Curso Propedéutico de Matemáticas MAPP

Profesor: Félix Fernández Méndez

L

Ejercicios de Tarea:

Método de los Multiplicadores de Lagrange

1. La función de producción de una empresa viene dada por la expresión 2Q Kβ= , conβ una constante positiva, K es el trabajo y L es el capital. Si sabemos que adquiere el factor trabajo a un precio de dos unidades monetarias y que el precio unitario del factor capital es de cuatro unidades monetarias. La empresa dispone de 200 unidades monetarias.

a. ¿Cuántas unidades de mano de obra y cuántas de capital deben usarse para maximizar la producción? Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange.

b. ¿Cuánto varía la producción si se dispone de 205 en lugar de 200 unidades monetarias.

2. Supongamos que se necesitan x unidades de mano de obra y y unidades de capital para producir 3/ 4 1/ 4( , ) 100f x y x y= unidades de cierto artículo. Si cada unidad de mano de obra cuesta $200 y cada unidad de capital cuesta $300 y se dispone de un total $60 000 para la producción, determina:

a. ¿Cuántas unidades de mano de obra y cuántas de capital deben usarse para maximizar la producción? Utilizar el hessiano orlado para averiguar la naturaleza del extremo.

b. ¿Cuánto varía la producción si se dispone en lugar de $60, 000, $65, 000?

3. Hallar el costo mínimo de producción de 20 000 unidades de un producto si el nivel

de producción está dado por , donde x denota el número total de unidades de trabajo y y el número total de unidades de capital, el costo del trabajo en 48 pesos la unidad y el del capital es de 36 pesos la unidad.

( ) 750250100 .. yxy,xP =

4. La función de utilidad de un consumidor es ( )1 2 1 2, 2 ln lnU x x x x= +

36=

. Su restricción

presupuestaria es . Hallar los niveles de 1 1 2 2 1 22 4M p x p x x x= + = + 1 2,x x que el consumidor debe comprar con el fin de maximizar su utilidad.

5. Una planta produce chucherías de alta calidad utilizando aluminio, hierro y magnesio. La cantidad de chucherías que puede producir usando x toneladas de aluminio, y toneladas de hierro y z toneladas de magnesio es ( ) xyzz,y,xQ = . El costo de la materia prima es: aluminio, 6 euros por tonelada; hierro, 4 euros por tonelada; y magnesio 8

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euros por tonelada. Propón el hessiano y sin sustituir el punto crítico, describe verbalmente las condiciones que se deben cumplir para que dicho punto sea un mínimo de la función.

6. Hay que construir una caja rectangular sin tapa, con un material que cuesta $3 el pie cuadrado para la parte inferior y $1 el pie cuadrado para los lados. Determine las dimensiones de la caja de mayor volumen posible, que puede construirse con $36. (Utilice condiciones de segundo orden para garantizar el mínimo).

7. Un fabricante tiene $8000.00 para gastar en el desarrollo y promoción de un nuevo producto. Se estima que si x miles de dólares se gastan en el desarrollo y miles de dólares se gastan en promoción, las ventas serán aproximadamente de

y

1/2 3/2( , ) 50f x y x y= . ¿Cuánto dinero debe asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar ventas?

8. Un consumidor tiene $280 para gastar en dos mercancías, la primera de las cuales cuesta $2 por unidad y la segunda $5 por unidad. Suponga que la utilidad obtenida por el consumidor por x unidades de la primera mercancía, y unidades de la segunda, está

dada por .

y0.25 0.75( , 100U x x y)y =

a. ¿Cuántas unidades de cada mercancía debe comprar el consumidor para maximizar la utilidad?

b. Calcule el multiplicador de Lagrange, λ , e interprételo en términos económicos. (En el contexto de maximizar la utilidad, λ se llama utilidad marginal del dinero.)

9. El costo de producir x modelos regulares y modelos de lujo del producto de una

empresa está dado por la función conjunta de costo . ¿Cuántas unidades de cada tipo deben producirse a fin de minimizar los costos totales si la empresa decide producir un total de 200 unidades?

y2 2( , ) 1.5 300C x y x y= + +

10. La función de producción de una empresa es , en donde y representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y es el

número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60 y cada unidad de capital cuesta $200 y la empresa dispone de $40,000 destinados a producción.

3/4 1/4( , ) 80P L K L K= LK P

a. Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxima.

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b. Demuestre que cuando la mano de obra y el capital están en sus niveles máximos, la razón de sus productividades marginales es igual a la razón de sus costos unitarios.

c. En este nivel máximo de producción, determine el incremento en la producción si se dispone de $1 adicionales destinados a producción. Pruebe que es aproximadamente igual al multiplicador de Lagrange.

11. Usando unidades de mano de obra y unidades de capital, una empresa puede elaborar unidades de su producto, en donde . Los costos de la mano de obra y del capital son de $64 y $108 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 2160 unidades de su producto.

L KP 2/3 1/3( , ) 60P L K L K=

a. Por medio del método de multiplicadores de Lagrange halle el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con objeto de minimizar el costo total.

b. Demuestre que en este nivel de producción, la razón de costos marginales de mano de obra y de capital es igual a la razón de sus costos unitarios.

12. Resolver los siguientes programas usando el Método de los Multiplicadores de Lagrange.

a.

Optimizar

( , )f x y x y= +

s. a. 1

, 0xyx y

=≥

b.

Minimizar 2 2( , )f x y x y= +

Sujeto a

3=+ yx

c.

Optimizar

yxyxf +=),(

Sujeto a

2 2 1x y+ =

0, ≥yx