe la luz. •La absorción provoca calentamiento ( 10 K ) de modo que buena parte de la luminosidad de una galaxia se emite en el infrarrojo (~200m). El polvo convierte luz azul en luz infrarroja.•Las partículas de polvo (de tamaño ~a) son eficaces absorbentes de radiación de longitud de onda ~a. Típicamente a~1000 Å, así que el polvo absorbe mayoritariamente luz UV.

Afecta a todas las observaciones tanto de objetos de nuestra galaxia como extragalácticas.



Extinción por partículas de polvo:

Supongamos esferas de radio a distribuidas en un cilindro de longitud L y base de área unidad con densidad nd (partículas/volumen). Esta nube de polvo, si tiene una sección eficaz de extinción Cext, atenuará la luz de modo que (a una longitud de onda):

d ext

dIn C dL

I

de manera que, integrando a toda la longitud del cilindro:

0

0 ( 0) (luz no atenuada)

profundidad optica

densidad columna del polvo

d ext d ext

d d

I I e

I I L

n C dL N C

N n dL

En magnitudes, se escribe:0

2.5log 1.086 EXTINCIONd ext

IA N C

I

Se define el factor de eficiencia de la extinción, Qext, como el cociente entre las secciones eficaces de extinción y geométrica:

22

1.086extext d ext

CQ A N a Q

a


Si lo que hay en el cilindro es polvo con distintos tamaños, con una distribución de radios dados por n(a) tal que n(a)da es el número de granos/volumen con radio entre a y a+da, entonces:

21.086 ( ) ( )extA L a Q a n a da

El problema es determinar Qext. Este coeficiente tiene dos contribuciones, la debida a absorción (Qabs ) y la debida a scattering (Qscatt), ambas función de (2a/) y del índice de refracción del polvo, m=n-ik, que es desconocido. Se tiene que: Qext= Qabs + Qscatt

Para materiales dieléctricos k=0 y m=nc1+c2/ 2 (fórmula de Cauchy).

• En general, c1c2 y m cte (hielos y silicatos)• Materiales absorbentes (metales), k~n y m=m()crece con 2 / para 0 4

pico en ~ 4 5 y decrece

~ cte para 6 8 extincion neutraext

X a X

Q X

X


La extinción AX de una fuente en la banda X se define como la diferencia entre la magnitud observada y la que tendría sin polvo: AX(m – m0)X

El exceso de color, E(X-Y) en el color X-Y se define como la diferencia entre el color observado m(X) - m(Y) y el color intrínseco m0(X) – m0(Y):

E(X-Y) [m(X) - m(Y) ] - [m0(X) – m0(Y) ] = AX – AY

Normalmente se usan AV y E(B-V). Se sigue que para obtener la magnitud absoluta:

mX = MX + AX + 5log(d) – 5 (d en pc).

OBTENCIÓN: Dos estrellas de igual tipo espectral 1 1 1 1

2 2 2 2

( ) ( ) 5log( ) ( )

( ) ( ) 5log( ) ( )

m M d A

m M d A

Al ser idénticas M1=M2 y si asumimos A1() A2(), así A()= A1()

11 2

2

( ) ( ) ( ) 5log ( )d

m m m Ad


Se normaliza respecto a dos estándares (normalmente B,V):

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )V

normB V

Em m A A EE

m m A A E E

Se observa que la curva de extinción muestra la misma forma general. La extinción relativa es:

1 V V VV V

B V B V V B V

E A A A AR R

E E A E


La curva de extinción muestra un ‘bump’ a ~ 2175 Å y es compatible con granos con índice de refracción m=1.5-0.05i, a=0.2 m.

RV varia entre 3 y 5 en nuestra galaxia.

Hay varias leyes o curvas de extinción dependiendo del método, etc.

Normalmente se usa RV=3.1.

DENSIDAD DEL POLVO Y COCIENTE POLVO-GAS:

Puede estimarse la cantidad de polvo necesaria para producir una extinción observada. Sean granos esféricos de polvo de radio a. Se tiene:

La densidad de masa en una columna de longitud L es

22

20

14

2ext

mQ d a

m

3/ ; densidad columna; (4 / 3)d d d d dN m L N m a s

22

2 0

21.086

1d ext d

AmA N a Q s d

m L


Conociendo la curva de extinción promedio puede estimarse la densidad de polvo:

Por ejemplo, si AV/L ~1.8 mag/kpc, m=1.5 y s~2500 kg/m3, d~18 10-24 kg/m3

Si se conoce la densidad de gas H puede determinarse la relación polvo-gas Zd o viceversa: Zd=0.71 d/ H (0.71 para tener en cuenta helio).

Se observa que E(B-V) es proporcional a la densidad columna de hidrógeno, NH:

E(B-V) = NH/5.8 1021cm-2, es decir, Zd= E(B-V) / NH, de modo que puede obtenerse la extinción a partir de medidas de HI.

A. Burstein & Heiles (1982, AJ 87, 1165) publican mapas de E(B-V) en la Galaxia y obtienen:

B. Schlegel, Finkbeiner & Davis (1998, ApJ 500, 525) idem + mapas de polvo:

http://astron.berkeley.edu/davis/dust/index.html

227

2

21.2 10 ; en mag/kpc

1V V

d

A Amsm L L

22 2( ) 0.055 1.986 10 (cm )HE B V N


C) Radiación electromagnética. Se detecta desde ~1 MHz hasta ~ 1024 Hz. Su naturaleza cuántica determina las observaciones astronómicas. Así, para un cuerpo negro, el número medio de fotones emitido es:

//

/ para 1

para 1 h kTh kT

kT h h kTn

e h kTe

Así, a longitudes de onda largas (radio), n1, mientras que a cortas (rayos X y ) n1, de modo que en radio la radiación puede ser descrita como una onda (superposición coherente de fotones), mientras que a alta frecuencia el tratamiento es del tipo “conteo de fotones”. Esto puede verse también desde el punto de vista de las fluctuaciones del número de fotones:

2 2( )n n n

A alta frecuencia domina el primer término y conduce a fluctuaciones poissonianas:

A baja frecuencia se tiene: típico de ondas clásicas.

Esto es de importancia fundamental para la observación.

1/ 2( / )n n n

n n


D) Limitaciones en resolución. Existen tres límites importantes en resolución:

•Resolución angular ()•Resolución espectral (/)•Resolución temporal (t/t)

RESOLUCIÓN ANGULAR: Esta dada por el límite de difracción del sistema: 1.22/DDonde D es el diámetro de la apertura colectora. Este es el límite teórico, pero hay otras limitaciones (técnicas, turbulencias atmosféricas,...).

•~103 arcsec a energías mayores que ~100keV•~0.1 arcsec para telescopios espaciales (UV-IR)•~1 arcsec en telescopios terrestres (óptico-NIR)•~1-100 arcsec en mm y submm•~10-4 arcsec en radio con interferómetros de muy larga base (VLBI)

RESOLUCIÓN ESPECTRAL: Determinada por la técnica: (R=/=poder de resolución)

•~102 en rayos X•~104 – 109 en óptico-infrarrojo•~106 para > 1mm

La resolución espectral se traslada en resolución en velocidad. En el óptico: ~30 km/s


RESOLUCION TEMPORAL: Limitada por la técnica e instrumentación. Típicamente puede ser de 10-4 a 106 s en muchas bandas.


E) Sensibilidad y relación señal-ruido (SNR):En algunas bandas hay limitaciones debido a las técnicas/instrumentación, en

otras son debidas a agentes externos incontrolables.

En el óptico, UV y frecuencias más altas, una de las limitaciones básicas a la SNR es debida a las fluctuaciones fotónicas de la señal en el detector. Supóngase entonces una fuente cuyo flujo en la banda () en unidades de energía/s/area es Fs(), de modo que produce N = Fs()/h fotones/s/area en el detector. Si la observación dura t segundos, esperamos detectar

fotones en el área Aef. Si no hay más fuentes de ruido se esperan fluctuaciones del orden de en el número de fotones detectados. Hay dos fuentes principales de ruido:

el fondo del cielo y el ruido intrínseco del detector.

(a) Si el flujo del cielo es Fbg() (erg/s/area/sterradian), el número medio de fotones de fondo contaminantes sera:

donde es el campo de visión del telescopio.

( ( ) / )s efN F h A t

N

( ( ) / )bg efB F h A t


(b) El ruido del detector depende del tipo de detector. Por ejemplo en CCDs, existe la llamada corriente oscura que se origina por movimientos térmicos de los electrones y que origina una detección estacionaria de “fotones” a un ritmo constante C. Así, se añade un fondo Ct.

El ruido total sobre el detector será entonces:

1/ 2( )N B Ct

Por lo que la relación señal-ruido es:

1/ 2

1/ 21/ 2

( )

( / )( )

( / ) ( / ) ( / )

sef

s bg ef

S NSNR

R N B Ct

FA t

F F C A


Así que la SNR aumenta como t1/2.

Para alcanzar una SNR dada, el tiempo necesario depende:

•t Aeff-2 si la sensibilidad está limitada por ruido del detector

•t Aeff-1 si la sensibilidad está limitada por ruido de fondo

•t Aeff-1 si dominan las fluctuaciones de la fuente

El flujo mínimo que puede detectarse con una SNR de R, en observaciones limitadas por fondo es:

A bajas frecuencias (radio), la naturaleza ondulatoria domina sobre las fluctuaciones fotónicas y se habla de temperatura del sistema Ts definida de modo que el ruido por unidad de frecuencia es kTs. Si el ángulo sólido de visión del telescopio es b~(/D)2 el ruido será equivalente a una intensidad de

1/ 2 1/ 2min ( ) ( )bg efF R F A t

2

2( ) s

ruido s b b

kTF B T


B(Ts) es la intensidad de cuerpo negro a la temperatura del sistema.

El flujo mínimo alcanzable (SNR=3) es en este caso:

min 1/ 22 2

1/ 2 1/ 2 2

4

2 1( )

3 Jy20 K 100 MHz 10 s 130 m

s

s

kTF

D t

T t D

De nuevo, la sensibilidad aumenta como t1/2.


F) Sesgo en luminosidad (luminosity bias).En cualquier survey sensible hasta una luminosidad limite, se tiene a seleccionar los objetos brillantes. Esto puede dar lugar a un sesgo (bias) llamado Malmquist bias.

Dada una colección de objetos similares, se define una función densidad tal que:

representa el número de objetos con magnitud absoluta entre M y M+dM en el elemento de volumen entre . Si se asume que las distribuciones espacial y en luminosidad no están correlacionadas, entonces:

siendo (M) la Función de Luminosidad (LF).

( , )M x

( , )dN M x dMdx

y x x dx

[ ( ) ][ ( ) ]dN M dM n x dx

La función de luminosidad es de gran importancia en astronomía pero es difícil de determinar. Lo que se determina mediante las observaciones es la distribución de objetos (estrellas o galaxias) en magnitud aparente m. Por conteo directo puede determinarse la cantidad A(m), donde dN=A(m)dm proporciona el número de objetos en el rango de magnitudes aparentes entre m y m+dm. En cualquier situación real, habrá una magnitud limite, ml, así que sólo se conoce A(m) para m<ml.


La cuestión que surge entonces es como de bien puede determinarse (M) a partir de A(m) cuando las magnitudes aparente y absoluta se relacionan por siendo E la extinción interestelar. Dada pues esta relación y una función de luminosidad, el número de estrellas con mag absoluta entre M y M+dM y mag aparente entre m y m+dm es:

5log( / ) 5m M r pc E

2

( )M

d N d rM

dmdM dr m

N

Donde r(m,M) se determina a partir de m-M y (r) es el número de de objetos en el survey en el rango r,r+dr. Si el survey tiene una cobertura angular de srad, entonces

2 ( )d

r n rdr

N

Integrando sobre mag absoluta:

22

2

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

M

d N rA m dM dM M r n r

dmdM m

dr M r n r


Pueden obtenerse valores medios de cantidades o derivadas de cantidades. Por ejemplo:

2 2

2 2

1 1

1 1

m

m

dA d

A dm dM

d A d

A dm dM

Con estas relaciones se pone de manifiesto un punto importante. Asumamos un caso concreto. Supóngase que (M) es una función gaussiana determinada por dos parámetros, M0 y .

2

01/ 2 22

( )1( ) exp

22

M MM

Las medias y varianzas de la población de objetos que se obtendrían en una muestra limitada por volumen son:

22 2 2 4

0 2

22 2 2

ln ln;

con

( )

mm

m m mmm

d A d AM M

dm dm

M M M M


Esto demuestra que, en general, la media y la varianza de una muestra limitada en magnitud será diferente que la real (la de la limitada en volumen). Ya que dA/dM>0, generalmente, la ecuación anterior muestra que los objetos en un survey limitado en magnitud de cierto m, serán, en promedio, más luminosos que los de la población real: Malmquist bias. No hay un procedimiento general para corregir de este bias.

G) Limite de confusión: Sea un survey realizado por un instrumento con campo de visión y flujo límite Flim. Si el ángulo sólido total del survey es sky y si hay Ntot fuentes con flujo F>Fmin en el Universo, el número medio de fuentes esperadas en el survey es

Puede haber más de una fuente en (por resolución angular). La probabilidad de que haya n fuentes en el beam está dada por (distr. Poisson):

Si consideramos sólo P(2), entonces el número de beams con 2 fuentes en vez de una esNmal=P(2)(sky / ), de modo que la fracción de casos con mala identificación será:

(en ) = totsky

n N

( ) exp( )!

nnP n n

n

1exp

2mal tot tot

tot sky sky

N N N

N


Ejemplos de confusión:

1. Sea Ntot = 1000; =1 deg2, y sky=4.1104 deg2. Entonces

y P(2)=310-4 de modo que el número de beams con dos fuentes en lugar de

una es

Nmal12; es decir hay un 99% de identificaciones correctas.

2. Sea ahora Ntot = 10000, de modo que asi que hay casi un 10% de

identificaciones incorrectas.

¿Puede evitarse esto disminuyendo el tamaño del beam ? Aparte del aumento de tiempo de observación, hay otro problema: las fluctuaciones aleatorias producirán fuentes falsas en zonas donde no hay.

EJERCICIO: demostrar que, suponiendo que una fluctuación al nivel 3 ( es el ruido del instrumento) puede ser tomada como una detección, la fracción de casos con detecciones falsas es:

siendo G(3 ) la probabilidad de un evento con flujo 3 .

= 0.024totsky

n N

= 0.24totsky

n N

(3 ) 1 (3 )falsas sky sky

tot tot tot

NG G

N N N


H) Surveys

El hecho de que los fenómenos astrofísicos abarcan un amplio rango dinámico en frecuencia (~17 decadas): desde ~107 Hz hasta ~1024 Hz implica que sólo habrá información completa cuando se hayan hecho surveys en todas las bandas (cartografiados). Existen muchos surveys, sin embargo, la información espectral que se posee sobre el Universo es ~50% completa.




I) Corrección K

Cuando un objeto se mueve a gran velocidad (o tiene un redshift z) la frecuencia de los fotones observados no es la misma que la de estos fotones en el sistema de referencia de la fuente. Por lo cual, el valor observado de una magnitud aparente m no está conectado directamente con la magnitud absoluta M. Es necesario añadir una corrección:

A es la extinción galáctica y K es la llamada corrección K. Así, si la fuente tiene una luminosidad L(em) a la frecuencia de emisión em (reposo) y una luminosidad L(obs) observada (a la frecuencia obs = obs/(1+z)), la corrección K es:

Si observamos a través de un filtro que tiene un perfil de transmisión S() lo que se tiene es entonces:

5log( ) 5m M d A K

(1 ) ( )2.5log

( )em

obs

z LK

L

0

0

( ) ( )2.5log(1 ) 2.5log

( / 1 ) ( )

F S dK z

F z S d


La corrección K depende del tipo de objeto de que se trate (F()), así por ejemplo,


La corrección K también puede incluir un término de evolución ya que la forma espectral de las fuentes cambia con el tiempo.

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