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IFA6. Prof. M. RAMOS 1

Ondas Mecánicas.

Introducción a la Física Ambiental.Tema 6.

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Tema 6.- Ondas Mecánicas.

• Ondas periódicas: Definiciones.• Descripción matemática.• Ondas armónicas.• Ecuación de ondas.• Velocidad de fase de una onda transversal: Energía

transportada.• Ondas elásticas longitudinales.• Ondas superficiales en líquidos.• Ondas sísmicas.

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Ondas periódicas: Definiciones.• Características del movimiento ondulatorio:

– Transporta energía (E) y cantidad de movimiento sindesplazamiento neto de masa.

– La señal viaja como una perturbación del medio, siendo función delas propiedades elásticas del mismo.

• Tipos de ondas:– Longitudinales:

• La perturbación es paralela a la propagación.– Transversales:

• La perturbación es perpendicular a la propagación.

)( pr

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Descripción matemática de una onda.• Movimiento periódico:

• Onda viajera:– Si la perturbación se desplaza con velocidad, v.

• Velocidad de fase, v:• Velocidad de propagación de la perturbación.

)()()( 00 xxfxxfxf +=−==ξ

vtx =0

)()( vtxfxf ±==ξ

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Experimento IFA2 IFA6. Prof. M. RAMOS 5

Ondas armónicas (periodo espacial).• Cuando la perturbación periódica sigue una función seno/coseno.

– Número de ondas, K=2π/λ.

– Longitud de ondas:• distancia en la que se repite la forma de la onda.

)(),( 0 vtxsenKtx −=ξξ

[ ] ),(22)(),2( 00 txvtK

xsenKvtxKsentK

x ξπξπξπξ =

−+=+−=+

Kπλ 2

= [ ] m=λ

[ ] mK 1=

Problema 1. Hoja IFA6 IFA6. Prof. M. RAMOS 6

Ondas armónicas (periodo temporal).• Periodo, T:

– Intervalo de tiempo para que se repita la forma de la onda.

• Frecuencia, ν:– Inverso del periodo.

• Frecuencia angular:

• Relaciones de interés:

» v, es la velocidad de fase de la onda (m/s).

[ ] sT =

[ ] s1=υ

[ ] sW 1=πυ2=W

T1=υ

)(2)(),( 00 TtxsenWtKxsentx −=−=

λπξξξ

KvW = ⇔ λϑ=v

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Ecuación de ondas.• Ecuación general del movimiento ondulatorio:

• Solución general:

• Solución particular (armónica):

– Demostración:• Doble derivada espacial:

• Doble derivada temporal:

– Igualdad:

2

22

2

2

xv

t ∂∂

=∂∂ ξξ

)()(),( 21 vtxfvtxftx ++−=ξ

)(),( 0 vtxsenKtx −=ξξ

)(02

2

2

vtxsenKKx

−−=∂∂ ξξ

)(022

2

2

vtxsenKvKt

−−=∂∂ ξξ

2

22

2

2

xv

t ∂∂

=∂∂ ξξ

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Velocidad de fase de una onda transversal

• La velocidad de propagación del pulso es función de:• Densidad lineal de masa, µ.

• Tensión de la cuerda, F.

• Condición de equilibrio mecánico.

• Velocidad del pulso:

θµµ Rsm =∆=

( ) θθθ FFFsenF ≅≅=∑ 2222

0→θ

⇓

RvRF

RvmF

22

θµθθ =⇒=

µFv =

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Problema 2. Hoja IFA6 IFA6. Prof. M. RAMOS 9

Energía transportada.• Energía de una oscilación armónica simple:

• Cada segmento de la cuerda oscila en forma de m.a.s:

• Potencia transportada:

22 ``21 mWKAKE =→=

tvAWxAWAWmE ∆=∆=∆=∆ 222222

21

21)(

21 µµ

tvx ∆=∆

⇓

vAWdtdEP 22

21 µ==

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Ondas elásticas longitudinales.• Hipótesis:

– Varilla de sección constante.– La fuerza de tracción tiene la dirección de la generatriz.

• Esfuerzo normal:

• Deformación Lineal:

• Ley de Hooke:

[ ] PamNAF

NN ==→= 2/σσ

ensionaladxd dim→=ξε

[ ] 2/, mNYYoungdemóduloYdxdYN =→−−→=ξσ

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Ondas elásticas longitudinales.• Fuerza neta aplicada en un elemento de la varilla:

• Teniendo en cuenta la ley de Young:

• Ecuación de ondas:

• Velocidad de propagación:

( ) 2

2

2

2

dtdA

dxdF

dtdAdxmadF ξρξρ =⇒==

2

2

2

2

dtdA

dxdA

dxdF ξρξρ ==

dxdYAF ξ

= ⇒

2

22

2

2

xv

t ∂∂

=∂∂ ξξ

2

2

2

2

xY

t ∂∂

=∂∂ ξ

ρξ ⇒⇓

ρYv =

Problemas 3 y 4. Hoja IFA6 IFA6. Prof. M. RAMOS 12

Ondas elásticas longitudinales:enun gas ideal.

Velocidad de propagación, ec. General:

ρYv =

Relación entre el módulo de Young y elcoeficiente de compresibilidad adiabático: s

Y κ1=

ρκ sv 1=

⇒

Para un gas ideal, a partir de la ecuación de estado y del valor del coef. decompresibilidad adiabático para este sistema, tenemos:

Ps γκ 1=MnRT

MPV

VMPPv γγγ

ργ

====⇒mPRTv γ

=

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Ondas superficiales en líquidos.• Velocidad de propagación.

• σ- Tensión superficial (Nm-1)• λ- Longitud de onda (m).• ρ- Densidad (Kg/m3).• g- Intensidad del campo gravitatorio (m/s2).

• Ondas de gravedad.

• Ondas capilares.

+=

ρλπσ

πλ 2

2gv

πλλ

2, gvSi =>>⇒

λπσλg

vSi 2, =<<⇒

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• Tipos de ondas desarrolladas en un evento sísmico:– Ondas Volumétricas:

– Ondas primarias (longitudinales).

– Ondas secundarias (transversales).

– La velocidad de fase de las ondas primarias es mayor que las de las secundarias.

– Ondas de superficie:– Love.– Rayleigh.

Ondas sísmicas I.

ρ

Ykv 3

4+=

ρYv =

sp vv =7.0

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Ondas sísmicas II.• A partir de los valores experimentales obtenidos mediante procesos

controlados (ρ, κ, Y). Se establece una relación entre los desfasestemporales, entre las ondas primarias y secundarias, medidos en un evento

sísmico con la distancia entre el epicentro y el sismógrafo.

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Ondas sísmicas III.• A partir del estudio de los rayos, correspondientes a ondas sísmicaspropagándose a través del interior de la tierra, transmitidos y refractado. Se

puede estudiar la composición interna de la tierra.

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Método geofísico de prospecciónestratigráfica en barcos oceanográficos.