Oscilaciones Eléctricas Forzadas

Fernández, E. (1), Hoyos, D. (2), Vélez E. (1)

1. Ingeniería eléctrica, escuela de ingeniería eléctrica, facultad de ingeniería.2. Ingeniería de alimentos, escuela de ingeniería de alimentos, facultad de ingeniería.

Resumen-En esta sección de laboratorio se estudió las oscilaciones eléctricas forzadas, para este fin se contó con un montaje experimental el cual consta de un circuito RLC serie junto con la fuente de señal o generador de funciones y el elemento visualizador como lo es el osciloscopio, como primer paso en el laboratorio se ajustaron los elementos del circuito (RLC) a valores nominales fijos y el generador se ajustó a una frecuencia inicial de 1781 +/- 1 Hz a partir de esta valor se comenzó a variar la frecuencia hasta hallar la frecuencia en la cual la amplitud era máxima, que para nuestro procedimiento fue de 15626 +/- 6 rad/seg, la cual comparada con la hallada en teoría se obtuvo un error del 15,84%. En la segunda parte se comenzó a variar el valor del condensador y para cada valor se halló la respectiva frecuencia en la cual la amplitud era máxima al graficar estos valores la pendiente nos proporciona el valor experimental de la inductancia el cual fue de 1,1502 +/- 0,000755 con un error del 30,85% comparándolo con el valor nominal de la bobina que era de 879 +/- 1 mH.

INTRODUCCIÓN

Se denominan circuitos RLC a aquellos en los cuales se tienen en cuenta el efecto resistivo, inductivo y capacitivo a la vez. En la práctica son circuitos donde hay resistencias (R), bobinas (L) y condensadores(C) que son los más reales. Como se sabe, los componentes no son ideales y por ello en los circuitos siempre aparece un más o menos efecto resistivo, inductivo y capacitivo. [1]

Si la resistencia es relativamente pequeña, el circuito aun oscila, pero con un movimiento armónico amortiguado y se dice que el circuito está sub-amortiguado. Si R se incrementa, las oscilaciones cesan con más rapidez. Cuando R alcanza cierto valor, el circuito deja de oscilar; esta críticamente amortiguado, para valores aun mayores de R, el circuito esta sobre amortiguado y la carga del capacitor se acerca a cero aun más lentamente. [2]

La resonancia es un efecto de especial relevancia que se puede dar en los circuitos

eléctricos que contengan condensadores y bobinas, y que tienen una gran importancia en los circuitos de comunicaciones en general. Por ejemplo, en todos los aparatos de radio y TV se aprovecha dicha característica en los circuitos de sintonización de emisoras. [1] Las ecuaciones empleadas para el desarrollo experimental de la práctica oscilaciones eléctricas amortiguadas se presentan a continuación: [3]

Ld2 Id t 2

+RdIdt

+ 1c

I=ωeV o cos (ωe t )(1)

ωr=√ 1LC

(2)

Q=ωo L

R(3)

Donde,

L Inductancia

I CorrienteR ResistenciaC Capacitancia ωe Frecuencia externaV o Voltaje inicialt Tiempoωr Frecuencia de resonanciaQ Factor de calidadm Pendiente de la linealización

El desarrollo de la práctica tiene como objetivo estudiar la corriente y el voltaje en función de la frecuencia, además de analizar el comportamiento de las oscilaciones eléctricas forzadas para un circuito RLC. Por último determinar de manera experimental la resonancia eléctrica presentada por dicho circuito y su respectivo factor de calidad.

PROCEDIMIENTO

El primer paso en el estudio de las oscilaciones electricas forzadas, fue la realizacion del montaje mostrado en la Figura 1, correspondiente al montaje 1, en el cual se escogieron valores para R, L, C fijos y una frecuencia inicial en el orden de los 1000 Hz, para este caso los valores ajustados se muestran en la tabla 1.

Figura 1. Esquema del circuito del montaje 1.

Tabla 1. Valores ajustados del primer procedimiento.

Elemento Valor ajustadoR 4,57 +/- 0,01 KΩL 879 +/- 1 mHC 0,0033 +/- 0,00001 µF

f e 1781 +/- 1 Hz

Una vez montado el circuito con los valores ajustados y observando en el osciloscopio que esta señal no se amortiguara, se comenzó a variar la frecuencia en cambios aproximados de 200 Hz, los valores de amplitud de la señal resultante en el condensador se registraron tomando la amplitud pico a pico para cada una de las frecuencias ajustadas en el laboratorio.

La segunda parte del experimento se repitieron los pasos anteriores pero en este caso, se hicieron variaciones en el valor nominal del condensador en el circuito y para cada uno de estos condensadores se buscó la frecuencia en la cual la amplitud de la señal tenía un máximo de amplitud.

RESULTADOS

En la primera parte del laboratorio con los elementos de circuito fijos se obtuvieron los datos, los cuales se encuentran consignados en la tabla 2.

Tabla 2. Amplitud pico a pico para cada frecuencia.

Frecuencia +/- 1( Hz) Amplitud p-p +/- 0,4( Vpp)1781 8,81977 10,42096 11,22487 15,22677 13,62814 11,22975 8,8

Con los datos de la Tabla 2, se procedió a graficar la relación entre el voltaje pico a pico y la frecuencia del generador, dicha gráfica se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Gráfica de la relación entre el voltaje pico a pico en función de la frecuencia We.

Observando la gráfica y la tabla 2 podemos ver claramente que la máxima amplitud es de 15,2 +/- 0,4 Vpp y corresponde a una frecuencia de 2487 +/- 1 Hz o cuando w e=15626+¿−6 rad / seg.

Si hacemos uso de la ecuación de resonancia la cual nos dice que la frecuencia de resonancia está dada por la expresión

w r=1

√LC, podemos calcular la frecuencia

de resonancia teoría con los valores fijos ajustados previamente, de la siguiente manera:

w r=1

√879mH ∙0,0033µF=18567Hz

Si comparamos estos valores encontramos un error del 15,84% en la frecuencia experimental.

El factor de calidad del sistema está dado por la ecuación 3, para el sistema utilizado en la práctica se obtuvo el siguiente factor de calidad, utilizando el valor de frecuencia de resonancia hallado anteriormente:

Q=15626 ∙879mH4.57K Ω

=2.922+¿−0,009

Para la segunda parte del laboratorio se hizo variar el valor del condensador y se registraron las diferentes frecuencias de resonancias, estos valores se muestran en la Tabla 3.

Tabla 3. Frecuencias de resonancias obtenidas al variar el valor del condensador.

C +/- 1 nF (µF)

f r +/- 1 Hz (Hz)

w r +/-6 (rad/seg)

w r teórica(rad/seg)

0,0047 2168 13621 155580,0068 1760 11058 12934

0,01 1553 9757 106660,015 1191 7483 8708

Con los resultados obtenidos se procedió a

graficar la relación entre w r2 en función de

1/C esta relación se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Relación entre el cuadrado de la frecuencia de resonancia en función del inverso del condensador.

De la figura anterior, se obtuvo a partir de la linealización una pendiente de 0,8694 +/- 0,03312 H−1.

Al graficar la relación anterior y guiándonos por la ecuación 2 de la resonancias encontramos que la pendiente de esta gráfica corresponde al inverso de la inductancia de la bobina por lo cual el valor experimental para la magnitud de la bobina

es: 1,1502 +/- 0,000755 H. Al comparar el valor experimental con el teórico el error fue de 30,85%.

ANÁLISIS DE RESULTADOS

De la figura 2 se observó que la relación entre el voltaje pico a pico de la señal y la frecuencia externa de la fuente de alimentación describe un movimiento parabólico, donde el punto más alto esta dado por el voltaje pico a pico más grande equivalente a la máxima amplitud de oscilación y correspondiente a la frecuencia de resonancia, así mismo se pudo determinar que a medida de que la frecuencia externa se va acercando a la frecuencia de resonancia por cualquiera de los dos lados, el voltaje pico a pico de la señal va aumentando. De modo experimental, con valores fijos para cada elemento del circuito, iguales a: R=4,57 +/- 0,01 KΩ, L=879 +/- 1 mH y C=0,0033 +/- 0,00001 µF, se obtuvo una frecuencia de resonancia de 15626+¿−6 rad /seg para un voltaje de 15,2 +/- 0,4 Vpp, al mismo tiempo de forma teórica utilizando la ecuación 2, se calculo que la frecuencia de resonancia debería de ser en teoría igual a 18567Hz. Al comparar los valores hallados para la frecuencia de resonancia de forma experimental y teórica se determinó un porcentaje de error del 15,84%, que pudo ser debido a errores en la observación del punto correspondiente a la frecuencia de resonancia en el osciloscopio por parte de los experimentadores.

En cuando al factor de calidad del sistema se obtuvo a partir de la ecuación 3 un Q=2.922+¿−0,009, lo que significa que el sistema tiene una relación muy baja entre su

capacidad de almacenar energía y la capacidad del circuito para disipar energía, ya que se considera como un alto valor de calidad cuando Q >10.

A partir de la figura 3, se logro establecer que

la relación entre w r2 y 1/C, describe un

comportamiento lineal, el cual a su vez es directamente proporcional, por lo tanto a medida de que aumenta el cociente 1/C

aumenta el valor de w r2, lo cual indica que a

medida de que la capacitancia del sistema disminuye la frecuencia de resonancia aumenta rápidamente en un orden de 2, cumpliéndose lo establecido en la relación

expuesta en la ecuación 2, donde w r2 es

inversamente proporcional a C.

Experimentalmente, a partir de la gráfica w r2

Vs 1/C se tiene que la constante de proporcionalidad de dicha relación es 1/L que es equivalente a la pendiente de dicho esquema, con la cual es posible calcular de forma experimental la inductancia de la bobina del sistema, el valor encontrado fue 1,1502 +/- 0,000755 H. Al comparar el valor de la inductancia experimental con el teórico, que era de 879 +/- 1 mH se obtuvo un porcentaje de error del 30,85%, diferencia que pudo ser provocada porque no se tomaron en cuenta valores como la resistencia de la bobina y la capacitancia del osciloscopio.

CONCLUSIONES

En un sistema RLC al cual se le aplican oscilaciones eléctricas forzadas se tiene que a medida de que se aumenta la frecuencia externa de la fuente la amplitud de oscilación aumenta hasta que llega a un

punto máximo correspondiente a la frecuencia de resonancia luego al seguir aumentando la frecuencia externa la amplitud de oscilación comienza a decrecer. De forma experimental se calculó para un sistema con valores fijos de R=4,57 +/- 0,01 KΩ, L=879 +/- 1 mH y C=0,0033 +/- 0,00001 µF, una frecuencia de resonancia de 15626+¿−6 rad /seg, que al comparar con el valor hallado teóricamente, el cual fue de 18567Hz, se obtuvo un %error del 15,84% que pudo ser debido a una mala determinación por parte de los experimentadores del punto donde ocurría la resonancia. En cuanto al factor de calidad del sistema se alcanzó un valor de 2.922+¿−0,009, lo que indica que este factor tiene una magnitud baja con los elementos de circuito considerados lo cual se ve reflejado en la frecuencia de corte ya que Wr no es muy aguda debido a la baja magnitud de este factor lo que introduce aun mas error en poder determinar con exactitud la misma frecuencia de corte debido a que la frecuencia de resonancia se encuentra es en un rango.

Por otro lado se tiene que al variar solamente el valor de la capacitancia esta provoca un cambio en la frecuencia de resonancia, por lo que al disminuir la el valor capacitancia la frecuencia de resonancia

aumenta en un orden de dos, siendo w r2

inversamente proporcional a C. Utilizando la

relación entre w r2 y 1/C, parámetros que se

relacionan de forma directamente proporcional, y conociendo que la constante de proporcionalidad de dicha relación es 1/L que es equivalente a la pendiente de la

gráfica w r2 Vs 1/C, se puede hallar de manera

experimental el valor de la inductancia de la

bobina del sistema, el cual fue de fue 1,1502 +/- 0,000755 H, que al compararlo con el valor teórico, que era 879 +/- 1 mH se obtuvo un %error del 30,85%, que pudo ser consecuencia de no tomar en cuenta otros valores propios de cada elemento del sistema como la resistencia de la bobina y la capacitancia del osciloscopio.

BIBLIOGRAFÍA

1. DONATE, H. Antonio. Principios de electricidad y electrónica. Tomo 3. Editorial Marcombo Boixureu Editores. 2009,

2. YOUNG, H. FREEDMAN, R, Física universitaria. Volumen 2. Editorial Pearson educación. México DF, 2009 Pág 1050.

3. TIPLER, M. Física para la ciencia y la tecnología. Volumen 1. Editorial Reverte. Barcelona España. Sexta edición.

APÉNDICE

El cálculo de la pendiente de w r2Vs 1/C se

calculó por medio del método de ajuste de mínimos cuadrados con las siguientes expresiones:

∆ m=S y √ N

N∑ X i2−(∑ X i )

2

(4)

Sy=√∑ (d yn )2

N−2(5)

En donde,

d yn=(m X i+b )−Y i (6)

La incertidumbre de Wr se calculó por medio de la teórica de propagación del error con la siguiente expresión:

dw=2Π ∙dw (7)

Para el cálculo de la incertidumbre al calcular el factor de calidad Q se utilizó la expresión siguiente:

dQ= LR

dw+ wR

dL− wL

R2dR

(8)