ECUACIÓN DE LA PROPAGACIÓN DE UNA ONDA EN UNA VARILLA

Si se le aplica una fuerza o golpe a uno de los extremos de la barra, la perturbación se propaga

a lo largo de ésta, es decir, una onda se propaga a través de una sección transversal de barra A

y así se percibe al otro extremo. Para cada sección de barra existe una fuerza F y una fuerza de

reacción -F creando así una tensión por área o un esfuerzo normal, esto es:

𝛿 =𝐹

𝐴 (1)

Llamaremos 휀 , deformación unitaria normal, como la variación de 𝜉 (unidades de longitud) a

lo largo del eje de la barra (x), como es el cociente de longitudes, entonces es adimencional,

esto es:

휀 =𝛿𝜉

𝛿𝑥(2)

La ley de Hooke establece que existe una relación entre la deformación unitaria normal 휀 y el

esfuerzo normal 𝛿 a través de una constante llamada “modulo de elasticidad de Young”.

𝛿 = 𝑌휀(3)

Reemplazando (1) y (2) en (3) tenemos:

𝐹 = 𝐴𝑌𝛿𝜉

𝛿𝑥(4)

La fuerza también varia a lo largo de la barra luego:

𝑑𝐹 = 𝐹′′ − 𝐹 =𝛿𝐹

𝛿𝑥𝑑𝑥 (5)

También sabemos que podemos expresar la masa en función de la densidad, el área y la

longitud dx:

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌𝐴𝑑𝑥 (6)

𝑎 =𝛿2𝜉

𝛿𝑡2

Aplicando Segunda Ley de Newton a (5) y remplazando (6) tenemos que:

𝛿𝐹

𝛿𝑥= 𝜌𝐴

𝛿2𝜉

𝛿𝑡2 (7)

Remplazando la derivada de (4) en (7) tenemos que:

𝛿2𝜉

𝛿𝑡2=

𝑌

𝜌

𝛿2𝜉

𝛿𝑥2

Ahora bien, 𝑌

𝜌 está en términos de 𝑣2 entonces:

𝑣 = 𝑌

𝜌

ECUACIÓN DE LA PROPAGACIÓN DE UNA ONDA EN UNA COLUMNA DE GAS

En una columna de gas, una onda puede propagarse debido a la variación de presión, y como

el gas es compresible, existe también una variación en su densidad.

Al cambiar la presión 𝜌0 el volumen 𝑑𝑣 = 𝐴𝑑𝑥 se coloca en movimiento, entonces el nuevo

volumen vendría a ser 𝑑𝑣 = 𝐴(𝑑𝑥 + 𝑑𝜉) .

Como la masa es igual a la densidad por el volumen, entonces tenemos que para el sistema en

estado de reposo:

𝑑𝑚 = 𝜌0𝐴𝑑𝑥 (1)

Y en movimiento:

𝑑𝑚 = 𝜌𝐴 𝑑𝑥 + 𝑑𝜉 (2)

Como la masa no varia entonces, igualando (1) y (2). Y despejando 𝜌0 tenemos:

𝜌 1 +𝛿𝜉

𝛿𝑥 = 𝜌0 (3)

Despejando 𝜌:

𝜌 =𝜌0

1 +𝛿𝜉 𝛿𝑥

(4)

Aplicando la formula (1 + 𝑥)𝑛 = (1 + 𝑛𝑥), para todo x<<1 en (4) tenemos que:

𝜌 = 𝜌0(1 −𝛿𝜉

𝛿𝑥) Ó 𝜌 − 𝜌0 = −𝜌0

𝛿𝜉

𝛿𝑥 (5)

a presión mantiene una relación con la densidad por la ecuación de estado (ecuación

constitutiva que describe el estado de agregación de la materia como una relación funcional

entre la temperatura, la presión, el volumen, la densidad, la energía interna y posiblemente

otras funciones de estado asociadas con la materia) y aplicando el desarrollo de Taylor

tenemos que:

𝑃 = 𝑃0 + 𝜌 − 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝜌)0 +

1

2 𝜌 − 𝜌0

2(𝑑2𝑃

𝑑𝜌2)0 + ⋯

Pero las variaciones de la densidad son relativamente pequeñas, entonces tomamos del

desarrollo sólo:

𝑃 = 𝑃0 + 𝜌 − 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝜌)0 (6)

Al cambio de la presión con respecto a la densidad lo llamaremos módulo de elasticidad del

volumen (k):

𝑘 = 𝜌0(𝑑𝑃

𝑑𝜌)0

Luego nuestra ecuación quedará:

𝑃 = 𝑃0 + 𝑘 𝜌 − 𝜌0

𝜌0 (7)

Sustituyendo (5) en (7) tenemos que

𝑃 = 𝑃0 − 𝑘𝛿𝜉

𝛿𝑥 (8)

Ahora bien, aplicamos segunda ley de Newton, donde dm se define como la masa en la

variación de dx y la aceleración es la segunda derivada del cambio de longitud en función del

tiempo, esto es:

𝑑𝑚 = 𝜌0𝐴𝑑𝑥

𝑎 =𝛿2𝜉

𝛿𝑡2

Como la fuerzas en las secciones A y A’ no se anulan, entonces la resultante de las presiones la

llamaremos dP, así:

𝑑𝐹 = 𝐴𝑑𝑃

Aplicando dF = dm*a y pasando el diferencial dx al opuesto de la ecuación tenemos que:

𝑑𝑃 = 𝜌0𝑑𝑥𝛿2𝜉

𝛿𝑡2

𝛿𝑃

𝛿𝑥= 𝜌0

𝛿2𝜉

𝛿𝑡2 (9)

Derivando (8) en función dx e igualando

𝛿2𝜉

𝛿𝑡2 =

𝑘

𝜌0

𝛿2𝜉

𝛿𝑥2

Como 𝑘

𝜌0 está en término de 𝑣2 entonces:

𝑣 = 𝑘

𝜌0