optimizacion

Problemas de optimizacin 1

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIN

Ejercicio 1

Un banco lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad R(x), en euros, viene dada en funcin de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresin:

3,5 0,4x 0,001x- R(x) 2 ++=

Deducir qu cantidad de dinero convendr invertir en dicho plan.

Qu rentabilidad se obtuvo en el caso anterior?

Solucin:

Obviamente, convendr invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca:

0,4 0,002x- (x)'R +=

2000,0020,4

x00,4 0,002x- 0 (x)'R ===+=

00,002- (x)''R


( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )323

22

33

22

22

2

2

22

2

2

22

2

222

x1

x3x2

x1x1

x2xx4x4

x1x1

x21xx1x4

x1x1

x21xx21x4

x1x1

x21xx1x4

x1x12

x2x21x1x4

xf

=

=

++=

+=

+

=

=

+

=

=)(''

22

0

21

223

22

42

1

22

3822

2

22

1

22

322

2

22

f3332

3

=)('' , 30x = es un mnimo

Con esto, los tres trozos son:

5090140x3140z60x2y

30x

===

==

=

Ejercicio 8

La concentracin de ozono contaminante, en microgramos por metro cbico, en una

ciudad viene dada por la funcin 2x60x1590xC ,)( += , donde x es el tiempo transcurrido desde 1 de enero de 1990 contado en aos.

Hasta que ao est creciendo la concentracin de ozono?

Cul es la concentracin mxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?

Solucin:

2x60x1590xC ,)( +=

x2115xC ,)(' =

51221

15x0x21150xC ,

,

,)(' ====

021xC


x4y8x2y2 ==+

Por otro lado, por el teorema de Pitgoras:

( ) x242x816xxx816xx4xyh 222222 ==+===

La superficie ser: x24x2x242x221

xf ==)(

( )x24x68

x24x2x48

x24x2x242

x24x2

x242x242

2x2x242xf

=

=

=

=

=

+=)('

34

68

x0x680x24x680xf ====

=)('

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) x24x2

x38x24x22

x382

x24x24x616

x24x24x68x246

x24x24x68

x24x246

x24x24x68

x246

x24x242

2x68x246

xf

+=

+=

=

+=

+=

+

=

=

+

=

=)(''

0

34

2

12

38

432

4

34

2434

2

3438

34

f =+=+='' ; 3100x = es un mnimo

Las dimensiones del depsito sern:

3100x = cm

( ) 2100

10010050

100

50y

33

23=

== cm

Ejercicio 16

La funcin de coste total de produccin de x unidades de un determinado producto

es: 20x8100x

xC3

++=)(

Se define la funcin de coste medio por unidad comox

xCxQ )()( =

Cuntas unidades x0 son necesarias producir para que sea mnimo el coste medio por unidad?

Qu relacin existe entre ( )0xQ y ( )0xC' ? Solucin:

a) x

208100x

x

20x8100x

x

xCxQ

2

3

++=++

==

)()(

2x

2050x

xQ =)('

10x1000xx

2050x0

x

2050x0xQ 3

22=====)('

3x

40501

xQ +=)(''


01040

501

10Q 3 >+=)('' ; 10x0 = es un mnimo

Es necesario producir 10 unidades para que el coste medio por unidad sea mnimo.

20x8100x

xC3

++=)(

8100x3

xC2

+=)('

( ) 118100103

10CxC2

0 =+

== )(''

( ) ( ) 1128100100

10208

10010

10QxQ2

0 =++=++== (

( ) ( )00 xCyxQ ' son iguales.

Ejercicio 17

Un barco B y dos ciudades costeras A y C forman un tringulo rectngulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 Km y 5 Km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 Km/h y caminar a 5 Km/h, a qu distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible?

Solucin:

Sea D el punto donde el nadador abandona la costa y continua a nado.

yBD

zDC

xAD

=

=

=

Por el teorema de Pitgoras:

12144

25169513AC 22

==

===

Entonces:

2z25yBD

z12xAD

zDC

+==

==

=

El tiempo que emplea en ir caminando desde A hasta D es:

5z12

t

z12t51

KmLongitudhTiempo

1

1

=

)()(

El tiempo que emplea en ir nadando desde D hasta B es:


3z25

t

z25t31

KmLongitudhTiempo 22

22

+=

+

)()(

El tiempo total empleado ser: 3

z255

z12zT

2++

=)(

22z253

z

51

z252

z231

51

zT+

+

=

++

=)('

( )415

16225

z0z16225

0z25z9225z259z25z253z5

51

z253

z

510

z253

z

510zT

2

22222

22

===

=++=+=

=+

+

=+

+

=)('

( ) ( ) 222222

2

22

2

2

22

z25z25

2531

z25z25

zz2531

z25z25

zz

z25

z25

31

z25z25

zzz25

31

zT

++=

++

+=

=

+

+

+

+

=

+

++

=)(''

Obviamente:

0415

T >

'' ,

415

z = es un mnimo:

El hombre deber abandonar la costa a 8,25433

415

12z12x ==== Km de

la ciudad A.

Ejercicio 18

Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados

por la funcin: x36000x28xI 2 +=)( , mientras que sus gastos (tambin en euros) pueden calcularse mediante la funcin 700000x12000x44xG 2 ++=)( , donde x representa la cantidad de unidades vendidas.

Determinar:

La funcin que define el beneficio anual en euros.

La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea mximo. Justificar que es mximo.

El beneficio mximo.

Solucin:

a) el beneficio es:


( ) ( )700000x24000x16

700000x12000x44x36000x28xGxIxB2

22

+=

=+++== )()()(

b) 24000x32xB +=)('

75032

24000x024000x320xB ===+=)('

750x032xB ===)('' ; 0z = es un mnimo

012020121200f


siendo x el nmero de das transcurridos desde que se detect la enfermedad.

Determinar:

El nmero de das que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.

El nmero mximo de personas afectadas.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.

Justificar las respuestas.

Solucin:

A ) La enfermedad desaparece cuando no hay ningn enfermo:

( )

=

+=

=

=

=

=

=

+=

=

==++=

36-

0972x

276-

0972x

6-0972

6-810072

6-2916518472

6243347272

x0243x72x30xf

2

1

22)(

Obviamente, no tiene sentido que hayan transcurrido -3 das

Por tanto, han de transcurrir 27 das para que desaparezca la enfermedad.

B ) 72x6xf +=)('

12672

x072x60xf 0 ===+=)('

06xf


La funcin a maximizar es 2x1x21

xf

=)(

2

2

2

22

2

22

22

x12

x21

x1

xx121

x1

x

21

x121

x12

x2x

21

x121

xf

=

=

=

=

+=)('

22

21

x0x21

0x12

x210xf

2

2

2

===

=

=)('

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) 22

3

22

33

22

22

2

2

2

2

2

2

222

x1x1

x3x221

x1x1

x2xx4x421

x1x1

x21xx1x421

x1x1

x21x

x1

x1x4

21

x1x12

x2x21x1x4

21

xf

=

++=

=

+=

+

=

=

=)(''

0

21

21

221

42

142

1

223

822

2

21

22

122

1

223

22

2

21

22

f22

3

Documents

optimizacion