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1 Capítulo 1. Oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad. Introducción: Aunque parezca muy aburrido, en los primeros capítulos del texto, sólo estudiaremos el movimiento de una partícula moviéndose periódicamente debido a la acción de un resorte, o el balanceo de un péndulo. Estos son ejemplos simples que no tienen gran interés por si mismos, sino que representan un prototipo o modelo de fenómenos físicos más complejos cuyo comportamiento puede modelarse a través de ellos. En la Naturaleza no todo fenómeno oscilatorio tiene un comportamiento tan regular como el del resorte o el péndulo pero, veremos luego que, estas oscilaciones más complejas pueden describirse como la superposición de oscilaciones simples. Ejemplos de sistemas que presentan oscilaciones se encuentran en muchas áreas de la física, de la ingeniería, de la química y también de la biología. Un ejemplo común de evolución oscilatoria se encuentra en los fenómenos ondulatorios, tales como, las ondas de sonido, las ondas en el agua, vibraciones en instrumentos musicales, ondas electromagnéticas y en particular en las ondas luminosas. En ingeniería, vibraciones en materiales, puentes y edificios. Otros ejemplos, un poco más obscuros, son las vibraciones moleculares, atómicas o nucleares, asociadas con la emisión de ondas luminosas. Estos fenómenos se estudian en el marco de la Teoría Cuántica, la cual nos da una nueva visión de la naturaleza hablándonos sobre la “dualidad onda-partícula”. Dentro del marco de esta teoría, las partículas ya no se comportan como pelotitas, que es como uno ingenuamente se las imagina, sino que en ciertas experiencias se manifiestan con características ondulatorias mientras que en otras lo hacen como partículas. Este tipo de fenómenos contradice nuestro preconcepto de la realidad, no esperamos que un electrón se comporte como una onda, pero hasta el momento toda la evidencia experimental existente no hace más que confirmar, con mucha exactitud, las predicciones de la teoría cuántica. Con lo expuesto, esperamos transmitir la importancia que en física tiene el estudio de sistemas cuya evolución resulta oscilatoria. Comenzaremos estudiando sistemas simples e idealizados (irreales), que contribuyen a formarnos una primera idea del comportamiento de los sistemas reales más complejos. Los ejercicios recomendados son el 7, 8, 11, 12, 13, 14, 16 y 17.

Oscilaciones

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Page 1: Oscilaciones

1

Capítulo 1.

Oscilaciones libres de sistemas con un grado de

libertad.

Introducción:

Aunque parezca muy aburrido, en los primeros capítulos del texto, sólo

estudiaremos el movimiento de una partícula moviéndose periódicamente debido a la

acción de un resorte, o el balanceo de un péndulo. Estos son ejemplos simples que no

tienen gran interés por si mismos, sino que representan un prototipo o modelo de

fenómenos físicos más complejos cuyo comportamiento puede modelarse a través de

ellos.

En la Naturaleza no todo fenómeno oscilatorio tiene un comportamiento tan

regular como el del resorte o el péndulo pero, veremos luego que, estas oscilaciones

más complejas pueden describirse como la superposición de oscilaciones simples.

Ejemplos de sistemas que presentan oscilaciones se encuentran en muchas

áreas de la física, de la ingeniería, de la química y también de la biología.

Un ejemplo común de evolución oscilatoria se encuentra en los fenómenos

ondulatorios, tales como, las ondas de sonido, las ondas en el agua, vibraciones en

instrumentos musicales, ondas electromagnéticas y en particular en las ondas

luminosas. En ingeniería, vibraciones en materiales, puentes y edificios.

Otros ejemplos, un poco más obscuros, son las vibraciones moleculares,

atómicas o nucleares, asociadas con la emisión de ondas luminosas. Estos fenómenos

se estudian en el marco de la Teoría Cuántica, la cual nos da una nueva visión de la

naturaleza hablándonos sobre la “dualidad onda-partícula”. Dentro del marco de esta

teoría, las partículas ya no se comportan como pelotitas, que es como uno

ingenuamente se las imagina, sino que en ciertas experiencias se manifiestan con

características ondulatorias mientras que en otras lo hacen como partículas. Este tipo

de fenómenos contradice nuestro preconcepto de la realidad, no esperamos que un

electrón se comporte como una onda, pero hasta el momento toda la evidencia

experimental existente no hace más que confirmar, con mucha exactitud, las

predicciones de la teoría cuántica.

Con lo expuesto, esperamos transmitir la importancia que en física tiene el

estudio de sistemas cuya evolución resulta oscilatoria. Comenzaremos estudiando

sistemas simples e idealizados (irreales), que contribuyen a formarnos una primera

idea del comportamiento de los sistemas reales más complejos.

Los ejercicios recomendados son el 7, 8, 11, 12, 13, 14, 16 y 17.

Page 2: Oscilaciones

2

1-1. Guía teórica. Dinámica:

En cursos anteriores nos hemos familiarizado con las leyes de Newton y

hemos analizado una gran variedad de hechos físicos que son explicados a través de

ellas, como por ejemplo: el movimiento planetario, trayectorias de proyectiles, el giro

de un trompo, etc. Estos tipos de problemas se enmarcan dentro de una temática

mucho más general, que excede el ámbito de la física, la Dinámica.

La dinámica se ocupa de estudiar sistemas que evolucionan con el transcurso

del tiempo, cambian. Algunos ejemplos de sistemas dinámicos pueden ser:

El movimiento de una partícula (o un planeta). Evoluciona en cuanto se produce

algún cambio en la posición y la velocidad.

La evolución de un sistema formado por muchas partículas en interacción (gas,

sólido, fluido).

La evolución climática. Las modificaciones producidas en la capa de ozono, etc.

Un sistema formado por distintos compuestos químicos, reaccionando, cambiando

las concentraciones de cada uno de ellos o formando nuevos.

Un sistema formado por una población de bacterias. Podría interesar conocer

como evoluciona la población ante determinadas condiciones ambientales.

Un sistema formado por diferentes actores económicos intercambiando bienes. La

evolución podría llevar a sistemas en crecimiento, empobrecimiento, inflación,

deflación, etc.

Etc.

En todos estos ejemplos, interesa predecir el comportamiento del sistema, saber si

evolucionará hacia estados estables o de equilibrio, hacia estados con variaciones

periódicas u oscilatorias (ciclos), o hacia estados más complejos o caóticos.

Para comenzar a comprender las leyes que rigen la evolución dinámica de un

sistema, en ocasiones es posible plantear modelos matemáticos (por ejemplo:

ecuaciones diferenciales) que brindan una predicción teórica sobre la evolución del

sistema, conocido su estado actual (estado inicial).

Entre la comunidad de los físicos existe la firme creencia de que las leyes de la

Naturaleza pueden ser escritas en lenguaje matemático. Esto podría no ser así, pero

hasta el momento la física ha tenido un extraordinario éxito en explicar los fenómenos

naturales por este camino, y nadie conoce otro.

Como sabemos, los sistemas mecánicos evolucionan siguiendo las leyes de

Newton (bajo ciertas aproximaciones), y se conoce como dinámica al estudio de la

evolución en el tiempo de estos sistemas.

Suele ocurrir cuando uno estudia las leyes de Newton que se produzca una

involuntaria desconexión entre el estudio de las fuerzas aplicadas y las aceleraciones y

el problema cinemático, que consiste en hallar la ley de movimiento, es decir, hallar la

función que describe la posición del cuerpo en cada instante. En esta parte del curso

trataremos de evitar esta desconexión, y cuando estudiemos la dinámica de un cuerpo

estaremos interesados en analizar las fuerzas que actúan sobre él con el fin de hallar

su ley de movimiento. Para clarificar este concepto analicemos un sistema dinámico

simple:

Ejemplo: Suponga que un cuerpo de masa m kg1 se mueve unidimensionalmente

(en línea recta, por el eje x). Producto de su interacción con el medio, actúa sobre él

Page 3: Oscilaciones

3

una fuerza resultante F N1 , la cual se mantiene constante en el tiempo

(idealización).

A partir de este dato queremos hallar su ley de movimiento, es decir, queremos

hallar la función x t( ) que determina la posición del cuerpo para todo tiempo

(evolución dinámica).

Primeramente planteamos la ley dinámica (2da ley de Newton) que rige su

evolución:

F m a 1-1

Donde a es la aceleración del cuerpo que, como sabemos, representa la derivada

segunda de la función posición, es decir,

a x t ( ) 1-2

Si reemplazamos la ecuación 1-2 en 1-1, obtenemos,

F m x t ( )

O escrito de una forma más cómoda,

aceleración( ) /x tF

m

N

kgm seg a 1 1

2 1-3

De esta forma hemos transformado el problema físico en un problema matemático

consistente en resolver una

Ecuación diferencial,

x 1 O más general x a (donde en este ejemplo a es una constante) 1-

4

Queremos hallar la solución de esta ecuación diferencial 1-4. Debemos

integrarla, de tal forma de hallar la función, más general, que derivada dos veces

respecto del tiempo nos dé una constante a , o en nuestro caso particular que de 1.

No existe ningún método general que nos permita hallar la solución de una

ecuación diferencial, y además, no todas las ecuaciones diferenciales poseen una

solución analítica, por lo cual en esos casos, sólo resulta posible resolverlas

numéricamente (aproximadamente). La ecuación diferencial 1-4, es una ecuación muy

simple, que ya hemos integrado en cursos anteriores cuando estudiamos el

movimiento uniformemente acelerado, y sabemos que tiene la pinta de una función

cuadrática (ya que derivada dos veces nos da una constante):

x t t t( ) 2 , 1-5

Donde , y son constantes que debemos determinar (y que nosotros ya sabemos

cuanto valen, ¿o no?).

Page 4: Oscilaciones

4

En lugar de integrar la ecuación diferencial 1-4, sólo conformémonos en

comprobar que la función dada en 1-5 es realmente solución de la ecuación

diferencial, para ello la derivamos dos veces:

velocidadtvttx )( 2)( 1-6

naceleraciótatx )( 2)( 1-7

Comprobamos que la derivada segunda da una constante 2 y, de esta forma, si

elegimos 1

2 a (donde en nuestro caso a 1) conseguimos que,

12

122)(

aatx ,

Es decir, la función 1-5 satisface la ecuación diferencial 1-4.

Pero aún no hemos terminado, ya que faltan determinar los valores de las

constantes y , la ecuación diferencial no alcanza para determinarlos, ¿Qué

falta?

Volvamos a la física para ver si nos ilumina un poco en la resolución

matemática. Recordemos que sólo conocemos que el cuerpo está acelerado

constantemente, esto no alcanza para saber donde se halla en cada instante, nos falta

conocer donde estaba en el instante inicial y que velocidad tenía, ya que no es lo

mismo ser acelerado desde el reposo a acelerarse a partir de una velocidad inicial de

100 km h/ , y no es lo mismo partir de Buenos Aires que de San Miguel. En otras

palabras, nos falta conocer las condiciones iniciales del sistema.

Supongamos que el cuerpo estaba en el instante inicial t0 0 en la posición,

0)0( xx 1-8

Y que su velocidad era,

0)0()0( vvx 1-9

Con estas condiciones iniciales tratemos de hallar el valor de las constantes y

usando las ecuaciones 1-5 y 1-6.

De la ecuación 1-6,

( )x 0 2 0

Comparando con 1-9, vemos que la constante es la velocidad inicial v0.

De la ecuación 1-5,

x( )0 0 02

Comparando con 1-8, vemos que la constante es la posición inicial de la partícula, es

decir, x0 .

Page 5: Oscilaciones

5

Reemplazando los valores de las constantes en la ecuación 1-5 obtenemos, la

ley de movimiento,

x t a t v t x( ) 1

2

2

0 0 1-10

Que es nuestra vieja amiga ley de movimiento de una partícula moviéndose

unidimensionalmente con aceleración constante (ejemplo: caída libre).

Resumiendo, la ley de movimiento 1-10 queda determinada conociendo la ley

dinámica 1-4 y las condiciones iniciales del sistema 1-8 y 1-9. A partir de ella, es

posible predecir la posición de la partícula en todo tiempo, pasado, presente y futuro,

mientras se mantengan las condiciones dinámicas, es decir, que la partícula sea

impulsada por una fuerza constantemente.

Ejercicio: Resuelva nuevamente la ecuación diferencial 1-4, pero ahora usando el

programa de Mathematica,

DSolve[{x''[t]==a,x[0]==x0,x'[0]==v0},x[t],t]

Ejercicio: Use los valores x m0 1 y v m seg0 2 / y,

a) Halle la posición del cuerpo en el instante t seg1 .

b) Grafique x t( ). Use el programa Mathematica (Para calcular debe presionar la

tecla insert o simultáneamente las teclas Shift y Enter):

x0=1;

v0=2;

x[t_ ]=0.5*a*t^2+v0*t+x0;

Plot[x[t],{t,0,10}]

c) Halle v t( ) y grafique. Siguiendo con el programa Mathematica anterior:

v[t_ ]=D[x[t],t]

Plot[v[t],{t,0,10}]

d) Discuta sobre si se conserva la energía o el impulso lineal de la partícula.

Un problema del cual no nos hemos ocupado es si la solución 1-10 que hemos

hallado es única o podrían existir otras. Desde el punto de vista matemático ya

estudiarán que la solución es única. Desde el punto de vista físico, podemos decir que

si la solución no fuera única perdería el sentido la teoría, ya que, de esta forma la

partícula podría tener más de un movimiento posible, ante las mismas condiciones, lo

cual viola nuestro amado principio de causa-efecto (causalidad).

Page 6: Oscilaciones

6

1-2. Guía Teórica. Oscilaciones:

A partir de aquí nos vamos a abocar a un problema dinámico muy especial, el

de sistemas cuya evolución presenta ciclos u oscilaciones.

Como ya dijimos, este tipo de evolución dinámica es común a muchos

fenómenos naturales, no sólo físicos, y su descripción matemática resulta semejante

en todos ellos.

Nosotros estudiaremos este tipo de evolución dinámica asociada al

movimiento oscilatorio de sistemas simples como resortes y péndulos, sin perder de

vista que éstos sólo constituyen un muy buen ejemplo (prototipo) que nos ayuda a

entender fenómenos mucho más complejos.

Antes de comenzar el estudio dinámico correspondiente al movimiento

oscilatorio de un resorte, resulta conveniente repasar algunos conceptos sobre

funciones periódicas y luego centrarnos en funciones periódicas armónicas (funciones

seno y coseno).

Funciones periódicas: Una función del tiempo )(f t , es periódica si repite su forma

cíclicamente con un período T, ver figura 1-1.

En este ejemplo, se observa claramente que cada T segundos se completa un

ciclo (complicado en este caso, no armónico). Esta propiedad se expresa

analíticamente afirmando que la función satisface la propiedad,

f f( ) ( )t t T válido para cualquier t del dominio. 1-11

o sea, que la función evaluada en el instante t tiene la misma imagen que la función

evaluada un tiempo T posterior, independientemente de cual fuera el instante

t elegido.

No resulta inmediato hallar una expresión analítica para la función periódica

definida en el gráfico, pero más tarde veremos que, estas funciones periódicas

complejas pueden describirse como la superposición de funciones armónicas tales

como las funciones seno y coseno, por ello primeramente, estudiaremos

detenidamente este tipo de funciones periódicas.

Funciones periódicas armónicas: Las funciones armónicas básicas son el seno y el

coseno, cuyas gráficas conocemos perfectamente. Pero también resultan funciones

armónicas cualquier combinación, traslación o dilatación de estas funciones, lo cual

nos brinda cierta versatilidad para obtener funciones con distinta amplitud, fase y

frecuencia.

Tratemos de apelar a nuestra intuición para construir la función armónica más

general, de tal forma que nos ayude a describir movimientos oscilatorios.

t+T

T

f(t)

t t

Figura 1-1: Ejemplo de función periódica no armónica, de período T

Page 7: Oscilaciones

7

Comencemos por la función f ( ) cos( )t t , donde t es la variable independiente, su

gráfica se muestra en la figura 1-2.

Esta función se repite periódicamente con período T 2, este hecho lo podemos

comprobar analíticamente usando la propiedad enunciada de las funciones periódicas,

o sea,

cos( ) cos( )t t T t

que se satisface sí T 2 o múltiplo de 2 .

Pareciera que esta función sólo nos sirve para describir movimientos

periódicos de período T 2, pero ya veremos como es posible cambiar su período

por medio de una dilatación.

Otra propiedad importante de esta función es que su amplitud es A1. Pero

fácilmente podemos modificar la función para que pueda representar oscilaciones con

cualquier amplitud, eso se logra simplemente multiplicando a la función coseno por

un número que representa la nueva amplitud, por ejemplo, f ( ) cos( )t t 3 , con lo cual

su gráfica se modifica sólo en que su amplitud es ahora A 3, como se muestra en la

figura 1-3.

Para modificar el período resulta necesario introducir un cambio en el

argumento de la función coseno (de tal forma de dilatar o contraer la función). Por

ejemplo, si multiplicamos a t por , redefiniendo la función como,

f ( ) cos( )t t 3

f(t)

2

1 23 2

1

t

Figura 1-2: Ejemplo de función armónica. Función coseno, de período 2

f(t)

2

1 23 2

3

t

Figura 1-3: Gráfico de la función f t t 3cos

Page 8: Oscilaciones

8

esta función ya no tiene período 2 sino T 2.

Esto último es fácil de comprobar graficando la función, con la ayuda de una

tabla de valores (complete con más valores), ver figura 1-4,

t t ) cos(3)(f tt

0 0 3

0.5seg 2 0

1 seg -3

1,5 seg 23 0

2 seg 2 3

Analicemos un poco más el por qué del cambio de período. El argumento, de

la función coseno, cambió de t a t con lo cual ahora para que el argumento tome

valores de 0 a 2 sólo hace falta que el tiempo varíe entre 0 y 2 (pensarlo

detenidamente, observar la tabla).

Al factor que, modifica el argumento de la función, se le da el nombre de

frecuencia angular , en este ejemplo .

La relación entre el período T y la frecuencia angular la podemos hallar a

partir de la definición de función periódica,

f f( ) ( )t t T cos cos cos t t T t T 2 T

T 2

o

2

T 1-12

y en el ejemplo,

T 2 2

2

La frecuencia angular , posee una analogía con la velocidad angular en un

movimiento circular. Si una partícula gira sobre un círculo de radio A con velocidad

angular , sabemos que la coordenada x de su vector posición tiene una ecuación de

movimiento del tipo armónico (ver figura 1-5), es decir,

f(t)

1

2

32 1 2

3

t

Figura 1-4: Gráfico de la función f t t 3cos

Page 9: Oscilaciones

9

)cos( )( tAtx ,

Esta analogía nos sirve para entender mejor la relación

2T . Pensemos en la

partícula que gira con velocidad angular segrad / , es decir que recorre

radianes en 1 segundo. Lo que nos interesa es saber que tiempo demora en dar una

vuelta (período T ), o sea, cuanto tarda en recorrer 2 radianes, para ello basta con

hacer una regla de tres simple,

2 , , 2=

2 2

1

TgeneralenoTTrad

segrad

Ya hemos construido una función armónica cuya frecuencia y amplitud

podemos elegir según nuestra conveniencia. Pero aún nos falta arreglar un detalle, la

función coseno siempre toma su máximo valor en el instante t 0 , lo cual restringe su

utilidad, ya que no podemos con ella describir un movimiento oscilatorio en donde la

amplitud máxima no concuerde con el instante inicial. Algo parecido ocurre con la

función seno que se anula en el instante inicial. Pero, sabemos solucionarlo apelando

a corrimiento de funciones.

Si al argumento de la función le sumamos una constante (delta), logramos

que la función se desplace hacia la izquierda, en esa cantidad (¡ojo!, primero se

desplaza y luego se contrae o dilata).

De esta forma, la función armónica más general resulta ser,

) cos()(f tAt 1-13

donde es la fase inicial, y determina el valor de la función en el instante inicial, o

sea,

)cos()0(f A

Ejemplo: Grafique la función armónica ) cos(3)(f2 tt y determine su período,

amplitud y fase inicial (Hágalo también con el Mathematica).

Claramente A 3, y 2 y por ende 2

2

T .

A A

x

Figura 1-5: La evolución de la componente x (o y), correspondiente

a un movimiento circular, resulta armónica.

Page 10: Oscilaciones

10

Para graficar podemos optar por dos caminos, el primero es el tradicional,

hacer una tabla de valores. El segundo es un poco más conceptual y consiste en usar

las propiedades conocidas de traslación y dilatación.

Primeramente, como hemos dicho debemos trasladar a la función coseno una

cantidad 2 hacia la izquierda (si fuera negativo, hacia la derecha), y luego contraer

la función (cambiar el período), tal como se muestra en la figura 1-6.

Hemos graficado las funciones: cos(t) y cos(t/2) juntas, apreciándose el

corrimiento hacia la izquierda. Aparte hemos graficado la función cos(t/2), en

donde vemos claramente que la función, luego de corrida, se contrae contra el eje de

las ordenadas variando su período de 2T a 2T .

La fase inicial determina, junto con la amplitud, el valor que toma la función

en el instante inicial, en este caso 0, ya que 0)0 .cos(3)0(f2 t .

Por ultimo, podemos definir la frecuencia tradicional (ciclos por segundo)

como, T

f1

, y en el caso en que la variable t represente al tiempo, la frecuencia

tiene unidades de HzHertzseg

.

1. Se relaciona con la frecuencia angular a través

del período, en la forma,

2

1

Tf 1-14

Funciones Armónicas Complejas: Una forma muy común y práctica de expresar a

una función armónica es a partir de una exponencial compleja. Aunque al principio

puede parecer una complicación, reduce enormemente los cálculos, porque resulta

simple multiplicar y sumar funciones exponenciales y principalmente porque se

derivan e integran muy fácilmente.

Chiste: Resulta que se organiza una gran fiesta entre las funciones matemáticas. La

fiesta es un descontrol, se observa a la función seno provocando insinuante a la

coseno, la tangente a la cotangente, la lineal a la cuadrática, y así todas, menos la

pobre función exponencial que se halla quietita, sola y triste en un rincón. La función

lineal (madre de todas ellas) se acerca a la exponencial y le dice:

T=2 T=2

cos(t) cos(t+/2) cos(t+/2)

Figura 1-6: Gráfica de las funciones cos t , cos /t 2 y cos / t 2

Page 11: Oscilaciones

11

Función lineal: Che intégrate.

Respuesta de la exponencial: ¡Para qué, si da lo mismo!.

En general uno comienza trabajando con exponenciales complejas, hace los

cálculos necesarios (deriva, integra, multiplica, etc.), y por último, como solución, se

queda sólo con la parte real del número complejo (solución física). Los que

estudiamos en el colegio industrial, recordamos como aparecían las funciones

exponenciales complejas en la descripción de la corriente alterna. Algo notable ocurre

en física cuántica, donde las funciones de onda, que describen los estados físicos, son

números complejos y no resulta correcto quedarse sólo con la parte real.

Repaso: La función exponencial compleja ei se expresa como combinación lineal de

las funciones seno y coseno de la siguiente forma,

e ii

cos sen 1-15

Su representación en el plano complejo se muestra en la figura 1-7.

Su complejo conjugado es (grafíquelo),

e i-i

cos sen 1-16

Podemos escribir al coseno como la parte Real de la exponencial compleja y al

seno como su parte imaginaria, o sea,

cos

Real ei y sen

Im e

i 1-17

Otra forma de escribir a las funciones seno y coseno a partir de las exponenciales

complejas es (verifique a partir de 1-15 y 1-16),

cos

e e

i -i

2 y sen

e e

i -i

2i 1-18

Escribamos primero la función armónica compleja, de frecuencia

2

T, más

simple (ver ec. 1-11),

Imaginario

cos()

ei

sen()

Real

Figura 1-7: Representación gráfica de la exponencial compleja ei

Page 12: Oscilaciones

12

f t e t t i t

i

cos sen 1-19

Para fijar conceptos, veamos como evoluciona la función f t en el tiempo,

para ello elaboramos una tabla de valores,

t t

Tt

2 f t e

i t

0 0 10i e

T4 2

ie 2/i

2T

1i e

43T

23 ie 2/i3

T 2 1i2 e

En la figura 1-8, se muestra la evolución de la función exponencial en el

tiempo, note como el número complejo rota, con velocidad angular y período T, en

dirección antihoraria.

Queda como ejercicio para el lector hacer el gráfico de la función conjugada,

es decir,

f t e t t* cos sen -i t

i

1-20

compruebe que rota en dirección horaria con período T.

1

Imaginario

ei

Real

tT/2

1

Imaginario

ei/2

Real

tT/4

1

Imaginario

ei0

Real

t0

1

Imaginario

ei2

Real

tT

1

Imaginario

ei3/2

Real

t3T/4

Figura 1-8: Representación gráfica de la evolución en el tiempo de la función ei t

.

Page 13: Oscilaciones

13

Las funciones armónicas complejas 1-19 y 1-20 tienen amplitud 1A y en el

instante inicial se hallan sobre el eje real. Podemos generalizar la función armónica

compleja, a partir de otorgarle una amplitud cualquiera y una fase inicial, o sea,

g t A e A t t i i t+

cos sen 1-21

Ejercicio: Grafique, en el plano complejo, la evolución en el tiempo de la función,

g t e t t

2 2

4 4 i

i t+ 4

cos sen

1-3. Grafique las siguientes funciones periódicas, y halle su amplitud, período y fase

inicial. Discuta sobre el significado de la fase inicial:

a) ) 2cos()(21 tt Resp. y ,

21 TA

b) )sen( 2)(22

1 tt Resp. 2

y 4 , 2 TA

c)

4sen i

4cos 2 2 4t i-

ttet Resp. A T y 2 24

,

Precaución: Si aplica corrimiento de funciones tenga mucho cuidado con el orden en

que realiza las operaciones de corrimiento y dilatación.

1-4. Compruebe que la función armónica ) 2cos()( 421 tt puede escribirse

como una combinación de senos y cosenos, o sea, tBtAt sencos)( . Halle

los valores de A, B y .

1-5. Dadas las siguientes funciones periódicas,

i), 1 3 2( ) sen( )t t ,

ii), 2 3 23

( ) cos( )t t

.

Reescriba cada una de ellas, de las dos maneras siguientes:

a) ( )t A e B et t

i i , halle A B, y .

b) teAt i Re)( , halle A, y .

1-6. La posición de una partícula, de masa m g 1 , se halla determinada por la

función armónica x t cm t( ) cos 5 4 , en donde t viene dado en segundos,

a) ¿Cuál es la frecuencia?. Resp. segcic 2f .

b) ¿Cuál el período?. Resp. T seg 0 5, .

c) ¿Cuál es la amplitud del movimiento de la partícula?. Resp. A cm 5 .

d) Graficar la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

Use el programa Mathematica (Para calcular debe presionar la tecla insert o

simultáneamente las teclas Shift y Enter):

Page 14: Oscilaciones

14

x[t_ ]=5*Cos[4*Pi*t];

v[t_ ]=D[x[t],t]

a[t_ ]=D[v[t],t]

Plot[x[t],{t,0,1}]

Plot[v[t],{t,0,1}]

Plot[a[t],{t,0,1}]

e) ¿Cuál es el primer instante después de t=0 en que la partícula está en su posición

de equilibrio? ¿En qué sentido se está moviendo en ese instante?. Resp. segt 81 .

f) ¿Cuál es la velocidad máxima del cuerpo? ¿En qué instantes posee esa velocidad?.

Resp. segcm 20v .

g) ¿Cuál es la aceleración máxima del cuerpo? ¿En qué instantes tiene esa

aceleración?.

Resp. 2segcm2 80a .

h) Halle la energía cinética correspondiente a la masa oscilante.

1-7. Ejercicio Teórico. Oscilador armónico (Recomendado):

En este ejercicio, proponemos estudiar la dinámica de un sistema físico simple

e ideal (modelo) cuya evolución en el tiempo corresponde a un movimiento

oscilatorio armónico. El estudio de sistemas ideales, como éste, nos ayuda a

comprender fenómenos físicos reales más complejos.

Se pretende resolver el problema dinámico correspondiente a una partícula de

masa m kg 1 que desliza, sobre una superficie horizontal sin fricción, ligado a una

pared por medio de un resorte ideal, es decir, perfectamente elástico y sin masa, de

constante elástica k N m 400 / , y longitud relajada cml 300 , ver figura 1-9.

Como primer paso, hacia el estudio de fenómenos oscilatorios, vamos a

suponer que el sistema no disipa energía, por ello hemos considerado que no existe

rozamiento de ningún tipo.

Si apartamos a la masa de su posición de equilibrio y la soltamos, a partir de

nuestra experiencia cotidiana, podemos afirmar que la evolución dinámica

subsiguiente del sistema resulta ser un movimiento oscilatorio. Pero nuestra intuición

no nos alcanza para asegurar que ése movimiento es realmente periódico (es decir,

que cada ciclo es igual a los otros y dura el mismo tiempo), y menos aún si

corresponde a un movimiento oscilatorio armónico (descriptible a partir de funciones

seno o coseno). Para dilucidar esta cuestión sólo podemos apelar a la teoría o al

experimento, aquí sólo nos ocuparemos de la teoría.

a) Importante. Como primer paso, a partir de las leyes de Newton ( F m a ) ,

queremos determinar la evolución dinámica de la masa, una vez que oscila sólo

bajo la influencia del resorte (por ejemplo, ya la hemos desplazado y soltado,

Fig. 1-9

x

m

Page 15: Oscilaciones

15

describimos su evolución a partir de ese instante, por lo cual, ya no influyen las

fuerzas que lo desplazaron inicialmente, sólo el resorte interactúa con la masa).

Obtenga la ecuación diferencial que describe la evolución de la masa (sólo el

resorte interactúa con ella). Por simplicidad suponga que el movimiento se

restringe al eje x, por lo cual, sólo hace falta una coordenada para describirlo

(movimiento unidimensional).

Comentario: Recuerde que la fuerza elástica resulta proporcional al alargamiento

del resorte (con signo cambiado), respecto de su longitud relajada, es decir,

0elástica - lxkxkF .

La interacción elástica es proporcional al alargamiento, por lo cual, en el caso

unidimensional, depende linealmente de la coordenada x (Interacción lineal). La

constante elástica k da cuenta de la dureza del resorte (mayor fuerza, a un mismo

alargamiento). La constante 0l representa la longitud relajada del resorte (sin estirar).

Resp. 02

2

)t( )t(

lxkdt

xdm o 0)t( )t( lx

m

kx 1-22

b) A partir de la ecuación diferencial anterior, halle la posición de equilibrio de la

masa, es decir, la posición en donde las fuerzas que actúan sobre ella se anulan. ¿El

equilibrio es estable o inestable?.

Resp. La posición de equilibrio estable es 0lxequi .

c) La ecuación diferencial 1-22 rige la evolución dinámica del sistema. A partir de

ella, y de las condiciones iniciales, es posible hallar la función )(tx que describe la

posición de la masa en todo tiempo. Para ello debemos integrarla, al igual que

hicimos en el ejemplo de la guía teórica 1-1. La dificultad que encontramos en éste

caso es que la aceleración no es una constante, sino que su valor depende de la

posición de la partícula. Cuando el resorte está completamente estirado la

aceleración resulta máxima, mientras que cuando la masa pasa por la posición de

equilibrio su valor es cero.

La ecuación diferencial puede escribirse en forma más sencilla si definimos

una nueva variable,

equixtxt )()( ( Psi , letra Griega) 1-23

que corresponde simplemente a un cambio de coordenadas. La nueva variable

mide cuanto se desplaza la masa a partir de la posición de equilibrio equix (no desde

la pared como era antes), ver figura 1-10.

Page 16: Oscilaciones

16

Haga este cambio de variables y demuestre que la ecuación 1-22 se transforma a,

)t()t(

2

2

kdt

dm , o

k

m 1-24

La ecuación 1-24 nos dice que la aceleración, de la masa, resulta proporcional al

apartamiento (interacción lineal) y de signo opuesto.

Desde el punto de vista matemático veremos que este cambio de coordenadas

simplifica las cuentas, desde el punto de vista físico, más tarde entenderemos que,

ayuda a mejorar nuestra comprensión en situaciones más complejas.

d) La ecuación 1-24 es una ecuación diferencial de segundo orden lineal y

homogénea.

De segundo orden, porque el orden de derivación más alto es una derivada

segunda.

Lineal, por qué la variable no se halla elevada a ninguna potencia superior a 1

(interacción lineal). Un ejemplo de ecuación no lineal es,

2 m

k ,

luego veremos que las no linealidades pueden complicar el cálculo enormemente.

Homogénea, porque no posee ningún término constante sumando (término

con 0 ). Una ecuación homogénea, como la 1-24, siempre posee la solución trivial,

( )t t 0 (verifique).

Esto puede visualizarse mejor si pasamos del lado izquierdo todos los términos en

donde figura y del lado derecho los términos constantes, es decir,

0 m

k 1-25

Un ejemplo de ecuación no homogénea o inhomógenea lo representa la ecuación

1-22, reagrupando un poco los términos,

0 )( )( lktxktxm 1-26

Figura 1-10: La coordenada describe el desplazamiento, de la masa,

a partir de la posición de equilibrio

t 0l

tx

x

Page 17: Oscilaciones

17

Del lado derecho de la ecuación 1-26 tenemos un término constante, y debido a

esto, la función trivial no es solución de la ecuación (verifique).

Con el cambio de variables hemos logrado pasar de una ecuación

inhomógenea a una homogénea.

No existe ningún método general que nos permita hallar la solución de una

ecuación diferencial arbitraria, y además, no todas las ecuaciones diferenciales

poseen una solución analítica, por lo cual en esos casos, sólo resulta posible

resolverlas numéricamente (como lo haremos en el ejercicio 1-11).

La ecuación diferencial 1-24, es una ecuación muy conocida. Nosotros no

propondremos ningún método general para resolverla sino simplemente afirmamos

que su solución es una función armónica.

Verifique que las siguientes funciones armónicas son todas posibles

soluciones de la ecuación diferencial 1-24 (reemplácelas en la ecuación diferencial

1-24),

i) ( ) cos( )t A t

ii) ( ) cos( ) sen( )t A t B t

iii) Optativo. ( )t A e B et t

i i

iv) Optativo. t i )( eAt

A partir de reemplazar en la ecuación diferencial 1-24, verifique que la

frecuencia angular de oscilación queda determinada por las propiedades del

sistema, a través de su constante elástica k y de la masa de la partícula m , en la

forma,

2

k

m o

m

k 1-27

A partir de lo hallado, podemos afirmar que, si la masa sólo interactúa con el

resorte, la frecuencia de oscilación no es arbitraria, sino que el sistema oscila

con una frecuencia característica, determinada por la relación 1-27.

Comentario: Cualquiera de las funciones armónicas anteriores es solución de la

ecuación diferencial 1-24, y resulta fácil demostrar que son exactamente la misma

función escrita de formas distintas. Todas ellas sirven para describir la evolución

de la masa, pero la función armónica,

( ) cos( )t A t 1-28

es la que más usaremos (o seno en lugar de coseno), debido a que resulta más fácil,

a partir de ella, extraer conceptos físicos.

Page 18: Oscilaciones

18

De la ley de movimiento 1-28, concluimos que la masa oscila armónicamente,

a partir de su posición de equilibrio, con frecuencia angular . La constante A

indica la amplitud de la oscilación, su valor no se halla condicionado por la

ecuación dinámica 1-24 (pensarlo detenidamente), sino que depende

exclusivamente (dentro de la aproximación elástica) de las condiciones iniciales

del sistema, que aún no hemos impuesto. Lo mismo sucede con la fase , que

según ya hemos discutido, traslada a la función coseno, de tal forma que, permite

describir la evolución de partículas que en el instante inicial están en una posición

cualquiera, no necesariamente en su máximo estiramiento o el origen.

e) Halle el valor numérico de la frecuencia angular , la frecuencia f y el período T.

¿Estas cantidades, dependen de las condiciones iniciales de la masa? ¿Dependen

de la amplitud de oscilación?.

Resp. k

mrad seg20 / , f cic seg

2318, / y T = 0.314 seg .

f) Explique cuál es el significado físico de , f y T (vea la guía teórica 1-1).

Comentario: recuerde lo comentado en la guía teórica 1-1 donde discutimos sobre

la relación entre la frecuencia angular , de un movimiento armónico, y la

velocidad angular de una partícula con movimiento circular uniforme. En el caso

del resorte esta equivalencia resulta mucho más gráfica. La proyección sobre el

eje x (sombra sobre el eje x) del movimiento circular, concuerda exactamente con

la posición real de la partícula que se halla oscilando armónicamente unida al

resorte (Pensarlo detenidamente).

g) Importante. Usando como solución, de la ecuación diferencial 1-24, a la función

armónica ( ) cos( )t A t , halle la “ley de movimiento” de la masa, es decir,

determine completamente a la función ( )t , determinando los valores de A y ,

para ello suponga que a t 0 la masa está en la posición de equilibrio con una

velocidad de v m seg 0 1, / (el signo más indica que se mueve en el sentido de

expansión del resorte).

Resp, metrostmetrostt ) 20sen( 005,0 )2

20cos( 005,0)(

Reobtenga la solución anterior usando el Mathematica,

Dsolve[{psi''[t]+400* psi[t]==0,psi[0]==0,psi'[0]==0.1},psi[t],t]

h) Grafique la función t hallada en el ítem anterior y discuta lo hallado.

Ayuda: puede usar el programa de Mathematica,

psi[t_ ]=0.005*Sin[20*t];

Plot[psi[t],{t,0,1},

PlotRange->{-0.0055,0.0055},

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]}];

Page 19: Oscilaciones

19

i) Halle la función x t( ) , recuerde el cambio de variables (ec. 1-23).

Resp. x t m m t( ) , , sen 0 3 0 005 20

j) Halle la velocidad y la aceleración de la masa en el instante t=1 seg.

Resp. segmv 04,01 y 282,1)1(

segma

Verifique con el programa Mathematica,

psi[t_ ]=0.005*Sin[20*t];

v[t_ ]=D[psi[t],t]

a[t_ ]=D[v[t],t]

v[1.]

a[1.]

k) ¿Cuál es la velocidad máxima del cuerpo?.

l) ¿Cuál es la aceleración máxima del cuerpo?.

m) Importante. ¿Depende la frecuencia de las condiciones iniciales o de la amplitud?

Comentario: Todo sistema dinámico cuya ecuación diferencial pueda reducirse a

la ecuación:

2 (oscilación armónica) 1-29

donde 2 represente a cualquier número real positivo, tiene como solución una

función que representa una oscilación armónica con frecuencia angular .

1-8. Ejercicio Teórico. Análisis energético del oscilador armónico

(Recomendado, continuación del ejercicio 1-7):

A partir de los datos y resultados del ejercicio 1-7, y

sabiendo que la evolución dinámica del sistema se describe con la función,

( ) cos( )t A t

a) Halle la energía cinética de la masa oscilante (en función del tiempo).

b) Halle la energía potencial de la masa oscilante (tome como cero de potencial a la

posición de equilibrio).

Ayuda: Tomando el cero de potencial en la posición en donde el resorte se halla

relajado (que en este caso es la posición de equilibrio 0), la energía potencial

elástica resulta,

2

212

021

p )( klxkE 1-30

(En el ejercicio 1-12 discutiremos el caso general en que el cero de potencial se

toma en otro punto).

Page 20: Oscilaciones

20

c) Demuestre que la energía mecánica total, de la masa oscilante, es,

E k A 12

2 1-31

(Sólo válida si se fija el cero de potencial en la posición de equilibrio del sistema)

d) ¿Se conserva la energía mecánica?. Discuta.

e) ¿La energía mecánica total depende de las condiciones iniciales?.

f) ¿Cuál es la energía cinética máxima?.

g) En un mismo gráfico grafique la energía potencial, cinética y mecánica, y discuta

sobre la conversión de una en otra, ayúdese con el gráfico.

h) Vuelva a hallar la posición de equilibrio del sistema pero ahora a partir de

argumentos energéticos. ¿El punto de equilibrio es estable o inestable?. Recuerde

que puede hallar la fuerza que actúa sobre la masa usando FE

x

p

(valido

para el caso unidimensional, en tres dimensiones se cumple pEF

).

i) En muchos casos de interés, no resulta importante conocer exactamente la posición

de una partícula en todo instante, pero si su comportamiento en promedio, por

ejemplo, puede interesar cuánto vale la energía cinética o la energía potencial en

valor medio.

Definimos el valor medio de una función periódica )(tf , sobre un período de

oscilación, como la integral,

dttfT

tf

T

)( 1

)(

0

donde T 2

, 1-32

Queda como ejercicio para el lector analizar esta definición comparándola con la

forma en que usualmente se calcula el promedio, tener en cuenta que en este caso

no se trata de cantidades discretas sino del promedio de una función continua

(piense algunos ejemplos, tales como el promedio de la función seno o coseno).

Usando la definición anterior calcule los valores medios de las funciones )(t y

)(2 t sobre un período de oscilación.

Ayuda: Use los siguientes resultados, trate de justificarlos gráficamente,

cos( ) cos( ) tT

t dtT

1

00

, sen( ) sen( ) tT

t dtT

1

00

cos ( ) cos ( )2 2

0

1 1

2 t

Tt dt

T

,

sen ( ) sen ( )2 2

0

1 1

2 t

Tt dt

T

Page 21: Oscilaciones

21

cos( ) sen( ) cos( ) sen( ) t tT

t t dtT

1

00

Resp. 0 y 2

2

2

A

Verifíquelo con el Mathematica, usando

w=2*Pi/T;

psi[t_ ]=a*Cos[w*t+delta];

media=(1/T)*Integrate[psi[t],{t,0,T}];

media2=(1/T)*Integrate[psi[t]^2,{t,0,T}]

j) Usando el resultado anterior, demuestre que el valor medio (sobre una oscilación)

de la energía cinética resulta igual al valor medio de la energía potencial, e igual a

la mitad de la energía mecánica total (Teorema del Virial).

k) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en los ejercicios 1-7 y 1-8.

1-9. (Repaso). Rehaga los ejercicios 1-7 y 1-8, pero ahora con las siguientes

condiciones iniciales:

a) A t=0 el resorte está estirado 5 cm y la masa tiene una velocidad v mseg 1 .

Respuesta de la ecuación dinámica: ( ) , cos ,t t metros 0 07 20 0 785

Reobtenga la solución anterior usando el Mathematica,

Dsolve[{psi''[t]+400* psi[t]==0,psi[0]==0.05,psi'[0]==1},psi[t],t]

b) A t=0 el resorte está estirado 5 cm y la masa tiene una velocidad nula.

Respuesta de la ecuación dinámica: ( ) , cost t metros 0 05 20

Vuelva a obtener la solución anterior usando el Mathematica,

Dsolve[{psi''[t]+400* psi[t]==0,psi[0]==0.05,psi'[0]==0},psi[t],t]

1-10. Guía teórica. Resolución de la ecuación inhomogénea:

La ecuación inhomogénea 1-22 (o la 1-26, que es la misma ecuación) puede

resolverse de dos maneras:

Una, es haciendo el cambio de variables propuesto en el problema anterior, o sea,

describir al sistema desde la posición de equilibrio, de tal forma que la ecuación

diferencial correspondiente a la nueva variable resulta homogénea.

La otra posibilidad es usar que,

La solución general de una ecuación diferencial inhomogénea, como por

ejemplo la ecuación 1-26 del problema 1-7,

Page 22: Oscilaciones

22

0 )( )( lktxktxm 1-33

se encuentra sumando una solución de la ecuación homogénea asociada a la

ecuación 1, más una solución particular, es decir,

x t x t x th p( ) ( ) ( ) 1-34

La ecuación diferencial homogénea asociada a la ecuación 1-33, se construye a

partir de ella, pero en lugar de estar igualada a un número ( 0 lk ), se halla igualada a

cero, es decir,

m x t k x th h ( ) ( ) 0 1-35

reagrupando para que nos resulte más familiar,

( ) ( )x tk

mx th h 1-36

Vemos que esta ecuación homogénea tiene la forma de la ecuación del oscilador

armónico, cuya solución conocemos. Entonces, la solución de la ecuación

homogénea asociada (ec. 1-35 o 1-36), resulta:

x t A th ( ) cos donde k

m 1-37

Sólo resta hallar una solución particular (cualquiera) de la ecuación inhomogénea

(ec. 1-33). De observarla a simple vista, comprobamos que si proponemos como

solución particular a una constante,

0)( ltx p 1-38

ésta función constante, satisface la ecuación 1-33 (verifique).

Por consiguiente, la solución general de la ecuación diferencial de segundo

orden lineal e inhomogénea (ec. 1-33), resulta (verifique que es solución),

tAltxtxtx ph cos )()()( 0 1-39

Físicamente significa que la coordenada x oscila armónicamente alrededor de su

valor de equilibrio, que en este caso es 0l . Compare con lo que obtuvo en el ítem i)

del ejercicio 1-7.

Page 23: Oscilaciones

23

1-11. Resolución numérica de la ecuación diferencial (Recomendado):

Volvamos al ejercicio teórico 1-7 (usamos los mismos datos), donde

queríamos resolver la ecuación diferencial:

k

m seg 400 1

2 1-40

Ya hemos resuelto esta ecuación diferencial analíticamente en el ejercicio 1-7, allí

obtuvimos que la evolución dinámica se describe por,

metrostt ) 20sen( 005,0)( ,

cuando las condiciones iniciales eran que a t 0 la masa estaba en la posición de

equilibrio con una velocidad de v m seg 0 1, / .

Ahora queremos volver a resolver la ecuación 1-40 pero por un método

aproximado, que consiste en integrarla numéricamente.

Conociendo la solución exacta, no resulta muy útil hacer un cálculo

aproximado, pero este cálculo lo hacemos con fines didácticos, ya que, no todas las

ecuaciones diferenciales pueden resolverse analíticamente (sólo algunas pocas), por lo

cual, la resolución numérica es la única alternativa posible.

En este ejercicio veremos una forma muy elemental de integración numérica,

en casos más complejos, como ecuaciones no lineales, los cuidados en la integración

deben ser mucho mayores, ya que pequeños errores son amplificados enormemente en

cada paso de integración.

Como primer paso para resolver la ecuación numéricamente, resulta necesario

discretizar el tiempo, ¿qué quiere decir esto?, vamos a pensar que el tiempo transcurre

de a pequeños saltos finitos t (no continuamente).

La razón por la que debemos discretizar el tiempo, es porque resulta imposible

determinar numéricamente, en forma continua, la posición de la partícula, sólo

sabemos calcular desplazamientos producidos en períodos de tiempo, no en instantes.

El incremento de tiempo t debe ser chico para que el cálculo sea lo más

exacto posible, como después comprobaremos. Ahora la pregunta es ¿chico respecto

de qué?. El único tiempo característico del sistema que tenemos es el período de

oscilación, así que en principio debemos elegir un incremento de tiempo chico

respecto a este período (T seg 0 314, , aunque en este problema aún no lo conocemos,

ya que suponemos que no tenemos la solución analítica), por ejemplo t seg 0 03, , si

al finalizar encontrásemos que no fue lo suficientemente pequeño deberíamos

recomenzar con otro valor.

El objetivo es calcular el desplazamiento de la masa en los tiempos:

t t t t t 0 2 3 4, , , , , ......

es decir queremos calcular:

( ), ( ), ( ), ( ), ( ),0 2 3 4 ..... t t t t

Page 24: Oscilaciones

24

Veamos lo que sabemos, tenemos como dato la posición y la velocidad inicial

de la masa,

( )0 0 metros y ( ) , 0 0 1 mseg

y también conocemos la aceleración en el instante inicial, ya que la podemos calcular

usando la ecuación diferencial 1-40, es decir,

( ) ( ) 0 400 0 400 01 1

2 2 seg seg

0 m

seg2 .

A partir de estos datos deberíamos aproximar la posición, la velocidad y la

aceleración en el instante posterior t , es decir, hallar un valor aproximado de

( ), ( ) ( ) t t t y . Cómo hacer esto es toda la cuestión.

En una primera aproximación (muy mala), podemos calcular el

desplazamiento suponiendo que el movimiento posterior fue realizado a velocidad

constante igual a ( ) , 0 0 1 mseg

, y por consiguiente, el desplazamiento luego de un

tiempo t resulta (usando x x v t 0 ),

( ) ( ) ( ) , , , t t m seg mmseg

0 0 0 01 0 03 0 003

Con este dato ya se nos abre la puerta para calcular la aceleración en el instante t

con la ecuación 1-40,

222 2,1 003,0 400)( 400)( 11

seg

m

segsegmtt (¿se frena?, ¿por qué?)

y con el dato de la aceleración podemos aproximar (muy burdamente) a la velocidad

en el instante t como ( v v at 0 ),

segm

seg

msegm segt 064,0 03,0 2,10,1=t t)( )0()( 2 (¡se frena!)

Ya tenemos ( ), ( ) ( ) t t t y . El resto del procedimiento es repetir estos

pasos hasta el tiempo de integración deseado.

a) Verifique que el algoritmo general para integrar la ecuación diferencial se resume

en,

i) ( ) ( ) ( )n t n t n t t 1 (usando x x v t 0 ),

ii) ( ) ( ) n t n tseg

1 400 112 (usando 400 1

2seg )

iii) ( ) ( ) n t n t 1 (n +1) t t (usando v v at 0 )

Page 25: Oscilaciones

25

b) Elija un t pequeño (empiece con t seg 0 03, ), usando el algoritmo hallado y los

valores conocidos de ( )0 y ( ) 0 halle las posiciones posteriores

( ), ( ), ( ), ( ), t t t t2 3 4 ..... (si se anima construya un programa que lo

haga). Con estos valores elabore una tabla y grafique ( )t , compare con la

respuesta exacta del problema 1-7 (ítem h)).

c) Pruebe con diferentes valores de t y analice la exactitud de la aproximación para

cada uno de ellos.

d) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en el ejercicio.

Propuesta: Realice la integración numérica usando el programa Mathematica. A

continuación mostramos el programa desarrollado por Florencia Carusella, a la que

agradecemos por su ayuda.

Programa en Mathematica (se ha usado un intervalo 01.0t ).

Intervalos de tiempo.

dt=0.01;

T=0.314;

Definición de los vectores.

Phi=Array[p,Floor[T/dt]+2];

DPhi=Array[dp,Floor[T/dt]+2];

DDPhi=Array[ddp,Floor[T/dt]+2];

Condiciones iniciales.

Phi[[1]]=0;

DPhi[[1]]=0.1;

DDPhi[[1]]=-0*400;

Iteraciones.

Do[{

Phi[[k+1]]=Phi[[k]]+DPhi[[k]]*dt;

DDPhi[[k+1]]=-400*Phi[[k+1]];

DPhi[[k+1]]=DPhi[[k]]+DDPhi[[k+1]]*dt},

{k,1,Floor[T/dt]+1}]

pasos=Table[(k-1)*dt,{k,1,Floor[T/dt]+2}];

Gráficos:

Cálculo analítico de la posición.

p[t_ ]=0.005*Sin[20*t];

analitico=Plot[p[t],{t,0,T},PlotStyle->{PointSize[0.01]}];

Cálculo numérico de la posición.

posic=ListPlot[Transpose[{pasos,Phi}], PlotStyle->{PointSize[0.03]}];

Grafica juntas la solución analítica y la numérica.

Show[analítico,posic]

Page 26: Oscilaciones

26

Velocidad.

veloc=ListPlot[Transpose[{pasos,DPhi}],

PlotStyle->{PointSize[0.03],RGBColor[1,0,0]}];

Aceleración.

acel=ListPlot[Transpose[{pasos,DDPhi}],

PlotStyle->{PointSize[0.03],RGBColor[0,0,1]}];

Segundo Programa: Resolución numérica, método interno del Mathematica.

numer=NDSolve[{y”[x]+400*y[x]==0,y[0]==0,y’[0]==0.1},

y,{x,0,0.314}];

Gráfico

resol=Plot[Evaluate[y[x]/.numer],{x,0,0.314},

PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];

Superposición de ambas resoluciones.

Show[resol,posic,analitico];

e) Optativo. Este es uno de los peores métodos de integración, una posible mejora

sería aproximar mejor la velocidad con que calculamos el desplazamiento en cada

paso, sería más exacto si usásemos una velocidad promedio, estudiarlo y mejorar el

algoritmo.

f) Optativo. Si conoce algún método de integración más exacto (ej. Runge Kuta)

úselo.

1-12. Ejercicio Teórico (Recomendado).

Con este ejercicio pretendemos comprobar una propiedad importante de los

sistemas armónicos unidimensionales, que tomando como origen de coordenadas al

punto de equilibrio, la descripción del sistema, resulta equivalente al problema

simple de una masa y un resorte moviéndose sobre una superficie sin fricción (ver

ejercicio 1-7).

Veamos el ejemplo: Un cuerpo de m kg1 cuelga del techo por medio de un

resorte de constante elástica k N m 400 / y longitud relajada de cml 100 , como se

muestra en la figura 1-11.

Como primer modelo, consideramos que no existe fricción de ninguna especie y

que el sistema no disipa energía de ninguna otra forma.

a) Importante. Plantee la ecuación dinámica del sistema ( F m a ). Suponemos que,

sobre la masa, sólo actúan la fuerza peso y la fuerza elástica del resorte (por

y

Fig. 1-11

Page 27: Oscilaciones

27

ejemplo, la masa se ha desplazado y se ha soltado, describimos la evolución a

partir de ese instante).

Resp. mglyktym 0)t( )( 1-41

(ecuación diferencial de segundo orden lineal e inhomogénea).

b) Halle la posición de la masa en el equilibrio (la resultante de las fuerzas es nula).

Resp. cmk

mgly 45,120equi donde g m seg 9 8

2, /

c) Hemos anticipado que si se toma como origen de coordenadas al punto de

equilibrio, la descripción del sistema armónico resulta equivalente al problema

simple de una masa y un resorte moviéndose sobre una superficie sin fricción. Para comprobar esto, analice el cambio de coordenadas:

k

mgltyytyt 0equi )()()( 1-42

¿Qué describe la variable ?.

d) Demuestre que con el cambio de variables anterior la ecuación diferencial 1-41 se

transforma a,

( ) ( ) tk

mt (oscilador armónico) 1-43

e) Discuta sobre las implicancias de lo hallado en el ítem anterior.

f) Importante. Halle la frecuencia y el período de oscilación. ¿Se modifica la

frecuencia de oscilación por el hecho de que el resorte está colgado y no

horizontal?.

Resp. 20 rad seg/ , T seg 0,314 .

g) Importante. Suponiendo que inicialmente la masa está en su posición de equilibrio

y se desplaza hacia abajo con una velocidad de segm1 , halle la ley de movimiento

de la masa, es decir, halle ( )t (amplitud A y fase ) y, a partir de este resultado,

halle y t( ) . Discuta.

Resp. y t y t y A t( ) ( ) cos equi equi 1-44

donde my 1245,0equi 20 rad seg/ A cm m 5 0 05, y 2

Vuelva a obtener la solución usando el Mathematica,

Dsolve[{psi''[t]+400* psi[t]==0,psi[0]==0,psi'[0]==1},psi[t],t]

h) Grafique las funciones ( )t e y t( ) . Discuta.

Usando el Mathematica,

Page 28: Oscilaciones

28

psi[t_ ]=0.05*Cos[20*t-Pi/2];

Plot[psi[t],{t,0,1},

PlotRange->{-0.055,0.055},

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]}];

i) Halle la energía cinética (en función del tiempo).

j) Importante. Estamos interesados en hallar la energía potencial elástica y

gravitatoria, pero por razones que luego quedarán claras, resulta conveniente fijar

el cero de potencial, no en la posición relajada del resorte sino, en la posición de

equilibrio del sistema ( yequi), es decir, queremos que E yp equi( ) 0.

El potencial se puede definir a menos de una constante, la constante debe ser

elegida de tal forma que el potencial se anule en el punto elegido como cero del

potencial.

Veamos el ejemplo de la energía potencial elástica. En cursos anteriores de

física nos enseñaron que la energía potencial elástica puede calcularse a partir de la

ecuación,

E k xpel 1

2

2 1-45

donde 0lxx indica cuánto se aparta la masa de la posición relajada del

resorte, note que no figura ninguna constante sumando, es decir, la constante es

cero.

Pero la expresión 1-45 sólo es válida cuando el cero de potencial se toma en el

punto en donde el resorte se halla relajado, de hecho cuando x 0 la energía

potencial, dada en la ecuación 1-45, se anula.

En el caso general, en donde el cero de potencial no se fija en la posición

relajada, la expresión 1-45 debe modificarse. La expresión general tiene la forma,

E k x constantepel 1

22

1-46

donde la constante debe elegirse adecuadamente para que la energía potencial se

anule en el punto que deseamos fijar como cero de potencial.

Para entender un poco mejor, recordemos como es que se calcula (en el jardín) la

expresión 1-45. La energía potencial es igual a menos el trabajo realizado sobre la

masa al ir desde el punto de referencia x0 (en donde tomamos el cero de potencial)

hasta la posición final x, es decir,

2

00

2

0

0

el

p 2

1

2

1 .)(

00

lxklxkdxlxkxdFxE

x

x

x

x

1-47

donde hemos comprobado que la constante a sumar es,

2

002

1lxkconstante .

Esta constante puede calcularse sin necesidad de integrar, sólo pidiendo que la

energía potencial se anule en el punto de referencia (compruébelo).

Page 29: Oscilaciones

29

La expresión 1-47 nos permite hallar la energía potencial elástica para

cualquier punto de referencia x0 . Claramente, la energía potencial en la posición

x x 0 es cero (cero de potencial), es decir,

0 2

1

2

1)(

2

00

2

000

el

p lxklxkxE

En el caso particular en que el punto de referencia concuerda con la posición

relajada, o sea, 00 lx , entonces la ecuación 1-46 toma la forma de la ecuación 1-45

(verifique).

En nuestro problema el cero de potencial lo tomamos en el punto yequi , por

consiguiente, la energía potencial elástica nos queda,

joulemymNlyklykyE 12005,01,0 /4002

1

2

1

2

1)(

22

0equi

2

0

el

p

Comentario: Si la energía potencial de una masa (suma de todas las posibles

energías potenciales, elástica, gravitatoria, electroestática, etc.) puede

representarse por una función cuadrática

E ax bx cp 2 con a 0

entonces su representación gráfica resulta una parábola hacia arriba, no

necesariamente ubicada en el origen, ver figura 1-12. Y el movimiento de la masa

resulta oscilatorio armónico, aunque la forma del potencial no sea exactamente

E k xp 1

2

2 .

La posición de equilibrio se ubica en la posición que hace mínimo al potencial

(fuerza nula), y la amplitud de oscilación queda determinada por la energía

mecánica total E (ver figura 1-12).

Figura 1-12: Gráfico de la energía potencial elástica. El vértice de la

parábola corresponde al estado de equilibrio.

Emin

Ep

x xequi

E

xmin xmax

mov. oscilatorio

armónico

F>0 F<0

Page 30: Oscilaciones

30

La fuerza que actúa sobre la partícula puede obtenerse a partir de la conocida

relación (para el caso unidimensional),

FE

xax b

p

2

La cual puede llevarse a la forma equivalente de una fuerza elástica ejercida por

un resorte F k x , si consideramos que la longitud relajada del resorte es

a

bl

20 y su constante elástica a

k

2, es decir,

02

22 lxka

bxabaxF

.

De acuerdo a esto, si un sistema posee un potencial cuadrático (cualquiera

sea su origen físico) siempre resulta posible hallar un sistema equivalente formado

por una masa y un resorte oscilando armónicamente, la frecuencia de oscilación

queda determinada por la constante “ a ” y la masa.

Note que la fuerza no depende de la constante “c”, es decir, la dinámica del

sistema no depende del punto que tomemos como cero de potencial. Podríamos

redefinir a la energía restándole la constante “c” y nada cambiaría. En particular

c puede tomar un valor muy negativo, como por ejemplo c joule 1020 , con lo

cual la energía mecánica resulta negativa en la mayoría de los ejemplos prácticos,

hecho que no es contradictorio con los principios de la física ya que la energía

mecánica puede ser negativa, su signo depende del punto tomado como cero de

potencial.

k) Compruebe que la expresión E kpel 2

1

2 ¡está mal!, ya que, 0lxx .

l) Halle la energía potencial gravitatoria (siga el análisis anterior), tome el cero de

potencial en el punto de equilibrio del sistema (¡Cuidado con el signo del

potencial gravitatorio, depende del sistema de coordenadas elegido, verifique!,

recuerde que PE

pg

y y que en este sistema de coordenadas P 0, ver figura

1-11.).

Resp. E mgy mgy mg y ypg

equi equi 1-48

m) Demuestre que la energía potencial total, suma de la potencial gravitatoria y

elástica, es 2

21 )()( tktEp (tomando el cero de potencial en la posición de

equilibrio). Compare con la energía potencial elástica del problema 1-7.

n) Verifique que la energía total resulta,

E k A 12

2 1-49

Page 31: Oscilaciones

31

(tomando como cero la posición de equilibrio), observe que el resultado

concuerda con el obtenido en el problema 1-8, ¿Cómo puede ser que esto resulte

así, teniendo en cuenta que en este problema el resorte está más estirado y además

existe energía potencial gravitatoria?. Discuta.

o) Importante. ¿En qué se modifica el movimiento oscilatorio por el hecho de estar

colgado y no en posición horizontal?, compare con los ejercicios 1-7 y 1-8.

Hallar:

p) La energía total del sistema. Resp. E joule 0 5, .

q) La energía cinética máxima. Resp. E joulec 0 5, .

Cuando el cuerpo posee su máximo desplazamiento hacia abajo, encontrar,

r) La energía potencial gravitatoria. Resp. E joulepg 0 49, .

s) La energía potencial elástica. Resp. E joulepe 0 99, .

1-13. (Recomendado). Una masa kgm 5,0 desliza sobre una superficie sin fricción

(sin disipar energía). Está conectada a dos paredes rígidas mediante dos resortes

idénticos. Las paredes se hallan separadas una distancia L m 3 . Los resortes, de masa

cero y perfectamente elásticos, poseen una constante elástica k N m500 / y longitud

relajada ml 10 , ver figura 1-13.

Suponiendo que el movimiento es unidimensional (en la dirección x),

a) Plantee la ecuación dinámica del sistema ( F m a ).

Resp. 00 )( )t( )( ltxLklxktxm

Ayuda: recuerde que la fuerza elástica resulta proporcional al estiramiento del

resorte respecto de su longitud relajada. Por consiguiente, lo primero que debe

hacer es hallar la longitud del resorte en función de la coordenada x t .

Compruebe que la longitud del resorte de la izquierda resulta,

L x t1

mientras que la longitud del resorte de la derecha es,

L L x t2

Deténgase a pensar el signo que le corresponde a cada término, correspondiente a

las fuerzas elásticas de cada resorte.

b) Halle la posición de la masa en el equilibrio (la resultante de las fuerzas se anula).

Resp. x L mequi 2 15,

x x=0 x=L

Fig. 1-13

Page 32: Oscilaciones

32

c) Demuestre que, con el cambio de variables ( ) ( )t x t x equi, la ecuación

diferencial se transforma en,

d)

( ) ( ) tk

mt

(oscilador armónico)

donde hemos definido k k2 .

Comentario: Tomando como origen de coordenadas al punto de equilibrio, la

descripción del sistema, resulta equivalente al problema simple de una masa

unida a un resorte, oscilando sobre una superficie sin fricción.

e) Hallar la frecuencia y el período de oscilación. Resp. 2

k

m

f) Importante. Suponiendo que inicialmente la masa m se desplaza hacia la derecha

una distancia de 0 5, m (desde el equilibrio) y se suelta desde el reposo, halle la ley

de movimiento de la masa, es decir, halle ( )t y, a partir de este resultado, halle

x t( ) .

g) Halle la energía cinética (en función del tiempo).

h) Halle la energía potencial elástica (Tome como cero la posición de equilibrio).

Ayuda. E k L l k L l cte kp 1

2

1

2

1

21 0

2

2 0

2 2 halle la constante.

i) Verifique que la energía total resulta E k A 12

2 (tomando como cero la posición

de equilibrio), observe que el resultado es similar al obtenido en el problema 1-8,

¿Cómo puede ser que esto resulte así, teniendo en cuenta que en este problema el

resorte está más estirado?, ¿no importa ese estiramiento?. Discuta.

j) Repaso. Repita el ejercicio considerando que los resortes poseen constantes

elásticas distintas o longitudes relajadas distintas.

k) Importante. Repita los cálculos anteriores pero ahora la masa, en lugar de estar

colocada sobre una superficie horizontal, se cuelga del techo en posición vertical,

como indica la figura 1-14. ¿Cambia la frecuencia de oscilación del sistema por el

hecho de estar vertical y no horizontal? ¿No influye que el resorte de arriba este

más estirado que el de abajo?. Discuta.

1-14. Ejercicio Teórico: Péndulo (Recomendado).

El Péndulo, aparece muy a menudo en nuestra vida cotidiana (hamacas). En

este ejercicio comprobaremos que el movimiento de un péndulo resulta (en primera

aproximación) armónico, cuando la amplitud de la oscilación es pequeña (luego

analizaremos que es lo que consideramos pequeño).

L

Fig .1-14

Page 33: Oscilaciones

33

La figura 1-15 muestra un péndulo simple constituido por una masa m kg 1

colgada del techo por medio de una cuerda de longitud L m1 (sin masa e

inextensible, ¿por qué?).

a) Haga un dibujo en donde consten claramente todos los pares de interacción en

juego.

a) Plantee las ecuaciones de Newton ( F ma ) que describen la evolución dinámica de

la masa (problema tridimensional, por ende, existe una ecuación vectorial, o lo que

es equivalente, tres ecuaciones una para cada coordenada).

b) Para simplificar el problema supondremos que el péndulo se encuentra en un

sistema inercial y además que el movimiento se restringe a un plano. Esta

suposición es una idealización, ya que si el péndulo se halla sobre la tierra (que no

es un sistema inercial), debido a la rotación sobre su eje, el plano de oscilación

varía lentamente.

Si el movimiento se restringe a un plano, la posición de la masa puede

describirse a través de una única coordenada (unidimensional), el ángulo o la

longitud de arco s L . Halle la ecuación diferencial de movimiento de la masa

correspondiente a la coordenada s,

Resp. ( ) sen( )

s t gs t

L

1-50

Comentario: Esta ecuación diferencial de segundo orden es no lineal, ya que la

función s t( ) aparece dentro de una función seno, que claramente no es una

función lineal de s. La no linealidad es debida a que la interacción es no-lineal.

Los términos no lineales complican enormemente la resolución analítica de las

ecuaciones diferenciales. En la mayoría de los casos, no existe solución analítica y

sólo es posible resolverlas numéricamente.

Los términos no lineales son los responsables, en muchas situaciones, de la

aparición de fenómenos físicos complejos como son los fenómenos Caóticos.

Todo lo que hasta ahora hemos estudiado va en la dirección de poder predecir

la evolución futura de un sistema, conocido su estado actual. El estado inicial

nunca puede conocerse con exactitud, ya que la medición de cualquier magnitud

física siempre conlleva errores. Si el sistema dinámico es lineal estos errores no

imposibilitan realizar buenas predicciones sobre el sistema, ya que pequeñas

variaciones de las condiciones iniciales producen pequeñas variaciones de su

evolución futura (sistema determinista y predecible). Esta pretensión determinista, sobre la posibilidad de predecir la evolución

dinámica de cualquier sistema, ha guiado a la física por siglos, pero no siempre

L

s

L

s

Figura 1-15: Péndulo simple.

Page 34: Oscilaciones

34

resulta posible en sistemas dinámicos complejos. Si el sistema dinámico es no

lineal, en muchos casos, resulta imposible realizar predicciones sobre la evolución

futura del sistema (sistema determinista no-predecible), ya que pequeñas

variaciones de las condiciones iniciales pueden producir grandes variaciones en

su evolución futura. Estos sistemas dinámicos complejos siguen siendo deterministas, en el

sentido de que su evolución respeta estrictamente las leyes de Newton, pero debido

a la incerteza con que se conoce el estado actual, no resultan predecibles (aunque

la incerteza sea muy pequeña). La clásica imagen con que generalmente se ilustra

este concepto es: “Una mariposa mueve sus alas en Pekín y desencadena

tormentas sobre New York”.

El estudio de los sistemas dinámicos complejos se ha constituido en una

importante área de la matemática y de la física moderna. Nosotros no

profundizaremos en el tema, pero recomendamos la lectura del libro: Nonlinear

Dynamics and Chaos de Steven H. Strogatz (Addison-Wesley), el cual resulta muy

didáctico, y sólo presupone conocimientos físicos y de análisis matemático

elementales.

La mayoría de los sistemas físicos reales son no-lineales, y sólo algunos

casos idealizados resultan lineales.

En el caso particular del péndulo los términos no lineales no conllevan

fenómenos caóticos pero dificultan la resolución analítica del problema (la cual

existe). Por ello, y por razones didácticas, en el siguiente ítem haremos una

aproximación.

c) Suponga que le interesa describir sólo las pequeñas oscilaciones alrededor del

equilibrio (es decir, s pequeño respecto a la longitud de la cuerda L ). Por ello, en

la ecuación 1-50, aproximamos a la función sen x por su desarrollo en Taylor a

primer orden, despreciando a los ordenes superiores, es decir,

sen x x términos de orden igual o superior a x

3.

De esta forma, hemos aproximado a la función seno por una recta que pasa por el

origen, de pendiente 1 (¡ x en radianes !), o sea,

sen x x (aproximación lineal)

Discuta sobre la validez de esta aproximación lineal. Pruebe con su calculadora

diferentes valores de x, e indique para que conjunto de valores usted cree que

resulta razonable la igualdad. Grafique juntas a las funciones y x sen e y x .

d) Verifique que, dentro de la aproximación lineal, la ecuación dinámica del péndulo

es,

( ) ( )s tg

Ls t 1-51

(La validez de esta aproximación depende del grado de exactitud con que se desea

calcular).

Page 35: Oscilaciones

35

e) En ésta aproximación el movimiento resulta armónico ¿por qué?, ¿qué significa

esto?.

f) Para pequeñas oscilaciones, halle la frecuencia angular, frecuencia y período de

oscilación del sistema.

Resp. TL

g 2 2 seg (para pequeñas oscilaciones) 1-52

g) Estudie detenidamente la expresión 1-52, de ella se desprende que el período de

oscilación de un péndulo sólo depende de su longitud y de la aceleración de la

gravedad del lugar en donde se analiza el fenómeno.

El período de oscilación del péndulo no depende de la masa, este hecho no

es más que otra manifestación del principio de equivalencia entre la masa

inercial y la masa gravitatoria. Discuta.

h) La ecuación 1-52 resulta válida sólo para pequeñas oscilaciones. Si resuelve el

problema exacto, ¿usted cree que el período de oscilación finalmente termina

dependiendo de la masa del cuerpo?. Justifique.

i) Importante. Resuelva la ecuación de movimiento (ec. 1-51), es decir, halle s t( ) ,

sabiendo que a t 0 la masa esta quieta y desplazada un ángulo o5 respecto

de la vertical (¡pasar a radianes!, ¿por qué?).

Resp. s t A t cos donde 313, radseg , mA 087,0 y 0 rad .

j) Halle el instante en que pasa, por primera vez, por la posición de equilibrio.

Resp. t seg 0 5, .

k) Halle la velocidad tangencial y la velocidad angular de la masa al pasar por la

posición de equilibrio.

Resp. segm

tv 272,0 segrad 272,0 (discuta).

l) Importante. En el instante en que pasa por la posición de equilibrio, halle la

aceleración tangencial y la aceleración centrípeta de la masa y la tensión del hilo.

Resp. atm

seg 0 2 , 2 074,0

segm

ca y NTensión 874,9

m) Halle la energía cinética correspondiente a la masa oscilante, en función del

tiempo.

n) Importante. Halle la energía potencial, haga un desarrollo en Taylor y verifique

que el término más bajo tiene la misma forma que el potencial elástico. Discuta.

Respuesta: Verifique que la energía potencial gravitatoria, tomando como cero de

potencial el punto de equilibrio y el eje positivo de las “y” hacia arriba, resulta,

E mgh mgLp 1 cos 1-53

desarrollando en Taylor (para ángulos pequeños) la función cos ,

Page 36: Oscilaciones

36

cos 11

2

2terminos de orden superior 1-54

y reemplazando 1-54 en 1-53 obtenemos,

E mgLmg

Lsp

1

2

1

2

2 2 1-55

Note que si definimos una constante elástica equivalente kmg

L , la energía

potencial gravitatoria se aproxima por,

E k sp 1

2

2 1-56

que tiene la misma forma funcional que la energía potencial elástica, por lo cual,

podemos concluir nuevamente que la evolución del sistema resulta oscilatorio

armónico, con frecuencia angular,

k

m

mg

mL

g

L T

L

g 2

como ya habíamos obtenido.

o) Importante. En un mismo dibujo, grafique la energía potencial gravitatoria exacta

dada por la ecuación 1-53 y la aproximada, dada por la ecuación 1-56

(aproximación de pequeñas oscilaciones), ver figura 1-16. Discuta.

Para graficar puede usar el programa Mathematica,

m=1;

g=9.8;

L=1;

k=m*g/L;

y0=m*g*L;

Ep1[s_ ]=m*g*L*(1-Cos[s/L]);

Ep2[s_ ]=k*s^2/2;

Plot[{Ep1[s],Ep2[s]},{s,-8,8},

PlotPoints->300,PlotRange->{-.1,2.2*y0},

AspectRatio->.5,

PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]},

{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.001]}}]

Page 37: Oscilaciones

37

En la figura 1-16, observamos lo bien que aproxima la parábola al potencial

“exacto”, cerca del punto de equilibrio. Por esta razón resulta una buena

aproximación el considerar que el péndulo oscila armónicamente para pequeños

ángulos de apartamiento.

p) Halle la energía mecánica total. Demuestre que usando la expresión aproximada

para la energía potencial (ec. 1-56), la energía mecánica total resulta equivalente a

la hallada en el caso del resorte (ejercicio 1-7).

Resp. E kA1

2

2 donde k

mg

L 1-57

q) Con esta aproximación el movimiento ¿es armónico? ¿qué quiere decir esto?. ¿Qué

cree que sucedería si el péndulo se apartase un ángulo grande?. Discuta.

r) ¿Cuál sería el período de este péndulo en la Luna, en donde la aceleración de la

gravedad es un sexto de la correspondiente en la Tierra?.

s) Experimento casero. Tome un hilo y una pequeña masa, constrúyase un péndulo.

Con su reloj mida el tiempo que demora en realizar varías oscilaciones (mientras

mayor es el número de oscilaciones menor resulta el error cometido, discuta).

Determine la aceleración de la gravedad.

1-15. (Repaso). Si el período de un péndulo de 70cm de longitud es 1 68, seg , ¿Cuál

es el valor de la g en ese lugar de la tierra?.

1-16. Principio de superposición (Recomendado):

Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas tienen la siguiente importante

e interesante propiedad: La suma de dos soluciones cualesquiera es también

solución.

Ep (aproximación lineal) Ep

equilibrio s

Ep “exacto”

Figura 1-16: Gráfica de la energía potencial gravitatoria, correspondiente a la masa

oscilante. Para pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio, resulta

bien aproximado por un potencial elástico equivalente (parábola).

Page 38: Oscilaciones

38

Las ecuaciones no lineales no tienen esta propiedad: La suma de dos

soluciones de una ecuación no lineal no necesariamente es una solución de la

ecuación (Las consecuencias de éste hecho son muy importantes y serán enfatizadas

durante todo el curso, en particular ver el capítulo 6).

Pruebe estas dos afirmaciones,

a) Lineal: Suponga que ha encontrado que la ecuación dinámica del movimiento de

un sistema con un grado de libertad es de la forma,

( ) ( ) t t

2 (ecuación diferencial lineal)

y que ha hallado dos soluciones 1( )t y 2 ( )t de la ecuación diferencial. Verifique

que la función ( ) ( ) ( )t t t 1 2 también es solución, es decir, satisface la

ecuación diferencial.

Ayuda: Reemplace ( )t por 1 2( ) ( )t t y ( ) t por ( ) ( ) 1 2t t y use el hecho

de que 1( )t y 2 ( )t son soluciones de la ecuación, es decir, que satisfacen ( ) ( ) 1

2

1t t y ( ) ( ) 2

2

2t t (con la misma frecuencia ).

b) No Lineal: Suponga que ha encontrado que la ecuación dinámica del movimiento

de un sistema con un grado de libertad es de la forma,

( ) ( ) ( ) t t t

2 2 (ecuación diferencial no lineal)

donde es una constante, y suponga que ha hallado dos soluciones 1( )t y 2 ( )t

de la ecuación diferencial. Verifique que la función ( ) ( ) ( )t t t 1 2 no es

solución, es decir, no satisface la ecuación diferencial.

1-17. (Recomendado). Una masa m kg1 se halla dispuesta sobre una guía vertical,

donde puede deslizar con rozamiento despreciable. Además, se halla sujeta a un

resorte, colgado del techo, de constante elástica k N m 400 / y longitud relajada l0 ,

como indica la figura 1-17.

a) Halle la ecuación dinámica del sistema. Note que la ecuación diferencial es no

lineal. ¿La evolución resulta oscilatoria armónica?.

Resp. my k y L ly

y Lmg

2 2

0 2 2

y

L

Fig .1-17

Page 39: Oscilaciones

39

b) Queremos determinar la posición de equilibrio del sistema ( equiy ). Para que las

cuentas se simplifiquen, elegimos valores muy particulares de L y de la longitud

relajada del resorte l0 ,

L l 3 0 y lmg

k0 2

Verifique que, con estos datos, el sistema alcanza su equilibrio en el punto de

coordenada,

0equi ly

¡Este resultado no es general, la posición de equilibrio concuerda con 0l debido a

la arbitraria elección de las longitudes L y l0 (para que las cuentas resulten

fáciles)!.

c) Haga un cambio de variables de tal forma de describir al sistema a partir de su

posición de equilibrio ( y y y lequi 0) y obtenga la nueva ecuación dinámica.

Resp.

m k kl

kl l

l L

mg

+0

0 0

0

2 2

d) El primer término del segundo miembro, de la ecuación anterior, es el usual en una

ecuación armónica, no así el resto de los términos. Haremos una aproximación para

poder resolver la ecuación analíticamente, consideraremos que las oscilaciones son

muy pequeñas, es decir, los apartamientos del equilibrio, dados por , son

pequeños respecto de l0 y L . Dentro de ésta aproximación, vamos a aproximar los

3 últimos términos de la ecuación dinámica por el primer orden de su desarrollo en

Taylor alrededor del equilibrio 0. Demuestre que a primer orden se cumple,

klkl l

l L

mg k0

0 0

0

2 2

3

8 +

.....

e) Usando la aproximación anterior, la ecuación dinámica queda,

m k kl

kl l

l L

mg k k k

+ 0

0 0

0

2 2

3

8

5

8

f) Halle la frecuencia de oscilación, dentro de la aproximación de pequeñas

oscilaciones.

g) Halle la ley dinámica sabiendo que en el instante inicial la masa se hallaba en

reposo en la posición y l0 2 0 . Resp. y t l l t 0 0 cos donde 5

8

k

m

1-18. (Repaso). Suponga que una partícula tiene una energía potencial qué, para

valores pequeños de x , es V Ax4 .

a) ¿Resulta oscilatorio el movimiento?, responda usando argumentos energéticos.

Page 40: Oscilaciones

40

b) ¿Resulta armónico el movimiento oscilatorio correspondiente?

c) ¿Cómo cree usted que variará el período al variar la amplitud en estas

oscilaciones?.

1-19. (Repaso). Una masa m g 5 unida a un resorte (sin masa) de constante elástica

k N m 400 / , oscila horizontalmente (sin rozamiento). Suponiendo que en el instante

inicial el resorte se halla estirado 1cm, respecto de su longitud relajada, y que en ese

momento posee una velocidad de 1cm seg/ , en la dirección en que se estira el resorte,

haga todos los cálculos, gráficos y discusiones que crea necesario para describir el

problema dinámico.

1-20. (Repaso). Una partícula de masa m kg1 2 apoyada sobre una superficie

horizontal sin rozamiento se liga a una pared por medio de un resorte de constante

elástica k N m 600 / . Otra partícula de masa m kg2 1 desliza sobre la superficie

acercándose al primero a una velocidad de 6m seg/ .

a) Halle la amplitud y el período de oscilación si el segundo objeto choca de forma

perfectamente inelástica quedando unido a la primer masa.

Resp. A m 0 141, y T seg 0 444, .

b) Halle la amplitud y el período de oscilación si el choque fuese elástico.

Resp. A m 0 231, y T seg 0 363, .

c) Para cada tipo de choque, halle las funciones x t1( ) y x t2 ( ) que describen las

posiciones de las dos masas en función del tiempo, suponiendo que el choque se

produce en el instante t 0 (suponer las masas puntuales).

Resp. En el caso de colisión inelástica x t x t t1 2 0141 14 1 2( ) ( ) , cos( , / )

En el caso de colisión elástica x t t1 0 231 17 3 2( ) , cos( , / ) y x t t2 2( )

d) ¿Cuál es el impulso aplicado a la partícula 1 en cada caso?.

Resp. p kgm seg1 4 / y p kgm seg1 8 / respectivamente.

1-21. (Repaso). Considerando valores razonables para la masa de un coche y su

período de oscilación vertical, estimar la constante elástica de los amortiguadores que

actúan sobre sus 4 ruedas.

1-22. (Repaso). Supongamos que un cuerpo de masa m está sujeto a dos resortes, de

constantes elásticas 1k y 2k respectivamente, en la forma indicada en la figura 1-18.

¿Cuál es la frecuencia de oscilación cuando los resortes están en paralelo (a) y en

serie (b).

Fig. 1-18 a) k1 b) k2 k1

Page 41: Oscilaciones

41

1-23. (Repaso). Una masa m desliza sobre una superficie sin fricción, conectada a

dos paredes rígidas mediante dos resortes idénticos, de constante elástica k y longitud

relajada 0l . La separación entre las paredes es igual a lL 2 , con 0ll . Estamos

interesados en estudiar las oscilaciones transversales del sistema, ver figura 1-19.

a) A partir de las leyes de Newton halle la ecuación diferencial que describe el

desplazamiento transversal de la masa.

Resp.

l

lt

m

kt 0-1 )(

2)( ,

donde 22 ll es la longitud del resorte estirado (depende de ).

b) La ecuación anterior ¿Es una ecuación diferencial lineal?, si no lo fuera ¿qué

complicaciones trae aparejada?.

Comentario: Note que la interacción resulta no lineal a pesar de que las

interacciones son elásticas. Las interacciones lineales sólo aparecen en casos

muy particulares.

c) Utilice la aproximación de pequeñas oscilaciones para resolverla, es decir, básese

en el hecho de que el desplazamiento es tan pequeño que la longitud del resorte

l puede aproximarse por su desarrollo en Taylor a orden cero, es decir ll .

¿Qué ganamos con esto?.

d) En la aproximación de pequeñas oscilaciones, halle la frecuencia de oscilación del

sistema y ley de movimiento de la masa (invente condiciones iniciales).

Resp. lm

T

2 02

1 , donde 00 llkT (tensión del resorte).

1-24. (Repaso). La aceleración debida a la gravedad g varía con el lugar de la Tierra

debido a su rotación y porque la Tierra no es exactamente esférica. Este hecho fue

descubierto por primera vez durante el siglo XVII, cuando se observó que un reloj de

péndulo cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo correcto en París, atrasaba

alrededor de 90seg dia/ cerca del Ecuador.

a) Demostrar que una pequeña variación en la aceleración g produce un pequeño

cambio T en el período de un péndulo dado por: T

T

g

g

1

2. Ayuda: hacer

un desarrollo en Taylor y quedarse sólo con el primer orden.

b) ¿Qué variación de g se necesita para justificar un cambio de período de

90seg dia/ .

l

Fig. 1-19

Page 42: Oscilaciones

42

Bibliografía:

Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté.

Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill.

Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté.

Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté.

Curso de Física de Berkeley, Mecánica, Vol. 1 Ed. Reverté.

Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana.

Física Vol 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

Page 43: Oscilaciones

43

Capítulo 2.

Oscilaciones Amortiguadas, Forzadas y Resonancia.

Introducción:

Nuestro objetivo en los primeros capítulos es el de comprender el

comportamiento oscilatorio que presentan muchos sistemas simples en la Naturaleza.

Hasta ahora sólo hemos estudiado oscilaciones armónicas unidimensionales en donde

no existe disipación de energía. Este modelo es el más simple de entender, pero

resulta insuficiente para describir fenómenos físicos reales más complejos. Una

primera mejora a nuestro modelo consiste en considerar que el sistema puede disipar

energía, por ejemplo vía el rozamiento, o ganar (o perder) energía a través de la

acción de una fuerza impulsora.

Como primer paso, propondremos un modelo simple de disipación de energía

y bajo estas nuevas condiciones estudiaremos la evolución dinámica del sistema

masa-resorte. Luego estudiaremos la respuesta del sistema cuando es sometido a la

acción de una fuerza externa cuya intensidad varía armónicamente.

Estos modelos simples nos permiten entender comportamientos físicos, muy

generales, de sistemas oscilantes. Nos detendremos fundamentalmente en el estudio

del fenómeno de resonancia, concepto fundamental, el cual se manifiesta en infinidad

de sistemas físicos tales como instrumentos musicales, en sistemas eléctricos, en

electrónica, en materiales, moléculas, átomos, núcleos atómicos, etc..

Los ejercicios recomendados son el 1, 3, 4, 5 y 7.

2-1. Ejercicio Teórico: Oscilador armónico amortiguado:

Como primer paso hacia una mejor descripción de los fenómenos oscilatorios

reales observados en la naturaleza, vamos a complejizar nuestro modelo simple, de la

masa oscilante, considerando la posibilidad de que el sistema disipe energía a través

de la fricción con el aire (no tomaremos en cuenta otro tipo de rozamiento).

Supondremos que las oscilaciones son lo suficientemente lentas como para que

el aire al fluir sobre la masa pueda ser descripto como un fluido ideal fluyendo

laminarmente, sin turbulencias. Dentro de esta aproximación, existen modelos

hidrodinámicos adecuados que describen la fuerza amortiguadora actuante sobre la

masa, debido al rozamiento con el aire. El más simple de ellos es el que obtenemos a

partir de la ley de Stokes, el cual afirma que la fuerza amortiguadora Fa resulta

proporcional a la velocidad del cuerpo, pero en sentido opuesto ya que se opone a su

movimiento, es decir,

vbFa

2-1

Page 44: Oscilaciones

44

en donde b es una constante que determina el grado de amortiguación, depende de la

viscosidad del medio y de las dimensiones de la masa. Este modelo de rozamiento se

ajusta bastante bien (para velocidades bajas) a lo que se observa experimentalmente

en fluidos.

A mayor velocidad mayor resulta la fuerza amortiguadora (de signo opuesto).

Note que el signo negativo indica claramente que la fuerza tiene permanentemente un

sentido opuesto al sentido del movimiento, por lo cual concluimos que el trabajo

hecho por esta fuerza resulta siempre negativo, o sea, disipa continuamente

energía.

Veamos sobre el ejemplo las consecuencias de considerar esta forma de

disipación de energía:

Ejemplo: Una partícula de masa m kg 1 oscila unidimensionalmente unida a un

resorte horizontal de constante elástica k N m 400 / , y longitud relajada cml 300 ,

ver figura 2-1.

Considerando que el sistema disipa energía sólo debido al rozamiento con el

aire, y que la fuerza amortiguadora puede modelarse a través de la expresión 2-1 (ley

de Stokes), halle la ley dinámica del sistema (unidimensional), es decir, halle la

ecuación diferencial que describe el desplazamiento de la masa (segunda ley de

Newton).

Respuesta:

m t k t b t ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2-2

donde 1( )t es el desplazamiento a partir del equilibrio en función del tiempo, es

decir 1( ) ( )t x t xequi donde 0lxequi (le hemos puesto el subíndice 1 para

diferenciar de soluciones que obtendremos posteriormente).

Podemos reescribir la ecuación 2-2, pasando los términos al miembro

izquierdo, dividiendo todos los términos por la masa m y definiendo dos nuevas

constantes, como,

( ) ( ) ( ) 1 0

21 1 0t t t 2-3

donde,

02

k

m o 0 20

k

mrad

seg (frecuencia natural) 2-4

y,

b

m, (coeficiente de amortiguamiento) 2-5

Fig. 2-1

x

Page 45: Oscilaciones

45

La constante da cuenta del amortiguamiento del sistema (¿Cuáles son las unidades

de ?), mientras que 0 resulta ser la frecuencia natural del sistema, es decir, la

frecuencia a la que oscila la masa sin rozamiento (recuerde la guía teórica 1-7).

La hemos llamado 0 y no , como en el capítulo 1, para que sea más

explícito su carácter de constante y porque reservamos el símbolo para denominar

una frecuencia angular variable.

Dependiendo de lo intenso del amortiguamiento (dado por el coeficiente )

tendremos tres posibles soluciones de la ecuación 2-3 (o 2-2), analizaremos caso por

caso:

Primer Caso: Oscilador débilmente amortiguado o subamortiguado:

Sobre la base de nuestra intuición física, podemos suponer que, si el

rozamiento no es muy alto (amortiguamiento b bajo respecto de la constante elástica

k), el movimiento continúa siendo oscilatorio pero con amplitud decreciente (no

periódico). Sobre la base de esto, discuta si la siguiente función puede representar la

evolución dinámica del sistema, es decir, ser solución de la ecuación diferencial 2-3

(o 2-2),

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t 2-6

donde es el coeficiente de amortiguamiento definido en 2-5, el cual determina un

decaimiento exponencial de la amplitud de oscilación.

La frecuencia angular la hemos notado como 1 para diferenciarla de la

frecuencia natural del resorte 0 (sin disipación), ya que no sabemos de antemano si

la frecuencia del sistema concuerda o no con la natural.

Comentario: Note que la función anterior determina que la oscilación culmina en

tiempo infinito, cosa que no ocurre en la realidad. Esto no significa que la función 2-6

no sea solución de la ecuación diferencial 2-3, sino que el modelo de rozamiento es

ideal y no describe completamente al sistema real.

a) Haga un gráfico esquemático de la función 2-6 y estudie detenidamente que

determina cada constante.

b) Verifique que la función definida en 2-6 es solución de la ecuación diferencial 2-3

(o 2-2), y que la frecuencia de oscilación 1 , del sistema con rozamiento, no resulta

igual a la frecuencia de oscilación natural del sistema 0, sin rozamiento, sino que

queda determinada por la relación,

12

0

2 21

4 2-7

La frecuencia 1 resulta siempre menor que la frecuencia natural 0,

1 0

Page 46: Oscilaciones

46

y de acuerdo a la ecuación 2-7, observamos que la frecuencia 1 disminuye su valor

al aumentar el amortiguamiento (coeficiente ).

La solución 2-6 tiene sentido mientras que se cumpla que 12 0 , o sea,

12

0

2 21

40 2-8

es decir, si el rozamiento es bajo, la solución resulta oscilatoria.

De la ecuación 2-8 vemos que si el coeficiente de amortiguación cumple que,

2 0 o b k 2 2-9

entonces consideramos que el rozamiento es bajo.

Respuesta: Verificamos que la función:

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t

es solución de la ecuación diferencial 2-3, para ello calculamos su derivada y su

derivada segunda, respecto del tiempo (verifique),

( ) cos sen/

1 1 1 1 1 1 1

2

2t A e t t

t

2-10

( ) cos sen/

1 1

2

12

1 1 1 1 1

2

4t A e t t

t 2-11

reemplazamos 2-10 y 2-11 en la ecuación 2-3 ( ( ) ( ) ( ) 1 02

1 1 0t t t ),

obtenemos,

A e t t

A e t A e t t

1

2

12

1 1 1 1 1

02

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2

4

20

t

t t

/

/ /

cos sen

cos cos sen

simplificamos la constante A1 y el exponente et /2 y agrupamos todos los términos

con cosenos en el miembro izquierdo y todos los términos con senos en el derecho,

obtenemos,

1

20

2

2

1 1 1 1 1 14

cos sent t 2-12

Aquí debemos detenernos a pensar un momento. La función 2-6 es solución de la

ecuación diferencial 2-3 si la igualdad 2-12 se satisface en todo instante.

Page 47: Oscilaciones

47

En el miembro izquierdo tenemos una constante multiplicando a una función

cos 1 1t mientras que del lado derecho tenemos otra constante distinta

multiplicando a una función sen 1 1t , con lo cual la igualdad 2-12 dice que el

coseno resulta proporcional al seno y la igualdad debe cumplirse para todo

tiempo, lo cual resulta imposible. Pueden concordar en algún instante pero no

para todo tiempo (pensarlo detenidamente).

La igualdad 2-12 sólo puede satisfacerse si las constantes que multiplican a las

funciones seno y coseno resultan ambas cero (en este caso la constante que

acompaña al seno es evidentemente cero), es decir,

| |

| |

00

1

20

2

2

1 1 1 1 1 14

cos sent t 2-13

Y de 2-13 obtenemos que para que la función

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t sea

solución de la ecuación 2-3 debe cumplirse que,

12

0

2 21

40 1

20

2 21

4

que es lo que ya habíamos anticipado en 2-7, el sistema oscila con frecuencia

1 0 .

Resumiendo, si el amortiguamiento es lo suficientemente débil ( 2 0 ) como

para que 12

0

2 21

40 (oscilador débilmente amortiguado), entonces la

evolución del sistema puede ser descripta por la función

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t . Por lo cual el movimiento resulta oscilatorio (no

armónico) con frecuencia angular 1 0

2 21

4 (menor que la frecuencia

natural 0), y con amplitud de oscilación que decae exponencialmente,

decaimiento regido por el valor del coeficiente de amortiguamiento .

A este tipo de evolución se le conoce con el nombre de oscilador débilmente

amortiguado (cuando se cumple que 12

0

2 21

40 ).

Para fijar ideas grafiquemos a la función

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t , usando el

programa de Mathematica (figura 2-2):

gamma=.2;

w0=1;

w=Sqrt[w0^2-gamma^2/4];

psi[t_ ]=Exp[-gamma*t/2]*Cos[w*t];

a[t_ ]=Exp[-gamma*t/2];

Plot[{psi[t],a[t]},{t,0,50},PlotPoints->500,

Page 48: Oscilaciones

48

PlotRange->{-1.01,1.01},

PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]},

{RGBColor[1,0,0],Dashing[{.01}],Thickness[0.001]}}]

donde hemos tomado los valores, A cm1 1 , 0, 0 2 1. seg y 0 1 radseg.

c) Repita el gráfico, con ayuda del Mathematica, probando con diferentes valores del

coeficiente de amortiguamiento .

d) Suponiendo que el sistema oscila con un período T seg1 0 32 , , calcule el coeficiente

de amortiguamiento . Resp. 7 6 1, seg .

e) Importante. Sabiendo que inicialmente la masa parte del reposo desplazada de la

posición de equilibrio en 5cm , halle la ley de movimiento 1( )t . ¡Cuidado, en este

caso 5cm no es la amplitud A1, como ocurría en el sistema sin rozamiento! (debe

resolver un sistema de dos ecuaciones en donde las incógnitas son la amplitud y la

fase y los datos son las condiciones iniciales).

Resp.

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t con A cm1 509 . , 1 0 191 , ,

1 19 63 , radseg y 7 6 1, seg

Reobtener la solución con el Mathematica,

DSolve[{psi''[t]+400*psi[t]+7.6075*psi'[t]==0,psi'[0]==0,psi[0]==.05},psi[t],t]

f) Grafique la posición de la masa en función del tiempo.

g) Halle la energía cinética, potencial y mecánica correspondientes a la masa oscilante

en función del tiempo.

(cm)

t (seg)

A e1 t /2

Figura 2-2: Gráfica de la función

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t

(oscilador débilmente amortiguado).

Page 49: Oscilaciones

49

h) Grafique la energía total en función del tiempo.

i) Demuestre que (la demostración es optativa, pero la lectura es recomendada), si el

rozamiento es muy bajo 2 0 , el valor medio de la energía mecánica durante

un ciclo de oscilación es aproximadamente,

E m A E 1

20

21 0 e e

- t - t donde E m A k A0 0

21

21

21

2

1

2 = 2-14

es decir, en valor medio la energía del sistema disminuye exponencialmente con el

tiempo.

El coeficiente determina el grado de disipación de la energía y además

define un tiempo característico del sistema. Este tiempo característico lo podemos

definir como,

1

2-15

(verifique que tiene unidades de 1seg ).

Cada vez que transcurre un tiempo la energía (en valor medio) disminuye un

63%, como puede comprobarse fácilmente a partir de la ecuación 2-14 y de una

tabla de valores,

a t 0 E E 0

a t E E e E e E e E

0 0

1

0

1

00 37 , disminuye un 63%

a t 2 00

22

0

2

0 137,037,0 EEeEeEE vuelve a disminuir un 63%

Note que transcurrido un tiempo igual a 2 la energía cayo a casi un décimo de la

original. Podemos asignar a el nombre de tiempo característico de relajación del

sistema (al equilibrio), y representa el tiempo en que el sistema disipa un 63% de

su energía.

Comentario: Por lo visto, el sistema posee varios tiempos que lo caracterizan

(tiempos característicos del sistema), uno es el tiempo de relajación , el otro el

período de oscilación del sistema T1 y por último el periodo natural T0

0

2

(sin

disipación). Conociendo T1,T0 y resulta posible tener una idea conceptualmente

buena de la evolución del sistema.

Es posible reescribir la condición:

1 0 como T T1 0

y la condición de rozamiento débil:

Page 50: Oscilaciones

50

2 0 como

T0

4

El decaimiento exponencial e t puede reescribirse como e t / .

Muchas de las magnitudes físicas del sistema pueden reescribirse como

dependientes de estos tres tiempos.

Saltear en una primera lectura

Respuesta: En el ítem anterior usted halló que la energía mecánica es,

E t m k m( ) 1

2

1

2

1

2

2 2 2

02 2

11

22

011

22

1

1111111

22

t2

1

cos

coscos4

2

1)(

ttsen

tsenttemAtE

El valor medio de la energía mecánica en un ciclo se calcula como,

ET

E t dt

T

1

1 0

1

( ) . donde T1

1

2

.

Para calcular el valor medio hacemos una aproximación. Consideramos que

el rozamiento es tan bajo 2 0 (o

T0

4), que la exponencial e t se mantiene

aproximadamente constante durante todo un ciclo de período T1 , o sea, el tiempo

que dura una oscilación resulta mucho menor que el tiempo de relajación T1

y, por consiguiente, la exponencial e e

t t / casi no cambia su valor. Dentro de

esta aproximación, resulta posible extraer la exponencial e t fuera de la integral,

es decir,

E mA eT

t t t

t t dt

1

2

1

41

2

1 0

2

2

1 1 1 1 1 1 1

12 2

1 1 02 2

1 1

t

T1

cos cos sen

sen cos

A partir de esta aproximación, resulta simple hallar el valor medio

recordando que,

cos2

1 1

1

2 t , sen

2

1 1

1

2 t y cos sen 1 1 1 1 0t t

Page 51: Oscilaciones

51

Con lo cual, el valor medio de la energía resulta,

E m A E 1

20

21

20 e e

- t - t

donde E m A k A0 02

12

12

1

2

1

2 = (compare con la energía en el sistema sin

disipación).

j) Optativo. Halle la variación E , del valor medio de la energía en cada ciclo, en la

aproximación de bajo rozamiento. ¿Se mantiene constante el E en los diferentes

ciclos?.

Resp.

1

1

T

0

Tt

0 1 11T

ETEeeEeeEE tt

(aproximamos desarrollando a primer orden en Taylor, ya que en ésta

aproximación T1 )

Retomar la lectura

k) Definición importante. Se define comúnmente en ingeniería un coeficiente llamado

factor Q, que da cuenta del grado de disipación del sistema, como,

E/ 2 EQ 2-16

donde E es la energía perdida por período (calculada en el ítem anterior).

Cuanto mayor resulta Q significa que el sistema disipa una menor fracción de su

energía en cada período. Luego veremos que este factor da cuenta del ancho de

banda en sistemas resonantes (ejemplo: receptores de radio).

Demuestre que el factor Q vale aproximadamente (con rozamiento bajo),

QT

1

1

2/ 2-17

es decir, si el tiempo característico de disipación es grande respecto al período de

oscilación del sistema T1 , entonces el sistema disipa poca energía en cada ciclo, por

lo cual el factor Q resulta grande.

l) Optativo. Halle la potencia disipada en función del tiempo, donde,

mvbvFvP a

22.

2-18

verifique que la potencia disipada concuerda con PdE

dt ya que, en el modelo,

no hay otra forma en que se pierda o gane energía.

Page 52: Oscilaciones

52

Segundo Caso. Sistema críticamente amortiguado:

La solución de la ecuación diferencial 2-3 es oscilatoria mientras que el

amortiguamiento resulta pequeño ( 2 0 ). Si el valor de la constante crece

suficientemente, hasta un valor crítico, ya no se producen oscilaciones. Ese valor

crítico es aquel en donde se satisface que,

12

0

2 21

40 2-19

es decir,

crítico 2 0 2-20

resultando 1 0 (“T1 infinito”), por lo cual, el sistema no oscila.

En estas condiciones la función

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t (ec. 2-6) ya no es

la solución más general de la ecuación diferencial 2-3. Es posible demostrar que la

solución general de la ecuación diferencial 2-3 para el caso de un sistema críticamente

amortiguado es (verifique reemplazando en 2-3):

1

2( )

/t e B t C

t + 2-21

donde B y C son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Claramente la función 2-21 no representa a un sistema oscilando. Para fijar ideas

resulta conveniente plantear un ejemplo y graficarlo,

a) Sabiendo que inicialmente la masa parte del reposo desplazada de la posición de

equilibrio en 5cm , halle la ecuación de movimiento 1( )t .

Resp.

1

2( )

/t e B t C

t + con 40 1

seg , C cm 5 y B cmseg100

Con el Mathematica,

DSolve[{psi''[t]+400*psi[t]+40*psi'[t]==0,psi'[0]==0,psi[0]==.05},psi[t],t]

b) Grafique la posición de la masa en función del tiempo (Use el Mathematica).

Respuesta: Usando el programa de Mathematica (ver figura 2-3),

w0=20;

gamma=2*w0;

b=100;

c=5;

psi[t_ ]=Exp[-gamma*t/2]*(b*t+c)

Plot[psi[t],{t,0,.4},

PlotPoints->500,PlotRange->{0.01,6},

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}]

1( )t

Amortiguamiento crítico

Page 53: Oscilaciones

53

Pareciera como si el sistema comenzara a evolucionar oscilatoriamente, pero

rápidamente se relaja hacia su posición de equilibrio 1 0 .

Comentario: El sistema cuando posee amortiguamiento crítico relaja a su posición

de equilibrio más rápidamente que en cualquier otra situación. Si aumenta el

amortiguamiento por sobre el crítico, en lugar de disminuir el tiempo necesario

para lograr el equilibrio, éste aumenta (ver el tercer caso). Por esta razón los

amortiguadores en máquinas y vehículos se diseñan de tal forma de que el

amortiguamiento esté lo más cercano posible a su valor crítico.

Tercer Caso. Sistema sobreamortiguado:

Si el coeficiente de amortiguamiento sigue creciendo más halla de su valor

crítico,

crítico 2 0 , 2-22

se cumple que,

12

02 21

40 2-23

Por supuesto ningún número real al cuadrado puede resultar negativo, por lo

cual la ecuación 2-6 tampoco nos sirve en este caso. Pero si es posible pensar que 1

es un número imaginario y ver sí de esta forma resulta posible rescatar la ecuación 2-6.

Siguiendo este camino, la función coseno se transforma en un coseno hiperbólico, este

paso matemático resulta un poco engorroso, por lo cual, no lo haremos aquí.

Simplemente afirmamos que la solución general para un sistema sobreamortiguado es:

1

2 1 1( )/

t e A e B et t

t

+

2-24

donde hemos definido (comparar con 2-23)

Page 54: Oscilaciones

54

1 1

2

0

21

4 , 2-25

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Claramente ésta solución no resulta oscilatoria. Veamos un ejemplo,

a) Si el coeficiente de rozamiento es 100 401 1seg segcrítico , y sabiendo que

inicialmente la masa parte del reposo desplazada de la posición de equilibrio en

5cm , halle la ecuación de movimiento 1( )t .

Resp.

1

2 1 1( )/

t e A e B et t

t

+

con 1 45 82, radseg, cmA 228,5 y cmB 228,0 .

Note que al ser 1 la función no diverge (píenselo con detenimiento).

Con el Mathematica,

DSolve[{psi''[t]+400*psi[t]+100*psi'[t]==0,psi'[0]==0,psi[0]==.05},psi[t],t]

b) Grafique la posición de la masa en función del tiempo. Usando el programa

Mathematica (ver figura 2-4):

w0=20;

gamma=100;

w1=Sqrt[gamma^2/4-w0];

a=5.227;

b=0.228;

psi[t_ ]=Exp[-gamma*t/2]*(a*Exp[w1*t]+b*Exp[-w1*t])

Plot[psi[t],{t,0,20},

PlotPoints->500,PlotRange->{0.01,5.4},

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]} ]

5 10 15 20

1

2

3

4

5

1( )t

t (seg)

Sistema sobreamortiguado

Figura 2-4: Gráfica de la función

1

2 1 1( )/

t e A e B et t

t

+

(Sistema sobreamortiguado).

Page 55: Oscilaciones

55

Observe que el sistema demora mucho más tiempo, en relajarse a su posición de equilibrio, de lo

que demora cuando el sistema posee amortiguamiento crítico.

2-2. Un oscilador (débilmente amortiguado) tiene un período de 3seg . Su amplitud

disminuye un 5% durante cada ciclo.

a) ¿En cuánto disminuye la energía en cada ciclo?. Resp. disminuye un 9 75%, cada

ciclo.

b) ¿Cuánto vale la constante de tiempo 1

? ¿Cuál es su significado físico?.

Resp. seg24.29 .

c) ¿Cuánto vale el factor Q ?, discuta sobre su significado físico. Resp. 24.61Q

d) Suponga que inicialmente la masa se halla en el equilibrio con velocidad v mseg 1 .

Halle la ley de movimiento del sistema y grafique.

Resp.

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t con mA 47,01 ,

1

2 ,

1 2 09 , radseg y seg

1034,0 .

2-3. Ejercicio teórico: Oscilador sometido a una fuerza impulsora

armónica. Fenómeno de Resonancia (Recomendado):

En el ejercicio teórico 2-1 hemos agregado a nuestro modelo, de sistema

oscilante, la capacidad de disipar energía. Pero aún nos falta incorporar un factor muy

importante para la descripción de sistemas físicos reales, la posibilidad de que sobre el

sistema se ejerza una fuerza impulsora externa, en principio periódica.

Éste modelo ampliado nos permite entender, por ejemplo, el comportamiento

de átomos o moléculas sobre los cuales actúa un campo eléctrico o magnético externo

que varía armónicamente.

Un buen ejemplo lo constituye el principio de funcionamiento del horno de

microondas. Éste utiliza una onda electromagnética (periódica) para excitar las

moléculas del agua y, de esta forma, calentar los alimentos. La frecuencia de

microondas concuerda con una de las frecuencias naturales de oscilación de la

molécula del agua (resonancia), y por ello es que la mayor parte de la energía la

absorbe este elemento y no otro (el tapper no se calienta por las microondas sino

porque está en contacto con el agua caliente). A este fenómeno lo analizaremos

cuando estudiemos Resonancia.

Primeramente estudiaremos el caso más simple en que la fuerza impulsora externa es

armónica. Luego comprobaremos que cualquier función periódica (no armónica) puede expresarse

como una superposición de funciones armónicas, de esta forma, conociendo el comportamiento de un

sistema bajo la acción de una fuerza armónica, va a ser posible obtener información sobre el

comportamiento del sistema cuando es sometido a la acción de cualquier fuerza periódica.

Page 56: Oscilaciones

56

Ejemplo: Partimos del modelo planteado en el ejercicio teórico 2-1, donde

analizamos la evolución de una masa, sujeta a un resorte, oscilando

unidimensionalmente, amortiguada por su interacción con el aire. Usamos los mismos

datos, masa m kg 1 , constante elástica del resorte k N m 400 / y longitud relajada

cml 300 .

Utilizamos el mismo modelo de amortiguamiento que en el ejercicio teórico

2-1, donde la fuerza amortiguadora del aire Fa la consideramos proporcional a la

velocidad del cuerpo, pero en sentido opuesto ya que se opone a su movimiento (ley

de Stokes), es decir,

vbFa

2-26

en donde b es una constante que determina el grado de amortiguación (¿cuáles son

sus unidades?). Supondremos que el amortiguamiento es menor al crítico (ver

ejercicio teórico 2-1).

Vamos a agregar al modelo anterior la posibilidad de que sobre el sistema se

ejerza una fuerza impulsora externa armónica. Suponemos que la masa, además de

interactuar con el resorte y con el aire, interactúa con otro sistema. Producto de esta

interacción sobre la masa se ejerce una fuerza (fuerza impulsora externa) que varía

armónicamente con el tiempo:

F F text 0 cos . 2-27

donde F0 representa la amplitud de la interacción y es la frecuencia angular de

variación de la fuerza (es posible agregarle una fase inicial, no lo haremos aquí por

simplicidad). Supondremos luego que la frecuencia puede variarse según nuestra

conveniencia (un ejemplo cotidiano de fuerza periódica pero no armónica, lo

constituye una madre hamacando a su hijo).

Comentario: La fuerza externa no necesariamente debe ser una fuerza de contacto (la

mano de la madre hamacando a su hijo), sino que puede ser debida a un campo

eléctrico o magnético externo, que actúa a distancia sobre la masa (cargada eléctrica

o magnéticamente). De hecho, las fuerzas de contacto pueden describirse a partir de

interacciones electromagnéticas y principios cuánticos como el de Pauli (los átomos

no se tocan en la forma en que nosotros usamos la palabra tocarse).

Una vez planteado el modelo del sistema, con sus interacciones, estamos en

condiciones de estudiar su evolución dinámica, por ello:

a) A partir de las leyes de Newton obtenga la ecuación diferencial (ecuación

dinámica) que describe el desplazamiento de la masa (use 2-26 y 2-27).

Respuesta,

m t k t b t F t ( ) ( ) ( ) cos( ) 0 2-28

o pasando de miembro y dividiendo por la masa,

Page 57: Oscilaciones

57

( ) ( ) ( ) cos( ) t t tF

mt 0

2 0 2-29

obtenemos una ecuación diferencial lineal inhomogénea, donde ( )t representa

el desplazamiento de la masa a partir del equilibrio, en función del tiempo, es

decir,

( ) ( )t x t xequi donde 0lxequi . 2-30

Recordar que,

0 20 k

mrad

seg 2-31

es la frecuencia natural del sistema (frecuencia a la cual oscilaría la masa sin

rozamiento y sin fuerza impulsora), y

b

m 2-32

es el coeficiente de amortiguamiento (ver ejercicio teórico 2-1).

b) Una vez obtenida la ecuación dinámica 2-29, estamos en condiciones de hallar la

función ( )t que describe la evolución del sistema en el tiempo. Apelamos

nuevamente a nuestra intuición para proponer una solución de la ecuación

diferencial 2-29. A partir de nuestra experiencia, podemos intuir que, luego de

transcurrido un cierto tiempo, el sistema finalmente termina oscilando

armónicamente con la misma frecuencia que impone la fuerza impulsora. Por

ello proponemos, como solución, a la función,

2 2 2( ) cost A t 2-33

Verifique que la función )(2 t es una solución particular de la ecuación

diferencial 2-29, halle los valores de A2 y 2 (le hemos puesto el subíndice 2 para

diferenciarla de la solución que obtuvimos en el ejercicio teórico 2-1, donde el

sistema no es impulsado por una fuerza externa).

Este paso es matemáticamente simple pero muy tedioso, en una primera lectura

no haga la cuenta, pero si analice cuidadosamente el resultado final (ecuaciones

2-34 y 2-35) y el comentario que sigue.

Ayuda: Repita los pasos que se hicieron en el ejercicio teórico 2-1 . Pero primero

trate de que las funciones armónicas tengan todas el mismo argumento, para ello

use la relación,

cos cos ( ) cos cos sen sen t t t t 2 2 2 2 2 2

Page 58: Oscilaciones

58

Recuerde que sí,

A t B t t A y B = 0 =cos sen 2 2 0

donde A y B son constantes cualesquiera.

Use las identidades trigonométricas:

costg

22

2

1

1

202 y

costg

22

2

1

1

2

2

Respuesta,

AF

m2

0

2

02 2 2 2

1

( ) 2-34

y,

2 2

02 2 0

arctg

con , 2-35

donde se ha restringido la fase a 2 0 para que la amplitud A2 sea siempre

positiva.

Comentario importante: La función 2 2 2( ) cost A t representa una

oscilación armónica de frecuencia , amplitud A2 y fase 2 . Note que la

frecuencia , de oscilación de la masa, resulta igual a la frecuencia de la fuerza

impulsora y que la amplitud A2 y la fase 2 no dependen de las condiciones

iniciales (como ocurría en el caso del resorte libre), sino que se hallan

determinadas a partir de las constantes del sistema (masa, constante elástica,

amortiguamiento, intensidad y frecuencia de la fuerza impulsora).

Esta solución no puede ser la solución general del sistema. Si el resorte ya

está en movimiento y se lo trata de impulsar externamente, en los primeros

instantes el movimiento no resulta armónico (estado transitorio), y sólo después de

transcurrido un tiempo, el sistema logra evolucionar armónicamente con la

frecuencia impulsora (estado estacionario). La evolución inicial del sistema

depende de las condiciones iniciales, lo cual no se manifiesta en la solución

hallada.

Para fijar ideas, piense en una madre que pudiese hamacar a su hijo

ejerciendo una fuerza armónica (en lugar de empujarlo discontinuamente como

sucede en la realidad). A menos que la frecuencia de la fuerza ejercida por la

madre concordase con la natural del sistema y que tuviese mucho cuidado

inicialmente al aplicarla, con la fase adecuada de tal forma de acompañar el

movimiento de la masa, el movimiento inicial no resultaría armónico.

Page 59: Oscilaciones

59

c) La función 2 2 2( ) cost A t , no es la solución general de la ecuación

diferencial 2-29, sino simplemente una solución particular (solución estacionaria).

Para completar la solución general resulta necesario sumarle la solución de la

ecuación homogénea (transitorio).

En el capítulo 1 (guía teórica 1-10) estudiamos que la solución general, de una

ecuación diferencial inhomogénea, se halla sumando una solución particular

(2 ( )t ) más la solución de la ecuación homogénea asociada. La ecuación

homogénea asociada a la ecuación diferencial 2-29 es,

0)()()( 111 tktbtm 2-36

la cual, concuerda con la ecuación diferencial que estudiamos en el ejercicio

teórico 2-1 (ec. 2-3), y representa la evolución del sistema sin fuerza impulsora, y

su solución es (ver ejercicio teórico 2-1),

1 1 1 1

2( ) cos

/t A e t

t donde 22

014

1 2-37

De esta manera, la solución general de la ecuación diferencial 2-29 (con fuerza

impulsora) resulta,

( ) ( ) ( ) cos cos/

t t t A e t A t

1 2 1 1 1 2 2

2

t 2-38

donde las constantes A1 y 1 se hallan a partir de las condiciones iniciales,

mientras que, como ya dijimos, A2 y 2 quedan determinadas por las constantes

del sistema (masa, constante elástica, amortiguamiento, frecuencia impulsora) y no

dependen de las condiciones iniciales del sistema.

Verifique que la función ( ) ( ) ( )t t t 1 2 es solución de la ecuación 2-29.

Ayuda: ahórrese el trabajo de derivar, básese en el hecho de que ya sabe que 1( )t

satisface la ecuación 2-36 y que 2 ( )t satisface la ecuación 2-29, y demuestre

entonces que ( ) ( ) ( )t t t 1 2 satisface la ecuación 2-29.

Comentario: La solución general de la ecuación diferencial para el oscilador

forzado consta de dos partes, la solución transitoria 1( )t y la solución

estacionaria 2 ( )t . Estos nombres provienen del hecho de que transcurrido cierto

tiempo, la solución 1( )t (transitoria) se hace despreciable ya que la amplitud

decrece exponencialmente con el tiempo (debido al amortiguamiento). De este

modo, a largo plazo, sólo queda la solución 2 ( )t (estacionaria). Esto significa

que luego de transcurrido un tiempo corto inicial, el sistema oscila con la

frecuencia a la que lo obliga a oscilar la fuerza externa ( puede ser

cualquiera, no necesariamente igual a la frecuencia natural del resorte).

Las constantes de la solución transitoria dependen de las condiciones

iniciales y la frecuencia 1 es muy parecida a la frecuencia natural del resorte (sí

el amortiguamiento es bajo). Mientras que la amplitud y la fase de la solución

estacionaria dependen de la fuerza externa y no de las condiciones iniciales.

Page 60: Oscilaciones

60

Este fenómeno también es común en circuitos eléctricos donde intervienen

bobinas y capacitores. Es sabido que cuando encendemos o apagamos un circuito,

como por ejemplo una heladera, la corriente que circula inicialmente puede ser

muy superior a la corriente estacionaria que se alcanza una vez terminado el

transitorio, hasta 10 veces mayor, por ello los cables deben dimensionarse para

soportar corrientes mayores que las necesarias en el estado estacionario (las

potencias que se indican en los artefactos, tales como lámparas o amplificadores,

son las que consumen en estado estacionario).

d) Para fijar ideas hallemos ( )t , para el caso particular en que el resorte inicialmente

está estirado 5cm y en reposo, e impulsado por una fuerza externa armónica de

intensidad F N0 5 y frecuencia 25radseg (recuerde que 0 20

k

mrad

seg ).

Suponga que el coeficiente de rozamiento es b kgseg1 (

b

mseg1 1 ).

Con estos datos hallamos la solución general del sistema, que sabemos tiene la

forma,

( ) cos cos/

t A e t A t

1 1 1 2 2

2

t

Primero calculamos la amplitud A2 y la fase 2 , que no dependen de las

condiciones iniciales,

2 0 y

2 2

02

3 031

arctg ,

(note que debe pasar el resultado al cuarto cuadrante),

y AF

mm cm2

0

2

02 2 2 2

10 022 2 2

( ), ,

Luego (a partir de 2-37) calculamos la frecuencia 1,

1 0

2 2

0

1

420 rad

seg

Planteemos las condiciones iniciales,

( ) cos cos0 51 1 2 2 A A cm A cm cm cm1 1 5 2 186 7,186 cos ,

( ) cos sen sen

1 1 1 1 1 2 202

0

A A

segcm

seg senAsenA 07,6 20 cos 0,5 2211

1seg1

1

Page 61: Oscilaciones

61

Hemos obtenido dos ecuaciones con dos incógnitas A1 y 1. Compruebe que

despejando se obtiene,

A cm1 7 187 , y 1 0 01723 ,

Por consiguiente la función que describe la evolución dinámica del sistema es,

( ) cos cos/

t A e t A t

1 1 1 2 2

2

t

con A cm2 2 2 , , 2 3 031 , , 25radseg , A cm1 7 187 , , 1 0 01723 , y 1 20 rad

seg.

e) Vuelva a hallar t con el programa Mathematica,

Simplify[DSolve[{psi''[t]+400*psi[t]+psi'[t]==5*Cos[25*t],

psi'[0]==0,psi[0]==.05},psi[t],t]]

(¡ojo!, la solución dada por el Mathematica puede aparecer un poco más

complicada, usted debe agrupar para poder comparar con la solución anterior).

f) Grafique t y discuta. Con el programa Mathematica (ver figura 2-5),

gamma=1;

a1=7.187;

d1=0.01723;

w1=20;

a2=2.2;

d2=-3.031;

w=25;

psi1[t_ ]=a1*Exp[-gamma*t/2]*Cos[w1*t+d1];

psi2[t_ ]=a2*Cos[w*t+d2];

Plot[psi1[t]+psi2[t],{t,0,12},

PlotPoints->500,PlotRange->{-10,10},

Axes->True,AspectRatio->.6,

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}]

( )t

t

Transitorio Estacionario

Figura 2-5: Gráfico de la función . Estado transitorio y estacionario del sistema.

Page 62: Oscilaciones

62

En la figura 2-5 observamos claramente que, luego de transcurridos los

primeros instantes (alrededor de seg6 ), el término transitorio decae

completamente y sólo queda el término estacionario.

En los próximos ítems sólo estudiaremos al sistema cuando ya ha alcanzado el

estado estacionario, es decir el transitorio se ha disipado completamente, lo cual

ocurre cuando el tiempo transcurrido es mayor que el tiempo de relajación,

t 1

2-39

g) Importante. Ahora queremos analizar la respuesta del sistema para diferentes

frecuencias de la fuerza impulsora (igual intensidad 0F ). Para ello, grafique la

amplitud de oscilación A2 y la fase 2 en función de la frecuencia impulsora , use

los datos del ítem anterior. Analice lo que sucede en el límite de 0 , ¿sigue

siendo bueno el modelo en ese límite? ¿aguanta el resorte? . Discuta.

Respuesta, con el programa Mathematica (ver figura 2-6 y 2-7),

m=1;

gamma=1;

w0=20;

f0=5;

a2[w_ ]=(f0/m)*1/Sqrt[(w^2-w0^2)^2+gamma^2*w^2];

Plot[a2[w],{w,0,50},

PlotPoints->500,PlotRange->{0,1.1*f0/w0},

Axes->True,AspectRatio->0.7,

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}];

A2

Amplitud

Figura 2- 6: Gráfico de la amplitud de oscilación,

en función de la frecuencia impulsora .

Page 63: Oscilaciones

63

f[w_ ]=g*w/(w^2-w0^2);

y[w_ ]=1;

x[w_ ]=1/f[w];

r[w_ ]=Sqrt[x[w]^2+y[w]^2];

yy[w_ ]=y[w]/r[w];

xx[w_ ]=x[w]/r[w];

d2[w_ ]=ArcTan[xx[w],yy[w]]-Pi;

Plot[d2[w],{w,0,50},

Axes->{True,False},AspectRatio->.4,

PlotPoints->500,PlotRange->{0,-3.15},

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}]

Note que la oscilación alcanza una mayor amplitud cuando la frecuencia de la

fuerza impulsora resulta cercana a la frecuencia natural del sistema 0 20 radseg ,

mientras que cuando difiere mucho de esta frecuencia la amplitud disminuye

fuertemente, a este fenómeno se lo conoce con el nombre de resonancia.

La frecuencia a la que exactamente aparece el máximo de amplitud es

(verifique):

02

2

02

si es pequeño 2-40

Observe también que la fase 2 varía abruptamente cerca de la resonancia, y que en

resonancia, toma el valor,

22

(en resonancia). 2-41

Luego analizaremos el significado físico de esta última igualdad.

Comentario: En el problema 2-4 calcularemos el valor medio de la potencia

entregada por la fuerza impulsora, y comprobaremos que el resorte absorbe la

mayor cantidad de potencia (trabajo en la unidad de tiempo) cuando la frecuencia

de la fuerza impulsora es exactamente la frecuencia natural del sistema

(frecuencia de resonancia),

0 (frecuencia de resonancia) 2-42

2

/2 Fase

Figura 2-7: Gráfico de la fase 2, en función de la frecuencia impulsora .

Page 64: Oscilaciones

64

El gráfico que obtendremos del valor medio de la potencia entregada por la fuerza

impulsora en función de la frecuencia se muestra en la figura 2-8.

donde claramente se observa lo pronunciado del pico de potencia.

El concepto de resonancia se asocia con la existencia de condiciones

apropiadas para la transferencia de energía de un sistema a otro.

En nuestro ejemplo de la masa, unida a un resorte, impulsada por una fuerza

externa, se logra una mayor transferencia de energía cuando la frecuencia

concuerda con la frecuencia natural del sistema 0. Cuando la fuerza varía

armónicamente con esa frecuencia, entrega permanentemente energía al sistema,

ya que la fuerza acompaña permanentemente al movimiento de la masa,

compensando exactamente la energía disipada por rozamiento.

Si la frecuencia no es igual a 0, no siempre la fuerza externa entrega energía,

en algunos momentos puede llegar a oponerse al movimiento de la masa y por

ende quitarle energía y en otros momentos acompañar el movimiento entregándole

energía.

El ejemplo de la madre hamacando a su hijo puede resultar ilustrativo,

aunque la fuerza ejercida por la madre es periódica (pulsante) y no armónica. La

madre, sin tomar conciencia de ello, hamaca a su hijo con la frecuencia de

resonancia logrando así un mejor aprovechamiento de su energía. Mi hija

Gabriela en ocasiones hamaca a mi otro hijo Fede, pero aún no ha logrado

aprender la mejor manera de aprovechar su energía. Muchas veces empuja

la hamaca antes de que ésta haya llegado a su máximo desplazamiento, por lo

cual, en lugar de acelerarla la frena, quitándole energía, y por consiguiente Gabi

sufre un empujón hacia atrás. En su inconsciente aún no se ha internalizado el

fenómeno de resonancia.

Podemos extender el concepto de resonancia a muchos procesos en los cuales

hay condiciones favorables para la transferencia de energía de un sistema a otro.

Quizás el ejemplo más familiar de resonancia sea lo que sucede cuando

sintonizamos una radio en una determinada estación radioemisora. Todas las

estaciones radioemisoras están produciendo todo el tiempo oscilaciones forzadas

en el circuito receptor (oscila la corriente eléctrica). Pero, para cada posición del

Potencia media entregada

por la fuerza externa

(rad/seg)

Figura 2-8: Gráfico de la potencia media entregada por la

fuerza externa, en función de la frecuencia

Page 65: Oscilaciones

65

sintonizador, corresponde una frecuencia natural de oscilación del circuito

eléctrico receptor. Cuando esta frecuencia coincide con aquella de la radio

emisora, la energía absorbida es máxima, y por ello es la única estación que

podemos oír. Si dos estaciones tienen frecuencias muy próximas, algunas veces las

oímos simultáneamente, lo que da lugar a un efecto de interferencia.

La energía que absorbe un átomo de un campo eléctrico oscilante es máxima

cuando la frecuencia del campo coincide con una de las frecuencias naturales del

átomo. Como por ejemplo el caso del horno microondas, en donde la frecuencia

(de microondas) utilizada coincide con una de las frecuencias naturales de

vibración de la molécula de agua. Es posible hallar resonancias en reacciones

nucleares y en procesos que tienen lugar entre partículas elementales. El concepto

de resonancia juega un papel importante en la descripción de muchos fenómenos

físicos.

h) ¿Cuánto vale la fase 2 en resonancia ( 0 )?. Resp.

22

.

i) Importante. Analice el significado físico del resultado

22

, compare la

velocidad de la masa 2 t con la F F text 0 cos .

Respuesta:

La velocidad de la masa la obtenemos derivando la función )(2 t ,

222 sen)( tAt

y en resonancia

22

, por ende,

tAtAt

cos

2sen)( 222

por lo cual, en resonancia, la velocidad se halla en fase con la Fuerza impulsora,

ya que ambas son proporcionales a la función coseno.

La máxima transferencia de potencia se logra cuando la fuerza externa se halla

en fase con la velocidad de la masa oscilante (pensar en una madre hamacando

a su hijo, que empuja acompañando el desplazamiento).

j) Demuestre que en resonancia las fuerzas impulsora )cos(0 tF y amortiguadora

)(tb se compensan en todo instante, resultando nula la fuerza externa neta

que actúa sobre el sistema.

k) Calcule la energía mecánica total del oscilador.

Resp. 2

222

0

22

2 cos 2

1)( tmAtEtotal ,

Comentario: note que tiene dependencia temporal, ¿qué significa esto?.

Page 66: Oscilaciones

66

l) Grafique cualitativamente la energía en función del tiempo, observe su variación

en el tiempo y discuta.

m) Demuestre que en resonancia la energía total se mantiene constante,

independiente del tiempo. Interprete físicamente.

Respuesta: 2

2

2

0

2

2 2

1

2

1)( AkmAtEtotal

n) Demuestre que fuera de resonancia la energía total se mantiene en promedio

constante en el tiempo. Interprete físicamente.

Ayuda: 2

2

1

2

1

2

1 )(

1)(

2

0

22

2

22

0

22

2

0

mAmAdttE

TtE

T

Comentario: En promedio, en cada ciclo, la energía total del oscilador se mantiene

constante, pero, fuera de la resonancia se encuentra aumentando y disminuyendo

armónicamente.

Fuera de la resonancia, la fuerza impulsora en momentos no alcanza a

entregarle, al sistema, la energía que disipa por rozamiento y hasta llega a

quitarle energía, y en otros momentos pasa lo contrario, es decir, le entrega más

de lo que el sistema disipa. En promedio, la energía no varía en un ciclo (en el

estado estacionario).

o) Calcule la potencia instantánea cedida por la fuerza externa impulsora al oscilador.

Ayuda: )().()( tFtvtP extext

.

Respuesta:

P t A F t tF

mt text ( ) sen( )cos

( )sen( )cos

2 0 2

0

2

2

02 2 2 2 2

p) Calcule la potencia instantánea disipada por la fuerza amortiguadora.

Ayuda: 2)()().()( tbvtFtvtP aa

.

q) Analice la validez de la igualdad dE t

dtP t P text a

( )( ) ( ) . Justifique. Si tiene mucho

tiempo verifique la igualdad.

r) Verifique que en resonancia ( 0 ) la potencia P t P text a( ) ( ) .

Comentario: En resonancia la potencia instantánea entregada por la fuerza

impulsora se equipara con la potencia disipada en cada instante, por

consiguiente dE t

dtP t P t P ttotal ext a

( )( ) ( ) ( ) 0 .

Page 67: Oscilaciones

67

s) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en el ejercicio.

2-4. Curva de resonancia (Recomendado):

Este problema es continuación del problema 2-3, en él queremos asociar el

concepto de resonancia con la existencia de condiciones apropiadas para la

transferencia de energía de un sistema a otro.

Comentario: El objetivo principal del problema es obtener la expresión dada en el

último ítem, si decidiera no hacer las cuentas (¡sabia decisión!), como mínimo,

analice la expresión y grafique Pext en función de la frecuencia impulsora .

a) Calcule la potencia media cedida por la fuerza impulsora, es decir el promedio de

la potencia Pext en un ciclo, use la expresión de la potencia externa hallada en el

ítem o) del ejercicio anterior, es decir,

P t A F t tF

mt text ( ) sen( )cos

( )sen( )cos

2 0 2

0

2

2

02 2 2 2 2

Ayuda: PT

P t dtext ext

T

1

0

( ) . donde T 2

.

Use la identidad trigonométrica sen( ) sen( )cos( ) cos( )sen( )a b a b a b , y que

cos ( ) cos ( )2 2

0

1 1

2 t

Tt dt

T

. y cos( ) sen( ) cos( ) sen( ) t tT

t t dtT

1

00

Respuesta:

P A FF

mext

2 0 2

0

2

2

02 2 2 2 2

2

sen( )

( )sen( )

Del problema anterior sabemos que,

2 2

02 2 0

arctg

con

Resulta fácil demostrar que,

sen( )( )

2 2

02 2 2 2

y usando esta expresión reescribimos el valor de la potencia impulsora media como:

PF

mext

0

2 2

2

0

2 2 2 22

( ) 2-43

Page 68: Oscilaciones

68

b) Recomendado: Grafique Pext en función de la frecuencia impulsora , use los

datos dados en el problema anterior. ¿A qué frecuencia la potencia media

impulsora es máxima?.

c) Calcule el valor de Pext max. Resp. P

F

mext max

02

2, cuando 0 .

d) Llamando P Pext max0 , reescriba Pext en función de P0 .

Resp. P Pext

0

2

02 2 2 2 2

2

( ). 2-44

Comentario: El gráfico de la potencia media entregada al sistema como función

de la frecuencia , se obtiene a partir del programa Mathematica (ver figura 2-

9),

m=1;

gamma=1;

w0=20;

f0=5;

p0=f0/(2*gamma*m))

p[w_ ]=p0*gamma^2*w^2/((w^2-w0^2)^2+gamma^2*w^2);

Plot[p[w],{w,0,50},

PlotPoints->500,PlotRange->{0,1.1*p0},

Axes->True,AspectRatio->0.7,

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}];

donde claramente se observa que el sistema absorbe el máximo de energía cuando

la frecuencia externa concuerda con la frecuencia natural del sistema. Cerca de

esa frecuencia la potencia absorbida es alta. El ancho de la curva depende de la

constante de amortiguamiento , como veremos en el ejercicio siguiente.

0

P0

<P>

Figura 2-9: Gráfico de la potencia media entregada por la

fuerza externa, en función de la frecuencia

Page 69: Oscilaciones

69

En sintonía de estaciones radiales, ese ancho se conoce con el nombre de

ancho de banda. Si quisiéramos tener una sintonía muy selectiva a la frecuencia

emisora deberíamos disminuir ese ancho. En un circuito eléctrico la constante de

amortiguamiento está relacionada con la resistencia eléctrica.

e) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en el ejercicio.

2-5. (Recomendado leerlo). Este problema es continuación de los problemas 2-3 y

2-4. Queremos relacionar el ancho de la curva de resonancia (gráfico de Pext ) con la

constante de amortiguación b m/ , y con el valor del factor Q cuando la resonancia

es aguda.

Para estudiar el ancho de la curva de resonancia,

a) Verifique que los valores de para los cuales Pext vale la mitad de

P Pext max0 satisfacen la ecuación:

( ) 02 2 2 2 2

b) Verifique (reemplazando en la expresión anterior) que los valores de para los

cuales la potencia media vale la mitad de P0 son aquellos que cumplen

2

0

2 y que las dos soluciones positivas son,

1 02 21

4

1

2 . y 2 0

2 21

4

1

2

Se llama ancho completo de frecuencia a potencia semimáxima, o simplemente

ancho completo de resonancia a 1 2 . Demostrar que 1

, donde

es tiempo medio de decaimiento definido en el problema 2-1.

Comentario: Hemos encontrado una relación muy importante entre el ancho

completo de resonancia para oscilaciones forzadas y el tiempo de decaimiento

para oscilaciones libres:

. libre 1 2-45

este resultado es muy general. Se cumple no sólo para sistemas de un grado de

libertad, sino también para sistemas de muchos grados de libertad.

c) Analice el significado físico de este último hecho, analice como varía el ancho de

la curva en función de la intensidad de la amortiguación.

d) En el problema 2-1 se demostró que, para un oscilador libre amortiguado, el factor

Qlibre vale,

Q m blibre / /

Page 70: Oscilaciones

70

e) En curvas de resonancia agudas (amortiguamiento pequeño), podemos aproximar

0 . Usando esta aproximación muestre que,

Qlibre 0

2-46

es una medida de la agudeza de la curva de resonancia.

2-6. (Repaso). Un objeto de m kg 2 oscila sobre un muelle de constante elástica

k N m 400 / . La constante de amortiguamiento es b kg seg 2 / . Está impulsada por

una fuerza sinusoidal de valor máximo 10N y frecuencia angular 10rad seg/ .

a) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones estacionarias?

b) Si se varía la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a qué frecuencia se producirá la

resonancia?.

c) Hallar la amplitud de las vibraciones en resonancia.

d) ¿Cuál es el ancho de la curva de resonancia?

2-7. (Recomendado). Se puede ejercer una fuerza externa, sobre un objeto sujeto a un

muelle, desplazando el soporte hacia arriba y hacia abajo, como se muestra en la

figura 2-10.

La masa (m kg1 ) cuelga del soporte móvil por medio de un resorte de constante

elástica k N m 400 / y longitud relajada de cml 100 .

Supondremos que el soporte posee un movimiento oscilatorio armónico, de

frecuencia y amplitud sy , descripto por la ecuación: tyty ss cos .

Suponiendo que el rozamiento puede despreciarse,

a) Importante. Plantee la ecuación dinámica del sistema.

Resp. mgltyykmglyykym ss 00 cos

tym

kgly

m

ky s cos0

b) Verifique que la siguiente función es solución de la ecuación diferencial anterior:

ys El soporte vibra hacia

arriba y hacia abajo,

con frecuencia

y

Fig. 2-10

Page 71: Oscilaciones

71

equiytBtAty )cos()cos()( 0

donde, k

mglyequi 0 , syB

22

0

2

0 ,

mientras que A y son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

c) Compare la ecuación dinámica y su solución con la analizada en el ejercicio 2-3.

Discuta.

d) Suponiendo que a 0t la masa parte del reposo desde la posición de equilibrio

equiy , demuestre que la evolución dinámica de la masa se describe por:

equis yttyty

)]cos()cos([ 022

0

2

0

e) Analice lo que sucede cuando la frecuencia de excitación es cercana a la natural

0 . Ayuda: Use que (verifique),

ttttLim

sen

)cos()cos(

0

0

0

Usando esto compruebe que,

equis yttyty

)sen( 2

0

0

0

f) Analice detenidamente este resultado y compare con lo hallado en el ejercicio 2-3.

Grafique.

2-8. Circuito RLC (Optativo). Con este ejercicio queremos enfatizar que el

fenómeno de resonancia trasciende al sistema masa-resorte. Comprobaremos que en

un circuito eléctrico RLC alimentado con un generador de corriente alterna (formado

por una resistencia una bobina y un capacitor), la carga eléctrica evoluciona según una

ecuación dinámica equivalente a la estudiada en el sistema masa-resorte. El circuito

RLC que estudiaremos se muestra en la figura 2-11.

a) Plantee a partir de la ley de Kirchoff, la ecuación diferencial que rige la evolución

de la intensidad de corriente eléctrica I.

Resp. LdI

dt

Q

CIR V t max cos o reemplazando

dt

dQI

L

R

C

tVtV max cos

Fig. 2-11

Page 72: Oscilaciones

72

Ld Q

dt

Q

CR

dQ

dtV t

2

max cos

b) La ecuación diferencial anterior resulta equivalente a la ecuación dinámica del

sistema masa-resorte. Determine la equivalencia entre cada una de las variables,

por ejemplo, ¿quién hace las veces de masa en el circuito eléctrico? ¿Cuál de

constante elástica?. A partir de su conocimiento del sistema masa-resorte, discuta

sobre la evolución del sistema eléctrico.

c) Muestre que la frecuencia de resonancia del circuito es 0

2 1

LC. Discuta.

Page 73: Oscilaciones

73

Bibliografía:

Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté.

Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté.

Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté.

Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill.

Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana.

Curso de Física de Berkeley, Mecánica, Vol. 1 Ed. Reverté.

Curso de Física de Berkeley, Oscilaciones y Ondas, Vol. 3 Ed. Reverté.

Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

Page 74: Oscilaciones

74

Capítulo 3.

Oscilaciones libres de sistemas con más de un grado

de libertad.

Modos normales.

Introducción:

Hasta el momento, hemos estudiado la evolución dinámica de sistemas

formados por una sola partícula obligada a moverse en una única dimensión, por lo

cual, sólo hemos necesitado una coordenada para describirlos ( x t( ) ). Decimos que

estos sistemas poseen un sólo grado de libertad. En este capítulo estudiaremos el

comportamiento oscilatorio presente en sistemas de más de una partícula, y con más

de un grado de libertad, por lo cual, necesitaremos más de una coordenada para

describirlos. Comprobaremos que el movimiento general de un sistema con muchos grados de libertad

puede tener una apariencia muy complicada; donde ninguna de sus partes se mueve con un movimiento

armónico simple, pero sin embargo, si sus ecuaciones de movimiento son lineales, el movimiento más

general se puede describir como la superposición de movimientos armónicos simples. Estos

movimientos armónicos simples, se denominan modos normales o modos resonantes, o simplemente

modos. Cada modo tiene su frecuencia característica y existirán tantas frecuencias de resonancia como

modos normales haya en el sistema.

Los ejercicios recomendados son el 2, 3, 4 y 7.

3-1. Guía teórica. Grados de Libertad de un Sistema. (la lectura de esta

guía teórica no es indispensable para la comprensión del resto del capítulo, en una

primera lectura puede saltearse).

Es bien sabido que para describir la evolución de una partícula en el espacio

resulta necesario la utilización de tres coordenadas, por ejemplo las tres coordenadas

cartesianas x t y t z t( ), ( ), ( ) , por ello, decimos que el sistema posee tres grados de

libertad. Si por alguna razón, la partícula estuviera obligada a moverse sobre una

superficie, podríamos eliminar una de las coordenadas, necesitando solamente dos, en

éste caso decimos que el sistema posee dos grados de libertad.

Si el sistema consiste de dos partículas moviéndose en el espacio, para

describirlo hacen falta tres coordenadas para cada partícula, por lo cual, decimos que

el sistema posee seis grados de libertad. Y en general, un sistema de N partículas

moviéndose en el espacio tiene 3N grados de libertad.

En muchos sistemas físicos aparecen ligaduras entre las partículas, por

ejemplo, en un sólido rígido ideal suponemos que las distancias entre las partículas

permanecen inalteradas, como si estuvieran unidas por barras rígidas (sin masa). El

Page 75: Oscilaciones

75

efecto de estas ligaduras es el de disminuir la cantidad de coordenadas necesarias para

describir el sistema, o sea, disminuir los grados de libertad.

Un ejemplo simple e ideal, es el de dos masas unidas por una barra rígida sin

masa, moviéndose en el espacio, como muestra la figura 3-1.

Sin la barra, el sistema tiene 6 grados de libertad, 3 por cada partícula. Pero con la

barra, ya no hacen falta 6 coordenadas para describirlo. Determinando las tres

coordenadas de la partícula 1, y colocando el sistema de coordenadas en ella (ver

figura 3-1), vemos que como la distancia entre ambas no puede cambiar (barra rígida),

sólo hacen falta dos ángulos para determinar la posición de la partícula 2, los ángulos

y . Por lo cual, sólo se necesitan 5 coordenadas para describir al sistema, o sea, el

sistema tiene 5 grados de libertad.

En general, cada ligadura rígida hace disminuir en una unidad el número de

grados de libertad. Si el sistema tiene N partículas, y un número de ligaduras k (no-

dependientes entre sí), entonces el número de coordenadas independientes, o grados

de libertad, resulta,

Número de grados de libertad 3N k 3-1

Esto puede entenderse si pensamos que cada ligadura puede representarse

matemáticamente por una ecuación, en el ejemplo anterior,

r r d distancia fija2 1

Cada ecuación de ligadura, introduce una dependencia entre las coordenadas de una

partícula y las de la otra, disminuyendo de esta forma, la cantidad de coordenadas

independientes.

Podría darse el caso de que las ligaduras formen un sistema de ecuaciones

dependientes entre sí, por ejemplo, supongamos el sistema formado por cuatro

partículas puntuales, contenidas en un plano, como muestra la figura 3-2. En

principio, para describir el sistema, resulta necesario dos coordenadas por partícula, 8

en total, pero debido a las ligaduras existentes en el sistema, comprobaremos que

posee sólo 3 grados de libertad.

r r d distancia fija2 1

r r d distancia fija3 2

1

2

Figura 3-1: Sistema formado por dos masas puntuales, unidas por

una barra rígida sin masa.

1

2 4

3

Page 76: Oscilaciones

76

r r d distancia fija4 3

r r d distancia fija1 4

r r d distancia fija3 1

r r d distancia fija4 2

Las 6 ecuaciones de ligadura (ver figura 3-2) no son independientes, ya que

alcanzan sólo 5 barras (en el plano), la , , , y para que la

distancia quede determinada, es decir, la barra y la ecuación r r d distancia fija4 2 no introducen ninguna información nueva, son

dependientes de las primeras 5 ligaduras. O sea, el sistema tiene 5 ecuaciones de

ligadura independientes.

Las 5 ecuaciones de ligadura relacionan entre sí a las coordenadas del sistema,

por esta razón, el sistema de la figura 3-2, posee sólo,

8 5 3 (tres) grados de libertad.

Dos grados de libertad determinan el centro de masas (en el plano) y el tercero puede

ser un ángulo que describe las rotaciones.

A partir de la discusión anterior, concluimos que en la expresión 3-1, el

número k, indica el número de ligaduras independientes, que en el ejemplo anterior

son sólo 5.

Volviendo al ejemplo del sólido rígido, éste posee N partículas unidas de a dos

con una barra imaginaria, por lo cual tiene un número de ligaduras igual a,

N N

NN N N

2 2 2

1

21 3

!

! ! (es mucho mayor que 3N , para N 8)

Por supuesto, si el número de ligaduras es mayor que 3N , seguramente no todas ellas

son independientes, ya que si no el número de grados de libertad sería nulo o

negativo.

No es difícil ver que el número de grados de libertad de un sólido rígido ideal

es 6. Intuitivamente vemos que sí conocemos las coordenadas de 3 puntos del sólido,

que no se hallen sobre una misma línea, éste queda descripto, por lo cual ya vemos

que con sólo 9 coordenadas alcanza, ver figura 3-3.

Page 77: Oscilaciones

77

Pero como además tenemos las ligaduras existentes entre cada uno de los tres puntos,

el número de coordenadas necesarias baja en tres unidades. Por lo cual, el número de

grados de libertad de un sólido rígido ideal resulta ser 6.

Grados de libertad de traslación, rotación y vibración. Las coordenadas que

realmente terminan siendo independientes en un sistema no necesariamente son todas

coordenadas cartesianas. En el ejemplo discutido antes, de las dos partículas unidas

por una barra, el sistema puede describirse mediante 3 coordenadas cartesianas y 2

ángulos. En general, las coordenadas elegidas son aquellas que permiten realizar más

simplemente la descripción del sistema, y en algunos casos se las puede asociar a

algún tipo especial de movimiento.

Comúnmente lo que resulta más simple es reservar 3 coordenadas para la

descripción del centro de masas del sistema. Esas 3 coordenadas permiten describir

traslaciones en el espacio del sistema como un todo, por esta razón decimos que son

grados de libertad de traslación.

En el caso del sólido rígido, 3 grados de libertad determinan su centro de

masas, y como dijimos describen traslaciones rígidas del sólido. Las otras 3

coordenadas son ángulos que determinan la orientación en el espacio del sólido. La

variación de estas coordenadas angulares representan movimientos de rotación, por

ello decimos que estas 3 coordenadas son grados de libertad de rotación.

Supongamos un sistema formado por dos partículas unidas por un resorte sin

masa, o “su análogo”, molécula formada por dos átomos interactuando

electrocuánticamente, ver figura 3-4.

El sistema posee 6 grados de libertad, ya que el resorte no es una ligadura

rígida, y por ende, no restringe para nada el número de grados de libertad. 3 grados de

libertad los asociamos a la descripción del centro de masas de la molécula (3 grados

de libertad de traslación). Dos grados de libertad son asociados a coordenadas

angulares, que fijan la orientación en el espacio de la molécula, por lo cual

corresponden a grados de libertad de rotación. Nos falta aún considerar, un grado de

libertad. Ese grado de libertad corresponde a la coordenada que describe la distancia

relativa entre los átomos. La variación de esta coordenada corresponde a movimientos

oscilatorios, por lo cual, decimos que corresponde a un grado de libertad de

vibración.

3-2. (Recomendado). Analice cuántos grados de libertad tienen los siguientes

sistemas, especifique cuántos de traslación, de rotación y de vibración:

1

2 3

Figura 3-3: Sólido rígido. Identificando 3 puntos es posible describir al sistema.

Fig. 3-4

Page 78: Oscilaciones

78

a) Una partícula puntual, en el plano.

b) Una partícula puntual, en el espacio.

c) Dos partículas puntuales.

d) N partículas puntuales.

e) Dos partículas puntuales unidas rígidamente a una distancia l fija (Ligadura sin

masa).

f) Dos partículas puntuales unidas por un resorte sin masa.

g) Una molécula diatómica.

h) Una molécula triatómica.

i) Un sólido rígido.

3-3. Ejercicio Teórico: Centro de masas y Coordenada Relativa

(Recomendado):

En este ejercicio estudiaremos un sistema simple, ideal, pero que sirve como

modelo o prototipo de sistemas más complejos tal como, por ejemplo, el de una

molécula diatómica.

Considere el sistema de dos masas puntuales kgma 1 y kgmb 2 acopladas

por un resorte de constante elástica k N m 400 / y longitud relajada cml 100 , como

se muestra en la figura 3-5 (no consideramos rozamiento ni ninguna otra fuerza más

que la elástica de interacción entre las masas),

a) Indique ¿cuántos grados de libertad tiene el sistema?, ¿cuántos modos de

oscilación posibles tiene?, ¿cuántos de traslación y de rotación?.

Considerando sólo el caso unidimensional,

b) Halle las ecuaciones dinámicas de ambas masas.

Resp.

0abb

0aba

)t()t( )t(

)t()t( )t(

lxxkxm

lxxkxm

b

a

3-3

2-3

Observe que el signo más, que acompaña a la constante elástica k en la primera

ecuación, no es el habitual. Discuta.

Comentario: La resolución de este sistema de ecuaciones diferenciales presenta la

dificultad de que están acopladas, es decir, la aceleración de la partícula “ a ”

depende no sólo de la posición de esa partícula sino también de la posición de la

partícula “b ”. No es posible hallar la ecuación de movimiento para la partícula

“ a ” sin resolver la de la partícula “ b ”.

B A

Fig. 3-5

Page 79: Oscilaciones

79

Como el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal siempre resulta posible

desacoplarlas. Para ello debemos hallar un cambio de variables adecuado que

desacople el sistema (modos normales de vibración).

Matemáticamente ya veremos como nos damos cuenta de cual es el cambio de

variables adecuado, pero físicamente uno podría ya imaginarse que las mejores

coordenadas para describir el movimiento de ambas partículas son:

I ) La coordenada del centro de masas del sistema ,

ba

bbaa

CMmm

xmxmR

.

Ya que al no existir fuerzas externas, sabemos que se mueve a velocidad constante

(o está quieto), por lo cual la ecuación diferencial correspondiente a la

coordenada del centro de masas será simplemente,

0CMR

la cual, nos dice que la aceleración del centro de masas es nula (velocidad

constante).

II ) La coordenada que indica la distancia relativa entre las partículas, que

podemos definir como ab xxr . Esta coordenada intuimos tiene una evolución

oscilatoria armónica, con lo cual seguramente la ecuación diferencial que

describe su evolución tiene la pinta,

0. lrconstanter ,

la cual, es una ecuación del tipo oscilador armónico (la constante la

determinaremos luego).

Uno podría tratar de obtener estas ecuaciones a partir de las ecuaciones

diferenciales correspondientes a las partículas “ a ” y “ b ”, simplemente

derivando dos veces a CMR y a r , usando las ecuaciones que las ligan con ax y

bx . Intente hacerlo de esta forma. En el próximo ítem lo haremos apelando a ideas

matemáticas.

c) Queremos desacoplar las ecuaciones diferenciales 3-2 y 3-3, para ello debemos

hallar un cambio de variables adecuado que desacople al sistema (modos

normales de vibración). Por el momento lo haremos tanteando, pero en la guía

teórica 3-8 estudiaremos un método matemático general para desacoplar las

ecuaciones diferenciales lineales.

Obtenga dos nuevas ecuaciones, una a partir de sumar las ecuaciones 3-2 y 3-3,

y la otra, multiplicando la ecuación 3-3 por am y restándole la ecuación 3-2

multiplicada por bm . Analice el por qué de este procedimiento.

Page 80: Oscilaciones

80

Resp.

0

0

ltxtxmmktxtxmm

txmtxm

abbaabba

bbaa

5-3

4-3

d) Ahora se ve claro que, si hacemos un cambio de variables adecuado, las ecuaciones

diferenciales se desacoplan. Proponga el cambio de coordenadas:

coordenada centro de masas ba

bbaa

CMmm

xmxmR

3-6

y,

coordenada relativa ab xxr 3-7

y compruebe que las ecuaciones diferenciales 3-4 y 3-5 quedan:

0CMR 3-8

la cual, expresa que el centro de masas se mueve a velocidad constante, y

0lr

mm

mm

kr

ba

ba

3-9

que corresponde a una ecuación diferencial del tipo oscilador armónico.

Reconocemos la aparición de la masa reducida:

m m

m m

a b

a b

, 3-10

por lo cual, la ecuación diferencial para la coordenada relativa puede escribirse

como,

0lrk

r

, 3-11

Comentario: Observe que la ecuación diferencial de la coordenada relativa es

equivalente a la ecuación diferencial correspondiente al oscilador armónico con

sólo una masa. Al pasar a coordenadas relativas hemos transformado el problema

de dos cuerpos en un problema equivalente de un sólo cuerpo de masa igual a la

masa reducida , oscilando con frecuencia

k2 .

e) Halle las frecuencias asociadas a cada movimiento (modos normales de

oscilación).

Page 81: Oscilaciones

81

Resp. 02

1 (modo de traslación del centro de masa, no oscila)

k2

2 (modo de oscilación de la coordenada relativa)

Comentario: Se dice que un sistema está en un determinado modo de vibración

(armónico), cuando todas las partes móviles que lo componen oscilan con la

misma frecuencia y fase.

f) Halle la ley de movimiento de cada modo.

Resp. tAltr 20 cos )( (modo de oscilación de la coordenada relativa)

0 )( RtVtR CMCM (modo de traslación del centro de masa).

g) Obtenga las leyes de movimiento )(txa y )(txb .

Resp. )()()( trmm

mtRtx

ba

b

CMa

y )()()( trmm

mtRtx

ba

a

CMb

Comentario: Note que las posiciones de ambas masas dependen linealmente de la

función armónica )(tr , por lo cual, podemos concluir que ambas oscilan con la

misma frecuencia y fase, es decir, se hallan en un determinado modo de vibración

(armónico).

h) A partir del resultado anterior, compruebe que como ba mm entonces la partícula

“ a ” tiene una amplitud de oscilación mayor que la “ b ” (ya que las fuerzas que les

hace el resorte son las mismas mientras que las masas son distintas).

i) Importante. Halle la amplitud de la oscilación A si sabe que la energía mecánica

de oscilación es de E joule1 .

j) Importante. Halle la fase si a t 0 el resorte pasa por la posición de equilibrio.

k) Importante. Demuestre que la energía mecánica, puede expresarse, en las nuevas

coordenadas, como:

2

0

22

2

1

2

1

2

1lrkrRmmE CMba

Discuta el significado físico de cada uno de los términos.

l) Demuestre la relación entre las energías cinéticas que se lleva cada masa es,

a

b

b

c

a

c

m

m

E

E

Page 82: Oscilaciones

82

Analice el caso en que una masa es mayor que la otra, por ejemplo ba mm .

Discuta.

m) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en el ejercicio.

3-4. Modelo de Molécula Diatómica (Recomendado. Paradigmático):

La energía potencial de interacción, entre dos átomos de igual masa m, que

forman una moléculas diatómica, puede aproximarse por la expresión,

E r Vr

r

r

rp ( )

00

6

0

12

2 ,

donde V0 y r0 son constantes positivas y r es la separación entre las moléculas.

a) Halle la masa reducida del sistema. Resp. m

2

b) Grafique E rp ( ) . Ayúdese con el Mathematica.

Respuesta: ver figura 3-6

c) Sobre la base del gráfico anterior, determine el rango de energía (total), para el cual

la molécula permanece ligada. Para energías superiores, discuta como evoluciona

el sistema.

d) ¿Cuál es la mínima energía mecánica que puede tener el sistema?. Si el sistema

posee esa energía mínima, ¿cuánta energía debe entregarse a la molécula para

destruirla?. ¿con que energía cinética se liberan los átomos?. Discutir.

e) Suponga que el sistema está ligado, proponga una energía y halle gráficamente el

rango de distancias relativas permitidas en la molécula.

Ep

V0

r0

r

Figura 3-6: Energía potencial de interacción, entre dos átomos, que

forman una moléculas diatómica

Page 83: Oscilaciones

83

f) Halle la posición de equilibrio y el valor de la energía potencial en el punto de

equilibrio. Ayuda: recordar que

p

r

EF

y en el equilibrio F 0.

g) Grafique F en función de r . Discuta sobre la magnitud y sentido de la fuerza para

distancias mayores y menores que la distancia de equilibrio.

h) Importante. Suponga que el sistema está ligado, y le interesa analizar sólo las

pequeñas oscilaciones de la molécula alrededor del equilibrio. Haga un desarrollo

en serie de potencias (Taylor) de la energía potencial y aproxímela con los

términos de menor orden (hasta orden 2).

Ayuda: E r E rd E

drr r

d E

drr rp p

p p( ) ( ) .....

0 2 0

2

3 0

31

2

1

60 0

2

r

3

r

donde se ha usado que d E

d r

p

r

0

0 .

Resp. 0

2

02

1)( VrrkrE p

donde kV

r

72 0

02

es una constante equivalente a la constante elástica del

resorte. ¿Influye la constante 0V en la dinámica del sistema?. Discuta.

i) Importante. Grafique el potencial exacto y el aproximado juntos. Discuta..

j) Importante. Con esta aproximación halle la frecuencia angular de oscilación.

Resp. =

2 0

02

72 V

r donde es la masa reducida.

k) Muy Importante. En esta aproximación, escriba la ecuación dinámica para la

variable r.

3-5. (Repaso). La frecuencia de oscilación de una molécula en movimiento térmico

es de 1013

Hz , aproximadamente. La masa es del orden de 1022

g . ¿Cuál es la

constante del resorte equivalente?.

3-6. (Repaso). Suponga que la energía potencial de interacción, entre dos moléculas

de igual masa m , puede aproximarse por la expresión, 2

001)(

rra

p e-VrE

,

donde r es la separación entre los cuerpos. Grafique )(rE p y repita el análisis

energético y dinámico (en la aproximación de pequeñas oscilaciones) realizado en el

ejercicio 3-4.

3-7. Ejercicio Teórico: Modos Normales de Vibración (Recomendado):

Page 84: Oscilaciones

84

Considere el sistema de dos masas m kg1 iguales acopladas por resortes de

constante elástica k N m500 / , de longitud relajada ml 10 , que pueden deslizar

libremente sobre una superficie sin ningún tipo de rozamiento, como se muestra en la

figura 3-7.

Estudiaremos únicamente las oscilaciones longitudinales (en la dirección de x)

alrededor del equilibrio:

a) Verifique que las ecuaciones dinámicas (ecuaciones de Newton) que describen la

evolución de las masas A y B son:

0ab0bb

0ab0aa

)t()t( )t( )t(

)t()t( )t( )t(

lxxklxLkxm

lxxklxkxm

13-3

12-3

Ayuda: recuerde que la fuerza elástica resulta proporcional al estiramiento del

resorte respecto de su longitud relajada. Por consiguiente, lo primero que debe

hacer es hallar la longitud del resorte en función de las coordenadas x ta y

x tb .

Compruebe que la longitud del resorte de la izquierda resulta,

L x ta1

La longitud del resorte del medio es,

L x t x tb a2

Mientras que la longitud del resorte de la derecha es,

L L x tb3

Deténgase a pensar el signo que le corresponde a cada término, correspondiente a

las fuerzas elásticas de cada resorte.

b) Halle las posiciones de equilibrio de las masas. Resp. 3

equi Lxa y 3

2equi Lxb

c) Verifique que describiendo el sistema a partir de sus posiciones de equilibrio, las

ecuaciones de movimiento son:

)t( )t()t()t(

)t()t()t( )t(

babb

abaa

kkm

kkm

15-3

14-3

x

L=3m

B A Fig. 3-7

Page 85: Oscilaciones

85

Ayuda: Haga el cambio de variables,

equi

aaa xx y equi

bbb xx 3-16

Comentario: La resolución de este sistema de ecuaciones diferenciales presenta

nuevamente la dificultad de que están acopladas, es decir, la aceleración de la

partícula “ a ” depende no sólo de la posición de esa partícula sino también de la

posición de la partícula “ b ”. No es posible hallar la ecuación de movimiento

para la partícula “ a ” sin resolver la de la partícula “ b ”.

Como el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal siempre resulta posible

desacoplarlas. Para ello debemos hallar un cambio de variables adecuado que

desacople al sistema (modos normales de vibración). Por el momento lo haremos

tanteando, pero en la guía teórica 3-8 estudiaremos un método matemático

general para desacoplar las ecuaciones diferenciales lineales.

d) Sume y reste las ecuaciones diferenciales 3-14 y 3-15 y observe que haciendo un

nuevo cambio de variables,

)()()( ba1 ttt y )()()( ba2 ttt 3-17

(coordenadas normales de oscilación), éstas se desacoplan, con lo cual se obtienen

dos nuevas ecuaciones del tipo oscilador armónico.

Resp.

)t(3

)t(

)t( )t(

22

11

m

k

m

k

19-3

18-3

e) A partir de lo hallado en el ítem anterior proponga la solución de las ecuaciones

diferenciales correspondientes a los modos normales.

Respuesta:

1111 cos )( tAt y 2222 cos )( tAt 3-20

f) Halle las frecuencias de los modos normales de oscilación 1 y 2 .

Respuesta:

12

k

m y 2

23

k

m 3-21

Comentario: Las amplitudes y las fases dependen de las condiciones iniciales del

movimiento.

g) Sabiendo que )()()( ba1 ttt y )()()( ba2 ttt , halle la solución

general de las ecuaciones de movimiento para cada masa, es decir halle )(a t y

)(b t .

Page 86: Oscilaciones

86

Resp. 222

11121

a cos 2

cos 22

)()()(

t

At

Attt 3-22

222

11121

b cos 2

cos 22

)()()(

t

At

Attt 3-23

Comentario: El movimiento general de un sistema con dos grados de libertad

puede tener una apariencia muy complicada; ninguna parte se mueve con un

movimiento armónico simple. Sin embargo, se ha mostrado en este ejercicio que,

para dos grados de libertad cuyas ecuaciones de movimiento son lineales, el

movimiento más general es la superposición de dos movimientos armónicos

simples, ambos ocurriendo simultáneamente. Estos dos movimientos armónicos

simples, se denominan modos normales, modos resonantes, o simplemente modos.

Como veremos en los próximos ítems mediante una elección apropiada de las

condiciones iniciales, podemos poner el sistema a oscilar en un sólo modo o el

otro. Los modos están desacoplados aunque las partes móviles no lo estén.

Cuando sólo está presente un modo, cada parte móvil desarrolla un

movimiento armónico simple. Todas las partes pasan al mismo tiempo por la

posición de equilibrio simultáneamente, es decir, oscilan no sólo con la misma

frecuencia sino también con la misma fase (o contrafase). Que todas las

partículas del sistema oscilen con la misma fase tiene como consecuencia

fundamental que todas ellas pasen simultáneamente por la posición de equilibrio.

Cada modo tiene su frecuencia característica y una configuración característica o

forma de oscilación, dada por la relación de las amplitudes de movimiento de las

partes móviles. Por ejemplo, en este ejercicio se halló que,

Para el modo 1: Las masas se hallan oscilando en el modo 1, siempre y cuando,

las condiciones iniciales de movimiento sean las adecuadas para que se anule la

amplitud 2A (ver ec. 3-22 y 3-23), es decir, 02 A (pensar como debe iniciarse el

movimiento para que esto suceda), de tal forma que las masas a y b oscilan con

la misma frecuencia, fase y amplitud, tal como puede deducirse de sus ecuaciones

de movimiento,

111

a cos 2

)( tA

t y 111

b cos 2

)( tA

t

Se mueven las dos exactamente igual, o sea, van las dos juntas siempre hacia el

mismo lado sin estirar el resorte del medio, ver figura 3-8,

)()( ba tt (Modo 1)

Figura 3-8: Esquema de movimiento correspondiente al modo 1.

Page 87: Oscilaciones

87

Para el modo 2: Las masas se hallan oscilando en el modo 2, siempre y cuando,

las condiciones iniciales del movimiento sean las adecuadas para que se anule la

amplitud 1A (ver ec. 3-22 y 3-23), es decir, 01 A (pensar como debe iniciarse el

movimiento para que esto suceda), de tal forma que las masas a y b oscilan con

la misma frecuencia, fase y amplitud pero con signo contrario, tal como puede

deducirse de sus ecuaciones de movimiento,

222

a cos 2

)( tA

t y 222

b cos 2

)( tA

t

o sea, se desplazan lo mismo pero en direcciones opuestas, ver figura 3-9,

)()( ba tt (Modo 2)

Observamos que en el modo 2 se estira el resorte del medio, por consiguiente, hace

falta mayor energía para lograr la misma amplitud de oscilación que en el modo 1.

En general a mayor frecuencia, del modo normal, hace falta mayor energía para

lograr igual amplitud de oscilación que la correspondiente a los modos de menor

frecuencia.

Si se aplica una fuerza impulsora armónica al sistema y se varía su

frecuencia (lentamente), se obtiene una resonancia cada vez que la frecuencia

impulsora concuerde con alguna de las frecuencias de un modo. En sistemas

con más grados de libertad existen tantas frecuencias de resonancia como modos

normales haya.

h) Importante: Suponga que inicialmente desplaza la masa “ a ” una distancia 2 A

hacia la derecha y la suelta (velocidad inicial cero), mientras que la masa “b ”

permanece en reposo, o sea, las condiciones iniciales son,

a ( )0 2 A, y b ( )0 0 , ( )a 0 0 y ( )b 0 0 .

Figura 3-9: Esquema de movimiento correspondiente al modo 2.

Page 88: Oscilaciones

88

Halle la evolución dinámica del sistema, es decir, halle a ( )t y b ( )t (amplitudes

y fases).

Ayuda: Como las velocidades iniciales de ambas masas valen cero entonces puede

demostrase que las fases 1 y 2 valen cero (verifique), halle A1 y A2 .

Resp. a ( ) cos cost A t A t 1 2 y b ( ) cos cost A t A t 1 2

i) Importante. Encuentre las condiciones iniciales de tal forma de excitar sólo el

modo más alto (mayor frecuencia). Compruebe analíticamente que con esas

condiciones se anula la amplitud A1 0 .

j) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en el ejercicio.

k) Importante. Sin hacer cuentas responda, “¿se modifican las frecuencias de

oscilación de los modos normales si, en lugar de estar colocadas las masas sobre

una superficie horizontal como en este ejercicio, se cuelgan del techo en posición

vertical?”. Discuta. Halle las nuevas posiciones de equilibrio.

l) Optativo. Repita los ítems anteriores para oscilaciones transversales, en la

aproximación de pequeñas oscilaciones.

3-8. Guía teórica: Resolución formal de sistemas dinámicos lineales

acoplados:

En esta guía teórica vamos a resolver nuevamente el problema 3-7, pero con

herramientas matemáticas más avanzadas que nos permiten desacoplar las ecuaciones

dinámicas, y de esta forma hallar los modos normales del sistema en forma mecánica

y general para cualquier sistema dinámico lineal.

Partimos de las ecuaciones dinámicas lineales acopladas, del problema 3-7,

)t( )t()t()t(

)t()t()t( )t(

babb

abaa

kkm

kkm

25-3

24-3

reagrupando las ecuaciones 3-24 y 3-25, y pasando la masa dividiendo, obtenemos,

)t( 2

)t( )t(

)t( )t( 2

)t(

bab

baa

m

k

m

k

m

k

m

k

27-3

26-3

Llegados a este punto, basaremos nuestro razonamiento en la idea de que

estamos buscando los modos normales del sistema, que como sabemos, son aquellos

modos de movimiento en donde todas las masas oscilan con la misma frecuencia y

fase (pasan todas al mismo tiempo por la posición de equilibrio). Basados en éste

Page 89: Oscilaciones

89

conocimiento, proponemos como solución un estado particular en donde el sistema se

halla oscilando en uno de los modos normales, del cual aún no sabemos casi nada,

salvo que podemos describir la evolución de las masas, en ese modo, mediante

funciones de la forma,

tAta cos )( y tBtb cos )( 3-28

donde las partículas a y b oscilan con igual frecuencia y fase , mientras que las.

amplitudes A y B pueden ser distintas y de signo opuesto (contrafase).

Reemplazando las soluciones propuestas en las ecuaciones 3-26 y 3-27

obtenemos,

tBm

ktA

m

ktB

tBm

ktA

m

ktA

cos 2

cos cos

cos cos 2

cos

2

2

simplificando las funciones coseno, pasando todos los términos del lado derecho,

igualando a cero y sacando convenientemente factor común A y B , obtenemos,

0 2

0 2

2

2

Bm

kA

m

k

Bm

kA

m

k

30-3

29-3

De las ecuaciones 3-29 y 3-30 conocemos la masa m y la constante elástica del resorte

k, y no conocemos las amplitudes de oscilación A y B ni la frecuencia de oscilación

del modo. Pero lo que sí podemos afirmar es que las incógnitas A y B no pueden ser

determinadas en forma unívoca hasta no conocer las condiciones iniciales. A lo

sumo podemos determinar la relación que deben guardar entre sí A y B, por ejemplo

BA (modo 1) o BA (modo 2), pero de las ecuaciones 3-29 y 3-30 no resulta

posible extraer el valor de A ni el de B, aunque llegásemos a conocer el valor de la

frecuencia .

Sobre la base de éste razonamiento veremos que podemos obtener la

frecuencia del modo y la relación existente entre A y B.

Las ecuaciones 3-29 y 3-30 pueden pensarse como un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas A y B (amplitudes) y un parámetro 2 que debe fijarse

convenientemente para que realmente suceda que A y B no queden determinados por

3-29 y 3-30.

Para fijar ideas veamos un ejemplo simple, supongamos que creemos que

m

k22 es el valor correcto (lo cual es falso, ya que sabemos que no corresponde a

ninguna de las frecuencias correctas m

k2

1 y m

k32

2 ), con esta frecuencia el

sistema de ecuaciones 3-29 y 3-30 se transforma a (verifique),

Page 90: Oscilaciones

90

0

0

Am

k

Bm

k

0

0

A

B

lo cual no resulta satisfactorio ya que dijimos que no debería resultar posible hallar los

valores exactos de A y B. Por lo cual, la frecuencia m

k22 no puede ser solución, es

decir, no puede corresponder a ningún modo normal de vibración del sistema.

En general, si observamos detenidamente las ecuaciones 3-29 y 3-30, para casi

todos los valores de que inventemos obtendremos siempre como solución 0A y

0B , ya que las ecuaciones 3-29 y 3-30 son ecuaciones lineales homogéneas, a

menos que las dos ecuaciones sean dependientes, con lo cual en lugar de tener dos

ecuaciones tenemos en realidad sólo una. Ése es el único caso en que podemos

obtener como solución sólo relaciones entre A y B y no la solución trivial 0A y

0B . Por lo cual, los únicos valores de frecuencia que nos sirven como solución

de las ecuaciones dinámicas son aquellos que convierten al sistema de ecuaciones

3-29 y 3-30 en un sistema de ecuaciones dependientes.

Hallar estas frecuencias resulta simple si recordamos que el sistema es

dependiente sí y sólo sí el determinante asociado al sistema resulta cero. Por ello,

planteamos el determinante y lo igualamos a cero,

0.2

2

2

22

2

2

2

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

3-31

obtenemos una ecuación cuadrática donde la incógnita es el cuadrado de la frecuencia 2 (modos normales de vibración), resolviendo la ecuación cuadrática,

04

32

22 42

22

42

2

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k 3-32

2

24

2

.44

2

.3.444

222

2 m

k

m

km

k

m

k

m

k

m

k

m

k

3-33

m

km

k

m

k

2

24

2

1 y m

km

k

m

k

3

2

24

2

2

3-34

que concuerdan con las dos frecuencias normales de vibración del sistema, halladas

en el ejercicio teórico 3-7.

A partir de conocer las frecuencias 1 y 2 , podemos ahora hallar la relación

existente entre las amplitudes A y B, para cada modo.

Page 91: Oscilaciones

91

Hallemos primero la relación entre las amplitudes para el modo 1.

Reemplacemos en 3-29 y 3-30 la frecuencia correspondiente al primer modo,m

k2

1,

0 2

0 2

11

11

Bm

k

m

kA

m

k

Bm

kA

m

k

m

k

0

0

11

11

Bm

kA

m

k

Bm

kA

m

k

36-3

35-3

como esperábamos las ecuaciones 3-35 y 3-36 son dependientes, y de ellas obtenemos

que en el modo 1,

11 BA 3-37

lo cual significa que ambas masas oscilan con frecuencia m

k2

1 e igual amplitud

(modo 1), ver figura 3-10.

De esta forma, una de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales

(ec. 3-24 y 3-25), correspondiente al modo 1, es:

111a cos )( tAt y 111b cos )( tAt 3-38

Hacemos lo mismo para el modo 2. Reemplazamos en 3-29 y 3-30 la frecuencia

m

k32

2 ,

0 3

2

0 32

22

22

Bm

k

m

kA

m

k

Bm

kA

m

k

m

k

0

0

22

22

Bm

kA

m

k

Bm

kA

m

k

40-3

39-3

como esperábamos las ecuaciones 3-39 y 3-40 son dependientes, y de ellas obtenemos

que en el modo 2,

22 BA 3-41

lo cual significa que ambas masas oscilan con la frecuencia m

k32

2 e igual

amplitud pero de sentido contrario (modo 2), ver figura 3-11.

Figura 3-11: Esquema de movimiento correspondiente al modo 2.

Figura 3-10: Esquema de movimiento correspondiente al modo 1.

Page 92: Oscilaciones

92

De esta forma, otra de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales

(ec. 3-24 y 3-25), correspondiente al modo 2, es:

222a cos )( tAt y 222b cos )( tAt 3-42

Debido a que el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal, podemos escribir

la solución general del sistema dinámico (ec. 3-24 y 3-25), como combinación lineal de

ambas soluciones (principio de superposición),

222111a cos cos )( tAtAt 3-43

222111b cos cos )( tAtAt 3-44

donde los valores de 1A y 2A se determinan a partir de las condiciones iniciales, e

indican la amplitud con que participa cada modo en el movimiento total.

Optativo. Ecuación de autovalores y autovectores: Aunque ya hemos hallado la

solución del problema, vamos a analizar otra forma matemática de pensarlo, veremos

que las ecuaciones 3-29 y 3-30 pueden pensarse como ecuación de autovalores.

Comenzamos por reescribir las ecuaciones 3-29 y 3-30 como,

BBm

kA

m

k

ABm

kA

m

k

2

2

2

2

46-3

45-3

estas ecuaciones pueden presentarse en una forma matricial equivalente, definiendo

las siguientes matrices,

B

AV y

m

k

m

km

k

m

k

M2

2

3-47

de esta forma, las ecuaciones 3-45 y 3-46 se pueden escribir matricialmente como

(verifique),

B

A

B

A

m

k

m

km

k

m

k

2

2

2

3-48

Page 93: Oscilaciones

93

y en forma compacta, como,

VVM 2. 3-49

Las ecuaciones 3-48 y 3-49 son ecuaciones que comúnmente se denominan, en

Álgebra, ecuación de autovalores, donde, en este caso, el coeficiente 2 es el

autovalor de la matriz M , mientras que la matriz V es el autovector correspondiente

a ese autovalor.

Según esta ecuación, existen valores especiales del coeficiente 2 (autovalor)

y autovectores V correspondientes, de tal forma que al multiplicar a V por la matriz

M sólo obtenemos un múltiplo de éste, es decir, V.2 .

Fácilmente se verifica que si V es un autovector, entonces cualquier múltiplo

de éste es también autovector de la matriz M con el mismo autovalor 2 , por lo cual

los autovectores determinan direcciones preferenciales en el espacio, en este caso de

dimensión 2.

Recordando lo aprendido en los cursos de Álgebra, utilizando esas nuevas

direcciones como nueva base del espacio, entonces la matriz M resulta diagonal en

esa base, y los autovalores son los elementos de la diagonal.

En Álgebra aprendimos a resolver las ecuaciones de autovalores, el concepto

es exactamente el mismo que ya hemos discutido. La ecuación 3-48 tiene otra solución

que no es la trivial, si y sólo sí se anula el determinante de la matriz siguiente,

02

2

2

2

m

k

m

km

k

m

k

3-50

que es exactamente lo mismo que hallamos en la ecuación 3-31. Por consiguiente de

aquí en más las cuentas son las mismas (hacerlas), obteniéndose,

m

k2

1

1

1 1V (Modo 1) 3-51

m

k32

2

1

1 2V (Modo 2) 3-52

Note que hemos elegido un autovector en particular, pero sabemos que cualquier

múltiplo de ellos sirve, y lo único que importa es la relación entre sus componentes,

1

1 1V 11 BA (Modo 1) 3-53

Page 94: Oscilaciones

94

1

1 2

-V 22 BA (Modo 2) 3-54

3-9. (Repaso). Repita al ejercicio 3-7, pero considerando que el resorte del medio

tiene una constante elástica distinta, es decir, en lugar de k posee una constante

elástica q .

3-10. (Repaso). Repita al ejercicio 3-7, pero considerando que el sistema se halla

formado por masas distintas kgma 1 y kgmb 2 .

3-11. (Repaso). Considere dos péndulos acoplados por un resorte de constante

elástica k y longitud relajada 0l , con longitud de los hilos l , y con masas m (ver

figura

3-12).

Para pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio:

a) Verifique que las ecuaciones de movimiento (para pequeñas oscilaciones) son:

)t()t( )t()t(

)t()t( )t()t(

babb

baaa

kl

mgm

kl

mgm

b) Halle las coordenadas normales. Haga un esquema de la forma en que oscila cada

modo (configuración del modo).

Resp. 1 1 1 1( ) ( ) ( ) cost t t A t a b y

2 2 2 2( ) ( ) ( ) cost t t A t a b

c) Halle las frecuencias de los modos normales de oscilación.

Resp. 12

g

l y 2

22

g

l

k

m.

d) Importante. Halle la solución general de las ecuaciones de movimiento para cada

masa, es decir, halle a ( )t y b ( )t .

e) Importante. Encuentre una superposición de los dos modos que corresponda a las

condiciones iniciales, al tiempo t 0, en el que ambos péndulos tienen velocidad

nula, la pesa “ a ” amplitud 2 A y la “b ” amplitud cero.

Fig. 3-12

Page 95: Oscilaciones

95

3-12. En sistemas dinámicos lineales, la superposición de condiciones iniciales da

superposición de movimientos correspondientes. Supongamos que a y b son dos oscilaciones acopladas. Consideremos tres

condiciones iniciales diferentes:

i) a y b salen del reposo con amplitudes 1 y 1, respectivamente.

ii) salen del reposo con amplitudes 1 y 1 .

iii) salen del reposo con amplitudes 2 y 0 , respectivamente. De modo que la

condición inicial para el caso iii) es una superposición de las correspondientes a los

casos i) y ii).

Demuestre que el movimiento en el caso iii) es una superposición de los

movimientos para los casos i) e ii). ¿Sería esto cierto si la ecuación diferencial fuera

no lineal?

3-13. (Optativo). Analice las oscilaciones longitudinales alrededor del equilibrio del

sistema formado por dos masas mm 1 y mm32

2 acopladas por resortes de

constante elástica k , como muestra la figura 3-13:

3-14. (Optativo). Vibraciones libres de una molécula lineal. Consideremos un

modelo basado en una molécula triatómica simétrica. En la configuración de

equilibrio de la molécula hay dos átomos de masa m situados a ambos lados de otro de

masa mM 2 (ver figura 3-14). Los tres átomos están alineados a una distancia 0l

(de equilibrio).

Sólo estudiaremos oscilaciones longitudinales, y en primera aproximación

suponemos una interacción elástica, de constante recuperadora k .

a) Encuentre la ley dinámica del sistema.

b) Halle las frecuencias de los modos normales.

c) Dibuje las configuraciones de cada modo.

d) Halle la ley dinámica )(ta , )(tb y )(tc , considere al centro de masas en

reposo.

e) De condiciones iniciales de tal forma de sólo excitar el modo más alto.

3-15. Guía teórica: Frecuencias de corte:

Supongamos que tenemos un arreglo de un número grande N de partículas

interactuando elásticamente entre vecinas, ver figura 3-15.

Fig. 3-14

Fig. 3-13

Figura 3-15: Arreglo de partículas interactuando elásticamente, entre vecinas.

Page 96: Oscilaciones

96

Si suponemos que el sistema evoluciona en sólo una dimensión, el sistema

posee N grados de libertad de los cuales todos, salvo uno de traslación como un

rígido, son grados de libertad de vibración ( 1N ). Por consiguiente el sistema posee

1N modos normales de vibración y, por ende, 1N frecuencias de resonancia.

Supongamos que del lado izquierdo comenzamos a impulsar al sistema con

una fuerza armónica (recordar el capítulo anterior). Si la frecuencia de la fuerza

impulsora concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia del sistema, este

absorberá una gran cantidad de energía y el movimiento se propaga por todas las

partículas del sistema. Si no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia,

la energía trasmitida al sistema resulta menor.

Ahora supongamos que conocemos todas las frecuencias de resonancia del

sistema, y en particular conocemos la frecuencia máxima máx y mínima mín , entre

ellas se encuentran las restantes frecuencias. Si el número de grados de libertad es

muy grande, las frecuencias de resonancia pueden hallarse muy cerca una de las otras,

y por consiguiente si aplicamos una fuerza impulsora con una frecuencia que

cumpla máxmín , aunque no concuerde exactamente con una de las

frecuencias de resonancia, la fuerza entrega una energía apreciable al sistema. Pero si

la frecuencia de la fuerza impulsora resulta menor que la mínima mín o mayor

que la máxima máx entonces se halla lejos de una resonancia y, por consiguiente,

el sistema absorbe muy poca energía (las partículas se mueven muy poco).

A las frecuencias máx y mín se las conoce con el nombre de frecuencias de

corte del sistema.

Un ejemplo físico real en donde podemos aplicar un razonamiento semejante

al anterior (pero mucho más complejo), es la ionosfera. La ionosfera la podemos

pensar como formada por un número muy, pero muy grande de moléculas

interactuando. Este sistema complejo, posee frecuencias de corte máxima y mínima.

Si una onda electromagnética incide sobre la ionosfera, ésta absorbe mucha o

poca energía, dependiendo de su frecuencia. Eso es exactamente lo que sucede con las

frecuencias de emisión de radio AM y FM.

La frecuencia AM se halla por debajo de la frecuencia de corte mínima, por

consiguiente la ionosfera absorbe muy poca energía de la onda y esta se refleja en su

mayor parte, ayudando de esta forma a que la radio se escuche en grandes distancias

por sucesivos reflejos. En cambio las frecuencias de FM son superiores a la frecuencia

de corte mínima por lo cual la ionosfera absorbe mucha energía de esa onda y muy

poco se refleja, por ello las radios de FM tienen un alcance limitado.

Page 97: Oscilaciones

97

Bibliografía :

Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté.

Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté.

Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté.

Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana.

Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

Page 98: Oscilaciones

98

Capítulo 4.

Ondas de propagación.

Introducción:

Muchos son los fenómenos naturales a los cuales asociamos el concepto

abstracto de onda, quizás, los más conocidos son las ondas en la superficie del agua,

el sonido, la luz y las ondas de radio. Menos conocido, tal vez, es el hecho de que los

átomos, los electrones y las partículas subnucleares presentan propiedades tanto de

ondas como de partículas (dualidad onda-partícula, teoría cuántica). Todos estos

fenómenos, a pesar de ser físicamente distintos, comparten una descripción

matemática similar (dentro de alguna aproximación adecuada) y un mismo concepto

físico subyacente, ambos aspectos comunes constituyen el modelo abstracto de onda,

cuyo estudio seguiremos a través de éste y los Capítulos siguientes.

Para comenzar a entender el concepto físico de onda plateemos un ejemplo

simple. Supongamos que tenemos muchas esferas idénticas, de masa m , alineadas y

apoyadas sobre una superficie sin fricción, como muestra la figura 4-1.

La masa 1 posee inicialmente un impulso p y una energía cinética

E m vp

mc 12

2

2

2 . En un determinado momento choca contra la masa 2, al ser las

masas idénticas, podemos concluir que, por conservación de la cantidad de

movimiento y de la energía mecánica, todo el impulso y toda la energía mecánica se

transfiere de la masa 1 a la masa 2, y por consiguiente la primera queda en reposo.

Este proceso continúa, transfiriéndose impulso y energía de masa en masa. A la

propagación de la perturbación, que se manifiesta como una transferencia de

energía e impulso, es a la que llamamos onda, en este caso, pulso de onda.

Algo importante de notar es que, cuando le toca el turno de moverse a la masa

9, la onda se ha desplazado quizás varios metros, pero sin embargo las esferas se han

movido muy poco de su posición inicial, la propagación de la onda no implica

propagación de materia sino propagación de impulso y energía en el espacio y el

tiempo.

La onda que se propaga por medio de las esferas (medio de propagación)

constituye un ejemplo de un tipo especial de onda conocida con el nombre de onda

longitudinal. Estas ondas se distinguen por que se propagan en el mismo sentido en

que se mueven las partículas (o el medio). Un ejemplo clásico de ondas longitudinales

son las ondas sonoras.

p 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 4-1: La energía e impulso se transfieren de masa en masa, a grandes

distancias, sin producir grandes desplazamientos de las masas individuales.

Page 99: Oscilaciones

99

Otro tipo de ondas son las llamadas ondas transversales, en donde la onda se

propaga en una dirección que resulta perpendicular al movimiento de las partículas (o

el medio). Un ejemplo clásico de este tipo de ondas lo constituyen las ondas

electromagnéticas y en particular las ondas luminosas.

Un ejemplo no tan bueno, pero ilustrativo, son las ondas en el agua. Al tirar

una piedra en el agua se forman ondas circulares que se expanden en dirección radial

hasta desaparecer. Si la perturbación producida es pequeña las partículas de agua

“casi” no se desplazan en la dirección en que se propaga la onda, sino que realizan un

movimiento de subida y bajada alrededor de su posición de equilibrio, o sea que

mientras la onda se propaga en dirección radial las partículas oscilan “casi”

transversalmente al sentido de propagación, lo cual puede verificarse fácilmente

colocando un pedacito de corcho en la superficie del agua. Si la perturbación es

intensa, la descripción de ondas en el agua se complica ya que también se observa un

desplazamiento longitudinal del fluido.

Luego veremos que, las ondas tienen asociada una velocidad de propagación

cuyo valor depende del medio en que se propagan.

En éste Capítulo estudiaremos la descripción matemática de la onda así como

el concepto físico subyacente. Nos centraremos en ondas de propagación, y

estudiaremos una idealización de onda llamada onda armónica, que aunque no existe

como tal en el mundo real, resulta una representación matemática muy útil para

describir ondas más complejas. Estudiaremos la reflexión y transmisión de una onda a

través de un medio, y dejaremos para el Capítulo siguiente el estudio de las ondas

estacionarias.

Los ejercicios recomendados son el 1, 2, 4, 7, 11, 12, 13, 14, 18 y 19

4-1. Ejercicio Teórico: Ondas de Propagación unidimensionales

(Recomendado):

Con éste ejercicio pretendemos comenzar a estudiar la forma en que puede

representarse matemáticamente la propagación de una onda, en una dimensión.

Comenzaremos estudiando sistemas ideales, en donde, introducida una

perturbación sobre un medio, ésta se propaga en una única dirección sin

deformación ni cambio de amplitud, o sea, se propaga sin cambiar su forma.

A este tipo particular de ondas se las denomina ondas planas, luego cuando

analicemos ondas propagándose en el espacio quedará justificado el nombre.

Veremos que no es la única forma en que se manifiestan los fenómenos ondulatorios,

como ejemplo, estudiaremos ondas esféricas que se expanden radialmente en todas

las direcciones a partir de una fuente y no en una sola dirección como en el caso de

una onda plana y su amplitud disminuye a medida que la onda se aleja de la fuente.

Para fijar ideas, comencemos con un ejemplo de propagación de una onda

transversal propagándose sobre una cuerda ideal sin deformarse (onda plana).

Page 100: Oscilaciones

100

En la figura 4-2 se muestra un pulso de onda transversal propagándose sobre la

cuerda, en el instante t 0 (foto de la cuerda en el instante t 0),

Este pulso no tiene mucho sentido físico, ya que la cuerda se halla muy deformada en

los puntos 1 y 3 (no existe la derivada) por lo cual las tensiones allí resultan infinitas.

Suponemos que el pulso se mueve hacia la derecha sin deformación (no se

deforma al avanzar) a segcmv /2 .

a) Dibujar la forma del pulso en los instantes t seg1 2 3, y .

b) Discuta sobre como se mueven las partículas que forman la cuerda. Suponemos

que la cuerda es ideal y por ello postulamos que las partículas que la forman no se

desplazan para nada sobre la dirección de propagación de la onda (eje x), es decir,

la onda es perfectamente transversal.

c) Importante. En el instante t 0 , ¿Qué segmentos de la cuerda se están moviendo

hacia arriba? ¿Cuáles se están moviendo hacia abajo? ¿Existe algún elemento de la

cuerda que esté instantáneamente en reposo?.

Ayuda: Haga un esquema del pulso en un instante ligeramente posterior y anterior

para ver como se ha movido cada partícula de la cuerda, ¿hacia arriba o hacia

abajo?.

d) Sobre la base de lo discutido en el ítem anterior, haga un esquema cualitativo de la

velocidad de cada segmento de cuerda en el instante t 0 .

e) Verifique que el desplazamiento transversal (eje y) de cada segmento de la cuerda

puede representarse en t 0, por la función,

o x

xx

xfy

3 x1

31

si

si

0

1)2(

)(

2

4-1

La función )(xfy corresponde a una representación matemática de la foto de

la cuerda a t 0.

f) A partir de la descripción matemática de la perturbación en el instante t 0

(función )(xf ), queremos hallar una función que describa la perturbación

(desplazamiento a partir del equilibrio) para un instante t cualquier, dicho en

lenguaje físico, pretendemos encontrar la función de onda correspondiente a dicha

perturbación.

Dicha función de onda, que denominamos ),( tx , determina el

desplazamiento transversal de la cuerda (eje y), depende de dos variables la

posición x del segmento de la cuerda considerado y el instante t en que se observa

la perturbación.

Dado un instante t fijo, ),( tx nos da la foto de la cuerda en ese instante

particular. Y dado un punto de la cuerda fijo, ubicado en una posición x , ),( tx

1

5 6 7

v=2cm/seg

4 2 3 1 x

Figura 4-2: “Foto” de la cuerda en el instante inicial (pulso de onda).

Page 101: Oscilaciones

101

nos da la evolución del segmento en el tiempo, es decir, el movimiento transversal

del segmento de cuerda.

Sabemos que la perturbación (onda) se desplaza con una velocidad segcmv 2

hacia la derecha. Cada segundo que pasa, la perturbación se desplaza, sin

deformarse (idealización), cm2 hacia la derecha, y en forma general, luego de

transcurrido un tiempo t la perturbación se desplaza una distancia igual a vt ,

hacia la derecha. Sobre la base de este razonamiento intuimos que la función de

onda ),( tx puede representarse por la función )(xf pero desplazada

adecuadamente para cada instante considerado.

Nosotros conocemos como desplazar una función una cantidad vt ,

simplemente reemplazando el argumento x por vtx , es decir,

)( vtxfxf . Por ello, definimos como función de onda de ésta perturbación

a:

x-vt o vtx

vtxvtx

vtxftx

3 1

31

si

si

0

12

)(),(

2

4-2

Note que también los intervalos cambian.

g) Verifique que la función de onda propuesta funciona bien para los instantes

t seg1 2 3, y estudiados gráficamente en el ítem a). Vuelva a graficar usando la

función de onda.

h) Importante. A partir de la función de onda hallada, grafique el desplazamiento

transversal del segmento de cuerda ubicado en la posición cmx 4 , en función del

tiempo.

i) Halle la velocidad y aceleración de una partícula que forma parte de la cuerda

(recordar que la partícula se mueve transversalmente), en la posición x m 0 1, y en

mx 2 , en función del tiempo. Grafique.

j) Ahora suponga que, en lugar de moverse hacia la derecha, la onda se mueve hacia

la izquierda (sentido negativo de las x ), con el mismo valor de velocidad, halle la

nueva función de onda.

Comentario: Cualquier función de onda cuya dependencia funcional con el tiempo

y la posición sea del tipo ) (),( tvxftx puede representar la evolución de

una onda que se propaga en una única dirección y sin deformación. A este tipo

particular de ondas las denominamos ondas planas.

Cuando la onda se propaga en un sistema con más de una dimensión, su

descripción matemática resulta distinta de la que mostramos en el caso de una

onda plana unidimensional. Luego describiremos brevemente el caso de ondas

esféricas, en donde la onda se expande radialmente a partir de un punto o fuente

de ondas.

Las ondas que se propagan sin deformación son sólo una idealización

matemática, ya que en la Naturaleza la generalidad de los fenómenos

ondulatorios se manifiestan en medios dispersivos, por lo cual, se produce una

deformación continua de la onda. Por suerte para nosotros, las ecuaciones de

Page 102: Oscilaciones

102

Maxwell que rigen la evolución dinámica de los campos electromagnéticos (ondas

electromagnéticas), aceptan como solución ondas no dispersivas (en el vacío),

entre las cuales se hallan las ondas luminosas.

4-2. (Recomendado). Suponga que las siguientes funciones representan la

propagación de ondas planas:

I. )34(2cos 3),(1 txtx

II. )t20x 5(

2 2),( etx

III. 32

( , ) senx t tx

IV.

4 ( , )x t ei x- t

En donde x se expresa en metros, t en segundos.

a) En las funciones de onda anteriores, agregue las unidades que faltan en los

números que allí aparecen.

b) ¿Qué argumento utiliza para justificar que estas funciones de onda pueden

representar a una onda en movimiento?.

c) ¿Las ondas son dispersivas o no-dispersivas (conservan su forma)?. Discuta.

d) Determinar la dirección de propagación y la velocidad de la onda en cada caso.

Ayuda: piense en lo que hizo en el ejercicio anterior.

Resp. I. v mseg 34 , II. v m

seg 4 , III v mseg 2 , IV v m

seg

e) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes

aprendidos en los ejercicios 4-1 y 4-2.

4-3. (Repaso). En el instante t 0 , la forma de un pulso de onda sobre una cuerda

viene dada por la función: ( , ),

xm

m x0

0 12

4

3

2 2

, en donde x está en metros.

a) Dibujar ( , )x 0 en función de x .

Suponiendo que la onda se propaga sin deformarse,

b) Hallar la función de onda ( , )x t para un tiempo t cualquiera si el pulso se está

moviendo hacia la derecha (sentido positivo de las x ) con una velocidad de

10m seg/ .

c) Grafique la perturbación en el instante segt 1 .

d) Grafique el desplazamiento transversal del segmento de cuerda ubicado en la

posición mx 1 , en función del tiempo.

e) Hallar la función de onda ( , )x t para un tiempo t cualquiera si el pulso se mueve

hacia la izquierda (sentido negativo de las x ) con una velocidad de 10m seg/ .

f) Halle la velocidad y aceleración de una partícula, que forma parte de la cuerda, en

la posición x m 0 1, . Grafique.

Page 103: Oscilaciones

103

4-4. Guía Teórica: Ondas armónicas (Recomendado).

Un ejemplo de onda plana, importante por sus aplicaciones en muchos

fenómenos físicos, lo constituyen las ondas armónicas. Aunque este tipo de onda es

una idealización y, por consiguiente, no existe en la naturaleza, veremos que cualquier

onda (real) puede expresarse como superposición de ondas armónicas (ideales).

Podemos construir una onda armónica partiendo de una función armónica,

como el seno o el coseno o cualquier traslación o dilatación de estas, y propagarla en

el espacio a medida que transcurre el tiempo (con velocidad v ) como lo venimos

haciendo hasta ahora, es decir, trasladando el argumento de la función de x a vtx .

Supongamos que estudiamos una onda armónica que se propaga sobre una

cuerda infinita. En el instante inicial ( 0t ) la cuerda posee una deformación

armónica, como la que se muestra en la figura 4-3 (piénselo como sí fuera una foto de

la cuerda sacada en el instante 0t ).

Observe que cada ciclo armónico posee una longitud, que llamamos “longitud

de onda” y la notamos con la letra griega (con unidades de longitud). Note la

equivalencia, y diferencia, existente entre la longitud de onda y el período de una

función armónica. Mientras que el período indica la duración temporal del ciclo, la

longitud de onda indica la extensión espacial del ciclo. Usando esta equivalencia,

podemos proponer una función armónica que describa la deformación inicial de la

cuerda como,

xAtx

2sen )0,( 4-3

donde la función )0,(x indica cuán desplazada está la cuerda en cada punto (en la

dirección y), respecto de su forma relajada. Note que x debe pasar desde 0x hasta

x para que el argumento complete un ciclo, o sea:

0022

x a

2

22x .

Ya tenemos la función de onda en el instante inicial, sólo nos hace falta darle

movimiento. Para ello trasladamos el argumento de la función de x a vtx , y por

ende la función de onda armónica, tiene la pinta (podríamos agregarle una fase

inicial),

Figura 4-3: Longitud de onda de una onda armónica (“foto” de la cuerda en el instante inicial).

Page 104: Oscilaciones

104

)(

2sen ),( vtxAtx 4-4

Para fijar ideas, grafiquemos la función de onda para varios tiempos (ver

figura 4-4). Para ello, usamos el programa Mathematica con los valores mA 001.0 ,

m1 y segmv 1 , y el tiempo variando entre 0 y 1seg con un incremento de 0,2seg,

lambda=1;

a=0,001;

v=1;

psi[x_,t_ ]=a*Sin[(2 Pi/lambda)*(x-v*t)];

Do[

Plot[psi[x,t],{x,0,2*lambda},Axes->None,

PlotPoints->500,AspectRatio->0.15,

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}],

{t,0,1,.2}]

Si además une todos los gráficos en una misma celda y los anima, observará el

desplazamiento de la onda (consulte).

Page 105: Oscilaciones

105

Note, en la figura 4-4, como avanza hacia la derecha la cresta de la onda, de

acuerdo a los datos que hemos impuesto, la onda tarda 1 segundo en avanzar 1 metro,

que en este ejemplo concuerda con la longitud de onda m1 .

Hemos también destacado el movimiento del segmento de la cuerda que

inicialmente se halla sobre la primera cresta (punto redondo), a medida que la onda

avanza, el punto efectúa un movimiento periódico transversal, es decir, hacia abajo y

hacia arriba. Note que transcurrido un tiempo igual a 1 segundo, el punto ha vuelto al

lugar donde comenzó su movimiento, de esta forma, la foto de la cuerda en el instante

t seg1 es idéntica a la foto en el instante inicial t seg 0 (el período de oscilación es

T seg1 ).

La expresión 4-4, es una de las formas en que es posible expresar a una onda

armónica de longitud de onda , que se desplaza hacia la derecha con velocidad v

(velocidad de propagación o de fase). Pero hay otras formas de escribirla que también

nos pueden servir.

t=0,2

vt vt vt vt vt

t=0

t=0,4

t=0,6

t=0,8

t=1

Figura 4-4: Gráfica de la evolución de la cresta de una onda armónica y movimiento

oscilatorio de un punto particular de la cuerda.

Page 106: Oscilaciones

106

Supongamos que queremos analizar, ¿cómo es el movimiento de cada punto (o

partícula) que forma parte de la cuerda?. Para ello sólo hace falta darle el valor a la

variable x , correspondiente a la posición del punto que deseamos estudiar. Para

facilitar el razonamiento vamos a estudiar el movimiento del punto 0x (que es

cualquiera), y su movimiento viene descripto por la función armónica,

tAvtAvtAtx

sen

2sen )0(

2sen ),0( 4-5

Físicamente significa que la partícula localizada en 0x oscila, hacia arriba y hacia

abajo permanentemente (transversalmente, en este ejemplo), y con frecuencia angular,

v

2 4-6

A partir de esta expresión podemos hallar el período de oscilación, recordando que

T

2, o sea,

vT

o

Tv

4-7

en el ejemplo, de la figura 4-4,

Tv

seg

1

A partir de 4-7, la frecuencia de oscilación resulta,

vf o fv 4-8

Como vemos, de las expresiones 4-7 o 4-8 (llamadas relaciones de dispersión),

la longitud de onda y el período se hallan relacionados a través de la velocidad de

propagación de la onda, que como veremos, depende del medio en donde se propaga.

Como ejemplo, podemos pensar en una señal sonora que se propaga en aire y

luego en otro material, por ejemplo acero. La velocidad de propagación es distinta en

ambos medios. Como luego veremos, la frecuencia no cambia al pasar de un medio al

otro (esto tiene que ver con la conservación de la energía y momento), por

consiguiente la onda cambia su longitud de onda.

De las ecuaciones 4-7 y 4-8, vemos que la relación entre la frecuencia y la

longitud de onda es inversamente proporcional. Como ejemplo, podemos pensar en

las ondas electromagnéticas. En la luz visible, la luz violeta es la de mayor frecuencia

y por ende la de menor longitud de onda, mientras que la luz roja corresponde a la

menor frecuencia y mayor longitud de onda. Bajando la frecuencia, aparece el

infrarrojo, las microondas, las ondas de radio, etc., y mientras menor es la frecuencia

mayor es la longitud de onda.

Page 107: Oscilaciones

107

Llegado a este punto, podemos escribir a la onda armónica de varias maneras

distintas,

)(

2sen ),( vtxAtx 4-9

t

TxAtx

22sen ),( 4-10

Podemos definir una nueva variable,

2k 4-11

a la que llamamos número de onda que tiene unidades de metro/1 (note la similitud

con la frecuencia angular T

2). Luego veremos que este número de onda en

realidad es un vector que indica la dirección de propagación de la onda plana en el

espacio tridimensional (no confundir k con la constante elástica del resorte) . A partir

de definir el número de onda, la función de onda puede expresarse,

tkxAtx sen ),( 4-12

o también,

)(sen ),( vtxkAtx 4-13

Las expresiones 4-9, 4-10, 4-12 y 4-13 son formas equivalentes de expresar una función

de onda armónica, quizás la más usada es la 4-12.

En función del número de onda k y la frecuencia angular , podemos

reescribir la relación de dispersión 4-8 como,

v k. 4-14

Por supuesto, lo que hemos dicho para la función seno también vale para la

función coseno y para cualquier traslación de estas funciones, por lo cual la función

más general debe incluir una fase arbitraria, es decir,

tkxAtx sen ),( 4-15

Si queremos representar una onda que se desplaza hacia la izquierda, sólo

debemos modificar el signo relativo entre las variables x y t,

( , ) senx t A kx t 4-16

Page 108: Oscilaciones

108

Ejercicio: Verifique que la onda armónica,

( , ) senx t A kx t

también se desplaza hacia la izquierda.

Como ya hemos aclarado, la onda armónica es sólo una idealización ya que

representa una onda plana que se extiende infinitamente en el espacio y que no tiene

inicio ni fin en el tiempo. Pero como ya veremos, resulta útil para representar ondas

reales como superposición de ondas armónicas.

Comentario: Luego comprobaremos que si el medio es lineal, es decir, si las

ecuaciones dinámicas, que rigen la evolución del sistema, son lineales, la velocidad

de propagación (o fase) no depende de la longitud de onda, todas las ondas

armónicas se propagan con la misma velocidad.

Si una onda se halla compuesta por la superposición de muchas ondas

armónicas, de diferente longitud de onda, propagándose en un medio lineal (no

dispersivo), su forma no cambia en el tiempo, debido a que todas las ondas avanzan

con la misma velocidad. Pero si se propaga en un medio no lineal (dispersivo), la

velocidad de propagación resulta distinta para cada onda, por lo cual, las

componentes de distinta longitud de onda se dispersan, cambiando la forma de la

onda total.

Ejercicio. Dada la ley de movimiento armónico expresada por la función,

( , ) senx t A x t 2 3

a) ¿En qué sentido se propaga la onda, hacia la izquierda o hacia la derecha?

b) Verifique que es posible reescribir a la función de onda armónica como,

( , ) senx t A x t 2 3

c) Halle el número de onda k y la frecuencia angular .

d) Halle la longitud de onda , el período T y la frecuencia f .

e) Halle la velocidad de propagación de la onda (velocidad de fase).

f) Exprese ( , )x t en función de y T .

g) Exprese ( , )x t en función de v y k .

h) Grafique con el Mathematica dándole animación.

Onda armónica compleja: En el capítulo 1 hemos estudiado las funciones armónicas

complejas, a partir de ellas, resulta inmediato proponer una onda armónica compleja

(onda plana compleja), de la forma,

x t A e A kx t kx t, cos sen

i i kx t+

4-17

Page 109: Oscilaciones

109

La onda se desplaza hacia la derecha con velocidad vk

, pero además el número

complejo gira, en el plano complejo, en sentido antihorario describiendo una hélice,

ver figura 4-5.

Note que transcurrido un período T completo, el número complejo ha girado

una vuelta (en el plano complejo), mientras que ha avanzado una longitud de onda

(verifique).

En Física Clásica, la utilización de ondas complejas sólo se justifica en que

resulta más simple trabajar con ellas, pero finalmente, sólo la parte real de la onda

posee sentido físico. En cambio, en Física Cuántica, la función de onda que describe

el estado de un sistema resulta intrínsecamente compleja (aunque resulte difícil

imaginarlo), o sea, ambas componentes, real e imaginaria, son necesarias para la

descripción del sistema.

4-5. (Repaso). Una onda armónica se propaga por una cuerda infinita. Su función de

onda es:

( , ) , senx t x t metros 0 1 10

a) Si x se mide en metros y el tiempo en segundos, agregue las unidades que faltan en

la función anterior.

b) Halle el número de onda k y la longitud de onda .

c) Halle la frecuencia angular , la frecuencia f y el período T .

d) Halle la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Resp. v mseg10

e) Grafique con el Mathematica dándole animación.

f) Escriba la función de onda como la parte real de una onda armónica compleja.

4-6. (Repaso). Las ondas electromagnéticas como la luz, infrarrojo, ultravioleta,

microondas etc., pueden descomponerse en ondas armónicas. Sabemos que la

velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío es c mseg 3 10

8 .

a) El intervalo de longitudes de onda de la luz para el cual el ojo es sensible abarca

desde 4 10 7. m a 7 10 7. m, aproximadamente. ¿Cuáles son las frecuencias

correspondientes a esas longitudes de onda?.

Figura 4-5: Gráfica de la evolución de la onda armónica compleja

A e i kx t

,

en el tiempo.

Eje Real Eje Imaginario

t0 tT

x

Page 110: Oscilaciones

110

Comentario: en la siguiente tabla se detallan los rangos de longitud de onda y

frecuencia para distintos colores (Arco Iris),

769659390455Violeta

659610455492Azul

610520492577Verde

520503577597Amarillo

503482597622Naranja

482384622780Rojo

Hz12

10 = THz en m-9

10=nm enColor f

b) Cerca de la luz en el espectro está la región del ultravioleta 8 1014

Hz a 3 1017

Hz ,

¿Cuál es el intervalo de longitudes de onda?

c) La región de infrarrojo se extiende aproximadamente de 3 1011

Hz hasta 4 1014

Hz ,

¿Cuál es el intervalo de longitudes de onda?

d) La región de microondas se extiende de alrededor de 30cm a 1mm. ¿Cuál es el

intervalo de frecuencias?.

4-7. Guía teórica. Ecuación lineal de ondas:

Aún no hemos demostrado que una onda plana sirva para describir la

evolución dinámica de algún sistema físico. Para demostrarlo, deberíamos plantear las

leyes de Newton, que rigen la evolución del sistema en cuestión, y ver si la onda plana

resulta ser solución de las ecuaciones diferenciales dinámicas. Este proceso debe

repetirse para cada sistema físico particular (cuerdas, aire, sólidos, etc.).

En esta guía no resolveremos ningún sistema físico, simplemente haremos un

tanteo matemático para conocer que pinta pueden llegar a tener las ecuaciones

diferenciales para que las ondas planas sean solución de ellas. Luego deberemos

comprobar si las leyes de Newton nos llevan a ese tipo de ecuaciones o no, para algún

sistema físico.

El tanteo, es una herramienta muy utilizada en física, pero no existen reglas

fijas para tantear, es un procedimiento puramente intuitivo y casi mágico. Tanteemos:

Sabemos que cualquier función de onda cuya dependencia funcional con el

tiempo y la posición es del tipo,

) (),( tvxftx (Onda plana) 4-18

donde )(xf es una función continua y dos veces derivable, puede representar la

evolución de una onda plana que se propaga en una única dirección sin

deformación.

Pensando en la segunda ley de Newton F mx , queremos construir (inventar)

una ecuación diferencial de segundo orden, de tal forma que la onda plana sea

solución de ella.

Notamos que la función de onda no depende arbitrariamente de la posición y

del tiempo, sino que su dependencia funcional es muy particular, la posición y el

tiempo aparecen siempre acoplados en la forma x vt . Esto nos lleva a intuir que las

derivadas parciales de la función de onda respecto de la posición están relacionadas

Page 111: Oscilaciones

111

con las derivadas parciales respecto del tiempo. En este sentido, demostraremos que la

función de onda satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales:

( , ) ( , )x t

x v

x t

t

1 4-19

Esto último puede demostrarse fácilmente apelando a la regla de la cadena. Si

definimos una nueva variable,

z x vt 4-20

entonces, aplicando la regla de la cadena,

x t

x

x t

z

z

x

x t

z

, , ,

4-21

ya que

z

x 1. E igualmente,

x t

t

x t

z

z

t

x t

zv t

, , ,

4-22

ya que

z

tv t . Luego, a partir de despejar

x t

z

,

de las ecuaciones 4-21 y 4-22 e

igualarlas, se demuestra que se satisface la ecuación 4-19.

Hemos demostrado que las ondas planas son una de las posibles soluciones de

la ecuación diferencial en derivadas parciales 4-19, pero no sabemos si existen más

soluciones.

La ecuación diferencial en derivadas parciales 4-19 es muy linda pero no nos

sirve, ya que no es de segundo orden como la segunda ley de Newton. Por ello

seguimos tanteando, pero intuimos que no nos va a costar mucho obtenerla si

repetimos el procedimiento anterior.

Queda como ejercicio para el lector demostrar que cualquier función de onda

cuya dependencia funcional con el tiempo y la posición sea del tipo,

) (),( tvxftx (onda plana)

donde )(xf es una función continua y dos veces derivable (representa la evolución

de una onda plana que se propaga en una única dirección y sin deformación),

satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales lineal y de segundo

orden:

2

2 2

2

2

1 ( , ) ( , )x t

x v

x t

t (Ecuación lineal de ondas) 4-23

Note que, a diferencia de la ecuación 4-19, la ecuación 4-23 es la misma para

ondas planas que se propagan hacia la derecha o hacia la izquierda.

Page 112: Oscilaciones

112

La demostración de que una onda plana satisface la ecuación 4-23 no difiere de

lo que hemos usado para demostrar la ecuación 4-19 (queda como ejercicio para el

lector).

La ecuación 4-23 es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, por lo

cual, podría llegar a ser la ecuación dinámica de algún sistema físico

(unidimensional), pero aún no tenemos ningún argumento para asegurarlo.

Ejercicio Importante: Demuestre que las ondas planas 1 x t A kx t, sen y

2 x t A e,

i kx t+ satisfacen la ecuación de ondas 4-23.

Comentario: Si la ecuación diferencial lineal de ondas 4-23, describiera los

fenómenos ondulatorios de un sistema físico real, todas las ondas se propagarían con

la misma velocidad v , independiente de su forma, su longitud de onda o frecuencia

(medio no-dispersivo).

Por ejemplo, si una onda se halla compuesta por la superposición de muchas

ondas armónicas, de diferente longitud de onda, su forma no cambia en el tiempo

debido a que todas las ondas avanzan con la misma velocidad.

Si se propaga en un medio no lineal (medio dispersivo), la velocidad de

propagación resulta distinta para cada onda, por lo cual, las componentes de distinta

longitud de onda se dispersan, cambiando la forma de la onda total.

Hasta ahora sólo hemos estudiado la representación matemática de ondas

ideales que se propagan sin deformación en el espacio-tiempo, y no hemos estudiado

aún si estas funciones matemáticas pueden servir para representar la evolución de un

sistema físico real. Es más, enfatizamos que hasta el momento, sólo hemos

demostrado que toda onda plana, la cual puede ser descripta matemáticamente en la

forma mostrada en la ecuación 4-19, satisface una ecuación lineal de ondas como la

ecuación 4-23. Además, aún no sabemos si la ecuación lineal de ondas 4-23 tiene otro

tipo de soluciones (tales como ondas esféricas y cilíndricas, que estudiaremos en el

capítulo 8).

Luego, en éste capítulo, estudiaremos sistemas físicos reales, como por

ejemplo una cuerda oscilante, para los cuales la ecuación 4-23 resulta naturalmente

como ecuación dinámica del sistema (luego de plantear las leyes de Newton y realizar

algunas aproximaciones), es decir, en esos sistemas la ecuación 4-23 representa una

forma complicada de escribir la segunda ley de Newton ( F ma ). Y por consiguiente,

en esos sistemas (bajo ciertas aproximaciones), las ondas planas que hemos estudiado,

sirven como representación matemática de la evolución dinámica del sistema físico

real.

En la generalidad de los sistemas físicos reales, luego de plantear las leyes de

Newton, se obtienen ecuaciones de ondas como la 4-23, sólo luego de haber

considerado alguna aproximación o modelo ideal, ya que, en general en los sistemas

físicos reales las ondas se deforman mientras evolucionan (sistemas dispersivos). Las

aproximaciones generalmente consisten en considerar ondas de pequeña amplitud de

tal forma que puedan despreciarse los términos no-lineales de las ecuaciones

dinámicas.

En el caso de las ondas electromagnéticas (por ejemplo, las ondas de luz), la

ecuación lineal de ondas 4-23 se deduce directamente, y sin ninguna aproximación, de

las leyes del electromagnetismo (leyes de Maxwell). Por sólo este hecho, la ecuación

lineal de ondas 4-23 resulta de fundamental importancia en la física.

Page 113: Oscilaciones

113

Linealidad de la ecuación de ondas: La ecuación de ondas 4-23 es lineal, y la

propiedad más importante de las ecuaciones lineales es que vale el principio de

superposición, es decir, si 1( , )x t y ),(2 tx son soluciones de la ecuación, la

combinación lineal:

),( ),( ),( 213 txbtxatx

es también solución, donde a y b son constantes.

Ejercicio: Queda como ejercicio para el lector demostrar que 3 ( , )x t satisface la

ecuación lineal de ondas. ¿Cuál es el significado físico de que 3 ( , )x t sea solución de

la ecuación?.

Comentario: Para entender lo que significa que la ecuación de ondas sea lineal,

podemos pensar en el ejemplo de dos ondas que se propagan en un medio (por

ejemplo el agua), una hacia la derecha y otra hacia la izquierda. En un momento las

ondas se superponen. Si el medio es lineal las ondas cuando se separan continúan

moviéndose imperturbadas, la superposición no produjo ningún cambio en ellas, es

como si no hubieran interactuado para nada entre sí. En cambio si el medio es no-

lineal (como en realidad sucede con el agua), entonces la superposición de las ondas

afecta a ambas, existe una interacción entre ellas que las modifica.

Otro ejemplo que luego analizaremos en detalle, es el de dos parlantes

emitiendo simultáneamente la misma onda. Si sólo el parlante número 1 se halla

encendido, la onda sonora se describe por una función de onda 1( , )x t (que

representa la variación de presión o densidad del aire).

Si se apaga el parlante 1 y se enciende el 2 obtenemos otra onda que

denominamos 2 ( , )x t .

Finalmente prendemos los dos parlantes a la vez, la pregunta del millón es

¿La onda resultante, de la superposición de las perturbaciones producidas por ambos

parlantes, puede modelarse por la suma de las ondas 1 y 2 ?, es decir, ¿la función

de onda 3 1 2( , ) ( , ) ( , )x t x t x t describe correctamente el problema físico?. La

respuesta es: no necesariamente.

Resulta difícil creerlo, sobre todo teniendo en cuenta nuestra educación

tradicional que nos estructura a actuar sistemáticamente, estamos acostumbrados a

pensar que “si se suman dos causas, entonces, se suman sus consecuencias”, lo

cual en la mayoría de los casos es incorrecto. Ésta frase es sólo cierta si el problema

que analizamos puede modelarse por una ley dinámica lineal, que en la mayoría de

los casos no sirve para representar la realidad.

Ondas en el espacio: La ecuación 4-23 describe la evolución en el tiempo de una onda,

no dispersiva, que se propaga en una dimensión (eje x). En el caso de ondas que se

propagan en el espacio (ondas tridimensionales), la ecuación de ondas debe

modificarse.

Las ondas planas son la única solución de la ecuación de ondas unidimensional

4-23, pero cuando aumentamos la dimensión del espacio aparecen nuevas soluciones

que representan otro tipo de ondas no-dispersivas.

Page 114: Oscilaciones

114

Por ejemplo, si tenemos un recipiente con agua y, en algún punto de la

superficie, agitamos suavemente, hacia arriba y hacia abajo, vemos como se producen

ondas bidimensionales, que se propagan por la superficie del fluido, formando

círculos concéntricos. Al golpear con un palillo el parche de un tambor, o una

superficie delgada metálica, generamos ondas bidimensionales, la propagación de

estas ondas superficiales, a su vez, genera vibraciones en el aire circundante, que

luego se traducen en ondas acústicas tridimensionales, las cuales seguramente no se

propagan como ondas planas en las inmediaciones de la superficie.

Si consideremos una fuente puntual de luz, como una lámpara muy pequeña,

la radiación que emana de ella lo hace en forma de ondas tridimensionales que se

propagan isotrópicamente por todo el espacio denominadas ondas esféricas.

Por el momento, sólo estudiaremos fenómenos ondulatorios unidimensionales,

y postergamos el estudio de ondas en el espacio al Capítulo 8.

4-8. Guía Teórica. Pequeñas oscilaciones transversales en una

cuerda:

En está guía estudiaremos la propagación de ondas transversales en una

cuerda. Plantearemos las leyes de Newton que rigen la evolución dinámica del

sistema, y luego de hacer una aproximación, comprobaremos que la ecuación

dinámica resulta equivalente a la ecuación de ondas lineal (ec. 4-23, guía teórica 4-7

), y por consiguiente podremos describir a la onda mediante una función de ondas

no-dispersiva (bajo ciertas aproximaciones), como las estudiadas anteriormente.

Analizaremos la aproximación de pequeñas oscilaciones alrededor del

equilibrio, con lo cual resulta posible despreciar los términos no-lineales de las

ecuaciones dinámicas, y de esta forma, obtener una ecuación de ondas lineal. Fuera

de esta aproximación, la ecuación dinámica resulta no-lineal y por consiguiente las

ondas se deforman en su propagación.

Denominamos ),( tx a la función que describe el desplazamiento del

segmento de la cuerda ubicado en la posición x, en el instante t, ver figura 4-6,

Suponemos que la cuerda posee una masa por unidad de longitud y

consideramos que en el equilibrio, la cuerda posee una tensión F0 (cuando no se halla

perturbada).

Con el fin de estudiar la evolución dinámica de la cuerda, debemos analizar las

fuerzas actuantes en cada segmento de ella (tensiones elásticas). En la figura 4-7 se ha

aislado un segmento de cuerda, de longitud x .

x x

y=(x,t)

Figura 4-6: “Foto” de la cuerda a tiempo fijo

Page 115: Oscilaciones

115

Don de F1 y F2 son las tensiones a la que se halla sometida la cuerda en los puntos 1 y

2, cuando se la aparta de su equilibrio.

Como dijimos, estudiaremos sólo pequeñas oscilaciones, es decir,

consideramos que la cuerda se aparta muy levemente de su posición de equilibrio, por

consiguiente, suponemos que los ángulos 1 y 2 son muy pequeños. A partir del

gráfico, planteamos la fuerza neta sobre el segmento de cuerda,

F F Fy 2 2 1 1sen sen y F F Fx 2 2 1 1cos cos 4-24

Para pequeñas oscilaciones ( muy pequeño), podemos aproximar que,

cos sen tg 1 y (aproximación lineal) 4-25

y tomar la aproximación de que la tensión de la cuerda no se ha modificado por la

aparición de la perturbación, es decir,

F F F1 2 0 (aproximación lineal) 4-26

Bajo ésta aproximación, podemos reescribir la fuerza neta, sobre el segmento de

cuerda, en la siguiente forma,

F Fy 0 2 1tg tg y Fx 0 4-27

Observe que la función tangente puede relacionarse con la función ),( tx , a través

de,

tg,

( )

( )

y x

x

x t

x

4-28

con lo cual, podemos reescribir a la resultante de las fuerzas en la dirección

transversal (ec. 4-27) como,

F Fx x

y

0

2 1

4-29

Si estudiamos el límite cuando x tiende a cero, entonces,

F1

F2

x

y

1

2

Figura 4-7: Fuerzas actuantes sobre un segmento de cuerda.

Page 116: Oscilaciones

116

x

x 2

x x

xx x

xx

2 1

2 1

0

2

4-30

Con lo cual la fuerza total en la dirección transversal resulta,

F x Fx

y

2

0 2

4-31

Ahora podemos plantear la ecuación de Newton para ese tramo de cuerda. La masa

del elemento de cuerda es,

m x 4-32

ya que es la masa por unidad de longitud. Por consiguiente la ecuación de Newton

( maF ) resulta,

F x Fx

mt

xt

y

2 2 2

0 2 2 2

4-33

o equivalentemente:

2 2

x t

x F

x t

t

, ,2

0

2 4-34

La ecuación 4-34 rige la evolución dinámica de la cuerda, para oscilaciones

transversales de pequeña amplitud (no longitudinales), ha sido obtenida a partir de

plantear las leyes de Newton, y vemos que resulta completamente equivalente a la

ecuación lineal de ondas, que hemos estudiado anteriormente basándonos solamente

en ideas matemáticas.

Ésta equivalencia entre las ecuaciones diferenciales, sólo se cumple en la

aproximación de pequeñas oscilaciones transversales de la cuerda (aproximación

lineal).

Comparando la ecuación de ondas 4-34 con la ecuación lineal de ondas,

obtenida en la guía teórica 4-7 (ec. 4-23),

2 2

x t

x v

x t

t

, ,2 2 2

1 4-35

podemos obtener la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda,

es decir,

vF

0

4-36

Page 117: Oscilaciones

117

De la ecuación 4-36, concluimos que la velocidad de propagación aumenta

cuando aumenta la tensión de la cuerda, o cuando más liviana es ésta.

Comentario: Note que, en la aproximación de pequeñas oscilaciones (ondas no

dispersivas), la velocidad no depende de la forma de la onda ni de la frecuencia de

oscilación ni de la longitud de onda, característica de los medios lineales (no-

dispersivos). En el caso general, la velocidad de propagación depende de la frecuencia de

la onda, por lo cual, las ondas se dispersan.

Una vez estudiada la dinámica del sistema, conociendo las condiciones

iniciales de la perturbación ondulatoria, resulta posible obtener la función de onda

x t, , lo cual haremos luego en el caso simple en que la oscilación es armónica.

Energía e impulso de la onda: Conocida la función de onda, resulta posible obtener

otras magnitudes físicas que permiten mejorar nuestra comprensión del fenómeno

físico, tales como la cantidad de movimiento y la energía transportada por la onda.

Para estudiar la energía transportada por la onda, primero debemos estudiar la

energía potencial elástica correspondiente al segmento de cuerda, de longitud x ,

afirmamos, sin demostrarlo (ver discusión a partir de la ec. 4-38 ), que puede

expresarse como,

2

0 x

,

2

1

txxFE p , 4-37

Note que la hemos notado como pE y no pE , lo hemos hecho así para enfatizar el

hecho de que se trata de la energía potencial elástica de sólo un segmento de cuerda

x .

A pesar de ser una energía potencial de origen elástico, semejante a la de un

resorte, la expresión 4-37 es complicada debido a que la cuerda se halla en una

dirección oblicua respecto de los ejes x e y, y además porque no podemos hacer una

semejanza directa con un resorte sin masa, como los que hemos estudiado en capítulos

anteriores, ya que la cuerda tiene masa.

Saltear en una primera lectura

Si reordenamos un poco la expresión 4-37, vemos que posee la forma de una energía

potencial elástica, 2

20

2

0

),(

2

1

),(

2

1

x

txx

x

F

x

txxFE p 4-38

donde observamos que,

x

x t

xx y

2

2

2 2 2

,tg

(relación entre catetos opuestos) 4-39

por lo cual, reescribiendo 4-38,

Page 118: Oscilaciones

118

220 2

1

2

1yky

x

FE p

4-40

donde x

Fk

0

cumple el papel de constante elástica (para oscilaciones transversales), vemos que la

expresión 4-40 nos resulta mucho más familiar.

La expresión 4-37 puede hallarse analíticamente sabiendo que el potencial debe satisfacer,

fijo=t

y

EF

p

y

4-41

donde yF es la fuerza resultante que el segmento de cuerda le hace al exterior. Note que en la

ecuación 4-31 hemos calculado la fuerza que el exterior le hace al segmento, ambas fuerzas son

iguales en modulo y dirección pero de sentido opuesto.

Si usamos la regla de la cadena, verificamos a partir de 4-41 la expresión de la energía

potencial 4-37,

2

fijo=tx

x

txtxxF

x

txx

E

y

x

y

EF

pp

y

,,

,

1 2

0 4-42

entonces,

2

2

0 x

,

txxFFy 4-43

Note la diferencia de signo entre la ecuación 4-43 y la 4-31, como dijimos, mientras que la 4-31 se

refiere a las fuerzas externas al segmento, la 4-43 se refiere a la fuerza que el segmento le hace al

exterior.

Retomar

La energía cinética, de un segmento x de cuerda, la calculamos a partir de la

función de onda como,

2

t

),(

2

1

txxEc 4-44

donde

),( y

t

txv

es la velocidad transversal del segmento de cuerda.

Conociendo la energía potencial elástica y la energía cinética, podemos

calcular la energía mecánica de un segmento de cuerda x , sumando la energía

potencial pE con la energía cinética cE ,

Page 119: Oscilaciones

119

2

0

2

x

),(

2

1

t

),(

2

1

txxF

txxEEE pc , 4-45

En la guía teórica 4-7 (ec. 4-19), hemos demostrado que las ondas planas de

propagación ( ) (),( tvxftx ), satisfacen la relación,

( , ) ( , )x t

x v

x t

t

1 4-46

A partir de la expresión de la energía 4-45 y la igualdad 4-46, puede hallarse una

expresión más compacta para la energía mecánica total de un segmento x , la cual es

sólo válida para ondas de propagación no dispersivas (verifique),

2

t

),(

txxE (sólo válida para ondas de propagación no-dispersivas) 4-47

En la ecuación 4-47, hemos hallado la energía de un segmento x de cuerda, a

partir de ella, podemos definir una densidad lineal de energía (energía por unidad

de longitud), en la forma,

2

t

x

E 4-48

Para el caso de una onda de propagación armónica, es decir,

( , ) senx t A kx t ,

la densidad de energía resulta (verificar):

)(cos )( 222 tkxAt (para ondas de propagación armónicas) 4-49

Comentario: Note que la densidad de energía de la onda es proporcional al

cuadrado de la frecuencia y de la amplitud. Éste resultado resulta razonable, ya que

a mayor frecuencia, mayor resulta la velocidad con que se mueven los segmentos de

la cuerda, y además, la longitud de onda resulta menor lo que indica que la cuerda

está muy flexionada y, por consiguiente, resulta alta la energía elástica almacenada.

Como ya hemos anticipado, se obtienen resultados semejantes en muchos

sistemas físicos, distintos de la cuerda.

Note que la densidad de energía no se mantiene constante en el tiempo (varía

como el )(cos 2 t ). En muchos casos de interés, resulta más importante conocer el

valor medio de la densidad de energía, sobre un período T, más que su valor instante a

instante (ver definición de Intensidad de una onda en el Capítulo 8). En el caso de una

onda armónica, el valor medio de resulta (verifique),

Page 120: Oscilaciones

120

22

0

2

1 )(

1)( Adtt

Tt

T

4-50

El impulso lineal correspondiente al segmento de cuerda, de longitud x ,

podemos calcularlo como el producto de la masa del segmento de cuerda por la

velocidad transversal de la cuerda, es decir:

t

),(

txxp (impulso lineal transversal) 4-51

Comentario: Para estudiar la propagación de ondas en diferentes sistemas físicos,

primeramente debe realizarse un estudio dinámico, como el que hemos realizado

para el caso particular de la cuerda, con el fin de encontrar la ecuación dinámica

que rige la evolución del sistema. En muchos sistemas físicos, en la aproximación de

pequeñas oscilaciones, la ecuación dinámica resulta ser equivalente a la ecuación

lineal de ondas 4-35.

Seguidamente mostramos algunos resultados obtenidos para la velocidad de

propagación de ondas, en la aproximación de pequeñas oscilaciones, para diferentes

sistemas físicos:

Ondas transversales en una cuerda vF

T 0

, donde F0 es la tensión de la cuerda

y es la masa por unidad de longitud de la cuerda.

Ondas longitudinales en una barra maciza

Y

vL

, donde es la densidad de

masa del sólido e Y es una constante denominada módulo de Young.

El módulo de Young es una constante que depende de cada material y es el

resultado del cociente entre la tensión de tracción que sufre el material (o esfuerzo

normal) y la deformación longitudinal. Para pequeñas deformaciones la

deformación resulta proporcional a la tensión y la constante de proporcionalidad

es Y (ley de Hook).

Ondas transversales en una barra maciza

G

vT

, donde es la densidad de

masa del sólido y G es una constante denominada módulo de torsión.

El módulo de torsión es una constante que depende de cada material y es el

resultado del cociente entre la tensión de torsión o cizalladura que sufre el

material y la deformación transversal. Para pequeñas deformaciones la

deformación resulta proporcional a la tensión y la constante de proporcionalidad

es G (ley de Hook).

Ondas transversales en un resorte masivo

)0llkvT

( , donde k es la

constante elástica del resorte, l y 0l son las longitudes deformada y no deformada

del resorte y es la masa por unidad de longitud.

Page 121: Oscilaciones

121

Ondas longitudinales en un resorte

0lkvL

, donde k es la constante elástica

del resorte y es la masa por unidad de longitud del resorte.

Ondas sonoras (longitudinales) en un gas (aire). Para estudiar este sistema

debemos basarnos en estudios termodinámicos. Se obtiene que la velocidad del

sonido, en un gas, es M

RTvs

, donde T es la temperatura absoluta, en grados

Kelvin, M es la masa molar del gas, es decir la masa de un mol de gas (para el

aire molkgM /10 29 3 ), KmolJouleR o ./314,8 es la constante universal de

los gases, y es una constante que depende de cada gas, para el aire vale 4,1 .

De la expresión anterior vemos que la velocidad del sonido depende de la

temperatura del medio, para el aire, a CKT oo 20 293 , la velocidad del

sonido es segm

sv 343 .

Ondas electromagnéticas, la velocidad de la luz en el vacío es

segkmc 300000

1

00

, donde 0 y 0 son los coeficientes de permeabilidad

eléctrica y magnética respectivamente.

Etc.

4-9. Una cuerda de piano de acero tiene 0 7, m de longitud y una masa m g5 . Se tensa

mediante una fuerza de 500N . ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas

transversales en el hilo?.

4-10. Guía Teórica. Potencia, Energía e impulso transmitido por las

ondas, en una cuerda:

En esta guía vamos a estudiar la energía e impulso transportados por una

onda, para el ejemplo particular de ondas transversales propagándose en una cuerda,

pero algunas de las conclusiones que obtendremos resultan válidas en otros sistemas

físicos, como por ejemplo, la dependencia de la energía con el cuadrado de la

frecuencia de oscilación, en el caso de las ondas armónicas.

Supongamos que tenemos una cuerda estirada desde x 0 hasta infinito

(infinito significa suficientemente larga), de masa por unidad de longitud y tensión

en equilibrio igual a F0 .

En x 0 la cuerda se encuentra unida a un dispositivo que le entrega energía e

impulso obligando a que el desplazamiento transversal de la cuerda, en x 0 en un

primer momento, sea el que se muestra en la figura 4-8.

x

F

Figura 4-8: Segmento de cuerda impulsado desde la izquierda.

Page 122: Oscilaciones

122

Energía entregada a la cuerda: Como vemos en la figura 4-8, en un primer instante

t sólo un segmento x de la cuerda participa del movimiento. En la guía teórica 4-8

(ec. 4-47) hemos encontrado que la energía del segmento de cuerda es:

2

t

xE (para ondas de propagación no dispersiva) 4-52

La relación entre x y t resulta fácil de obtener si conocemos la velocidad con que

se propaga la onda, en un tiempo t la onda se ha propagado una distancia x v t ,

por consiguiente, podemos aproximar la energía entregada en un tiempo t a la

cuerda como:

2

t

tvE 4-53

Cada t el transmisor entrega a la cuerda esta cantidad de energía.

Potencia entregada a la cuerda: Con esta última expresión podemos calcular la

potencia entregada por el transmisor, como,

2

0 t

)(

vt

E

t

EtP lim

t

4-54

Potencia entregada en el caso de una onda armónica: Para el caso de una onda de

propagación armónica, es decir,

( , ) senx t A kx t ,

la potencia entregada por el transmisor (en x 0) resulta (verificar):

P t A v t( ) cos ( ) 2 2 2 (para ondas de propagación armónicas) 4-55

Valor medio de la potencia entregada: Para el caso armónico, podemos hallar la

potencia media entregada por el transmisor promediando sobre un período T, es decir

P tT

P t dtT

( ) ( ) 1

0

, obteniendo (verifique)

P t A v( ) 1

22 2 4-56

Comentario: La potencia P t( ) emitida en x 0 por el transmisor, en forma de

ondas de propagación, es igual a la cantidad de energía por unidad de tiempo que

Page 123: Oscilaciones

123

viaja en la dirección x en cualquier punto x que se considere. Uno puede

convencerse que esto es así, pensando que cada punto x considerado tiene un

dispositivo transmisor que corresponde a la sección de la cuerda que está a su

izquierda y por ende los cálculos que hemos hecho se repiten idénticamente.

Energía total de la onda: La energía total de la onda de propagación después de un

tiempo t de iniciada la propagación, que por supuesto concuerda con la energía

entregada por el transmisor durante ese tiempo, podemos calcularla integrando la

potencia entregada durante el tiempo t de emisión del transmisor, es decir

E P t dtt

( ) 0

, obteniéndose:

E A v t t

1

22 2

t +

1 sen( ) cos( ) 4-57

(para verificarlo use la igualdad cos sen cos21

2

1

2 x dx x x x ).

Impulso lineal (transversal): Ahora queremos hallar el impulso lineal transversal

entregado a la cuerda por el transmisor. En el guía teórica 4-8 (ec. 4-51) ya hemos

probado que el impulso lineal de un segmento de cuerda es:

t

xp 4-58

usando que x v t , entonces el impulso entregado a la cuerda durante un intervalo

t lo podremos aproximar por:

t

tvp 4-59

Fuerza que realiza el transmisor sobre la cuerda (en la dirección transversal): De la

expresión anterior podemos hallar la fuerza transversal ejercida por el transmisor,

como:

t

)(

0t

vt

plim

td

pdtFy 4-60

Suponiendo que la velocidad de propagación es constante, y la onda plana se propaga

hacia la derecha, entonces ( , ) ( )x t x v t , y ya demostramos en la guía teórica

4-7 que cumple,

tv

x y v

F

0

,

verifique entonces que:

Page 124: Oscilaciones

124

x

x

)( 0

2

FvtFy 4-61

donde )(tFy es la fuerza que el transmisor le hace a la cuerda en x 0. Sin embargo,

esta expresión resulta válida para cualquier punto x de la cuerda, y corresponde a la

fuerza que le hace el resto de la cuerda al extremo izquierdo del segmento

considerado. Podemos pensar que dado un segmento de cuerda ubicado en la posición

general x , sobre él se ejerce una fuerza )(tFy debida a un dispositivo transmisor que

corresponde a la sección de la cuerda que está a su izquierda.

Note que en esta última expresión vemos que la pendiente de cada segmento

de cuerda está relacionada con la fuerza transversal que ejerce el transmisor sobre el

extremo izquierdo del segmento de cuerda considerado.

La expresión 4-61 puede obtenerse también analizando la figura 4-8. Si

consideramos pequeñas oscilaciones ( pequeño) la fuerza, en la dirección y , que el

dispositivo le hace a la cuerda en el punto de contacto, resulta ser:

F F F Fy sen tg

0 0

x

. 4-62

que concuerda con la expresión hallada en el ítem anterior.

Verifique que es posible reobtener la potencia entregada por el transmisor

usando que P t F vy y( ) . .

Comentario: Note que la expresión 4-60, nos dice que la fuerza transversal es

proporcional a la velocidad transversal del segmento de cuerda

t

, este hecho en

un principio parece resultar contradictorio con la segunda ley de Newton, pero esto

no es así. Lo que sucede es que en una cuerda la masa que participa en el movimiento

va aumentando con el tiempo (masa variable), esto puede verse en la expresión 4-59,

donde vemos que el impulso de la onda aumenta linealmente con el aumento del

tiempo, ya que aumenta linealmente la masa participante en el movimiento.

4-11. (Recomendado). Con la ayuda de un diapasón, uno de los extremos de una

cuerda de 6 metros de largo se mueve hacia arriba y abajo con un movimiento

armónico simple de frecuencia 60Hz . Las ondas alcanzan el otro extremo de la cuerda

en 0 5, segundos.

a) Halle la velocidad de propagación de la onda. Resp. v m seg12 / .

b) Hallar la longitud de onda de las ondas que se propagan en la cuerda. Resp.

0 2, m.

c) Si la amplitud de oscilación es de 0 02, m, halle la función de onda ( , )x t

correspondiente (tome 0). Resp. ( , ) , senx t x t metros 0 02 10 120 .

d) Importante. Analice a la expresión anterior y verifique que aunque todas las

partículas de la cuerda oscilan con la misma frecuencia, no lo hacen con la misma

fase (no es un modo normal). Justifique.

Page 125: Oscilaciones

125

e) Importante. ¿Cuál es la diferencia de fase entre la oscilación de la cuerda en x 0

y x m 0 2, ?.

f) Hallar la velocidad y la aceleración de una partícula de la cuerda que se encuentra

en la posición x m 0 1, en el instante t seg1 .

g) Si la cuerda tiene una masa m g1 halle la tensión F0 . Resp. F N0 0 024 , .

h) Halle la energía mecánica que posee la cuerda en un segmento muy pequeño x

cualquiera de la cuerda (depende de la posición y del tiempo).

i) Halle la cantidad de movimiento transversal que posee la cuerda en un segmento

muy pequeño x cualquiera de la cuerda (depende de la posición y del tiempo).

j) Halle el valor medio de la densidad de energía de la onda.

k) Halle la fuerza transversal que hace el diapasón al principio de la cuerda (depende

del tiempo).

l) Halle la potencia entregada por el diapasón.

m) Escriba la función de onda como la parte real de una onda armónica compleja.

4-12. (Recomendado). La velocidad de propagación de las ondas transversales en una

cuerda tensa es v m seg 10 / .. Suponiendo que el desplazamiento transversal en x 0

(principio de la cuerda) puede describirse por:

( , )

,x t

t t metros para t seg

para los restantes t

00 1 0 1

0

2 3

a) Halle la función de onda para todo x y todo t . Ayuda: tenga cuidado con los

intervalos.

b) Representar gráficamente el desplazamiento transversal en función del tiempo en

x 0.

c) Representar gráficamente el desplazamiento transversal en función de x en

t seg 1 .

d) ¿Cuál es la expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo en

x m10 ?.

e) ¿Cuál es la velocidad transversal de la cuerda en x m10 y t seg 15, ?.

f) ¿Cuál es la pendiente de la cuerda en x m10 y t seg 15, ?.

g) Si la masa por unidad de longitud de la cuerda es 2g cm/ , ¿cuál es la fuerza

transversal al principio de la cuerda?

h) ¿Cuál es la cantidad de movimiento transversal total del pulso ondulatorio cuando

recorre la cuerda?

i) ¿Cuál es la energía total transportada por el pulso ondulatorio?.

4-13. (Recomendado). Supongamos que una fuente de potencia (diapasón) emite una

onda armónica transversal de frecuencia f Hz 200 y amplitud 1mm, por uno de los

extremos de una cuerda de 10 metros de largo, 0 06, kg de masa y 60N de tensión de

equilibrio.

Suponiendo que la onda se extrae del otro extremo sin ninguna reflexión,

a) Halle la velocidad de propagación de la onda. Resp. v m seg100 /

b) Halle el tiempo durante el cual la fuente de potencia estuvo emitiendo, hasta que la

onda llegó al otro extremo. Resp. t seg 0 1, .

Page 126: Oscilaciones

126

c) Halle la potencia media entregada por la fuente. Ayuda: P t A v( ) 1

2

2 2

d) Halle el valor medio de la densidad de energía de la onda.

e) Halle la energía total entregada por la fuente hasta el momento en que la onda llega

al otro extremo.

f) Halle el impulso lineal transversal total entregado a la cuerda hasta el momento en

que la onda llega al otro extremo.

4-14. (Recomendado). En el año 1997, debido a problemas técnicos detectados en el

puente de Salto Grande, los ingenieros midieron la tensión a que estaban sometidos

los tensores que sostienen al puente. Proponga un método simple para medir la

tensión.

4-15. Guía Teórica: Reflexión y Transmisión:

La reflexión de las ondas nos resulta conocida, desde un punto de vista

cualitativo, por hechos tales como el eco de una onda sonora, o la reflexión en un

muelle de una onda que se propaga por la superficie del agua, o por el reflejo de una

onda luminosa.

La reflexión de una onda en una cuerda nos resulta menos familiar, pero es un

ejemplo particularmente simple de estudiar, y además sabemos que se trata de un

medio que, para pequeñas oscilaciones, resulta no dispersivo, es decir, las ondas

conservan su forma. Por esta razón, comenzaremos estudiando el tema aplicado a la

propagación de ondas transversales en una cuerda, como prototipo del fenómeno, y en

otro capítulo lo haremos en el caso de las ondas luminosas.

Si se fija a una pared un extremo de una cuerda tensa (larga), y se le da al otro

extremo un impulso transversal, el pulso ondulatorio se propaga hasta llegar a la pared

y, puede verse que (haga la experiencia), se refleja sin variación apreciable de su

forma y amplitud. No obstante, los sentidos del desplazamiento y de la velocidad de

las partículas se han invertido, ver figura 4-9.

Note que, mientras en la onda incidente, al pasar el pulso las partículas de la

cuerda se levantan para luego volver a su posición de equilibrio, en la onda reflejada,

las partículas bajan y luego vuelven a su posición de equilibrio.

v

Incidente

-v

Reflejado

Figura 4-9: Onda incidente y reflejada sobre una pared. Al reflejarse la onda, las

partículas bajan en lugar de subir (para luego subir en lugar de bajar).

Page 127: Oscilaciones

127

Este fenómeno, se explica simplemente a partir de considerar la conservación

de la energía y la cantidad de movimiento y, como veremos, no resulta distinto de lo

que sucede cuando una pelota choca contra una pared.

Aunque no parezca tan intuitivo, también se produce reflexión en la unión de

dos cuerdas que poseen masas por unidad de longitud diferentes 1 y 2 (medios

distintos), ver figura 4-10.

El caso de la pared corresponde a un caso límite, en donde la masa por unidad

de longitud del segundo medio resulta infinita 2 . Si 2 deja de ser infinita, pero

se mantiene grande respecto de 1 ( 1 2 ), veremos que, la intensidad del pulso

reflejado disminuye, y también observaremos la aparición de una onda de pequeña

amplitud que se transmite por el medio 2. Comprobaremos que la onda transmitida no

se invierte respecto de la onda incidente, como sucede con la onda reflejada, es decir,

los sentidos de desplazamiento de las partículas resultan los mismos que en la onda

inicial.

Comprobaremos también que, a medida que disminuimos 2 , el pulso

reflejado disminuye su amplitud, mientras que aumenta la amplitud del pulso

transmitido.

Cuando las masas por unidad de longitud se igualan 1 2 (no existe

interfase, los dos medios son idénticos), entonces desaparece la onda reflejada (se

anula su amplitud) y toda la onda se transmite.

Mostraremos después que, si disminuye aún más la masa de la segunda cuerda

( 1 2 ), se obtiene de nuevo una onda reflejada, pero a diferencia de los casos

anteriores, el pulso reflejado no se invierte, es decir, los sentidos de desplazamiento

de las partículas resultan los mismos que en la onda inicial. La onda transmitida

permanece, en todos los casos, sin inversión respecto de la onda incidente.

Para entender mejor el problema vamos a estudiar la reflexión y transmisión

de un pulso ondulatorio cuando alcanza la unión de dos cuerdas de masas por unidad

de longitud diferentes 1 y 2 respectivamente, ver figura 4-12.

La tensión es F0, igual para ambas partes de la cuerda, por ende las

velocidades de propagación de las ondas son distinta en cada tramo de cuerda,

v F1 0 1 / y v F2 0 2 / 4-63

De estas expresiones vemos que las ondas se propagan más rápido en el medio menos

denso.

Para simplificar el problema, consideremos que el pulso inicial tiene la forma

indicada en la figura 4-11.

x=0 1 2

Figura 4-10: Cuerda con densidad de masas distintas a izquierda y a derecha de x=0

Page 128: Oscilaciones

128

En el pulso inicial (figura 4-11), hemos supuesto que todas las partículas poseen una misma

velocidad transversal (por esta razón la forma del pulso es lineal),

utI

. 4-64

El pulso se propaga con una velocidad v1 por la cuerda, de masa por unidad de

longitud 1. Al llegar a la unión de las cuerdas (interfase), el pulso incidente se divide

en un pulso reflejado y otro transmitido con velocidades transversales de las partículas

uR y uT respectivamente, ver figura 4-12.

Note que el largo del pulso se modifica en el medio 2, debido a que la

velocidad es distinta (ver figura 4-12). Si suponemos que el pulso incidente posee una

duración temporal t , al atravesar la interfase, el pulso transmitido recorre una

distancia x t v2 2 . , mientras tanto el reflejado retrocede una distancia x t v1 1 . .

En la figura 4-12 hemos supuesto que el medio 2 es más denso, por lo cual la

velocidad de propagación es menor y, por consiguiente, el pulso resulta más corto.

El objetivo es determinar los valores de uR y uT en función de la velocidad uI

de las partículas del pulso incidente, de tal forma de comprobar la validez del

razonamiento cualitativo realizado anteriormente. Para ello plantearemos la

conservación de la energía y del impulso en la unión de las cuerdas (interfase).

Suponemos que el pulso es de pequeña amplitud, por lo cual podemos

considerar que el medio es lineal (no dispersivo), y vale el principio de superposición.

La masa involucrada en el pulso incidente y el reflejado es,

x1=v1 . t

uI v1

uI . t

x=0

Figura 4-11: Pulso de onda propagándose hacia la derecha. En este pulso, las partículas que

forman la cuerda, se desplazan hacia arriba.

uT

-v1 v2

x=0 uR

x1 t v1

x2 t v2

Figura 4-12: Onda reflejada y transmitida. En el caso en que el tramo de cuerda de

la derecha es más denso que el izquierdo, la onda reflejada obliga a las

partículas a moverse en el sentido contrario (hacia abajo) del que tenían

con la onda incidente, mientras que la onda transmitida las obliga a

moverse en el mismo sentido (hacia arriba).

Page 129: Oscilaciones

129

m x t v1 1 1 1 1 4-65

mientras la masa involucrada en el pulso transmitido es,

m x t v2 2 2 2 2 4-66

Usando las expresiones 4-53 y 4-59 de la guía teórica 4-10, podemos calcular el

impulso y la energía mecánica total de cada pulso como (verifique),

Impulso del pulso Incidente p v u t I I 1 1 4-67

Impulso del pulso Reflejado p v u t R R 1 1 4-68

Impulso del pulso Transmitido p v u t T T 2 2 4-69

Energía del pulso Incidente E v u t I I2 1 1 4-70

Energía del pulso Reflejado E v u t R R2 1 1 4-71

Energía del pulso Transmitido E v u t T T2 2 2 4-72

Entonces planteando conservación del impulso, y simplificando t , obtenemos,

1 1 1 1 2 2v u v u v uI R T 4-73

y conservación de la Energía Mecánica:

1 1 1 1 2 2v u v u v u

I2

R2

T2

4-74

Las ecuaciones 4-73 y 4-74 expresan que, parte de la energía e impulso del pulso inicial

se refleja, mientras que otra parte se transmite.

Estas dos ecuaciones son suficientes para la determinación de las velocidades

incógnitas uR y uT , hacer la cuenta y verificar que:

u

v

v

v

v

uR I

1

1

2 2

1 1

2 2

1 1

4-75

y,

uv

v

uT I

2

12 2

1 1

4-76

Page 130: Oscilaciones

130

A partir de las expresiones halladas comprobaremos que el problema de la

reflexión de ondas es semejante al choque elástico entre bolas (en una dimensión).

Analicemos distintos casos, supongamos, para simplificar el análisis, que

uI 0. Observando las ecuaciones 4-75 y 4-76 podemos concluir:

Si las cuerdas 1 y 2 fueran idénticas ( 1 2 ) entonces se cumple que,

uR 0 y u uT I

(verificar), es decir, todo el pulso se transmite y nada se refleja, como sucede en el

choque elástico de una bola con velocidad uI y otra bola idéntica pero en reposo.

Si la cuerda 1 fuera menos densa que la 2 ( 1 2 ), entonces se cumple que,

u uI R 0 y 0 u uT I

(verificar), es decir, que la onda reflejada cambia, no sólo el sentido de

propagación, sino que además cambia abruptamente el sentido de la velocidad

transversal de las partículas, ya que uR cambia de signo respecto de la velocidad

transversal del pulso incidente uI 0 , ver figura 4-13.

Parecido a lo que sucede si una bolita con velocidad uI choca contra un bolón

en reposo, la chiquita cambia su sentido y le entrega algo de su impulso y energía

al bolón.

En el caso límite en que la cuerda 2 tuviera masa infinita entonces,

u uR I y uT 0

(verifique), la onda rebota completamente nada se transmite.

Si la cuerda 1 fuera más densa que la 2 ( 1 2 ) entonces,

0 u uR I y u uT I

(verificar). En este caso la onda reflejada no cambia el sentido del movimiento

transversal de las partículas ya que uR tiene el mismo signo que la velocidad

transversal del pulso incidente uI 0 , ver figura 4-14.

-v1

uT

v2

x=0 uR

Figura 4-13: Onda reflejada y transmitida. En el caso en que el tramo de cuerda de

la derecha es más denso que el izquierdo, la onda reflejada obliga a

las partículas a moverse en sentido contrario al que tenían con la onda

incidente (hacia abajo), mientras que la onda transmitida las obliga a

mover en el mismo sentido (hacia arriba).

Page 131: Oscilaciones

131

Comentario: Note que en los tres casos considerados siempre la onda transmitida

mantiene el mismo sentido para el movimiento transversal de las partículas que la

onda incidente, es decir, el signo de uT y uI concuerdan.

4-16. Impedancia. Usualmente se definen coeficientes de reflexión y transmisión de

las velocidades como u

u

R

I

y u

u

T

I

, de 4-75 y 4-76 se desprende que estas cantidades

dependen únicamente de los productos z v1 1 1 y z v2 2 2 . A estos productos se les

llaman comúnmente impedancias del medio 1 (z1) y del medio 2 (z2). Los coeficientes

de reflexión y transmisión, de las velocidades se expresan en función del cociente de

las impedancias, como,

u

u

z

z

z

z

R

I

1

1

2

1

2

1

y u

u z

z

T

I

2

12

1

Grafique los coeficientes de reflexión y transmisión en función del cociente de las

impedancias zz

z

2

1

. A partir del gráfico discuta sobre el significado físico de la

impedancia.

4-17. Coeficientes de reflexión y transmisión de la energía. También se pueden

definir coeficientes de reflexión y transmisión para la energía como E

E

R

I

y E

E

T

I

respectivamente. Calcúlelos y grafique en función del cociente de las impedancias,

discuta.

4-18. Guía Teórica. Solución general usando condiciones de contorno. (Recomendado)

-v1

uT

v2

x=0

uR

Figura 4-14: Onda reflejada y transmitida. En el caso en que el tramo de cuerda de

la derecha es menos denso que el izquierdo, tanto la onda reflejada como

la transmitida obligan a las partículas a moverse en el mismo sentido

que tenían con la onda incidente (hacia arriba).

Page 132: Oscilaciones

132

Vamos a volver a resolver un problema similar al 4-15, pero para el caso

particular de ondas armónicas, usando las condiciones de continuidad en la unión de

las dos cuerdas (interfase). Este procedimiento es muy general y completamente

equivalente al utilizado en el problema 4-15, se aplica a la propagación de cualquier

tipo de ondas y en cualquier medio e interfase, nosotros lo emplearemos para resolver

el caso particular de ondas armónicas transversales en una cuerda sólo a modo de

ejemplo.

Dos hilos de densidades másicas lineales diferentes 1 y 2 están unidos en

x 0 y sometidos a una tensión F0 , ver figura 4-15.

Incide sobre la unión una onda armónica transversal I desde la izquierda, en

x 0 (onda de pequeña amplitud), siendo su función de onda:

I I( , ) cosx t A k x t 1 . 4-77

Esta onda se refleja parcialmente y se transmite parcialmente en x 0 .

La onda transmitida:

T T( , ) cosx t A k x t 2 4-78

se mueve hacia la derecha en x 0, posee una amplitud AT .

Hemos postulado que la frecuencia de la onda transmitida no cambia

respecto a la incidente, esto se puede demostrar planteando conservación de la energía

en la interfase, no lo haremos aquí para no complicar el cálculo, pero quedará

justificado más adelante debido a las condiciones de contorno (Replantear el balance

energético hecho en la ecuación 4-74 de la guía teórica 4-15 pero para una onda

armónica. Debido a que el balance debe verificarse para todo tiempo se desprende que

la onda transmitida y la reflejada deben tener la misma frecuencia que la incidente).

Sin embargo, estamos considerando que cambia el número de onda k2 , y por

ende la longitud de onda 2 , ya que en la segunda cuerda la velocidad de propagación

es distinta que en la primera,

vk

vk

2

2

1

1

.

La onda reflejada:

R R( , ) cosx t A k x t 1 4-79

se mueve hacia la izquierda en x 0, note que hemos cambiado el signo que

acompaña al numero de onda, con lo cual, la onda se propaga hacia la izquierda

x=0 1 2

Figura 4-15: Cuerda con densidad de masas distintas a izquierda y a derecha de x=0

Page 133: Oscilaciones

133

(discutirlo). La onda reflejada posee una amplitud AR . Como dijimos, por

conservación de la energía, afirmamos que la frecuencia es igual a de la onda

incidente y además tiene el mismo numero de onda k1 ya que se propaga hacia la

izquierda por la cuerda 1.

No hemos considerado la posibilidad de que se produzca algún desfasaje en la

onda reflejada ni en la transmitida para no complicar el cálculo. Veremos al finalizar

las cuentas, que en el caso en que el medio 1 fuera más denso que el medio 2 no se

produce ningún desfasaje entre la onda incidente y la reflejada, mientras que en el

caso en que el medio 2 fuera más denso que el medio 1, la amplitud de la onda

reflejada resulta negativa, por lo cual, podemos reescribir a la onda agregándole un

desfasaje en y considerando su amplitud positiva. En el caso de la onda transmitida

no se produce ningún desfasaje respecto a la onda incidente.

El objetivo del cálculo es el de hallar las amplitudes incógnitas AR y AT en

función de la amplitud de la onda incidente AI . No lo resolveremos como en el

ejercicio anterior por conservación del impulso y energía (queda como ejercicio

optativo hacerlo así), sino por un método equivalente consistente en plantear las

condiciones de contorno en el punto de unión de ambas cuerdas.

Las condiciones de contorno son:

Como las cuerdas están unidas, el desplazamiento total de la cuerda del lado

izquierdo debe ser igual al producido en el lado derecho (t ), es decir, la

condición de continuidad del desplazamiento en x 0 dice que:

I R T( , ) ( , ) ( , )0 0 0t t t t 4-80

Note que estamos diciendo que el desplazamiento total a la izquierda corresponde a

la superposición del desplazamiento de la onda incidente más la reflejada. A la

derecha sólo sobrevive la onda transmitida. Hemos usado el principio de

superposición (discutirlo). Tenga en cuenta que la onda incidente continúa

incidiendo todo el tiempo sobre la interfase.

La igualdad 4-80 es una condición de contorno que debe cumplirse para todo

tiempo. Sabiendo que las tres funciones de onda son armónicas, esto sólo es

posible si las tres poseen la misma frecuencia .

En una cuerda real, la pendiente de la cuerda no debe poseer discontinuidades (la

forma que toma debe ser redondeada y alisada), ya que si así no fuera significaría

aceleraciones infinitas (tensiones infinitas). Por consiguiente también debe

cumplirse una condición de continuidad para las pendientes de la cuerda en x 0

(t ), es decir, la pendiente de la cuerda a la derecha debe ser igual a la izquierda:

I

x

R

x

T

x

( , ) ( , ) ( , )x t

x

x t

x

x t

x

0 0 0

t 4-81

Page 134: Oscilaciones

134

Se puede demostrar que las condiciones de contorno 4-80 y 4-81 son

consecuencias directas de la conservación del impulso lineal y la energía en la

interfase, queda como ejercicio optativo para el lector comprobarlo.

Note que la ecuación 4-81 debe cumplirse para todo tiempo, lo cual, sólo es

posible si las tres ondas poseen la misma frecuencia .

Usando las ecuaciones 4-80 y 4-81, es posible hallar la amplitud de las ondas

transmitidas y reflejadas. Reemplazando las funciones de onda 4-77, 4-78 y 4-79 en las

ecuaciones 4-80 y 4-81:

tsenAktsenAktsenAk

tAtAtA

T2R1I1

TRI

coscoscos

4-82

Como estas dos ecuaciones son validas para todo tiempo entonces se cumple:

T2R1I1

TRI

AkAkAk

AAA

4-83

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Ya podemos hallar las amplitudes

incógnitas AR y AT en función de la amplitud de la onda incidente AI y de los

número de onda k1 y k2 , resultando (verificar):

Ak

k kAT I

2 1

1 2

y Ak k

k kAR I

1 2

1 2

4-84

Sabemos que k1

1

2

y k2

2

2

son números positivos, por ende la amplitud de la

onda transmitida AT en cualquier caso tiene el mismo signo que la amplitud de la

onda incidente AI . Como vimos en el ejercicio anterior, la onda transmitida

mantiene el mismo sentido para el movimiento transversal de las partículas que la

onda incidente, es decir, el signo de uT y uI concuerdan.

Más complicado es lo que sucede con la amplitud de la onda reflejada AR ya

que en el numerador aparece una resta entre k1 y k2 , dependiendo del signo del

resultado de esa resta puede pasar que cambie el signo de AR respecto de AI .

Sabemos que kv

1

1

y kv

2

2

y que las velocidades de propagación en las

dos cuerdas v1 y v2 dependen de las masas por unidad de longitud 1 y 2 , de tal

forma que la onda se propaga más rápido en el medio menos denso. Por consiguiente,

para estudiar lo que pasa con AR debemos separar el estudio en dos casos:

La cuerda 1 es menos densa que la 2, es decir 1 2 . Por consiguiente v v1 2 y

entonces k k1 2 , con lo cual la resta k k1 2 0 , por lo tanto, obtenemos de 4-84

que AR tiene un signo diferente que AI , es decir,

Page 135: Oscilaciones

135

si 1 2 Signo A Signo AR I

Esto es lo mismo que vimos en el ejercicio anterior cuando el pulso ondulatorio

pasaba de un medio menos denso a otro más denso, ya que al cambiar el signo de

AR cambia también el sentido de la velocidad transversal de las partículas (al

derivar con respecto al tiempo), es decir, la onda reflejada cambia no sólo el

sentido de propagación sino que además cambia abruptamente el sentido de la

velocidad transversal de las partículas, ya que uR cambia de signo respecto de la

velocidad transversal del pulso incidente uI .

Note que un cambio de signo en la amplitud puede ser pensado como un

desfasaje en entre de la onda reflejada y la incidente, reescribiendo la ecuación

4-79 como:

R R ( , ) cosx t A k x t 1

donde hemos puesto el modulo de la amplitud e incorporado el signo menos como

un desfasaje en dentro de la función coseno.

La cuerda 1 es más densa que la 2, es decir 1 2 . Por consiguiente v v1 2 y

entonces k k1 2 , con lo cual el signo de la resta será k k1 2 0 , por lo tanto,

obtenemos de 4-84 que AR tendrá el mismo signo que AI , no hay desfasaje,

si 1 2 Signo A Signo AR I

Esto es lo mismo que vimos en el ejercicio anterior cuando el pulso ondulatorio

pasaba de un medio más denso a otro menos denso, en ese caso la onda reflejada

no cambia el sentido del movimiento transversal de las partículas ya que uR tiene

el mismo signo que la velocidad transversal del pulso incidente uI .

4-19. (Recomendado). Una onda armónica transversal, de frecuencia Hz100 , se

propaga sobre una cuerda (ideal) con velocidad segmv 1001 .

a) Escriba la función de onda si la amplitud de la onda es mA 01,0I .

b) Haga un esquema de la onda en los instantes 0t y 4/Tt (T es el período).

c) Suponga que, luego de atravesar la primera cuerda, la onda se transmite sobre otra

cuerda del doble de masa por unidad de longitud. Escriba la función de onda

transmitida.

d) Escriba la función de onda reflejada.

Ayuda: la amplitud de las ondas transmitida y reflejada son:

IT Akk

kA

21

12

, y A

k k

k kAR I

1 2

1 2

donde k1

1

2

y k2

2

2

4-20. A partir de lo hallado en el ejercicio 4-18 se pueden definir coeficientes de

Transmisión y Reflexión de la Amplitud de la onda como:

Page 136: Oscilaciones

136

TA

A

k

k k

T

I

2 1

1 2

y RA

A

k k

k k

R

I

1 2

1 2

a) Muestre que se cumple T R 1 .

b) Grafique el coeficiente de reflexión R en función del cociente de los número de

onda k

k

1

2

.

c) A partir del gráfico, discuta, y compruebe que 1 1R mientras que 0 2 T .

Discuta.

Bibliografía :

Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté.

Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill.

Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté.

Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté.

Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté.

Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana.

Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison

Page 137: Oscilaciones

137

Capítulo 5.

Ondas estacionarias.

Introducción:

En este Capítulo estudiaremos aquellos fenómenos ondulatorios en donde las

ondas se hallan confinadas en una determinada región del espacio. Un ejemplo típico

de ondas confinadas lo constituyen las ondas producidas en los instrumentos

musicales, pero el tema resulta mucho más general, con aplicaciones en física del

sólido, atómica, nuclear y subnuclear.

Cuando las ondas están confinadas en el espacio como, por ejemplo ocurre con

las ondas en una cuerda de piano, éstas viajan de un lado al otro reflejándose en los

extremos fijos y, por ende, en todo momento existen ondas propagándose en los dos

sentidos.

Dependiendo de la longitud y características de la cuerda, existen ciertas

frecuencias (modos resonantes o modos normales de vibración) para las cuales la

superposición, de las ondas que se propagan en ambos sentidos, resulta constructiva

produciendo un esquema vibratorio estacionario denominado onda estacionaria, y

estas frecuencias corresponden a las frecuencias de resonancia del sistema

(fundamental o armónico, armónico,

armónico, etc.), ver figura 5-1.

Si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las frecuencias de

resonancia del sistema, las ondas se desfasan en cada reflexión (respecto de la onda

inicial). El proceso de reflexión en los extremos fijos se produce indefinidamente,

tendiendo a interferir todas las ondas entre sí, por lo cual, la amplitud de vibración

resulta baja (frecuencia fuera de resonancia).

En cambio, si la frecuencia de la onda armónica concuerda con alguna de las

frecuencias de resonancia, la onda al reflejarse sale con la fase adecuada, igual a la de

la onda incidente, por lo cual, se suman constructivamente. Cada reflexión produce

una nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con las existentes, por

consiguiente, el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas

frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilación estacionarios o modos

normales, similares a los estudiados en el Capítulo 3 para pocas masas.

Cuando en el Capítulo 4 estudiamos ondas armónicas propagándose sobre una

cuerda, observamos que aunque todos los puntos de la cuerda oscilan con la misma

frecuencia no lo hacen con la misma fase. Esto puede verse si analizamos

detenidamente como evoluciona en el tiempo el desplazamiento de diferentes puntos

de la cuerda. Como sabemos, en una onda de propagación, el desplazamiento puede

ser descripto por una función de onda armónica como, por ejemplo,

Page 138: Oscilaciones

138

donde hemos tomado y

Si analizamos la evolución del punto , vemos que se mueve

armónicamente siguiendo la ley,

,

mientras que si analizamos la evolución del punto , obtenemos,

Comparando los movimientos, vemos que ambos puntos oscilan con la misma

frecuencia , pero difieren en una fase, que en este ejemplo, resulta ser

.

Esto que hemos determinado para un ejemplo resulta válido en general, en las

ondas armónicas de propagación todos los puntos oscilan con la misma frecuencia

pero no necesariamente todos tienen la misma fase, la fase depende del punto en

cuestión.

Page 139: Oscilaciones

139

Este desfasaje se manifiesta en el hecho de que los puntos de la cuerda no

pasan por el punto de equilibrio simultáneamente, como sucedía en los sistemas

estudiados en el Capítulo 3 cuando se hallaban en un modo normal de vibración.

En cambio en una onda estacionaria cada partícula de la cuerda oscila con

la misma frecuencia y fase que las demás, es decir, corresponde a un modo normal

de vibración o armónico. Una partícula que en un instante forma parte de la cresta de

la onda, oscila permanentemente con la mayor amplitud. Una partícula que está en

reposo en un instante, permanece en reposo por el resto del tiempo (a esos puntos los

denominamos nodos). Por consiguiente los máximos de amplitud de vibración y los

nodos (puntos en reposo), están ubicados siempre en los mismos lugares, para una

dada frecuencia de vibración.

Cada partícula vibra permanentemente con la misma amplitud, dependiente de

su posición, mientras que la frecuencia y la fase son iguales para todas las partículas,

por lo cual, toda la cuerda pasa por la posición de equilibrio simultáneamente.

Para fijar ideas mostramos un dibujo (que usted repetirá en el ej. 5-2) en donde

se muestra las posiciones sucesivas de una cuerda que oscila en los primeros tres

modos normales de vibración:

Page 140: Oscilaciones

140

Primer Armónico

Segundo Armónico

Tercer Armónico

Para cualquiera de los tres modos normales mostrados, existe un instante en

que toda la cuerda en su conjunto pasa por la posición de equilibrio.

Estos conceptos no difieren mucho de los estudiados en el Capítulo 3, cuando

estudiamos modos normales de vibración. La diferencia fundamental consiste en que,

en esos problemas, teníamos un número finito de partículas, mientras que aquí

tenemos un continuo (idealización de cuerda continua). Por lo cual, en lugar de tener

un cierto número finito de frecuencias de resonancia, tenemos un numero infinito pero

discreto de frecuencias resonantes. A estas frecuencias, ordenadas de menor a mayor,

comúnmente se las denomina, fundamental o armónico,

armónico, armónico, etc..

El número infinito de frecuencias resulta de una idealización, que consiste en

considerar a la cuerda continua y no formada por pequeñas partículas, separadas a

distancias del orden del tamaño atómico. En realidad hay un número muy grande de

frecuencias pero finito.

Cuando se puntea la cuerda de una guitarra se escucha un sonido que, en

general, no corresponde a un armónico puro sino que resulta ser una superposición de

muchos modos de vibración. Dependiendo de donde se puntea y del tipo de

instrumento, es posible excitar mucho el fundamental, quizás nada el segundo

armónico, poco el tercero, nada el cuarto y así siguiendo. O podría no excitarse para

nada el fundamental y si el segundo armónico, etc..

Figura 5-1: Esquema de las posiciones sucesivas de una cuerda que oscila, en

los primeros tres modos normales de vibración:

Page 141: Oscilaciones

141

Algo parecido pero aún más complicado ocurre con el sonido que emitimos al

hablar, nos resulta imposible emitir un sonido puro, siempre corresponde a una

superposición de muchos posibles armónicos, cada uno de ellos con una intensidad

determinada por la forma en que construimos el sonido en nuestras cuerdas vocales y

en nuestra boca.

En este Capítulo estudiaremos esencialmente ondas estacionarias y

concluiremos con el estudio del espectro de frecuencias que se genera en un caso

simple como el punteo de una guitarra (análisis de Fourier).

Los ejercicios recomendados son el 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 17

y 18.

5-1. Guía teórica. Ondas estacionarias armónicas transversales

en una cuerda fija en sus extremos:

Para introducir el concepto de onda estacionaria, comenzaremos con el

ejemplo simple de pequeñas oscilaciones transversales en una cuerda, pero la idea

resulta completamente general y fácilmente extrapolable a otros fenómenos físicos

donde se presenten ondas estacionarias.

Ejemplo: Una cuerda de longitud y masa , está fija en

ambos extremos y sometida a una tensión . Suponga que, acercando un

diapasón, se hace vibrar a la cuerda armónicamente (sinusoidalmente):

Verifique que, en la aproximación de pequeñas oscilaciones (medio lineal), la

velocidad de propagación de las ondas transversales resulta,

Fig. 5-2

Page 142: Oscilaciones

142

La onda se propaga a través de la cuerda reflejándose en los extremos fijos.

Comprobaremos que si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las

frecuencias de resonancia de la cuerda, la onda en cada reflexión, se desfasa respecto

de la onda inicial, por lo cual, comienzan a superponerse entre sí las múltiples

reflexiones, interfiriendo no constructivamente. El proceso de reflexión en los

extremos fijos se produce indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas entre

sí, por lo cual, su amplitud de vibración resulta baja (frecuencia fuera de la

resonancia).

En cambio, si la frecuencia de la onda armónica concuerda con alguna de las

frecuencias de resonancia, la onda al reflejarse, sale con la fase adecuada, igual a la de

la onda inicial, sumándose constructivamente a ésta. Cada reflexión produce una

nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con las existentes, por lo cual el

sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas frecuencias de

resonancia corresponden a modos de oscilación estacionarios, como

comprobaremos luego.

Luego en la guía teórica 5-15 y en el ejercicio 5-3 comprobaremos que una

onda estacionaria puede representarse por la suma de dos ondas armónicas, de

propagación, viajando en sentidos opuestos, es decir,

obtenida a partir de sumar una onda de propagación hacia la derecha más otra hacia la

izquierda (desfasada en al reflejarse).

Por el momento comenzaremos estudiando a las ondas estacionarias sobre la

base del concepto ya aprendido de modo normal de vibración del sistema (frecuencia

de resonancia).

Modo normal: Supondremos que la cuerda oscila en un modo normal, por

consiguiente, todas las partes de la cuerda oscilan con movimiento armónico, con la

misma frecuencia y fase , por lo cual, cada punto de la

cuerda oscila con su amplitud propia (característica del modo), pero todos ellos

evolucionan armónicamente con la misma dependencia temporal, del tipo,

Page 143: Oscilaciones

143

,

La amplitud con que vibra cada punto de la cuerda, depende de la coordenada del

punto estudiado, cada punto oscila con una amplitud distinta característica del modo

de oscilación. Por ejemplo, un punto que se halla en un nodo de vibración, permanece

siempre quieto, por lo cual su amplitud de oscilación resulta cero, mientras que un

punto que se halla en una cresta, oscila con el máximo de amplitud.

Definimos una función , la cual, determina la amplitud de

vibración del punto ubicado en una posición x cualquiera. Esta función, depende del

modo de oscilación, es decir, cada modo tiene una función diferente,

ya que su forma de oscilación resulta diferente (recordar la figura 5-1).

Entonces podemos escribir la expresión general para una onda estacionaria,

como,

. 5-1

Note la diferencia entre una onda estacionaria como la 5-1 y una onda de propagación

como, por ejemplo,

5-2

Mientras que en la ecuación 5-1 se han desacoplado la dependencia funcional de la

coordenada y (onda estacionaria), en la onda de

propagación se hallan acopladas, por lo cual, las partículas no se mueven en fase.

Page 144: Oscilaciones

144

Nos proponemos ahora determinar la función , y su

dependencia con el modo de vibración.

Si consideramos pequeñas oscilaciones, la función de onda estacionaria 5-1

debe satisfacer la ecuación lineal de ondas,

5-3

Reemplazando la función en la ecuación de ondas, y simplificando a

la función coseno, encontramos que debe cumplir (verificar):

o 5-4

La ecuación 5-4 es una ecuación diferencial del tipo oscilador armónico, pero en lugar

de una derivada segunda respecto del tiempo tenemos una derivada segunda respecto

de , por consiguiente, la solución de esta ecuación resulta semejante a

la obtenida en el caso del oscilador armónico (función armónica), pero en lugar de la

variable aparece la variable , por lo cual, podemos

proponer como solución que sea una combinación lineal de funciones seno y coseno,

tal como,

Page 145: Oscilaciones

145

5-5

donde y es la longitud de onda y y

son constantes a determinar.

De acuerdo a 5-5, podemos afirmar que la amplitud de la oscilación varía

armónicamente con la posición, repitiéndose su forma periódicamente cada longitud

(ver figura 5-3).

Por consiguiente la solución para una onda estacionaria resulta,

5-6

Condiciones de contorno: La solución anterior es, hasta cierto punto, general. Pero

aún no están contempladas las condiciones de contorno, que en nuestro ejemplo son

los extremos fijos de la cuerda. En lo que sigue incorporaremos está información:

La cuerda tiene longitud , y se encuentra fija en

y (ver las figuras 5-2 y 5-3). Esto significa que en esos puntos la

cuerda no se desplaza en ningún momento, es decir,

Page 146: Oscilaciones

146

. 5-7

Con estas dos condiciones podremos hallar relaciones entre las constantes

y , pero además, éste hecho condiciona completamente

los modos en que puede vibrar la cuerda. No todas las longitudes de onda están

permitidas en un modo estacionario, sólo aquellas que aseguren que la función de

onda se anule en y (nodos), ver figura 5-3.

n=1 1=2L n=2 2=L n=3 3=2L/3 n=4 4=L/2

Ahora usemos las condiciones de contorno 5-7 en la ecuación 5-6,

Condición en el origen :

Figura 5-3: Esquema de los primeros 4 modos de vibración, de una cuerda fija

en ambos extremos.

Page 147: Oscilaciones

147

(Importante) 5-8

Condición en :

(Importante) 5-9

Page 148: Oscilaciones

148

Esta última expresión nos esta diciendo que si la cuerda tiene dos puntos fijos

(nodos), distantes una longitud , no todas las longitudes de onda

estacionarias están permitidas, sólo están permitidas aquellas que garantizan que la

función de onda se anule en 0x y , y estas longitudes de onda son

(como puede apreciarse en la figura 5-3):

, , , ,.........,

,.........

Cada modo tiene asociado una configuración diferente, determinada por la

amplitud y caracterizada por la longitud de onda . Pero

en cada modo, todas las partículas que forman parte de la cuerda oscilan con la misma

frecuencia y fase . La amplitud A, queda determinada

una vez conocido el estado inicial o la energía de la onda.

Frecuencias de resonancia. Las frecuencias que producen estos esquemas se

denominan frecuencias de resonancia. Podemos hallar las frecuencias a partir de la

relación entre y , (relación de dispersión

Page 149: Oscilaciones

149

para la aproximación lineal) que es equivalente a , por consiguiente las

frecuencias de resonancia son ( .):

5-10

Si llamamos a la frecuencia más baja (frecuencia fundamental o

primer armónico), entonces las frecuencias más altas se pueden obtener como

múltiplos de ésta (secuencia armónica, caso ideal), es decir:

(Importante) 5-11

de esta forma:

, , ,

,........................................,

La frecuencia más baja f1 se denomina frecuencia fundamental mientras que las

demás se llaman armónicos, f2 es el segundo armónico, f3 es el tercer armónico, etc.,

Page 150: Oscilaciones

150

y sus frecuencia resultan múltiplos de la frecuencia fundamental, en el caso ideal de

medio no dispersivo.

Ley de dispersión para una cuerda de piano real. La ley de dispersión dada por la

ecuación es la más simple que podemos encontrar, esta ley nos está

indicando que la velocidad de propagación de la onda no depende de la longitud de

onda, todas las ondas se propagan con la misma velocidad. En general las cuerdas

reales se apartan levemente de esta ley lineal (fuera de la aproximación de pequeñas

oscilaciones).

Las longitudes de onda permitidas seguirán siendo , ya que esto

depende de la existencia de los puntos fijos, pero las frecuencias no tienen la

dependencia armónica tan simple dada en 5-11. Ejemplo, si la frecuencia fundamental

es , la frecuencia no será , en un piano

será levemente más alta (más aguda).

5-2. (Recomendado). Con ayuda del Mathematica grafique los primeros 3 armónicos

correspondientes a la cuerda del ejercicio anterior, suponiendo que la amplitud de la

onda estacionaria es de . Anímelos para observar la evolución de la

cuerda, prestando atención a que en algún instante toda la cuerda pasa por el

equilibrio.

L=1;

v=10;

n=1; (modo fundamental, luego pruebe con n=2 y n=3)

lambda=2*L/n;

k=2*Pi/lambda;

w=k*v;

T=2*Pi/w;

a=0.001;

psi[x_,t_ ]=a*Sin[k*x]*Cos[w*t];

Do[

Plot[psi[x,t],{x,0,L},PlotRange->{-a,a},Axes->None,AspectRatio->0.2,

Page 151: Oscilaciones

151

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}],

{t,0,T,T/10}]

Si une todos los gráficos en una misma celda y los anima, observará la evolución de

la onda estacionaria.

5-3. (Recomendado). Hemos dicho que una onda estacionaria resulta de la

superposición de dos ondas armónicas propagándose en sentido contrario. La

demostración formal de esta afirmación la haremos en la guía teórica 5-13, aquí sólo

pretendemos obtener una primera idea gráfica con la ayuda del Mathematica. Por ello,

grafique y anime a la función,

obtenida a partir de sumar una onda de propagación hacia la derecha más otra hacia la

izquierda (desfasada en al reflejarse). Use los mismos datos que en el

problema anterior.

L=1;

v=10;

n=1; (modo fundamental, luego pruebe con n=2 y n=3)

lambda=2*L/n;

k=2*Pi/lambda;

w=k*v;

T=2*Pi/w;

a=0.001;

psi[x_,t_ ]=(a/2)*Sin[k*x-w*t]+(a/2)*Sin[-k*x-w*t+];

Do[

Plot[psi[x,t],{x,0,L}, PlotRange->{-a,a},Axes->None,AspectRatio->0.2,

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}],

{t,0,T,T/10}]

Si une todos los gráficos en una misma celda y los anima, observará la evolución de

la onda estacionaria.

Page 152: Oscilaciones

152

5-4. (Recomendado). Un hilo de acero de y está fijo

por ambos extremos y tiene una tensión de .

a) Hallar la velocidad de fase de las ondas transversales. Resp. .

b) Hallar la longitud de onda y la frecuencia del modo fundamental de oscilación.

Resp. y .

c) Sabiendo que la amplitud de oscilación del primer modo es de y

que en el instante inicial ( ) la cuerda justo está pasando por la

posición de equilibrio, halle la función de onda correspondiente (determine la

fase).

d) Importante. Dibujar la posición de la cuerda en los instantes ,

, donde es el período de vibración.

Page 153: Oscilaciones

153

e) Hallar las frecuencias del segundo y tercer armónicos. Haga un esquema del modo

de oscilación. Resp. y .

f) Importante. La función de onda estacionaria puede formarse como la suma de dos

ondas viajeras, de mitad de amplitud, una viajando hacia la derecha y otra viajando

hacia la izquierda (debido a la reflexión en los extremos). Escriba las dos funciones

de onda viajeras para la onda estacionaria fundamental.

5-5. Guía teórica. Energía de una onda estacionaria:

En Capítulo 4 (guía teórica 4-8, ec. 4-45), demostramos que la energía de un

segmento de cuerda, vibrando transversalmente, es:

, 5-12

Para hallar la energía de toda la cuerda debemos integrar:

5-13

Reemplazando en la ecuación 5-13 la función de onda estacionaria,

, 5-14

integrando y luego de un calculo tedioso llegamos a (verificar),

(Para una onda estacionaria). 5-15

Page 154: Oscilaciones

154

Comentario: Note que la energía de una onda estacionaria no depende del tiempo

(estado resonante).

Si llamamos a la energía del modo fundamental

y sabiendo que Para un modo cualquiera se

cumple,

5-16

donde y son las amplitudes de los modos 1 y n

respectivamente.

Comentario: De la expresión 5-16 podemos ver que, a igual amplitud, la energía se

incrementa para modos más altos (como n2). Esto es lógico ya que mientras mayor

es el modo, más deformada está la cuerda, y por consiguiente acumula mayor

energía potencial. Además, la frecuencia es mayor y, por ende, la velocidad de las

partículas que forman la cuerda es mayor, con lo cual la energía cinética resulta

mayor.

5-6. (Recomendado). La función de onda correspondiente a una onda

estacionaria de una cuerda fija en ambos extremos viene dada por:

,

Page 155: Oscilaciones

155

con y en centímetros y en segundos.

a) ¿Cuál es la longitud de onda y cuál la frecuencia?

b) ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas transversales?.

c) Si la función de onda dada es la correspondiente al cuarto armónico, ¿cuál es la

longitud de la cuerda?

d) Dibujar la posición de la cuerda en los instantes , ,

donde es el período de vibración.

e) Halle la energía de la onda. Ayuda: use la expresión 5-15 de la guía teórica 5-5.

f) Importante. La función de onda estacionaría puede formarse como la suma de dos

ondas viajeras, de mitad de amplitud, una viajando hacia la derecha y otra viajando

hacia la izquierda (debido a la reflexión en los extremos). Escriba las dos funciones

de onda viajeras, para el modo fundamental.

5-7. (Recomendado). Una cuerda de longitud m3 y densidad másica

está sujeta por ambos extremos. Suponga que con un oscilador electrónico, con salida

por parlante, intenta hallar las frecuencias resonantes del sistema (piense como lo

haría). Variando la frecuencia del oscilador usted determina que una de las

frecuencias de resonancia es (no necesariamente es la del

fundamental). Luego, continua subiendo la frecuencia del oscilador, y observa que la

siguiente frecuencia de resonancia resulta . A partir de esta

información halle:

Page 156: Oscilaciones

156

a) La frecuencia del modo fundamental. Resp. .

b) La tensión del hilo. Resp. .

c) A que modos de vibración corresponden las frecuencias medidas, haga un esquema

del modo de vibración para ellas.

d) Si para el modo de oscilación correspondiente a la frecuencia de , la

cuerda oscila con una amplitud de , y en el instante inicial pasa por

su posición de equilibrio, determine la función de onda de este estado y su energía.

5-8. (Actividad). Si le sobran unos pesos, compre en una juguetería un Slinky (resorte

muy largo y estirable, que baja las escaleras). Sujete los extremos con sus manos, y

trate excitar los primeros modos estacionarios. Compruebe que puede lograr una gran

amplitud cuando el sistema oscila en alguno de los modos. Discuta.

5-9. Guía teórica. Cuerda fija sólo en un extremo:

En esta guía continuaremos el estudio de los estados estacionarios, pero ahora

asociados a sistemas que poseen un extremo fijo y otro completamente libre. Un

ejemplo clásico de estos sistemas son los instrumentos de viento (ondas sonoras

longitudinales). Por simplicidad, primero analizaremos el ejemplo de una cuerda con

un extremo libre.

Page 157: Oscilaciones

157

Una cuerda de longitud y masa de , está fija en

y libre en el otro extremo (desliza sobre una varilla sin rozamiento).

Está sometida a una tensión de .

También se producen ondas estacionarias sobre una cuerda con un extremo

libre, en lugar de tener ambos extremos fijos. El esquema de las ondas estacionarias

para dicha cuerda, en los primeros 4 modos de vibración, se indican en la figura 5-5,

n=1 1=4L n=3 3=4L/3 n=5 5=4L/5 n=7 7=4L/7

Observe que el extremo libre de la cuerda es siempre un vientre (amplitud de

vibración máxima). Esto lo podemos entender si recordamos la guía teórica 4-10

(Capítulo 4), en esa guía encontramos que la fuerza ejercida sobre un segmento de la

Figura 5-5: Esquema de los primeros 4 modos de vibración, de una cuerda con un

extremo libre.

Libre

Figura 5-4: Cuerda con un extremo libre.

Page 158: Oscilaciones

158

cuerda (desde el lado izquierdo), es proporcional a , por consiguiente,

si el borde de la cuerda está libre no existe fuerza externa ejercida en ese punto, por lo

cual, que justifica plenamente lo observado en la figura 5-5, ya que, en

los vientres la pendiente de la recta tangente a la cuerda se anula.

Condiciones de contorno. En el ejercicio 5-2 hallamos la solución para las funciones

de onda estacionarias:

5-17

De plantear la condición de que el desplazamiento es nulo en el origen obtuvimos que

B=0, y entonces la función de onda nos quedó:

5-18

Ahora tenemos que plantear la nueva condición de contorno en , que

ya no corresponde a que el desplazamiento se anula en .

Page 159: Oscilaciones

159

La condición de contorno adecuada en , es que se anule la

derivada con respecto a (vientre) para todo tiempo, o sea,

. 5-19

Entonces,

, 5-20

donde debe ser entero positivo, pero además, impar, ya que si n fuera

par nos daría un múltiplo de y el coseno no se

anularía. Entonces, en una cuerda con un extremo libre, las longitudes de onda

permitidas son:

Page 160: Oscilaciones

160

5-21

es decir,

, , ,.. .., con n

impar,

Note que la longitud de onda fundamental es el doble de la que obtuvimos en el caso

de la cuerda fija en ambos extremos.

Frecuencias de resonancia: Hallamos las frecuencias de resonancia a partir de la

relación (relación de dispersión lineal), por consiguiente, las

frecuencias de resonancia son:

5-22

Si llamamos a la frecuencia más baja (frecuencia fundamental),

entonces las frecuencias más altas se pueden obtener como múltiplos impares de

(secuencia armónica, caso ideal), es decir:

Page 161: Oscilaciones

161

5-23

de esta forma:

, , ,......,

Note que hemos perdido los armónicos pares, y que la frecuencia fundamental es la

mitad de la que obtuvimos en el caso de la cuerda fija en ambos extremos.

5-10. Una cuerda de y de largo está fija por un

extremo y está ligada a una cuerda muy ligera por el otro (suponga que está casi

libre). Su tensión es de .

a) ¿Cuáles son las longitudes de onda del modo fundamental y los dos armónicos

siguientes?.

b) ¿Cuáles son las frecuencias de estos modos?.

5-11. (Recomendado). Acertijo: Suponga que dentro de una caja se halla una cuerda

que usted no puede ver. Le piden que adivine si la cuerda está fija en ambos extremos

o si tiene un extremo libre. Como ayuda le informan el valor de tres frecuencias de

resonancia sucesivas de la cuerda , y ,

donde la frecuencia de no necesariamente corresponde al modo

fundamental.

Page 162: Oscilaciones

162

a) ¿Cómo podría saberse si estas frecuencias corresponden a una cuerda fija por

ambos extremos o por un sólo extremo?. Ayuda: Hallar los cocientes entre cada

par de frecuencias sucesivas de resonancia.

b) ¿Cuál es la frecuencia correspondiente al fundamental?. Resp. .

c) ¿A qué armónicos pertenecen las tres frecuencias dadas?.

d) Si la velocidad de propagación en esta cuerda es de , halle la

longitud de la cuerda. Resp. .

5-12. Guía teórica. Ondas sonoras (longitudinales) estacionarias:

Gran parte de lo aprendido en ondas estacionarias en cuerdas se aplica a ondas

sonoras (longitudinales) estacionarias.

En la figura 5-6 se ve un tubo de aire cerrado por su extremo derecho, con un

pistón móvil en el extremo izquierdo,

Si la amplitud de desplazamiento del pistón es pequeña, puede suponerse que en ese

extremo el desplazamiento longitudinal del aire es nulo (aproximadamente un nodo).

Entonces la condición de onda estacionaria es la misma que en una cuerda con ambos

extremos fijos, salvo que la velocidad de propagación es la velocidad del sonido

(a presión y temperatura normal).

Si el extremo derecho del tubo no está cerrado sino abierto a la atmósfera, este

extremo es, aproximadamente, un vientre de desplazamiento (también es un nodo de

presión ya que la presión está fija a la presión atmosférica). Por consiguiente la

Aire

Fig. 5-6

Page 163: Oscilaciones

163

condición de onda estacionaria, en este caso, es la misma que la correspondiente a una

cuerda con un extremo fijo y otro libre .

En la realidad, el vientre de desplazamiento (o nodo de presión) cae

ligeramente fuera del extremo abierto del tubo, por consiguiente, la longitud efectiva

del tubo es un poco mayor que la longitud real, si L es la longitud del tubo y

es la corrección (del orden del radio del tubo), la longitud efectiva es

y, por ende, el tubo resuena cuando las longitudes de onda cumplen,

.

Ciertos tubos de órgano y algunos tipos de flautas se comportan como tubos

abiertos en ambos extremos, en estos casos, en ambos extremos existe un vientre de

desplazamiento. Las frecuencias de resonancia son las mismas que para un tubo

cerrado en ambos extremos, excepto por una pequeña corrección de la longitud. Por

consiguiente la longitud de onda del fundamental resulta igual a dos veces la longitud

del tubo y se encuentran presentes todos los armónicos (pares e impares), ver figura

5-7,

Tubo cerrado en ambos extremos:

1=2L 2=L 3=2L/3 4=L/2

Tubo cerrado en el extremo izquierdo:

Page 164: Oscilaciones

164

1=4L 3=4L/3 5=4L/5 7=4L/7

Tubo abierto en ambos extremos:

1=2L 2=L 3=2L/3 4=L/2

5-13. (Recomendado). Experimento para hacer en el aula. Deje caer varias tizas

enteras, observe y anote el número de trozos en que se parte la tiza. Estudie

detenidamente los lugares en donde se parte. Trate de explicar lo observado. ¿En

cuantos pedazos se parte en la mayoría de los casos? ¿por qué?. Discuta.

5-14. Aparato para determinar la velocidad del sonido en el aire

(Recomendado).

En la figura 5-8 se muestra un esquema del aparato,

La longitud de la columna de aire en el tubo del lado izquierdo puede regularse

modificando el nivel del agua del lado derecho, agregando o quitando agua.

Se excitan ondas sonoras con un diapasón. La columna de aire del lado

izquierdo (longitud L) resuena cuando la frecuencia del diapasón concuerda con

alguna de las frecuencias naturales del sistema. Esto puede comprobarse acercando el

oído al tubo y notando como se logra amplificar el sonido cuando el sistema se halla

en resonancia.

Una forma de medir la velocidad del sonido, es modificando la altura del nivel

de agua hasta que la frecuencia natural del diapasón concuerde con las frecuencias de

oscilación del sistema. Ejemplo:

Figura 5-7: Esquema de los primeros 4 modos de vibración, correspondientes a:

a) Tubo cerrado en ambos extremos.

b) Tubo abierto en un extremo.

c) Tubo abierto en ambos extremos.

Fig. 5-8

Page 165: Oscilaciones

165

Cuando encima del tubo de la figura se mantiene un diapasón de

de frecuencia, aparecen resonancias (sucesivas) cuando el nivel del

agua está a distancias de , , y

de la parte superior del tubo (¡ojo!, estas resonancias corresponden a

una frecuencia fija de que excita diferentes armónicos dependiendo de

la longitud L).

a) Suponiendo que en se excita el fundamental, determine cual es el

armónico que se excita en las demás distancias.

b) Grafique la longitud L en función del número de armónico n.

c) De acuerdo al gráfico, ¿Cuál es la velocidad del sonido?.

d) ¿Qué corrección le haría a las longitudes medidas?

5-15. Guía Teórica. Superposición de ondas. Onda estacionaria

(Optativo):

En este ejercicio queremos comprobar que una onda estacionaria puede

visualizarse como la combinación de dos ondas moviéndose en sentidos contrarios,

producto de las reflexiones en los puntos fijos. Los resultados concuerdan con los de

la guía teórica 5-1, simplemente este ejercicio ofrece otra manera de entender el

mismo fenómeno físico.

Page 166: Oscilaciones

166

Supongamos que una cuerda de longitud , y masa

, está fija en ambos extremos y sometida a una tensión .

El extremo izquierdo de la cuerda ( ) se hace vibrar armónicamente. La

onda se propaga hacia la derecha con velocidad v, cuya función de onda podemos

describir como,

, 5-24

(le hemos puesto una amplitud por comodidad ya que, cuando se le

sume la onda reflejada, la onda total tendrá amplitud ).

Cuando llega al extremo derecho fijo, en , la onda se refleja.

Page 167: Oscilaciones

167

Onda reflejada: La onda reflejada tiene la misma longitud de onda,

frecuencia y amplitud, que la onda incidente (conservación de energía

y momento, relacionarlo con el choque elástico de una pelota contra una pared), pero

se propaga en sentido inverso y presenta un desfasaje respecto de la onda incidente.

Proponemos que la función de onda reflejada es,

. 5-25

La onda reflejada , se propaga hacia la izquierda, y al incidir

sobre el lado izquierdo fijo, se vuelve a reflejar. Si la frecuencia de la onda no

concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia de la cuerda, esta nueva onda

se desfasa respecto de la onda inicial, por lo cual, su superposición no necesariamente

resulta constructiva. El proceso de reflexión en los extremos fijos se produce

indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas entre sí, por lo cual, su

amplitud de vibración resulta baja (frecuencia fuera de la resonancia).

En cambio, si la frecuencia de la onda armónica concuerda con alguna de las

frecuencias de resonancia, la onda que vuelve a reflejarse del lado izquierdo, sale con

la fase adecuada, igual a la de la onda incidente, sumándose constructivamente a ésta.

Cada reflexión produce una nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con

las existentes, por lo cual el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de

resonancia). Estas frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilación

estacionarios, como comprobaremos luego.

El desplazamiento de un segmento de la cuerda viene dado por la

superposición de ambas ondas. En la aproximación de pequeñas oscilaciones (medio

lineal), la función de onda total viene dada simplemente por la suma de la onda

incidente más la reflejada (principio de superposición),

5-26

Page 168: Oscilaciones

168

5-27

Hallaremos el desfasaje , de la onda reflejada, usando las condiciones de contorno.

Condiciones de contorno en el origen: En el punto la cuerda está fija,

por ende el desplazamiento total debe anularse en ese punto para todo tiempo, es

decir:

5-28

Empleando está condición de contorno obtenemos , como sigue:

5-29

Page 169: Oscilaciones

169

como ya sabíamos del capítulo 4.

Con lo cual la función de onda reflejada resulta,

5-30

La Función de onda Total resulta una Onda Estacionaria: Ahora estamos interesados

en obtener la función de onda total, suma de dos ondas viajeras la incidente y la

reflejada y comprobar que resulta ser una onda estacionaria,

5-31

Podemos reescribir la expresión anterior utilizando la siguiente identidad

trigonométrica:

, 5-32

con y . Usando esto, la función de onda total nos

queda:

5-33

y usando que y que

(verifique), entonces,

Page 170: Oscilaciones

170

5-34

La expresión 5-34 corresponde a una función de onda estacionaria. Hemos logrado

desacoplar la dependencia espacial de la temporal, esto significa que un punto de la

cuerda, que se halla en la posición x, oscila armónicamente con frecuencia y

amplitud que depende armónicamente de la posición, es decir,

5-35

y,

5-36

Esto significa que la superposición de las ondas, incidente y reflejada (viajeras), no

representa una onda viajera sino una onda estacionaria, ya que todos los puntos de

la cuerda oscilan con la misma frecuencia y fase.

Como antes, planteando la condición de contorno en el extremo derecho

hallaremos las frecuencias y longitudes de onda de los modos normales:

Condición de contorno en el extremo derecho. Hasta el momento impusimos sólo una

condición de contorno aquella que indica que en la cuerda está fija y,

por ende, el desplazamiento en ese punto es nulo para todo tiempo, es decir

. Ahora, como hicimos en la guía teórica 5-1, queremos imponer la otra

Page 171: Oscilaciones

171

condición de contorno, que indica que en la cuerda también está fija,

es decir .

Como ya sabemos, este hecho condiciona completamente los modos en que

puede vibrar la cuerda. No todas las longitudes de onda estarán permitidas, sólo

aquellas que aseguren que la función de onda se anule en y

(nodos). Podemos calcular analíticamente las longitudes de onda

, usando,

con

o 5-37

Page 172: Oscilaciones

172

Esta expresión es la misma hallada en la guía teórica 5-1, nos esta diciendo que si la

cuerda tiene dos puntos fijos (nodos), distantes una longitud , no todas

las longitudes de onda están permitidas para una onda estacionaria, sólo están

permitidas aquellas que garanticen que la función de onda se anule en

y .

5-16. Guía teórica. Análisis de Fourier:

Cuando se puntea la cuerda de una guitarra se escucha un sonido que, en

general, no corresponde a un armónico puro sino que resulta ser una superposición de

muchos modos de vibración. Dependiendo de donde se puntea (y del tipo de

instrumento) es posible excitar mucho el fundamental, quizás nada el segundo

armónico, poco el tercero, nada el cuarto y así siguiendo. O podría no excitarse para

nada el fundamental y si el segundo armónico, etc..

Algo parecido pero aún más complicado ocurre con el sonido que emitimos al

hablar, nos resulta imposible emitir un sonido puro, siempre corresponde a una

superposición de muchos posibles armónicos, cada uno de ellos con una intensidad

determinada por la forma en que construimos el sonido en nuestras cuerdas bocales y

en nuestra boca.

El objetivo de este ejercicio teórico es el de estudiar las amplitudes (y fases)

con que cada armónico aparece cuando una cuerda es excitada.

Si el sistema es lineal (no dispersivo), el estado de movimiento más general de

una cuerda continua, con ambos extremos fijos y , como ejemplo, transversalmente,

puede obtenerse como una superposición de todos los modos posibles (armónicos),

numerados 1,2,3,...., con amplitudes , , ,

....., y constantes de fase , , ,......, que

Page 173: Oscilaciones

173

dependen como ya veremos, de la deformación inicial de la cuerda. De esta forma, la

función de onda más general correspondiente a una cuerda vibrante resulta,

i

44

4

433

3

3

22

2

211

1

1

cos 2

........... cos 2

cos 2

cos 2

cos 2

),(

txsenA

txsenAtxsenA

txsenAtxsenAtx

n

nni

n

5-38

donde,

5-39

es el número de onda, y se relaciona con la frecuencia a través de la

relación de dispersión,

. 5-40

Note que la velocidad de propagación es igual para todas las frecuencias (medio

lineal no-dispersivo).

Page 174: Oscilaciones

174

Las constantes y las fases son determinadas por

las condiciones iniciales de la cuerda, los desplazamientos y las

velocidades para cada a ,

correspondientes a la deformación inicial de la cuerda. Para fijar ideas resolveremos

un ejemplo particular.

Ejemplo: Si inicialmente (a ) la cuerda se desplaza de la posición de

equilibrio y luego se suelta (desde el reposo), la velocidad inicial de todos los puntos

de la cuerda resulta cero, por lo cual, la derivada resulta nula. Como

resulta ser una suma de términos que contienen

(verifique derivando ), la única manera de que toda la suma se anule

Page 175: Oscilaciones

175

cuando es que todas las fases valgan cero, o sea,

(verifíquelo).

Por lo tanto, para cuerdas que inicialmente parten del reposo, los

desplazamientos pueden expresarse como:

txsenA

txsenAtxsenA

txsenAtxsenAtx

n

nn

n

cos 2

........... cos 2

cos 2

cos 2

cos 2

),(

1

4

4

43

3

3

2

2

21

1

1

5-41

Sólo nos queda determinar las amplitudes con que participa cada modo, es

decir los valores de , , , ......,etc.

(fundamental, segundo armónico, etc.).

Para hallar estas constante resulta necesario conocer cuál es la deformación

inicial de la cuerda. Supongamos que a obligamos a la cuerda a tener

una forma determinada dada por una función , por ejemplo la forma

dada en la figura 5-9 (diente de sierra simétrico de amplitud ).

Page 176: Oscilaciones

176

Esta deformación no es muy agradable para la física ya que es picuda (no derivable, lo

que implica deformación y aceleración infinitas), pero por su simplicidad la vamos a

estudiar como ejemplo.

A simple vista, vemos que está deformación se parece mucho al modo

fundamental, por consiguiente, es de esperar que la amplitud sea

mayor que las demás amplitudes, es decir, el modo fundamental será el más intenso

(más excitado).

Otra cosa que podemos intuir es que el segundo armónico no se excitará, ya

que este modo tiene un nodo en el centro de la cuerda ( no se mueve),

y además, si consideramos como que ese nodo (en mitad de la cuerda) es el origen de

coordenadas, la función (diente de sierra) es una función par (respecto

a ese nodo) mientras que el segundo armónico es una función impar, e intuimos que

para aproximar a necesitamos funciones que posean su misma paridad,

por consiguiente esperamos que . Lo mismo va a pasar con todos los

armónicos pares, ya que todos tienen un nodo en el centro y son impares respecto a

ese punto, cosa que no es compatible con la deformación inicial, por ende, podemos

intuir que,

A

Figura 5-9: Cuerda inicialmente desplazada, con forma de diente de sierra.

Page 177: Oscilaciones

177

para todo par. 5-42

Comprobemos lo anterior analíticamente. A cada parte de la

cuerda tiene un desplazamiento correspondiente a la forma de diente de sierra, que

corresponde a decir que , o sea,

)f( = .....+2

+2

+2

)0,(3

3

2

2

1

1 xxsenAxsenAxsenAtx

. 5-43

Veremos que, la forma de determina las amplitudes.

Necesitamos primero definir a la función en un intervalo que

va desde a (aunque la cuerda sólo llega hasta

), y la forma adecuada es definirla de tal forma que sea periódica con

período . Esto resulta conveniente ya que, como inmediatamente

Page 178: Oscilaciones

178

veremos, aprovecharemos el hecho de que si integramos una función armónica (seno

o coseno) en un período o un múltiplo de período la integral se anula.

De acuerdo a lo anterior, redefinimos a la función de tal forma

que sea una función periódica con período , esto lo logramos

agregando una imagen especular, como muestra la figura 5-10,

De acuerdo a la figura 5-10 la expresión analítica de )(f x es (verificar):

donde la pendiente es 5-44

Una vez redefinida la función nos abocamos a hallar el valor de las amplitudes

de cada modo. Primero tratemos de hallar el valor de . Para ello

usamos el viejo truco de que las funciones armónicas se anulan si las integramos

sobre un período (una longitud de onda), o un múltiplo de un período, ya que tienen

tantos tramos positivos como negativos.

12 L

32 L

L 2L

-A

A

f(x)

x

Fig. 5-10

Page 179: Oscilaciones

179

Multipliquemos a , o , por e

integremos desde hasta , es decir :

...........+ 22

+ 22

+ 2

= 2

)f(

3

0 1

3

2

0 1

2

0 1

2

1

0 1

1

111

dxxsenxsenA

dxxsenxsenAdxxsenAdxxsenx

5-45

Sabemos que en una longitud de onda del modo fundamental

caben , , etc., usando este hecho es muy simple

demostrar que la única integral que no se anula es la primera, ya que las demás tienen

tantos tramos positivos como negativos. Entonces obtenemos:

, 5-46

y de aquí podemos despejar

Page 180: Oscilaciones

180

5-47

De igual forma, podemos hallar el resto de las amplitudes integrando (verificar):

5-48

Las expresiones 5-47 y 5-48 son completamente generales y valen para cualquier

función periódica.

Para el caso particular del diente de sierra las amplitudes se obtienen

integrando ambas expresiones, resultando (verificar):

5-49

Como esperábamos las amplitudes correspondientes a los modos pares se

anulan. Sobre la base de esto podemos reescribir la función como,

............+2

49

1

2

25

1+

2

9

12 1

8)0,(=)f(

7

531

2

xsen

xsenxsenxsenA

txx

5-50

Por consigiente, la función de onda que describe la evolución subsiguiente de la

cuerda es,

Page 181: Oscilaciones

181

............+cos 2

49

1 cos

2

25

1

+cos 2

9

1 cos

2 1

8),(

7

7

5

5

3

3

1

1

2

txsentxsen

txsentxsenA

tx

5-51

donde,

y 5-52

Note que hemos hecho un desarrollo (serie de Fourier), en el cual, una función

diente de sierra se ha descompuesto en una suma de infinitos términos armónicos.

Para tener una mejor visión de lo hecho se recomienda graficar la función

sobre la base de la expresión 5-50, y verificar que ha medida que

mejoramos la aproximación, teniendo en cuenta mayor cantidad de armónicos,

obtenemos una mejor aproximación a la función diente de sierra.

Con ayuda del programa Mathematica grafique en un mismo gráfico las

funciones:

Page 182: Oscilaciones

182

etc.

En la figura 5-11 mostramos el gráfico obtenido para ,

, , , y

(donde hemos usado y ),

Page 183: Oscilaciones

183

f1 (x)

f5 (x)

f3 (x)

f7 (x)

f9 (x) f21 (x)

Observe como a medida que agregamos más modos más se parece, el

desarrollo en serie, al diente de sierra. El gráfico de ya resulta una

muy buena aproximación, salvo el redondeo del borde, y mejora notablemente en el

gráfico de .

Una forma habitual en que puede manejarse la información obtenida, respecto

a la amplitud con que contribuye cada modo a la oscilación total, es con el gráfico

mostrado en la figura 5-12, denominado comúnmente como Espectro de frecuencias.

En donde en el eje x hemos identificado las frecuencias, mientras sobre el eje y hemos

identificado la amplitud correspondiente a cada modo.

Figura 5-11: Desarrollo de Fourier de la función f ( )x Gráfico de las funciones f1( )x ,

f3 ( )x , f5 ( )x , f7 ( )x , f9 ( )x y f21( )x .

Page 184: Oscilaciones

184

Puede verse que el modo fundamental es el que contribuye en mayor

intensidad, mientras que ya el noveno armónico puede llegar a despreciarse en alguna

aproximación.

Note que la amplitud es menor para modos más altos, esto resulta lógico desde

el punto de vista energético, ya que según vimos en la guía teórica 5-5, la energía de

una onda estacionaria crece a medida que aumenta la frecuencia de oscilación y la

amplitud. La energía de cada modo es,

5-53

donde , usando que , entonces la energía de cada modo

resulta,

, 5-54

lo que nos está indicando que la energía que le corresponde a cada modo (en el diente

de sierra) disminuye como la inversa del cuadrado del número del modo.

Timbre y consonancia. Sobre la base de lo aprendido podemos entender algunos

conceptos utilizados frecuentemente en música, como por ejemplo, el timbre de una

nota, la consonancia de notas y la disonancia.

El timbre de una nota musical lo determina la amplitud relativa con que

participa cada armónico en el sonido total. Una nota con el primer armónico,

solamente, es una nota pura, mientras que una nota con muchos armónicos es una

nota rica. Un violín produce una proporción de armónicos diferente de la que produce

un oboe, para la misma nota, es decir, producen notas con diferente timbre. El tamaño

y la forma de la caja de resonancia caracterizan el sonido que emite cada instrumento.

Figura 5-12: Espectro de frecuencias del desarrollo de Fourier de la función f ( )x .

Amplitud

frecuencia 3

1 7

5

Page 185: Oscilaciones

185

En los gráficos de la figura 5-13 se muestra el espectro de frecuencias

correspondiente a un violín y a un diapasón. Vemos que muchas son las frecuencias

que conforman el sonido de una dada nota de violín. Se observan cuatro frecuencias

que participan con mayor amplitud, pero vemos también que aparece un continuo de

frecuencias. Más aún, los picos no son líneas como las que vimos en el desarrollo de

Fourier de la cuerda, aquí aparecen picos con un cierto ancho, o entorno de

frecuencias, cercanas a la de mayor amplitud.

En cambio, en el caso del diapasón hay una frecuencia dominante, la nota es

casi pura, aunque no del todo, ya que vemos que no es una línea, sino un pico, con un

cierto ancho.

880Hz Frecuencia en Hz

Nivel de sonido

1760Hz440Hz 1320Hz

Violín

Podemos “fabricar” diversas notas si conectamos osciladores electrónicos (que

generan frecuencias casi puras) a un parlante. Deberíamos escoger las frecuencias de

los osciladores de manera que tengan los valores , ,

, etc. (armónicos). Ajustando entonces el control de volumen de cada

oscilador, podemos seleccionar la amplitud con que participa cada armónico, y por

consiguiente producir notas de diferente timbre (piano, violín, guitarra, etc.).

Decimos que dos notas son consonantes cuando tienen armónicos de la misma

frecuencia, por ejemplo, que el primer armónico de una nota concuerde con el

segundo armónico de la otra (por supuesto si esto se cumple concordarán muchos más

armónicos, verifique).

Figura 5-13: Espectro de frecuencias del sonido de una nota de violín y de un diapasón.

Mientras que la nota del violín es rica en frecuencias, la nota del diapasón es

“casi” pura.

Page 186: Oscilaciones

186

Dos notas son disonantes si sus armónicos superiores (primer armónico,

segundo, tercero, etc.) tienen frecuencias cercanas, pero lo bastante separadas como

para que haya pulsaciones rápidas entre las dos (el tema pulsaciones o batidos se

estudia en el capítulo siguiente).

Por alguna razón que no conocemos, las notas consonantes resultan agradables

a nuestros sentidos, mientras que las disonantes no.

5-17. (Recomendado). Repita los cálculos hechos, en la guía anterior, pero para el

caso de una deformación inicial (de la cuerda de longitud L) del tipo onda cuadrada,

como la mostrada en la figura 5-14. Discuta sobre su realidad física. ¿Se excita el

modo fundamental?. Discuta. Aproxime a la función cuadrada por su desarrollo de

Fourier para diferentes ordenes, grafique la función aproximada y compare con la

original.

Resp.

donde y

5-18. (Recomendado). Suponga que posee un generador de audio, cuya frecuencia de

salida es posible variar, dentro de cierto rango. Suponga además que el generador

tiene dos opciones, las cuales pueden seleccionarse por medio de una perilla, genera

una onda sinusoidal o una onda cuadrada.

L x 2L

-A

A

f(x) Fig. 5-14

Page 187: Oscilaciones

187

Con el generador de audio desea excitar el modo resonante de un sistema

masa-resorte de frecuencia natural .

a) Si el generador funciona en el modo sinusoidal, cual debería ser la frecuencia de

salida para que el sistema masa-resorte resuene. Resp.

b) Muestre que si el generador entrega una onda cuadrada de frecuencia

el sistema masa-resorte resuena. Discuta.

Ayuda: Analice detenidamente el desarrollo de Fourier de una onda cuadrada dado

en el problema anterior. Discuta.

Page 188: Oscilaciones

188

Bibliografía :

Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté.

Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill.

Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté.

Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté.

Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté.

Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana.

Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana

Page 189: Oscilaciones

189

Capítulo 6.

Superposición de ondas. Paquetes de onda.

Introducción:

En este capítulo profundizaremos el estudio de fenómenos asociados con la

superposición de ondas, luego continuaremos en los Capítulo 9 y 10 con el estudio de

interferencia y difracción de ondas, pero haciendo hincapié en ondas luminosas.

Comenzaremos estudiando el fenómeno de pulsación o batido. Lo

estudiaremos en el caso simple de la superposición de dos ondas armónicas con

frecuencias muy parecidas. Este fenómeno aparece en muchos procesos físicos, quizás

el más familiar es la pulsación que escuchamos al afinar una guitarra, cuando

intentamos que las dos cuerdas suenen con la misma frecuencia (ver ejercicio 6-2). La

característica fundamental del fenómeno de pulsación es la de transferencia de energía

de un sistema a otro en forma cíclica.

Supongamos que tenemos dos diapasones que resuenan en frecuencias

próximas. Si inicialmente hacemos vibrar a uno de ellos, transcurrido un tiempo,

veremos que el otro diapasón comienza a vibrar también, mientras que el primero

disminuye su amplitud de oscilación, se ha transferido energía de uno al otro, a través

del aire. Luego de un tiempo, el primer diapasón casi deja de vibrar mientras que el

segundo vibra con gran amplitud. Más tarde comienza un proceso inverso, es decir, el

segundo diapasón disminuye su amplitud de vibración y el primero la aumenta. Este

proceso continúa cíclicamente hasta que toda la energía se disipa, es decir, la energía

de vibración se transfiere de un diapasón al otro en forma cíclica, disipándose

lentamente.

Como siempre, aunque estudiamos los fenómenos en casos simples y casi sin

importancia, en realidad estamos pensando en situaciones mucho más complejas,

como por ejemplo, en fenómenos cuánticos, donde la pulsación aparece comúnmente

asociada a pulsaciones de la función de onda (onda de probabilidad), entre dos

estados. Un ejemplo “misterioso” de pulsaciones cuánticas se halla en la física de

partículas, en donde una partícula llamada kaón representa un estado complejo de dos

“partículas” (estados), que pulsan “como si existiesen un rato cada una”.

Posteriormente nos abocaremos al estudio de paquetes de onda. Ya hemos

comentado que las ondas armónicas no tienen realidad física, ya que se extienden

infinitamente en el espacio y no tienen ni comienzo ni fin en el tiempo. Las ondas que

observamos en la naturaleza, en general, ocupan una región finita del espacio, y tienen

un origen en el tiempo. Sin embargo veremos que es posible modelar a una onda real

(paquete de onda) por medio de una superposición infinita de ondas armónicas.

Page 190: Oscilaciones

190

Finalmente estudiaremos el efecto Doppler, fenómeno físico que nos resulta

muy familiar, más aún a aquellos que vivimos cerca de la vía del tren (o en ella).

Si ponemos atención a la sirena de un tren comprobaremos que escuchamos un

tono distinto cuando el tren viene hacia nosotros que cuando se va. Para ser más

precisos, cuando el tren se acerca a nosotros escuchamos a la sirena más aguda,

mientras que cuando se aleja la escuchamos más grave. Más notable resulta este

efecto cuando lo que escuchamos es una propaganda emitida desde un avión. Éste

fenómeno es utilizado en la medición de velocidades de automóviles (policía) y

aviones en movimiento (ejército).

Los ejercicios recomendados son el 7, 8, 9, 10 y 12.

6-1. Guía Teórica. Pulsaciones:

La interferencia de dos ondas armónicas de frecuencias diferentes pero muy

próximas, produce el interesante fenómeno conocido como batido o pulsación.

Consideremos dos ondas sonoras armónicas de igual amplitud ,

pero con frecuencias angulares y diferentes, y veamos

como se comporta la onda en un punto concreto del espacio (por ejemplo, el oído), a

lo largo del tiempo.

Antes, detengámonos un momento en estudiar el problema de como “sumar”

las dos ondas. Supongamos que las dos ondas provienen de dos parlantes distintos que

emiten en estéreo. Si sólo el parlante número 1 se halla encendido, y consideramos

que emite ondas, podemos modelar su función de onda por:

6-1

donde puede representar la variación de presión o densidad del aire

(viaja hacia la izquierda por comodidad).

Si ahora apagamos el parlante 1 y encendemos el 2 obtenemos otra onda,

Page 191: Oscilaciones

191

6-2

donde, como dijimos, las frecuencias de las ondas sonoras, que emiten los parlantes,

difieren entre sí (por simplicidad no tomaremos en cuenta los desfasajes iniciales).

Finalmente prendemos los dos parlantes a la vez, la pregunta del millón es ¿La

onda resultante, de la superposición de las perturbaciones producidas por ambos

parlantes, puede modelarse por la suma de las ondas y

?, es decir, ¿la función de onda,

6-3

describe correctamente el problema físico?. La respuesta es: no necesariamente.

Resulta difícil creerlo, sobre todo teniendo en cuenta nuestra educación

tradicional que nos estructura a actuar sistemáticamente, estamos acostumbrados a

pensar que “si se suman dos efectos, entonces, se suman sus consecuencias”, lo cual

en la mayoría de los casos es incorrecto. Ésta frase es sólo cierta si el problema que

analizamos puede modelarse por una ley dinámica lineal, que en la mayoría de los

casos no sirve para representar la realidad.

Comentario al margen: Ejemplo con conejos: Podemos dar un ejemplo que nada

tiene que ver con las ondas, el del crecimiento de poblaciones de, por ejemplo,

conejos.

Supongamos que en un determinado hábitat cerrado colocamos un cierto

número inicial de conejos, y a partir de ese momento estudiamos como evoluciona la

población.

En un principio, observamos que los conejos comienzan a reproducirse casi

exponencialmente. Pero vemos que, luego de transcurrido cierto tiempo, la

sobrepoblación resulta tal que comienzan a escasear el espacio y los alimentos y, por

ende, disminuye la capacidad reproductora de los conejos. De esta forma, la

población de los conejos llega a un punto en que ya no crece, estabilizándose en un

número máximo que llamamos número límite. Éste número depende de las

condiciones ambientales (espacio, alimentos, etc..).

Page 192: Oscilaciones

192

¿Qué tienen que ver los conejos con la suma de las ondas?, la respuesta la

podemos encontrar si pensamos en estas tres situaciones:

Primera situación: Supongamos que tenemos cuatro hábitat iguales, y en cada

uno de ellos colocamos un número de conejos igual a un cuarto del numero de

conejos límite. Como todavía el número de conejos esta lejos del límite, en cada

uno de los hábitat, ellos siguen divirtiéndose y reproduciéndose casi

exponencialmente.

Segunda situación: Juntamos los conejos en sólo dos hábitat (de cuatro pasamos

a dos). Es decir, en cada hábitat colocamos un número de conejos igual a la

mitad del número límite. Todavía el numero de conejos esta lejos del límite en

cada caso, por ello, siguen reproduciéndose casi exponencialmente, y todavía

vale aproximadamente la regla de tres simple, es decir, si en un hábitat ponemos

el doble de conejos entonces habrá el doble de reproducciones.

Tercera situación: Juntamos ambas poblaciones de conejos en uno solo de los

hábitat. Por consiguiente, el número de conejos ha llegado al número límite, y ya

no van a poder divertirse como antes. Ya no vale la regla de tres simple, es decir,

si en un hábitat ponemos el doble de conejos no habrá, en este caso, el doble de

reproducciones, en particular, casi no habrá reproducciones.

Podemos concluir que, el hecho de sumar los conejos no siempre se manifiesta en

una suma en las reproducciones. Esto se debe a que la dinámica de poblaciones no

sigue una ley lineal.

Vamos a suponer que el medio donde se propaga la onda es lineal (la

aproximación resulta adecuada en el caso de ondas sonoras de pequeña amplitud), o

sea, la dinámica del sistema puede describirse a partir de ecuaciones lineales, como

por ejemplo la ecuación lineal de ondas que hemos estudiado en el Capítulo 4. Por

consiguiente, la suma de las dos ondas (ecuación 6-3) es la solución del problema

físico.

Nos interesa conocer el comportamiento de la onda en las cercanías del oído,

por simplicidad supondremos que el oído se halla en la posición , y por

consiguiente,

6-4

Page 193: Oscilaciones

193

Supongamos que representa las variaciones de la presión del

aire respecto de la presión ambiental, es decir, , por consiguiente, la

amplitud representa la amplitud de las oscilaciones de presión, por lo

cual le cambiamos el nombre . De esta forma, reescribimos a la

expresión 6-4 como,

6-5

Para analizar al fenómeno de pulsación resulta conveniente escribir la expresión

anterior de otra manera, usando la identidad trigonométrica:

,

verifique que es posible reformular la expresión 6-5 como:

Page 194: Oscilaciones

194

6-6

donde hemos definido,

(frecuencia promedio)

y

(frecuencia de modulación).

Ahora analizaremos el caso concreto en que las frecuencias angulares 1 y 2

son diferentes pero muy próximas, y por ende es muy pequeña

comparada con la frecuencia media , o sea,

En este caso tendremos que el factor varía mucho más lentamente que

, es decir, mientras que completa varios períodos de

Page 195: Oscilaciones

195

oscilación varia muy levemente, en el mismo tiempo. Por consiguiente

podemos pensar que la onda está oscilando con una frecuencia

y que su amplitud está variando lentamente.

En la figura 6-1 se muestra una representación gráfica de las ondas

y , y de la onda resultante . Como

ejemplo, hemos elegido los valores , y

y .

Haga los gráficos mostrados en la figura 6-1 con ayuda del Mathematica, el

programa es:

w1=5;

w2=6;

tmax=16;

p1[t_ ]=Sin[w1 t];

p2[t_ ]=Sin[w2 t];

Plot[{p1[t],p2[t]},{t,0,tmax},

PlotRange->{-2,2},Ticks->None,

PlotPoints->500,AspectRatio->.7,

PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]},

{RGBColor[.2,1,0],Thickness[0.001]}}]

Plot[{p1[t]+p2[t],2 Cos[0.5(w2-w1) t],

-2 Cos[0.5(w2-w1)t]},{t,0,tmax},

PlotRange->{-2,2},PlotPoints->50,

Page 196: Oscilaciones

196

Ticks->None,

PlotPoints->500,

PlotStyle->{{RGBColor[0,0,0],Thickness[0.001]},

{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.001],Dashing[{0.03}]},

{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.001],Dashing[{0.03}]}}]

Page 197: Oscilaciones

197

De la figura, observamos que modula la amplitud de la onda.

En general se habla de que la onda tiene una amplitud modulada:

6-7

con lo cual puede expresarse como

Figura 6-1: Pulsación. Representación gráfica de las ondas 1p y 2p , y de la

onda resultante 21 ppp

p1 y p2

t

p=p1 + p2

t

3 5

cos(mod t)

Page 198: Oscilaciones

198

6-8

Observe, comparando las dos figuras, que los máximos de amplitud se logran en los

tramos en donde las dos ondas y están

momentáneamente en fase, mientras que los mínimos en los tramos en que se

encuentran desfasados .

El oído: El oído es capaz de distinguir dos frecuencias, y

, como dos tonos distintos sólo cuando éstas difieren en más de un

aproximadamente, es decir, en el caso en que las frecuencias difieren

en más del nuestro oído prefiere la expresión

6-5. En caso contrario, el oído, percibe un tono de frecuencia promedio

, cuya amplitud varía en el tiempo (Pulsación o Batido) es decir, en el

Page 199: Oscilaciones

199

caso en que las frecuencias difieren en menos del nuestro oído prefiere

la expresión 6-8.

El oído (más el cerebro) no distingue los valores positivos de los negativos de

, sólo distingue si la magnitud de es grande o pequeña.

Por esa razón, decimos que el oído actúa como un detector de ley cuadrática, es decir,

es sensible al cuadrado de la amplitud de la onda. tiene dos máximos

para cada ciclo de modulación, por consiguiente la frecuencia de repetición para la

secuencia “fuerte, débil, fuerte, débil....” es dos veces la frecuencia de modulación.

Esta repetición de valores grandes de se denomina frecuencia de

pulsación:

6-9

Algebraicamente puede verse así:

y usando la identidad trigonométrica,

Page 200: Oscilaciones

200

Es decir, oscila alrededor de su valor promedio con una frecuencia que

es el doble que la frecuencia de modulación.

6-2. (Actividad): Pulsaciones entre cuerdas de guitarra no idénticas débilmente

acopladas. Consiga una guitarra. Afine las dos cuerdas más bajas a la misma

frecuencia. Puntee una cuerda y observe la otra atentamente (Deben estar afinadas a la

misma frecuencia, lo más exactamente posible). Ahora puntee la otra y observe. ¿Se

transfiere completamente la energía de una cuerda a la otra durante el proceso de

pulsaciones? ¿Puede lograrse que la energía se transfiera completamente mejorando el

afinado? Describa lo que observa. ¿Cuál es la explicación?.

6-3. (Repaso). Considere el sistema de dos masas iguales acopladas

por resortes de constante elástica (resortes que ligan a las paredes) y

(resorte central, de acoplamiento entre las masas), de longitud

relajada , como se muestra en la figura 6-2.

Fig. 6-2 q k k

L

a b

Page 201: Oscilaciones

201

Para oscilaciones longitudinales alrededor del equilibrio:

a) Halle las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Newton), para las masas

y .

Resp.

b) Encuentre las coordenadas normales de oscilación. Haga un esquema de la forma

en que oscila cada modo (configuración del modo). Ayuda: debe hacer el cambio

de variables adecuado para desacoplar las ecuaciones diferenciales

( y ).

Resp. y

c) Halle las frecuencias de los modos normales de oscilación. ( y

).

Page 202: Oscilaciones

202

Resp. y

d) Halle la solución general de las ecuaciones de movimiento para cada masa

( y ).

Resp.

e) Suponga que inicialmente desplaza la masa “a” una distancia

hacia la derecha y la suelta (velocidad inicial cero), mientras que la masa “b”

permanece en reposo, es decir, , ,

y .

Halle las amplitudes y las fases adecuadas en la solución de y

.

Page 203: Oscilaciones

203

Ayuda: Como las velocidades iniciales de ambas masas valen cero entonces las

fases y valen cero, halle y

.

Resp. y

f) Pulsaciones: Ahora vamos a estudiar las pulsaciones que se producen en éste

sistema.

Definimos una frecuencia angular promedio:

y una frecuencia angular de modulación:

,

a partir de ellas, vuelva a escribir las soluciones de las ecuaciones de movimiento

pero ahora en función de y , muestre que las

soluciones para cada masa tienen la siguiente forma,

donde

Page 204: Oscilaciones

204

donde

Podemos imaginar las ecuaciones anteriores como las representaciones de una

oscilación a la frecuencia con amplitudes o

que no son constantes y varían con el tiempo (ver guía teórica 6-1).

Observe que y están desfasados , con

lo cual, cuando una masa oscila con gran amplitud la otra lo hace con pequeña

amplitud.

Ayuda, usar la relación trigonométrica:

g) Supongamos que las dos masas están débilmente acopladas entre sí, es decir, la

constante de acoplamiento del resorte central es mucho más pequeña que la de los

resortes que las unen a las paredes, es decir . Verifique que para

(a primer orden en el desarrollo de Taylor) se cumple:

,

Page 205: Oscilaciones

205

de esta forma, para , se cumple que (se dice que las

frecuencias está casi degeneradas).

h) Usando lo anterior, verifique que:

y para q<<K.

En un caso así, las amplitudes y varían muy poco

durante la mayor parte de lo que llamamos oscilaciones rápidas del .

Las oscilaciones con estas características se las conoce como oscilaciones

cuasiarmónicas (Pulsaciones).

i) Dibuje cualitativamente, en un mismo gráfico, como varían y

en función del tiempo.

j) Halle la energía cinética correspondientes a las dos masas.

k) Halle la energía potencial correspondientes a las dos masas.

l) Halle la energía total de cada masa y .

m) Ahora queremos analizar como se transfiere energía de una masa a la otra.

Siguiendo con la aproximación de acoplamiento débil entre las dos masas

Page 206: Oscilaciones

206

desprecie la energía potencial almacenada en el resorte central, y calcule el

promedio de las energías y sobre un ciclo rápido.

Ayuda: El promedio sobre un ciclo rápido se obtiene haciendo la aproximación de

que y se mantienen constantes (aproximadamente)

durante un ciclo rápido e integrando .

Resp. Las energías promediadas sobre un ciclo rápido son:

y ,

Se puede verificar que las energías cinéticas promedios (sobre un ciclo rápido),

de las masas “a” y “b”, son exactamente la mitad de las energías totales

halladas).

Note que la energía fluye de una masa a la otra. n) Otra forma de ver que la energía fluye de un lado al otro es definiendo la energía

total,

y usando

(verifique), resulta fácil despejar,

y

Page 207: Oscilaciones

207

o) Halle la frecuencia con que fluye la energía de un lado a otro (frecuencia de

pulsación). Resp. ,

6-4. Guía teórica: Transmisión de ondas de radio AM:

El sistema oído-cerebro humano puede detectar sonidos de frecuencias en el

rango de a . Si se intentara transmitir ondas de radio

(electromagnéticas) cuya variación estuviera gobernada directamente por las

frecuencias sonoras, tendríamos un sistema con mucho ruido. Una fuente grande de

ruido sería la corriente alterna domiciliaria de , que produciría un

sonido grave permanente.

Para solucionar este problema se han ideado diferentes formas de transmitir

información, las más comunes son las transmisiones de amplitud modulada (AM) y de

frecuencia modulada (FM).

Onda AM: Se parte de una onda armónica de frecuencia fija, propia de cada radio,

llamada onda portadora, que en el caso de las radios AM toma valores entre

a . La onda portadora no lleva información, consiste

simplemente en una onda armónica (idealización) de frecuencia . La

manera en que se logra transmitir la información sonora es variando la amplitud de la

onda portadora al son de la música (modulando).

Page 208: Oscilaciones

208

En la figura 6-3, ha modo de ejemplo, hemos representado una onda portadora

de frecuencia modulada por una onda armónica (sonido puro de un

diapasón) .

Page 209: Oscilaciones

209

A partir del gráfico de la figura 6-3, vemos que la onda resultante, en una dada

posición del espacio, puede representarse como (verifique),

6-10

A partir de la expresión anterior y del gráfico, podemos reescribir a la onda como,

6-11

donde hemos definido,

6-12

t

Amplitud

Onda modulante. Onda portadora

Figura 6-3: Onda de Amplitud Modulada (AM)

Page 210: Oscilaciones

210

y de esta forma, enfatizamos el hecho de que la onda oscila esencialmente con

frecuencia , pero con una amplitud que varía lentamente en el tiempo

(al son de la música).

Luego, esta onda es detectada por el radio receptor, sintonizado a la frecuencia

portadora. Un sistema de filtrado permite eliminar la onda portadora, recuperando la

onda sonora de frecuencia .

Banda de transmisión de la onda AM: La expresión 6-10 puede escribirse también

como,

6-13

usando la identidad trigonométrica,

reescribimos 6-13 como,

6-14

En esta última expresión, se observa que la onda modulada puede expresarse como

suma de tres ondas armónicas de frecuencias,

, y

Page 211: Oscilaciones

211

La frecuencia central es la de la onda portadora , mientras que a los

costados aparecen dos frecuencias nuevas y .

En el caso general en que se transmite un sonido más complejo que el de un

diapasón, podemos concluir, que la información de la onda AM se halla contenida

sobre un ancho de frecuencias, centrada en la frecuencia de la portadora. El ancho de

la banda de frecuencias está determinada por la máxima frecuencia sonora

transmitida, si suponemos que esta es aproximadamente , entonces la

onda modulada tiene frecuencias que están en el rango de,

y el ancho de banda resulta ser,

Debido a esto, las frecuencias portadoras, correspondientes a las diferentes

radioemisoras, deberían estar separadas entre sí por lo menos en para

que no se mezclen.

Ondas FM. En la onda AM, la información se halla en la amplitud de la onda, por esta

razón, variaciones de esta amplitud debido a otros fenómenos ajenos a la radio

(ruido), determinan una disminución de la calidad del sonido. Por ello, se ha ideado

otro método de transmisión de información que consiste en modular la frecuencia de

Page 212: Oscilaciones

212

la onda portadora (al son de la música), en lugar de modular la amplitud. La amplitud

se mantiene constante.

El radio receptor, recupera la información transformando estas variaciones de

frecuencia en variaciones de amplitud recuperando la onda modulante.

Con este sistema se logra disminuir enormemente el ruido, ya que no hay

información guardada en la amplitud, y el ruido puede filtrarse (electrónicamente) en

forma mucho más eficiente.

La frecuencias de radio FM se hallan entre los a

, aproximadamente. Este rango de frecuencias se halla dentro del rango

de absorción, de ondas electromagnéticas, de la ionosfera, por esta razón las radios

FM sólo pueden escucharse a distancias cortas de la radioemisora, ya que no se puede

usar las reflexiones de la onda en la ionosfera para abarcar distancias mayores.

6-5. Guía Teórica. Velocidad de Modulación y de Grupo:

Superposición de dos ondas armónicas de propagación. Examinemos dos ondas de

frecuencias 1 y 2, irradiadas por un mismo transmisor, por simplicidad de igual

amplitud:

y 6-15

La onda resultante (si las ecuaciones dinámicas son lineales) es la suma de las dos

funciones de onda:

Podemos seguir los mismos pasos dados en la guía teórica 6-1, cuando estudiamos

pulsaciones, y reescribir a la función de onda como una onda de propagación casi

sinusoidal modulada en amplitud (cuasiarmónica):

Page 213: Oscilaciones

213

6-16

donde hemos definido (verificar):

6-17

, 6-18

6-19

Note la diferencia con el ejercicio 6-2, antes la pulsación la analizamos en un

determinado punto del espacio (el oído), ahora vemos que la pulsación se propaga.

Velocidad de modulación. Ahora nos preguntamos algo muy importante, ¿a qué

velocidad se propaga la modulación?, o sea, ¿a qué velocidad se propaga la

información?.

Supongamos que . Entonces la salida del transmisor, en

, tiene la forma de oscilación modulada en amplitud que se muestra en

la figura 6-1 de la guía teórica 6-1.

Page 214: Oscilaciones

214

Ahora queremos analizar la velocidad con que se propaga, por ejemplo, la

cresta de la onda modulante , que se obtiene cuando . El

coseno vale 1 cuando su argumento cumple,

6-20

De esta forma, si transcurre un tiempo debemos desplazarnos una

distancia adecuada para reencontrar la cresta de la onda, de tal forma

que siga anulándose el argumento del coseno, es decir,

6-21

usando 6-20 y 6-21 (restando 6-21 menos 6-20) vemos que debe cumplirse,

6-22

Por lo cual, concluimos que la cresta se propaga con la velocidad de modulación:

6-23

Page 215: Oscilaciones

215

La velocidad con que se propaga la modulación (o la información) no necesariamente

va a concordar con la velocidad de fase o velocidad de propagación de la onda

armónica.

En el caso particular de un medio lineal donde la relación entre

y (relación de dispersión) viene dada por (o lo que es lo

mismo, ), donde v es la velocidad de fase, y no depende de la longitud

de onda, entonces se cumple que la velocidad de modulación concuerda con la

velocidad de fase, es decir,

6-24

En los medios dispersivos, es decir, aquellos medios en donde la velocidad de

propagación, o de fase, depende de su longitud de onda,

, 6-25

cada onda armónica se propaga con una velocidad de fase distinta, la velocidad con

que se propaga la modulación no concuerda con la de fase, y por esta razón, en

medios dispersivos, la onda se irá deformado a medida que avanza.

Velocidad de grupo. En la mayoría de los casos interesantes 1 y 2 difieren muy

poco entre sí. En el límite en que esa diferencia resulta infinitesimal, vemos en la

expresión

6-23, que el cociente de las frecuencias y los números de onda tiende a,

Page 216: Oscilaciones

216

6-26

En este límite, la velocidad de modulación recibe el nombre de velocidad de grupo,

6-27

La información se propaga a la velocidad de grupo. En particular la música se

propaga a la velocidad de grupo. Un transmisor de radio de amplitud modulada

(AM), emite ondas que pueden ser consideradas como una superposición de

componentes armónicas (análisis de Fourier) que ocupan una cierta banda de

frecuencias centrada en la frecuencia promedio . En el caso de una

estación de radio AM con (por ejemplo) una frecuencia promedio (portadora) de

y un ancho de banda de , el ancho de banda resulta

pequeño comparado con la frecuencia promedio, entonces la velocidad de grupo

resulta una buena aproximación para la velocidad con que se propaga

la información.

El análisis anterior puede generalizarse a todo tipo de información transmitida

por medio de ondas. Puede demostrarse que la información no se propaga, en general,

con la velocidad de fase sino con la velocidad de grupo.

Si la relación de dispersión es , entonces, la velocidad de fase

no depende de la longitud de la onda, es decir, todas las ondas armónicas se propagan

con la misma velocidad, por consiguiente, concuerda la velocidad de grupo con la

velocidad de fase, ya que,

Page 217: Oscilaciones

217

6-28

En este caso se dice que la onda es no dispersiva, ya que todas las ondas viajan juntas

manteniendo la forma a medida que se desplazan en el espacio y en el tiempo.

Como veremos en cursos posteriores, en Teoría de la Relatividad, la relación

de dispersión para ondas de partículas (funciones de ondas cuánticas), es un poco más

complicada, la relación entre y k resulta ser,

6-29

donde m es la masa en reposo de la partícula, c es la velocidad de la luz y

es la constante de Plank. Observe que ahora la velocidad de fase no

resulta igual para todas las longitudes de onda, ya que,

6-30

por lo cual, cada onda armónica posee una velocidad propia dependiente de su

longitud de onda. Por consiguiente, una onda formada por muchas ondas armónicas

superpuestas se dispersa a medida que avanza en el espacio-tiempo.

La información se propaga a la velocidad de grupo, que, en el caso relativista,

resulta,

Page 218: Oscilaciones

218

6-31

De observar la expresión 6-30, podemos concluir que, en el caso de ondas de

partículas relativistas, la velocidad de fase resulta mayor que la velocidad de la luz

(verifíquelo),

esto contradice, a primera vista, la teoría de la relatividad.

Esta contradicción se salva teniendo en cuenta que una onda real no puede ser

descripta por una onda armónica (ideal), sino que a lo sumo puede ser modelada por

una superposición de ondas armónicas (como veremos en la próxima guía teórica).

Por consiguiente, la onda real no se propaga a la velocidad de fase (mayor que c), sino

que lo hace a la velocidad de grupo, que como podemos observar de la expresión 6-31

resulta menor que la velocidad de la luz,

6-32

6-6. Guía Teórica. Paquetes de onda. Integral de Fourier:

Hasta ahora hemos estudiado ondas cuya característica principal es la de ser

periódicas en el espacio y en el tiempo. En la Naturaleza no siempre nos encontramos

con este tipo de ondas. En particular las ondas armónicas representan una idealización

ya que se extienden indefinidamente en el espacio y el tiempo, sin principio ni fin.

En la Naturaleza es más habitual la aparición de ondas no periódicas, pulsos

ondulatorios o trenes de ondas o también llamados paquetes de ondas, con principio y

fin. Mientras que las ondas armónicas tienen una frecuencia y longitud de onda

característica, los pulsos de onda no.

En el Capítulo 5 vimos que cualquier onda periódica, de longitud de onda

, podía descomponerse en una suma infinita de ondas armónicas con

Page 219: Oscilaciones

219

longitudes de onda , y frecuencias características

(armónicos), que se obtienen a partir de la relación de dispersión. En el caso de un

pulso de ondas también puede representarse como una superposición de ondas

armónicas, pero resulta necesario contar con una distribución continua de frecuencias.

Es decir, un pulso esta compuesto por una superposición continua de ondas armónicas

de diferente frecuencia.

Por ejemplo, sea la función de onda (no periódica), que

representa a un pulso (para simplificar el estudio la analizamos en un dado punto del

espacio, por ejemplo ). Esta onda se puede expresar como:

(Integral de Fourier) 6-33

Las funciones continuas y se llaman coeficientes de

Fourier de . Note la analogía entre la integral de Fourier y el desarrollo

de Fourier (estudiado en el capítulo anterior, para el caso de ondas estacionarias),

donde se ha reemplazado la suma sobre frecuencias discretas por una integral que

barre todas las frecuencias en forma continua y pesadas por los coeficientes

y .

Page 220: Oscilaciones

220

Espectro de frecuencias: Como ejemplo, vamos a construir un pulso o paquete de

onda, a partir de elegir los coeficientes de Fourier como,

y

si

0

21

otrotodopara

B

B 6-34

donde B es una constante y y son dos frecuencias

cualquiera. En la figura 6-4 hemos representado al coeficiente

(espectro de frecuencias). Como ejemplo, se han tomado los valores ,

y .

B=1

1 2 3 4 5 6 7

Figura 6-4: Espectro de frecuencias

Page 221: Oscilaciones

221

Un gráfico de los coeficientes de Fourier y .en

función de se conoce con el nombre de espectro de frecuencias.

A partir de estos coeficientes y de la integral de Fourier (ec. 6-33), es posible

obtener la función de onda del pulso, resultando (verificar),

6-35

En la figura 6-5 hemos graficado , vemos que la función de

onda tiene un valor significativo para valores del tiempo cercanos al cero,

amortiguándose a medida que el tiempo aumenta, debido a que figura

en el denominador de la expresión de la función de onda. La onda existe

significativamente, en el punto , sólo durante un intervalo pequeño de

tiempo.

Amplitud

Tiempo

Figura 6-5: Pulso de onda. Gráfico de la función .

Page 222: Oscilaciones

222

Note que 1 y el tiempo durante el cual dura el pulso, con gran amplitud, es

desde a aproximadamente. En general se toma como

parámetro distintivo, del tiempo que dura el pulso, la mitad del período mencionado,

es decir . A partir de esto, notamos que en el ejemplo se satisface la

relación aproximada,

o 6-36

Esta relación es característica de un paquete de ondas. Nos dice que la

distribución de frecuencias de las funciones armónicas que constituyen el paquete de

ondas y el tiempo de duración del mismo resultan

inversamente proporcionales,

6-37

es decir, si el pulso es corto ( chico), la onda se compone de un ancho

rango de frecuencias ( grande), mientras que si el pulso es largo, es

pequeño el ancho de frecuencias necesario para describir la función de onda.

Page 223: Oscilaciones

223

En particular, si la onda no es un pulso sino una onda armónica, corresponde a

infinito y , ya que, la onda posee una frecuencia única.

La relación 6-36, no es general, sólo se satisface si las ondas armónicas que

componen el pulso poseen fases adecuadas. Se puede demostrar, que la relación

general entre y resulta,

o 6-38

Nosotros hemos analizado a la onda en una posición fija , si

extendemos el estudio a todo el espacio hallamos (no lo haremos aquí) que existen

relaciones, similares a la 6-36 y a la 6-38, que relaciona la extensión en el espacio del

pulso y el ancho de los números de onda , la relación

resulta,

6-39

Como no puede transportarse información mediante una sola armónica, que no

tiene principio ni fin en el tiempo, la transmisión de impulsos cortos depende de la

capacidad de transmitir un intervalo amplio de frecuencias, problema de mucha

actualidad en el desarrollo de tecnología para la transmisión de información.

Para ampliar el tema recomendamos la lectura del libro Ondas, Curso de

Física de Berkeley, Vol. 3.

Page 224: Oscilaciones

224

Cuando estudiemos “física cuántica”, veremos que las relaciones dadas en 6-39

se relacionan con el “principio de incerteza de Heisenberg”, pero en ese caso, las

magnitudes relacionadas son la posición y el impulso lineal de la partícula,

6-40

donde, es la constante de Plank. Esta relación de incerteza, es propia

de una teoría ondulatoria (teoría cuántica), y una de las consecuencias es que si

determinamos la posición de la partícula con gran exactitud ( chico)

entonces el impulso se halla muy indeterminado ( grande), y viceversa.

Si un paquete de ondas ha de mantener su forma cuando se desplaza, todas las

ondas armónicas que componen el paquete deben moverse a la misma velocidad. Un

medio en que la velocidad de las ondas es independiente de su longitud de onda, o de

su frecuencia, se denomina medio no dispersivo. A veces la velocidad de la onda en

un medio dispersivo depende sólo ligeramente de la frecuencia. En estas condiciones,

un paquete de onda cambia su forma lentamente durante su propagación.

La velocidad del centro del paquete, no es la misma que las velocidades de

fase de cada onda armónica. El paquete como un todo se mueve con la velocidad de

grupo definida anteriormente.

Page 225: Oscilaciones

225

6-7. (Recomendado). Un pulso luminoso (fotón) tiene una extensión temporal

. Sabiendo que la velocidad de la luz es y que la

relación de dispersión es ,

a) ¿Qué significa que dure .

b) ¿Cuál es el ancho de frecuencias que forman el pulso?.

c) ¿Cuál es el ancho ?.

d) ¿Cuál es la extensión espacial del pulso ?.

e) Si el pulso tiene una longitud de onda principal, o central, o media ,

halle . Cuidado , medite.

f) Optativo. Repita el cálculo suponiendo que el fotón es una partícula relativista con

masa m.

6-8. Guía teórica. Efecto Doppler:

Page 226: Oscilaciones

226

El efecto Doppler es un fenómeno físico que nos resulta muy familiar, más

aún a aquellos que vivimos cerca de la vía del tren (o en ella).

Si ponemos atención a la sirena de un tren comprobaremos que se escucha un

tono distinto cuando el tren viene hacia nosotros que cuando se va. Para ser más

precisos, cuando el tren se acerca a nosotros escuchamos la sirena más aguda,

mientras que cuando se aleja la escuchamos más grave. Más notable resulta este

efecto cuando lo que escuchamos es una propaganda emitida desde un avión. Éste

fenómeno tiene aplicaciones técnicas en la medición de velocidades de automóviles

(policía) y aviones en movimiento (fuerza aérea).

Para entender conceptualmente el fenómeno vamos ha analizar un ejemplo

concreto. Supongamos que dos niños se hallan jugando en la vereda. Uno de los niños

(Fede), se encuentra parado mirando como Gabriela anda en bicicleta. Los niños

tienen una bocina que emite una onda sonora de período y frecuencia

. Vamos a analizar detenidamente como varía el tono del sonido en dos

situaciones que en principio parecen simétricas pero que como veremos no lo son.

Fuente en reposo y Receptor en movimiento:

Supongamos que Fede toca la bocina (fuente sonora), mientras Gabi se le

acerca con su bicicleta a una velocidad ., tal como muestra la figura 6-

6.

Como tanto la fuente sonora como el niño se hallan en reposo respecto del

aire, Fede percibe el sonido con el mismo tono con que es emitido, o sea, con el

mismo período y frecuencia,

Tuu

vG

Figura 6-6: Efecto Doppler. Los sonidos se escuchan más agudos cuando nos

acercamos a la fuente emisora.

Page 227: Oscilaciones

227

, y 6-41

y también con la misma longitud de onda, que podemos obtener a partir de la relación

de dispersión, sabiendo que la velocidad de propagación de la onda es la velocidad del

sonido ,

6-42

Este resultado puede visualizarse pensando lo siguiente: Luego de emitirse una cresta

de onda, esta se propaga a la velocidad del sonido . Transcurrido un

período se emite la siguiente cresta. Por lo tanto, la primera cresta ha

logrado alejarse una distancia igual a (ver figura 6-7):

En la figura 6-7 se muestra un esquema de las crestas de onda en un

determinado instante, y se identifica la longitud de onda correspondiente. Vemos que

Page 228: Oscilaciones

228

las crestas de onda se alejan de la fuente a la velocidad del sonido ,

mientras que Gabi se acerca con velocidad .

Gabriela se acerca hacia la fuente sonora, debido a esto escucha un tono más

alto, o sea, mayor frecuencia. Para demostrarlo analizaremos nuevamente el problema

desde el punto de vista de Gabi, es decir, desde un sistema de referencia fijo en ella

(sistema de referencia móvil):

Desde el punto de vista de Gabriela, la longitud de onda no cambia ya que dentro

del marco de la Mecánica Clásica (no relativista) las longitudes medidas por un

sistema en reposo y otro en movimiento concuerdan (Relatividad de Galileo). Por

consiguiente,

6-43

Esto último no es cierto cuando las velocidades son comparables con la velocidad

de la luz. En ese caso la Mecánica Clásica ya no es válida y es necesario apelar a la

Teoría de la Relatividad.

En el sistema en reposo respecto del aire (Fede), las crestas de las ondas se alejan

de la fuente a velocidad mientras que Gabi se acerca con velocidad

Figura 6-7: Esquema de los frentes de onda correspondientes a una fuente en reposo

respecto del aire.

vG=2m/seg

=0,34m

vS=340m/seg

Page 229: Oscilaciones

229

. Pero desde el punto de vista de Gabi (sistema de referencia móvil),

ella esta quieta y las crestas se le acercan con una velocidad mayor que la

velocidad del sonido. De acuerdo a la relatividad clásica, esta velocidad resulta,

segmvvóvil sistema mción en elde propagavelocidad 342 GS 6-44

Otra forma de pensar el resultado anterior, es observando que el fenómeno es

equivalente a que Gabi estuviera en reposo y el sonido se aproximase a ella, pero

con viento de velocidad (en la misma dirección que el sonido).

Al cambiar la velocidad, con que la onda se propaga, cambia la frecuencia ya que

la relación entre longitud de onda y frecuencia es,

6-45

De esta forma, Gabi escucha un tono levemente superior al original de la bocina

( ). De la ecuación 6-45, comprobamos que mientras mayor es la

velocidad con que se acerca Gabi, mayor resulta la frecuencia con que escucha el

sonido (más agudo).

Usando la ecuación 6-42, podemos reescribir la ecuación 6-45, en la forma,

HzffHzv

vf

v

vvf

f

v

vvvvf

1000 88,10051

Fede

S

G

S

GS

S

GSGS

Gabi

6-46

Page 230: Oscilaciones

230

Note que la frecuencia no depende de la distancia que separa a los

niños, sólo depende de la frecuencia con que emite la fuente, de la

velocidad del sonido y de la velocidad de la bicicleta

(Es muy común pensar que la frecuencia está variando a medida

que se acercan la fuente y el receptor, lo cuál no es cierto).

A partir de 6-46 podemos calcular el período de la onda según lo percibe el

receptor en movimiento (Gabi),

6-47

Cuando Gabi pasa junto a Fede y comienza a alejarse con su bicicleta, ver

figura 6-7, sucede el fenómeno inverso al estudiado, es decir, la frecuencia que

percibe el receptor móvil ( ) resulta menor que la frecuencia propia

de la bocina, o sea, Gabi escucha un sonido más grave.

Figura 6-8: Efecto Doppler. Los sonidos se escuchan más graves cuando el receptor

se aleja de la fuente emisora.

vG

Tuu

Page 231: Oscilaciones

231

Este fenómeno resulta simple de interpretar siguiendo un razonamiento similar

al anterior, la única diferencia es que el receptor (Gabi) ahora se aleja con velocidad

y por consiguiente, visto desde un sistema fijo a Gabi, las crestas de

las ondas se acercan a ella con una velocidad menor que la del sonido (viento

contrario), igual a,

segmvvvilmsistemaelennpropagaciódevelocidad 338 ó GS 6-48

por consiguiente,

6-49

y a partir de la ecuación 6-42,

6-50

Comparando las ecuaciones 6-46 y 6-50, comprobamos que sólo cambia el signo de

.

Fuente en movimiento y Receptor fijo:

Analicemos ahora otro ejemplo, que en principio pareciera ser el simétrico del

caso anterior, pero no lo es. Supongamos ahora que la que toca la bocina es Gabi y no

Fede, ver figura 6-9.

vG

Tuu

Figura 6-9: Efecto Doppler. Los sonidos se escuchan más agudos cuando la fuente

emisora se acerca a nosotros.

Page 232: Oscilaciones

232

En este caso la fuente o emisor del sonido está en movimiento (Gabi), mientras que el

receptor está en reposo (Fede).

En principio uno podría apelar a la celebre frase “todo es relativo, nada es

absoluto” y creer que da lo mismo quién se mueve y que lo importante sólo es la

velocidad relativa. Esto no es cierto, ya que nos estamos olvidando de un elemento

importante del sistema. El sistema no está formado sólo por Gabi y Fede sino que

también por el aire, medio sobre el cual se propaga el sonido.

Al tener en cuenta el aire, vemos que no resulta lo mismo que la fuente se

mueva respecto del aire, a que no se mueva, como no es lo mismo que el sonido se

propague en un medio en reposo a que se propague con viento. En el caso de la

propagación de la luz, si resultan equivalentes ambas situaciones, ya que se propaga

en el vacío, pero el cálculo se complica ya que resulta necesario apelar a la teoría de la

relatividad.

El cálculo a realizar es equivalente al anterior, salvo que ahora la onda se

origina en el sistema de referencia móvil (Gabi), el cual se desplaza respecto del

medio de propagación (el aire en reposo). Los puntos ha tener en consideración son:

Gabi percibe el sonido con el mismo tono con que es emitido, o sea, con el mismo

período y frecuencia,

, y 6-51

Como dijimos en el caso anterior, dentro del marco de la Mecánica Clásica, las

longitudes no cambian al ser medidas en diferentes sistemas de referencia, por lo

tanto, se cumple,

6-52

Page 233: Oscilaciones

233

donde hemos primado a la longitud de onda ( ) para recalcar que no

es igual a la longitud de onda que tendría si la fuente se hallase en reposo

respecto del aire , ver figura 6-11.

La longitud de onda se modifica respecto a la de una onda emitida por una

fuente en reposo respecto del aire. Para entender este fenómeno observemos la

figura 6-11, y tratemos de calcular la distancia existente entre dos crestas de onda,

o sea la longitud de onda.

Si la fuente sonora (bocina) se halla en reposo con el aire, ya hemos hallado en

6-42 que, la longitud de onda es . La fuente sonora demora un

tiempo en desplegar un ciclo completo de la onda, esta se propaga a

la velocidad del sonido , por lo tanto, las crestas se separan una de

otra una distancia igual a (ver figura 6-11).

En cambio, si la fuente se halla en movimiento (acercándose), luego de

emitirse una cresta de onda y transcurrido un período , la cresta

Page 234: Oscilaciones

234

recorre una distancia , pero la fuente también ha avanzado, en esa

misma dirección, una distancia , por consiguiente al salir la

siguiente cresta, ambas distan entre sí (ver figura 6-11):

6-53

A partir de 6-53, obtenemos,

6-54

Esto también lo podemos entender pensando que, para Gabi (sistema móvil), el

aire esta en movimiento (viento) con velocidad , por lo cual, el

sonido se propaga hacia adelante a una velocidad menor (respecto de Gabi),

6-55

La longitud de onda (hacia adelante), en el sistema móvil, la obtenemos a partir de

la relación de dispersión

6-56

Page 235: Oscilaciones

235

que concuerda con lo obtenido en 6-54.

Una vez calculada la longitud de onda , a partir de la relación de

dispersión podemos calcular la frecuencia con que percibe el sonido el receptor en

reposo (Fede), es decir,

6-57

donde claramente, a pesar de originarse la onda en una fuente en movimiento, la

velocidad con que se propaga la onda en el sistema en reposo es simplemente la

velocidad del sonido . De 6-58 obtenemos,

6-58

A partir de 6-58 podemos calcular el período de la onda según lo percibe el

receptor en reposo (Fede),

6-59

Las ecuaciones 6-58 y 6-59 confirman que “si la fuente sonora se acerca al

receptor, el sonido se escucha más agudo”, al igual de lo que sucedía cuando el

receptor se acercaba a la fuente. Pero note, comparando las ecuaciones 6-46 y 6-58,

que los resultados difieren levemente. La diferencia es debida a que la onda se

propaga en el aire, medio que se halla en reposo respecto a uno de los

participantes, por lo cual la situación no resulta simétrica.

Page 236: Oscilaciones

236

Para velocidades pequeñas respecto a la velocidad del sonido,

las expresiones 6-46 y 6-58 dan aproximadamente los mismos resultados. Para

comprobar esto, reescribimos a la ecuación 6-58 en la forma,

6-60

y cuando se puede aproximar,

6-61

que concuerda con lo obtenido en 6-46 para la fuente en reposo, salvo por el

intercambio Fede-Gabi.

Cuando Gabi pasa junto a Fede y comienza a alejarse con su bicicleta (figura

6-10), resulta fácil comprobar que la frecuencia con que Fede percibe los pulsos es

menor que la de emisión , se escucha más grave.

En la figura 6-11, se muestra un esquema de los frentes de onda

correspondientes a las dos situaciones estudiadas. Si la fuente se halla en movimiento

vemos que, en el sentido del movimiento, la longitud de onda disminuye a

Tuu

vG

Figura 6-10: Efecto Doppler. Los sonidos se escuchan más graves cuando la fuente

emisora se aleja de nosotros.

Page 237: Oscilaciones

237

, mientras que en el sentido contrario la longitud de onda aumenta a

.

La fuente de sonido demora un tiempo en desplegar un ciclo

completo de la onda armónica, pero en ese tiempo la fuente se mueve una distancia

, por lo cual, la onda que avanza hacia atrás disminuye su longitud de

onda en , mientras que la que avanza hacia adelante aumenta en

.

=0,34m

Fuente en reposo respecto del aire.

=0,338m =0,342m

vG=2m/seg

Fuente en movimiento respecto del aire.

Figura 6-11: Esquema de los frentes de onda correspondientes a una fuente

en reposo y otra en movimiento.

Page 238: Oscilaciones

238

Visto desde el sistema de referencia fijo en Gabi, el sonido se propaga hacia

atrás con una velocidad mayor que (ya que Gabi se aleja de las crestas

emitidas, ver figura 6-11), o sea,

GS vvmóvilreferenciadesistemaelennpropagaciódevelocidad 6-62

y la longitud de onda (hacia atrás) de la onda, en el sistema móvil, la obtenemos a

partir de la relación de dispersión

6-63

que como esperábamos, es mayor que la longitud de onda hacia adelante.

A partir de la relación de dispersión calculamos la frecuencia con que percibe

el sonido el receptor en reposo detrás de la fuente, es decir,

6-64

en donde comprobamos que la frecuencia percibida por el receptor es menos a la

frecuencia de emisión. Comparando las ecuaciones 6-58 y 6-64, comprobamos que sólo

cambia el signo de .

El efecto Doppler es utilizado en la medición de las velocidades de

automóviles (policía) y aviones en movimiento (fuerza aérea). Se envía una onda

sonora hacia el móvil, luego se detecta la onda reflejada y se la compara con la

original. Como la diferencia de frecuencias es muy chica (velocidades relativas bajas)

es posible determinar la variación de la frecuencia a partir de medir las pulsaciones

que se producen al superponer ambas señales. Luego de obtener la variación en la

frecuencia de la señal, se obtiene la velocidad del móvil.

Otro ejemplo muy conocido de efecto Doppler es el del corrimiento al rojo

observado en las señales electromagnéticas provenientes de galaxias lejanas, efecto

que probaría que las galaxias se están alejando de la tierra (Big Bang). Las señales

provenientes de galaxias que se alejan, llegan a nosotros con una frecuencia menor

que la frecuencia con que fueron emitidas. Por ejemplo, si desde una galaxia, que se

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aleja, se emite luz naranja, es posible que llegue a nosotros de color rojo (menor

frecuencia). El nombre corrimiento al rojo sólo expresa esta disminución de las

frecuencias, no que se transformen siempre en rojo.

El corrimiento es comprobado a partir del análisis de la luz proveniente de la

galaxia. Estudiando su espectro, podemos encontrar series de franjas correspondientes

a elementos conocidos, por ejemplo hidrógeno. Todos los estudios, hasta el momento

realizados, verifican un corrimiento al rojo de los espectros.

En el caso de la luz, los cálculos que hemos hecho (para evaluar el efecto

Doppler) no son válidos, ya que resulta necesario aplicar la teoría de la relatividad.

¿Qué sucede si la velocidad del sistema móvil supera la velocidad del sonido?.

Como ejemplo, analicemos el caso en que la fuente se halla en movimiento y

el receptor en reposo (figura 6-6). En la expresión 6-47 y su equivalente la 6-59, hemos

obtenido la relación entre los períodos percibidos en cada sistema, por ejemplo, en el

caso de una fuente sonora (Gabi) en movimiento obtuvimos (ec. 6-59),

6-65

¿Qué sucede si en lugar de ser Gabi la que se mueve tocando la bocina, es un avión

que genera un terrible ruido con sus turbinas?. Y ¿qué sucede si el avión se mueve a

velocidades supersónicas, es decir, con velocidad mayor al sonido ?.

En ese caso pareciera que la expresión 6-65, deja de tener sentido, ya que,

y por consiguiente, el período , percibido por el receptor en reposo, nos

da negativo, lo cual no tiene sentido. Claramente la cuenta que hicimos no tiene

validez para velocidades superiores al sonido.

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Para fijar ideas de lo que sucede en este caso observemos la figura 6-12. La

fuente se desplaza a mayor velocidad que el sonido, por lo cual, los frentes de onda

(esféricos en la figura) quedan detrás, no hay ondas delante de la fuente. Los frentes

de onda se acumulan detrás de la fuente, formando un cono. Esta onda de choque,

produce un estruendo impresionante cuando es percibido por el receptor.

En la figura 6-12, la línea punteada delimita el cono donde se halla contenida

la onda de choque. Cualquier persona que se halle dentro del cono, ya ha escuchado el

sonido, mientras que aquellas personas que se hallan fuera, aún no la han escuchado.

El ángulo (ver figura 6-12) puede hallarse fácilmente a partir de la velocidad

de la fuente y la velocidad del sonido, verifique que se satisface,

6-66

A medida que aumenta la velocidad de la fuente, disminuye el ángulo del

cono.

Este tipo de onda de choque se observa comúnmente en ríos cuando avanza

una lancha con una velocidad mayor a la correspondiente a la propagación de las

ondas en el agua. Otro ejemplo es el de un latigazo, el chasquido que se escucha

corresponde a la formación de una onda de choque debida que la velocidad de la tira

de cuero supera la velocidad del sonido.

v>vS

Figura 6-12: Onda de choque. La velocidad de la fuente emisora de ondas,

es mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio.

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6-9. (Recomendado). La frecuencia de la bocina de un coche es . Si el

coche se mueve (con respecto al aire en reposo) hacia un observador estacionario con

una velocidad (alrededor de ),

a) ¿Qué longitud de onda mide el observador?. Resp.

b) ¿Qué frecuencia?. Resp. .

c) Repita los ítems anteriores pero ahora considerando que el auto se aleja del

observador. Saque conclusiones.

Tomar como velocidad del sonido en el aire .

6-10. (Recomendado). La frecuencia de la bocina de un coche es . Si

el coche está parado,

a) ¿Qué longitud de onda mide un observador que se mueve a través del aire (en

reposo) hacia el coche a ?. Resp. no cambia.

b) ¿Qué frecuencia?. Resp. .

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c) Repita los ítems anteriores pero ahora considerando que el observador se aleja del

auto. Saque conclusiones.

Tomar como velocidad del sonido en el aire .

6-11. Cuando un tren que se mueve a se acerca a un oyente

estacionario, toca su silbato, que tiene una frecuencia de .

a) Cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras delante del tren?. Resp.

b) Qué frecuencias escucha el observador?. Resp. .

Tomar como velocidad del sonido en el aire .

6-12. (Recomendado). Medidas astronómicas precisas han demostrado que la luz

proveniente de dos puntos extremos del sol tienen una frecuencia ligeramente

diferente. Suponiendo que esos puntos son A y B, mostrados en la figura 6-13, y

suponiendo que la luz proveniente del punto A tiene una longitud de onda menor que

la que proviene de B, ¿Qué nos dice sobre el movimiento del sol?.

A B

Fig. 6-13

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Bibliografía :

Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté.

Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill.

Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté.

Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté.

Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté.

Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana.

Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.