Pauta de Desarrollo Solemne 01 FMF 003 01-2012 Pregunta 01) Hallar dos números positivos tales que su producto sea x y uno sea el quíntuplo del otro.

Desarrollo: Sean a y b los números a calcular:

• Su producto es x ⇒ a b = x⋅

• Uno es el quíntuplo del otro ⇒ a = 5 b⋅ Combinando las ecuaciones:

2 2 x x5 b b = x 5 b = x b b =

5 5⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ = ⇒

Reemplazando el resultado de b:

xa = 5

5⋅

1 x a b

a 1 2,24 0,45

b 3 3,87 0,77

c 5 5,00 1,00

d 6 5,48 1,10

e 10 7,07 1,41

Pregunta 02) Para armar una tienda de campaña en un terreno horizontal, un grupo de excursionistas insertan en el suelo ganchos en los puntos A y B de la figura. En el punto D, instalan un palo vertical de altura H = 1,2 [m] que en su extremo superior C tiene un aro. Luego, amarran el extremo de una cuerda en el gancho A, se pasa la cuerda por el aro de C y se amarra el otro extremo en el gancho B. Si se asume que las dos

porciones de la cuerda están totalmente rectas y estiradas (sin “pandeo”) y se sabe que α = ααααº y β

= ββββº, la longitud total de la cuerda es:

Desarrollo: De la figura, la longitud de la cuerda está dada por:

21L ℓℓ +=

Por definición de seno y coseno:

• ( ) ( )αα

senHH

sen 11

=⇒= ℓℓ

• ( ) ( )ββ

cosHH

cos 22

=⇒= ℓℓ

Finalmente

( ) ( ) ( ) ( )

+⋅=+=βαβα cos

1sen

1H

cosH

senH

L

2 ααααº ββββº L [m] a 10 20 8,19 b 15 20 5,91 c 30 30 3,79 d 45 60 4,10 e 20 65 6,35

Pregunta 03) Se ha rodeado un terreno de forma cuadrada por un muro de 0.2 [m] de espesor, con lo cual su área disminuyó en A [m2]. ¿Cuál era el área original del terreno?

Desarrollo:

Sea “a” el lado del terreno cuadrado primitivo. El área original es 20A = a

Al construir el muro, cada lado del terreno disminuye en 0.4 [m]. Luego, el área final es

( )2

fA = a - 0.4

Del enunciado 0 fA A = A−

Reemplazando y despejando el valor de “a”:

( )22 2 2a a - 0.4 = A a a 0.8 a 0.16= A

0.8 a 0.16 = A 0.8 a 0.16 A

a 0.2 + 1.25 A

− ⇒ − + ⋅ −⇒ ⋅ − ⇒ ⋅ = +⇒ = ⋅

Finalmente, el área original del terreno es:

( )2

0A = 0.2 + 1.25 A⋅

3 A [m2] A0 [m2]

a 10 161,29

b 20 635,04

c 30 1421,29

d 40 2520,04

e 50 3931,29

Pregunta 04) Considere el vector A representado en la figura, cuyo módulo es ||A|| = a y

forma un ángulo α = ααααº con respecto al eje x. Las componentes cartesianas del vector son:

Desarrollo:

Gráficamente las componentes del vector A�

se aprecian en la figura adjunta

Considerando el triángulo rectángulo xOAA y usando

trigonometría básica y el ángulo = ° -180° β α se tiene

( ) ( )yy

Asin = A = a sin

Aβ β⇒ ⋅�

( ) ( )xx

Acos = A = a cos

Aβ β⇒ ⋅�

Luego, el vector A�

se escribe en términos de sus componentes de la siguiente forma:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆA= a cos -i + a sin -j = -a cos i - a sin jβ β β β⋅ ⋅ ⋅ ⋅�

Por lo tanto las componentes cartesianas son:

( ) ( )x yA = -a cos ,A = -a sinβ β⋅ ⋅

Nota: También se puede aplicar el cambio de coordenadas de polares a cartesianas usando el

ángulo °α .

a ºα xA yA

a) 3 190 -2.95 -0.52

b) 4 200 -3.76 -1.37

c) 8 250 -2.74 -7.52

d) 2 230 -1.29 -1.53

e) 5 210 -4.33 -2.50

y

xºα

A�

xA

yA

O

A

β

Pregunta 05)

El vector M, de magnitud M [cm] forma un ángulo de 36° en sentido contrario al de las manecillas del reloj sobre el eje positivo de las “x”. Se le suma un vector de magnitud N y la resultante es un vector de magnitud 5 [cm] en dirección -x. Encontrar el valor de N.

Desarrollo:

Del enunciado, M + N = R� � �

, donde

• ( ) ( )ˆ ˆM = M cos 36° x + M sen 36° y⋅ ⋅�

• ˆ ˆx yN = N x + N y

�

• ˆR = -5x �

Para encontrar las componentes del vector N desarrollamos la suma en cada eje: Para el eje x

( ) ( )( )x xM cos 36° N -5 N - 5 M cos 36°⋅ + = ⇒ = + ⋅

Para el eje y

( ) ( )y yM sen 36° N 0 N M sen 36°⋅ + = ⇒ = − ⋅

Finalmente, el valor de N está dado por: 2 2x yN= N N + N=

�

5 M [cm] Nx [cm] Ny [cm] N [cm]

a 5 -9,05 -2,94 9,51

b 10 -13,09 -5,88 14,35

c 15 -17,14 -8,82 19,27

d 20 -21,18 -11,76 24,22

e 25 -25,23 -14,69 29,19

Pregunta 06) Dados los vectores espaciales A = (4,7,-4) y B = (Bx, By, Bz) Si estos vectores parten de un mismo punto, ¿Qué ángulo mínimo se forma entre ellos?.

Desarrollo: De la definición de producto punto

( ) ( ) -1A•B A•BA•B = A B cos cos cos

A B A Bθ θ θ

⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅

� � � �� � � �

� � � �

Donde

• x y zA•B = 4 B 7 B 4 B⋅ + ⋅ − ⋅� �

• ( )22 2A = 4 +7 + -4 = 16 + 49 + 16 81 9= =�

• 2 2 2x y zB = B +B +B

�

6 Bx By Bz

A•B� �

B�

( )cos θ θ ° a) -3 0 -1 -8 3,16 -0,28 106,33 b) 0 2 -3 26 3,61 0,80 36,75 c) 2 -4 0 -20 4,47 -0,50 119,80 d) -2 2 0 6 2,83 0,24 76,37 e) -1 2 0 10 2,24 0,50 60,20

Pregunta 07) Sobre una superficie horizontal se encuentran dos bloques de igual material y distinto tamaño con masas Ma = 20 [kg] y Mb = 60 [kg] respectivamente. Los cubos están unidos por una cuerda de masa despreciable que forma con la horizontal un ángulo de 60°. A nivel del centro del cubo más grande se aplica una fuerza horizontal de magnitud F= F [N] que arrastra ambos cuerpos. No existe roce entre los bloques y la superficie. ¿Cuál será la tensión de la cuerda?

Desarrollo: Para el cuerpo a:

• Eje x: ( ) a s a s a s

1T cos 60º = M a T = M a T = 2 M a

2⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅

• Eje y: ( )a aN + T sen 60º = M g⋅ ⋅

Para el cuerpo b:

• Eje x:

( ) b s

b s b s

F - T cos 60º = M a

1F - T = M a 2 F - T = 2 M a

2

⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅

• Eje y: ( )b bN = M g + T sen 60º ⋅ ⋅

Donde as es la aceleración del sistema. Reemplazando ecuaciones:

( )a s b s a b s sa b

F2 F - 2 M a = 2 M a F M M a a

M M⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ =

+

Finalmente, aa

a b a b

2 MFT = 2 M F

M M M M⋅⋅ ⋅ = ⋅

+ +

Evaluando los datos del enunciado, [ ]

( )[ ] [ ] [ ] 2 20 kg FT = F N N

20 60 kg 2

⋅⋅ =

+

7 F [N] T [N]

a) 30 15

b) 40 20

c) 50 25

d) 60 30

e) 70 35

Na

Ma·g

60º

T

Nb

Mb·g

F60º

T

Pregunta 08) La figura muestra dos cuerpos W y P cuyas masas son mW = M [kg] y mP = 3,5 [kg]. Si el sistema se encuentra en reposo, determine el módulo de la reacción normal entre el cuerpo P y la superficie que lo sostiene. Considere la aceleración de gravedad g = 10 [m/s2], y que las poleas y superficies están libres de fricción.

Desarrollo: En primer lugar determinemos la tensión de la cuerda, para esto consideremos el diagrama de cuerpo libre del cuerpo W Entonces la suma de las fuerzas verticales según la 2a Ley de Newton, es igual a la masa por la aceleración “vertical”. Es decir

v vF = M a⋅∑

Como el sistema se encuentra en reposo tenemos va = 0 , luego

vF = T - M g = M 0 = 0⋅ ⋅∑ ⇒ T = M g⋅

Por otro lado el diagrama de cuerpo libre del cuerpo P es el mostrado en la figura, en forma análoga a lo anterior se tiene

v vF = m a⋅∑

Como el sistema se encuentra en reposo tenemos va = 0 , luego

vF = T + N - mg = m 0 = 0⋅∑ ⇒ N = m g - T⋅

⇒ N = m g - M g = (m - M) g⋅ ⋅ ⋅

Reemplazando valores:

( )[ ] ( )[ ]2

mN = 3.5 - M kg 10 35 - 10 M N

s ⋅ = ⋅

8 M [kg] N [N] a) 1,1 24 b) 1,3 22 c) 1,5 20 d) 1,7 18 e) 1,9 16

Pregunta 09) Sobre un cuerpo actúan tres fuerzas, tal como indica la figura. La fuerza vertical F2 posee magnitud 5[N], la fuerza horizontal F3 magnitud 2[N] y la fuerza F1 tiene componentes (aî+3j) [N]. Si la fuerza neta sobre el cuerpo es (Xî+8j)[N] ¿cuál es el valor de “a”?.

Desarrollo:

Los vectores implicados son [ ]ˆ ˆ1F = ai + 3j N�

, [ ]ˆ2F = 5j N�

y ˆ3F = -2i�

[ ]N

La suma de las fuerzas es:

( )[ ] ( )( )[ ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3F + F + F = ai + 3j + 5j - 2i N = a - 2 i +8j N� � �

Igualando esto al vector resultante:

( )( )[ ] ( )[ ]ˆ ˆ ˆ ˆa - 2 i +8j N Xi +8j N= (Xî+8j)[N] = ((a-2)î + 8j)[N]

Concluimos que:

X = a - 2 a = X + 2⇒

9 X a

a) 1 3

b) 2 4

c) 3 5

d) 4 6

e) 5 7

Pregunta 10) Una masa m1 = 300 [g] cuelga del extremo de un cordón, el cual es sostenido por la mano de un estudiante como se muestra en la figura. Un segundo cordón, que sostiene una masa m2 = M [g], cuelga de la parte inferior de la primera masa. Calcular la tensión en cada cuerda cuando el sistema acelera hacia abajo con aceleración a= a [m/s 2]. Utilice g = 9.8 [m/s2].

Desarrollo: Considerando que la primera masa esta sometida a las siguientes fuerzas: su peso, una tensión T1 hacia arriba y a la tensión T2 hacia abajo. Aplicando la segunda ley de Newton:

2 1 1 1T + m g - T m a ⋅ = ⋅

Para la masa que esta colgando, las fuerzas presentes son: su peso y la tensión T2 hacia arriba. Aplicando la segunda ley de Newton:

2 2 2m g - T m a ⋅ = ⋅

De esta última expresión se puede determinar T2:

( )2 2T = m g - a⋅

Reemplazando en la otra ecuación:

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 1

1 2 1 1 2

m g - a + m g - T m a

T m g - a + m g - a m m g - a

⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ = + ⋅

Reemplazando valores

( ) ( )[ ]1T 0.3 M 9.8 - a N= + ⋅

( )[ ]2T = M 9.8 - a N⋅

11 M [g] a [m/s 2] T1 [N] T2 [N]

a) 100 0,3 3,80 0,95 b) 300 0,4 5,64 2,82 c) 500 0,5 7,44 4,65 d) 700 0,6 9,20 6,44

e) 900 0,7 10,92 8,19

m1

T1

T2

m1g

a m2

T2

m2g

a

Pregunta 11) Un alambre de longitud A = A [m] se divide en dos partes tal que la longitud de la menor es tres cuartas partes de la mayor. Determine la longitud (en metros) de la parte mayor.

Desarrollo:

Sean x = longitud de lado menor, y = longitud de lado mayor, ambas medidas en metros. Las relaciones que se establecen son:

3x = y

4x + y = A

⋅

Si reemplazo la primera ecuación en la segunda queda:

3y + y = A

47

y = A4

⋅

⋅

Al despejar y, que representa la longitud del lado mayor, queda:

4y = A

7⋅

11 A [m] y [m]

a) 14 8

b) 21 12

c) 28 16

d) 35 20

e) 42 24

Pregunta 12) Dados los vectores A = (3,-6,1), B =(1,5,0) y C = (a, b, c). Hallar el vector V = 2�B - A+ 3�C

Desarrollo: Resolvemos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

V = 2 B - A + 3 C = 2 1,5,0 - 3,-6,1 + 3 a,b,c

V = 2,10,0 - 3,-6,1 + 3 a, 3 b, 3 c

V = 2 - 3 + 3 a,10- -6 +3 b, 0 - 1+3 c

V = 3 a -1, 3 b +16, 3 c - 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

a b c V a) 2 0 -1 (5, 16, -4) b) -2 -3 1 (-7, 7, 2) c) 3 3 2 (8, 25, 5) d) 0 -4 2 (-1, 4, 5) e) 5 2 1 (14, 22, 2)