PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010 1

Modelo Ejercicio 4 A

a) Un electrón que está en reposo dentro de un campo magnético, ¿puede ponerse en movimiento

debido a este campo? ¿y si estuviera dentro de un campo eléctrico? (1 punto)

a) La fuerza con la que interacciona un campo magnético con una partícula cargada está dada por la

ecuación: )Bxv(·qF

. Por ello, si la partícula está en reposo no interacciona con el campo magnético.

Sin embargo un campo eléctrico siempre interacciona con una partícula carga independientemente de la

velocidad que tenga: E·qF

Modelo Ejercicio 4 B

Una partícula P, de carga q y masa m, que se mueve a velocidad constante

v, cruza la línea QQ’ a partir de la cual existe un campo magnético B, que

le obliga a seguir una trayectoria semicircular de radio R. La partícula

necesita un tiempo T para recorrer la semicircunferencia que va de Q a Q’.

Calcula el nuevo radio de la semicircunferencia y el tiempo que tardaría

en recorrerla si se tratase de:

a) Una partícula idéntica a P, con carga 2q (1 punto).

b) Una partícula idéntica a P, que se mueve con velocidad 2v (1 punto).

Cuando una partícula cargada penetra en un campo magnético actúa sobre ella una fuerza perpendicular al

vector velocidad, que proporciona una aceleración normal que modifica la dirección del vector velocidad, y

cuya expresión es: )B x v( · q = F

Si el campo magnético es uniforme y la dirección del vector velocidad es perpendicular a él, entonces la

partícula describe una trayectoria circular contenida en un plano perpendicular al campo magnético y cuyo radio es proporcional al módulo del momento lineal de la partícula cargada.

Aplicando la segunda ley de Newton y como = 901, se deduce que:

R

v m = 90ºsen · B · v· |q| ;a · m = F

2

n

B · |q|

v· m = R

La velocidad angular, la frecuencia y el período del movimiento son:

m

B · |q| =

R

v = ;

m · · 2

B · |q| =

· 2 = ;

|q| · B

m · · 2 =

1 = T

El tiempo que tarda la partícula en recorrer la semicircunferencia QQ’ es igual a la mitad del período:

|q| · B

m · =

2

T= T 'QQ

a) El radio de la trayectoria y el tiempo en recorrerla se dividen por dos, en efecto:

2

R

B · |·q2|

v· m = R q2 ;

2

T

|q·2| · B

m · = T

'QQ'q2

b) El radio de la trayectoria se multiplica por 2 y el período es independiente de la velocidad.

R·2B · |q|

v·2 · m = R v2 ; 'QQv2 T

|q| · B

m · = = T

R

Q Q’

P

v

B

PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010 2

Junio 2010 Ejercicio A4 Modalidad

Un electrón que se halla en el punto A de la figura tiene una velocidad v =

1,41 · 106 m/s.

a) Halle la magnitud y dirección del campo magnético que obliga al

electrón a seguir la trayectoria semicircular mostrada en la figura. (1,5

puntos)

b) Calcule el tiempo necesario para que el electrón se traslade desde A

hasta B, sabiendo que la distancia entre ellos vale dAB = 100 μm. (0,5

puntos) Para que el electrón describa la trayectoria semicircular debe

actuar una fuerza magnética perpendicular al vector velocidad y

dirigida hacia el centro de la trayectoria. Ello se consigue con un campo magnético perpendicular a los vectores velocidad y fuerza,

es decir, perpendicular al plano de papel y de sentido alejándose

del observador, hacia dentro.

El radio de la trayectoria es r = dAB/2 = 50 · 10

-6 m

Aplicando la segunda ley de Newton y como = 901, se deduce que:

R

v m = 90ºsen · B · v· |q| ;a · m = F

2

n

T16,0m10·50·C10·60,1

s/m10·41,1·kg10·1,9

R · |q|

v· m = B

619

631

El tiempo que tarda el electrón en recorrer la trayectoria es igual a la mitad del período del movimiento.

Aplicando las relaciones entre la velocidad, radio y período de un movimiento circular, resulta que:

s10·11,1s/m10·41,1

m10·50·

v

R·

2

v

R··2

2

Tt 10

6

6

AB

Fmagnetica

× × × × × × ×

B

PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010 3

Junio 2010 Ejercicio B4 Modalidad

Dos hilos conductores largos, rectilíneos y paralelos, separados una distancia d = 9 cm, transportan la

misma intensidad de corriente en sentidos opuestos. La fuerza por unidad de longitud que se ejerce

entre ambos conductores es 2 · 10-5

N / m .

a) Calcule la intensidad de corriente que circula por los conductores. (1 punto)

b) Si en un punto que está en el mismo plano que los conductores y a igual distancia de ellos se lanza

una partícula de carga q = 5 μC con velocidad v = 100 m/s en dirección paralela a los conductores,

¿que fuerza actuará sobre la partícula en ese instante? (1 punto)

Un hilo rectilíneo por el que pasa una intensidad de la corriente eléctrica, genera un campo magnético cuyas líneas de campo son

circunferencias concéntricas en el hilo y situadas en un plano

perpendicular a él. El sentido del campo magnético es el indicado por la regla de la mano derecha que coincide con el del giro de un

sacacorchos que avanza según el sentido de la intensidad de la

corriente eléctrica. Aplicando la ley de Biot y Savart, el módulo del

campo magnético generado por un conductor a una distancia r de él es:

r··2

I·B 1

1

Al colocar otro conductor, por el que pasa una intensidad de la corriente eléctrica I2, a una distancia r del

primero, los conductores interaccionan con fuerzas del mismo módulo y dirección, pero de sentidos

contrarios y que se calculan aplicando la segunda ley de Laplace: )BL(·IF

.

Como los conductores están colocados paralelamente, se tiene que los módulos de estas fuerzas, que forman un par de acción y reacción, son:

r

LI·I·

·2r··2

I··I·LB·I·LFF 21

121212 , con L la longitud de los conductores

Estas fuerzas tienen por dirección la de la perpendicular a los hilos y sentido el indicado por la regla de

Maxwell del producto vectorial, de forma que corrientes eléctricas del mismo sentido se atraen y si son de sentido contrario se repelen.

Por tanto aplicado a las condiciones del ejercicio y como I2 = I1, resulta que:

A3Im09,0

m1I·

·2

A/N10··4N10·2 2

275

Los dos conductores generan en el espacio entre ellos campos magnéticos del mismo módulo, la misma dirección, perpendicular al plano del papel y el

mismo sentido, alejándose del observador. Como el punto dista 4,5 cm de cada

conductor, su módulo es:

T10·67,2m045,0··2

A3·A/N10··4·2

d··2

I··2BBB 5

270

21

La fuerza que actúa sobre la partícula tiene la dirección perpendicular a los vectores campo magnético y velocidad y sus sentido es el indicado por las

reglas del producto vectorial, tal y como se indica en la figura adjunta. Su

módulo es: F = |q| · v · B = 5 ·10

-6 C · 100 m/s · 2,67 ·10

-5 T = 1,33 · 10

-8 N

I1 I2

B1x

B2

F1F2

x

B1

B2

0,09 mI1 I2

x

xB

B

v

v

F

F

PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010 4

Junio 2010 Ejercicio B4 Específico

Un electrón se mueve en el seno de un campo magnético uniforme B

con una velocidad perpendicular

a dicho campo y de valor v = 20000 km/s, describiendo un arco de circunferencia de radio R = 0, 5 m.

a) Determine el valor del campo B. (1 punto)

b) Si la velocidad del electrón formara un ángulo de 45° con B

¿cómo sería la trayectoria? (1 punto)

Aplicando la segunda ley de Newton a una partícula cargada y como el vector velocidad y el vector campo

magnético son perpendiculares, se tiene:

;a·mF n

|q| · v · B · sen 90º = m T10·28,2

m5,0·C10·6,1

s/m10·2·kg10·11,9

R·|q|

v·mB

R

v 4

19

7312

El vector velocidad tiene dos componentes una perpendicular (v · sen 45º) al campo

que le hace describir una trayectoria circular de radio:

Tm35,0T10·28,2·C10·6,1

º45sen·s/m10·2·kg10·11,9

B·|q|

º45sen·v·mR

419

731

Y una componente paralela al campo y que por ello no le afecta el campo, pero que

obliga a seguir al electrón con un movimiento rectilíneo uniforme de velocidad:

vx = v · cos 45º = 2 ·107 m/s · cos 45º = 1,41 · 10

7 m/s

La composición de los dos movimientos provoca que el electrón siga una trayectoria helicoidal.

Septiembre 2010 Ejercicio B4 Modalidad

Una partícula con carga +q y masa m entra con velocidad v en una zona en la que existe un campo

magnético uniforme B

perpendicular al movimiento. a) En función del sentido del campo dibuje la trayectoria descrita por la partícula.

b) Demuestre que la partícula describe un movimiento circular con frecuencia f = q · B/(2 · π · m)

Cuando una partícula cargada penetra en un campo magnético actúa sobre ella una

fuerza perpendicular al vector velocidad, que proporciona una aceleración normal que modifica la dirección del vector velocidad, y cuya expresión es:

)B x v( · q = F

Si el campo magnético es uniforme y la dirección del vector velocidad es perpendicular a él, entonces la partícula describe una trayectoria circular contenida en

un plano perpendicular al campo magnético y cuyo radio es proporcional al módulo del momento lineal de la

partícula cargada. Aplicando la segunda ley de Newton y como = 901, se deduce que:

R

v m = 90ºsen · B · v· |q| ;a · m = F

2

n

B · |q|

v· m = R

La frecuencia y el período del movimiento es: m

B · |q| =

R

v = ;

m · · 2

B · |q| =

· 2 =

La velocidad angular y la frecuencia, también denominada frecuencia ciclotrón, son independientes del radio

de la trayectoria y de la velocidad de la partícula cargada, dependen de la relación carga/masa y del módulo del campo magnético.

e- 45ºB

v

vy

vx

F

-q-q

-q

+q

+q+q

B

B

v

v

v

v

v

v

F

F

F

F

F

F

PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010 5

Septiembre 2010 Ejercicio B4 Específico

Una corriente uniforme circula por una espira circular.

a) Realice un dibujo de las líneas del campo magnético generado por dicha corriente.

b) Indique a qué lado de la espira corresponde el polo norte y a qué lado el polo sur.

En el interior de la espira, el campo magnético es perpendicular al plano de la misma y su sentido coincide con el del avance de un sacacorchos que gira en el mismo sentido que la intensidad de la corriente eléctrica.

De la figura se deduce que si la intensidad de la corriente eléctrica gira en el sentido de las agujas del reloj

entonces el campo magnético entra en el plano del papel. Si la intensidad va en sentido contrario al de las

agujas del reloj, entonces el campo sale del plano del papel.

Junio 2011. Ejercicio B4

El campo magnético B a una distancia d de un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una

intensidad de corriente eléctrica I,

a) ¿cómo varía con d y con I ? (1 punto)

b) Dibuje las líneas del campo magnético, indicando su sentido y una regla sencilla que permita

determinarlo con facilidad. (1 punto)

El módulo del campo magnético generado por un conductor rectilíneo indefinido queda determinado por la

relación: d··2

I·B con I la intensidad de la corriente eléctrica que pasa por el hilo y d la distancia desde el

punto considerado al conductor. Por tanto el módulo del campo magnético es directamente proporcional a la

intensidad de corriente eléctrica que pasa por el hilo e inversamente proporcional a la distancia desde el

punto al hilo.

Las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas en el conductor y situadas en planos

perpendiculares al mismo. El vector campo magnético es tangente a las líneas de campo y su sentido es el

indicado por el giro de un sacacorchos que avanza según el sentido de la intensidad de la corriente eléctrica.

Ese mismo sentido se puede determinar con la regla de la mano derecha: si con la mano derecha se rodea al

conductor de forma que el dedo pulgar indique el sentido de la corriente, entonces el resto de los dedos indican el sentido del campo magnético.

PAEU Electromagnetismo hasta septiembre 2010 6

Septiembre 2011 Ejercicio B4

a) Indique si la siguiente afirmación es cierta o falsa: La fuerza ejercida por un campo magnético

sobre una partícula cargada en movimiento no cambia el módulo de su velocidad. Justifique su

respuesta.

b) Un electrón se mueve con una velocidad 2·106 m·s

-1 en el seno de un campo magnético uniforme de

magnitud B = 1,4 T. La fuerza ejercida por el campo magnético sobre el electrón es 2·1013

N. Calcule la

componente de la velocidad del electrón en la dirección del campo.

La expresión de la fuerza magnética sobre una partícula en movimiento es: )Bv(·qF

El vector fuerza es siempre perpendicular al plano que delimitan Byv

y por lo tanto no realiza trabajo sobre

la partícula al ser aquella perpendicular a la velocidad, por lo que la Ecinética no se ve afectada por esta fuerza.

Es decir, la fuerza magnética sólo modifica la dirección del vector velocidad y no su módulo.

De otra forma, el vector velocidad se puede descomponer en dos componentes.

Una en la dirección del campo y la otra en la perpendicular al mismo. La componente en la dirección del campo no es afectada por ninguna fuerza por ser

paralela al campo y la componente perpendicular al mismo que si es afectada.

Esta fuerza proporciona una aceleración normal que obliga a seguir a la partícula

un movimiento circular. Esta aceleración modifica la dirección de la componente de la velocidad pero no su módulo.

La composición de los dos movimientos, circular y el de traslación de la

componente en la dirección del campo, produce en movimiento helicoidal sin alteración del módulo del vector velocidad.

El módulo de la fuerza que actúa sobre el electrón, si φ es el ángulo entre el vector velocidad y el vector

campo magnético es:

F = |q| · v · B · sen φ ; 2 · 10-13

N = 1,6 · 10-19

C · 2 · 106 m/s · 1,4 T · sen φ

Despejando: φ = 26,5 º

La componen de la velocidad en la dirección del campo es:

vcampo= v · cos φ = 2 · 106 m/s · cos 26,5º = 1,79 · 10

6 m/s

v

B

vcampo

v perpendicular campo

F