Parte 1 matemáticas

Especi caciones tcnicas CONAIF-SEDIGAS para la certi cacin de instaladores de gas. Materias comunes Tipos A, B y C

Parte 1. Matemticas

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Parte 1Matemticas

Preparado: E. Alberto Hernndez MartnResponsable Calidad

Firma y fecha: 2008.10.16

Revisado: Ana Mara Garca GascDirector de certi cacin


Aprobado: Ana Mara Garca GascSecretaria Consejo de Administracin



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ndice

1.1. Introduccin ............................................................................................................................. 4

1.2. Nmeros enteros y decimales ................................................................................................... 4 1.2.1. Nmeros enteros ........................................................................................................... 4 1.2.2. Nmeros decimales........................................................................................................ 4

1.3. Operaciones bsicas con nmeros enteros y decimales (mx. 4 enteros y 3 decimales) .............. 5 1.3.1. Operaciones bsicas con nmeros enteros ..................................................................... 5 1.3.1.1. Suma ............................................................................................................... 5 1.3.1.2. Resta ............................................................................................................... 5 1.3.1.3. Multiplicacin y divisin ................................................................................... 6 1.3.1.4. Divisin ........................................................................................................... 7 1.3.2. Operaciones bsicas con nmeros decimales.................................................................. 7 1.3.2.1. Suma de decimales: ......................................................................................... 7 1.3.2.2. Resta de decimales .......................................................................................... 8 1.3.2.3. Multiplicacin de decimales ............................................................................. 8 1.3.2.4. Divisin de decimales ....................................................................................... 8

1.4. Nmeros quebrados. Reduccin de un nmero quebrado a un nmero decimal ....................... 9 1.4.1. Equivalencia de quebrados ............................................................................................ 10 1.4.2. Lectura de quebrados .................................................................................................... 10 1.4.3. Simpli cacin de quebrados .......................................................................................... 11 1.4.4. Reduccin a comn denominador ................................................................................. 11 1.4.5. Reduccin de un nmero quebrado a un nmero decimal ............................................. 12

1.5. Nmeros negativos. Operaciones (slo categoras B y A) ....................................................... 12 1.5.1. Nmeros negativos ........................................................................................................ 12 1.5.2. Signi cado de los signos + y - ........................................................................................ 13 1.5.3. Valor absoluto ............................................................................................................... 13 1.5.4. Operaciones con nmeros negativos .............................................................................. 13 1.5.4.1. Suma ............................................................................................................... 13 1.5.4.2. Resta ............................................................................................................... 15 1.5.4.3. Multiplicacin y divisin ................................................................................... 15 1.5.4.4. Operaciones combinadas ................................................................................. 15

1.6. Proporcionalidades ................................................................................................................... 17 1.6.1. Razones ....................................................................................................................... 17 1.6.2. Proporciones .................................................................................................................. 17

1.7. Escalas (slo categoras B y A) .............................................................................................. 18

1.8. Regla de tres simple ................................................................................................................. 20 1.8.1. Regla de tres simple directa ........................................................................................... 20 1.8.2. Regla de tres simple inversa ........................................................................................... 21

1.9. Porcentajes .............................................................................................................................. 21 1.9.1. Tanto por ciento ............................................................................................................ 21 1.9.2. Tanto por uno ................................................................................................................ 22


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1.10. Sistema internacional de unidades ........................................................................................... 23 1.10.1. Unidades de medida de longitud (m, dm, cm, mm) .................................................... 23 1.10.2. Unidades de medida de super cie (m2, dm2, cm2, mm2) .............................................. 23 1.10.3. Unidades de medida de volumen (m3, dm3, l, cm3, mm3) ............................................. 23

1.11. Potencias y races cuadradas. Potencias en base 10 y exponente negativo (slo categoras B y A) ......................................................................................................... 24

1.11.1. Potencias ................................................................................................................... 24 1.11.2. Representacin de una potencia ................................................................................. 24 1.11.3. Potencias de base 10 con exponente entero ............................................................... 25 1.11.4. Lectura de una potencia ............................................................................................. 26 1.11.5. Propiedades de las potencias ...................................................................................... 27 1.11.6. Potencias de exponente negativo ............................................................................... 28 1.11.7. Races cuadradas ........................................................................................................ 28 1.11.8. Clculo de la raz cuadrada ......................................................................................... 28 1.11.8.1. Clculo de la raz cuadrada de un nmero entero ........................................ 29

1.12. Lneas: rectas y curvas, paralelas y perpendiculares, horizontales, verticales e inclinadas ........... 34

1.13. ngulo: denominacin. Unidades angulares (sistema sexagesimal). ngulo recto, agudo, obtuso ................................................................................................... 35

1.13.1. Denominacin de los ngulos. .................................................................................... 35 1.13.2. Tipos de ngulos ........................................................................................................ 36 1.13.3. Unidades angulares (sistema sexagesimal)................................................................... 37 1.13.4. Representacin de los grados, minutos y segundos. .................................................... 38

1.14. Concepto de pendiente ........................................................................................................... 38

1.15. Polgonos: cuadrado, rectngulo y tringulo ............................................................................ 38 1.15.1. Tipos de polgonos ..................................................................................................... 39 1.15.2. Cuadrado ................................................................................................................... 40 1.15.3. Rectngulo ................................................................................................................. 40 1.15.4. Paralelogramos ........................................................................................................... 40 1.15.5. Tringulos................................................................................................................... 41

1.16. Circunferencia. Crculo. Dimetro ............................................................................................ 42

1.17. Super cies regulares: cuadrado, rectngulo y tringulo (slo categoras B y A) ..................... 43 1.17.1. rea del rectngulo .................................................................................................... 43 1.17.2. rea del cuadrado ...................................................................................................... 44 1.17.3. rea del tringulo ...................................................................................................... 44

1.18. Super cies irregulares: triangulacin (slo categoras B y A) ................................................. 44

1.19. Volmenes: paralaleppedos .................................................................................................... 45

1.20. Volmenes: cilindros (slo categoras B y A) ......................................................................... 46

1.21. Representacin de gr cas (slo categoras B y A) ............................................................... 47 1.21.1. Ejes de coordenadas ................................................................................................... 47 1.21.2. Representacin de puntos en el plano ........................................................................ 48 1.21.3. Representacin de funciones ...................................................................................... 50 1.21.4. Interpretacin de gr cos ........................................................................................... 53


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1.1. INTRODUCCINEl presente captulo recoge los conocimientos bsicos en matemticas necesarios para instalado-res autorizados de gas de las categoras A, B y C.

1.2. NMEROS ENTEROS Y DECIMALES

1.2.1. Nmeros enteros

Son aquellos que nos permiten representar partes enteras; por ejemplo:

1 un libro

2 dos libros

3 tres libros

1.2.2. Nmeros decimales

Los nmeros que nos permiten representar fracciones de la unidad entera se llaman fracciona-rios.

Los nmeros fraccionarios, segn su representacin, los podemos dividir en dos grupos:

Nmeros decimales

Nmeros quebrados

En un nmero decimal podemos distinguir dos partes: la parte entera y la parte decimal, las cuales se encuentran separadas por una coma. La parte entera es la situada a la izquierda de la coma y la parte decimal se encuentra a la derecha de la coma.

2 es la parte entera 46 es la parte decimal del nmero 2,46 del nmero 2,46

La primera cifra despus de la coma representa el nmero de dcimas partes de la unidad, la segunda el nmero de centsimas partes, la tercera el nmero de milsimas partes, y as suce-sivamente.

De esta forma 2,46 representa 2 unidades enteras, 4 dcimas de una unidad y 6 centsimas de una unidad.

1 MATEMTICAS

2,462,46

1 unidad entera

4 dcimas partes

6 centsimas partes


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1.3. OPERACIONES BSICAS CON NMEROS ENTEROS Y DECIMALES (MX. 4 ENTEROS Y 3 DECIMALES)

1.3.1. Operaciones bsicas con nmeros enteros

Puesto que ms adelante se vern las operaciones con nmeros negativos, aqu se trata exclusi-vamente de los nmeros enteros positivos o nmeros naturales.

1.3.1.1. Suma

Para sumar dos nmeros naturales

(+5) + (+3) = (+8) gr camente haramos

Como vemos, al sumar gr camente, ponemos una echa detrs de otra. El resultado es una echa de longitud igual a la suma de las otras dos.

La suma de nmeros naturales tiene las siguientes propiedades:

Operacin interna: la suma de dos nmeros naturales es otro nmero natural

Ejemplo: 5 + 3 = 8; 8 es tambin un nmero natural

Propiedad conmutativa: al sumar dos nmeros naturales no importa el orden en que se sumen

Ejemplo: 5 + 3 = 8;3 + 5 = 8

Propiedad asociativa: al sumar tres o ms nmeros naturales no importa el orden en que se agrupen para sumarlos de dos en dos

Ejemplo: 5 + (3 + 8) = 5 + 11 = 16(5 + 3) + 8 = 8 + 8 = 16

Elemento neutro: si a un nmero natural se le suma 0 el resultado es el mismo nmero

Ejemplo: 5 + 0 = 5

1.3.1.2. Resta

Al restar se quita del nmero mayor (minuendo) el valor del nmero menor (substraendo). Se escribe primero el minuendo y seguidamente el substraendo. El resultado de la resta se llama diferencia.

Propiedades de la resta:

La resta no es una operacin interna en el conjunto de nmeros naturales (no siempre la resta de dos nmeros naturales es un nmero natural, slo si el minuendo es mayor que el sustraendo)

Ejemplo: 5 - 3 = 2 2 es un nmero natural3 - 5 = -2 -2 no es un nmero natural

(+5) (+3)

(+8)

0


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La resta no tiene la propiedad conmutativa (no podemos intercambiar la posicin del minuendo con la del sustraendo).

Ejemplo: 5 - 3 = 2 pero3 - 5 no es igual a 2

Tampoco tiene la propiedad asociativa ya que el orden en que se agrupen in uye en el resultado.

Ejemplo: 5 - (3 + 8) = -6(5 - 3) + 8 = 10

Si sumamos o restamos el mismo nmero al minuendo y al substraendo obtenemos la misma diferencia.

Ejemplo: 5 - 3 = 2

Si sumamos el nmero 4 al minuendo y al sustraendo tenemos:

5 + 4 = 93 + 4 = 79 - 7 = 2

1.3.1.3. Multiplicacin y divisin

La multiplicacin (o producto) de dos nmeros naturales consiste en sumar el primero (multi-plicando) consigo mismo tantas veces como indica el segundo (multiplicador) se representa por los smbolos .

Ejemplo: 5 3 signi ca 5 + 5 + 5 (3 veces)

La multiplicacin tiene las siguientes propiedades:

Es una operacin interna: el producto de dos nmeros naturales es otro nmero natural

Ejemplo: 5 3 = 15; 15 es un nmero natural

Propiedad conmutativa: al multiplicar dos nmeros naturales no importa el orden en que se multipliquen

Ejemplo: 5 3 = 153 5 = 15

Propiedad asociativa: al multiplicar tres nmeros naturales entre s no importa el orden en que se agrupen para multiplicarlos de dos en dos

Ejemplo: 5 (3 8) = 5 24 = 120(5 3) 8 = 15 8 = 120

Propiedad distributiva: al multiplicar la suma de dos nmeros por un tercero el producto es el mismo que si se suman los productos de cada sumando por el tercer nmero.

Ejemplo: 5 (3 + 8) = 5 3 + 5 8 En efecto:5 11 = 555 3 = 155 8 = 4015 + 40 = 55

Elemento neutro: al multiplicar un nmero natural por el nmero 1 el resultado es el mismo nmero

Ejemplo: 5 1 = 5


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Al multiplicar un nmero natural por el nmero 0 el resultado es 0.

Ejemplo: 5 0 = 0

1.3.1.4. Divisin

La divisin es la operacin inversa de la multiplicacin. Cuando un nmero se divide por otro, al primero se le llama dividendo y al segundo divisor. El resultado de la divisin es el co-ciente.

La divisin entre dos nmeros naturales requiere que el dividendo sea mayor que el divisor. La divisin puede ser exacta o inexacta. En este ltimo caso hay, adems, un resto.

Ejemplo 1: Queremos dividir 20 por 4. Ello signi ca determinar cuntas veces cabe 4 en 20. En el gr co siguiente podemos llegar a poner una bola de las 20 que hay en el crculo grande, en cada uno de los cuatro crculos menores, hasta 5 veces. El cociente es, pues, 5 y la divisin es exacta.

Para efectuar la divisin de modo manual, el dividendo y el divisor se disponen normalmente como sigue:

Ejemplo 2: Queremos dividir 22 por 4. Procediendo de manera anloga vemos que nos sobran 2 bolas despus de haber colocado 5 en cada crculo menor. En este caso la divisin es inexacta y el resto es 2.

Para comprobar si una divisin es correcta se multiplica el divisor por el cociente y se le suma, en su caso, el resto. El resultado debe coincidir con el dividendo.

1.3.2. Operaciones bsicas con nmeros decimales

1.3.2.1. Suma de decimales:

Para sumar decimales lo nico que debemos tener en cuenta es que las comas coincidan en la misma columna.

Ejemplo:

Para sumar 825,003 ms 77,86 ms 0,125 ms 7,2 dispondremos las cantidades de la si-guiente forma:

825,003 + 77,86 0,125 7,2

dividendo 20 4 divisor

resto 0 5 cociente


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aadimos ceros a la derecha para igualar los decimales y efectuamos la suma:

825,003 77,860 + 0,125 7,200

910,188

1.3.2.2. Resta de decimales

Para restar dos nmeros decimales, debemos colocar, como en la suma, las comas en la misma columna, el nmero al cual le restamos arriba y el nmero que restamos abajo.

Ejemplo:

Para efectuar la resta 1596,17 menos 896,888 dispondremos las cantidades de la siguiente forma:

1596,17 - 896,888

aadiremos ceros a la derecha para igualar los decimales y efectuaremos la resta:

1596,170 - 896,888

699,282

1.3.2.3. Multiplicacin de decimales

En la multiplicacin es indiferente la colocacin de los nmeros. Lo que si hay que tener en cuen-ta es, una vez resuelta la multiplicacin operando como si fueran enteros, separar tantas cifras decimales en el pro ducto como cifras decimales haya sumando las de los dos factores.

Ejemplo:

Para multiplicar 137,066 25,4. La operacin se puede presentar de la siguiente manera:

137,066 25,4

548264 685330 274132

3481,4764

Aqu vemos cuatro cifras decimales (tres en el multiplicando y una en el multiplicador) y esas son las que hemos separado.

1.3.2.4. Divisin de decimales

En primer lugar suprimimos la coma del divisor, multiplicando el dividendo y el divisor por 1 seguido de tantos ceros como decimales tiene el divisor, es decir el nmero que divide. En el siguiente ejemplo el divisor tiene tres decimales, luego la primera operacin a realizar es multi-plicar el dividendo y el divisor por 1000.

Ejemplo:

Efectuar la siguiente divisin:

3641,3 321,008


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Una vez multiplicado el dividendo y el divisor por 1000 nos queda:

y ahora se divide normalmente hasta que llegamos a la coma.

a continuacin ponemos la coma en el resultado. Y operamos con los decimales aadiendo ceros al dividendo hasta tener el cociente con el nmero de decimales deseado.

1.4. NMEROS QUEBRADOS. REDUCCIN DE UN NMERO QUEBRADO A UN NMERO DECIMAL

Llamamos nmeros quebrados a los que nos permiten representar las partes iguales de la unidad entera.

Si dividimos la unidad en dos partes iguales, cada una de ellas es una mitad y se representa por 1/2. Si la unidad la dividimos en tres partes iguales, cada una de ellas es un tercio y se representa por 1/3. De acuerdo con esto tendremos:

Si de una chocolatina de seis pastillas, cogemos una pastilla, signi ca que hemos tomado 1/6 de la chocolatina.

En un quebrado podemos distinguir dos partes: el numerador y el denominador. El deno-minador representa las partes en que hemos dividido la unidad y el numerador las partes que tomamos de la misma. El numerador se sita arriba y el denominador abajo.

3641300 321008

3641,300 321,008 3641300,0 321008

3641300 321008 431220 11 110212

3641300,0 321008 4312200 11,3 1102120 139096

una mitad 1/2 un quinto 1/5 un octavo 1/8

un tercio 1/3 un sexto 1/6 un noveno 1/9

un cuarto 1/4 un sptimo 1/7 un dcimo 1/10

5/6

1/6

=


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3 es el numerador del quebrado 3/4

4 es el denominador del quebrado 3/4

1.4.1. Equivalencia de quebrados

Sean los quebrados 1/2 y 2/4, y los vamos a representar mediante las siguientes guras:

1/2 signi ca que hemos dividido el crculo en 2 partes y hemos tomado una. 2/4 signi ca que hemos dividido el crculo en 4 partes y hemos tomado dos: Como vemos, la super cie gris en el primer crculo es la misma que la suma de las dos grises en el segundo crculo. Por tanto 1/2 y 2/4 representan la misma super cie, y estos quebrados se dice que son equivalentes. Dos que-brados son equivalentes cuando representan la misma cantidad.

Si en un quebrado multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador por un mismo nmero, el quebrado que obtenemos es equivalente al primero, ya que representa la misma cantidad.

Vamos a comprobarlo:

Multiplicando el numerador y el denominador de 6/12 por 3, se obtiene:

612

=

6 312 3

=

1826

=

12

= 0,5

Dividiendo el numerador y el denominador de 6/12 por 2, se obtiene:

612

=

62

122

=

36

=

12

= 0,5

1.4.2. Lectura de quebrados

En este mismo apartado ya hemos visto como se leen los quebrados cuyo denominador es in-ferior a 11.

Cuando el denominador es igual o mayor que 11 leeremos el quebrado nombrando al numera-dor seguido del denominador y de la palabra avo si el numerador es 1 o avos si el numerador es distinto de uno, de esta forma tendremos:

34

3

4

1/2

1/2

2/4


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112

un doceavo

212

dos doceavos

1.4.3. Simpli cacin de quebrados

Consiste en dividir el numerador y el denominador por el mismo nmero tantas veces como sea posible, por ejemplo:

Si tenemos

1824

y dividimos el numerador y el denominador por 2 tendremos:

912

si los dividi-

mos por 3 obtendremos:

34

Como no es posible dividir el numerador y el denominador por otro

nmero, no es posible simpli car ms el quebrado.

Debemos observar que

1824

y34

son dos quebrados equivalentes.

1.4.4. Reduccin a comn denominador

Para sumar o restar quebrados es necesario que los denominadores de todos los quebrados que intervienen en la operacin sean iguales. Esto se consigue multiplicando el numerador y el denominador de cada uno de los quebrados por el producto de los denominadores de todos los dems, denominndose a esta operacin reduccin a comn denominador.

Por ejemplo, si tenemos que realizar una operacin de suma o resta con los siguientes quebrados.

12

34

23

Para que todos tengan el mismo denominador, realizaremos las siguientes operaciones:

multiplicaremos el numerador y el denominador del primer quebrado,

12

, por el producto de los denominadores de los otros quebrados, es decir por 4 3

1 4 32 4 3

=

1224

es equivalente a

12

multiplicaremos el numerador y el denominador del segundo quebrado

34

, por el producto de los denominadores de los otros quebrados, es decir por 2 3

3 2 34 2 3

=

1824

es equivalente a

34

multiplicaremos el numerador y el denominador del tercer quebrado,

23

, por el producto de los

denominadores de los otros quebrado por el producto de los denominadores de los otros que-brados, es decir 2 4

2 2 43 2 4

=

1624

es equivalente

23

En todos ellos el denominador comn es 24 y por consiguiente se cumple:

1 3 2 + + 2 4 3

un doceavo dos doceavos

12 18 16 - + + 24 24 24

46 23= = 24 12

es equivalente a


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1.4.5. Reduccin de un nmero quebrado a un nmero decimal

Para convertir un nmero quebrado en un nmero decimal basta dividir el numerador por el denominador. De esta forma:

1/4 equivale a 0,25

1.5. NMEROS NEGATIVOS. OPERACIONES (slo categoras B y A)

1.5.1. Nmeros negativos

Tracemos una recta in nita (tan larga como queramos) hacia la derecha y hacia la izquierda, y marquemos un punto al que llamaremos punto cero u origen. Tomemos, adems, una longi-tud arbitraria (la que queramos) que servir de unidad de medida.

Pongamos dicha unidad de longitud repetidas veces hacia la derecha. De este modo podremos representar cualquier nmero entero positivo sobre la recta.

Haciendo la misma operacin por la izquierda del origen podemos representar cualquier nme-ro entero negativo.

En la siguiente representacin hemos sealado un punto a la izquierda del punto cero con el nmero -2.

Este nmero nos indica que el punto se encuentra a la izquierda del origen y que la distancia al punto cero es de dos unidades.

Los puntos situados a la izquierda del punto cero representan los nmeros negativos, y siempre se indican con el signo menos delante (-).

Algunas veces hemos utilizado nmeros negativos. Por ejemplo, cuando hace mucho fro, deci-mos que la temperatura es de 7 grados bajo cero. Podemos indicarlo de otra forma: la tempe-ratura es menos 7 grados (-7).

Cuando dos nmeros son iguales pero su signo es distinto, diremos que son opuestos. De esta forma las siguientes parejas de nmeros, uno positivo y otro negativo, estn formadas por n-meros opuestos.

3,25 -3,25 +6 -6

1.525 -1.525

La suma de dos nmeros opuestos, siempre es igual a cero,

(-3) + (+3) =0

punto cero

0 1

unidad = 1

0 1 32

0 1 32-3 -1-2


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Si subimos -3 peldaos de una escalera, queremos indicar que bajamos 3 escalones. Entonces si su bimos (-3) peldaos y luego subimos (+3) peldaos, nos encontraremos en el punto original, no hemos subido ni bajado ningn escaln.

1.5.2. Signi cado de los signos + y -

Los signos + y - tienen dos signi cados diferentes:

Para indicar la operacin que hay que realizar con dos nmeros (suma o resta).

Para indicar si un nmero es positivo o negativo.

Cuando un nmero es positivo, muchas veces, se suprime su signo.

A n de evitar las confusiones derivadas del doble signi cado de los signos + y - se utilizan los parntesis. De esta forma tenemos:

(+3) (-5) (+16)

debemos notar que podemos eliminar los signos de los nmeros 3 y 16, y los parntesis que los encierran por ser positivos.

3 (-5) 16

sin que por ello la operacin pierda su signi cado.

Cuando un parntesis va precedido por el signo ms, ste puede eliminarse. De esta forma:

+ (30 - 5) = 30 - 5

Cuando deseamos eliminar un parntesis que va precedido por el signo menos, debemos cam-biar todos los signos de sumar y restar que haya dentro de l. As

- (30 - 5) = - 30 + 5

Tambin podemos aplicar las reglas anteriores a la inversa, de esta forma tenemos:

8 + 9 - 16= + (8 + 9 - 16)

- 8 - 9 + 16= - (8 + 9 - 16)

1.5.3. Valor absoluto

Llamamos valor absoluto de un nmero al valor que tiene sin considerar el signo. As

- 7 y + 7 tienen el mismo valor absoluto, 7

1.5.4. Operaciones con nmeros negativos

1.5.4.1. Suma

Para sumar dos nmeros positivos

(+5) + (+3) = (+8) gr camente haramos

(+5) (+3)

(+8)

0


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Como vemos, al sumar gr camente, ponemos una echa detrs de otra. El resultado es una echa de longitud igual a la suma de las otras dos.

Para sumar dos nmeros negativos el proceso es similar al de sumar dos nmeros positivos.

(-5) + (-3) = (-8)

se suman los valores absolutos y al resultado hay que aadirle el signo menos (-).

Cuando debe realizarse la suma de un nmero positivo y otro negativo, po demos tener dos ca-sos: que el valor absoluto del nmero positivo sea mayor que el valor absoluto del nmero negativo o que el valor absoluto del nmero negativo sea mayor que el valor absoluto del nmero positivo.

(+5) + (-3) = (+2)

(+3) + (-5) = (-2)

Si nos jamos

(+5) + (-3) = 5 - 3 = 2 (+3) + (-5) = 3 - 5 = -2

la suma de un nmero positivo y otro negativo consiste en una resta, en la cual se resta del mayor valor absoluto el valor absoluto menor. Y el signo del resultado es el signo del nmero de mayor valor abso luto.

(-3)

(-8)

(-5)

0

(+5)

(-3)

(+2)

0

(+3)

(-5)

(-2)

0


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1.5.4.2. Resta

Vamos a realizar la siguiente operacin, (-5) - (-3)

Para ello se eliminan los parntesis y se opera:

-5 + 3 = (-5) + (+3) = -2

como vemos la resta de dos nmeros negativos consiste en la suma de uno positivo y otro ne-gativo.

1.5.4.3. Multiplicacin y divisin

Al efectuar el producto o la divisin de nmeros positivos y negativos debe operarse como si se tratara de nmeros positivos. El signo del resultado se rige por la siguiente regla:

Ejemplo

Efectuar el siguiente producto

250 (-41)

Multiplicamos los valores absolutos

250 41

250 1000

10250

y el signo del producto es - ya que el multiplicando es positivo y el multiplicador es nega-tivo, luego

250 (-41) = - 10.250

Efectuar la divisin siguiente:

(-250) : (-41)

en primer lugar efectuamos el cociente del valor absoluto

como el dividendo es negativo al igual que el divisor, el cociente es positivo y el resto es ne-gativo

cociente = 6

resto = - 4

1.5.4.4. Operaciones combinadas

Cuando se tiene un conjunto de sumas, restas, multiplicaciones y divisio nes, con algunas de ellas encerradas entre parntesis:

2 + 5

63

+ 4 (23 + 2) 2 =

Multiplicando Dividendo Multiplicador Divisor Producto Cociente Resto

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

-

+

+

+

-

-

250 41 4 6


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debe operarse con el siguiente orden de prioridad:

1) Efectuar las operaciones que se encuentran encerradas entre parntesis

= 2 + 5

63

+ 4 25 2 =

2) Calcular las multiplicaciones y divisiones

= 2 + 5 -2 + 100 - 2 =

3) Agrupar los nmeros positivos y negativos entre parntesis

= (2 + 5 + 100) - (2 + 2) =

4) Sumar los nmeros que se encuentran dentro de cada parntesis

= (107) - (4) =

5) Efectuar la resta

= 103

Recordemos que en una operacin combinada sin parntesis donde haya multiplicaciones, divisiones, sumas y restas, la prioridad es:

1. multiplicaciones () y divisiones (:)

2. sumas (+) y restas (-)

Si tenemos que calcular:

4 + 5 3

primero efectuaremos el producto 5 3, y al resultado le sumaremos 4.

4 + 5 3 = 4 + 15 = 19

Si en primer lugar realizramos la suma de 4 y 5, y el resultado lo multiplicramos por 3 obten-dramos 27. Este resultado no es correcto y no coincide con el anterior (19).

Si en primer lugar debemos efectuar la suma, lo indicaremos mediante unos parntesis:

(4 + 5) 3

ya que las operaciones que se encuentran encerradas entre parntesis tie nen prioridad sobre el resto de operaciones.

Ejemplo:

Efectuar la siguiente operacin:

7 - ( 2 3 + 8 : 2) 3 + 4 5 -11

Para realizar esta operacin se han de seguir los cinco pasos indicados te niendo en cuenta el orden de prioridad de las operaciones:

7 - (2 3 + 8 : 2) 3 + 4 5 -11 =

7 - (6 + 4) 3 + 4 5 - 11 =

7 - 10 3 + 4 5 -11 =

7 - 30 + 20 - 11 =

(7 + 20) - (30 + 11) =

27 - 41

= - 14


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1.6. PROPORCIONALIDADES

1.6.1. Razones

A todo cociente de dos nmeros se le puede llamar tambin razn, y escribirse con los nmeros separados por dos puntos (:) o como quebrados. Por ejemplo:

3 : 5

35

6:11

611

A los nmeros que forman la razn se les llama trminos de la razn. Al trmino que se en-cuentra a la izquierda o arriba de la razn se le llama antecedente, y el que se encuentra a la derecha o abajo consecuente.

Para hallar el valor de una razn, del mismo modo que para hallar el valor de un quebrado, de-bemos dividir el trmino antecedente por el consecuente.

1.6.2. Proporciones

Se le llama proporcin a dos razones que tengan el mismo valor, por ejemplo, 3 : 5 y 6:10.

A los trminos de una proporcin se les llama extremos y medios. Los trminos extremos son los que se leen en primer y ltimo lugar, y los medios son los que se leen en segundo y tercer lugar.

Si colocamos una proporcin en forma de quebrado, los extremos son el antecedente de la pri-mera razn y el consecuente de la segunda.

3 es el trmino

antecedente

4 es el trmino

consecuente

6 es a 116

11 6 :11

Razn

se lee se escribe

3 es a 5como

6 es a 103

5

Proporcin

se lee se escribe

6

10=

3 : 4

3 4

3 : 4

3

4


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extremo

extremo

Los medios son el consecuente de la primera razn y el antecedente de la segunda.

medio

medio

En una proporcin, el producto de extremos es siempre igual al producto de medios.

Vamos a demostrarlo, sea la siguiente proporcin:

35

=

610

donde 3 y 10 son los extremos y 5 y 6 son los medios. El producto de los extremos 3 y 10 es:

3 10 = 30

y el producto de los medios 5 y 6 es:

5 6 = 30

como podemos observar el producto de 3 y 10 (extremos) es igual al producto de 6 y 5 (medios).

1.7. ESCALAS (slo categoras B y A)Para realizar trabajos nos basamos en dibujos que nos dan una idea su cientemente exacta de aquello que tenemos que realizar. Estos dibujos estn incluidos en los proyectos de las obras a realizar, pero no estn dibujados a tamao natural porque esto sera imposible en la mayora de los casos.

Habrs observado que entre estos dibujos y la forma real de la instalacin existe una proporcin, de modo que si una tubera tiene doble longitud que otra en el dibujo, tiene asimismo doble longitud en la realidad, conservndose las proporciones. Esto es debido a que estos dibujos es-tn realizados a escala.

Una escala es una unidad de medida que guarda una determinada proporcin conocida con la unidad de medida real. As, dibujamos los elementos a escala utilizando esta nueva unidad de medida.

Las medidas que aparecen re ejadas en los planos a escala se denominan cotas. Veamos un ejemplo sencillo de escala de reduccin:

Supongamos que tenemos un objeto que mide 9 4 m, el cual deseamos representar en un papel cuyas medidas son 1 0,5 m.

Entonces nos conviene coger la escala 1 es a 10 que se escribe ESCALA: 1:10 y que signi ca que cada metro en el papel equivale a 10 metros en la realidad, o lo que es lo mismo, todas las medidas del dibujo son las del objeto representado divididas por diez.

As, para realizar el dibujo, iremos midiendo el objeto en dimensiones reales; dividiremos estas medidas por 10 y las trasladaremos al papel, consiguiendo as un dibujo a escala: 1:10.

Igualmente si tenemos un dibujo hecho a escala: 1:10 y queremos saber cualquier medida real de un elemento en l representado, bastar que midamos este elemento sobre el dibujo y las dimensiones obtenidas las multiplicamos por 10 para tener sus dimensiones reales.

Las escalas se escogen siempre a conveniencia, para poder representar aquello que nos interesa sobre un papel de dimensiones adecuadas para su manejo, as para dibujar un camin a escala podramos utilizar una escala 1:10 1:25, pero para dibujar el plano de una urbanizacin utili-zaramos escalas de 1:1.000, 1:2.500 1:5.000 segn el tamao de la misma.

3 5

6 10

=

3 5

6 10

=


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Veamos ahora un ejemplo real:

Fjate en el plano representado en la gura siguiente. Est dibujado a ESCALA: 1:50.

Si ahora mides cualquier elemento representado en el plano y multiplicas por 50 la medida ob-tenida del dibujo, sabrs cul es la dimensin real del mencionado objeto. En el plano las dimen-siones de la caldera son 13 mm 6 mm. En la realidad sus dimensiones son 65 cm 30 cm.

DormitorioComedor

Cocina C. BaoC. Bao


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Si realizas esta operacin con un elemento acotado, por ejemplo la cocina de gas, vers que la medida real del elemento coincide con el valor que viene en la cota.

Haz algunas comprobaciones.

Fjate ahora que para dibujar en este plano un nuevo elemento, deberamos dividir por 50 las medidas reales del nuevo elemento y dibujarlo con las nuevas medidas. As, si se tratara de un radiador de calefaccin, que tuviera una longitud de 1 m deberamos dibujarlo sobre papel con una longitud de 1 m : 50 m = 0,02 m = 2 cm.

Escalas de ampliacin:

Al igual que existen escalas de reduccin tambin se utilizan escalas de ampliacin. Estas escalas se utilizan cuando se quieren representar con detalle elementos muy pequeos. La obtencin de las medidas reales se consiguen realizando las operaciones opuestas a las indicadas en el apartado anterior.

1.8. REGLA DE TRES SIMPLELa regla de tres nos permite resolver problemas que dependen de una proporcin. Se llama regla de tres porque siempre hay tres trminos conocidos y uno desconocido.

Ejemplo:

Hemos comprobado que en 5 minutos salen por una tubera 100 litros de agua. Cuntos litros saldrn en una hora?

5 min 100 l

60 min x l

Los litros que salen en una hora (= 60 minutos) son proporcionales a los que salen en 5 mi-nutos, por tanto tenemos una proporcin. Llamemos x a los litros que salen en una hora, entonces podemos decir 5 es a 60 como 100 es a x, y escribiremos

5 100 = 60 x

Sabemos que el producto de extremos es igual al producto de medios

5 . = 60 100

dividiendo por 5 las expresiones a cada lado del signo igual, tenemos

x =

60 1005

= 1.200 litros

La regla de tres puede ser directa o inversa.

1.8.1. Regla de tres simple directa

La regla de tres directa se aplica cuando las magnitudes del problema son directamente propor-cionales, es decir, van de ms a ms, o de menos a menos.

Ejemplo:

Un coche en 2 horas recorre 150 km. Cuntos km recorrer en 9 h?

2 h 150 km

9 h x km


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Cuantas ms horas el coche circule, ms kilmetros recorrer, por tanto tenemos una regla de tres directa.

Podemos escribir, de forma similar al problema anterior: 2 150 = 9 x

despejando x tendremos:

9 150x = = 676 km 2

1.8.2. Regla de tres simple inversa

Esta regla se aplicar cuando las magnitudes del problema son inversamente proporcionales, es decir, van de menos a ms, o de ms a menos.

Ejemplo:

Un gas al circular por el interior de una tubera a una velocidad de 3 m/s, tarda en realizar un recorrido 8 segundos. Cunto tiempo tardar en realizar el mismo recorrido a una velocidad de 7 m/s?

3 m/s 8 s

7 m/s x s

Cuanto mayor sea la velocidad, menor es el tiempo que tardar en realizar el mismo recorrido, por tanto debemos aplicar la regla de tres inversa para resolver el problema.

En la regla de tres simple directa el planteamiento sera:

3

7=

8

x

Pero en la regla de tres simple inversa se invierte el trmino de la derecha. El planteamiento es, pues:

37

=

x8

despejando x tenemos

x =

3 87

= 3, 4 segundos

1.9. PORCENTAJES

1.9.1. Tanto por ciento

El tanto por ciento nos indica de cien unidades cuntas nos corresponden. Es un caso particular de la regla de tres simple directa.

En los problemas de porcentajes siempre sabemos que a 100 unidades le corresponden n, y deseamos conocer cuntas unidades le corresponden a m, donde n y m son conocidos, es decir, se plantea la proporcin

n100

=

xm

,

despejando x: x = m n

100


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donde:

n es el tanto por ciento aplicado

m es la cantidad a la que se aplica el tanto por ciento

es la cantidad resultante de aplicar el tanto por ciento a m

Ejemplo:

Una factura asciende a 160 , y el comerciante nos indica que realizar un 20 por ciento de descuento. Cunto deberemos pagar?

El comerciante nos indica que por cada 100 de compra nos descuenta 20, deseamos conocer que descuento corresponde al importe de la factura.

x = 160

20100

= 32 de descuento

por tanto:

total factura = importe factura - descuento = 160 - 32 = 128

1.9.2. Tanto por uno

El tanto por uno nos indica de una unidad cunto nos corresponde.

Si conocemos el tanto por ciento, n, el tanto por uno se obtiene dividiendo n por cien y se de-duce de aplicar la siguiente regla de tres simple

n100

=

x1

,

despejando x

x =

n100

donde:

x es el tanto por uno

n es el tanto por ciento

Ejemplo:

Una factura asciende a 160 , y el comerciante nos indica que realizar un 20 % de descuen-to, el tanto por uno ser pues:

=

n100

=

20100

= 0, 20

Es decir, el comerciante nos indica que por cada euro que compremos, nos descuenta 20 cntimos de euro.

Para calcular el descuento que nos hace el comerciante utilizando el tanto por uno, planteamos la proporcin siguiente

0, 201

=

160 despejando x queda:

=

0, 20 1601

= 0, 20 160 = 32

Como habris observado para calcular el descuento basta multiplicar el importe por el tanto por uno.

x

x

x


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1.10. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

1.10.1. Unidades de medida de longitud (m, dm, cm, mm)

El Sistema Internacional de Unidades, conocido por sus siglas SI, emplea como unidad de medi-da de la longitud el metro, cuyo smbolo es m.

El metro tiene mltiplos y submltiplos. En el siguiente cuadro se establecen sus equivalencias:

1.10.2. Unidades de medida de super cie (m2, dm2, cm2, mm2)

En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de super cie (o rea) es el metro cuadra-do (m2) que equivale a un cuadrado de un metro de lado.

El metro cuadrado, como todas las unidades, tiene mltiples y submltiplos, que se resumen en el siguiente cuadro.

Otras unidades muy empleadas para la medida de las super cies son el rea (a) que equivale a 100 m2, y la hectrea (ha) que equivale a 10.000 m2.

1 a = 1 dam2 = 100 m2

1 m2 = 0,01 a1 ha = 1 hm2 = 10 000 m2

1 m2 = 0,0001 ha

1 metro

Denominacin Smbolo Equivalencia

Mltiplos

kilmetro

hectmetro

decmetro

km

hm

dam

1 000 m

100 m

10 m

Unidad metro m 1 m

Submltiplos

decmetro

centmetro

milmetro

dm

cm

mm

1 dm = 0,1 m

1 cm = 0,01 m

1 mm = 0,001 m


Mltiplos

kilmetro cuadrado

hectmetro cuadrado

decmetro cuadrado

km2

hm2

dam2

1 000 000 m2

10 000 m2

100 m2

Unidad metro cuadrado m2 1 m2

Submltiplos

decmetro cuadrado

centmetro cuadrado

milmetro cuadrado

dm2

cm2

mm2

0,01 m2

0,000 1 m2

0,000 001 m2


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1.10.3. Unidades de medida de volumen (m3, dm3, l, cm3, mm3)

En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de volumen es el metro cbico (m3), que equivale al volumen de un paraleleppedo cuyas aristas tienen un metro de largo

El metro cbico tiene mltiplos y submltiplos, como nos muestra el siguiente cuadro:

Otra unidad muy utilizada para la medida de volmenes es el litro (I), el cual equivale a 1 dm3.

1 I = 1 dm3

Nota: Como smbolo de la unidad litro el SI admite tambin la L, para evitar confusiones entre la l y el 1.

1.11. POTENCIAS Y RACES CUADRADAS. POTENCIAS EN BASE 10 Y EXPONENTE NEGATIVO (slo categoras B y A)

1.11.1. Potencias

Cuando en un producto dado todos los factores son iguales, al producto se le llama potencia. De esta forma los siguientes productos son potencias.

7 7

5 5 x 5

3 3 3 3

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

1.11.2. Representacin de una potencia

Una potencia se representa mediante dos nmeros: la base y el exponente.

7 7 se representa por 72

porque 7 se repite como factor 2 veces

5 5 5 se representa por 53


3 3 3 3 se representa por 34


1 m3 1 m

1 m1 m


Mltiplos

kilmetro cbico

hectmetro cbico

decmetro cbico

km3

hm3

dam3

1 000 000 000 m3

1 000 000 m3

1000 m3

Unidad metro cbico m3 1 m3

Submltiplos

decmetro cbico

centmetro cbico

milmetro cbico

dm3

cm3

mm3

0,001 m3

0,000 001 m3

0,000 000 001 m3


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0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 se representa por 0,56

porque 0,5 se repite como factor 6 veces

El nmero que se repite como factor se llama base.

5 es la BASE

As en las siguientes potencias

72 la base es 753 la base es 534 la base es 30,56 la base es 0,5

4 es la BASE 3 es el EXPONENTE

Y el nmero escrito en la parte superior derecha que indica las veces que se tiene que repetir la base se llama exponente.

De forma que en las siguientes potencias

72 el exponente es 253 el exponente es 334 el exponente es 40,56 el exponente es 6

1.11.3. Potencias de base 10 con exponente entero

101 = 10102 = 10 10 = 100103 = 10 10 10 = 1.000104 =10 10 10 10 = 10.000, etc.

Las potencias cuya base es 10 nos permiten simpli car la representacin de cantidades. El nme-ro seis millones, se escribe de la siguiente forma:

6.000.000

pero como 6.000.000 = 6 1.000.000y 1.000.000 = 10 10 10 10 10 10 = 106

POTENCIAS

52 = 5 5

POTENCIAS

43 = 4 4 4


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podemos escribirlo tambin como:

6.000.000 = 6 106

Ejemplo

Vamos a representar 2.525 de diferentes maneras

2.525252,5 1025,25 102

2,525 103

0,2525 104

y as sucesivamente

1.11.4. Lectura de una potencia

Para leer una potencia:

34

1) Se lee el nmero que representa la base

tres

2) a continuacin se pone la frase elevado a

tres elevado a

3) por ltimo, se lee el nmero del exponente

tres elevado a cuatro

Ejemplo

Vamos a leer las siguientes potencias:

174 = diecisiete elevado a cuatro

56 = cinco elevado a seis

78 = siete elevado a ocho

354 = treinta y cinco elevado a cuatro

Las nicas excepciones las tenemos cuando el exponente es 2 3.

Cualquier nmero que tenga de exponente el nmero 2, representa el cuadrado de este nmero.

242 representa el cuadrado de 24

y lo leemos como

veinticuatro elevado al cuadrado

72 siete elevado al cuadrado

Cualquier nmero que tenga de exponente el nmero 3, representa el cubo de este nmero.

243 representa el cubo de 24

y lo leemos como

veinticuatro elevado al cubo

73 lo leemos como siete elevado al cubo


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1.11.5. Propiedades de las potencias

1) Para elevar un producto a una potencia, se eleva cada factor a dicha potencia.

(3 4 6)28 = 328 428 628

2) Para elevar un cociente a una potencia, se eleva el dividendo y el divisor a dicha potencia.

(3 : 7)14 = 314 : 714

3) Para multiplicar potencias de igual exponente se multiplican las bases y el producto se eleva al exponente.

235 135 435 = (2 1 4)35 = 835

4) Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y el cociente se eleva al expo-nente.

2120 : 720 = (21 : 7)20 = 320

5) Para multiplicar potencias que tengan la misma base, se pone por base la misma y por expo-nente la suma de exponentes.

720 730 = 720 +30 = 750

6) Para dividir potencias que tengan la misma base, se pone por base la misma y por exponente la diferencia entre el exponente del numerador y el exponente del denominador.

1685:163 = 1685-3 = 1682

7) Para elevar una potencia a otra potencia se pone por base la de la potencia y por exponente el producto de los exponentes.

(1845)3= 1845x3 = 18415

Ejemplo

Vamos a reducir a una sola potencia la siguiente expresin:

(10 2 )6

5 2 22x

30 8 30 2

310

Como (102)6 = 102x6 = 1012 tenemos

(10 2 )6

5 2 22x

30 8 30 2

310=

10 12

5 2 22x

30 8 30 2

310

ahora podemos simpli car 52 22 = (5 2)2 = 102

10 12

5 2 22

30 8 30 2

310=

10 12

10 2

30 8 30 2

310=

simpli camos

10 12

10 2= 10 12 2 = 10 10

10 12

10 2

30 8 30 2

310=10 10

30 8 30 2

310

308 302 = 308+2 = 3010 por tanto


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10 10

30 8 30 2

310=10 10

30 10

310

y como

30 10

310

(3 10 )10

310=

310 10 10

310= 10 10

10 10

30 10

310= 10 10 10 10 = 10 10 +10 = 10 20

1.11.6. Potencias de exponente negativo

Supongamos

6 5

6 8

aplicando las propiedades que hemos visto

6 5

6 8= 6 5 8 = 5 3

Que signi ca 6 -3? Volvamos al principio

6 5

6 8=

6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6 6=

1

6 6 6=

1

6 3

Es decir 6-3 es igual a

1

6 3

Un nmero elevado a un exponente negativo es igual a 1 dividido por el mismo nmero elevado al valor absoluto del exponente.

1.11.7. Races cuadradas

Recordemos que las potencias que tienen como exponente el nmero 2 se llaman cuadrados. De forma que:

92 representa el cuadrado del nmero 9

Para calcular el cuadrado de un nmero, ste se multiplica por s mismo, es decir:

92 = 9 9 = 81

La raz cuadrada de un nmero es otro nmero que multiplicado por s mismo nos da el pri-mero.

El signo de la raz cuadrada es:

6

Raz cuadrada de 49 es 7

porque 7 por 7 son 49


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Algunas races cuadradas son sencillas de calcular:

1 = 1 porque 1 1=1

2 = 2 porque 2 2 = 4

9 = 3 porque 3 3 = 9

El nmero al cual vamos a hallar la raz cuadrada se llama radical y el resultado es la raz. En la siguiente raz cuadrada

81 es el radical y 9 la raz. Como vemos, para indicar que vamos a hallar la raz del nmero 81, lo co locamos debajo del signo .

1.11.8. Clculo de la raz cuadrada

No todas las races cuadradas se pueden calcular de memoria.

1.11.8.1. Clculo de la raz cuadrada de un nmero entero

En general, para el clculo de una raz cuadrada de un nmero entero se ha de seguir paso a paso el proceso que se expone a continuacin en el ejemplo siguiente

Calcular la raz cuadrada de 122394

1er. paso: Empezando por la derecha se separan las cifras del nmero en grupos de dos en dos

En nuestro ejemplo: 12.23.94

Nota: El primer grupo de la izquierda puede tener una o dos cifras. En ambos casos los pasos a seguir son los mismos.

En nuestro ejemplo el primer grupo de la izquierda es 12 que consta de dos cifras.

2. paso: Se halla la raz cuadrada del primer grupo de la izquierda, es decir, se busca un nmero de una cifra que multiplicado por s mismo nos d el valor de ese grupo o un valor inmediatamente inferior.

En nuestro ejemplo el cuadrado del nmero buscado ha de ser igual o inferior a 12.

Probemos con el 4

4 4 = 16

El 4 no nos sirve ya que su cuadrado es mayor que 12.

Probemos con el 3

3 3 = 9

El 3 es el nmero buscado.

Nota: El nmero hallado se coloca sobre la raya horizontal.

3er. paso: El nmero hallado se eleva al cuadrado y el resultado se resta del primer gru-po de la izquierda.

4

81 = 9

12.23.94 3

12.23.94

- 9

03

3

Resto


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4. paso: Se coloca debajo de la raya horizontal el doble de la raz hallada.

En nuestro ejemplo, la raz hallada es 3 y el doble de 3 es 2 3 = 6.

Nota: Debajo se traza otra raya horizontal.

5. paso: Se baja a la derecha del resto el siguiente grupo de cifras y del nmero que se forma se separa la cifra de las unidades.

En nuestro ejemplo el nmero formado es el 323 del que despus de separar las cifras de las unidades, el 3, queda el nmero 32.

6. paso: Se busca un nmero de una sola cifra que multiplicado por el doble de la raz hallada de un resultado igual o menor que el nmero del resto que queda sin tener en cuenta la cifra separada.

En nuestro ejemplo se ha de buscar un nmero de una cifra que multiplicado por 6 sea menor que 32, este nmero es el 5 ya que 6 x 5 = 30 es menor que 32.

Nota: Este nmero de una sola cifra que acabamos de encontrar se coloca a la derecha del doble de la raz.

En nuestro ejemplo, entre el doble de la raz (6) y el nmero que acabamos de encontrar (5), se forma el nmero 65.

7. paso: Se multiplica el nmero as formado por la cifra encontrada.

En nuestro ejemplo

65 5 = 325

Nota: El resultado se coloca a continuacin.

Nota: El resultado obtenido ha de ser menor que el resto, en caso contrario el nmero que hemos encontrado

no sera vlido y se tendra que buscar otro menor.

En nuestro ejemplo 325 es mayor que 323 por ello el nmero encontrado, el 5, no es vlido y se ha de tomar el 4 y realizar otra vez los pasos 6. y 7.

12.23.94

- 9

03 23

3

65

12.23.94

- 9

03 23

3

Resto 65 5 = 325

12.23.94

- 9

03 23

3

Resto 6Doble de la raz

12.23.94

- 9

03

3

Resto 6Doble de la raz


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8. paso: Se coloca el producto obtenido debajo del resto y se realiza la resta.

9. paso: Se sube el nmero encontrado a la raz.

A continuacin se repiten todos los pasos desde el 4. al 9. tantas veces como grupos de dos cifras queden por bajar.

4.) Se coloca debajo de la segunda raya horizontal el doble de la raz hallada.

En nuestro ejemplo la raz hallada es 34 y su doble 68.

5.) Se baja a la derecha del resto el siguiente grupo de cifras y del nmero que se forma se separan las cifras de las unidades.

El nmero formado es el 6794 del que al separar la cifra de las unidades, el 4, queda el nmero 679.

6.) Se busca un nmero de una sola cifra que multiplicado por el doble de la raz hallada de un resultado igual o menor que el nmero del resto que queda sin tener en cuenta la cifra separada.

En nuestro ejemplo se ha de buscar un nmero de una cifra que multiplicado por 68 de un re-sultado menor que 679.

Se prueba con el 9

68 9 = 612

El 9 es vlido ya que 612 es menor que 679.

El nmero encontrado es el 9.

Nota: Este nmero de una cifra que acabamos de encontrar, el 9, se coloca a la derecha del doble de la raz.

Resto Doble de la raz

12.23.94

- 9

03 23- 2 56

0 67

34

64 4 = 256

68

12.23.94

- 9

03 23- 2 56

0 67

34

64 4 = 256

12.23.94

- 9

03 23- 2 56

0 67

3

Resto

64 4 = 256

12.23.94

- 9

03 23- 2 56

0 67 94

34

64 4 = 256

68


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El nmero formado es el 689.

7.) Se multiplica el nmero as formado por la cifra encontrada.

8.) Se coloca el producto as obtenido debajo del resto y se efecta la resta.

9.) Se sube el nmero encontrado a la raz.

La operacin se puede dar por concluida ya que no quedan ms grupos de dos cifras con las que operar.

El proceso de clculo de la raz cuadrada de 122394 seguido en los pasos anteriores se resume a continuacin.

Respuesta: La raz cuadrada de 122394 es 394 y el resto 593.

Resto

12.23.94

- 9

3 23- 2 56

0 67 94- 62 01

05 93

349

64 4 = 256

689 9 = 6201

Resto

12.23.94

- 9

3 23- 2 56

67 94- 62 01

05 93

349

64 4 = 256

689 9 = 6201

12.23.94

- 9

3 23- 2 56

67 94- 62 01

05 93

34

64 4 = 256

689 9 = 6201

12.23.94

- 9

3 23- 2 56

0 67 94

34

64 4 = 256

689 9 = 6201

Resto

12.23.94

- 9

3 23- 2 56

0 67 94

34

64 4 = 256

689


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Clculo de la raz cuadrada de un nmero con decimales

Para el clculo de la raz cuadrada de un nmero con decimales se ha de operar siguiendo paso a paso el proceso que se expone a continuacin con un ejemplo.

Calcular la raz cuadrada de 75,028

1er. paso: Si el nmero de cifras decimales es impar se aade un cero a la derecha de la ltima cifra.

En nuestro ejemplo hay un nmero impar de decimales (tres), luego se aade un cero por la derecha 75,0280.

2. paso: Se extrae la raz cuadrada como si fuera un nmero entero, sin preocuparnos por los decimales, para lo cual se siguen los 9 pasos expuestos en el apartado anterior.

3er. paso: Se pone la coma en la raz de modo que queden tantas cifras decimales como grupos de dos cifras decimales tena el radical.

En nuestro ejemplo, 75 , 02, 30 , el radical tiene dos grupos de cifras decimales, luego la raz cuadrada calculada en el paso anterior ha de tener dos decimales.

Nota: El resto es un nmero con tantos decimales como el radical.

En nuestro ejemplo ha de tener cuatro decimales.

Luego, la raz cuadrada de 75,028 es 8,66 y el resto 0,0324.

Prueba de la raz cuadrada

La prueba de la raz cuadrada nos permite comprobar si los clculos realizados han sido correc-tos, para ello se debe cumplir que

(Raz)2 + resto = radical

Apliquemos esta prueba a los dos ejemplos anteriores.

Ejemplo 1(349)2 + 593 = 122394

Ejemplo 2

(8,66)2 + 0,0324 = 75,028

Lo que demuestran que los dos resultados son correctos.

75.02.80

- 64

11 02- 9 96

1 06 80- 1 03 56

0 03 24

866

8 8 = 64

166 6 = 996

1726 6 = 10356

75.02.80

- 64

11 02- 9 96

1 06 80- 1 03 56

0,03 24

8,66

8 8 = 64

166 6 = 996

1726 6 = 10356

Resto

Raz


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1.12. LNEAS: RECTAS Y CURVAS, PARALELAS Y PERPENDICULARES, HORIZONTALES, VERTICALES E INCLINADAS

Una lnea es una sucesin de in nitos puntos, uno junto al otro. Segn la colocacin de estos puntos tendremos diferentes lneas las cuales pueden ser rectas o curvas, la siguiente gura nos las muestra.

Recta Curva

Cuando se une una lnea recta y una curva tenemos una lnea mixta, si se unen varias lneas rectas tendremos una lnea quebrada.

Mixta Quebrada

La lnea recta considerada aisladamente en el plano, puede adoptar distintas posiciones: verti-cal, horizontal e inclinada.

Vertical Horizontal Inclinada

Dos lneas rectas representadas en el plano son paralelas cuando no se cortan en ningn punto, ni ellas ni sus prolongaciones. Cuando se cortan en un punto diremos que son secantes.

Paralelas Secantes


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Las rectas secantes pueden ser perpendiculares y oblicuas.

Perpendiculares Oblicuas

Son perpendiculares cuando dividen el plano en cuatro partes iguales, en caso contrario diremos que son oblicuas.

1.13. NGULO: DENOMINACIN. UNIDADES ANGULARES (SISTEMA SEXAGESIMAL). NGULO RECTO, AGUDO, OBTUSO

Dos rectas oblicuas dividen el plano en cuatro regiones, como nos muestra la gura:

Cada una de estas regiones de ne un ngulo. Los segmentos de la recta que lo limitan se lla-man lados y el punto donde se cruzan las rectas vrtice. Por tanto un ngulo est formado por dos lados y un vrtice.

1.13.1. Denominacin de los ngulos

Los ngulos los podemos nombrar de tres maneras:

Vrtice

lado

Lado

12

3

4

Of

A

B


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1) Mediante las letras que de nen sus lados, intercalando entre ellas la letra correspondiente al vrtice:

ngulo A O B

2) Mediante la letra de su vrtice:

ngulo O

3) Mediante una letra minscula o nmero que represente el ngulo:

ngulo f

4) Es muy frecuente emplear las letras del alfabeto griego para nombrar los ngulos: ngulo , ngulo .

La palabra ngulo la podemos eliminar si utilizamos el smbolo , el cual representa el ngulo:

ngulo A O B equivale a A O B

ngulo O equivale a O

ngulo f equivale a f

ngulo equivale a

1.13.2. Tipos de ngulos

Cuando dos rectas son perpendiculares dividen el plano en cuatro regiones idnticas, y tenemos cuatro ngulos iguales. A estos ngulos que se obtienen cuando se cruzan dos rectas perpendi-culares se les llama ngulos rectos.

Cuando el ngulo formado por dos rectas es menor al ngulo recto, tendremos un ngulo agudo.

y s es mayor un ngulo obtuso.


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Un caso particular del ngulo obtuso es el ngulo llano, que como nos muestra la siguiente gura, tiene los lados alineados.

1.13.3. Unidades angulares (Sistema sexagesimal)

El SI tiene establecida, dentro de las unidades SI derivadas, como unidad de medida del ngulo plano el radian, que es el ngulo central de una circunferencia en que la longitud del arco es igual al radio. Su smbolo el rad, equivalente a m/m.

Fuera del SI, pero aceptadas por ste, existen las siguientes unidades, que constituyen el llamado sistema sexagesimal:

Magnitud Unidad Smbolo Equivalencias

ngulo plano grado 1 = (/180) rad

minuto 1 ' = (1/60) = (/10 800) rad

segundo 1 " = (1/60) = (/648 000) rad

Nota: = 3,1416 aproximadamente

La norma ISO 31 recomienda dividir el grado en fracciones centesimales, en lugar de sexagesi-males, pero dicha prctica est an poco extendida.

Del cuadro anterior se desprende que 1 rad = 180/ = 57,296 = 57 17' 44".

Supongamos que tenemos un ngulo agudo el cual vamos abriendo progresivamente.

En el paso 6 lo hemos abierto al mximo. Si dividimos el ngulo 6 en 360 ngulos agudos igua-les, cada uno de ellos representar un grado en el sistema sexagesimal.

El grado, a su vez, lo podemos dividir en 60 partes de iguales y cada una de ellas recibe el nom-bre de minuto.

Y el minuto lo podemos dividir en 60 partes iguales, que reciben el nombre de segundos.

12 3

4 5 6


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1.13.4. Representacin de los grados, minutos y segundos

Los grados se indican con un cero pequeo en el lado superior derecho del nmero, de esta forma noventa grados lo indicaramos por

90

los minutos se indican con una comilla en el lado superior derecho, treinta minutos lo indicara-mos por

30

y los segundos mediante dos comillas, as, 45 segundos lo representamos por

45"

Ejemplo:

Cuarenta y cinco grados, 20 minutos y 10 segundos lo representaramos por

45 20 10"

1.14. CONCEPTO DE PENDIENTESe denomina pendiente a la inclinacin de un elemento rectilneo respecto de la horizontal.

En el caso particular de la pendiente de una recta es un parmetro relevante en el diseo y cons-truccin de canalizaciones de lquidos o de gases que pueden presentar condensaciones.

Si tenemos la recta de nida por dos puntos de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente m se calcula como sigue:

y2 - y1 m = x2 - x1

Una lnea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una recta con una inclinacin de 45 respecto a la horizontal tiene pendiente = 1.

1.15. POLGONOS: CUADRADO, RECTNGULO Y TRINGULO

Cuando una lnea cierra una porcin del plano, diremos que encierra una super cie.

Cuando una super cie se encuentra delimitada por una lnea quebrada cerrada, tenemos un polgono.


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A cada una de las rectas que forman la lnea quebrada se les llama lados del polgono, y al punto de unin de dos lados consecutivos se les llama vrtice.

A cada vrtice de un polgono le podemos asignar una letra, de esta forma la gura anterior sera el polgono ABCD.

Las rectas que unen dos vrtices no consecutivos se llaman diagonales.

La suma de las longitudes de cada uno de los lados de un polgono es el permetro del pol-gono.

Ejemplo:

El permetro del polgono anterior es 3 + 2 + 2,5 + 1,5 = 9 metros.

1.15.1. Tipos de polgonos

Cuando un polgono tiene sus lados iguales decimos que es equiltero.

A

D

C

B

Diagonales

2 m

2,5 m

1,5 m

3 m

5 m5 m

5 m 5 m


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Si adems todos los ngulos son iguales, decimos que el polgono es regular.

Si un polgono no tiene los lados y los ngulos iguales diremos que es irregular.

Veamos algunos polgonos:

1.15.2. Cuadrado

El cuadrado es un polgono que tiene los cuatro lados iguales y cuatro ngulos rectos, por tanto es un polgono equiltero y regular.

Los ngulos del cuadrado suman 360

1.15.3. Rectngulo

El rectngulo es un polgono que tiene los lados iguales dos a dos y cuatro ngulos rectos. El rectngulo no es un polgono equiltero y por tanto es irregular.

Los ngulos del rectngulo suman 360.

1.15.4. Paralelogramos

Los paralelogramos son polgonos de cuatro lados cuyos lados opuestos son paralelos entre s.

Cuadrado Rectngulo Rombo Romboide

120 120

120 120

120 120

90 90

90 90


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El cuadrado y el rectngulo son paralelogramos cuyos ngulos son rectos. El rombo y el romboi-de tambin son paralelogramos pero sus ngulos no son rectos.

Los cuatro ngulos de un paralelogramo suman 360.

De las cuatro guras representadas, el cuadrado y el rombo son equilteros, pero slo el cuadra-do es un polgono regular.

1.15.5. Tringulos

Es un polgono que tiene tres lados y tres ngulos, los ngulos siempre suman 180.

Cuando el tringulo tiene los ngulos y los lados iguales se le llama tringulo equiltero, y es un polgono regular.

Cuando el tringulo tiene dos lados iguales tambin tiene dos ngulos iguales, se le llama trin-gulo issceles, y es un polgono irregular.

Cuando el tringulo no tiene ni los lados ni los ngulos iguales se le llama tringulo escaleno.

Cuando uno de los ngulos de un tringulo mide 90, tendremos un tringulo rectngulo. La siguiente gura nos muestra dos tringulos rectngulos, uno issceles (ABC) y otro escaleno (DEF).

A = B = C = 60 AB = BC = AC

A

BC

A = C = B = 60 AB = AC = AC

A

BC


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Un tringulo lo podemos representar de tres formas:

La base del tringulo es el lado sobre el que descansa el tringulo.

La altura de un tringulo es el segmento de perpendicular a la base o a su prolongacin que une sta con su vrtice opuesto, tal como se representa en las siguientes guras.

1.16. CIRCUNFERENCIA. CRCULO. DIMETROSi cogemos una cuerda, manteniendo un extremo jo sobre una pizarra y el otro extremo lo hacemos girar con una tiza atada, cuando hayamos dado una vuelta completa, tendremos la siguiente gura.

Se le llama circunferencia y el punto que hemos mantenido jo se llama centro.

La circunferencia es una lnea curva, cerrada y plana cuyos puntos estn a igual distancia de otro interior llamado centro.

A

BC

D

EF

C = 90 A = B = 45 CA = CB

F = 90

A

BC

A

BC

A

BC

A

BC

altura

base

altura

base


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La distancia entre cualquier punto de la circunferencia y su centro se le llama radio. El radio se representa por r. El segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro se le llama dimetro y es igual a dos veces el radio. El dimetro se representa por d.

La longitud de la circunferencia nos viene dada por las siguientes frmulas:

L = 2 r o bien L = d

donde:

L es la longitud de la circunferencia (m)

(se lee pi) es constante y vale 3,1416 aproximadamente

r es el radio de la circunferencia (m)

d es el dimetro de la circunferencia (m).

Se llama crculo a la super cie encerrada dentro de una circunferencia.

1.17. SUPERFICIES REGULARES: CUADRADO, RECTNGULO Y TRINGULO (slo categoras B y A)

El rea es la medida de una super cie encerrada por una lnea.

1.17.1. rea del rectngulo

Para calcular el rea de un rectngulo se multiplican las medidas de dos lados consecutivos.

S = a b

donde:

S es el rea del rectngulo (m2)

a y b son los lados del rectngulo (m)

circunferencia

radio

dimetrocentro

x

a

b


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1.17.2. rea del cuadrado

El cuadrado es un caso particular de rectngulo que tiene todos sus lados iguales.

S= a a = a2

S = a2

donde:

S es el rea del cuadrado (m2)

a es el lado del cuadrado (m)

1.17.3. rea del tringulo

El rea de un tringulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura

S =

b h2

donde:

S es el rea del tringulo (m2)

b es la base (m)

h es la altura (m)

1.18. SUPERFICIES IRREGULARES: TRIANGULACIN (slo categoras B y A)

Sabemos como calcular la super cie de varias guras bsicas: tringulo, cuadrado, rectngulo, crculo. Vamos a ver la forma de calcular la super cie de un polgono irregular.

Supongamos que tenemos un solar que tiene la forma del polgono ABCDEFGHI y deseamos calcular su super cie.

a

a

base (b)

altura (h)


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En primer lugar descompondremos el polgono en tantos tringulos como sea posible. As del polgono ABCDEFGHI obtendremos los siguientes tringulos:

ABI, IBH, BCH, CGH, CDG, GDF, DEF

Para obtener la super cie total del polgono bastar con obtener la super cie de cada uno de los diferentes tringulos y sumarlas entre s.

Para hallar la super cie de cada tringulo escogeremos para cada uno una base y su correspon-diente altura que son los datos que necesitamos para calcular su super cie.

De esta forma:

para el tringulo ABI tomamos como base su lado Bl y su altura ser h1;

para el tringulo IBH tomamos como base su lado Bl y como altura h2.

y as sucesivamente.

A continuacin debemos medir los lados escogidos como base y las alturas, hallar la super cie de cada uno de los tringulos y sumarlas.

1.19. VOLMENES: PARALALEPPEDOSLos cuerpos que estn limitados por caras planas reciben el nombre de poliedros.

Los paraleleppedos son aquellos poliedros que tienen seis caras planas, que son paralelogra-mos, siendo iguales y paralelas cada dos caras opuestas entre s.

x

H G

D C

A B

x

h

FE

B

x

H G

D C

A

x

h

FE

Figura 1 Figura 2

D

E

F

G

C

H

B

A

I

h1h2


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La recta en la que se unen las caras se llama arista. En la gura anterior tenemos las aristas: AB, BC, CD, DA, AE, BF, etc.

El punto en que se unen tres aristas se llama vrtice. En la gura anterior tenemos los vrtices: A, B, C, D, E, F, etc.

La base es la super cie sobre la que se apoya el paraleleppedo. El paraleleppedo de la gura 1 tiene como base la super cie ABCD y el de la gura 2 es el paralelogramo A B C D.

La altura de un paraleleppedo es el segmento de recta perpendicular a la base o a su prolon-gacin que une sta y la cara opuesta. En la gura 1 la altura est representada por h y en la gura 2 por h.

El volumen de un paraleleppedo nos viene dado por la frmula:

V = Sb h

donde:

V = volumen del paraleleppedo (m3)

Sb = super cie del polgono de la base (m2)

h = altura del paraleleppedo (m)

1.20. VOLMENES: CILINDROS (slo categoras B y A)El cilindro es una gura que tiene dos caras paralelas entre s, que son de dos crculos, y una sola cara lateral curva.

La altura del cilindro es el segmento de la recta perpendicular a la base o a su prolongacin que une esta y la cara opuesta. En el cilindro de la gura 1 la altura est representada por h y en la gura 2 por h.

El volumen del cilindro es igual a la super cie de la base multiplicado por la altura.

V = Sb x h o bien V = x r2 x h

donde:

V = volumen del cilindro (m3)

Sb = super cie de la circunferencia de la base = r2 (m2)

h = altura (m)

r = radio de la base (m)

Ejemplo:

Calcula el volumen del cilindro de la gura.

h

r

h

r

xxx x

Figura 1 Figura 2


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El radio del cilindro es de 1,3 m y su altura de 2,7. Aplicando la frmula directamente:

V = . r2 h = 3,14 x 1,32 x 2,7 = 14,3 m3

El volumen de este cilindro es de 14,3 m3.

1.21. REPRESENTACIN DE GRFICAS (slo categoras B y A)En esta unidad vamos a estudiar la representacin de puntos en un sistema de ejes de coorde-nadas, as como la interpretacin de gr cas.

1.21.1. Ejes de coordenadas

Recordemos que los nmeros los podemos representar sobre una recta graduada en unidades.

En la recta anterior hemos marcado los siguientes puntos:

-2; -1; -0,9; 0; 0,5; 1; 2; 2,2; 3; 4

Ahora vamos a trazar dos rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical.

2,7 m1,3 m

x

x

-2 1-1

0-0,9

2 3 4

0,5 2,2

3

2

1

-1

-2

-3

0

-1-2-3 321


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Sobre estas dos rectas tambin podemos representar los nmeros. El punto de corte vamos a asignarlo al nmero 0. En el eje horizontal representaremos los nmeros positivos a la derecha del punto cero y los nmeros negativos a la izquierda. En el eje vertical los nmeros positivos los representaremos por encima del punto cero y los negativos por debajo.

Este par de rectas se llaman ejes de coordenadas. El eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas y el vertical el de eje de ordenadas.

Los nmeros representados sobre el eje de abscisas se llaman abscisas, y los nmeros represen-tados sobre el eje de ordenadas se llaman ordenadas.

El eje de ordenadas y el eje de abscisas dividen el plano en cuatro partes, cada una de ellas se llama cuadrante.

Para denominar los cuadrantes se sigue el orden inverso al de las agujas del reloj, tal como se indica en la siguiente gura.

Los puntos del primer cuadrante tienen la abscisa positiva y la ordenada positiva.

Los puntos del segundo cuadrante tienen la abscisa negativa y la ordenada positiva.

Los puntos del tercer cuadrante tienen la abscisa negativa y la ordenada negativa.

Los puntos del cuarto cuadrante tienen la abscisa positiva y la ordenada negativa.

1.21.2. Representacin de puntos en el plano

Observemos la siguiente gura:

Eje de ordenadas

Eje de abscisas

segundo

cuadrante

cuarto

cuadrante

primer

cuadrante

tercer

cuadrante

Eje de ordenadas

Eje de abscisas

3

3


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La recta corta perpendicularmente al eje de abscisas por el punto 3, es decir, la abscisa de todos los puntos de la recta vale 3.

Podemos decir que la abscisa es la distancia de un punto al eje de ordenadas.

De la misma forma, en la siguiente gura tenemos una recta cuyos puntos cumplen la condicin que la ordenada vale 2.

Tambin podemos decir que la ordenada es la distancia de un punto al eje de abscisas.

Para de nir la situacin de un punto es necesario conocer su abscisa y su ordenada. Vamos a representar el punto cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 2.

Slo existe un punto en el plano que cumple esta condicin.

Para indicar un punto de un plano se encierra la abscisa y la ordenada dentro de un parntesis, separadas por una coma de la siguiente forma: (abscisa, ordenada). En la gura anterior se repre-sent el punto (3, 2). En la siguiente gura se representan puntos en los cuartos cuadrantes.

Eje de ordenadas

Eje de abscisas

2

2

2

3


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1.21.3. Representacin de funciones

La frmula que relaciona el espacio recorrido por un mvil con su velocidad y el tiempo que emplea en recorrerlo es:

e = v t

donde:

e = espacio recorrido

v = velocidad

t = tiempo

Por ejemplo, si conocemos la velocidad de un coche, la frmula anterior nos permite determinar el espacio que recorre en el tiempo transcurrido, es decir, podemos conocer su situacin en cada momento.

Supongamos que la velocidad de un automvil es de 30 km/h, el espacio recorrido por el auto-mvil es:

e = v t

e= 30 t

es decir:

La relacin anterior es una funcin, porque el espacio recorrido es funcin del tiempo trans-currido.

Podemos calcular varios puntos de esta funcin dando valores al tiempo:

2

3

(3,2)

-2

-2,5

4

-1

-2

(-1,4)

(-2,-2)

2

(2,-2,5)

tiempo

(horas)

espacio

(kilmetros)

0 0

0,1 3

0,2 6

0,3 9

0,4 12


Parte 1. Matemticas

Revisin 0

Octubre 2008

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Estos puntos se pueden representar en el plano sobre un sistema de ejes de coordenadas. Sobre el eje de abscisas representaremos el tiempo en horas y sobre el de ordenadas el espacio reco-rrido en km.

Al unir todos los puntos mediante lneas rectas tendremos la representacin gr ca de la fun-cin.

Cuantos ms puntos se dispongan, la gr ca representar con mayor exactitud la funcin de que se trate.

Si nos dicen que realicemos la represen

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Parte 1 matemáticas