Pedro Sancho de Salas Diciembre-2001matematicas.unex.es/~sancho/AlgebraConmutativa/alco0.pdf · En este cap´ıtulo iniciaremos la comprensi´on geom´etrica de cualquier anillo conmutativo

Algebra Conmutativa

Pedro Sancho de Salas

Diciembre-2001

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Indice General

1 Anillos 51.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Anillos. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Espectro primo de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Aplicacion inducida en los espectros por un morfismo de anillos . . . . . . . . . . . . . 131.5 Localizacion. Formula de la fibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Modulos 212.1 Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Localizacion de modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Longitud de un modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Dominios de ideales principales. Modulos 353.1 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Teoremas de descomposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Clasificacion de los grupos abelianos finito generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Clasificacion de los endomorfismos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1 Matrices de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5 Factores invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Producto tensorial. Modulos proyectivos e inyectivos 534.1 Categorıas. Funtor de homorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Construccion del producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Propiedades del producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5 Producto tensorial de algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6 Modulos planos y proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.7 Modulos inyectivos. Criterio del ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.7.1 Aplicacion a sistemas en derivadas parciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . 644.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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4 INDICE GENERAL

5 Anillos noetherianos 695.1 Modulos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Teorema de la base de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Ideal primario. Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 Existencia de las descomposiciones primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5 Unicidad en la descomposicion primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.6 Una descomposicion primaria canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Variedades algebraicas afines 816.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2 Morfismos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3 Normalizacion de Noether y ceros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.4 Grado de trascendencia y dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.5 Catenariedad de las variedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7 Variedades proyectivas 937.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2 Espectro proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3 Dimension en variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.4 Interseccion de curvas planas. Teorema de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.5 Desingularizacion de curvas planas vıa el contacto maximal . . . . . . . . . . . . . . . 1037.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Indice de terminos 107

Bibliografıa:

1. M. Atiyah, I.G. Macdonald: Introduccion al Algebra Conmutativa, Ed. Reverte, Barcelona(1973).

2. W. Fulton: Curvas Algebraicas, Ed. Reverte, Barcelona (1971).

3. S. Lang: Algebra, Addison Wesley, (1971).

4. H. Matsumura: Commutative Algebra, W.A. Benjamin Co, New York (1970).

5. J.A. Navarro: Algebra Conmutativa Basica, Manuales UNEX, n§ 19, (1996).

6. R. Hartshorne: Algebraic Geometry, GTM n§ 52, Springer Verlag (1977).

Capıtulo 1

Anillos

1.1 Introduccion

Desde un punto de vista aritmetico, los anillos son las estructuras que recogen las operaciones de sumay producto, como las que tenemos en Z. Ahora bien, los anillos pueden entenderse geometricamentecomo anillos de funciones continuas de un espacio.

Intentemos justificar la introduccion de los anillos desde un punto de vista geometrico.Paradojicamente, nuestro punto de partida va a ser el anillo, y a partir del anillo definiremos el

espacio. El mirar “moderno” del espacio es coordenandolo. Imaginamos tres ejes de coordenadasy todo punto del espacio viene definido por tres coordenadas. Los puntos vienen determinados porlos valores de las funciones coordenadas en ellos. Ademas los objetos del espacio, por ejemplo unparaboloide, los solemos definir en implıcitas. Dos objetos seran iguales si no los sabemos distinguir,es decir, con nuestra terminologıa si no existe una funcion que valore distintamente en los dos objetos.

De hecho, dependiendo de las funciones que consideremos como “admisibles”, el espacio sera deuna forma u otra. Por ejemplo, dado R3, si consideramos que cualquier aplicacion de conjuntosde R3 en R es una observacion o funcion admisible, estaremos considerando nuestro espacio comoun conjunto discreto. Si consideramos solo las funciones continuas, lo estaremos considerando comoespacio topologico. Si consideramos el anillo generado algebraicamente por las tres coordenadas, loconsideraremos como espacio algebraico.

En este ultimo caso, los objetos vienen definidos por el lugar geometrico definido por ecuaciones(compatibles) del tipo

p1(x1, x2, x3) = 0, . . . , pr(x1, x2, x3) = 0 (∗)

Objetos que denominaremos subvariedades algebraicas. Como es obvio, si al sistema anterior leanadimos una ecuacion del tipo

∑i fi · pi(x1, x2, x3) = 0 esta es redundante. Ası pues, el sistema

de ecuaciones definido por los polinomios p1(x1, x2, x3), . . . , pr(x1, x2, x3) es equivalente al definidopor el ideal (p1(x1, x2, x3), . . . , pr(x1, x2, x3)). Tenemos, pues, una correspondencia biunıvoca entrelos ideales y las subvariedades. Los puntos son las subvariedades mas pequenas, luego se correspon-deran con los ideales maximales de R[x1, x2, x3] (nuestro anillo de funciones “admisibles”). Comoveremos, las subvariedades irreducibles (es decir, las que no son union de dos subvariedades propias)se corresponden con los ideales primos. Ası pues, el conjunto de los ideales primos de R[x1, x2, x3] secorresponde con el conjunto de las subvariedades irreducibles de R3.

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6 Capıtulo 1. Anillos

Diremos, por razones obvias, que un polinomio p(x1, x2, x3) se anula en el lugar geometrico defini-do por el sistema (∗): cuando p(x1, x2, x3) ∈ I = (p1(x1, x2, x3), . . . , pr(x1, x2, x3)), es decir, cuandop(x1, x2, x3) pertenezca al ideal definido por el sistema de ecuaciones. Ademas, dos polinomios cuales-quiera definiran la misma funcion algebraica sobre el lugar geometrico cuando difieran en un polinomioperteneciente al ideal. Es decir, el anillo de funciones algebraicas de la subvariedad algebraica definidapor el sistema (∗) es R[x1, x2, x3]/I.

El lugar geometrico de un sistema de ecuaciones, como conjunto de soluciones del sistema, norecoge toda la informacion geometrica deseable, pero que sin embargo sı que esta en el anillo defunciones del objeto que define (o en el ideal definido).

Por ejemplo, si consideramos el sistema

x21 + x2

2 − 1 = 0, x1 − 1 = 0

podrıamos decir que el lugar geometrico definido es el punto (1, 0). Sin embargo, dirıamos que elpunto (1, 0) esta “contado” dos veces. Concepto, por ahora, impreciso. Ya veremos que este hechoesta relacionado con la igualdad dimRR[x1, x2]/(x2

1 + x22 − 1, x1 − 1) = 2.

Aunque el anillo de funciones algebraicas del lugar geometrico definido por un sistema de ecuaciones

p1(x1, x2, x3) = 0, . . . , pr(x1, x2, x3) = 0 (∗)

es un concepto del todo claro, paradojicamente el propio lugar geometrico no es un concepto claro.Por ejemplo, si consideramos en el plano la ecuacion

x21 + x2

2 + 1 = 0, “elipse imaginaria”

podemos decir que el lugar geometrico definido es el vacıo, si consideramos R (y no C). Sin embargo,podemos hablar del anillo de funciones algebraica de la subvariedad definida por esta ecuacion, quecomo hemos dicho es R[x1, x2]/(x2

1+x22+1). Ademas, los ideales primos maximales de R[x1, x2]/(x2

1+x2

2 + 1) verifican que al hacer cociente por ellos obtenemos C, y se corresponden con las solucionesimaginarias de la ecuacion (ya se vera).

En este capıtulo iniciaremos la comprension geometrica de cualquier anillo conmutativo A, aso-ciandole un espacio cuyos puntos se corresponden con los ideales primos de A. Espacio que denota-remos por SpecA y denominaremos espectro primo de A.

Tomamos como espacio todos los ideales primos y no solo los maximales, por razones que seaclararan a lo largo del capıtulo. Digamos ahora solo que los ideales primos recogen mejor el conceptode primo (en el sentido del Lema de Euclides), que toda morfismo de anillos induce un morfismoentre los espectros (lo que no sucederıa en general si solo tomamos los ideales maximales) y quesi una funcion se anula en todo primo entonces es nilpotente (lo que no sucede en general si solotomamos los ideales maximales). Ademas, hay una razon de ındole topologica: Ası como todo espaciotopologico puede suponerse T0, es decir, puede asignarsele, de modo natural, un espacio T0, tambiena todo espacio topologico puede asignarsele un espacio topologico en el que cada cerrado irreducible(cerrados que no son union de dos cerrados) es el cierre de un punto. Esto ultimo es lo que hacemosen Geometrıa Algebraica cuando consideramos Spec A y no solo el conjunto de los ideales primosmaximales.

La teorıa de ideales inicia el cumplimiento del sueno de Kronecker: la unificacion de la Aritmetica yla Geometrıa. Desde esta perspectiva los elementos de cualquier anillo conmutativo pueden entendersecomo funciones sobre el espectro primo del anillo. Ası, por ejemplo, los numeros enteros, los enterosde Gauss, etc., son verdaderas funciones y podemos aplicarles intuciones y recursos geometricos.

1.2. Anillos. Ideales 7

Los numeros primos podran ser interpretados geometricamente como los puntos o subvariedadesirreducibles de un espacio, etc.

Las dos operaciones o procesos basicos estudiados en este capıtulo, seran la localizacion y paso alcociente en anillos. Estos dos procesos pueden ser entendidos geometricamente como los dos procesosde restriccion a abiertos y restriccion a cerrados.

1.2 Anillos. Ideales

Comencemos con una revision rapida de la definicion y propiedades elementales de los anillos.

Definicion 1.2.1. Un anillo A es un conjunto con dos operaciones A × A+→ A, (a, a′) 7→ a + a′,

A×A·→ A, (a, a′) 7→ a · a′1, que denominamos suma y producto, tales que

1. A es un grupo abeliano con respecto a la suma (luego, tiene un elemento cero, que se denotapor 0, y cada a ∈ A tiene un opuesto que se denota por −a).

2. La multiplicacion es asociativa ((a · b) · c = a · (b · c)) y distributiva (a · (b + c) = a · b + a · c).

Ademas solo consideraremos anillos conmutativos con unidad, es decir verificando

3. ab = ba, para todo a, b ∈ A.

4. Existe un elemento 1 ∈ A tal que a1 = 1a = a, para todo a ∈ A.

A lo largo del libro entenderemos anillo por anillo conmutativo con unidad. Ejemplos de anillos sonZ, el anillo de funciones reales continuas C(X) de un espacio topologico X, los anillos de polinomiosC[x1, . . . , xn], los anillos de series formales C[[x1, . . . , xn]], etc.

Definicion 1.2.2. Diremos que un anillo es un cuerpo si para cada a ∈ A no nulo, existe el inversorespecto de la multiplicacion, que denotaremos a−1.

Los anillos Q, R, C son cuerpos.

Definicion 1.2.3. Una aplicacion f : A → B entre los anillos A y B, diremos que es un morfismo deanillos si cumple

1. f(a + a′) = f(a) + f(a′), para toda a, a′ ∈ A.

2. f(aa′) = f(a)f(a′), para todo a, a′ ∈ A.

3. f(1) = 1.

Ejemplo 1.2.4. La aplicacion C[x] → C, p(x) 7→ p(33), es un morfismo de anillos. Dada unaaplicacion continua φ : X → Y entre espacios topologicos, la aplicacion φ : C(Y ) → C(X), f 7→ f ◦ φes un morfismo de anillos.

La imagen Im f es un subanillo de B, es decir, un subconjunto de B que con las operaciones de Bes anillo. La composicion de morfismos de anillos es un morfismo de anillos.

1Sera usual utilizar la notacion a · a′ = aa′


Definicion 1.2.5. Un subconjunto I ⊆ A diremos que es un ideal de A si es un subgrupo para lasuma y cumple que a · i ∈ I, para todo a ∈ A y todo i ∈ I.

La interseccion de ideales es un ideal. Dado un subconjunto F ⊆ A, denotaremos por (F ) alideal mınimo de A que contiene a F (que es la interseccion de todos los ideales que contienen a F ).

Explicitamente (F ) = {a ∈ A : a =n∑

i=0

aifi con fi ∈ F, ai ∈ A y n ∈ N variables}. Dado a ∈ A,

tambien notaremos (a) = aA.Como I es un subgrupo de A, podemos considerar el grupo cociente A/I, donde

A/I = {a, a ∈ A, de modo que a = a′ ⇐⇒ a− a′ ∈ I}

Ahora bien, el producto a · a′ =def

a · a′ dota a A/I de estructura de anillo (compruebese) y es la

unica estructura de anillo que podemos definir en A/I, de modo que el morfismo de paso al cocienteA → A/I, a 7→ a, sea un morfismo de anillos.

Dado un morfismo f : A → B de anillos, el nucleo de f , Ker f =def{a ∈ A : f(a) = 0}, es un ideal.

Si J ⊆ A es un ideal incluido en Ker f , entonces existe un unico morfismo de anillos f : A/J → B(definido por f(a) = f(a)) de modo que el diagrama

Af //

π!!C

C

C

C

C

C

C

C

B

A/J

f

=={

{

{

{

{

{

{

{

es conmutativo, siendo π el morfismo de paso al cociente.La antiimagen por un morfismo de anillos de un ideal es un ideal. Es inmediata la proposicion

siguiente.

Proposicion 1.2.6. Sea I ⊆ A un ideal y π : A → A/I, a 7→ a el morfismo de paso al cociente. Severifica la correspondencia biunıvoca

{Ideales de A quecontienen a I

}{Ideales de A/I}

JÂ // π(J)

π−1(J ′) J ′Âoo

Definicion 1.2.7. Un ideal p ⊂6=

A diremos que es un ideal primo de A si cumple que si ab ∈ p

entonces a ∈ p o b ∈ p.

Un elemento a ∈ A diremos que es un divisor de cero si existe b ∈ A, no nulo tal que ab = 0.Diremos que un anillo es ıntegro si el unico divisor de cero es el cero. Por ejemplo, los cuerpos sonanillos ıntegros.

1.2. Anillos. Ideales 9

Proposicion 1.2.8. Un ideal p ⊂6=

A es un ideal primo si y solo si A/p es un anillo ıntegro.

Demostracion. Supongamos que p ⊂ A es un ideal primo. Si a · a′ = 0 en A/p entonces a · a′ = 0,luego a · a′ ∈ p. Por tanto, o a ∈ p o a′ ∈ p, luego o a = 0 o a′ = 0. En conclusion A/p es ıntegro.

Recıprocamente, supongamos que A/p es ıntegro. Si a · a′ ∈ p, entonces a · a′ = 0 en A/p. Portanto, a · a′ = 0, luego o a = 0 o a′ = 0. Es decir, o a ∈ p o a′ ∈ p. En conclusion, p es un ideal primo.

Definicion 1.2.9. Diremos que un ideal m ⊂6=

A es maximal si los unicos ideales que contienen a m

son m y A.

Proposicion 1.2.10. En todo anillo A 6= 0 existen ideales maximales.

Demostracion. Esta es una aplicacion tıpica del lema de Zorn (que puede evitarse en anillos noethe-rianos, mas tarde estudiados). Sea X el conjunto de los ideales de A, distintos de A. En X podemosdefinir una relacion de orden: decimos que un ideal I es menor o igual que otro I ′ cuando I ⊆ I ′.Observemos que toda cadena de ideales, distintos de A tiene una cota superior: la union de los idealesde la cadena (que es distinto de A, pues el 1 no esta en ninguno de ellos, ni por tanto en la union).El lema de Zorn nos dice que existen elementos de X maximales, es decir, existen ideales maximales.

Ejercicio 1.2.11. En todo anillo A 6= 0 existen ideales primos minimales.

Corolario 1.2.12. Todo ideal I ⊂6=

A esta incluido en un ideal maximal.

Demostracion. Sea π : A → A/I el morfismo de paso al cociente. En la correspondencia biunıvoca

{Ideales de A

que contienen a I

}{Ideales de A/I}

JÂ // π(J)

π−1(J ′) J ′Âoo

los ideales maximales de A que contienen a I se corresponden con los ideales maximales de A/I, queno es vacıo por la proposicion anterior.

Un elemento a ∈ A es invertible si y solo si (a) = A (suponemos A 6= 0). Por tanto, a ∈ A esinvertible si y solo si no esta incluido en ningun ideal maximal. En particular, un anillo es un cuerposi y solo si los unicos ideales del anillo son el (0) y todo el anillo.

Proposicion 1.2.13. Un ideal m ⊂6=

A es maximal si y solo si A/m es un cuerpo. En particular, los

ideales maximales son ideales primos, por la proposicion 1.2.8.

Demostracion. A/m es cuerpo si y solo si el unico ideal maximal es el (0). Que equivale a decir queel unico ideal maximal que contiene a m es m, es decir, que m es maximal.


Definicion 1.2.14. Sea k un cuerpo. Si i : k → A es un morfismo de anillos diremos que A es unak-algebra. Seguiremos la notacion i(λ) =

Not.λ. Si A y B son k-algebras, diremos que un morfismo

φ : A → B de anillos es un morfismo de k-algebras si φ(λ) = λ, para todo λ ∈ k.

Definicion 1.2.15. Diremos que un ideal m de una k-algebra A es racional si A/m ' k (comok-algebras).

En particular, los ideales racionales son maximales.

Proposicion 1.2.16. Un ideal m de k[x1, . . . , xn] es racional si y solo si m = (x1−α1, . . . , xn−αn),αi ∈ k para todo i.

Demostracion. Sea m = (x1 − α1, . . . , xn − αn), Veamos que m es racional. El nucleo del morfismode k-algebras k[x1, . . . , xn] → k, p(x1, . . . , xn) 7→ p(α1, . . . , αn), es m (como puede comprobarse).Ademas el morfismo es epiyectivo, luego k[x1, . . . , xn]/m ' k.

Recıprocamente, sea un isomorfismo φ : k[x1, . . . , xn]/m ' k de k-algebras. Consideremos la com-posicion

k[x1, . . . , xn] π→ k[x1, . . . , xn]/mφ' k

donde π es el morfismo de paso al cociente. Sean αi = φ(xi). Por tanto, φ ◦ π(p(x1, . . . , xn)) =p(α1, . . . , αn). Por un lado, como hemos visto mas arriba, se cumple que Ker(φ◦π) = (x1−α1, . . . , xn−αn). Por otro lado, Ker(φ ◦ π) = (φ ◦ π)−1(0) = π−1(φ−1(0)) = π−1(0) = m. En conclusion,m = (x1 − α1, . . . , xn − αn).

Ası pues, existe una correspondencia biunıvoca entre los ideales racionales de k[x1, . . . , xn] y lospuntos (α1, . . . , αn) del espacio afın An(k). Es decir, si “pensamos” k[x1, . . . , xn] como las funcionesalgebraicas del espacio afın An(k), el modo de recuperar An(k) a partir de k[x1, . . . , xn] es considerandosus ideales racionales. En general, por las razones esbozadas en la introduccion, dado un anilloconsideraremos el espacio formado por el conjunto de todos los ideales primos (y no solo los idealesracionales).

Ejercicio 1.2.17. Probar que los ideales racionales de k[x1, . . . , xn]/(p1(x1, . . . , xn), . . . , pr(x1, . . . , xn)),se corresponden biyectivamente con los (α1, . . . , αn) ∈ An(k) tales que pi(α1, . . . , αn) = 0, para todoi.

1.3 Espectro primo de un anillo

Definicion 1.3.1. Se llama espectro primo de un anillo A al conjunto Spec A de sus ideales primos.

Notacion: Un ideal primo lo denotaremos por x cuando lo consideremos como elemento de Spec A,y por px cuando lo consideremos como ideal de A.

Llamaremos funciones a los elementos del anillo A y puntos a los elementos de Spec A. Diremosque una funcion a ∈ A se anula en un punto x ∈ Spec A cuando a ∈ px, es decir, cuando 0 = a ∈ A/px

(suele denotarse a(x) = a ∈ A/px). Como px es un ideal primo se verifica:

1. La funcion 0 se anula en todos los puntos de SpecA.

2. Si dos funciones se anulan en un punto x, su suma tambien.

1.3. Espectro primo de un anillo 11

3. Si una funcion se anula en un punto x, sus multiplos tambien.

4. Si un producto de funciones se anula en un punto x, algun factor se anula en x.

Definicion 1.3.2. Sea A un anillo. Si f ∈ A, llamaremos ceros de la funcion f al subconjunto(f)0 ⊂ Spec A formado por todos los puntos donde se anule f . Llamaremos ceros de un ideal I ⊆ Aal subconjunto de Spec A formado por los puntos donde se anulen todas las funciones de I y lodenotaremos (I)0, es decir,

(I)0 = ∩f∈I

(f)0 =

[Ideales primos px ⊂ A

tales que I ⊆ px

]

Ejercicio 1.3.3. Probar que una funcion f ∈ A es invertible si y solo si no se anula en ningun puntode Spec A. Probar que p(x, y) se anula en el ideal primo mα,β = (x − α, y − β) ⊂ k[x, y] si y solo sip(α, β) = 0.

Proposicion 1.3.4. Se verifican las siguientes igualdades:

1. (0)0 = Spec A y (A)0 = ∅.

2. (∑j∈J

Ij)0 = ∩j∈J

(Ij)0.

3. (n∩

j=1Ij)0 =

n∪j=1

(Ij)0.

Demostracion. Todas las igualdades son de demostracion inmediata, salvo quizas la 3. Para esta,basta probar que (I1 ∩ I2)0 = (I1)0 ∪ (I2)0. Veamoslo:

Obviamente, (I1∩ I2)0 ⊇ (I1)0∪ (I2)0. Veamos la otra inclusion: Sea x ∈ (I1∩ I2)0. Si x /∈ (I1)0 yx /∈ (I2)0, entonces existe f1 ∈ I1 y f2 ∈ I2 que no se anulan en x, luego f1 · f2 no se anula en x. Perocomo f1 · f2 ∈ I1 ∩ I2 llegamos a contradiccion con que x ∈ (I1 ∩ I2)0. Por tanto, x ∈ (I1)0 ∪ (I2)0 y(I1 ∩ I2)0 ⊆ (I1)0 ∪ (I2)0.

Ejercicio 1.3.5. Demostrar que (I1 · I2)0 = (I1)0 ∪ (I2)0, donde denotamos por I1 · I2 = {∑i

aibi |ai ∈ I1, bi ∈ I2}.Definicion 1.3.6. Llamamos topologıa de Zariski de Spec A, a la topologıa sobre Spec A cuyoscerrados son los ceros de los ideales de A.

La proposicion anterior nos dice que la topologıa de Zariski es efectivamente una topologıa.

Ejercicio 1.3.7. Determinar los puntos y la topologıa de SpecZ.

Observemos que los cerrados de esta topologıa son intersecciones arbitrarias de ceros de funciones.Por definicion una base de abiertos de la topologıa de Zariski de Spec A esta formada por los

complementarios de los ceros de funciones, es decir, por los abiertos

Uf = Spec A− (f)0 = {x ∈ Spec A : f no se anula en x}llamados abiertos basicos. Observese que

Ufg = Uf ∩ Ug


Dado un punto x ∈ Spec A y un cerrado C = (I)0, si x /∈ C existe f ∈ I ⊆ A que no se anula enx: Las funciones de A separan puntos de cerrados en Spec A.

Obviamente dada una inclusion I1 ⊆ I2 de ideales se tiene que (I1)0 ⊇ (I2)0. Dado un cerrado Cse verifica que C = (I)0, donde I es el ideal de todas las funciones que se anulan en C: ObviamenteC ⊆ (I)0. Por otra parte C = (J)0 para algun ideal J ⊆ A. Tenemos que las funciones de J se anulanen C, luego J ⊆ I. Por tanto, C = (J)0 ⊇ (I)0. Hemos concluido.

Si bien, C = (I)0, donde I es el ideal de todas las funciones que se anulan en C, pueden existirideales J ⊂

6=I tales que C = (I)0 = (J)0.

Dado un subconjunto Y de Spec A, denotamos por Y el cierre de Y en Spec A.

Proposicion 1.3.8. Dado x ∈ Spec A se verifica que x = (px)0.En particular, Spec A es un espacio topologico T0 (puntos distintos tienen cierres distintos) y un

punto x es cerrado si y solo si px es un ideal maximal.

Demostracion. El cierre de x, x sera de la forma x = (I)0, para cierto ideal I ⊂ A. Obviamente,como x ∈ x, tenemos que I ⊆ px. Por tanto, (px)0 ⊆ (I)0. Ahora bien, (I)0 es el menor cerrado quecontiene a x y x ∈ (px)0, luego (px)0 = (I)0 = x.

Definicion 1.3.9. Diremos que un espacio topologico es irreducible cuando no pueda descomponersecomo union de dos cerrados estrictamente menores. Llamaremos componentes irreducibles de unespacio topologico a los subespacios irreducibles maximales de X, es decir, los subespacios irreduciblesno contenidos estrictamente en otro subespacio irreducible.

El cierre de un subespacio irreducible es irreducible, en particular las componentes irreducibles deun espacio son cerradas.

Proposicion 1.3.10. Cada cerrado irreducible del espectro de un anillo es el cierre de un unicopunto, llamado punto generico de tal cerrado. En particular, las componentes irreducibles de Spec Ason los cierres de los puntos definidos por los ideales primos minimales de A.

Demostracion. Sea C un cerrado irreducible. Sabemos que C = (I)0, donde I es el ideal de todas lasfunciones que se anulan en C.

Basta ver que I es primo, porque si I = px entonces (I)0 = x. Si f · g ∈ I, es decir, f · g se anulaen C, entonces

C = C ∩ (fg)0 = C ∩ ((f)0 ∪ (g)0)) = (C ∩ (f)0) ∪ (C ∩ (g)0)

luego, o bien f se anula en C, o bien g, porque C es irreducible. Es decir, o bien f ∈ I, o bien g ∈ I.

Ejercicio 1.3.11. Calcular las componentes irreducibles de Spec k[x, y]/(xy).

Ejemplo 1.3.12. Los ideales primos de k[x] son los ideales (p(x)), con p(x) primo o irreducible y elideal (0). Si k = C, los ideales primos de C[x] son mα = (x − α), α ∈ C y (0). Ası que los idealesprimos maximales de C[x] se corresponden con los puntos de una recta afın. De aquı que se siga lanotacion SpecC[x] = A1(C). En resumen

SpecC[x] =

{Puntos cerrados: α ≡ (x− α), con α ∈ C.Punto “generico”: g ≡ (0).

En general, si k es un cuerpo, diremos que Spec k[x] es la recta afın sobre k.

1.4. Aplicacion inducida en los espectros por un morfismo de anillos 13

Dado un ideal (p(x)) los ceros de (p(x)) se corresponden con las raices de p(x), salvo cuandop(x) = 0, en este caso los ceros es todo el espectro. Por tanto, los cerrados de la topologıa de Zariskide SpecC[x], a parte del vacıo y el total, son los conjuntos finitos de puntos cerrados (de la rectaafın).

Ejemplo 1.3.13. Sea X = [0, 1] ⊂ R y C(X) el anillo de funciones reales continuas definidas sobreX. Dado un punto p ∈ X, el ideal mp de funciones que se anulan en p es un ideal maximal, porqueC(X)/mp ' R, f 7→ f(p).

Veamos el recıproco: dado un ideal maximal m ⊂ C(X), si m 6= mp para todo p ∈ X, entoncespara cada p ∈ X existe una funcion fp ∈ m que no se anula en p, luego tampoco en un entorno Up dep. Como X es compacto, un numero finito Up1 , . . . , Upn

recubren X. Por tanto, f = f2p1

+ · · · + f2pn

no se anula en ningun punto de X, luego es invertible y f ∈ m, contradiccion.Si denotamos por Specm A el subespacio de Spec A formado por los ideales primos maximales, es

facil comprobar que la biyeccion

X Specm C(X), p 7→ mp

es un homeomorfismo. Dado un ideal I, denotemos (I)m0 = (I)0∩Spec A. Bien, a traves de la igualdad

anterior, se cumple que {x ∈ X, tales que f(x) = 0, para toda f ∈ I} = (I)m0 .

Teorema 1.3.14. El espectro de cualquier anillo es un espacio topologico compacto.

Demostracion. Sea Cj = (Ij)0 una familia de cerrados de Spec A. Si ∩jCj = ∅ entonces

∅ = ∩j(Ij)0 = (

∑

j

Ij)0

Por tanto,∑j

Ij = A. Luego 1 = f1 + · · · + fn para ciertas f1 ∈ Ij1 , . . . , fn ∈ Ijn . Luego, de nuevo

Ij1 + · · ·+ Ijn = A y(Ij1)0 ∩ · · · ∩ (Ijn)0 = ∅

es decir, Cj1 ∩ · · · ∩ Cjn = ∅ y Spec A es compacto.

1.4 Aplicacion inducida en los espectros por un morfismo deanillos

Sea j : A → B un morfismo de anillos. Si J es un ideal de B, entonces j−1(J) =def{a ∈ A : j(a) ∈ J} es

un ideal de A. Es facil comprobar que si p es un ideal primo de B entonces j−1(p) es un ideal primode A. Obtenemos ası una aplicacion natural

j∗ : Spec B → Spec A, j∗(p) = j−1(p)

Teorema 1.4.1. La aplicacion inducida en los espectros por cualquier morfismo de anillos es conti-nua.


Demostracion. Consideremos los morfismos

Aj→ B

Spec Aj∗← Spec B

Sea (I)0 ⊂ Spec A un cerrado. Entonces

j∗−1((I)0) = {x ∈ Spec B : j∗(x) ∈ (I)0} = {x ∈ Spec B : j−1(px) ⊇ I}= {x ∈ Spec B : px ⊇ j(I)} = ((j(I)))0

y concluimos que j∗ es continua.

Ejercicio 1.4.2. Sea X = [0, 1] ⊂ R y C(X) el anillo de las funciones reales continuas definidas enX. Probar que la aplicacion

Homcont.(X,X) → HomR−alg(C(X), C(X)), φ 7→ φ∗ : f 7→ f ◦ φ

es biyectiva (usar el ejemplo 1.3.13 y que todo morfismo C(X) → C(X) induce un morfismo entre losespectros).

Teorema 1.4.3. Sea I un ideal de A. Consideremos los morfismos naturales

Aπ→ A/I a 7→ a

Spec Aπ∗← Spec A/I

Se verifica que π∗ es un homeomorfismo de Spec A/I con con su imagen, que es el cerrado (I)0.

Demostracion. Los ideales primos de A/I se corresponden con los ideales primos de A que contienena I. Explıcitamente,

{Ideales primos de A

que contienen a I

}{Ideales primos de A/I}

p Â // π(p)

π−1(p′) p′Âoo

que es justamente el morfismo

Spec A ⊇ (I)0π∗ Spec A/I

Lo que demuestra la biyeccion buscada. Sabemos que π∗ es continua, para ver que la biyeccion esun homeomoerfismo, nos falta probar que π∗ es cerrada. Igualmente, los ideales primos de A/I quecontienen a un ideal J , se corresponden con los ideales primos de A que contienen a π−1(J). Es decir,π∗((J)0) = (π−1(J))0. Por tanto, π∗ es cerrada.

1.5. Localizacion. Formula de la fibra 15

Ejercicio 1.4.4. Sea Y un subespacio cerrado de un espacio topologico X. Probar que el subconjunto,del anillo de funciones reales continuas C(X) de X, formado por las funciones que se anulan en Yes un ideal. Si X es un espacio topologico normal probar que C(X)/I ' C(Y ) (recuerdese que elteorema de extension de Tietze afirma que toda funcion continua sobre un cerrado Y admite unaextension continua a todo X).

Corolario 1.4.5. Spec(A×B) = (Spec A)∐

(Spec B).

Demostracion. Consideremos en el anillo A×B los ideales I = A×0, J = 0×B. Como I +J = A×By I ∩ J = 0, tomando ceros tenemos (I)0 ∩ (J)0 = ∅ y (I)0 ∪ (J)0 = Spec(A × B). Es decir,Spec(A×B) = (I)0

∐(J)0.

Para concluir basta observar que, de acuerdo con el teorema anterior,

(I)0 = Spec(A×B)/I = Spec B(J)0 = Spec(A×B)/J = Spec A

Explicitamente, los ideales primos de A × B son de la forma p × B o A × q, donde p es un idealprimo de A y q es un ideal primo de B.

Ejercicio 1.4.6. Sean X e Y espacios topologicos y consideremos el espacio topologico X∐

Y .Demostrar que

C(X∐

Y ) = C(X)× C(Y )

Justificar la frase “A×B es el anillo de funciones de Spec A∐

Spec B”.

1.5 Localizacion. Formula de la fibra

Sea S un sistema multiplicativo de A (es decir, 1 ∈ S y si s, s′ ∈ S entonces s · s′ ∈ S). Consideremosla localizacion de A por S, AS , es decir

AS = {a

s, a ∈ A y s ∈ S :

a

s=

a′

s′si existe un s′′ ∈ S tal que s′′(as′ − a′s) = 0}2

.Con la suma y producto ordinarios de fracciones AS es un anillo.Dado un morfismo de anillos j : A → B, cuando no cause confusion, seguiremos las siguientes

notaciones: Dado un ideal J de B, escribiremos j−1(J) = J ∩ A, dado un ideal I de A escribiremos(j(I)) = j(I) ·B = I ·B.

Teorema 1.5.1. Consideremos el morfismo j : A → AS, a 7→ a1 , de localizacion por S. La aplicacion

inducida j∗ : SpecAS → Spec A establece un homeomorfismo de Spec AS con su imagen, que estaformada por los puntos donde no se anula ninguna funcion de S:

Spec AS =j∗{ideales primos de A que no cortan a S}

2Observemos que efectivamente ms

= ms

, que si ms

= m′s′ entonces m′

s′ = ms

, y que si ms

= m′s′ y m′

s′ = m′′s′′ entonces

ms

= m′′s′′ .


Demostracion. Consideremos el morfismo de localizacion j : A → AS .Las asignaciones

Spec AS {Ideales primos de A que no cortan a S} ⊆ Spec A

p′ Â

j∗ // p′ ∩A

p ·AS pÂoo

estan bien definidas y son inversas entre si, sin mas que comprobar:

1. Si p′ es un ideal primo de AS entonces p′ ∩ A es un ideal primo de A que no corta con S y(p′ ∩A) ·AS = p′.

2. Si p es un ideal primo de A que no corta con S entonces p · AS es un ideal primo de AS y(p ·AS) ∩A = p.

Para ver que esta biyeccion es un homeomorfismo basta observar que j∗((as )0) = j∗((a

1 )0) =(a)0 ∩ Im j∗.

Notacion: Sea A un anillo. Si f ∈ A, denotaremos Af la localizacion de A por el sistemamultiplicativo S = {1, f, f2, . . . , fn, . . . }.

Si x es un punto de Spec A, denotaremos por Ax la localizacion de A por el sistema multiplicativoS = A− px.

Corolario 1.5.2. El espectro de Af es igual Spec A− (f)0:

Spec Af = Uf

Demostracion. Por el teorema anterior, Spec Af se corresponde con los ideales primos px de A queno cortan con S = {1, f, f2, . . . , fn, . . . }. Que equivale a decir que Spec Af se corresponde con losideales primos px de A que no contienen a f , es decir, Uf .

Ejercicio 1.5.3. Sea C(Rn) el anillo de funciones reales continuas sobre Rn. Sea U un abierto deRn, C(U) es el anillo de funciones reales continuas sobre U y S el sistema multiplicativo formadopor las funciones que no se anulan en ningun punto de U . Probar que existe un isomorfismo naturalC(Rn)S = C(U). (Pista: dada h ∈ C(U), s(x) = d(x,Uc)

1+h2(x) no se anula en U , s y f = h ·s son restriccion

de funciones continuas de Rn y h = fs ).

Corolario 1.5.4. Los ideales primos de Ax se corresponden con los ideales primos de A contenidosen px. En particular, Ax tiene un unico ideal maximal, que es px ·Ax.

Demostracion. Spec Ax se corresponde con los ideales primos de A que no cortan con A − px. Esdecir, con los ideales primos de A contenidos en px.

Definicion 1.5.5. Los anillos con un unico ideal maximal se les denomina anillos locales.

1.5. Localizacion. Formula de la fibra 17

Observemos que el anillo de funciones que consideramos en Uf es Af . Como es de desear, cuandonos pasamos a Uf , hacemos invertibles las funciones que no se anulan en ningun punto de Uf . Dadoun punto x, es usual no querer fijar la atencion en un entorno dado de x, sino considerar un entornolo suficientemente pequeno, luego las funciones que no se anulan en x pasan a ser invertibles yconsideraremos por tanto el anillo Ax. Ası pues, Ax recoge el concepto impreciso de funciones en unentorno suficientemente pequeno de x.

Definicion 1.5.6. Dado un anillo A llamaremos radical de A al ideal formado por el conjunto de loselementos nilpotentes de A, es decir, si por denotamos radA al radical de A entonces

rad A = {a ∈ A : an = 0, para algun n ∈ N}Es decir, una funcion es nilpotente si y solo si se anula en todo punto.

Corolario 1.5.7. El radical de un anillo coincide con la interseccion de todos los ideales primos delanillo:

radA = ∩x∈Spec A

px

Es decir, una funcion es nilpotente si y solo si se anula en todo punto del espectro.

Demostracion. Si f ∈ A es nilpotente, i.e., fn = 0 para un n ∈ N, entonces f ha de pertenecer a todoideal primo de A. Luego rad A ⊆ ∩

x∈Spec Apx.

Sea ahora f ∈ ∩x∈Spec A

px. Por el corolario anterior Spec Af = ∅. Por tanto, Af = 0, es decir,11 = 0

1 . Luego existe un fn ∈ {1, f, f2, . . . }, de modo que fn · (1 · 1− 0 · 1) = 0. Entonces fn = 0 y f

es nilpotente. En conclusion rad A ⊇ ∩x∈Spec A

px y hemos terminado.

Dado un morfismo de anillos j : A → B y un sistema multiplicativo S en A, escribiremos Bj(S) =BS . Igualmente, dado un ideal primo px de A, escribiremos Bj(A−px) = Bx.

Teorema 1.5.8 (formula de la fibra). Sea j : A → B un morfismo de anillos y j∗ : Spec B →Spec A el morfismo inducido. Dado un punto x ∈ Spec A se verifica

j∗−1(x) = Spec Bx/px ·Bx

Si px es un ideal primo minimal se verifica

j∗−1(x) = Spec Bx

Si px es un ideal primo maximal se verifica

j∗−1(x) = Spec B/px ·BDemostracion.

j∗−1(x) = {y ∈ Spec B : py ∩A = px}= {y ∈ Spec B : py ∩A ⊆ px y px ⊆ py ∩A} (∗)= {y ∈ Spec B : (py ∩A) ∩ (A− px) = ∅ y px ⊆ py ∩A}= {y ∈ Spec Bx : px ⊆ py ∩A} = Spec Bx/px ·Bx

Las dos afirmaciones siguientes del teorema se deducen de que en (∗) podemos prescindir de unade las dos condiciones, en la primera afirmacion de la segunda condicion y en la segunda afirmacionde la primera condicion.


Ejemplo 1.5.9. Calculemos SpecC[x, y]. Consideremos el morfismo i : C[x] → C[x, y], p(x) 7→ p(x)y sea i∗ : SpecC[x, y] → SpecC[x] el morfismo inducido en los espectros. Cada punto de SpecC[x, y]esta en la fibra de un unico punto de SpecC[x], ası que vamos a calcular tales fibras.

Los ideales primos de C[x] son el ideal (0) y los ideales maximales mα = (x−α). Segun la formulade la fibra

i∗−1(α) = SpecC[x, y]/mαC[x, y] = SpecC[x, y]/(x− α)

Ahora bien, C[x, y]/(x− α) ' C[y], x 7→ α, y 7→ y. Luego,

i∗−1(α) = SpecC[y] = {(y − β), (0) con β ∈ C}

que se corresponden con los ideales primos de C[x, y], (x− α, y − β), (x− α).Solo nos falta calcular la fibra de (0) = pg

i∗−1(g) = SpecC[x, y]C[x]−(0) = SpecC(x)[y]

Los ideales primos no nulos de C(x)[y] estan generados por un polinomio irreducible con coeficientesen C(x) de grado mayor o igual que 1 en y. Por el Lema de Gauss se corresponden con los polinomiosp(x, y) ∈ C[x, y] irreducibles de grado mayor o igual que 1 en y. Por tanto, i∗−1(g) esta formado porlos ideales primos (p(x, y)), (0) (donde p(x, y) es un polinomio irreducible de grado mayor o igual que1 en y)

En resumen, los puntos de SpecC[x, y] =Not

A2(C) son

1. Los puntos cerrados (α, β), es decir, los ideales primos (x− α, y − β).

2. Los puntos genericos de las curvas irreducibles (p(x, y))0 ≡ p(x, y) = 0, es decir, los idealesprimos (p(x, y)), p(x, y) irreducible.

3. El punto generico del plano afın (0)0 ≡ A2(C), es decir, el ideal primo (0).

Ejemplo 1.5.10. Calculemos SpecC[x, y]/(q(x, y)). Consideremos la descomposicion en productode polinomios irreducibles q(x, y) = q1(x, y)n1 · · · qr(x, y)nr , que no difieran en factores constantes.Tenemos que SpecC[x, y]/(q(x, y)) = (q(x, y))0 =

r∪i=1

(qi(x, y))0 que son:

1. Los ideales maximales (x − α, y − β) tales que (q(x, y)) ⊆ (x − α, y − β). Es decir, con otrasnotaciones, los puntos (α, β) tales que q(α, β) = 0.

2. Los puntos genericos de las curvas irreducibles qi(x, y) = 0.

1.6 Problemas

1. Demostrar que C[x, y]/(x) ' C[y]. Probar que C[x, y, z]/(y − x2, y3 + z3) ' C[x, z]/(x6 + z3).

2. Sea A un anillo y S ⊂ A un sistema multiplicativo de A. Los elementos de S son invertibles enA si y solo si el morfismo de localizacion A → AS es un isomorfismo.

3. Sea f : A → B un morfismo de anillos y S ⊂ A un sistema multiplicativo. Si f(S) son elementosinvertibles de B entonces existe un unico morfismo fS : AS → B tal que f sea la composicionde los morfismos A → AS

fS→ B.

1.6. Problemas 19

4. Probar que (AS)S′ = AS·S′ .

5. Probar que k[x, y]/(xy − 1) ' k[x]1,x,x2,....

6. Probar que C[x]R[x]−0 ' C(x). Probar que Z[x]Z[x]−{0} = Q(X).

7. Probar que el morfismo de localizacion i : A → AS es un isomorfismo si y solo si i∗ : Spec AS →Spec A es un homeomorfismo. Pruebese que si Spec AS = Spec AS′ (en Spec A) entonces AS =AS′ .

8. Probar que A1+mx= Ax.

9. Calcular SpecZ/6Z, Spec(C[x, y]/(y2 − x3))x.

10. Calcular SpecZ[x], SpecZ[√

5].

11. Calcular SpecR[x, y].

12. Si Spec A es la union disjunta de dos abiertos U1, U2 probar que U1 = Spec AU1 .

13. Sean I, I ′ ⊆ A dos ideales. Probar que (I)0 = (I ′)0 si y solo si r(I) = r(I ′).

14. Probar que los elementos de los ideales primos minimales de un anillo son divisores de cero(Pista: localıcese en los ideales primos minimales).

15. Probar que si f : A ↪→ B es un morfismo de anillos inyectivo entonces f∗ : Spec B → Spec A esuna aplicacion continua densa.

16. Probar que la interseccion de dos rectas paralelas (ax+ by + c)0, (ax+ by + c′)0 (c 6= c′) es vacıa.

17. Dado i : C[x] → C[x, y]/(y2 − x2 + x3), calcular el morfismo i∗ : SpecC[x, y]/(y2 − x2 + x3) →SpecC[x], calcular las fibras de i∗.

18. Calcular el morfismo f : C[x, y]/(x − 1) → C[x, y]/(y − x3) que en espectros aplica cada punto(cerrado) (α, β) de la cubica y = x3 en el punto de la recta x = 1 que se obtiene como corte dela recta que pasa por el origen y (α, β), con la recta x = 1.


Capıtulo 2

Modulos

2.1 Modulos

Los espacios vectoriales son el ejemplo mas sencillo y usual de espacio geometrico. Muchos problemasse resuelven linealizandolos, lo que permite aplicarles ademas la intuicion geometrica. Anadamos, enesta breve justificacion de la introduccion de los espacios vectoriales, que muchas de las estructurasusuales en Matematicas son estructuras de espacios vectoriales.

Si I es un ideal de un anillo A, es un grupo conmutativo respecto de la suma de A y el productode A define una aplicacion A × I → I que verifica todos los axiomas de espacio vectorial, salvo lacondicion de que los escalares formen un cuerpo; lo que resumiremos diciendo que I es un A-modulo.En esta seccion iniciaremos el estudio de la estructura de modulo sobre un anillo A y veremos que casitodas las definiciones del Algebra Lineal (submodulos, cocientes, sumas y productos directos, productotensorial, etc.) pueden generalizarse para los A-modulos; aunque la frecuente existencia de modulosque no admiten bases introduzca grandes modificaciones en la teorıa de modulos. La posibilidad deefectuar muchas operaciones (cocientes, sumas directas, productos tensoriales, etc.) que carecen desentido en los ideales hace que la teorıa de modulos sea mucho mas flexible y natural, que una teorıarestringida unicamente a los ideales. Esta generalidad no complica las demostraciones, sino que laposibilidad de usar las operaciones basicas del Algebra Lineal las aclara y simplifica.

Los modulos aparecen tambien con frecuencia en Matematicas. Ya veremos que los grupos abe-lianos y los espacios vectoriales con un endomorfismo lineal son ejemplos de modulos, y que su clasi-ficacion es la clasificacion de la estructura de modulos.

Hablando sin precision ni rigor, el estudio de los modulos equivale al estudio de los fibradosvectoriales π : E → X, es decir, de los epimorfismos continuos, de fibras espacios vectoriales. Elestudio de π sera equivalente al estudio del C(X)-modulo de las secciones de π. La extension delconcepto de espacio vectorial (sobre un punto) a un espacio topologico es el concepto de fibradovectorial, o el concepto de modulo. En cursos posteriores, se profundizara en lo que aquı apenashemos esbozado.

Definicion 2.1.1. Sea A un anillo y M un conjunto. Diremos que una operacion M × M+→ M ,

(m,m′) 7→ m + m′ y una aplicacion A × M·→ M, (a,m) 7→ a · m definen en M una estructura de

A-modulo cuando cumplen

1. (M, +) es un grupo conmutativo.

2. a · (m + n) = a ·m + a · n, para todo a ∈ A y m,n ∈ M .

21

22 Capıtulo 2. Modulos

3. (a + b) ·m = a ·m + b ·m, para todo a, b ∈ A y m ∈ M .

4. (ab) ·m = a · (b ·m), para todo a, b ∈ A y m ∈ M .

5. 1 ·m = m, para todo m ∈ M .

Es decir, dada una aplicacion A × M·→ M , (a,m) 7→ a · m, cada elemento a ∈ A define una

aplicacion a· : M → M , m 7→ a ·m. El segundo punto expresa que a· es morfismo de grupos. Los tresultimos puntos expresan que la aplicacion φ : A → End(M), φ(a) = a·, es morfismo de anillos (dondeEnd(M) son los endomorfismos de grupos del grupo conmutativo M). Recıprocamente, si M es ungrupo conmutativo, cada morfismo de anillos φ : A → End(M) define una estructura de A-modulo enM tal que a ·m =

defφ(a)(m).

Ejemplo 2.1.2. 1. Todo ideal I ⊂ A es un A-modulo, pues con la suma definida en A y conel producto por los elementos de A ya definido en A, I tiene estructura de A-modulo. Enparticular, A es un A-modulo.

2. Si A es un cuerpo entonces los A-modulos son los A-espacios vectoriales.

3. Si G es un grupo abeliano, entonces es un Z-modulo de modo natural: n · g = g + n. . . + g sin ∈ N+, n ·g = (−g)+−n. . .+/(−g) si −n ∈ N+, y 0 ·g = 0. Recıprocamente, si G es un Z-modulo,en particular es un grupo abeliano.

4. Si T : E → E es un endomorfismo de k-espacios vectoriales entonces E tiene estructura natu-ral de k[x]-modulo: (

∑λix

i) · e =def

∑λiT

i(e). Recıprocamente, dado un k[x]-modulo E, la

aplicacion T : E → E definida por T (e) = x · e, es un endomorfismo de k-espacios vectoriales.

5. Sea {Mi}i∈I una familia de A-modulos con ındices en un conjunto I. Su producto directo sedenotara

∏i∈I

Mi, mientras que ⊕i∈I

Mi denotara el subconjunto de∏i∈I

Mi formado por los elementos

(mi) que tienen todas sus componentes nulas salvo un numero finito de ellas, y se llamara sumadirecta de los {Mi}i∈I . Tanto

∏i∈I

Mi como ⊕i∈I

Mi son A-modulos con la siguiente suma y producto

por elementos de A:(mi)i∈I + (m′

i)i∈I =def

(mi + m′i)i∈I

a · (mi)i∈I =def

(a ·mi)i∈I

Definicion 2.1.3. Un subconjunto N de un A-modulo M , decimos que es un submodulo si con laoperacion + de M y con la multiplicacion · por elementos de A, es un A-modulo.

Notacion: Alguna vez, escribiremos am en vez de a ·m por sencillez de escritura.

Definicion 2.1.4. Una aplicacion f : M → M ′ entre A-modulos M, M ′, diremos que es un morfismode A-modulos si cumple

1. f(m + n) = f(m) + f(n), para todo m,n ∈ M .

2. f(am) = af(m), para todo a ∈ A y m ∈ M .

2.1. Modulos 23

Los elementos de un modulo M que por un morfismo de A-modulos f : M → M ′, van al cero, seles denomina nucleo de f y denota por Ker f . Se cumple que Ker f es un submodulo de M y que fes inyectiva si y solo si Ker f = 0. Los elementos de la imagen, Im f forman un submodulo de M ′.Cuando f sea biyectiva diremos que f es un isomorfismo de A-modulos.

Denotaremos por HomA(M, N) al conjunto de morfismos de A-modulos de M en N . Con lasdefiniciones de suma de morfismo y producto por elementos de A naturales:

(f + g)(m) =def

f(m) + g(m)

(af)(m) =def

a(f(m))

tenemos que HomA(M, N) es un A-modulo.Si N es un submodulo de M entonces es un subgrupo conmutativo de M . Por tanto, podemos

considerar el grupo cociente M/N , donde

M/N = {m, m ∈ M de modo que m = m′ ⇐⇒ m−m′ ∈ N}

Ahora bien, el producto a · m =def

a ·m dota a M/N de estructura de A-modulo (compruebese) y es

la unica estructura de A-modulo que podemos definir en M/N , de modo que el morfismo de paso alcociente M → M/N , m 7→ m, sea un morfismo de modulos.

Ejercicio 2.1.5. Dado un epimorfismo π : M → M ′ de A-modulos, si π tiene seccion (es decir,existe s : M ′ → M de modo que π ◦ s = Id) entonces M ' Kerπ ⊕ M ′. (Pista: Los morfismosKerπ⊕M ′ → M , (m,m′) 7→ (m+ s(m′)) y M → Kerπ⊕M ′, m 7→ (m− s(π(m)), π(m)) son inversosentre si).

Dado un morfismo i : N → M inyectivo, si i tiene retracto (es decir, existe r : M → N de modoque r ◦ i = Id) entonces M ' N ⊕M/N . (Pista: Los morfismos M → N ⊕M/N , m 7→ (r(m), m) yN ⊕M/N → M , (n, m) 7→ n + (m− r(m)) son inversos entre si).

Teorema 2.1.6. Sea f : M → M ′ un morfismo de A-modulos. Sea N ⊆ Ker f un A-submodulo.Existe un unico morfismo f : M/N → M ′ (que vendra definido por f(m) = f(m)) de modo que eldiagrama

Mf //

π""E

E

E

E

E

E

E

E

M ′

M/N

f

<<x

x

x

x

x

x

x

x

es conmutativo, siendo π el morfismo de paso al cociente.

Teorema 2.1.7 (de isomorfıa). Sea f : M → M ′ un morfismo de A-modulos. Se cumple que eldiagrama

Mf //

π

²²

M ′

M/ Ker ff

Im f?�

i

OO

donde π(m) = m, f(m) = f(m) (que esta bien definida) y i(m′) = m′, es conmutativo, f es unisomorfismo, π es epiyectiva y i inyectiva.


Demostracion. Al lector.

Dado un conjunto {Mi}i∈I de submodulos de M denotaremos

∑

i∈I

Mi = {m ∈ M : m =∑

i∈I

mi

con mi ∈ Mi nulos para casi todo i ∈ I}

que es el menor submodulo de M que contiene a los submodulos Mi. Diremos que dos submodulosM1,M2 de M estan en suma directa si M1∩M2 = 0, que equivale a decir que el morfismo M1⊕M2 →M1+M2, (m1,m2) 7→ m1+m2 es un isomorfismo. Se dice que M es la suma directa de dos submodulosM1,M2 si M1 ∩ M2 = 0 y M1 + M2 = M , que equivale a decir que el morfismo M1 ⊕ M2 → M ,(m1,m2) 7→ m1 + m2 es un isomorfismo.

Dado un conjunto {mi}i∈I de elementos de un modulo M , denotaremos por

〈mi〉i∈I = {m ∈ M : m =∑

i∈I

aimi,

con ai = 0 para todo i salvo un numero finito}

que es el menor submodulo de M que contiene a {mi}i∈I . Diremos que {mi}i∈I es un sistemagenerador de M si 〈mi〉i∈I = M . Evidentemente todo modulo tiene sistemas generadores, por ejemploel formado por todos los elementos de M . Si I es ademas finito diremos que el modulo es de tipofinito. Diremos que un conjunto de elementos {mi}i∈I es base de M si es un sistema generador y si∑i

aimi = 0 entonces ai = 0 para todo i.

Denotaremos M (I) = ⊕i∈I

Mi, siendo Mi = M . Se dice que un modulo es libre si es isomorfo a A(I).

Si denotamos 1j = (ai) ∈ A(I), donde ai = 0 para todo i 6= j y aj = 1, entonces {1j}j∈I forma unabase de A(I). Los morfismos de A(I) en un A-modulo M se corresponden con conjuntos {mi}i∈I deM . Sea {mi}i∈I un conjuntos de elementos de M , y definamos el morfismo

φ : AI → M, (ai)i∈I 7→∑

i∈I

aimi

Se cumple que φ es epiyectivo si y solo si {mi}i∈I es un sistema generador de M , φ es inyectivo siy solo si {mi}i∈I son linealmente independientes. Por tanto, φ es isomorfismo si y solo si {mi}i∈I esuna base de M . En consecuencia, todo modulo es cociente de un libre y un modulo es libre si y solosi tiene bases.

El lema de Nakayama nos va a permitir calcular, mediante Algebra Lineal, sistemas generadores:Si M es un A-modulo e I ⊆ A es un ideal, denotaremos por I ·M = {m ∈ M : m =

∑aimi, con

ai ∈ I y mi ∈ M}, que es un A-submodulo de M . Se cumple que el A-modulo M/I ·M es de modonatural un A/I-modulo: a · m = a · m. Es obvio que M ′ ⊆ M/IM es un A-submodulo de M/IM ,si y solo si es un A/I-submodulo, y que m1, . . . , mr ∈ M/IM es un sistema A-generador de M/IMsi y solo si es un sistema A/I-generador de M/IM . En el caso de que I = m sea un ideal maximal,tendremos que m1, . . . , mr ∈ M/mM es un sistema A-generador de M/mM si y solo si es un sistemagenerador del A/m-espacio vectorial M/mM .

2.2. Localizacion de modulos 25

Lema 2.1.8 (de Nakayama). Sea O un anillo local de ideal maximal m y M un modulo finitogenerado. Denotemos mM = {m ∈ M : m =

∑aimi, con ai ∈ m y mi ∈ M}. Se cumple que

mM = M ⇐⇒ M = 0

Como consecuencia se obtiene que m1, . . . , mn ∈ M es un sistema generador de M si sus clasesm1, . . . , mn en M/mM son un sistema generador.

Demostracion. Sea n1, . . . , nr un sistema generador de M con el menor numero posible de elementos.

Si mM = M tendremos que n1 =r∑

i=1

aini, con ai ∈ m. Entonces (1− a1)n1 =r∑

i=2

aini. Como (1− a1)

no se anula en el unico ideal maximal de O, es invertible. Por tanto, n1 =

rPi=2

aini

1−a1, y 〈n2, . . . , nr〉 = M ,

lo que es contradictorio salvo que r = 0, es decir, M = 0.Veamos la consecuencia. Si 〈m1, . . . , mn〉 = M/mM entonces M = 〈m1, . . . ,mn〉+mM . Haciendo

cociente por 〈m1, . . . , mn〉 y denotando M = M/〈m1, . . . , mn〉, tenemos M = 0 + mM . Por tanto,M = 0, es decir, M = 〈m1, . . . ,mn〉.

2.2 Localizacion de modulos

Sea S un sistema nultiplicativo de un anillo A y M un A-modulo, denotaremos por MS :

MS = {m

s, m ∈ M, s ∈ S de modo que

m

s=

m′

s′si existe un s′′ ∈ S tal que s′′(s′m− sm′) = 0}1

Con las operaciones (bien definidas)

m

s+

m′

s′=def

s′m + sm′

ss′a

s· m

s′=def

am

ss′

MS tiene estructura de AS-modulo y diremos que es la localizacion de M por S. La aplicacioncanonica

M → MS , m 7→ m

1es un morfismo de A-modulos y diremos que es el morfismo de localizacion. Dado un morfismof : M → N de A-modulos, induce de modo natural la aplicacion (bien definida)

fS : MS → NS ,m

s7→def

f(m)s

que es morfismo de AS-modulos. Es inmediato comprobar que la localizacion de morfismos conservacomposiciones y combinaciones A-lineales:

(f ◦ g)S = fS ◦ gS

(af + bg)S = afS + bgS

1El lector avisado se dara cuenta que hay que comprobar que ms

= ms

, que si ms

= m′s′ entonces m′

s′ = ms

, y que sims

= m′s′ y m′

s′ = m′′s′′ entonces m

s= m′′

s′′ .


Proposicion 2.2.1. Dado un morfismo f : M → N de A-modulos y S un sistema multiplicativo deA entonces se cumple que

(Ker f)S = Ker fS y (Im f)S = Im fS

Demostracion. El morfismo (Ker f)S → MS , ms 7→ m

s valora en Ker fS , pues fS(ms ) = f(m)

s = 0s = 0

(para m ∈ Ker f y s ∈ S). Tenemos que comprobar que el morfismo (Ker f)S → Ker fS , ms 7→ m

s esun isomorfismo. Inyectivo: Si m

s = 0 en Ker fS ⊆ MS entonces existe un s′ ∈ S de modo que s′m = 0,luego m

s = 0 en (Ker f)S . Epiyectivo: Dado ms en Ker fS , entonces fS(m

s ) = 0, luego f(m)s = 0.

Por tanto, existe un s′ ∈ S de modo que s′f(m) = 0, es decir, f(s′m) = 0. Luego ms = s′m

s′s cons′m ∈ Ker f y concluimos la epiyectividad.

Dejamos como ejercicio el probar que (Im f)S = Im fS .

Definicion 2.2.2. Diremos que una sucesion de morfismos de A-modulos

· · · → Mn−1fn→ Mn

fn+1→ Mn+1 → · · ·

es exacta cuando Im fn = Ker fn+1 para todo n.

Casos concretos:

1. 0 → Ni→ M es una sucesion exacta si y solo si i es inyectiva.

2. Mπ→ M ′′ → 0 es una sucesion exacta si y solo si π es un epimorfismo.

3. 0 → M ′ i→ Mπ→ M ′′ → 0 es exacta si y solo si i es inyectiva, π es epiyectiva y Ker π = Im i.

Dado un modulo M tenemos un epimorfismo π : A(I) → M , igualmente dado Kerπ podemosdefinir un epimorfismo A(J) → Kerπ. Componiendo este ultimo morfismo con la inclusion naturalKerπ ↪→ A(I), tenemos un morfismo natural s : A(J) → A(I), de modo que la sucesion

A(J) s→ A(I) π→ M → 0

es exacta. Es decir M es isomorfo a Coker s, por tanto, el estudio de M se reduce al estudio de s, quees una aplicacion A-lineal entre modulos libres. Un ejemplo de este estudio se dara en el siguientecapıtulo, con la introduccion de los factores invariantes.

Proposicion 2.2.3. Sea S un sistema multiplicativo de A y sea

M ′ f→ Mg→ M ′′

una sucesion exacta de A-modulos. Entonces es exacta la sucesion

M ′S

fS→ MSgS→ M ′′

S

Demostracion. Si M ′ f→ Mg→ M ′′ una sucesion exacta de A-modulos entonces Ker g = Im f . Por

tanto, Ker gS = (Ker g)S = (Im f)S = Im fS (explıcitamente, ms 7→ m

s ) y M ′S

fS→ MSgS→ M ′′

S esexacta.

Ejercicio 2.2.4. Probar

1. (M/N)S = MS/NS .

2.2. Localizacion de modulos 27

2. (M ⊕N)S = MS ⊕NS .

3. (M + N)S = MS + NS .

4. (M ∩N)S = MS ∩NS .

Uno de los procesos geometricos mas basicos es el de localizar la atencion en un entorno de unpunto. Una propiedad es local cuando solo depende del comportamiento en un entorno de cadapunto. Por ejemplo la continuidad de las funciones consideradas en Topologıa, la derivabilidad de lasfunciones consideradas en Analisis, la conexion local o compacidad local de los espacios topologicos,etc. Por el contrario, una propiedad es global cuando no es local, es decir, depende de todo el espacioconsiderado. Por ejemplo el concepto de funcion acotada no es local, ni el de espacio compacto oconexo.

Un resultado central de este capıtulo sera demostrar que la anulacion de un modulo es una cuestionlocal y que por tanto, tambien son locales todos los problemas que puedan reducirse a la anulacionde un modulo.

Definicion 2.2.5. Sea M un A-modulo, llamaremos anulador de M al ideal

Anul(M) =def{a ∈ A : am = 0, para todo m ∈ M}

Dicho de otro modo, el anulador de M es el nucleo del morfismo de estructura A → End(M),a 7→ a·. Se dice que M es un A-modulo fiel si Anul(M) = 0, es decir, si el morfismo A → End(M) esinyectivo. Todo A-modulo M es de modo natural un A/ Anul(M)-modulo fiel (donde a ·m =

defam).

Dado un elemento m ∈ M , llamaremos anulador de m ∈ M al ideal anulador del modulo 〈m〉 ={am, a ∈ A}. Es decir, el ideal anulador de m es

Anul(m) = {a ∈ A : am = 0}

El epimorfismo de A-modulos A → 〈m〉, a 7→ am, tiene de nucleo el ideal anulador de m. Por tanto,por el teorema de isomorfıa A/ Anul(m) ' 〈m〉.

Igual que hacıamos para los anillos, dada f ∈ A denotaremos Mf a la localizacion de M por elsistema multiplicativo S = {1, f, f2, . . . }. Dado un ideal primo px ⊂ A denotaremos por Mx a lalocalizacion de M por el sistema multiplicativo S = A− px.

Definicion 2.2.6. Llamaremos soporte de un A-modulo M al subespacio de Spec A formado por lospuntos x donde Mx 6= 0 y lo denotaremos por Sop(M), i.e.,

Sop(M) = {x ∈ Spec A : Mx 6= 0}

Teorema 2.2.7. El soporte de un A-modulo finito generado coincide con los ceros de su ideal anu-lador, i.e.,

Sop M = (AnulM)0

Como consecuencia se tiene que la condicion necesaria y suficiente para que un modulo M (finitogenerado o no) sea cero es que Mx = 0 para todo punto cerrado x ∈ Spec A.


Demostracion. Empecemos probando que si M = 〈m1, . . . , mr〉 es un A-modulo finito generado en-tonces MS = 0 si y solo si existe un f ∈ S de modo que fM = 0: Si MS = 0 entonces mi

1 = 0 paratodo i, luego existen fi ∈ S de modo que fimi = 0. Por tanto, f = f1 · · · fr ∈ S cumple que fM = 0.Recıprocamente, si existe f ∈ S de modo que fM = 0, entonces m

s = 0 para todo ms ∈ MS y MS = 0.

Ahora ya, dado x ∈ Spec A, tendremos que Mx 6= 0 si y solo si Anul(M) ∩ (A− px) = ∅, es decir,Anul(M) ⊆ px. Luego Sop(M) = (AnulM)0.

Por ultimo, veamos la consecuencia. Probemos solo la suficiencia. Si Mx = 0 para todo puntocerrado x ∈ Spec A, entonces para todo submodulo 〈m〉 ⊆ M se cumple que 〈m〉x = 0. Por tanto,el (Anul〈m〉)0, no contiene ningun punto cerrado de Spec A, es decir, Anul〈m〉 no esta contenido enningun ideal maximal. En conclusion, Anul(〈m〉) = A, luego m = 1 ·m = 0 y M = 0.

Proposicion 2.2.8. 1. Una inclusion N ⊆ M de modulos es una igualdad si y solo si Nx = Mx

para todo punto cerrado x ∈ Spec A.

2. Dos submodulos N,N ′ de un modulo M son iguales si y solo si Nx = N ′x para todo punto cerrado

x ∈ Spec A.

Demostracion. 1. N = M ⇐⇒ M/N = 0 ⇐⇒ (M/N)x = 0 para todo punto cerrado x ∈ Spec A⇐⇒ Mx/Nx = 0 para todo punto cerrado x ∈ Spec A ⇐⇒ Mx = Nx para todo punto cerradox ∈ Spec A.

2. Veamos solo que si Nx = N ′x para todo punto cerrado x ∈ Spec A entonces N = N ′. Tendremos

que Nx = Nx + N ′x = (N + N ′)x para todo punto cerrado x ∈ Spec A. Luego por el punto 1

N = N + N ′, es decir, N ′ ⊆ N . Del mismo modo obtenemos la inclusion inversa y concluimos laigualdad.

Teorema 2.2.9. Sea M ′ f→ Mg→ M ′′ una sucesion de morfismos de A-modulos. Las siguientes

condiciones son equivalentes

1. M ′ f→ Mg→ M ′′ es una sucesion exacta.

2. M ′x

fx→ Mxgx→ M ′′

x es exacta para todo punto x ∈ Spec A.

3. M ′x

fx→ Mxgx→ M ′′

x es exacta para todo punto cerrado x ∈ Spec A.

Demostracion. La implicacion 1 ⇒ 2 es un caso particular de 2.2.3. La implicacion 2 ⇒ 3 es evidente.Veamos que 3 ⇒ 1. Si la sucesion es exacta en todo punto cerrado x entonces Ker gx = Im fx.

Luego (Ker g)x = (Im f)x. Por tanto, por la proposicion anterior, Ker g = Im f y la sucesion delpunto 1 es exacta.

Como corolario, dado que los morfismos inyectivos y epiyectivos son casos concretos de sucesionesexactas, tendremos que un morfismo es inyectivo (o epiyectivo) si y solo si lo es localmente, para todopunto cerrado del espectro del anillo.

Si U es un abierto de Spec A denotaremos AU por la localizacion de A por el sistema multiplicativode las funciones que no se anulan en ningun punto de U .

Proposicion 2.2.10. Si Spec A es la union disjunta de dos abiertos U1, U2 entonces A = AU1 ×AU2 .

2.3. Longitud de un modulo 29

Demostracion. Observemos que Spec AU1 = U1 (igualmente Spec AU2 = U2). En efecto, U1 ⊆Spec AU1 , porque las funciones del sistema multiplicativo por las que localizamos no se anulan enningun punto de U1. Por otra parte, como U1, U2 son cerrados, si denotamos Ii al ideal de funcionesque se anulan en Ui tenemos que (I1)0 ∩ (I2)0 = ∅, por tanto (I1 + I2)0 = ∅ y I1 + I2 = A. Ası pues,existen fi ∈ Ii, tales que f1 + f2 = 1. En conclusion, f2 = 1− f1 es una funcion que se anula en todolos puntos de U2 y no se anula en ningun punto de U1, por tanto Spec AU1 ⊆ U1 y Spec AU1 = U1.

Consideremos el morfismo natural

A → AU1 ×AU2 , a 7→ (a

1,a

1)

Vamos a probar que este morfismo es isomorfismo. Por el teorema anterior, basta verlo localmente.Dado x ∈ U1, tenemos que (AU1)x = (Ax)U1 = Ax porque el sistema multiplicativo de las funcionesque no se anulan en U1, esta incluido en el sistema multiplicativo de las funciones que no se anulanen x. Por otra parte, Spec(AU2)x = ∅, porque U2 ∩ {y ∈ Spec A : py ⊆ px, i.e., x ∈ y} = ∅, luego(AU2)x = 0. En conclusion, Ax = (AU1 ×AU2)x si x ∈ U1, e igualmente si x ∈ U2. Hemos terminado.

Corolario 2.2.11. Si Spec A = {x1, . . . , xn}, donde x1, . . . , xn son puntos cerrados, entonces

A = Ax1 × · · · ×Axn

2.3 Longitud de un modulo

El concepto de longitud de un modulo se corresponde con el concepto de dimension en espaciosvectoriales. Usualmente, se define la dimension de un espacio vectorial como el numero de vectoresde sus bases. En los A-modulos pueden no existir bases, por tanto, no podemos dar esta definicion.Por otra parte, tampoco es esta la definicion mas natural o intuitiva. El concepto de base es maselaborado, si bien es muy practico en espacios vectoriales. Si intuimos que R3 es de dimension 3es porque observamos la cadena de inclusiones irrefinable punto, recta, plano, espacio. En teorıa demodulos, seguiremos este otro punto de vista.

Definicion 2.3.1. Diremos que un A-modulo M 6= 0 es simple cuando sus unicos submodulos sonlos triviales: 0 y M .

Si M es un A-modulo simple entonces M = 〈m〉, luego M ' A/ Anul〈m〉. Ahora bien, lossubmodulos de A/ Anul〈m〉 se corresponden con los ideales de A que contienen a Anul〈m〉. Por tanto,M es simple si y solo si Anul〈m〉 es un ideal maximal, es decir, M es simple si y solo si M ' A/m,donde m es un ideal maximal de A.

Definicion 2.3.2. Diremos que una cadena de submodulos 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M esuna serie de composicion si los cocientes sucesivos Mi/Mi−1 son A-modulos simples. Diremos que lalongitud de esta serie de composicion es n.

Como los submodulos de Mi/Mi−1 se corresponden biyectivamente con los submodulos de Mi quecontienen a Mi−1, el que Mi/Mi−1 sea simple equivale a que no existe una cadena Mi−1 ⊂6= N ⊂

6=Mi.

Por tanto, que una cadena de submodulos 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M sea serie de composicionequivale a decir que no podemos anadirle mas “eslabones”.


Definicion 2.3.3. Llamaremos longitud de M a la mınima longitud de todas sus series de composi-cion. Si no existe ninguna serie de composicion diremos que la longitud de M es infinita. Denotaremosa la longitud de un modulo M por l(M).

Sobre espacios vectoriales el concepto de longitud coincide con el de dimension.

Proposicion 2.3.4. Todas las series de composicion de un modulo tienen la misma longitud.

Demostracion. Si l(M) = ∞ la proposicion es obvia. Supongamos que l(M) = n < ∞.Dado un submodulo propio N ⊂ M se cumple que l(N) < l(M): Sea 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂

Mn = M una serie de composicion de longitud mınima de M . Si en 0 = M0 ∩N ⊆ M1 ∩N ⊆ · · · ⊂Mn ∩ N = N quitamos los terminos repetidos obtenemos una serie de composicion en N , porqueMi ∩N/Mi−1 ∩N ↪→ Mi/Mi−1, luego Mi ∩N/Mi−1 ∩N = Mi/Mi−1 pues Mi/Mi−1 es simple. Portanto, l(N) ≤ l(M). Si l(N) = l(M) entonces Mi ∩N/Mi−1 ∩N 6= 0 para todo i. Entonces, M1 ∩Ncontiene estrictamente a M0 ∩N = 0 y esta incluido en M1, luego M1 ∩N = M1. Sigamos, M2 ∩Ncontiene estrictamente a M1 ∩N = M1 y esta incluido en M2 luego M2 ∩N = M2 Recurrentemente,N = Mn ∩N = Mn = M , lo que es contradictorio.

Ası pues, dada una serie de composicion 0 = M ′0 ⊂ M ′

1 ⊂ · · · ⊂ M ′m = M , tenemos que l(M) >

l(M ′m−1) > · · · > l(M ′

1), luego l(M) ≥ m. Como m ≥ n = l(M), tenemos que m = n.

Observemos que hemos demostrado que si un modulo es de longitud finita entonces todo submodulosuyo es de longitud finita. Es facil probar que si un modulo es de longitud finita entonces es finitogenerado, y por tanto, tambien todo submodulo, que es de longitud finita, sera finito generado.

Si un modulo es de longitud finita todo cociente suyo tambien lo es, pues toda serie de composiciondefine por paso al cociente una serie de composicion (eliminando las igualdades que aparezcan en laserie).

Proposicion 2.3.5. La longitud es una funcion aditiva, es decir, dada una sucesion exacta 0 →M ′ i→ M

π→ M ′′ → 0 se cumple que l(M) = l(M ′) + l(M ′′).

Demostracion. Si 0 = M ′0 ⊂ M ′

1 ⊂ · · · ⊂ M ′n′ = M ′ y 0 = M ′′

0 ⊂ M ′′1 ⊂ · · · ⊂ M ′′

n′′ = M ′′ son seriesde composicion de M ′ y M ′′ entonces

0 = i(M ′0) ⊂ i(M ′

1) ⊂ · · · ⊂ i(M ′n′) = i(M ′) = π−1(M ′′

0 ) ⊂ π−1(M ′′1 ) ⊂ · · · ⊂ π−1(M ′′

n′′) = M

es una serie de composicion de M , luego l(M) = n′ + n′′ = l(M ′) + l(M ′′).

En particular, si consideramos la sucesion exacta

0 → M ′ → M ′ ⊕M ′′ → M ′′ → 0m′ 7→ (m′, 0)

(m′,m′′) 7→ m′′

tenemos que l(M ′ ⊕M ′′) = l(M ′) + l(M ′′).La sucesion de morfismos de modulos

0 → M0 → · · · → Ms−1fs→ Ms

fs+1→ Ms+1 → · · · → Mn → 0 (∗)

es exacta si y solo si son exactas las sucesiones 0 → Im fs → Msfs+1→ Im fs+1 → 0. Ası, si la sucesion

∗ es exacta, tendremos que l(Im fs) − l(Ms) + l(Im fs+1) = 0 y haciendo el sumatorio para todo stenemos

l(M0)− l(M1) + · · ·+ (−1)nl(Mn) = 0

2.4. Problemas 31

Proposicion 2.3.6. Si M es de longitud finita, entonces Sop(M) es un numero finito de puntoscerrados.

Demostracion. Recordemos que los modulos simples son isomorfos a A/m, siendo m un ideal maximal.Si mx es un ideal maximal y px′ es un ideal primo distinto de mx entonces (A/mx)x′ = 0, puesSop(A/mx) = (mx)0 = x por 2.2.7. Ahora ya, dada una serie de composicion

0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M

tenemos que Mi/Mi−1 ' A/mxi, siendo mxi

ideales maximales. Por tanto, (Mi/Mi−1)x ' (A/mxi)x =

0, para todo punto x ∈ Spec A distinto de los xi. Luego Mx = (Mn)x = · · · = (M0)x = 0, para todopunto x ∈ Spec A distinto de los xi. En conclusion, el soporte de M es subconjunto de {xi} y hemosterminado.

2.4 Problemas

1. Sea I ⊆ A un ideal y M un A-modulo probar que IM =def{m ∈ M : m =

∑aimi, con ai ∈ I y

mi ∈ M} es un A-modulo.

Si M ′ es otro A-modulo probar que I(M ⊕M ′) = IM ⊕ IM ′. Si M y M ′ son submodulos deun modulo probar que I(M + M ′) = IM + IM ′.

2. Sean N ⊆ M y N ′ ⊆ M ′ submodulos. Probar que N ⊕ N ′ es un submodulo de modo naturalde M ⊕M ′ y que (M ⊕M ′)/(N ⊕N ′) = M/N ⊕M ′/N ′.

3. Si N, N ′ son submodulos de un modulo M probar que

(N + N ′)/N ′ = N/(N ∩N ′)

Si denotamos por N = {n ∈ M/N ′ : n ∈ N}, probar que

(M/N ′)/N = M/(N + N ′)

4. Sea f : M → M ′ un morfismo de A-modulos. Sean N1, N2 dos submodulos de M probar quef(N1 + N2) = f(N1) + f(N2) (denotamos por f(N) = {f(n) ∈ M ′, con n ∈ N}). Sea I unideal, probar que f(I ·N1) = I · f(I1).

5. Sea f : M → M ′ un morfismo de A-modulos y m′ = f(m). Probar que f−1(m′) = m+Ker f =def

{m + n con n ∈ Ker f}. Sea N un submodulo de M , probar que f−1(f(N)) = N + Ker f .

6. Probar la igualdad HomA(A/I, M) = {m ∈ M : Im = 0}. Probar que HomA(An,M) = M ⊕n. . .⊕M .

7. Calcular los siguientes Z-modulos: HomZ(Q,Z), HomZ(Zn,Z), HomZ(Zn,Q) y HomZ(Q/Z,Z).

8. Probar que si un endomorfismo f : M → M , cumple que f2 = f entonces M = Ker f ⊕Ker(f −Id).

9. Probar que el anulador del A-modulo A/I es I.


10. Probar que si M es un A-modulo libre entonces Anul(M) = 0.

11. Sea el Z-modulo M = ⊕0 6=n∈Z

Z/nZ. Probar que AnulM = (0) ¿Existe algun m ∈ M de modo

que Anul(〈m〉) = 0?

12. Probar que si M ' M1⊕ · · · ⊕Mn entonces Anul(M) = ∩iAnul(Mi). Calcular el ideal anulador

del Z-modulo Z/3Z⊕ Z/6Z⊕ Z/15Z.

13. Sea 0 → M1 → M2 → M3 → 0 una sucesion exacta de A-modulos. Demostrar que Anul(M2) ⊇Anul(M1) ·Anul(M3).

14. ¿Es Z/4Z un Z-modulo libre? ¿Es un Z/4Z-modulo libre? Definir un sistema generador deZ/4Z como Z-modulo.

15. Sea M = { a2n , a ∈ Z, n ∈ N} ⊂ Q. Probar que M es un Z-submodulo de Q y que no es finito

generado.

16. Probar que todo cociente de un modulo finito generado es finito generado. Probar que la sumade dos submodulos finito generados es finito generado.

17. Sea M un A-modulo y N un submodulos de M . Probar que si N y M/N son A-modulos finitogenerados entonces M es finito generado.

18. Sea C(R) el anillo de todas las funciones reales continuas de variable real. Demostrar que elconjunto de las funciones reales continuas de variable real que se anulan en algun entorno delcero forman un ideal de C(R), que no es finito generado.

19. Probar que todo Z-submodulo finito generado de Q no nulo, es libre generado por un elemento.Probar que Q 6' Z.

20. Hallar una base (si existe) de Z[x] como Z-modulo.

21. Probar que todo epimorfismo de un modulo en un libre tiene seccion.

22. Sea i : N ↪→ M un morfismo inyectivo de A-modulos. Si r : M → N es un retracto de i, es decir,r ◦ i = Id, probar que M ' N ⊕Ker r (defınase N ⊕Ker r → M, (n, n′) 7→ i(n) + n′).

Sea π : M → M ′ un epimorfismo de modulos, de modo que exista una seccion s de π, es decir,π ◦ s = Id. Probar que M ' Kerπ ⊕M .

23. Sea 0 → M ′ f→ Mg→ M ′′ → 0 una sucesion exacta de A modulos. Se dice que la sucesion exacta

rompe si existe un diagrama conmutativo

0 // M ′ f //

Id

Mg //

φ

M ′′

Id

// 0

0 // M ′ i // M ′ ⊕M ′′ π // M ′′ // 0

donde φ es un isomorfismo, i(m′) = (m′, 0) y π(m′,m′′) = m′′.

Probar que si r : M → M ′ es un retracto de f , i.e., r ◦f = Id entonces la sucesion exacta rompe.Probar que si s : M ′′ → M es una seccion de g, i.e., g ◦ s = Id, entonces la sucesion exactarompe.

2.4. Problemas 33

24. Probar que (AnulA(M))S = AnulAS(MS), si M es un A-modulo finito generado.

25. Sea f : A → B un morfismo de anillos. Sea S ⊂ A un sistema multiplicativo. Sabemos que Bes de modo natural un A-modulo, por tanto, podemos definir BS . Por otra parte, f(S) ⊂ B esun sistema multiplicativo. Demostrar que BS = Bf(S).

26. Sea I ⊆ A un ideal y px ⊂ A un ideal primo. Probar que Ix = Ax si y solo si x /∈ (I)0.

27. Probar que (I ·M)S = IS ·MS = I ·MS .

28. Sea A un anillo ıntegro, e I 6= 0 un ideal. Probar que I es libre si y solo si I = aA (a 6= 0).

29. Sea M un A-modulo finito generado y S ⊂ A un sistema multiplicativo de A. Probar que siMS = 0 entonces existe un s ∈ S tal que s ·m = 0 para todo m ∈ M .

30. Sea I ⊆ A un ideal y M un A-modulo finito generado. Probar que IM = M ⇐⇒ M1+I = 0.

31. Probar que si un endomorfismo T : M → M de un A-modulo finito generado es epiyectivoentonces es un isomorfismo.

32. Demostrar que Zn es un Z-modulo isomorfo a Zm si y solo si n = m.

33. Demostrar que An es un A-modulo isomorfo a Am si y solo si n = m.

34. Sea M un A-modulo finito generado. Probar que si M ' M ⊕N entonces N = 0 ¿Es siemprecierto este resultado si M no es finito generado?

35. Sea m1, . . . , ms un sistema generador de un A-modulo libre An. Probar que s ≥ n.

36. Probar que todo sistema de n generadores de un modulo libre An es base.

37. Sean M y M ′ dos A-modulos de tipo finito. Sea f : M → M ′ un morfismo de A-modulos.Probar que si los morfismos fx : M/mxM → M ′/mxM ′, m 7→ f(m) son epiyectivos, para todopunto cerrado x ∈ Spec A, entonces el morfismo f es epiyectivo.

38. Demostrar que si existe un morfismo Am ↪→ An inyectivo de A-modulos entonces m ≤ n.

39. Demostrar que la longitud del k[x]-modulo k[x]/(xn) es n.


Capıtulo 3

Modulos sobre dominios de idealesprincipales

3.1 Dominios de ideales principales

Definicion 3.1.1. Diremos que un ideal p es principal si esta generado, como A-modulo, por un soloelemento, i.e., p = aA.

Diremos que un anillo es un dominio de ideales principales si es un anillo ıntegro cuyos ideales sonprincipales.

Ejemplo 3.1.2. Los anillos euclıdeos, en particular Z, k[x], son dominios de ideales principales. Lalocalizacion de un dominio de ideales principales es un dominio de ideales principales.

El ideal p = (2, x1) del anillo Z[x1, . . . xn] no es principal porque un generador de p serıa un divisorde 2 y estos son ±1 y ±2, que no generan p. En consecuencia, los anillos Z[x1, . . . , xn] no son dominiosde ideales principales.

Analogamente, si k es un cuerpo, el ideal (x1, x2) del anillo k[x1, . . . , xn] no es principal, ası quelos anillos k[x1, . . . , xn] no son dominios de ideales principales (para n > 1).

Si A es un dominio de ideales principales, los elementos de A, salvo productos por invertibles, secorresponden con los ideales de A. En estos anillos es valida gran parte de la teorıa elemental de ladivisibilidad de numeros enteros. En efecto, si a, b ∈ A, entonces aA + bA = dA, siendo el maximocomun divisor: Si c divide a a y b entonces divide a d y obviamente d divide a a y b. Igualmente,el mınimo comun multiplo de a y b es el generador del ideal aA ∩ bA. Por tanto, el maximo comundivisor y el mınimo comun multiplo de dos elementos de un dominio de ideales principales A siempreexisten y estan bien definidos salvo factores invertibles. Ademas,

Proposicion 3.1.3 (Identidad de Bezout). Sea d el maximo comun divisor de a y b. Existenelementos α, β ∈ A tales que

d = αa + βb

Definicion 3.1.4. Un elemento propio (no nulo ni invertible) se dice que es irreducible si no descom-pone en producto de dos elementos propios. Se dice que dos elementos propios son primos entre sı sicarecen de divisores propios comunes.

Lema 3.1.5 (de Euclides). Si un elemento irreducible divide a un producto divide algun factor.

35

36 Capıtulo 3. Dominios de ideales principales. Modulos

Demostracion. Si a es irreducible y divide a bc, entonces si a no divide a b implica que el maximocomun divisor de a y b es el 1. Por tanto, existen α, β ∈ A tales que αa+βb = 1. Luego αac+βbc = c.De esta igualdad obtenemos que a divide a c.

Corolario 3.1.6. Sea p un elemento no nulo de un dominio de ideales principales A. Las siguientescondiciones son equivalentes:

1. p es irreducible en A.

2. pA es un ideal primo de A.

3. pA es un ideal maximal de A.

Demostracion. 3. ⇒ 2. Obvio.2. ⇒ 1. Sea pA un ideal primo. Por tanto, si ab = p, p ha de dividir a uno de los factores, por

ejemplo a, y tendremos pa′b = p, luego b serıa invertible y p irreducible.1. ⇒ 3. Sea p un elemento irreducible de A. Sea I = aA un ideal. Si pA ⊆ I = aA, entonces

existe b ∈ A tal que ab = p. Luego a es invertible y I = A, o b es invertible y I = pA. En conclusion,pA es maximal.

Lema 3.1.7. Toda cadena creciente de ideales de A establiza.

Demostracion. Dada una cadena de ideales p1 ⊆ p2 ⊆ . . . , consideremos el generador c del ideal ∪ipi.

Se cumple que c ∈ pn, para algun n. Las inclusiones

pn ⊆ pn+j ⊆ ∪ipi = cA ⊆ pn

prueban que pn = pn+j , para todo j ≥ 0.

Teorema 3.1.8 (de descomposicion en factores irreducibles). Todo elemento propio a ∈ Adescompone en producto de factores irreducibles a = p1 · · · pn. Ademas la descomposicion es unicasalvo orden y factores invertibles.

Demostracion. Empecemos probando que a todo elemento a ∈ A lo divide algun elemento irreducible:Si a no es irreducible entonces a = a1 · b1, a1, b1 elementos propios. Si a1 no es irreducible, entoncesa1 = a2 · b2, con a2, b2 elementos propios. Ası sucesivamente, vamos obteniendo una cadena (a) ⊂

6=(a1) ⊂6= (a2) ⊂6= . . . que ha de ser finita por el lema anterior y terminara cuando an sea irreducible.

Ahora ya, sea a1 irreducible que divide a a y escribamos a = a1 · b1. Si b1 no es irreducible sea a2

irreducible, que divide a b1 y escribamos a = a1 ·b1 = a1 ·a2 ·b2. Ası sucesivamente, vamos obteniendola cadena (a) ⊂

6=(b1) ⊂6= (b2) ⊂6= . . . que ha de ser finita y terminara cuando bn sea irreducible. En tal

caso a = a1 · · · an−1 · bn es producto de irreducibles.Veamos ahora la unicidad. Sean a = p1 · · · pn = q1 · · · qm dos descomposiciones en factores irre-

ducibles. Por el Lema de Euclides, q1 divide algun factor pi, luego coincide con el (salvo un fac-tor invertible). Pongamos p1 = q1 (salvo invertibles). Simplificando la igualdad original tenemosp2 · · · pn = q2 · · · qm (salvo invertibles). Razonando con q2 como hemos hecho antes con q1 llegamosa que q2 coincide con algun pi. Reiterando el argumento, obtendremos que las dos descomposicionesson iguales (salvo orden y factores invertibles).

3.2. Teoremas de descomposicion 37

3.2 Teoremas de descomposicion

El objetivo de esta seccion, es clasificar y determinar la estructura de los A-modulos finito generadossobre un dominio de ideales principales. En particular, obtendremos la clasificacion de los gruposabelianos y la clasificacion de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimension finita, comoveremos en las siguientes secciones.

Definicion 3.2.1. Sea A un anillo ıntegro y M un A-modulo. Denotemos Σ = AA−{0} y MΣ =MA−{0}. Llamaremos rango de M al numero dimΣ MΣ.

Observemos que si M = A⊕ n. . .⊕A entonces el rango de M es n.

Definicion 3.2.2. Sea A un anillo ıntegro y M un A-modulo. Llamaremos torsion de M , quedenotaremos T (M), a

T (M) = {m ∈ M : existe a ∈ A no nulo tal que am = 0}

Es facil comprobar que T (M) coincide con el nucleo del morfismo de localizacion M → MA−{0} =MΣ, m 7→ m

1 .Se dice que un modulo M es libre de torsion si T (M) = 0.

Ejemplo 3.2.3. Consideremos el Z-modulo Z⊕ (Z/4Z).

T (Z⊕ (Z/4Z)) = {(n, m) ∈ Z⊕ (Z/4Z) | Existe r ∈ Z− {0}, tal que r(n, m)= (rn, rm) = 0} = {(0, m) | m ∈ Z/4Z} ' Z/4Z

Proposicion 3.2.4. Sea A un anillo ıntegro. Si M es un A-modulo finito generado libre de torsionentonces es un submodulo de un A-modulo libre del mismo rango.

Demostracion. Tenemos que M = 〈m1, . . . ,mn〉 y el morfismo de localizacion M ↪→ MΣ es inyectivo.Evidentemente m1

1 , . . . , mn

1 es un sistema generador del Σ-espacio vectorial MΣ. Reordenado, podemossuponer que m1

1 , . . . , mr

1 es una base del Σ-espacio vectorial MΣ, (r ≥ n). Por tanto, para cada mj

tendremos mj

1 =r∑

s=1

ajs

bjs

ms

1 . Denotemos b =∏i,j

bij . Con las notaciones obvias, tendremos el siguiente

diagrama conmutativo de morfismos inyectivos

M� � //� t

''N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

MΣ

Am1b ⊕ · · · ⊕Amr

b

?�

OO

Proposicion 3.2.5. Sea A un dominio de ideales principales. Si M es un A-modulo finito generadolibre de torsion entonces es un A-modulo libre.

Demostracion. Basta probar que los submodulos de un A-modulo libre son libres, por 3.2.4. Proce-deremos por induccion sobre el rango del modulo libre, que denotaremos L.

Si el rango de L es cero es obvio. Si el rango de L es uno entonces L ' A. Por tanto, todosubmodulo M de L es isomorfo a un ideal de A, luego M ' aA. Si a 6= 0 entonces A ' aA, b 7→ ab,luego M es libre de rango 1. Si a = 0 entonces M = 0.


Supongamos que el rango de L es n > 1. Como L ' An es facil definir una sucesion

0 → L′ → L → L′′ → 0

con L′ libre de rango 1 y L′′ libre de rango n− 1. Dado M ⊆ L consideremos el diagrama

0 // L′ // Lπ // L′′ // 0

0 // L′ ∩M //?�

OO

M //?�

OO

π(M) //?�

OO

0

de filas exactas. Por induccion L′ ∩ M y π(M) son libres de rango finito. Por tanto, como π(M)es libre, el epimorfismo M → π(M) tiene seccion y por el ejercicio 2.1.5 M = L′ ∩M ⊕ π(M). Enconclusion, M es libre.

Teorema 3.2.6 (Primer teorema de descomposicion). Sea A un dominio de ideales principalesy M un A-modulo finito generado. Se cumple

M ' T (M)⊕ (M/T (M))

donde T (M) es un modulo finito de torsion y M/T (M) es un modulo finito libre. Se cumple ademasque si M ' M ′ ⊕ L, siendo M ′ un A-modulo de torsion y L libre, entonces M ′ ' T (M) y L '(M/T (M)).

Demostracion. M/T (M) es un modulo finito libre de torsion: si m ∈ T (M/T (M)) entonces existea ∈ A no nulo tal que am = 0, luego am ∈ T (M) y existe b ∈ A no nulo tal que bam = 0, por tantom ∈ T (M) y m = 0. Por la proposicion anterior M/T (M) es un modulo libre. El epimorfismo de pasoal cociente M → M/T (M) tiene seccion, porque M/T (M) es libre, luego M ' T (M)⊕ (M/T (M)).

Si M ' M ′ ⊕ L, entonces T (M) ' T (M ′ ⊕ L) = T (M ′) ⊕ T (L) = M ′. Luego (M/T (M)) '(M ′ ⊕ L)/M ′ = L. Hemos concluido.

Observemos que MA−{0} = (M/T (M))A−{0}. Por tanto, el rango de M/T (M) es el de M . Asıpues, en el teorema anterior M/T (M) es un modulo libre de rango el de M .

Hemos reducido el problema de la clasificacion de los modulos finitos sobre dominios de idealesprincipales, a la clasificacion de los modulos finitos de torsion. Si M es un modulo finito generadode torsion, entonces Anul(M) 6= 0. En efecto, si M = 〈m1, . . . ,mn〉, y ai ∈ A − {0} cumplen queaimi = 0, entonces 0 6= a1 · · · an ∈ Anul(M).

Lema 3.2.7. Sea M un A-modulo anulado por pq, siendo p y q primos entre sı. Entonces Mdescompone en suma directa de un modulo anulado por p y otro submodulo anulado por q, en concreto

M = Ker p⊕Ker q

donde definimos p : M → M , m 7→ pm q : M → M , m 7→ qm.

Demostracion. De acuerdo con la identidad de Bezout existen λ, µ ∈ A tales que

λp + µq = 1

Por tanto, cada m ∈ M cumple λpm+µqm = m, donde λpm ∈ Ker q y µqm ∈ Ker p. Por consiguienteM = Ker p + Ker q.

3.2. Teoremas de descomposicion 39

Solo nos falta probar que Ker p ∩ Ker q = 0. Si m ∈ Ker p ∩ Ker q entonces m = λpm + µqm =0 + 0 = 0.

Teorema 3.2.8 (Segundo teorema de descomposicion). Sea M un A-modulo de ideal anuladoraA y a = pn1

1 · · · pnss la descomposicion de a en factores irreducibles. Entonces M descompone de

modo unico en suma directa de submodulos Mi de anuladores respectivos pnii A, en concreto

M = Ker pn11 ⊕ · · · ⊕Ker pns

s

Demostracion. Por el lema anterior,

M = Ker pn11 ⊕Ker(pn2

2 · · · pnss ) = Ker pn1

1 ⊕ · · · ⊕Ker pnss

Como el ideal anulador de una suma directa es el mınimo comun multiplo de los anuladores delos sumandos, tendremos que si p

n′ii A son los anuladores de los Ker pni

i , entonces el anulador de M esp

n′11 · · · pn′s

s A. Por tanto, pnii = p

n′ii y tenemos que efectivamente el ideal anulador de Ker pni

i es pnii .

Obviamente, si M = M1 ⊕ · · · ⊕ Ms, con Mi de anulador pnii , entonces Mi ⊆ Ker pni

i y por tantoMi = Ker pni

i .

Si M es un A-modulo anulado por mnx entonces M es un A/mn

x-modulo. Si a /∈ mx entonces a

es invertible en A/mnx , y por tanto, el morfismo M

a·=a·−→ M es un isomorfismo. En consecuencia,M = Mx y es un Ax-modulo. En particular, (A/mn

x) = (A/mnx)x = Ax/(mn

xAx). Por otra parte,si x 6= y ∈ Spec A, entonces My = 0. Por tanto, si M es un A-modulo finito generado de torsion,entonces

Mx = (Ker pn11 ⊕ · · · ⊕Ker pns

s )x ={

0 si mx 6= (pi), para todo iKer pni

i si mx = (pi)

Luego si {x1, . . . , xr} son los puntos cerrados del soporte de M , M = Mx1 ⊕ · · · ⊕Mxr .

Proposicion 3.2.9. Sea A un dominio de ideales principales local, de ideal maximal m = (p). Seaφ : Am → An un morfismo de A-modulos. Se cumple que existen bases {e1, . . . , em}, {e′1, . . . , e′n} enAm y An, de modo que φ(ei) = λie

′i.

Demostracion. Sea (aij) la matriz asociada a φ, en las bases estandar {u1, . . . , um}, {u′1, . . . , u′n} deAm y An. Si en vez de {u1, . . . , um}, consideramos la base que se obtiene permutando dos vectoresde {u1, . . . , um}, la matriz de φ en las nuevas bases, se obtiene permutando las correspondientescolumnas de la matriz (aij). Igualmente, si permutamos dos vectores de {u′1, . . . , u′n}, la matriz de φse obtiene permutando las correspondientes filas de (aij). Si en vez de {u1, . . . , um}, consideramos la

base {u1, . . . ,i

ui − ajuj , . . . , um}, la matriz de φ en las nuevas bases, se obtiene cambiando la columnai, Ci de la matriz (aij) por la columna Ci − ajCj . Si en vez de {u′1, . . . , u′m}, consideramos la base

{u′1, . . . ,i

u′i − aju′j , . . . , u

′n}, la matriz de φ en las nuevas bases, se obtiene cambiando la fila j, Fj de

la matriz (aij) por la fila Fj + ajFi.Este tipo de transformaciones de la matriz (aij) (o equivalentemente de las bases {ui}, {u′i})

las denominaremos transformaciones elementales. Vamos a probar que mediante transformacioneselementales la matriz de φ es “diagonal”, es decir, φ(ei) = λie

′i, para todo i.


Dado a ∈ A, tendremos que a = pi · b, con b no divisible por p, es decir, b /∈ m = (p), luego binvertible. Por tanto, (a) = (pi). Sea pi el maximo comun divisor de todos los aij . Existe un ars,tal que (ars) = (pi). Por tanto, ars divide a todos los coeficientes aij . Permutando filas y columnaspodemos suponer que r = 1 y s = 1. Transformando las columnas Ci por Ci − a1i

a11C1 para i > 1, y

posteriormente las filas Fi por Fi − ai1a11

F1, obtendremos la matriz

a11 0 . . . 00... bij

0

Procediendo del mismo modo reiteradamente, con la matriz (bij), “diagonalizaremos” φ.

Teorema 3.2.10 (Tercer teorema de descomposicion). Sea A un dominio de ideales principalesy M un A-modulo finito generado, de ideal anulador pnA, siendo p ∈ A irreducible. Se cumple que

M ' A/pn1A⊕ · · · ⊕A/pnrA

con ni ≤ n, determinados unıvocamente por M .

Demostracion. Podemos suponer que A es local, de ideal maximal m = (p). Consideremos un epi-morfismo π : An → M . Por ser Kerπ submodulo de un modulo libre, es libre, digamos Am = Ker π.Existe, pues, una sucesion exacta

Am φ→ An → M → 0

y M = Cokerφ. Por la proposicion anterior, existen bases {e1, . . . , em}, {e′1, . . . , e′n} de Am y An, demodo que φ(ei) = λie

′i, para todo i. Luego,

M = Cokerφ = [Ae1⊕· · ·⊕Aen]/[(λ1)e1⊕. . . (λm)em⊕0⊕· · ·⊕0] = A/(λ1)⊕· · ·⊕A/(λm)⊕A⊕· · ·⊕A

y facilmente concluimos.Veamos la unicidad de los ni. Reordenando tenemos

M = (A/pnA)mn ⊕ (A/pn−1A)mn−1 ⊕ · · · ⊕ (A/pA)m1

con mi ≥ 0. Tenemos que ver que M determina los mi.Sea pi : M → M , m 7→ pi ·m. Si M = A/prA entonces Ker pi = (pr−i), para i ≤ r, y Ker pi = (1),

para i ≥ r. Por tanto, Ker pi/(Ker pi−1 +p ·Ker pi+1) = 0 si i 6= r y Ker pr/(Ker pr−1 +p ·Ker pr+1) =〈1〉 (que es un A/pA espacio vectorial de dimension 1).

Ahora en general, mi = dimA/pA Ker pi/(Ker pi−1 + p ·Ker pi+1).

Teorema 3.2.11 (de clasificacion). Dado un A-modulo M finito generado, existe un isomorfismode A-modulos

M ' (A⊕ r. . .⊕A)⊕ (⊕i,j

A/pni,j

i A)

donde los pi,j ∈ A son irreducibles y r, ni,j y pi estan unıvocamente determinados por M .

Demostracion. Es un consecuencia directa de los tres teoremas de descomposicion.

3.3. Clasificacion de los grupos abelianos finito generados 41

Definicion 3.2.12. A las potencias pni,j

i del teorema de clasificacion se les denomina divisores ele-mentales de M .

Corolario 3.2.13. Dos modulos finito generados son isomorfos si y solo si tienen el mismo rango ylos mismos divisores elementales.

Ejercicio 3.2.14. Dos modulos finito generados sobre un dominio de ideales principales son isomorfossi y solo si son localemente isomorfos.

Ejercicio 3.2.15. Probar que en el caso de que r = 0 entonces Anul(M) = m.c.m.{pni,j

i }i,jA.

Demos, por razones practicas, la siguiente proposicion.

Proposicion 3.2.16. Sea M un A-modulo finito generado de torsion. Sean mijk ∈ M tales quelas clases de {mijk}k sean una base del A/piA-espacio vectorial Ker pj

i/ Ker pj−1i + pi · Ker pj+1

i . Secumple que

M = ⊕i,j,k

A/pjiA ·mijk

Demostracion. El morfismo natural φ : ⊕i,j,k

(A/pjiA) ·mijk → M , φ(mijk) = mijk, es un epimorfismo:

Basta verlo localmente, por lo que podemos suponer que M = Ker pni . Por Nakayama, basta ver que

φ : ⊕i,j,k

(A/pjiA) · mijk → M/pi · M es epiyectivo. Tenemos que 〈mi1k〉k = Ker pi, luego 〈mi1k〉k +

〈mi2k〉k = Ker p2i , etc.

Por ultimo, M y ⊕i,j,k

A/pjiA·mijk tienen los mismos divisores elementales (repasese la demostracion

de la unicidad de los divisores elementales), luego son isomorfos y tienen la misma longitud. Por tanto,el epimorfismo φ es un isomorfismo.

3.3 Clasificacion de los grupos abelianos finito generados

Dado un grupo abeliano G tiene de modo natural estructura de Z-modulo: La suma considerada esla suma del grupo abeliano y el producto por escalares se define

n · g =

g + n. . . + g si n ∈ N+

(−g) + −n. . . + (−g) si n /∈ N0 si n = 0

Recıprocamente, todo Z-modulo es en particular un grupo abeliano. Ası pues, hablar de gruposabelianos o de Z-modulos es solo una diferencia en la terminologıa usada.

Ası por ejemplo, un grupo abeliano es finito generado si y solo si es finito generado como Z-modulo.

Teorema 3.3.1 (de clasificacion). Sea G un grupo abeliano finito generado. Existe un isomorfismode grupos

G ' (Z⊕ r. . .⊕ Z)⊕ (⊕i,jZ/p

ni,j

i Z)

con pi ∈ Z primos, y r, ni,j y pi determinados.En particular, todo grupo abeliano finito generado es suma directa de grupos cıclicos.


En el caso particular de que G sea un grupo abeliano finito tendremos que

G ' ⊕i,jZ/p

ni,j

i Z

Corolario 3.3.2. Dos grupos abelianos finito generados son isomorfos si y solo si tienen el mismorango y los mismos divisores elementales.

Ejercicio 3.3.3. Probar que Z/4Z× Z/4Z 6' Z/4Z× Z/2Z× Z/2Z

3.4 Clasificacion de los endomorfismos de un espacio vectorial

Un endomorfismo T : E → E de un k-espacio vectorial E, induce una estructura de k[x]-modulos enE del siguiente modo

p(x) · e = p(T )(e)

en particular x ·e = T (e). Recıprocamente, si E es un k[x]-modulo, tenemos el endomorfismo Ex·→ E,

e 7→ x · e. Cuando pensemos E con la estructura de k[x]-modulo inducida por el endomorfismo T , loescribiremos ET .

Definicion 3.4.1. Dos endomorfismos T, T ′ de E se dicen que son equivalentes si existe un auto-morfismo lineal τ de E tal que T ′ = τ ◦ T ◦ τ−1. Esta igualdad significa la conmutatividad delcuadrado

ET //

τ

²²

E

τ

²²E

T ′ // E

Proposicion 3.4.2. Dos endomorfismos T, T ′ de un espacio vectorial son equivalentes si y solo siexisten una base para T y otra base para T ′ en las que que T y T ′ tienen la misma matriz.

Demostracion. El endomorfismo τ es precisamente el que manda una base a la otra.

Proposicion 3.4.3. Dos endomorfismos T, T ′ de un espacio vectorial son equivalentes si y solo siinducen estructuras de k[x]-modulos isomorfas.

Demostracion. Si T, T ′ son equivalentes existe un automorfismo lineal τ tal que τ ◦T = T ′◦τ . Veamosque τ : ET → ET ′ es un isomorfismo de k[x]-modulos:

τ(x · e) = τ(T (e)) = T ′(τ(e)) = x · τ(e)

Reiterativamente, probamos que τ(xi · e) = τ(T i(e)) = T ′i(τ(e)) = xi · τ(e) y por linealidad queτ(p(x) · e) = p(x) · τ(e).

Para el recıproco se razona de modo similar.

Si T es un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita, entonces es un k[x]-modulofinito, y el rango de ET ha de ser cero, porque la dimension de k[x] sobre k es infinita.

Teorema 3.4.4. Dos endomorfismos de un espacio vectorial de dimension finita son equivalentes siy solo si poseen los mismos divisores elementales.

3.4. Clasificacion de los endomorfismos lineales 43

3.4.1 Matrices de Jordan

1. Caso de un cuerpo k algebraicamente cerrado

Lema 3.4.5. Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio de grado n, entonces 1, x, . . . , xn−1 es una base dek[x]/(p(x)).

Demostracion. Escribamos p(x) = anxn + · · ·+ a0. Veamos que 1, x, . . . , xn−1 son linealmente inde-

pendientes: sin−1∑i=0

λixi = 0, con λi ∈ k, entonces

n−1∑i=0

λixi = ˙p(x). Ahora bien, el grado del termino

de la izquierda de la igualdad es menor que n, mientras que el de la derecha es mayor o igual que n,salvo que sea cero, ası ha de ser y por tanto λi = 0 para todo i.

Veamos que 1, x, . . . , xn−1 son generadores: Escribamos p(x) = anxn + · · · + a0. Tenemos 0 =p(x) = anxn + · · ·+ a0, por tanto

xn = −1an

(an−1xn−1 + · · ·+ a0) ∈ 〈1, x, . . . , xn−1〉

xn+1 = −xan

(an−1xn−1 + · · ·+ a0) ∈ 〈1, x, . . . , xn−1, xn〉 = 〈1, x, . . . , xn−1〉

etc.

Lema 3.4.6. {1, x− λ, . . . , (x− λ)n−1} es una base de k[x]/((x− λ)n).

Demostracion. Sabemos que las clases 1, y, . . . , yn−1 forman una base de k[y]/(yn). Haciendo elcambio y = x− λ concluimos.

Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial E. Supongamos que ET ' k[x]/((x − λ)n).Tomemos la base {ej = (x− λ)

j−1 | 0 ≤ j ≤ n− 1}. Se tiene

T (ej) = x · (x− λ)j−1

= (x− λ) · (x− λ)j−1

+ λ(x− λ)j−1

= ej+1 + λej

Por lo tanto, la matriz de T vale

λ1 λ

. . . . . .1 λ

En general, la descomposicion de ET sera

ET = ⊕i,j

k[x]/((x− λi)nij )

(no hay sumandos de la forma k[x] porque E es de dimension finita). Tomando una base en cadasumando k[x]/((x−λi)nij ), como acabamos de hacer, obtendremos una base de E en la que la matrizde T es de la forma llamada de Jordan:

(B11). . .

(Bij). . .


siendo (Bij) la siguiente matriz nij × nij

(Bij) =

λi

1 λi

. . . . . .1 λi

2. Caso del cuerpo R

Lema 3.4.7. Sea E un espacio vectorial sobre C, de base {e1, . . . , en}. Entonces {e1, ie1, . . . , en, ien}es una base de E como R espacio vectorial.

Demostracion. C = R1⊕ Ri, por tanto

E = Ce1 ⊕ · · · ⊕ Cen = (Re1 ⊕ Rie1)⊕ · · · ⊕ (Ren ⊕ Rien)

Lema 3.4.8. Sea E un espacio vectorial sobre C, de base {e1, . . . , en}. Sea T : E → E un endo-morfismo C-lineal, cuya matriz asociada es (aij). Escribamos aij = bij + b′iji. Entonces T es unendomorfismo R-lineal cuya matriz en la base {e1, ie1, . . . , en, ien} es

(a11) . . . (a1n)(aij)

(a1n) . . . (ann)

siendo (aij) =(

bij −b′ijb′ij bij

), es decir, (aij) es la matriz de multiplicar por aij en C.

Demostracion. Solo es observar que

T (ei) =∑j

aijei =∑j

(bijei + b′ijiei)

T (iei) =∑j

aijiei =∑j

(−b′ijei + bijiei)

Lema 3.4.9. Sea α ∈ C− R. Existe un isomorfismo de R[x]-modulos

R[x]/((x− α)n(x− α)n) = C[x]/((x− α)n)

Por tanto, multiplicar por x en el termino de la izquierda de la igualdad es multiplicar por x en eltermino de la derecha y aquı es un endomorfismo C-lineal.

Demostracion. Ambos modulos son R-espacios vectoriales de dimension 2n. Sea 〈1〉 el R[x]-submodulode C[x]/((x− α)n) generado por la clase 1. Determinemos el anulador de 1: Por una parte, es claroque (x−α)n(x− α)n es un polinomio con coeficientes reales que anula a 1; por otra parte, el anuladordebera ser un multiplo de (x−α)n. Dado que todo polinomio con coeficientes reales que tiene una raızcompleja tiene tambien la conjugada (con igual multiplicidad) se concluye que el polinomio anuladorde 1 es (x− α)n(x− α)n.

3.4. Clasificacion de los endomorfismos lineales 45

Se tiene entonces una inclusion

R[x]/((x− α)n(x− α)n) = 〈1〉 ⊆ C[x]/((x− α)n)

y como ambos R-espacios vectoriales son de la misma dimension, se concluye que la inclusion anteriores una igualdad.

Los polinomios irreducibles de R[x] son x− λ, (λ ∈ R) y (x− α)(x− α), con α ∈ C− R.Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial real E.Supongamos que ET ' R[x]/((x−α)n(x−α)n) = C[x]/((x−α)n). Multiplicar por x en C[x]/((x−

α)n) es un endomorfismo C-lineal, cuya matriz asociada en la base, sobre C, 1, (x− α), . . . , (x− α)n−1

es

α1 α

. . . . . .1 α

por tanto, en la base {ej = (x− α)j−1, e′j = i(x− α)j−1} la matriz asociada a T es

(α)(1) (α)

. . . . . .(1) (α)

=

(b −b′

b′ b

)

(1 00 1

) (b −b′

b′ b

)

. . . . . .(1 00 1

) (b −b′

b′ b

)

siendo α = b + b′i.

Nota: Si en R[x]/((x − α)n(x − α)n) consideramos la base {ej = (x − α)j−1, e′j = i(x − α)j−1},donde i = q(x) cumple que q(x)

2= −1 (y escribimos α = b+ b′q(x)), entonces la matriz asociada a T

es la anterior. Explıcitamente, como es tedioso comprobar, puede tomarse q(x) = y ·n−1∑i=0

ai(y2 + 1)i,

con y = x−bb′ , a0 = 1, ar = 1

2 − 12

∑i+j=ri,j<r

aiaj .

En el caso general, la descomposicion del R-espacio vectorial E de dimension finita sera

ET = ⊕i,jR[x]/(pi(x)nij )

donde los pi(x) son irreducibles y por lo tanto son de la forma pi(x) = x − λi o bien pi(x) =(x− αi)(x− αi), con αi = bi + b′ii (b′i 6= 0).

Tomando como antes una base en cada sumando R[x]/(pi(x)nij ), obtendremos una base de E enla que la matriz de T es

(B11). . .

(Bij). . .


donde (Bij) es la matriz:Si pi(x) = x− λi entonces

(Bij) =

λi

1 λi

. . . . . .1 λi

Si pi(x) = (x− αi)(x− αi) entonces

(Bij) =

(bi −b′ib′i bi

)

(1 00 1

) (bi −b′ib′i bi

)

. . . . . .(1 00 1

) (bi −b′ib′i bi

)

3.5 Factores invariantes

Consideremos una presentacion de un A-modulo M finito generado, es decir, una sucesion exacta

Am ψ−→ An −→ M −→ 0

Consideremos sendas bases {e′1, . . . , e′m} y {e1, . . . , en} de Am y An. Escribamos ψ(e′i) =∑

j aijej ,ası que (aij) es la matriz de ψ. Definimos entonces los siguientes ideales:

Definicion 3.5.1. Se llama i-esimo ideal de Fitting de M al ideal Fi(M) generado por los menoresde orden n − i de la matriz de ψ. Si i > n seguiremos la convencion Fi(M) = (1) y si m < i ≤ nseguiremos la convencion Fi(M) = (0).

Veamos que los ideales de Fitting de un modulo no dependen de las bases elegidas en la presen-tacion: Consideremos otra base {e1, . . . , em} de Am y escribamos ψ(ej) =

∑i aijei, ası que la nueva

matriz de ψ es (aij). Denotemos Fi(M) y Fi(M) a los respectivos ideales i-esimos de Fitting de lasmatrices (aij) y (aij). Cada ej es combinacion lineal de la antigua base {e′1, . . . , e′m} y, por lo tanto,cada columna de (aij) es combinacion lineal de las columnas de (aij). En consecuencia, los menoresde orden n − i de (aij) son combinacion lineal de los menores de (aij), es decir, Fi(M) ⊆ Fi(M) .Por simetrıa tambien se cumple Fi(M) ⊆ Fi(M); luego en conclusion Fi(M) = Fi(M) . Si la quecambiamos es la base de An se razona de modo similar (por filas en vez de por columnas).

Dada la sucesion exacta Am ψ→ An → M → 0 y x ∈ Spec A, entonces Amx

ψx→ Anx → Mx → 0 es

exacta. La matriz asociada a ψ, es la misma que la asociada a ψx, por tanto (Fi(M))x = Fi(Mx).Notacion: Denotemos ci al generador del ideal Fi(M), es decir, ci es el maximo comun divisor

de los menores de orden n− i de la matriz de ψ. Los menores de orden n− i son combinacion linealde menores de orden n− i− 1, por tanto, ci es multiplo de ci+1.

Definicion 3.5.2. A los elementos φi = ci−1/ci se les llama factores invariantes del modulo M . Sici = ci−1 = 0 diremos que φi = 0.

3.5. Factores invariantes 47

Teorema 3.5.3 (de clasificacion. Segunda version). Los ideales de Fitting de un modulo nodependen de la presentacion finita escogida. Por tanto, los factores invariantes no dependen de lapresentacion finita escogida.

Ademas,M ' A/(φ1)⊕ · · · ⊕A/(φn)

Luego, dos A-modulos finito generados son isomorfos si y solo si poseen los mismos factoresinvariantes.

Demostracion. Sea Am ψ→ An → M → 0 una sucesion exacta. Dos elementos de A son iguales (salvoinvertibles) si al localizar en cada punto cerrado del espectro son iguales y dos modulos son isomorfossi lo son localmente. Por lo tanto, podemos suponer que A es un anillo local de ideal maximal m = (p).

Por 3.2.9 existen bases de Am y An de modo que correspondiente matriz de ψ es

pn1

. . .s

pns

1. . .

s′

10 0...

. . .r 0...

...0 0

Reordenado la base de Am, podemos suponer que pn1 ≥ · · · ≥ pns .Ahora ya tenemos que M = Ar ⊕ A/(pn

1 ) ⊕ · · · ⊕ A/(pns). Por tanto, r es el rango de M y pni

son los divisores elementales de M . Es una sencilla comprobacion el ver que ci = 0 para i < r,ci = pns · · · pni−r+1 , para r ≤ i < r + s, ci = 1, para i ≥ r + s. Tenemos calculados los ideales deFitting, en terminos del rango y los divisores elementales de M , por tanto, no dependen de ψ. Porultimo, φi = 0 para i ≤ r, φi = pni−r para r < i ≤ r + s, y φi = 1 para i > r + s. Ası pues,

M ' A/(φ1)⊕ · · · ⊕A/(φn)

Observacion 3.5.4. Observemos, por el calculo efectuado en la demostracion del teorema anterior, queφi es multiplo de φi+1. Por tanto, (φ1) es el ideal anulador de M .

Teorema 3.5.5 (de clasificacion de endomorfismos). Dos endomorfismos de un k-espacio vec-torial de dimension finita E son equivalentes si y solo si poseen los mismos factores invariantes.

Sea E un k-espacio vectorial de dimension n. Consideremos un endomorfismo T y la correspon-diente estructura de k[x]-modulo sobre E. Sea (λij) la matriz de T en una base {e1, . . . , en} de E.Vamos a determinar los factores invariantes de T a partir de su matriz.


Sea E[x] el conjunto de polinomios con coeficientes en E. E[x] es k[x]-modulo, (∑i

aixi)∗(∑

j

e′jxj) =

∑i,j

aie′jx

i+j , y resulta ser libre de base {e1, . . . , en}. Consideremos el epimorfismo de k[x]-modulos

π : E[x] → E, π(∑i

e′ixi) =

∑i

xie′i. Obviamente el k[x]-modulo 〈ex − xe | e ∈ E〉k[x] esta incluido en

el nucleo de π. Veamos que coinciden:En E[x]/〈ex − xe | e ∈ E〉 se verifica que x ∗ e = ex = xe, luego exn = xn ∗ e = xne. Por tanto,

el morfismo de k-espacios vectoriales Ei→ E[x]/〈ex − xe | e ∈ E〉, e 7→ e es epiyectivo. Como la

composicionE

i→ E[x]/〈ex− xe | e ∈ E〉 π→ E

es el morfismo identidad, se deduce que E[x]/〈ex− xe | e ∈ E〉 = E.Ası pues, tenemos la sucesion exacta de k[x]-modulos

E[x](x∗−x·)→ E[x] π→ E → 0

e 7→ ex− xe

Por lo tanto, la sucesion anterior es una presentacion de ET como k[x]-modulo. La matriz delmorfismo (x ∗ −x·) es xId− (λij). Luego

Teorema 3.5.6. Sea (λij) la matriz n×n de un endomorfismo T . Sea ci(x) el maximo comun divisorde los menores de orden n− i de la matriz xId− (λij) . Se verifica

ci(x) = φi+1(x) · · ·φn(x)φi(x) = ci−1(x)/ci(x)

siendo φ1(x), . . . , φn(x) los factores invariantes de T .

Observaciones:a) El polinomio c0(x) = det

(xId−(λij)

)se llama polinomio caracterıstico de T . Segun el teorema

anterior, el polinomio caracterıstico es igual al producto de los factores invariantes. Ademas comotodos los factores invariantes dividen al primet factor invariante, φ1 (que es el polinomio anulador),tenemos que el polinomio caracterıstico tiene las mismas raıces salvo multiplicidades que el polinomioanulador.

b) Un caso particular es el Teorema de Hamilton-Cayley:

φ1(x) = c0(x)/c1(x)

es decir, el polinomio anulador de T es igual al cociente del polinomio caracterıstico por el maximocomun divisor de los menores de orden n− 1 de la matriz xId− (λij) .

3.6 Problemas

1. Sea A un dominio de ideales principales. Si aA ∩ bA = cA, pruebese que c es el mınimo comunmultiplo de a y b.

2. Sea A un dominio de ideales principales. Sean a = pn11 · · · pnr

r , b = pm11 · · · pmr

r con ni,mj ≥ 0,pi irreducibles y pi primo con pj , para i 6= j. Calculese el mınimo comun multiplo y maximocomun divisor de de a y b.

3.6. Problemas 49

3. Sea A el C-espacio vectorial de todas las funciones reales a valores complejos infinitamentediferenciables. Se designa por D el operador derivada. Es claro que D es un endomorfismo Clineal de A.

(a) Probar la formula de conmutacion

P (D)(eαx · y) = eαxP (D + α)y

para y ∈ A y α ∈ C.

(b) Probar que KerDr+1 = {Polinomios de grado menor o igual que r}. Calcular Ker(D −α)r+1. Si p(x) = (x− α1)n1 · · · (x− αr)nr , calcular Ker p(D).

(c) Resolver la ecuacion diferenciales: y′′′′ − 2y′′′ + 2y′′ = 0, y′′ + y = 0.

4. Con las notaciones del ejercicio anterior sea la ecuacion P (D)y = z, con z ∈ A. Supongamosque existe un polinomio Q(x) primo con P (x) de modo que Q(D)z = 0. Pruebese que existe unpolinomio R(x), de modo que R(D)z es una solucion particular de la ecuacion dada. Resolverla ecuacion y(n − y = xn.

5. Dada la ecuacion diferencial P (D)y = z, escribamos y = 1P (D)z. Si P (x) = (x − α1)n1 · · · (x −

αr)nr , expresar y en terminos de primitivas (reiteradas) de sumas de productos de funcionesexponenciales y derivadas de z (usese la descomposicion de fracciones racionales en fraccionessimples y la formula de conmutacion). Resolver y′′ − y = senx.

6. Sea Suc(C) = {(an)} el C-espacio vectorial de las sucesiones de numeros complejos. Sea el“operador siguiente” ∇ : Suc(C) → Suc(C) la aplicacion C-lineal definida por ∇(an) = (a′n),donde a′n = an+1. Sea ∆ = ∇− Id, el “operador diferencia”.

(a) Probar las formulas de conmutacion

P (∇)((αn) · (an)) = (αn) · P (α∇)(an)P (∇− α)((αn) · (an)) = (αn) · P (α ·∆)(an)

(b) Demostrar que las sucesiones {(1), (n), . . . , (nr)} son una base de Ker∆r+1. CalcularKer(∇− α)r.

(c) Resolver la ecuacion an+2 = an+1 + an, con las condiciones iniciales a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2(sucesion de Fibonacci).

7. Dada la ecuacion inhomogenea p(∇)(an) = (bn), supongase que existe un polinomio q(x), primocon p(x), tal que q(∇)(bn) = 0. Pruebese que existe un polinomio r(x) tal que r(∇)(an) es unasolucion particular de la ecuacion dada.

Estudiese el caso en que p(x) y q(x) no son primos entre sı. Resolver an+2 + 2an+1 − 8an = 2n.

8. Sea A un dominio de ideales principales y M un A-modulo de ideal anulador no nulo a · A.Probar que si a′ es un elemento propio que divide a a, entonces Ker a′· 6= 0, donde a′· es elendomorfismo de M , definido por (a′·)(m) = am.

9. Sean p y q numeros primos distintos. Calcular el numero de grupos abelianos finitos desisomorfosde orden p2q.


10. Pruebese que un grupo abeliano finito que no sea cıclico contiene un subgrupo isomorfo aZ/pZ× Z/pZ, para un cierto entero primo p.

11. Sea G un grupo abeliano finito. Demostrar que G es cıclico si y solo si para cada n divisor delorden de G, existe un unico subgrupo de G de orden n.

12. Sea G un subgrupo discreto del grupo aditivo de Rn. Pruebese que existe un numero naturalr ≤ n, tal que G esta generado como Z-modulo por r vectores linealmente independientes sobreR.

13. Clasifıquese el endomorfismo “multiplicar por x” sobre el espacio

E = k[x]/(x)⊕ k[x]/(x3)⊕ k[x]/(x5)

14. Clasifıquense los endomorfismos nilpotentes de un espacio vectorial de dimension 3. Problemaanalogo para espacios de dimension 4 y 5.

15. Clasifıquense los endomorfismos T de un espacio vectorial real E, que cumplan

(a) Anulador de T = (x− 1)2, dim E = 5.

(b) Anulador de T = (x2 + 4)2(x + 8)2, dim E = 8.

16. Sea E el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menorque 6, y sea D el operador derivada sobre E. Clasifıquese el endomorfismo T = D2.

17. Probar que un grupo abeliano finito generado es cıclico si y solo si tiene un unico factor invariante.

18. Clasificar sobre el cuerpo racional los endomorfismos

−1 0 1 00 0 2 11 2 0 00 1 0 1

−1 0 1 02 −1 0 11 0 −1 00 1 2 −1

19. Sean T, T ′ : E → E dos endomorfismos lineales de un espacio vectorial de dimension finita, demodo que en cierta base la matriz de T es la transpuesta de la de T ′. Probar que T y T ′ sonendomorfismos equivalentes.

20. Sea A un anillo euclıdeo y (aij) una matriz con coeficientes aij ∈ A. Sustituyendo de modoconveniente y sucesivo la fila Fi por la fila Fi + bjFj , i 6= j, bj ∈ A (i, j, bj arbitrarios), demos-trar que la matriz (aij) es triangulable. Si admitimos, ademas, las mismas transformaciones“elementales” con las columnas, demostrar que (aij) es diagonalizable. Resolver el sistema deecuaciones diofanticas

7x + 5y = 15x + 3y = 3

21. Clasificar los Z-modulos (Z× Z)/〈(7, 5), (5, 3)〉 y (Z× Z× Z)/〈(12, 30, 24), (4, 8, 6), (6, 4, 8)〉.

3.6. Problemas 51

22. Mediante transformaciones elementales calcular los factores invariantes del endomorfismo de R3

de matriz

0 −1 00 1 −21 1 3

Calcular e1, e2 ∈ R3 de modo que R3 = (k[x]/(φ1))e1 ⊕ (k[x]/(φ2))e2.

23. Probar que si el polinomio caracterıstico de un endomorfismo lineal tiene todas sus raıces dis-tintas entonces coincide con el primer factor invariante.

24. Sea T : E → E un endomorfismo lineal de un espacio vectorial de dimension finita. Probar quela condicion necesaria y suficiente para que el endomorfismo p(T ) sea invertible es que p(x) ycT (x) sean primos entre sı.

25. Sea T : E → E un endomorfismo lineal de un espacio vectorial de dimension finita. Sea E′ ⊆ Eun subespacio estable por T . Denotemos T : E/E′ → E/E′, T (e) = T (e), el endomorfismoinducido por T en E/E′. Probar que

cT (x) = cT|E′ (x) · cT (x)

26. Sea E un C-espacio vectorial de dimension n y T un endomorfismo de E. Sea cT (x) =n∏

i=1

(x−αi)

la descomposicion en factores lineales del polinomio caracterıstico de T . Pruebese que si p(x)es un polinomio con coeficientes en C, entonces

cp(T )(x) =n∏

i=1

(x− p(αi))

En particular, se tiene que tr(p(T )) =n∑

i=1

p(αi), det(p(T )) =n∏

i=1

p(αi).

27. Sea E un C-espacio vectorial de dimension finita. Sea T : E → E un endomorfismo C-lineal deE. Demostrar que si cT (x) es el polinomio caracterıstico de T considerado como endomorfismoC-lineal, entonces el polinomio caracterıstico de T considerado como endomorfismo R-lineal escT (x) · cT (x) (donde cT (x) es el conjugado de cT (x)).

28. (a) Sea X ′ = AX un sistema homogeneo de ecuaciones diferenciales, siendo A una matrizcuadrada de coeficientes constantes. Probar que eAt · C son las soluciones del sistema,siendo C una matriz columna de constantes.

(b) Sea X ′ = AX + B(t) un sistema lineal de ecuaciones diferenciales. Calcular la matrizcolumna C(t) tal que eAt · C(t) sea una solucion del sistema.

29. Resuelvanse los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales

dxdt = x− 3y + 3z dx

dt = 3x− y dxdt = −11x− 4y

dydt = −2x− 6y + 13z dy

dt = x + y dydt = 15x + 6y

dzdt = −x− 4y + 8z dy

dt = 3x + 5z − 3ududt = 4x− y + 3z − u


30. Sea P (x) ∈ R[x] un polinomio de grado n. Probar que la ecuacion diferencial P (D)y = f(x)es equivalente a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes deprimer orden de n variables.

31. (a) Sea P (x) ∈ R[x] un polinomio monico de grado n. Sean s1(x), . . . , sn(x) soluciones, lineal-mente independientes, de la ecuacion diferencial P (D)y = 0. Probar que si c1(x), . . . , cn(x)cumplen las ecuaciones

c1(x)′s1(x) + . . . + cn(x)′sn(x) = 0. . .c1(x)′s1(x)n−2) + . . . + cn(x)′sn(x)n−2) = 0c1(x)′s1(x)n−1) + . . . + cn(x)′sn(x)n−1) = f(x)

entonces c1(x)s1(x) + . . . + cn(x)sn(x) es una solucion particular de P (D)y = f(x).

(b) Pruebese este resultado como caso particular de 28 (b).

32. Sea A una matriz con coeficientes en k[D]. Probar que mediante las transformaciones elemen-tales, el problema de resolver los sistemas AX(t) = Y (t), se reduce al problema de resolverecuaciones P (D)f(t) = h(t).

33. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

x′′ − x + y′ = et

x′′ + 2x′ + x + y′′ = et

Capıtulo 4

Producto tensorial. Modulosproyectivos e inyectivos

4.1 Categorıas. Funtor de homorfismos

Dar una categorıa C es dar

1. Una familia arbitraria, cuyos elementos llamaremos objetos de C.2. Unos conjuntos HomC(M,N), para cada par de objetos M, N de C, cuyos elementos f llamare-

mos morfismos de M en N y denotaremos por el sımbolo f : M → N .

3. Una aplicacion

HomC(N, P )×HomC(M, N) → HomC(M, P ), (f, g) 7→ f ◦ g

para cada terna M,N,P de objetos de C. Satisfaciendose

(a) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).(b) Para cada objeto M de C, existe un morfismo IdM : M → M de modo que f ◦ IdM = f y

IdM ◦g = g para todo morfismo f : M → N y g : N → M .

Un morfismo f : M → N se dice que es un isomorfismo si existe g : N → M de modo que f◦g = IdN

y g ◦ f = IdM .

Ejemplo 4.1.1. La categorıa CConj de conjuntos es la categorıa cuyos objetos son los conjuntos ylos morfismos entre los objetos son las aplicaciones de conjuntos. La categorıa CMod de A-modulos esla categorıa cuyos objetos son los A-modulos y los morfismos entre los objetos son los morfismos demodulos.

Definicion 4.1.2. Sean C y C′ dos categorıas. Dar un funtor covariante F : CÃ C′ es asignar a cadaobjeto M de C un objeto F (M) de C′, y cada morfismo f : M → M de C un morfismo F (f) : F (M) →F (N) de C′, de modo que se verifique que F (f ◦ g) = F (f) ◦ F (g) y F (IdM ) = IdF (M).

Analogamente se definen los funtores F contravariantes, que invierten el sentido de los morfismos;es decir, asignan a cada morfismo f : M → N de C un morfismo F (f) : F (N) → F (M) de C′, de modoque verifica F (f ◦ g) = F (g) ◦ F (f) y F (IdM ) = IdF (M).

53

54 Capıtulo 4. Producto tensorial. Modulos proyectivos e inyectivos

Un morfismo f : M → M ′ induce las aplicaciones

Hom(N, M)f∗→ Hom(N, M ′), g 7→ f∗(g) =

deff ◦ g

Hom(M ′, N)f∗→ Hom(M, N), g 7→ f∗(g) =

defg ◦ f

Estamos diciendo que Hom(N,−) es un funtor covariante de C en la categorıa de los conjuntosCConj , es decir,

Hom(N,−) : C Ã CConj

M Ã Hom(N, M)f Ã f∗

(f ◦ g) Ã (f ◦ g)∗ = (f∗ ◦ g∗)

Hom(−, N) es un funtor contravariante

Hom(−, N) : C Ã CConj

M Ã Hom(M, N)f Ã f∗

(f ◦ g) Ã (f ◦ g)∗ = (g∗ ◦ f∗)

Definicion 4.1.3. Dos funtores F, F ′ : CÃC′ se dicen que son isomorfos, y escribimos Fθ' F ′, si para

cada objeto M de C tenemos isomorfismos θM : F (M) ' F ′(M), de modo que para cada morfismof : M → N el diagrama

F (M)F (f) //

θM

F (N)

θN

F ′(M)F ′(f) // F ′(N)

es conmutativo.

Proposicion 4.1.4. El funtor Hom(M,−) es isomorfo al funtor Hom(M ′,−), si y solo si M ' M ′.“Los objetos de una categorıa estan determinados por sus relaciones”

Demostracion. Veamos solo la suficiencia. Si Hom(M,−)θ' Hom(M ′,−), entonces este isomorfismo

queda determinado por θM (IdM ) = g: Dado f ∈ Hom(M, N) consideremos el diagrama

Hom(M, M)θM

f∗²²

Hom(M ′,M)

f∗²²

IdM_

f∗²²

Â

θM // g_

f∗²²

Hom(M, N)θN Hom(M ′, N) f Â

θN //____ f∗(g) = f ◦ g

Luego θN (f) = f∗(g) = f ◦ g.

4.2. Construccion del producto tensorial 55

Ası pues, si tenemos un isomorfismo Hom(M,−)θ' Hom(M ′,−) y denotamos θM (IdM ) = g y

θ−1M ′(IdM ′) = f tendremos que

IdMθMÃg

θ−1M′Ã g∗(f) = g ◦ f = IdM

IdM ′θ−1

M′Ã fθMÃ f∗(g) = f ◦ g = IdM ′

Definicion 4.1.5. Se dice que un funtor covariante F es representable si existe un objeto M , de modoque F = Hom(M,−). Se dice que un funtor contravariante F es representable si existe un objeto M ,de modo que F = Hom(−,M). En estos casos se dice que M es el representante de F .

Por la proposicion anterior sabemos que el representante de un funtor representable es unico salvoisomorfismos.

Teorema 4.1.6. La condicion necesaria y suficiente para que una sucesion de morfismos de A-modulos 0 → M ′ i→ M

p→ M ′′ sea exacta es que para todo A-modulo N sea exacta la sucesion

0 → HomA(N,M ′) i∗→ HomA(N, M)p∗→ HomA(N,M ′′)

“Se dice que HomA(N,−) es un funtor exacto por la izquierda”.

Demostracion. Es sencillo comprobar la necesidad de la condicion. En cuanto a la suficiencia, bastatomar N = A, pues para todo A-modulo M tenemos un isomorfismo natural HomA(A, M) = M ,f 7→ f(1).

Tambien se tiene el teorema “dual” del anterior:

Teorema 4.1.7. La condicion necesaria y suficiente para que una sucesion de morfismos de A-modulos M ′ i→ M

p→ M ′′ → 0 sea exacta es que para todo A-modulo N sea exacta la sucesion

0 → HomA(M ′′, N)p∗→ HomA(M, N) i∗→ HomA(M ′, N)

“Se dice que HomA(−, N) es un funtor exacto por la derecha”.

Demostracion. Es sencillo comprobar la necesidad de la condicion. Veamos la suficiencia. Sea N =M ′′/ Im p, y π : M → N la proyeccion canonica. Tenemos que p∗(π) = π ◦ p = 0, luego π = 0 y p esepiyectiva. Si tomamos ahora N = M ′′, entonces 0 = (p∗ ◦ i∗)(Id) = p ◦ i, luego Im i ⊆ Ker p. Porultimo, si N = M/ Im i y π : M → M/ Im i es la proyeccion canonica, entonces i∗(π) = π ◦ i = 0.Luego existe un morfismo f : M ′′ → N tal que f ◦ p = p∗(f) = π y concluimos que Ker p = p−1(0) ⊆(f ◦ p)−1(0) = π−1(0) = Im i.

4.2 Construccion del producto tensorial de modulos

El objetivo de esta seccion es definir el producto tensorial de dos A-modulos. Si bien se puede daruna interpretacion geometrica del producto tensorial, creemos conveniente que primero se domine esta


operacion. Queremos definir “el producto” (⊗) de elementos de M por N , cumpliendo las siguientespropiedades

(m + m′)⊗ n = m⊗ n + m′ ⊗ nm⊗ (n + n′) = m⊗ n + m⊗ n′

am⊗ n = a(m⊗ n)m⊗ an = a(m⊗ n)

Es decir, queremos definir un modulo M ⊗A N generado por elementos m ⊗ n, m ∈ M y n ∈ N ,cumpliendo las propiedades anteriores y sin mas relaciones que las generadas por las relaciones de My N y estas propiedades. Empecemos con el formalismo necesario para la construccion de M ⊗A N .

Sean M y N dos A-modulos. Consideremos el A-modulo libre A(M×N). Dado (m,n) ∈ M × N ,denotemos (m,n) = (ai)i∈M×N al elemento de A(M×N) definido por a(m′,n′) = 0 si (m′, n′) 6= (m,n)y a(m′,n′) = 1 si (m′, n′) = (m,n). Es decir, estamos identificando los elementos de M × N con labase estandar de A(M×N).

Sea R el submodulo de A(M×N) generado por los elementos de la forma

(m + m′, n)− (m,n)− (m′, n)(m,n + n′)− (m, n)− (m, n′)(am, n)− a(m,n)(m, an)− a(m,n)

Definicion 4.2.1. Llamaremos producto tensorial de M y N sobre el anillo A al A-modulo cocienteA(M×N)/R y lo denotaremos M ⊗A N . Cada clase (m,n) ∈ A(M×N)/R = M ⊗A N la denotaremosm⊗ n.

De acuerdo con la definicion de R y M ⊗A N tenemos que

(m + m′)⊗ n = m⊗ n + m′ ⊗ nm⊗ (n + n′) = m⊗ n + m⊗ n′

am⊗ n = a(m⊗ n)m⊗ an = a(m⊗ n)

propiedades que se expresan diciendo “el producto tensorial es A-bilineal”.Dado que los elementos {(m,n)}(m,n)∈M×N forman una base de A(M×N) entonces los elementos

{m ⊗ n}(m,n)∈M×N forman un sistema generador de M ⊗A N . Por las propiedades de bilinealidadrecien escritas, si {mi} y {nj} son sistemas generadores de M y N , entonces {mi⊗nj} es un sistemagenerador de M ⊗A N .

Sea P un A-modulo.

Definicion 4.2.2. Diremos que una aplicacion β : M ×N → P es A-bilineal si

β(m + m′, n) = β(m, n) + β(m′, n)β(m,n + n′) = β(m,n) + β(m,n′)β(am, n) = aβ(m,n)β(m, an) = aβ(m,n)

El conjunto de las aplicaciones A-bilineales de M×N en P se denota BilA(M, N ; P ). La condicionde que una aplicacion β : M ×N → P sea A-bilineal expresa que la aplicacion βm : N → P , βm(n) =β(m,n), es un morfismo de A-modulos para cada elemento m ∈ M . Obtenemos ası un isomorfismonatural

BilA(M,N ;P ) = HomA(M, HomA(N,P ))

El morfismo natural π : M ×N → M ⊗N , (m, n) 7→ m⊗ n, es bilineal.

4.3. Propiedades del producto tensorial 57

Teorema 4.2.3 (Propiedad universal del producto tensorial). La aplicacion

HomA(M ⊗A N, P ) = BilA(M, N ; P ), φ 7→ φ ◦ π

es un isomorfismo. Es decir, M ⊗A N es el representante del funtor BilA(M, N ;−).

Demostracion. Sea β : M ×N → P una aplicacion A-bilineal, entonces el morfismo de A-modulos

ϕ : A(M×N) → P, ϕ(∑

i

ai(mi, ni)) =∑

i

aiβ(mi, ni)

se anula sobre los generadores del submodulo R, anteriormente definido. Por la tanto, induce elmorfismo de A-modulos φ : M ⊗A N → P , m ⊗ n 7→ β(m,n). Este morfismo cumple que β = φ ◦ πy si un morfismo φ′ cumple esta igualdad entonces φ′(m ⊗ n) = β(m,n) y coincide con φ, pues loselementos m⊗ n generan M ⊗N .

Por ultimo, es una simple comprobacion ver que dado un morfismo de A-modulos φ : M ⊗N → Pentonces β = φ ◦ π es una aplicacion bilineal de M ×N en P .

Ası pues, este teorema nos dice que definir un morfismo de A-modulos φ : M ⊗N → P , es asignara cada m⊗n ∈ M⊗A N un elemento β(m⊗n) de modo que β((am+m′)⊗n) = aβ(m⊗n)+β(m′⊗n)y β(m⊗ (an + n′)) = aβ(m⊗ n) + β(m⊗ n′).

Observacion 4.2.4. Analoga construccion se puede hacerse para cualquier familia finita M1,. . . , Mn

de A-modulos, obteniendose un A-modulo M1 ⊗A · · · ⊗A Mn con una propiedad universal similar.Para definir un morfismo de A-modulos f : M1 ⊗A · · · ⊗A Mn → P , bastara definir las imagenesf(m1 ⊗ · · · ⊗mn) de modo que

f(m1 ⊗ · · · ⊗ aimi + ni ⊗ · · · ) = aif(m1 ⊗ · · · ⊗mi ⊗ · · · ) + f(m1 ⊗ · · · ⊗ ni ⊗ · · · )

4.3 Propiedades del producto tensorial

Teorema 4.3.1. Existen isomorfismos naturales

1. (M ⊗A N)⊗A P = M ⊗A N ⊗A P , (m⊗ n)⊗ p 7→ m⊗ n⊗ p.

2. M ⊗A N = N ⊗A M , m⊗ n 7→ n⊗m.

3. A⊗A M = M , a⊗m 7→ am.

4. (⊕i∈I

Mi)⊗A N = ⊕i∈I

(Mi ⊗N), (mi)i∈I ⊗ n 7→ (mi ⊗ n)i∈I .

5. M ⊗A AS = MS, m⊗ as 7→ am

s .

6. M ⊗A (A/I) = M/IM , m⊗ a 7→ am.

Demostracion. Dejamos al lector que defina los morfismos inversos. Veamos, solo, que el morfismo de1. esta bien definido: Para cada p el morfismo M⊗AN×p → M⊗A(N⊗AP ), (m⊗n)×p 7→ m⊗(n⊗p)esta bien definido. Luego tenemos un morfismo (M ⊗A N)× P → M ⊗A (N ⊗A P ), que es bilineal einduce el morfismo definido en 1.


Probemos, con otro metodo, (⊕i∈I


(Mi ⊗N):

HomA((⊕i∈I

Mi)⊗A N, P ) = HomA(⊕i∈I

Mi, HomA(N, P )) =∏

i∈I

HomA(Mi, HomA(N,P ))

=∏

i∈I

HomA(Mi ⊗A N, P ) = HomA(⊕i∈I

(Mi ⊗A N), P )

Por la unicidad del representante (4.1.4), (⊕i∈I


(Mi ⊗N).

Si f : A → B es un morfismo de anillos entonces B es de modo natural un A-modulo. Cadaelemento b ∈ B define un endomorfismo 1 ⊗ b : M ⊗A B → M ⊗A B, m ⊗ b′ 7→

defm ⊗ bb′. Podemos

definir ası, una estructura de B-modulo en M ⊗A B que viene dada por el siguiente producto

b · (∑

i

mi ⊗ bi) =∑

i

mi ⊗ bbi

Se dice que el cambio de base de M por A → B es M ⊗A B.

Notacion: Denotaremos M ⊗A B = MB y usualmente denotaremos f(a) = a.

Proposicion 4.3.2. Sean A → B y B → C morfismos de anillos y M,M ′ A-modulos y N unB-modulo. Existen isomorfismos naturales

1. MB ⊗B N = M ⊗A N , (m⊗ b)⊗ n 7→ m⊗ bn.

2. (M ⊗A M ′)⊗A B = MB ⊗B M ′B, (m⊗m′)⊗ b 7→ (m⊗ b)⊗ (m′ ⊗ 1).

3. (MB)C = MC , (i.e., (M ⊗A B)⊗B C = M ⊗A C), (m⊗ b)⊗ c 7→ m⊗ bc.

Demostracion. Defınanse los morfismos inversos.

Proposicion 4.3.3. Sea M ′ → M → M ′′ → 0 una sucesion exacta y N un A-modulo. Se cumpleque

M ′ ⊗A N → M ⊗A N → M ′′ ⊗A N → 0

es una sucesion exacta. Es decir, “−⊗A N es un funtor exacto por la derecha”.

Demostracion. Sea M · la sucesion exacta inicial. De acuerdo con 4.1.7

HomA(M ·,HomA(N, P )) = BilA(M ·, N ;P ) = HomA(M · ⊗A N,P )

es una sucesion exacta para todo A-modulo P . De nuevo 4.1.7 nos permite concluir que la sucesionM · ⊗A N es exacta.

4.4. Producto exterior 59

4.4 Producto exterior

Ahora, nuestro objetivo es definir el producto exterior de un A-modulo.

Definicion 4.4.1. Si A → B es un morfismo de anillos se dice que B es una A-algebra.

Definicion 4.4.2. Un anillo R = ⊕n∈Z

Rn diremos que es un algebra graduada, si los Rn son estables

para la suma y dados rn ∈ Rn, rm ∈ Rm entonces rn · rm ∈ Rn+m. Ademas, diremos que R es unaA-algebra graduada si R0 es una A-algebra.

Los anillos de polinomios son de modo obvio k-algebras graduadas.Dado un A-modulo M , diremos que TnM = M ⊗A

n. . .⊗A M es el producto tensorial n-esimo deM . Seguiremos las convenciones T 0M = A y T 1M = M .

Definicion 4.4.3. Diremos que T ·M =∞⊕

i=0TnM es el algebra tensorial de M .

Dados m1 ⊗ · · · ⊗mn ∈ TnM y m′1 ⊗ · · · ⊗m′

r ∈ T rM definimos

(m1 ⊗ · · · ⊗mn) · (m′1 ⊗ · · · ⊗m′

r) = m1 ⊗ · · · ⊗mn ⊗m′1 ⊗ · · · ⊗m′

r ∈ T r+nM

que extendido linealmente a T ·M , define un producto, con el que es una A-algebra graduada.

Proposicion 4.4.4. Hay un isomorfismo Tn(M ⊕M ′) = ⊕i+j=n

T iM ⊗A T jM ′ natural.

Demostracion. Es consecuencia de que el producto tensorial conmuta con la suma directa.

Consideremos en TnM el submodulo

M ′n = 〈m1 ⊗ n. . .⊗mn ∈ TnM | mi = mj para ciertos i 6= j〉

Definicion 4.4.5. Diremos que ΛnM = TnM/M ′n es el algebra exterior n-esima del A-modulo M .

Diremos que Λ·M =∞⊕

i=0ΛiM es el algebra exterior de M

Proposicion 4.4.6. Hay un isomorfismo Λn(M ⊕M ′) = ⊕i+j=n

ΛiM ⊗A ΛjM ′ natural.

Demostracion. La composicion de los morfismos Tn(M⊕M ′) → ⊕i+j=n

T iM⊗AT jM ′ → ⊕i+j=n

ΛiM⊗A

ΛjM ′ induce un morfismo Λn(M ⊕M ′) → ⊕i+j=n

ΛiM ⊗A ΛjM ′. Recıprocamente, la composicion de

los morfismos naturales ⊕i+j=n

T iM ⊗A T jM ′ → ⊕i+j=n

→ Tn(M ⊕ M ′) → Λn(M ⊕ M ′) induce el

morfismo ⊕i+j=n

ΛiM ⊗A ΛjM ′ → Λn(M ⊕ M ′). Facilmente se comprueba que estos dos morfismos

son inversos entre si.

Ejercicio 4.4.7. Probar que ΛnAn ' A.

Es claro que M ′n · T rM ⊆ M ′

n+s. Por tanto el producto que tenemos definido en T ·M , define porpaso al cociente un producto de Λ·M . Luego Λ·M es un algebra graduada.

Se suele denotar m1 ∧ · · · ∧mn a la clase de m1 ⊗ n. . .⊗mn en ΛnM y ∧ al producto que tenemosdefinido en Λ·M . Obeservemos que

0 = · · · ∧m + m′ ∧ · · · ∧m + m′ ∧ · · · = (· · · ∧m ∧ · · · ∧m′ ∧ . . . ) + (· · · ∧m′ ∧ · · · ∧m ∧ . . . )

Luego m1 ∧ · · · ∧m∧ · · · ∧m′ ∧ · · · ∧mn = −(m1 ∧ · · · ∧m′ ∧ · · · ∧m∧ · · · ∧mn). De aquı es facilconcluir que dados wn ∈ ΛnM y wr ∈ ΛrM , entonces wr ∧ wn = (−1)rswr ∧ wn.

Por tanto, Λ·M es una A-algebra graduada “anticonmutativa”.


4.5 Producto tensorial de algebras

Ahora, nuestro objetivo es definir el producto tensorial de A-algebras.Si B y C son A-algebras, el A-modulo B ⊗A C tiene tiene una estructura de A-algebra natural:

El producto es el morfismo B ⊗A C ×B ⊗A C → B ⊗A C, (b⊗ c, b′ ⊗ c′) 7→ bb′ ⊗ cc′ inducido por elcorrespondiente morfismo B ⊗A C ⊗A B ⊗A C → B ⊗A C. Con este producto B ⊗A C es un anillo ypor ultimo el morfismo A → B ⊗A C, a 7→ a⊗ 1 = 1⊗ a es un morfismo de anillos.

Definicion 4.5.1. Diremos que un morfismo de anillos f : B → C entre A-algebras, es un morfismode A-algebras si f(a) = a para todo a ∈ A.

Proposicion 4.5.2. Sean B, C y D A-algebras. Se cumple el isomorfismo

HomA−alg(B ⊗A C, D) HomA−alg(B,D)×HomA−alg(C,D)

φ Â // (φ1, φ2) φ1(b) = φ(b⊗ 1), φ2(c) = φ(1⊗ c)

φ : (b⊗ c) 7→ φ1(b)φ2(c) (φ1, φ2)Âoo

Consideremos el sistema de ecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0. . .pr(x1, . . . , xn) = 0

Sea I = (p1(x1, . . . , xn), . . . , pr(x1, . . . , xn)) y llamemos A = C[x1, . . . , xn]/I el anillo de funcionesde la variedad de soluciones del sistema de ecuaciones anterior. Observemos que HomC−alg(A,C) seidentifica con los puntos de la variedad de soluciones del sistema de ecuaciones anterior. Ya veremosque los puntos cerrados de Spec A se identifica con la variedad de soluciones del sistema de ecuacionesanterior, luego con HomC−alg(A,C).

Dada otra variedad de ecuaciones

p′1(x1, . . . , xn) = 0. . .p′s(x1, . . . , xn) = 0

denotemos I ′ = (p′1(x1, . . . , xn), . . . , p′s(x1, . . . , xn)) y A′ = C[x1, . . . , xn]/I ′.La proposicion anterior nos dice que HomC−alg(A,C)×HomC−alg(A′,C) = HomC−alg(A⊗CA′,C).

Este hecho justificara la definicion Spec A×Spec A′ =def

Spec A⊗CA′. Ası, se interpretara el producto

tensorial de anillos “de funciones de variedades” como el anillo del producto de las variedades.

Proposicion 4.5.3. Sean B y C A-algebras. Se cumple el isomorfismo

HomA(B, C) HomC(BC , C)

φ Â // φ′ : φ′(b⊗ c) = φ(b) · c

φ′|B φ′Âoo

4.6. Modulos planos y proyectivos 61

Ejercicio 4.5.4. 1. Con las notaciones obvias, pruebese que

HomA−alg grad.(T ·M,⊕iBi) = HomA(M, B0)

Pruebese tambien que HomA−alg grad. anti.(Λ·M,⊕iBi) = HomA(M,B0).

2. Probar que T ·M ⊗A T ·M ′ = T ·(M ⊕M ′) y que Λ·M ⊗A Λ·M ′ = Λ·(M ⊕M ′), a partir de lasproposiciones 4.4.4, 4.4.6, o de 1.

4.6 Modulos planos y proyectivos

Definicion 4.6.1. Diremos que un A-modulo P es plano si para toda sucesion exacta 0 → N ′ →N → N ′′ → 0 la sucesion 0 → N ′ ⊗A P → N ⊗A P → N ′′ ⊗A P → 0 es exacta. Es decir, por laproposicion 4.3.3, si para toda inyeccion N ↪→ M entonces N ⊗A P → ⊗AP tambien es inyectiva.

Dado que N ⊗A A(I) = N (I) es facil comprobar que A(I)-es un A-modulo plano. Como N ⊗A (P ⊕P ′) = (N ⊗A P )⊕ (N ⊗A P ′) es facil comprobar que una suma directa de modulos es plana si y solosi cada sumando es plano.

Proposicion 4.6.2. Si P es un A-modulo plano y A → B es un morfismo de anillos, entonces PB

es un B-modulo plano.

Demostracion. Para todo B-modulo M tenemos que PB ⊗B M = P ⊗A M , ası que la exactitud delfuntor PB ⊗B (−) es consecuencia de la exactitud del funtor P ⊗A (−).

Proposicion 4.6.3. La condicion necesaria y suficiente para que un A-modulo P sea plano es queNx sea un Ax-modulo plano para todo punto cerrado x ∈ Spec A.

Demostracion. Denotemos toda sucesion exacta 0 → N ′ → N de A-modulos por N ·. P es plano ⇐⇒para toda sucesion exacta N · entonces N · ⊗A P es exacta ⇐⇒ para todo punto cerrado x ∈ Spec Ala sucesion (N · ⊗A P )x = N ·x ⊗Ax Px es exacta ⇐⇒ Px es un Ax-modulo plano para todo puntocerrado x ∈ Spec A

Lema 4.6.4. Sea M un modulo finito generado sobre un anillo local O. Si el morfismo naturalI ⊗O M → M , i ⊗m 7→ im, es inyectivo para todo ideal finito generado I ⊆ A, entonces M es unO-modulo libre.

Demostracion. Sea m1, . . . ,mr un sistema de generadores de M , obtenido por Nakayama (es decir,de modo que m1, . . . , mr sea una base de M/mM , donde m es el ideal maximal de O). Dada unarelacion a1m1 + · · · + armr = 0, consideremos el ideal I = (a1, . . . , ar). Por hipotesis el morfismonatural I ⊗O M → M es inyectivo, ası que a1 ⊗m1 + · · ·+ armr = 0. En el O/m-espacio vectorial

(I ⊗O M)/m(I ⊗O M) = (I ⊗O M)⊗O O/m = (I ⊗O O/m)⊗O/m (M ⊗O O/m)= I/mI ⊗O/m M/mM

tendremos que a1 ⊗m1 + · · ·+ armr = a1 ⊗ m1 + · · · + ar ⊗ mr = 0. Pero m1, . . . , mr es una basede M/mM , por tanto a1 = · · · = ar = 0. Luego I/mI = 0 y por Nakayama I = 0. En conclusion,m1, . . . , mr es una base de M y M es libre.


Teorema 4.6.5 (Criterio del ideal de platitud). Sea M un A-modulo finito generado. Si elmorfismo natural I ⊗A M → M es inyectivo para todo ideal I ⊆ A, entonces M es un A-moduloplano.

Demostracion. En cada punto cerrado x ∈ Spec A tenemos que el morfismo natural

Ix ⊗AxMx = (I ⊗A M)x → Mx

es inyectivo. Como cada ideal finito generado de Ax es localizacion de un ideal finito generado de A,el lema anterior permite concluir que Mx es un Ax-modulo libre y, por tanto, plano. Luego M es unA-modulo plano.

Teorema 4.6.6. Un A-modulo finito generado es plano si y solo si es localmente libre.

Demostracion. Es consecuencia inmediata de 4.6.3 y 4.6.4.

Definicion 4.6.7. Se dice que un A-modulo P es proyectivo si para todo epimorfismo π : M → M ′′

entonces π∗ : HomA(P,M) → HomA(P, M ′′) es un epimorfismo. Es decir (por el teorema 4.1.6), P esproyectivo si la toma de HomA(P,−) conserva sucesiones exactas (es decir, “HomA(P,−) es un funtorexacto”).

Como HomA(A(I),M) =∏I

M es facil demostrar que los A-modulos libres son proyectivos.

Proposicion 4.6.8. Un A-modulo es proyectivo si y solo si es sumando directo de un libre.

Demostracion. Supongamos que P es un A-modulo proyectivo. Consideremos un epimorfismo π : A(I) →P . Si consideramos el morfismo Id: P → P sabemos que levanta a un morfismo s : P → A(I), tal ques ◦ π = Id, por ser P proyectivo. Por el ejercicio 2.1.5, A(I) = Ker π ⊕ P .

Recıprocamente, sea M es un sumando directo de un libre, es decir A(I) = M ⊕ M ′. A(I)

es un modulo proyectivo, por tanto M ⊕M ′ es proyectivo. Ahora bien, como HomA(M ⊕M ′,−) =HomA(M,−)×HomA(M ′,−) es facil probar que una suma directa de modulos es un modulo proyectivosi y solo si lo es cada sumando. En conclusion, M es proyectivo.

Proposicion 4.6.9. Los modulos proyectivos son planos.

Demostracion. Los modulos proyectivos son sumandos directos de un libre, que es plano, luego losmodulos proyectivos son planos.

Definicion 4.6.10. Un A-modulo M se dice que es de presentacion finita si existe una sucesion exactade la forma Am → An → M → 0.

Si A es un anillo noetheriano (mas adelante estudiados) un A-modulo es de presentacion finita siy solo si es finito generado.

Proposicion 4.6.11. Sea M un A-modulo de presentacion finita y S ⊂ A un sistema multiplicativo.Entonces para todo A-modulo N se cumple que

HomA(M, N)S = HomAS(MS , NS)

4.7. Modulos inyectivos. Criterio del ideal 63

Demostracion. Si un A-modulo L ' Ar es libre entonces HomA(L,N)S = (Nr)S = (NS)r =HomAS (LS , NS).

Por hipotesis tenemos una sucesion exacta Am → An → M → 0. Tomando HomA(−, N) obtene-mos la sucesion exacta

0 → HomA(M, N) → HomA(An, N) → HomA(Am, N)

Localizando por S tenemos la sucesion exacta

0 // HomA(M, N)S// HomA(An, N)S

// HomA(Am, N)S

0 // Ker // HomAS(An

S , NS) // HomAS(Am

S , NS)

Ahora bien, tomando HomAS(−, NS) en la sucesion exacta Am

S → AnS → MS → 0, concluimos que

Ker = HomAS(MS , NS) y terminamos.

Teorema 4.6.12. Un modulo de presentacion finita es proyectivo si y solo si es localmente proyectivo.Es decir, P es un A-modulo proyectivo si y solo si para todo punto cerrado x ∈ Spec A se cumple quePx es un Ax-modulo proyectivo.

Demostracion. Denotemos la sucesion exacta 0 → N ′ → N → N ′′ → 0 por N ·. Digamos que unmodulo P es proyectivo si y solo si para toda sucesion exacta N · de A-modulos entonces la sucesionHomA(P, N ·) es exacta. Con estas convenciones tenemos: P es proyectivo ⇐⇒ para toda sucesionexacta N · de A-modulos HomA(P,N ·) es exacta ⇐⇒ para toda sucesion exacta N · de A-modulosHomA(P, N ·)x = HomAx(Px, N ·x) es exacta para todo punto cerrado x ∈ Spec A ⇐⇒ Px es unAx-modulo proyectivo (pues toda sucesion exacta de Ax-modulos N ′· es localizacion de una sucesionexacta de A-modulos, explıcitamente (N ′·)x = N ′·).Teorema 4.6.13. Sea M un modulo de presentacion finita. Las condiciones de ser plano, localmentelibre y proyectivo son equivalentes.

Demostracion. Si M es plano entonces es localmente libre por 4.6.6.Si M es localmente libre entonces es localmente proyectivo. Como la propiedad de ser proyectivo

es local sera proyectivo.Si M es proyectivo por 4.6.9 es plano.

4.7 Modulos inyectivos. Criterio del ideal para modulos in-yectivos

Definicion 4.7.1. Diremos que un A-modulo M es inyectivo si el functor contravariante HomA(−,M)es exacto en la categorıa de A-modulos; es decir, si transforma inyecciones en epiyecciones.

Se verifican trivialmente las siguientes propiedades:

a) El producto directo de modulos inyectivos es inyectivo.

b) Un sumando directo de un modulo inyectivo es tambien inyectivo.


Proposicion 4.7.2 (Criterio del ideal). Un A-modulo M es inyectivo si y solo si para todo idealI ⊂ A el morfismo HomA(A,M) → HomA(I, M) es epiyectivo.

Demostracion. Basta ver el recıproco. Dada una inclusion N ′ ↪→ N y un morfismo f ′ : N ′ → Mtenemos que demostrar que f extiende a un morfismo f : N → M . Sea N ′′ un submodulo de Nque contiene a N ′ y maximal con la condicion de que exista una extension f ′′ : N ′′ → M de f ′.La existencia de N ′′ se debe al lema de Zorn. Tenemos que probar que N ′′ = N . Sea n ∈ N eI = {a ∈ A : a · n ∈ N ′′}. Tenemos definido un morfismo g : I → M, a 7→ f ′′(a · n), que por hipotesisextiende a un morfismo g′ : A → M . El morfismo 〈n〉 → M,a · n 7→ g′(a) eta bien definido, coincidecon f ′′ sobre 〈n〉∩N ′′ = I ·n, luego define un morfismo f ′′′ : N ′′+〈n〉 → M,n′′+an 7→ f ′′(n′′)+g′(a).Por maximalidad de N ′′ ha de verificarse que n ∈ N ′′, luego N ′′ = N .

Definicion 4.7.3. Sea A un dominio de integridad. Un A-modulo M se dice de division si para todoa ∈ A no nulo, el morfismo M

·a−→ M es epiyectivo.

Teorema 4.7.4. Sea A ıntegro. Todo modulo inyectivo es de division. Si A es un dominio de idealesprincipales, entonces un modulo es inyectivo precisamente si es de division.

Demostracion. Tomese la sucesion exacta

0 // aA

o²²

� � // A // A/aA // 0

0 // A·a // A // A/aA // 0

y HomA( ,M).

Ası, por ejemplo, Q y Q/Z son Z-modulos inyectivos, y por tanto R = Q⊕Q/Z es inyectivo.

4.7.1 Integrabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales en deriva-das parciales lineales

El objetivo de esta seccion es dar las condiciones necesarias y suficientes para que el sistema deecuaciones diferenciales

Pi(∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn)v(x1, . . . , xn) = ui(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , m (∗)

con Pi(x1, . . . , xn) ∈ R[x1, . . . , xn] y ui(x1, . . . , xn) ∈ R[[x1, . . . , xn]], sea integrable, es decir, existav(x1, . . . , xn) ∈ R[[x1, . . . , xn]] verificando el sistema anterior.

Si consideramos una sucesion exacta

R[[x1, . . . , xn]]⊕iPi(

∂∂x1

,..., ∂∂xn

)

−→ m⊕i=1R[[x1, . . . , xn]] π→ Coker

la existencia de v(x1, . . . , xn) verificando el sistema anterior, equivale a decir que π(u1, . . . , um) = 0.Vamos a ver que se puede obtener esta sucesion exacta como dual de otra bien conocida.

4.7. Modulos inyectivos. Criterio del ideal 65

Lema 4.7.5. Consideremos R[ ∂∂x1

, . . . , ∂∂xn

] como el anillo obvio, isomorfo a R[x1, . . . , xn]. Consi-deremos R[[x1, . . . , xn]] como R[ ∂

∂x1, . . . , ∂

∂xn]-modulo del modo obvio:

P (∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn) · v(x1, . . . , xn) = P (

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn)v(x1, . . . , xn)

Con esta estructura de R[x1, . . . , xn]-modulo, se cumple que R[[x1, . . . , xn]] es el representante delfuntor HomR(−,R) en la categorıa de R[x1, . . . , xn]-modulos. En particular, R[[x1, . . . , xn]] es unR[ ∂

∂x1, . . . , ∂

∂xn]-modulo inyectivo.

Demostracion. Sea A una k-algebra. Empecemos probando que el A-modulo Homk(A, k) es inyectivo.En la categorıa de A-modulos, se cumple el isomorfismo de funtores

Homk(−, k)ϕ

HomA(−, Homk(A, k))

w Â // (ϕ(w)(m))(a) = w(am)

ϕ−1(w)(m) = (w(m))(1) wÂoo

Como el funtor Homk(−, k) es exacto, tenemos que Homk(A, k) es un A-modulo inyectivo.Por otra parte, es una sencilla comprobacion, el ver que el morfismo

R[[x1, . . . , xn]]φ→ HomR(R[

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn],R)

definido por

φ(s(x1, . . . , xn))(P (∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn)) = (P (

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn)s(x1, . . . , xn))(0, . . . , 0)

es un isomorfismo de R[ ∂∂x1

, . . . , ∂∂xn

]-modulos. Con todo, R[[x1, . . . , xn]] es un R[ ∂∂x1

, . . . , ∂∂xn

]-moduloinyectivo.

Consideremos la sucesion exacta

r⊕R[x1, . . . , xn](pij)−→ m⊕R[x1, . . . , xn]

PPi·−→ R[x1, . . . , xn] → R[x1, . . . , xn]/(P1, . . . , Pm) → 0

Aplicando el funtor HomR(−,R) = HomR[x1,...,xn](−,R[[x1, . . . , xn]]) obtenemos la sucesion exacta

(R[x1, . . . , xn]/(P1, . . . , Pm))∗ ↪→ R[[x1, . . . , xn]]⊕Pi(

∂∂x1

,..., ∂∂xn

)−→ m⊕R[[x1, . . . , xn]]

(pij)t

−→ m⊕R[[x1, . . . , xn]]

Ası pues, el sistema diferencial (∗) es integrable si y solo si (pij)t(u1, . . . , un) = 0. Ademas, observe-mos que si hay soluciones, la dimension del espacio de soluciones es dimR(R[x1, . . . , xn]/(P1, . . . , Pm)).

Dejamos como ejercicio que el lector pruebe las siguientes afirmaciones. Consideremos la sucesionexacta de R[x1, . . . , xn]-modulos


0 → R[x1, . . . , xn] · x1 ∧ · · · ∧ xnδ→ ⊕

iR[x1, . . . , xn] · x1 ∧ · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xn → · · ·

δ→ ⊕iR[x1, . . . , xn] · xi

δ→ R[x1, . . . , xn] → R→ 0

donde δ(xi1 ∧ · · · ∧ xir) =

∑k

(−1)kxik· xi1 ∧ · · · ∧ xik

∧ · · · ∧ xir. Aplicando el funtor HomR(−,R) =

HomR[x1,...,xn](−,R[[x1, . . . , xn]]) obtenemos la sucesion exacta de De Rham

R→ R[[x1, . . . , xn]] d→ ⊕iR[[x1, . . . , xn]] · dxi

d→ · · · d→ ⊕iR[[x1, . . . , xn]] · dx1 ∧ · · · ∧ dxi ∧ · · · ∧ dxn

d→ R[[x1, . . . , xn]] · dx1 ∧ · · · ∧ dxn → 0

4.8 Problemas

1. Probar que si E es un k-espacio vectorial de dimension n y E′ es un k-espacio vectorial dedimension m, entonces E ⊗k E′ es un k-espacio vectorial de dimension n ·m.

2. Probar que M ⊗A A[x] = M [x].

3. Probar que R[x]/(p(x))⊗R C = C[x]/(p(x)).

4. Probar que (A[x1, . . . , xn]/I)⊗A B = B[x1, . . . , xn]/I ·B[x1, . . . , xn].

5. (a) Sea N ′ ⊂ N un A-submodulo y M = N/N ′. Probar que si N ⊗A N = 0 entoncesM ⊗A M = 0.

(b) Sea I un ideal de A, calcular A/I ⊗A A/I.

(c) Probar que si M es un A-modulo finito distinto de cero entonces M ⊗A M es distinto decero.

6. Probar que (Q/Z)⊗Z (Q/Z) = 0.

7. Sea A → B un morfismo de anillos, M un A-modulo y N,P B-modulos. Probar que

(M ⊗A N)⊗B P = M ⊗A (N ⊗B P )

8. Definir un morfismo natural M∗ ⊗A N → HomA(M, N). Demostrar que si N es un modulo detipo finito y libre entonces M∗ ⊗A N∗ = BilA(M, N ; A).

9. Si M1, . . . , Mn son A-modulos libres finito generados probar que M∗1⊗A· · ·⊗AM∗

n = MultilA(M1, . . . ,Mn; A).

10. Probar que si Spec A = U1

∐U2, y M es un A-modulo, entonces M = MU1 ×MU2 .

11. Sea A → B un morfismo de anillos. Sean M y M ′ dos B-modulos, en particular son A-modulos.Sea el A-submodulo de M ⊗A M ′, N = 〈bm⊗m′ −m⊗ bm′ | m ∈ M, m′ ∈ M ′, b ∈ B〉. Probarque existe un isomorfismo de B-modulos

(M ⊗A M ′)/N ' M ⊗B M ′

12. Probar que C⊗R C = C× C como C-algebra.

4.8. Problemas 67

13. Calcular HomR−alg.(C,C).

14. Probar que Homk−alg.(A, k) es igual al conjunto de ideales primos maximales de A, de conucleok.

15. Sea A ıntegro y M un A-modulo de presentacion finita. Probar que existe un abierto U ⊆ Spec Ano vacıo tal que MU es un AU -modulo libre.

16. Sea A un anillo ıntegro y M un A-modulo plano. Probar que T (M) = 0.

17. Probar que si M y N son A-modulos planos, tambien lo es M ⊗A N . Probar que si B es unaA-algebra plana y M es un B-modulo plano, entonces M es un A-modulo plano.

18. Probar que k[x, y]/(x) no es un k[x, y]-modulo plano. Sea k[x] → k[x, y]/(y2 − x) el morfismonatural, probar que k[x, y]/(y2 − x) es una k[x]-algebra plana.

19. Sea A un dominio de ideales principales y M un A-modulo libre de torsion. Probar que M esunion de modulos libres finito generados.

20. Sea A un anillo local y M un A-modulo proyectivo. Probar que M es un A-modulo libre.

21. Probar que existe un isomorfismo Homk(k[x]/(p(x)), k) ' k[x]/(p(x)), de k[x]/(p(x))-modulos.Probar que k[x]/(p(x)) es un k[x]/(p(x))-modulo inyectivo. Dar una nueva demostracion deltercer teorema de descomposicion de los k[x]-modulos finitos.


Capıtulo 5

Anillos noetherianos

5.1 Modulos noetherianos

La introduccion de los modulos la justificabamos con diversas razones. La primera que dabamos esque los ideales son modulos. Decıamos ademas que las operaciones basicas como producto tensorial,cocientes etc., se realizan de un modo mucho mas flexible y claro con los modulos, y que muchos delos objetos usuales en Matematicas tienen estructura de modulo.

En Geometrıa Algebraica los espacios estudiados son objetos definidos por un numero finito deecuaciones (la finitud es una condicion natural). Es decir, los ideales que se consideran son losgenerados por un numero finito de funciones. Los anillos cuyos ideales son finito generados se de-nominan noetherianos. Como veremos los anillos que usualmente aparecen en Geometrıa Algebraicay la Aritmetica son noetherianos, de forma que estos anillos proporcionan el marco natural paradesarrollar su estudio.

De nuevo, sera natural comenzar estudiando los modulos finito generados, cuyos submodulos seanfinito generados, en vez de limitarnos simplemente a los anillos cuyos ideales son finito generados.

Definicion 5.1.1. 1 Un A-modulo M se dice que es un A-modulo noetheriano si todo submodulosuyo (propio o no) es finito generado.

Definicion 5.1.2. 2 Un A-modulo M se dice que es noetheriano si toda cadena ascendente desubmodulos de M

M1 ⊆ M2 ⊆ · · ·Mn ⊆ · · ·estabiliza, es decir existe m >> 0 de modo que Mm = Mm+1 = · · · .Proposicion 5.1.3. Las dos definiciones anteriores son equivalentes.

Demostracion. def1 ⇒ def2: Sea una cadena ascendente de submodulos de M , M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆Mn ⊆ · · · .

Sea M ′ =∞∪

i=1Mi ⊆ M . Como M ′ es un submodulo de M , es finito generado. Escribamos

M ′ = 〈m1, . . . , mr〉, con mj ∈ Mij . Sea m el maximo de todos los ij . Entonces trivialmente seobtiene que M ′ = Mm, luego Mm = Mm+1 = · · · .

def2 ⇒ def1: Sea M ′ ⊆ M . Sea m1 ∈ M ′ y consideremos el submodulo de M , M1 = 〈m1〉. SiM1 6= M ′, sea m2 ∈ M ′ − M1. Consideremos el submodulo de M , M2 = 〈m1,m2〉. Repitiendo el

69

70 Capıtulo 5. Anillos noetherianos

proceso, obtenemos una cadena de inclusiones estrictas

〈m1〉 ⊂ 〈m1,m2〉 ⊂ · · ·

que ha de ser finita, porque por la segunda definicion toda cadena estabiliza. Por tanto, existe unm ∈ N tal que 〈m1, . . . , mm〉 = M ′.

Ejemplo 5.1.4. Los k-espacios vectoriales de dimension finita son k-modulos noetherianos.

Proposicion 5.1.5. Todo submodulo de un modulo noetheriano es noetheriano.

Proposicion 5.1.6. Todo cociente de un modulo noetheriano es noetheriano.

Demostracion. Sea M noetheriano y π : M → M/N un cociente. Dado un submodulo M ⊂ M/N ,tenemos que π−1M = 〈m1, . . . ,mr〉. Por tanto, M = 〈π(m1), . . . , π(mr)〉.Proposicion 5.1.7. Sea

0 → M1 → M2π→ M3 → 0

una sucesion exacta de A-modulos. Se verifica que M2 es noetheriano ⇔ M1 y M3 son noetherianos.

Demostracion. ⇒) Esto es lo que afirman las dos proposiciones anteriores.⇐) Sea M ′ ⊆ M2. El diagrama siguiente es conmutativo y las filas son exactas:

0 −−−−→ M ′ ∩M1 −−−−→ M ′ −−−−→ π(M ′) −−−−→ 0

∩ ∩ ∩0 −−−−→ M1 −−−−→ M2 −−−−→

πM3 −−−−→ 0

Tenemos que M ′ ∩ M1 = 〈m1, . . . , mr〉 y que π(M ′) = 〈π(n1), . . . , π(ns)〉. Por tanto, tenemos laigualdad M ′ = 〈m1, . . . , mr, n1, . . . , ns〉.

Ejercicio 5.1.8. Probar que M y M ′ son noetherianos si y solo si M ⊕M ′ es noetheriano.

Definicion 5.1.9. Se dice que un anillo es noetheriano si como A-modulo es noetheriano, es decir sitodo ideal es finito generado, o equivalentemente, si toda cadena ascendente de ideales estabiliza.

Ejemplo 5.1.10. Los cuerpos, los anillos de ideales principales, como Z, k[x], son noetherianos.

Un ejemplo de anillo no noetheriano, es el anillo de funciones diferenciales en la recta real:Sea In el ideal de las funciones que se anulan en (− 1

n , 1n ), n ∈ N. Tenemos que I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂

In ⊂ · · · es una cadena ascendente estricta de ideales en el anillo, luego no estabiliza. Por tanto, elanillo no es noetheriano.

Corolario 5.1.11. Si A es noetheriano entonces todo A-modulo finito generado es noetheriano.

Demostracion. Si A es noetheriano An es un A-modulo noetheriano, por el ejercicio que sigue ala proposicion 5.1.7. Ahora bien, como todo modulo finito generado es cociente de un libre finitogenerado, concluimos que los modulos finitos son noetherianos.

5.2. Teorema de la base de Hilbert 71

Por tanto, sobre los dominios de ideales principales todo modulo finito generado es noetheriano.

Ejercicio 5.1.12. Si A es noetheriano AS es noetheriano

Ejercicio 5.1.13. Demostrar que Q[x, x1, . . . , xn, . . . ]/((x − n)xn){n∈N} es localmente noetherianopero no es noetheriano.

Proposicion 5.1.14. Si A es un anillo noetheriano, entonces Spec A es un espacio topologico noet-heriano. (Un espacio topologico se dice que es noetheriano si toda cadena descendente de cerradosestabiliza).

Demostracion. Sea C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ · · · una cadena descendente de cerrados. Sean Ii losideales de funciones que se anulan en Ci. Luego (Ii)0 = Ci y tenemos la cadena

I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · ·

Cadena que estabiliza por ser A noetheriano. Es decir, existe m ∈ N de modo que Im = Im+1 = · · · .Luego, Cm = Cm+1 = · · · .

Ejercicio 5.1.15. Demostrar

1. Todo espacio topologico noetheriano es compacto.

2. Todo abierto de un espacio topologico noetheriano es noetheriano.

3. Llamemos cerrado irreducible a todo cerrado que no es union de dos cerrados propios. Todoespacio topologico noetheriano es union de un numero finito de cerrados irreducibles.

Ejercicio 5.1.16. Probar que en un anillo noetheriano el numero de ideales primos minimales esfinito.

5.2 Teorema de la base de Hilbert

Teorema 5.2.1 (de la base de Hilbert). Si A es un anillo noetheriano entonces A[x] es un anillonoetheriano.

Demostracion. Sea I ⊂ A[x] un ideal. Tenemos que ver que es finito generado:Sea J ⊆ A el conjunto formado por los coeficientes de maximo grado de los p(x) ∈ I. Es facil ver

que J es un ideal de A. Observemos para ello, que si p(x) = a0xn+· · ·+an, q(x) = b0x

m+· · ·+bm ∈ I,entonces xmp(x) + xnq(x) = (a0 + b0)xn+m + · · · ∈ I, luego si a0, b0 ∈ J entonces a0 + b0 ∈ J .

Por ser A noetheriano, J = (b1, . . . , br) es finito generado. Ası, existen p1, . . . , pr ∈ I cuyoscoeficientes de grado maximo son b1, . . . , br, respectivamente. Ademas, multiplicando cada pi por unapotencia conveniente de x, podemos suponer que gr p1 = · · · = gr pr. Escribamos gr pi = m.

Dado p(x) = a0xn + · · · + an ∈ I. Supongamos que n ≥ m. Escribamos a0 = λ1b1 + · · · + λrbr,

con λi ∈ A para todo i. Tenemos que p(x)−∑i

λixn−mpi ∈ I y gr(p(x)−∑

i

λixn−mpi) < gr p(x).

Recurrentemente obtendre que

I = (p1, . . . , pr)A[x] + I ∩ {A + Ax + · · ·+ Axm−1}


Ahora bien I ∩ {A + Ax + · · · + Axm−1} es un A-modulo finito generado ya que es submodulo de{A + Ax + · · · + Axm−1}, que es un A-modulo noetheriano. En conclusion, si escribimos I ∩ {A +Ax + · · ·+ Axm−1} = (q1, . . . , qs)A, tenemos que I = (p1, . . . , pr, q1, . . . , qs).

Definicion 5.2.2. Dado un morfismo de anillos f : A → B se dice que B es una A-algebra. Se diceque B es una A-algebra de tipo finito si existen ξ1, . . . , ξn ∈ B que generen A-algebraicamente B, esdecir, si el morfismo

A[x1, . . . , xn] → B,∑

α1,...,αn

aα1,...,αnxα1

1 · · ·xαnn 7→

∑α1,...,αn

f(aα1,...,αn)ξα1

1 · · · ξαnn

es epiyectivo.

Corolario 5.2.3. Sea k un cuerpo. Toda k-algebra de tipo finito es noetheriana.

Demostracion. Todo cuerpo es un anillo noetheriano, luego k es noetheriano. Por el teorema dela base de Hilbert k[x1] es noetheriano. De nuevo, por el teorema de la base de Hilbert, k[x1, x2]es noetheriano. En conclusion k[x1, . . . , xn] es noetheriano y todo cociente k[x1, . . . , xn]/I tambien.Luego toda k-algebra de tipo finito es noetheriana.

Definicion 5.2.4. Diremos que Spec A es una variedad algebraica afın sobre un cuerpo k si A esuna k-algebra de tipo finito. Los cerrados de las variedades algebraicas los llamaremos subvariedadesalgebraicas.

Si A y B son k-algebras de tipo finito, f : A → B un morfismo de k-algebras, diremos que elmorfismo inducido f∗ : Spec B → Spec A es un morfismo de variedades algebraicas.

5.3 Ideal primario. Interpretacion geometrica

Quremos demostrar que todo ideal de un anillo noetheriano viene definido por condiciones infinitesi-males en un numero finito de puntos del espectro. Resultado que puede entenderse aritmeticamentecomo el teorema de Euclides para anillos noetherianos. Comencemos con los ideales primarios queseran los definidos por condiciones infinitesimales en un punto.

Definicion 5.3.1. Sea A un anillo. Un ideal q 6= A es primario si

ab ∈ q , a /∈ q ⇒ bn ∈ q para algun n ≥ 1

Es decir, cuando en A/q todo divisor de cero sea nilpotente.

Ejemplo 5.3.2. 1. Los ideales primos son primarios.

2. Si p ∈ Z es un numero primo entonces (pn) es un ideal primario de Z. Igualmente si p(x) ∈ k[x]es un polinomio irreducible entonces (p(x)n) es un ideal primario de k[x]

Definicion 5.3.3. Dado un ideal I ⊆ A, llamaremos radical y denotaremos r(I) a

r(I) = {a ∈ A : an ∈ I para cierto n ∈ N}

5.3. Ideal primario. Interpretacion geometrica 73

Observemos que si π : A → A/I es el morfismo de paso al cociente, entonces π−1(rad A/I) = r(I).El radical de un ideal primario es un ideal primo. En efecto, sea p el radical de un ideal primario

q. Si ab ∈ p y a /∈ p, entonces anbn ∈ q para algun n ≥ 1. Como an /∈ q, se sigue que alguna potenciade bn ha de estar en q, lo que implica que b ∈ p = r(q).

Sea q un ideal primario. Diremos que q es un ideal p-primario o que p es el ideal primo asociado aq cuando p es el radical de q. En tal caso, si B → A es un morfismo de anillos, es sencillo comprobarque B ∩ q es un ideal (B ∩ p)-primario de B.

Sea m un ideal maximal de un anillo A. Los ideales m-primarios de A son los ideales de radicalm. En efecto, si m es el radical de un ideal I, entonces es el unico ideal primo de A que contiene aI. Se sigue que el anillo A/I tiene un unico ideal primo; luego todo elemento de A/I es invertibleo nilpotente y concluimos que en A/I todo divisor de cero es nilpotente. En particular, todas laspotencias mn son ideales m-primarios.

Si el anillo A es noetheriano, cada ideal contiene una potencia de su radical, ası que todo idealm-primario es de la forma π−1(q) para algun ideal q de A/mr (donde π : A → A/mr es el morfismo depaso al cociente). En el caso del anillo A = C [x1, . . . , xn], si consideramos el ideal maximal m formadopor todos los polinomios que se anulan en cierto punto racional (a1, . . . , an) y ponemos ti = xi − ai ,entonces

A/mr = C [t1, . . . , tn]/(t1, . . . , tn)r =

[Polinomios de grado< r en t1, . . . , tn

]

y la reduccion modulo mr de cualquier polinomio coincide con el clasico desarrollo de Taylor hastael orden r − 1 en el punto (a1, . . . , an). Por tanto, el ideal m-primario q esta formado por todaslas funciones f ∈ A cuyo desarrollo de Taylor f ∈ A/mr, en el punto definido por m, satisface lasrelaciones impuestas por cierto ideal q de A/mr. Por lo que diremos que los ideales primarios deradical maximal mx son los ideales definidos por condiciones infinitesimales en el punto cerrado x.

Una base del C-espacio vectorial dual de A/mr, la constituyen las formas lineales {ωα = ∂|α|∂α1x1···∂αnxn

,

α1 + · · ·+ αn < r}, que vienen definidas por ωα(f) = ∂|α|f∂α1x1···∂αnxn

(a1, . . . , an). Por tanto, todo idealde A/mr esta definido por un sistema de s-ecuaciones

∑α

λi,αωα(f) = 0, 1 ≤ i ≤ s

Es decir, los ideales m-primarios son ideales formados por las funciones f que verifican un sistema deecuaciones de s-ecuaciones

∑α

λi,α∂|α|f

∂α1x1 · · · ∂αnxn(a1, . . . , an) = 0, 1 ≤ i ≤ s

(variando r,λi,α se obtienen todos los ideales m-primarios)Por tanto, cada ideal m-primario viene definido por ciertas relaciones entre las derivadas parciales

iteradas en el punto (a1, . . . , an).

Proposicion 5.3.4. Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A y sea q un ideal px-primario.

1. Si px corta a S, entonces qAS = AS .

2. Si px no corta a S, entonces qAS es un ideal pxAS-primario y q = A ∩ (qAS) . En particular:

q = A ∩ (qAx)


Por tanto, para que dos ideales px-primarios coincidan es suficiente que coincidan al localizar enx.

Demostracion. 1. Si s ∈ S ∩ px, entonces q contiene alguna sn, que es invertible en AS ; luegoqAS = AS .

2. Si S ∩ px = ∅, entonces pxAS es un ideal primo de AS y es facil comprobar que qAS es unideal pxAS-primario. Por ultimo, veamos que q = A∩ (qAS). Si f ∈ A∩ (qAS), entonces sf ∈ q paraalgun s ∈ S. Ninguna potencia de s esta en q, por tanto, f ∈ q. Concluimos que A ∩ (qAS) ⊆ q. Lainclusion q ⊆ A ∩ (qAS) es evidente.

En general, sea px el ideal primo de un punto x ∈ Spec A. Los ideales de Ax de radical px = pxAx

(que deben llamarse ideales de condiciones infinitesimales en el punto x, pues en el caso noethe-riano vienen determinados por los ideales de los anillos Ax/pr+1

x Ax) son precisamente los idealespx-primarios, porque px es un ideal maximal de Ax. Por tanto, si qx es uno de estos ideales, A ∩ qx

es un ideal px-primario de A. Si denotamos π : A → Ax/prxAx por el morfismo natural, todo ideal

px-primario es de la forma π−1(q), donde q es un ideal de Ax/prxAx. Ası se obtienen todos los

ideales px-primarios de A; es decir, los ideales px-primarios son los ideales definidos por condicionesinfinitesimales en el punto x.

Ejemplo 5.3.5. Si un ideal primo p no es maximal, pueden existir ideales de radical p que no sonprimarios. Fijemos en un plano afın un punto racional y una recta que pase por el. Sea m el idealmaximal del punto y p el ideal primo del punto generico de la recta. Consideremos ahora el idealI = m2 ∩ p formado por los polinomios que se anulan en el punto generico de la recta y sus derivadasparciales se anulan en el punto fijado. El radical de I es

r(I) = r(m2) ∩ r(p) = m ∩ p = p

pero el ideal I no es primario: el producto de la ecuacion de la recta fijada por la de otra recta quepase por el punto esta en I, la ecuacion de la recta fijada no esta en I y la ecuacion de la otra rectano esta en p = r(I). Esto se debe a que el ideal I no esta definido por condiciones infinitesimales enun solo punto del espectro sino en dos: en el punto fijado y en el punto generico de la recta dada.

Incluso puede darse el caso de que una potencia de un ideal primo no sea un ideal primario. Porejemplo, sea A el anillo de las funciones algebraicas sobre un cono en A3 y sea px el ideal primo de Adefinido por una generatriz.

El ideal px2 no viene definido por condiciones infinitesimales en el punto generico de tal generatriz;

es decir, px2 no coincide con A∩ px

2Ax sino que involucra ademas condiciones en el vertice del cono,pues las funciones de px

2 deben cumplir ademas la condicion de estar en m2, donde m denota elideal maximal del vertice del cono. En efecto, la ecuacion del plano tangente al cono a lo largo de ladirectriz esta en A ∩ px

2Ax; pero no esta en px2 porque no pertenece a m2. Luego el ideal px

2 no esprimario.

5.4 Existencia de las descomposiciones primarias

Definicion 5.4.1. Sea I un ideal de un anillo A. Diremos que una descomposicion I = q1 ∩ . . . ∩ qn

como interseccion de ideales primarios de A es una descomposicion primaria reducida de I cuandono tenga componentes redundantes (I 6= q1 ∩ . . .∩ qi ∩ . . .∩ qn para todo 1 ≤ i ≤ n) ni componentesasociadas a un mismo ideal primo (r(qi) 6= r(qj) cuando i 6= j).

5.4. Existencia de las descomposiciones primarias 75

Proposicion 5.4.2. Si q y q′ son dos ideales px-primarios entonces q ∩ q′ es px-primario.

Demostracion. Al lector.

Si un ideal de un anillo puede descomponerse como interseccion finita de ideales primarios, agru-pando los terminos de igual radical obtenemos una descomposicion primaria en que todos los terminostienen radicales diferentes. Eliminando entonces terminos redundantes si los hubiera se obtiene unadescomposicion primaria reducida: si un ideal admite una descomposicion primaria, admite una des-composicion primaria reducida.

Definicion 5.4.3. Diremos que un ideal q de un anillo A es irreducible si no es interseccion de dosideales estrictamente mayores; es decir, si el ideal 0 del anilo cociente A/q no es interseccion de dosideales no nulos.

Lema 5.4.4 (Fundamental). Sea A un anillo noetheriano. Todo ideal irreducible q 6= A es primario.

Demostracion. Para ver que q es primario, tenemos que probar que los divisores de cero de A/q sonnilpotentes. Sea b ∈ A/q divisor de cero. Consideremos los nucleos de los morfismos de A-modulosbn· : A/q → A/q:

0 6= Ker b ⊆Ker b2 ⊆ · · · ⊆Ker bn ⊆ · · ·Como A/q es noetheriano, Ker bn = Ker bn+1 para algun exponente n. Luego (Ker b)∩(Im bn) = 0.

Por ser q irreducible y Ker b 6= 0 Im bn es nulo. Entonces 0 = bn · 1 = bn y b es nilpotente en A/q.Concluimos que el ideal q es primario.

Teorema 5.4.5 (de existencia). Sea A un anillo noetheriano. Todo ideal I 6= A es interseccionfinita de ideales primarios de A; es decir, esta definido por condiciones infinitesimales en un numerofinito de puntos de Spec A.

Demostracion. Si I no es un ideal primario, por el lema anterior, no es irreducible. Entonces I = I1∩J1

con con I ⊂6=

I1, J1. Si I1 no es primario, de nuevo, existiran I2, J2 tales que I1 = I2∩J2 con I1 ⊂6= I2, J2

y I = I2∩ (J2∩J1). Si J2∩J1 6= I, tenemos I como interseccion propia de los dos ideales I2, (J2∩J1)y I1 ⊂6= I2. Si J2 ∩ J1 = I, redenotaremos J2 = I2 y de nuevo tenemos I como interseccion de dos

ideales I2, J1, con I1 ⊂6= I2. Si I2 no es primario repetimos el proceso. Ası tendremos una cadena

I1 ⊂6= I2 ⊂6= I3 ⊂6= . . . ⊂6=

In

que por noetherianidad ha de ser finita. Luego, para n >> 0, In es primario.En conclusion, podemos escribir I = I1 ∩ J1 con I ⊂

6=I1, J1 e I1 primario. Si J1 no es primario, de

nuevo, J1 = I2 ∩ J2 con J1 ⊂6= I2, J2 e I2 primario. Por tanto, I = I1 ∩ I2 ∩ J2, con I1, I2 primario y

I ⊂6=

J1 ⊂6= J2. Repitiendo este proceso, obtenemos la cadena

I ⊂6=

J1 ⊂6= J2 ⊂6= . . . ⊂6=

Jn

que ha de ser finita, por noetherianidad. Luego, para n >> 0, Jn es primario y I = I1∩· · ·∩In−1∩Jn,que es una interseccion de ideales primarios.

Demos otra demostracion, menos algorıtmica, pero argumentalmente mas simple. De acuerdo conel lema anterior, bastara probar que todo ideal I de A es interseccion finita de ideales irreducibles.


Si I no es interseccion de un numero finito de ideales irreducibles entonces I = I1 ∩ I2 con I ⊂6=

I1,

I ⊂6=

I2 y I1 o I2 (digamos I1) no es interseccion de un numero finito de ideales irreducibles. De nuevo,

I1 = I11 ∩ I12 con I1 ⊂6= I11, I1 ⊂6= I12 y I11 o I12 (digamos I11) no es interseccion de un numero finito

de ideales irreducibles. Obtenemos ası una cadena de inclusiones estrictas

I1 ⊂6= I11 ⊂6= I111 ⊂6= · · ·

lo que contradice la noetherianidad de A. Luego I es interseccion de un numero finito de idealesirreducibles.

5.5 Unicidad en la descomposicion primaria

Teorema 5.5.1. Sea A un anillo y sea 0 = q1 ∩ . . . ∩ qn una descomposicion primaria reducida delideal 0. Los divisores de cero de A son las funciones que se anulan en alguno de los puntos definidospor los ideales primos asociados pi = r(qi) :

{Divisores de cero de A} =n⋃

i=1

pi

Demostracion. Sea a ∈ A un divisor de cero: ab = 0 para algun b ∈ A no nulo. Luego b /∈ qi paraalgun ındice i, porque la descomposicion primaria es reducida, y concluimos que a ∈ r(qi) = pi.

Recıprocamente, si a ∈ p1, entonces alguna potencia an ∈ q1, de modo que anb = 0 para cualquierb ∈ q2 ∩ . . . ∩ qn no nulo, y concluimos que a es un divisor de cero.

Lema 5.5.2. Sean px1 , . . . , pxn ideales primos de un anillo A e I un ideal de A. Si

I ⊆ px1 ∪ . . . ∪ pxn

entonces I ⊆ pxi para algun ındice i.

Demostracion. Podemos suponer que los pxi 6⊆ pxj para todo i 6= j. Es decir, podemos suponer quexi /∈ xj para todo i 6= j. Si I 6⊆ pxi entonces xi /∈ (I)0 y existe una funcion fi que se anula en (I)0 yen todo xj salvo en xi. Por tanto, f = f1 + · · ·+ fn se anula en (I)0 y no se anula en ninguno de los{xi}1≤i≤n. Por tanto, tendrıamos que fn ∈ I y fn /∈ pxi para todo i y n >> 0. Contradiccion.

Teorema 5.5.3 (de unicidad (de los primos asociados)). Si un ideal I de un anillo A admiteuna descomposicion primaria reducida I = ∩iqi, los ideales primos asociados pi = r(qi) no dependende la descomposicion.

Demostracion. Veamos primero el caso I = 0. Sean

0 = q1 ∩ . . . ∩ qn = q′1 ∩ . . . ∩ q′m

dos descomposiciones primarias reducidas del ideal 0 y sea p el ideal primo asociado a una componentede la segunda descomposicion. Bastara ver que p coincide con pi = r(qi) para algun ındice i. Ademas,

5.6. Una descomposicion primaria canonica 77

por 5.3.4, localizando en p podemos suponer que el anillo A es local y que p es su unico ideal maximalm. Ahora, por el teorema anterior

p1 ∪ . . . ∪ pn = m

pues ambos terminos coinciden con el conjunto de los divisores de cero de A, y concluimos al aplicarel lema anterior.

En el caso de un ideal I arbitrario, cada ideal q ⊇ I se corresponde con un ideal q de A/I, yq es un ideal p-primario precisamente cuando q es un ideal p-primario, porque A/q = (A/I)/q y pes el radical de q. Por tanto, cada descomposicion primaria reducida I = q1 ∩ . . . ∩ qn define unadescomposicion primaria reducida 0 = I = q1 ∩ . . . ∩ qn del ideal 0 del anillo A/I. Luego los idealesprimos pi no dependen de la descomposicion y concluimos que los ideales primos pi tampoco.

Definicion 5.5.4. Sea A un anillo noetheriano. Llamaremos ideales primos asociados a un ideal I alos radicales de las componentes de cualquier descomposicion primaria reducida de I.

Teorema 5.5.5 (de unicidad de las componentes no-sumergidas). Sea I un ideal de un anilloA y sea px el ideal primo de una componente irreducible de (I)0. Si I admite una descomposicionprimaria reducida I = ∩iqi, entonces px es el radical de alguna componente qi y

qi = A ∩ (IAx)

Luego tal componente qi no depende de la descomposicion elegida.

Demostracion. Cuando j 6= i, tenemos que qjAx = Ax, porque r(qj) corta al sistema multiplicativoA− px por el que localizamos. Luego

IAx =n∩

j=1qjAx = qiAx

y, por 5.3.4, concluimos que qi = A ∩ (qiAx) = A ∩ (IAx).

Sea I = ∩iqi una descomposicion primaria reducida de un ideal I de un anillo A. Segun el teoremaanterior, si un ideal primo p es minimal entre los ideales primos de A que contienen a I, entonces pes el radical de alguna componente qi y diremos que qi es una componente no sumergida. Es decir,una componente qj esta sumergida cuando sus ceros estan contenidos estrictamente en los ceros dealguna otra componente: (qj)0 ⊂ (qi)0 . Las componentes no-sumergidas corresponden a los puntos

genericos de las componentes irreducibles de (I)0 (que de nuevo obtenemos que son un numero finito),mientras que las componentes sumergidas estan asociadas a puntos mas pequenos de (I)0.

Corolario 5.5.6. Si los ceros de un ideal I de un anillo noetheriano son puntos aislados, la descom-posicion primaria reducida de I es unica salvo el orden.

5.6 Una descomposicion primaria canonica

Proposicion 5.6.1. Sea I ⊂ A un ideal y I = q1 ∩ · · · ∩ qn una descomposicion primaria reducida,de primos asociados r(qi) = pxi . Dado pxj supongamos reordenando que qi ⊆ pxj si y solo si i ≤ j.Se cumple que

A ∩ Ixj = q1 ∩ · · · ∩ qj

Por tanto, la interseccion q1 ∩ · · · ∩ qj no depende de los primarios de la descomposicion primariaescogida.


Demostracion. Ixj= q1,xj

∩ · · · ∩ qj,xj. Por tanto,

A ∩ Ixj= (A ∩ q1,xj

) ∩ · · · ∩ (A ∩ qj,xj) = q1 ∩ · · · ∩ qj

Corolario 5.6.2. Sea I = q1 ∩ · · · ∩ qn = q′1 ∩ · · · ∩ q′n dos descomposiciones primarias reducidas, deprimos asociados r(q′i) = r(qi) = pxi . Se cumple que

I = q1 ∩ · · · ∩ qj−1 ∩ q′j ∩ qj+1 ∩ · · · ∩ qn

para cualquier j. En consecuencia, si {q′′i }1≤i≤n son ideales pxi-primarios que aparecen cada uno en

alguna descomposicion primaria de I, entonces

I = q′′1 ∩ · · · ∩ q′′n

Demostracion. Reordenado, como en la proposicion anterior, podemos suponer que qi ⊆ pxj si y solosi i ≤ j. Se deduce de la proposicion anterior que q1 ∩ · · · ∩ qj−1 = q′1 ∩ · · · ∩ q′j−1. Por tanto,

q1 ∩ · · · ∩ qj−1 ∩ q′j = q′1 ∩ · · · ∩ q′j−1 ∩ q′j = q1 ∩ · · · ∩ qj

Cortando con qj+1 ∩ · · · ∩ qn, obtenemos

q1 ∩ · · · ∩ qj−1 ∩ q′j ∩ qj+1 ∩ · · · ∩ qn = q1 ∩ · · · ∩ qj ∩ qj+1 ∩ · · · ∩ qn = I

Proposicion 5.6.3. Sea A un anillo noetheriano. Sea I = q1 ∩ · · · ∩ qm ⊂ A una descomposicionprimaria reducida de I. Sea r(qi) = pxi . Existe ni ∈ N de modo que pni

xi⊆ qi. Denotemos por pni

i elideal pxi-primario antiimagen de (Ixi + pni

xi) ·Axi en el morfismo de localizacion A → Axi , entonces

I = q1 ∩ · · · ∩ pnii ∩ · · · ∩ qm

Demostracion. Tenemos I ⊆ pnii ⊆ qi, por tanto,

I = I ∩ q1 ∩ · · · ∩ qi ∩ · · · ∩ qm ⊆ pnii ∩ q1 ∩ · · · ∩ qi ∩ · · · ∩ qm ⊆ qi ∩ q1 ∩ · · · ∩ qi ∩ · · · ∩ qm = I

luego las inclusiones son igualdades y concluimos.

Con palabras, el ideal pnii es el ideal de funciones de A cuyos desarrollos de Taylor en xi hasta

orden ni, son desarrollos de Taylor en xi, hasta orden ni, de funciones de I.Procedamos a ver que entre las descomposiciones primarias de I hay una canonica. Siguiendo

notaciones, para cada i, sea ni mınimo de modo que pnii aparezca en alguna descomposicion primaria

de I. Entonces

I = pn11 ∩ · · · ∩ pnm

m

Demos un metodo de calculo. Dado pxj , supongamos que ya tenemos calculados los pnii , cuando

pxi ⊂ pxj , reordenando digamos que son pn11 , . . . , p

nj−1j−1 .

5.7. Problemas 79

Bien, nj es el mınimo numero natural de modo que pn11 ∩ · · · ∩ p

nj−1j−1 ∩ p

nj

j ⊆ Ixj, que equivale a

decir que (pn11 ∩ · · · ∩ p

nj−1j−1 ∩ p

nj

j )xj= Ixj

. 1

Ası sucesivamente vamos determinando los nj y obteniendo la descomposicion primaria canonica,

I = pn11 ∩ · · · ∩ pnm

m

5.7 Problemas

1. Sean N ,N ′ submodulos de M , tales que M = N + N ′. Probar que M es noetheriano si y solosi N ,N ′ son noetherianos.

2. Sean N ,N ′ submodulos de M , tales que N ∩N ′ = 0. Probar que M es noetheriano si y solo siM/N ,M/N ′ son noetherianos.

3. Sea M un A-modulo noetheriano y N un A-modulo finito. Probar que HomA(N, M) es unA-modulo noetheriano.

4. Sea M un A-modulo noetheriano. Probar que A/ Anul(M) es un anillo noetheriano.

5. Probar que si M es un A-modulo noetheriano entonces M [x] es un A[x]-modulo noetheriano.

6. Probar que si A[x] es noetheriano entonces A es noetheriano.

7. Probar que si Spec A = ∪iUai , un A-modulo M es noetheriano si y solo si Mai son Aai-modulos

noetherianos para todo i.

8. Demostrar que∞∏Z no es un anillo noetheriano.

9. Sea A un anillo noetheriano. Probar que existe un n ∈ N de modo que (radA)n = 0.

10. Sea A un anillo noetheriano, e I ⊂ A un ideal. Probar que existe un n ∈ N de modo quer(I)n ⊂ I.

11. Sea A un anillo noetheriano y sea f =∞∑

i=0

aixi ∈ A[[x]]. Demostrar que f es nilpotente si y solo

si cada ai es nilpotente.

12. Probar que si A es un anillo ıntegro entonces (0) es irreducible. Probar que los ideales primosson irreducibles.

13. Probar que el ideal (x2 + y2 − z2, y − z) ⊂ k[x, y, z] es primario.

14. Probar que (x2, xy, y2) = (x2, y) ∩ (x, y2) es primario pero no irreducible.

15. Probar que en k[x, y] se cumple que (x) ∩ (x, y)2 = (x) ∩ (y, x2) ¿Son las descomposicionesprimarias unicas?

16. Sea m ⊂ A un ideal maximal y p ⊂ m un ideal primo tal que p 6⊆ m2 ¿Puede ser p∩m2 un idealprimario?

1Equivalentemente, nj es el mınimo numero natural que cumple que (pn11 ∩ · · · ∩ pnj−1

j−1 )∩(pnjxj

) ⊆ (I) en Axj /pnj+1xj

.


17. Probar que los ideales primos asociados al ideal cero de un anillo noetheriano A, son los idealesprimos de A que coinciden con el anulador de algun elemento de A.

18. Sea O un anillo noetheriano local de ideal maximal m. Sea I ⊂ O un ideal tal que r(I) = m.Probar que mr ⊆ I precisamente cuando mr ⊆ I en O/mr+1.

19. Calcular la descomposicion primaria de I = (xy,−y + x2 + y2) en C[x, y].

20. Calcular una descomposicion primaria reducida de los ideales

(a) I = (x, y) · (x, y − 1) en C[x, y].

(b) I = (x) · (x, y) · (x, y − 1) en C[x, y].

21. Hallar la descomposicion primaria del ideal generado en C[x, y] por las ecuaciones de:

(a) Un par de rectas y una recta.

(b) Una recta doble y una recta.

(c) Una conica no singular y una recta.

(d) Una conica no singular y un par de rectas.

(e) Una conica no singular y una recta doble.

Capıtulo 6

Variedades algebraicas afines

6.1 Introduccion

Entendamos ahora variedad y subvariedad desde un punto de vista puramente geometrico, es decir,como el conjunto de soluciones sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, de un sistema de ecuacionesalgebraicas. En este capıtulo probaremos el teorema fuerte de los ceros de Hilbert, que dice que hay unacorrespondencia biunıvoca, “salvo nilpotentes”, entre los ideales del anillo de funciones algebraicas deuna variedad algebraica y las subvariedades de las variedad algebraica. La descomposicion primariaen anillos noetherianos, nos permitira decir con todo rigor, que los ideales del anillo de funcionesalgebraicas de una variedad se corresponden con los conjuntos de funciones del anillo que se anulan enciertas subvariedades algebraicas de la variedad y verifican ciertas condiciones infinitesimales a lo largode un numero finito de subvariedades de las subvariedades. En conclusion, tenemos una comprensiongeometrica acabada de los ideales, es decir, de los sistemas de ecuaciones algebraicas.

En este capıtulo desarrollaremos la teorıa de la dimension en variedades algebraicas. El teoremacentral, que usaremos para la demostracion del teorema de los ceros de Hilbert y el desarrollo de lateorıa de la dimension, sera el lema de Noether, que afirma que toda variedad algebraica se proyectacon fibras finitas en un espacio afın.

6.2 Morfismos finitos

Definicion 6.2.1. Un morfismo de anillos f : A → B se dice que es finito si B es un A-modulo finito,con la estructura natural de A-modulo que define f en B (a · b =

deff(a) · b). En este caso, tambien se

dice que B es una A-algebra finita.

Ejemplo 6.2.2. R ↪→ C es un morfismo finito.

Proposicion 6.2.3. La composicion de morfismos finitos es finito.

Demostracion. Sean Afinito−→ B

finito−→ C. Es decir, B = Ab1 + · · ·+ Abn y C = Bc1 + · · ·+ Bcm. Luego,

C = (Ab1 + · · ·+ Abn)c1 + · · ·+ (Ab1 + · · ·+ Abn)cm =n,m∑

i=1,j=1

Abicj

En conclusion, A → C es un morfismo finito.

81

82 Capıtulo 6. Variedades algebraicas afines

Proposicion 6.2.4. Sea A → B un morfismo finito y A → C un morfismo de anillos. Se verificaque C = A⊗A C → B ⊗A C es un morfismo finito.

Corolario 6.2.5. Si A → B es un morfismo finito entonces AS → BS y A/I → B/I ·B son morfismosfinitos

Definicion 6.2.6. Sea A → B un morfismo de anillos. Se dice que b ∈ B es entero sobre A si verificauna relacion del tipo

bn + a1bn−1 + · · ·+ an = 0, con ai ∈ A

Proposicion 6.2.7. Sean f : A → B un morfismo de anillos y b ∈ B. Denotemos A[b] = {p(b) ∈ B,para p(x) ∈ A[x]}. El morfismo A → A[b] es finito ⇔ b es entero sobre A.

Demostracion. ⇒) Sea b1, . . . , bn un sistema generador del A-modulo A[b]. Consideremos el endo-morfismo de A-modulos

A[b] ·b−→ A[b]c 7−→ c · b

Sea (aij) una matriz asociada ·b en el sistema generador b1, . . . , bn. Sea pc(x) = |(aij − x · Id| =xn +a1x

n−1 + · · ·+an, con ai ∈ A. Se verifica que pc(·b) = 0, luego pc(b) = pc(·b)(1) = 0 y b es enterosobre A.

⇐) Sea p(x) = xn +a1xn−1 + · · ·+an, con ai ∈ A, tal que p(b) = 0. El epimorfismo A[x]/(p(x)) →

A[b], ¯q(x) 7→ q(b) esta bien definido. Por tanto, solo tenemos que demostrar que A[x]/(p(x)) es unA-modulo finito generado.

Veamos que 1, x, . . . , xn−1 es un sistema generador de A[x]/(p(x)) (de hecho, es una base):

xn = −(a1xn−1 + . . . + an) ∈ 〈1, x, . . ., xn−1〉

xn+1 = −(a1xn + . . . + anx) ∈ 〈x, x, . . ., xn〉 ⊆ 〈1, x, . . ., xn−1〉

...

Observacion: Para la demostracion de ⇒) solo es necesario suponer que A[b] esta incluido enuna A-algebra finita.

Definicion 6.2.8. Dada una extension de cuerpos k → K y α ∈ K, decimos que α es algebraicosobre k, si es entero sobre k, que equivale a decir que α es raız de un polinomio con coeficientes en k.

Ejemplo 6.2.9. Si α es una raız n-esima de la unidad, entonces Q ↪→ Q(α) es un morfismo finito.

Ejemplo 6.2.10. El morfismo Spec k[x, y]/(y2 − x2 + x3) → Spec k[x] definido por (α, β) 7→ α es unmorfismo finito.

Proposicion 6.2.11. Sea f : A → B un morfismo de anillos. El conjunto de elementos de B enterossobre A forman una A-subalgebra de B.

Demostracion. Sean b1, b2 ∈ B enteros sobre A. Tenemos que A → A[b1] es un morfismo finito, yA[b1] → A[b1, b2] es un morfismo finito porque si b2 verifica una relacion entera con coeficientes en A,en particular la verifica con coeficientes en A[b1]. Por tanto, por la proposicion 6.2.3 A → A[b1, b2] esun morfismo finito. Luego, por la observacion anterior, todo elemento p(b1, b2) ∈ A[b1, b2] ∈ B, conp(x, y) ∈ A[x, y], es entero sobre A. Hemos concluido.

6.2. Morfismos finitos 83

Lema 6.2.12. Sea k un cuerpo. Las k-algebras finitas ıntegras son cuerpos.

Demostracion. Sea A una k-algebras finita ıntegra. Dado a ∈ A no nula, la homotecia A·a→ A, b 7→ b·a

es inyectivo por la integridad de A. Por tanto, por dimensiones, es isomorfismo. Luego a es invertibley A es cuerpo.

Lema 6.2.13. Sea k un cuerpo. El espectro de una k-algebra finita es un numero finito de puntoscerrados.

Demostracion. Las k-algebras finitas son anillos noetherianos luego tienen un numero finito de idealesprimos minimales. Si hacemos cociente por un ideal primo minimal obtenemos una k-algebra finitaıntegra, luego es un cuerpo por el lema anterior. Por tanto, los ideales primos minimales son maximalesy hemos concluido.

Corolario 6.2.14. Sea A una k-algebra finita y {x1, . . . , xn} = Spec A. Se cumple que el morfismonatural

A → Ax1 × · · · ×Axn

es un isomorfismo. Luego toda k-algebra finita es un producto de un numero finito de k-algebrasfinitas locales.

Demostracion. Para probar que un morfismo es isomorfismo basta verlo localmente. (Ax1 × · · · ×Axn)xi = Axi porque (Axj )xi = 0 si i 6= j y (Axi)xi = Axi . Se concluye inmediatamente.

Lema 6.2.15. Si f : A ↪→ B es un morfismo finito e inyectivo, entonces el morfismo inducidof∗ : Spec B → Spec A es epiyectivo.

Demostracion. Dado x ∈ Spec A, el morfismo Ax → Bx es finito e inyectivo. Por Nakayama, pxBx 6=Bx, luego Spec Bx/pxBx 6= ∅. Es decir, la fibra de x es no vacıa, luego f∗ es epiyectivo.

Definicion 6.2.16. Llamaremos dimension de Krull de un anillo A al supremo de las longitudes delas cadena de ideales primos de A, o equivalentemente al supremo de las longitudes de las cadenas decerrados irreducibles de Spec A. Denotaremos a la dimension (de Krull) de A por dim A.

Ejercicio 6.2.17. Demostrar que la dimension de Krull de C[x, y] es dos.

Teorema 6.2.18. Si f : A → B es un morfismo finito entonces el morfismo inducido f∗ : Spec B →Spec A es una aplicacion cerrada de fibras de dimension cero y finitas.

Demostracion. Sea C = (J)0 un cerrado de SpecB. Debemos demostrar que f∗(C) es un cerrado deSpec A. Consideremos los diagramas

Af−−−−→ B Spec A

f∗←−−−− Spec By

yx

x

A/J ∩A −−−−→ B/J (J ∩A)0 = Spec A/J ∩Af∗|C←−−−− Spec B/J = C

Basta ver que f∗|C es epiyectiva. Ahora bien, como A/J ∩A ↪→ B/J es un morfismo finito inyectivo,por el lema anterior concluimos que f∗|C es epiyectiva.

La fibra de un punto x ∈ Spec A es f∗−1(x) = Spec Bx/pxBx. Observemos que si f∗−1(x) 6= ∅entonces Bx/pxBx es una Ax/px-algebra finita. Concluimos por el lema 6.2.13


Ejercicio 6.2.19. Probar que la inclusion natural k[x] ↪→ k[x, y]/(xy − 1) no es un morfismo finito.

Teorema 6.2.20 (del ascenso). Sea f : A → B un morfismo finito. Sean px ⊂ px′ ⊂ A y py ⊂ Bideales primos, de modo que f−1(py) = px. Existe un ideal primo py′ ⊂ B, de modo que py ⊂ py′ yf−1(py′) = px′ .

Demostracion. Por el teorema anterior f∗ : Spec B → Spec A es una aplicacion cerrada. Por tanto,f∗(y) = x. Luego como x′ ∈ x, existe un y′ ∈ y tal que f∗(y′) = x′. Es decir, py ⊂ py′ yf−1(py′) = px′ .

Corolario 6.2.21. Si f : A ↪→ B es un morfismo finito de modo que f∗ : Spec B → Spec A esepiyectivo (por ejemplo, si f es inyectivo) entonces dim A = dim B.

Demostracion. Dada una cadena estricta de cerrados irreducibles y1 ⊂ y2 ⊂ · · · ⊂ yn de Spec B,f∗(y1) ⊂ f∗(y2) ⊂ · · · ⊂ f∗(yn) es una cadena de cerrados irreducibles estricta de Spec A, pues lasfibras son de dimension cero (6.2.18). Por tanto, dimB ≤ dim A.

Sea ahora una cadena estricta de cerrados irreducibles x1 ⊂ x2 ⊂ · · · ⊂ xn de Spec A. Sea yn ∈Spec B, tal que f∗(yn) = xn. Por el teorema del ascenso, existe yn−1 ∈ yn tal que f∗(yn−1) = xn−1.Ası sucesivamente, obtendremos una cadena estricta de cerrados irreducibles y1 ⊂ y2 ⊂ · · · ⊂ yn deSpec B (de imagen por f∗, la cadena de Spec A). Por tanto, dim A ≤ dim B, luego dim A = dimB.

Como curiosidad veamos el siguiente ejercicio.

Definicion 6.2.22. Sea φ : X = Spec B → Y = Spec A un morfismo de variedades. Dado x ∈ Ydenotemos k(x) = Ax/pxAx. Diremos que el numero de puntos de la fibra de x es

dimk(x) Bx/pxBx

(Recordemos que la fibra de x es Spec Bx/pxBx).

Ejercicio 6.2.23. Sea Spec A una curva ıntegra y π : Spec A → Spec k[x] un morfismo de k-variedades.Se cumple que π es finito ⇐⇒ el numero de puntos de las fibras es finito y constante.

Resolucion: ⇒) A es un k[x]-modulo finito sin torsion, por tanto, por 3.2.4, A ' k[x]⊕ n. . .⊕ k[x].Dado un punto x ∈ Spec k[x], localizando en x, obtenemos Ax ' k[x]x ⊕ n. . . ⊕ k[x]x Tensorializandopor ⊗k[x]xk(x), obtenemos

dimk(x) Ax/pxAx = dimk(x) k(x)⊕ n. . .⊕ k(x) = n

que no depende del punto x.⇐) Sea n el numero de puntos de cualquier fibra. Dado x ∈ Spec k[x], veamos que Ax es un

k[x]x-modulo libre de rango n. Sea m1, . . . ,mn ∈ Ax, de modo que m1, . . . , mn sea una base deAx/pxAx. Tenemos que 〈m1, . . . , mn〉k[x]x es un k[x]x-modulo libre porque es finito y sin torsion; derango n porque 〈m1, . . . ,mn〉/px〈m1, . . . , mn〉 es de dimension n, porque es igual a Ax/pxAx. Dadom ∈ Ax, se cumple que 〈m1, . . . , mn,m〉k[x]x es un modulo libre de rango menor o igual que n, porquelocalizando en el punto generico de k[x], g, esta incluido en Ag, que es de rango n. Ahora ya, se tieneque 〈m1, . . . ,mn〉k[x]x = 〈m1, . . . , mn,m〉k[x]x porque m1, . . . , mn son linealmente independientes en〈m1, . . . ,mn, m〉/px〈m1, . . . ,mn, m〉 ya que lo son en Ax/pxAx y por dimensiones forman una base.Por tanto, Ax = 〈m1, . . . , mn〉k[x]x .

6.3. Normalizacion de Noether y ceros de Hilbert 85

Observemos, que Ag = 〈m1, . . . , mn〉k[x]g . Dado ξ ∈ A, el polinomio caracterıstico del endomor-

fismo Ax·ξ→ Ax, coincide con el polinomio caracterıstico de Ag

·ξ→ Ag, para todo x ∈ Spec k[x]. Portanto, el polinomio caracterıstico tiene coeficientes en k[x], anula a ξ, luego ξ es entero sobre k[x]. Enconclusion A es un k[x]-modulo finito.

Ejercicio 6.2.24. Sean A y B k-algebras de tipo finito ıntegras de dimension 1, supongamos ademasque B es anillo de ideales principales. Sea π : Spec A → Spec B un morfismo de k-variedades. Secumple que π es finito ⇐⇒ el numero de puntos de las fibras de π es finito y constante.

6.3 Normalizacion de Noether y ceros de Hilbert

Definicion 6.3.1. Sea A una k-algebra. Diremos que ξ1, . . . , ξn ∈ A son algebraicamente independientessobre k cuando el morfismo de k-algebras k[x1, . . . , xn] → A, p(x1, . . . , xn) 7→ p(ξ1, . . . , ξn) sea inyec-tivo; es decir, cuando cualquier relacion algebraica

∑i1...in

ai1...inξi11 . . . ξin

n = 0, con coeficientes en k,tenga todos sus coeficientes nulos.

Lema 6.3.2 (de normalizacion de Noether). Sea A = k[ξ1, . . . , ξn] una k-algebra de tipo finito.Supongamos que k tiene un numero infinito de elementos1. Existe un morfismo finito inyectivo

k[x1, . . . , xr] ↪→ A

“Toda variedad algebraica afın se proyecta de modo finito en un espacio afın”.

Demostracion. Vamos a hacerlo por induccion sobre n. Para n = 0, no hay nada que decir (k = k).Supongamos que el teorema es cierto hasta n− 1.

Sea r el numero maximo de {ξi} algebraicamente independientes entre sı. Si r = n, entoncesk[ξ1, . . . , ξn] = k[x1, . . . , xn]. Podemos suponer entonces que ξn es algebraico sobre k[ξ1, . . . , ξn−1].Luego existe un p(x1, . . . , xn) ∈ k[x1, . . . , xn], donde la variable xn aparece, de modo que p(ξ1, . . . , ξn) =0.

Escribamos p(x1,. . ., xn) = ps(x1,. . ., xn) + ps−1(x1,. . ., xn) + . . .+ p0(x1,. . ., xn) como suma depolinomios pi(x1, . . . , xn) homogeneos de grado i. Sean xi = x′i + λixn, entonces

p(x′1 + λ1xn, . . ., x′n−1 + λn−1xn, xn) = ps(λ1, . . ., λn−1, 1)xsn+

polinomio en x′1, . . ., x′n−1, xn de grado en xn menor que s

Ası pues, si eligimos λ1, . . . , λn−1 ∈ k de modo que ps(λ1, . . . , λn−1, 1) 6= 0, tendremos que ξn esentero sobre k[ξ′1, . . . , ξ

′n−1]. Por tanto, la composicion

k[x1,. . ., xr]finito↪→

Hip.ind.k[ξ′1, . . . , ξ

′n−1]

finito↪→ k[ξ′1,. . ., ξ

′n−1, ξn]=k[ξ1,. . ., ξn−1, ξn]

es el morfismo finito buscado.

Definicion 6.3.3. Sea A una k-algebra, diremos que x ∈ Spec A es un punto racional si A/px = k.

Proposicion 6.3.4. Sea A = k[x1, . . . , xn]/I e I = (p1(x1, . . . , xn), . . . , pm(x1, . . . , xn)). Se cumpleque los puntos racionales de Spec A se correspoden biyectivamente con las soluciones del sistema deecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0, . . . , pm(x1, . . . , xn) = 01Esta hipotesis no es necesaria, solo la imponemos porque la demostracion del lema es algo mas sencilla.


Demostracion. Sea x ∈ Spec k[x1, . . . , xn]. Si k[x1, . . . , xn]/px = k, entonces xi = αi ∈ k. Por tanto,xi − αi ∈ px y se cumple que px = (x1 − α1, . . . , xn − αn). Ademas, se cumple la inclusion I =(p1(x1, . . . , xn), . . . , pm(x1, . . . , xn)) ⊆ px si y solo si p1(α1, . . . , αn) = 0, . . . , pm(α1, . . . , αn) = 0. Enconclusion, como los puntos racionales de A, se corresponden con los puntos racionales de k[x1, . . . , xn]que contienen a I, los puntos racionales de A se corresponden biyectivamente con las soluciones delsistema de ecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0, . . . , pm(x1, . . . , xn) = 0

Teorema 6.3.5 (Teorema de los ceros de Hilbert). Sea k[ξ1, . . . , ξn] una k-algebra de tipo finitoy m un ideal maximal. Entonces k[ξ1, . . . , ξn]/m es una extension finita de k. En particular, si k esalgebraicamente cerrado k = k[ξ1, . . . , ξn]/m. “Todo punto cerrado de una variedad algebraica afınsobre un cuerpo algebraicamente cerrado es racional”.

Demostracion. Obviamente k[ξ1, . . . , ξn]/m es una k-algebra de tipo finito sobre k. Por el lema denormalizacion de Noether, existe un morfismo finito

k[x1, . . . , xr] ↪→ k[ξ1, . . . , ξn]/m

Por tanto, el termino de la izquierda de la flecha ha de tener dimension cero, luego r = 0 y concluimos.

Ejercicio 6.3.6. Calcular los ideales maximales de C[x1, . . . , xn] y los de C[x1, x2, x3]/(x21 + x2

2 +x2

3 − 1).

Ejercicio 6.3.7. Sean X = Spec A y Y = Spec B dos variedades algebraicas sobre un cuerpo alge-braicamente cerrado k. Definamos X ×k Y =

defSpec A ⊗k B. Probar que los puntos cerrados de la

variedad algebraica X ×k Y son el producto cartesiano de los puntos cerrados de X pos los de Y .

Proposicion 6.3.8. Sea f∗ : X = SpecB → Y = Spec A un morfismo entre variedades algebraicasafines. La imagen por f∗ de un punto cerrado es un punto cerrado.

Demostracion. Dado un punto cerrado x ∈ X y f∗(x) = y, tenemos que py = f−1px, luego el morfismoA/py ↪→ B/px es inyectivo. Por el teorema de los ceros de Hilbert, B/px es una extension finita de k,por tanto A/py tambien, luego es un cuerpo. Es decir, f∗(x) = y es un punto cerrado.

Corolario 6.3.9. Sea U ⊂ X un abierto de una variedad algebraica afın. Los puntos cerrados de Use corresponden con los puntos cerrados de X que yacen en U .

Demostracion. Sea x ∈ U un punto cerrado, sea Ua = Spec Aa ⊂ X = Spec A un abierto basicoconteniendo a x, tal que Ua ⊆ U . Obviamente x es un punto cerrado de Ua. Aa = A[ 1a ] es unak-algebra de tipo finito, luego Ua = Spec Aa es una variedad algebraica. Por la proposicion anterioraplicada a la inclusion Ua ⊂ X, tenemos que x es un punto cerrado de X. Hemos concluido.

Corolario 6.3.10 (forma fuerte de los ceros de Hilbert). Sea k[ξ1,. . ., ξn] una k-algebra de tipofinito y f ∈ k[ξ1, . . . , ξn]. Si f se anula en todo ideal maximal entonces es nilpotente. En particular,si una funcion se anula en todos los puntos racionales de una variedad algebraica afın ıntegra, sobreun cuerpo algebraicamente cerrado, entonces es nula.

6.4. Grado de trascendencia y dimension 87

Demostracion. Por el corolario anterior, el conjunto de los ideales maximales de k[ξ1, . . . , ξn]f , secorresponde biyectivamente con el conjunto de los ideales maximales de k[ξ1, . . . , ξn] que no contienena f . Como este ultimo conjunto es vacıo, tenemos que k[ξ1, . . . , ξn]f = 0, es decir, f es nilpotente.

Definicion 6.3.11. Diremos que X = Spec A es ıntegra si A es un anillo ıntegro.

Corolario 6.3.12. Las subvariedades algebraicas ıntegras estan determinadas por sus puntos cerrados.

Demostracion. Sea X = Spec A una variedad algebraica y Y ⊆ X una subvariedad algebraica ıntegra.Sea p el ideal primo de las funciones que se anulan en Y . Basta ver

p = ∩x=x

p⊆mx

mx

Obviamente el primer termino de la igualdad esta incluido en el segundo. Haciendo cociente por p,tenemos 0 ⊆ ∩

x=xmx en A/p. Por el corolario anterior ∩

x=xmx son los nilpotentes. Ahora bien A/p es

ıntegra, luego 0 = ∩x=x

mx. Hemos concluido.

6.4 Grado de trascendencia y dimension

Definicion 6.4.1. Un morfismo de cuerpos K → K ′ diremos que es algebraico, si todo elemento deK ′ es entero sobre K.

Sea Σ una extension de un cuerpo k y ξ1, . . . , ξn ∈ Σ. Diremos que ξn depende algebraicamentede ξ1, . . . , ξn−1 si ξn es entero sobre k(ξ1, . . . , ξn−1).

Definicion 6.4.2. Sea Σ una extension de un cuerpo k. Diremos que ξ1, . . . , ξn ∈ Σ forman unabase de trascendencia de Σ sobre k cuando sean algebraicamente independientes y Σ sea una extensionalgebraica de k(ξ1, . . . , ξn); es decir, si son algebraicamente independientes sobre k y todo elementode Σ depende algebraicamente de ξ1, . . . , ξn.

Teorema 6.4.3. Sea Σ una extension de un cuerpo k generada por un numero finito de elementos.Existen bases de trascendencia de Σ sobre k y todas tienen el mismo numero de elementos, llamadogrado de trascendencia de Σ sobre k.

Demostracion. Sea Σ = k(ξ1, . . . , ξr). Reordenando los generadores si fuera preciso, podemos su-poner que ξ1, . . . , ξn son algebraicamente independientes sobre k y ξi depende algebraicamente deξ1, . . . , ξn para todo n + 1 ≤ i ≤ r. Por 6.2.3, k(ξ1, . . . , ξn, . . . , ξr) = Σ es una extension algebraica dek(ξ1, . . . , ξn) y concluimos que {ξ1, . . . , ξn} es una base de trascendencia de Σ sobre k. Por otra parte,si {y1, . . . , ym} es otra base de trascendencia de Σ sobre k, probaremos por induccion sobre i que,reordenandola si fuera preciso, Σ es una extension algebraica de k(ξ1, . . . , ξi, yi+1, . . . , ym). Cuandoi = 0 es cierto, pues Σ es una extension algebraica de k(y1, . . . , ym). Si i ≥ 1, por hipotesis de induc-cion ξi es algebraico sobre k(ξ1, . . . , ξi−1, yi, . . . , yn), ası que ξ1, . . . , ξi, yi, . . . , ym son algebraicamentedependientes sobre k. Como ξ1, . . . , ξi son algebraicamente independientes, reordenando yi, . . . , ym

podemos suponer que yi es algebraico sobre k(ξ1, . . . , ξi, yi+1, . . . , ym). Por hipotesis de induccion Σes algebraico sobre k(ξ1, . . . , ξi, yi, . . . , ym) y concluimos que Σ tambien es algebraico sobre el cuerpok(ξ1, . . . , ξi, yi+1, . . . , ym). Ahora, si m fuera menor que n, tendrıamos que Σ es algebraico sobrek(ξ1, . . . , ξm), contra la hipotesis de que ξ1, . . . , ξm, ξm+1 son algebraicamente independientes. Luegom ≥ n. Por igual razon n ≥ m y n = m.


Ejemplo 6.4.4. Sea k un cuerpo. El cuerpo k(x1, . . . , xn) de las funciones racionales en el espacioafın An tiene grado de trascendencia n, porque las funciones x1, . . . , xn forman claramente una basede trascendencia sobre k.

Ejemplo 6.4.5. Sea p(x1, . . . , xn) un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo k. Si el gradode p en xn es ≥ 1, entonces el cuerpo k(ξ1, . . . , ξn) de las funciones racionales sobre la hipersuperficiep(x1, . . . , xn) = 0 tiene grado de trascendencia n − 1 sobre k, porque una base de trascendencia es{ξ1, . . . , ξn−1}.

Notacion: Denotaremos por gr tr K por el grado de trascendencia de K.

Teorema 6.4.6. Sea A una k-algebra de tipo finito ıntegra. La dimension de Krull de A coincidecon el grado de trascendencia de su cuerpo de fracciones.

Demostracion. Vamos a demostrarlo por induccion sobre el grado de trascendencia. Si el grado detrascendencia del cuerpo de fracciones de A es cero, entonces este es una k-extension finita de k, luegoA es una k-algebra finita ıntegra. Por tanto, A es un cuerpo y su dimension de Krull es cero. Asıpues podemos suponer que el grado de trascendencia del cuerpo de funciones de A es mayor que cero.

Por el lema de Noether existe un morfismo finito k[x1, . . . , xn] ↪→ A. Localicemos en el puntogenerico de k[x1, . . . , xn] y escribamos S = k[x1, . . . , xn]− 0

k(x1, . . . , xn)finito↪→ AS , ıntegra

Por 6.2.12 el anillo AS es un cuerpo, luego AS es el cuerpo de fracciones de A. Por tanto, gr trAS =gr tr k(x1, . . . , xn) = n. Por otra parte, dim k[x1, . . . , xn] = dimA, por 6.2.21.

Ası pues, podemos suponer que A = k[x1, . . . , xn] y tenemos que ver que su dimension de Krull esn. Sea

0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pm ∗una cadena de longitud maxima de ideales primos de k[x1, . . . , xn]. Sea p ∈ p1, no nulo e irreducible.Como k[x1, . . . , xn] es un dominio de factorizacion unica (p) es un ideal primo, luego (p) = p1. Elanillo k[x1, . . . , xn]/(p) es ıntegro cuyo cuerpo de fracciones es de grado de trascendencia n− 1. Porinduccion sobre el grado de trascendencia, las cadenas de ideales primos en k[x1, . . . , xn]/(p) son delongitud menor o igual que n− 1. Haciendo cociente por (p) la cadena ∗ define la cadena de idealesprimos

0 ⊂ p2 ⊂ · · · ⊂ pm

Luego m− 1 ≤ n− 1. Ahora bien, en k[x1, . . . , xn] hay una cadena de longitud n

0 ⊂ (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ · · · ⊂ (x1, . . . , xn)

Luego n ≥ m. En conclusion n = m es la dimension de Krull k[x1, . . . , xn].

Ejercicio 6.4.7. Sean X = Spec A, Y = SpecB y X ×k Ydef= Spec A ⊗k B variedades algebraicas.

Demostrar quedim(X ×k Y ) = dim X + dim Y

Ejercicio 6.4.8. Sea f : X → Y un morfismo entre variedades algebraicas. Sea C ⊂ X un cerrado.Demostrar que

dim C ≥ dim f(C)

6.5. Catenariedad de las variedades algebraicas 89

6.5 Catenariedad de las variedades algebraicas

Teorema 6.5.1 (del ideal principal de Krull). Sea X = Spec A una variedad algebraica ıntegra.Sea f ∈ A, no nula y no invertible. Se verifica que la dimension de toda componente irreducible de(f)0 es dim X − 1.

Demostracion. Podemos suponer que (f)0 solo tiene una componente irreducible: Sea (f)0 = C1 ∪· · ·∪Cr la descomposicion de (f)0 en sus componentes irreducibles. Sea g ∈ A una funcion que se anuleen C2∪· · ·∪Cr pero no en C1. Sea U = Spec A−(g)0 = Spec Ag. U es una variedad algebraica ıntegrade la misma dimension que X, ya que tienen el mismo cuerpo de funciones. Ademas (f)0|U = C1|U .Sustituyendo X por U , podemos suponer que (f)0 solo tiene una componente irreducible.

Sea por el lema de normalizacion de Noether k[x1, . . . , xn] ↪→ A un morfismo finito inyectivo.Veamos que podemos suponer que A es k[x1, . . . , xn][f ]: El morfismo k[x1, . . . , xn][f ] ↪→ A es unmorfismo finito e inyectivo. Denotemos

π∗ : Spec A → Spec k[x1, . . . , xn][f ] (finito, y epiyectivo)

el morfismo inducido en los espectros. Se tiene que π∗−1((f)0) = (f)0. Por tanto, dim(f)0 en Spec Aes igual a dim(f)0 en Spec k[x1, . . . , xn][f ].

Ası pues, podemos suponer que A = k[x1, . . . , xn][f ]. Consideremos el morfismo

k[x1, . . . , xn] ↪→ k[x1, . . . , xn][f ] (finito e inyectivo)

Sea p(x1, . . . , xn, xn+1) un polinomio irreducible tal que p(x1, . . . , xn, f) = 0. El epimorfismo

k[x1, . . . , xn+1]/(p(x1, . . . , xn, xn+1)) → k[x1, . . . , xn][f ], xn+1 7→ f

es un isomorfismo, porque k[x1, . . . , xn+1]/(p(x1, . . . , xn, xn+1)) es un anillo de dimension n, ıntegroy si hubiese nucleo la dimension de k[x1, . . . , xn][f ] serıa menor que n.

En conclusion A = k[x1, . . . , xn+1]/(p(x1, . . . , xn, xn+1)) y f = xn+1. Por tanto,

dim(f)0 = dim A/(f) = dim k[x1, . . . , xn+1]/(p(x1, . . . , xn, xn+1), xn+1)

= dim k[x1, . . . , xn]/(p(x1, . . . , xn, 0)) ∗= n− 1

Solo nos falta ver la igualdad ∗. Escribamos p(x1, . . . , xn, 0) = p1 · · · · · pr como producto deirreducibles. Tenemos que dim(pi)0 = dim k[x1, . . . , xn]/(pi) = n−1 porque el grado de trascendenciadel cuerpo de funciones de k[x1, . . . , xn]/(pi) es n− 1. Por tanto,

dim k[x1, . . . , xn]/(p(x1, . . . , xn, 0)) = dim(p)0 = dim(∪i(pi)0) = n− 1

Definicion 6.5.2. Una cadena de cerrados irreducibles diremos que es maximal si no esta incluidaen ninguna otra mayor.

Corolario 6.5.3. Toda cadena de cerrados irreducibles maximal de una variedad algebraica irreducibletiene la misma longitud.


Demostracion. Sea X = Spec A la variedad algebraica irreducible. Sea x el punto generico de X.Obviamente X es homeomorfo como espacio topologico a Spec A/px. Por tanto, podemos suponerque la variedad algebraica es ıntegra. Demostraremos el corolario por induccion sobre la dimensionde Krull.

Sea X ⊃ X1 ⊃ · · · ⊃ Xm una cadena de cerrados irreducibles maximal. Sea f ∈ A una funcion nonula, que se anule en X1. Sea (f)0 = Y1 ∪ · · · ∪ Yr la descomposicion de (f)0 en cerrados irreducibles,obviamente X1 aparece. Por el teorema anterior dim X1 = dim X − 1, luego por induccion sobre ladimension m− 1 = dimX1 = dim X − 1, y por tanto m = dim X.

Definicion 6.5.4. Se dice que una variedad algebraica es catenaria si toda cadena de cerrados irre-ducibles maximal con extremos cualesquiera prefijados tiene la misma longitud.

Corolario 6.5.5. Las variedades algebraicas son catenarias.

Demostracion. Sean Y ⊃ Y ′ cerrados irreducibles de una variedad algebraica X. Sea Y ′ ⊃ Y ′1 ⊃

· · · ⊃ Y ′m una cadena de cerrados irreducible maximal de Y ′. Toda cadena de cerrados irreducibles

maximal de extremos Y, Y ′, junto con esta cadena, define una cadena maximal de Y “ampliada”.Como las cadenas “ampliadas” son todas de la misma longitud, por el corolario anterior aplicado aY , concluimos que toda las cadenas maximales de cerrados irreducibles de extremos Y, Y ′, tienen lamisma longitud.

Ejercicio 6.5.6. Sean Y, Y ′ subvariedades irreducibles de An. Supongamos que Y ∩ Y ′ 6= ∅. De-muestrese que

codim Y + codim Y ′ ≥ codim(Y ∩ Y ′)

Ejercicio 6.5.7. Sea f : X → Y un morfismo entre variedades algebraicas irreducibles. Sea y ∈ f(X)un punto cerrado. Demuestrese que

dim f−1(y) ≥ dim X − dim f(X)

6.6 Problemas

1. Definir el grupo multiplicativo Gm de los elementos no nulos de un cuerpo k, como variedadalgebraica sobre k, ası como los morfismos Gm × Gm → Gm y Gm → Gm correspondientes alproducto y paso al inverso. Analogamente para el grupo aditivo Ga de los elementos de k conla operacion de la suma de k.

2. Sea µ6 = Spec k[x]/(x6− 1) el grupo de las raıces sextas de la unidad sobre un cuerpo k. Deter-minar si es una variedad ıntegra o reducida, y calcular el numero de componentes irreduciblescuando k = Q,R,C,Z/2Z,Z/3Z,Z/5Z.

Definir los morfismos µ6×µ6 → µ6, µ6 → µ6 correspondientes a la nocion intuitiva de productoy paso al inverso en este grupo. Definir el concepto de morfismo de grupos µ6 → µ6 y del nucleodel mismo. Probar entonces que ψ : µ6 → µ6, α 7→ α2, es morfismo de grupos y calcular elnucleo.

3. Sea X una variedad algebraica afın ıntegra. Si dos morfismos de X en otra variedad algebraicaafın coinciden en un abierto no vacıo de X, probar que coinciden en X.

6.6. Problemas 91

4. Poner un ejemplo de variedad algebraica que sea la union de dos componentes no disjuntas, unade dimension 2, la otra de dimension 1.

5. Sean X, Y variedades algebraicas ıntegras sobre un cuerpo k y sean ΣX , ΣY sus respectivoscuerpos de funciones racionales. Si φ : Y → X es un morfismo que transforma el punto genericode Y en el punto generico de X (lo que equivale a que tenga imagen densa), induce un morfismode k-algebras ΣX → ΣY . Diremos que φ es un morfismo de grado n cuando ΣY sea unaextension finita de grado n de ΣX . Los morfismos de grado 1 se llaman morfismos birracionales.Diremos que X e Y son birracionalmente equivalentes si sus cuerpos de funciones racionales sonextensiones de k isomorfas: ΣX ' ΣY . Las variedades algebraicas birracionalmente equivalentesa un espacio afın se llaman racionales. Es decir, una variedad algebraica sobre k es racional sisu cuerpo de funciones racionales es isomorfo a un cuerpo de fracciones racionales k(x1, . . . , xn)con coeficientes en k.

(a) Sea C la cubica plana y2 = x2 +x3. El haz de rectas y = tx define un morfismo birracionalA1 → C, x = t2 − 1, y = t3 − t. Calcular el area del “ojo del lazo” definido por la curvay2 = x2 + x3.

(b) Sea C la cubica plana y2 = x3. El haz de rectas y = tx define un morfismo birracionalA1 → C, x = t2, y = t3.

6. Sea k ↪→ K una extension finita de cuerpos y X = SpecA una k-variedad algebraica. Probarque el morfismo natural XK = Spec A ⊗k K → X = Spec A de cambio de base es epiyectivo ycerrado.

7. Sea A un anillo ıntegro y a ∈ A no invertible, ni nula. Probar que el morfismo de localizacionA → Aa no es finito.

8. Sea A → B un morfismo de anillos de modo que B = ∪Bi, donde Bi son sub-A-algebras finitasde B (es decir, “A → B es un morfismo entero”). Probar que el morfismo Spec B → Spec A escerrado de fibras de dimension cero.

9. Sean p(x, y) y q(x, y) polinomios de k[x, y] sin factores comunes. Demostrar que la k-algebrak[x, y]/(p(x, y), q(x, y)) es finita.

10. Probar que el morfismo SpecC[z] → SpecC[x, y]/(y2 − x2 + x3), α 7→ (−α2 + 1, (−α2 + 1)α) esfinito.

11. Probar que el morfismo φ : C[x, y] → C[x, z], φ(x) = x, φ(y) = xz, no es finito.

12. Sea m ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal maximal. Probar que m esta generado por n funciones ¿Puedeestar generado por n− 1 funciones?

13. Sea π : X = SpecA → A1 = Spec k[x] un morfismo finito y supongamos que X es una variedadalgebraica ıntegra (de dimension 1). Probar que el numero de puntos de las fibras de π esconstante.

14. Supongase conocido el siguiente resultado:“Si k ↪→ K es una extension finita de cuerpos decaracterıstica cero, entonces existe un ξ ∈ K de modo que K = k(ξ)”. Demostrar que todavariedad algebraica ıntegra, sobre C, es birracionalmente isomorfa a una hipersuperficie de unespacio afın.


15. Se dice que en general los puntos de una variedad algebraica irreducible cumplen una propiedadsi existe un abierto de la variedad cuyos puntos cumplen la propiedad. Probar que en generallos polinomios en dos variables de grado menor o igual que n son irreducibles.

16. Demostrar que en general las matrices cuadradas son invertibles. Sean A y B dos matricescuadradas de orden n, probar que cA·B(x) = cB·A(x).

17. Dada una curva plana compleja p(x, y) = 0, y un punto de la curva (α, β), diremos que essingular si ∂p

∂x (α, β) = ∂p∂y (α, β) = 0. Demostrar que (α, β) es singular si y solo si toda recta que

pasa por (α, β) corta con multiplicidad mayor que uno a la curva en el punto.

Si (α, β) es no singular, diremos que la recta ∂p∂x (α, β) + ∂p

∂y (α, β) = 0 es tangente a la curva en(α, β). Demostrar que una recta es tangente en un punto singular (α, β), si y solo si corta a lacurva con multiplicidad mayor que uno en (α, β).

Capıtulo 7

Variedades proyectivas

7.1 Introduccion

En Geometrıa Lineal el marco “afın” pronto se muestra excesivamente estrecho y es necesario laintroduccion de los espacios proyectivos. Lo mismo sucede en Geometrıa Algebraica, donde habra queintroducir el concepto de variedad proyectiva. Por poner un ejemplo de esta necesidad, digamos queel teorema de Bezout, que afirma que dos curvas planas de grados n y m, se cortan en n ·m puntos,es un enunciado en el plano proyectivo, pues es necesario para la validez de este teorema considerarlos puntos del infinito.

Del modo mas simple, podemos decir que la Geometrıa Algebraica es el estudio de las solucionesde un sistema de ecuaciones polinomicas en un espacio proyectivo, es decir el estudio de las variedadesalgebraicas proyectivas.

En Geometrıa lineal se define el espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial como el conjuntode rectas del espacio vectorial (que pasan por el origen). En Geometrıa Algebraica vamos a definir demodo equivalente a partir de An = SpecC[x1, . . . , xn] el espacio proyectivo. Las unicas subvariedadesV que queremos considerar en An son las variedades homogeneas, es decir, las que contengan paratodo punto cerrado p ∈ V las rectas que pasan por p y el origen. Ası, las subvariedades homogeneasde dimension menor seran las rectas que pasan por el origen, que se corresponderan con los puntoscerrados del espacio proyectivo que queremos asociarle a An.

Si p(x1, . . . , xn) ∈ k[x1, . . . , xn] es una funcion que se anula en la variedad homogenea V , escri-bamos p(x1, . . . , xn) = ps(x1, . . . , xn) + · · · + pm(x1, . . . , xn) como suma de polinomios homogeneos.Tendremos que

p(λx1, . . . , λxn) = λsps(x1, . . . , xn) + · · ·+ λmpm(x1, . . . , xn) = 0 en V ∀ λ

Por tanto, pi(x1, . . . , xn) = 0 en V , para todo i. En conclusion, V = (I)0, donde I es un ideal generadopor polinomios homogeneos. Es facil ver el recıproco, es decir, si V = (I)0 donde I es un ideal generadopor polinomios homogeneos, entonces para todo punto cerrado p = (α1, . . . , αn) ∈ V las rectas quepasan por p y el origen estan contenidas en V . En particular, las subvariedades homogeneas V ⊆ An

minimales son las rectas que pasan por el origen.Diremos que el espacio proyectivo Pn−1 = ProjC[x1, . . . , xn] asociado a C[x1, . . . , xn] es el sub-

conjunto de An de los ideales primos de C[x1, . . . , xn] generados por polinomios homogeneos. Siconsideramos en Pn−1 la topologıa inducida por An, tendremos que los puntos cerrados de Pn−1 se

93

94 Capıtulo 7. Variedades proyectivas

corresponden con las variedades homogeneas de An de dimension mas pequena, que son justamentelas rectas de An que pasan por el origen.

En Geometrıa Proyectiva se demuestra que Pn−1 esta recubierto por los subconjuntos Uhxi

= {rectasde Cn = {(x1, . . . , xn) | xi ∈ C} que pasan por el origen y no yacen en el hiperplano xi = 0} y queestos se corresponden con los puntos del espacio afın An−1, del modo siguiente: El morfismo

An − {xi = 0} → An−1, (α1, . . . , αn) 7→ (α1

αi, . . . ,

αn

αi)

tiene por fibras las rectas que pasan por el origen y no yacen en el hiperplano xi = 0, es decir, inducela igualdad

Uhxi

= {rectas λ(α1, . . . , αn) | αi 6= 0} An−1

λ(α1, . . . , αn) Â // (α1αi

, . . . , αn

αi)

En Algebra Conmutativa, se prueba que Uhxi

= { x ∈ ProjC[x1, . . . , xn] que no yacen en (xi)0} seidentifica con ProjC[x1, . . . , xn]xi ; y la composicion de los morfismos morfismo

Uhxi

� � // An − (xi)0 // An−1

(α1, . . . , αn) Â // (α1αi

, . . . , αn

αi)

C[x1, . . . , xn]xiC[x1

xi, . . . , xn

xi]? _oo

induce un homeomorfismo Uhxi

= ProjC[x1, . . . , xn]xi ' SpecC[x1xi

, . . . , xn

xi]. Ademas se prueba que

Pn−1 = ∪iUh

xi.

7.2 Espectro proyectivo

Procedamos con todo rigor y generalidad.

Definicion 7.2.1. Diremos que un anillo R = ⊕n∈Z

Rn es un algebra graduada si los Ri son subgrupos

de R con la suma y si para cada ri ∈ Ri y rj ∈ Rj , entonces ri · rj ∈ Ri+j

Definicion 7.2.2. Sea R = ⊕n∈Z

Rn un algebra graduada. Diremos que un ideal I ⊂ R de un algebra

graduada es homogeneo si esta generado por elementos homogeneos, es decir, I = (ij)j∈J con ij ∈ Rnj .

Ejercicio 7.2.3. Probar que un ideal I ⊆ R es homogeneo si cumple que si f = fs+fs+1+· · ·+fn ∈ I(fi elemento homogeneo de grado i) entonces fi ∈ I para todo i.

Llamaremos ideal irrelevante de R al ideal ( ⊕n≥0

Rn). .

Definicion 7.2.4. Llamaremos espectro proyectivo de R, y lo denotaremos ProjR, al conjunto deideales primos homogeneos que no contienen al ideal irrelevante.

7.2. Espectro proyectivo 95

Evidentemente Proj R ⊂ Spec R. Consideraremos Proj R como espacio topologico con la to-pologıa inicial heredada de la topologıa de Zariski de Spec R. Si denotamos (f)h

0 a los idealesprimos homogeneos que contienen a f ∈ R y escribimos f = fn + fn+1 · · · + fm, es obvio que(f)h

0 = (fn, . . . , fm)h0 = (fn)h

0 ∩ · · · ∩ (fm)h0 . Por tanto, una base de abiertos de la topologıa de Proj R

son los abiertos

Uhf = {x ∈ Proj R, f /∈ px}, (f homogeneo)

Si fm ∈ Rm es un elemento homogeneo, entonces Rfmes una algebra homogenea, diciendo que el

grado de gn

frm∈ Rfm

es n−mr, para cada gn ∈ Rn.

Definicion 7.2.5. Diremos que un morfismo de algebras φ : R → R′ graduadas es un morfismograduado de grado m ∈ N, si para cada fn ∈ Rn entonces φ(fn) ∈ R′nm.

Si φ : R → R′ es un morfismo graduado entonces el morfismo inducido φ∗ : Spec R′ → Spec R,aplica ideales primos homogeneos en ideales primos homogeneos. Si suponemos que la imagen delideal irrelevante por φ no esta contenido en mas ideal primo homogeneo que los que contengan alirrelevante, tenemos definido un morfismo

φ∗ : Proj R′ → Proj R, x 7→ φ∗(x), donde pφ∗(x) = φ−1(px)

Ejemplo 7.2.6. Sea φ : k[x0, x1, x2] → k[x0, x1, x2], φ(xi) =∑j

λijxj , de modo que |λij | 6= 0. Se

cumple que φ es un isomorfismo graduado de grado 1, que induce un ismorfismo φ∗ : P2 → P2.Diremos que φ es un cambio de coordenadas homogeneo.

Dejamos que el lector demuestre

Proposicion 7.2.7. 1. Se cumple que R → Rfm es un morfismo de grado uno y

Uhfm

= Proj Rfm

2. Si I es un ideal homogeneo de R entonces R/I es es un algebra graduada homogenea, de modoque el morfismo R → R/I es un morfismo graduado de grado uno y

ProjR/I = (I)h0

Dada un algebra graduada R denotaremos por R0 a la subalgebra de R formada por los elementosde grado cero de R.

Por sencillez supondremos a partir de ahora que R = R0[ξ0, . . . , ξn], donde cada ξi es de grado 1.

Teorema 7.2.8. Se verifica

1. ProjR =n∪

i=0(Proj R− (ξi)h

0 ).

2. (Proj R− (ξi)h0 ) '

∗Spec R0[ ξ0

ξi, . . . , ξn

ξi], donde '

∗es un homeomorfismo.

Demostracion. 1. Proj R =n∪

i=0Uh

ξi, ya que

n∩i=0

(ξi)h0 = (ξ0, . . . , ξn)h

0 = ∅ (pues (ξ0, . . . , ξn) es el ideal

irrelevante).


2. Hemos sobrentendido que R0[ξ0/ξi, . . . , ξn/ξi] es el subanillo obvio de R0[ξ0, . . . , ξn]ξi= ⊕

n∈Zξni ·

R0[ξ0/ξi, . . . , ξn/ξi].La composicion de los dos morfismos naturales Proj R0[ξ0, . . . , ξn]ξi ↪→ Spec R0[ξ0, . . . , ξn]ξi →

Spec R0[ξ0/ξi, . . . , ξn/ξi], p 7−→ (p ∩R0[ξ0/ξi, . . . , ξn/ξi]), va a ser el homeomorfismo buscado.Es obvio que todo primo homogeneo p de R0[ξ0, . . . , ξn]ξi

esta determinado por sus elementoshomogeneos de grado cero, es decir, por p∩R0[ξ0/ξi, . . . , ξn/ξi]. Es facil comprobar que dado un idealprimo q ⊂ R0[ξ0/ξi, . . . , ξn/ξi] entonces q ·R0[ξ0, . . . , ξn]ξi = ⊕ξn

i · q es un ideal primo homogeneo deR0[ξ0, . . . , ξn]ξi

. Con lo que obtenemos una biyeccion

ProjR0[ξ0, . . . , ξn]ξi

∗ Spec R0[ξ0/ξi, . . . , ξn/ξi]

p Â // p ∩R0[ξ0/ξi, . . . , ξn/ξi]

q ·R0[ξ0, . . . , ξn]ξiqÂoo

A traves de esta identificacion (fn)h0 = (fn/ξn

i )h0∗= (fn/ξn

i )0 en Spec R0[ξ0/ξi, . . . , ξn/ξi]. Es decir,∗= es un homeomorfismo.

Diremos que Uhξi

es un abierto afın de Proj R.

Ejercicio 7.2.9. Demostrar que R0[ ξ0ξi

, . . . , ξn

ξi] ' R0[ξ0, . . . , ξn]/(ξi − 1) y que por tanto, Uh

ξi'

(ξi − 1)0. Probar que Uhξi× (A1 −{0}) = Uξi . Dar una interpretacion geometrica de estos resultados.

Ejercicio 7.2.10. Demostrar que el conjunto de puntos cerrados de Pn(C) = ProjC[x0, . . . , xn] esbiyectivo con el conjunto Cn+1/ ∼, donde (α0, . . . , αn) ∼ (α′0, . . . , α

′n) si (α′0, . . . , α

′n) = (λ ·α0, . . . , λ ·

αn).

Ejercicio 7.2.11. 1. En cada uno de los abiertos “afines” de la curva proyectiva compleja planaProjC[x0, x1, x2]/(x2

0 + x21 + x2

2) complementario de los cerrados (xi)h0 , escribir las ecuaciones

de la curva (“deshomogeneizar”).

2. Demostrar que el epimorfismo C[x0, x1, x2] → C[x0, x1, x2]/(x20 + x2

1 + x22) define una inmersion

cerrada ProjC[x0, x1, x2]/(x20 + x2

1 + x22) ↪→ P2

3. Definir una curva proyectiva plana que en uno de los abiertos afines sea la curva plana “afın”y + x2 = 0. ¿Corta la recta x = 0, a la curva y + x2 = 0, en algun punto del “infinito”?

7.3 Dimension en variedades proyectivas

Definicion 7.3.1. Si X = Proj k[ξ0, . . . , ξn] diremos que es una variedad proyectiva .

Ejemplo 7.3.2. P1, P2, Pn = Proj k[x0, . . . , xn]. En general, Proj k[x0, . . . , xn]/I, donde I es unideal homogeneo; recordemos que (I)h

0 = Proj k[x0, . . . , xn]/I.

7.4. Interseccion de curvas planas. Teorema de Bezout 97

Si C es un cerrado de Proj R, entonces C = (J)h0 , donde podemos suponer que J es un ideal

homogeneo de R, de hecho el ideal I de todas las funciones de R que se anulan en C es homogeneoy C = (I)h

0 . Obviamente, el cierre de C en Spec R, es C = (I)0 e I, de nuevo, es el ideal de todaslas funciones que se anulan en (I)0. Si C es irreducible entonces su cierre en Spec R es irreducible ysabemos que I = px es un ideal primo (homogeneo) y que (I)0 = x, luego C = xh (denotamos porY h al cierre de un conjunto Y ⊆ ProjR en Proj R).

Todo subespacio de un espacio noetheriano es noetheriano. Por tanto, si R = k[ξ0, . . . , ξn] entoncesProj R ⊆ Spec R, es un espacio noetheriano. Por tanto, Proj R es union de un numero finito decerrados irreducibles y ProjR = xh

1 ∪ · · · ∪ xhr , donde px1 , . . . , pxr

son los ideales primos homogeneosminimales de R.

Definicion 7.3.3. Diremos que la dimension de Proj R es la maxima longitud de sus cadenas de cerra-dos irreducibles, que coincide con la maxima longitud de las cadenas de ideales primos homogeneosde R (donde nunca consideraremos el ideal irrelevante). Si ademas dim X = 1 diremos que X es unacurva proyectiva.

Si xh1 ⊃ · · · ⊃ xh

m es una cadena de cerrados irreducibles de longitud maxima de Proj R y xn ∈Uh

ξi⊆ ProjR, entonces xh

1 ∩Uhξi⊃ · · · ⊃ xh

m∩Uhξi

es una cadena de cerrados irreducibles en Uhξi

. Comola dimension de un abierto es siempre menor o igual que la del espacio, tenemos que

dimProj R = dim Uhξi

= dim k[ξ0

ξi, . . . ,

ξn

ξi]

Ejercicio 7.3.4. Probar que la dimension de Pn es n. Probar que la dimension de la esfera (“com-pleta”) Proj k[x0, x1, x2, x3]/(x2

1 + x22 + x2

3 − x20) es dos.

Proposicion 7.3.5. Las variedades proyectivas son catenarias.

Demostracion. Dados dos cerrados irreducibles xh1 ⊃ xh

2 , sea Uhξi

un abierto afın que contenga a x2.Para ver que toda cadena maximal de cerrados irreducibles entre xh

1 y xh2 tiene la misma longitud

podemos restringirnos a Uhξi

, que es una variedad algebraica afın. Concluimos por 6.5.5.

7.4 Interseccion de curvas planas. Teorema de Bezout

Definicion 7.4.1. Si A es una k-algebra finita diremos que dimk A es el numero de puntos de Spec A(“contando multiplicidades”).

Si C = Spec k[x1, . . . , xn]/I y C ′ = Spec k[x1, . . . , xn]/I ′ son dos curvas afines sin componen-tes comunes, entonces C ∩ C ′ = Spec k[x1, . . . , xn]/(I + I ′) esta formado por un numero finito depuntos cerrados x1, . . . , xn. Diremos que el numero de puntos de la interseccion de C con C ′ esdimk k[x1, . . . , xn]/(I + I ′).

Ejercicio 7.4.2. Calcular el numero de puntos de corte de la recta x = 0, con la curva y3+xy+x3+1 =0.

Proposicion 7.4.3. Sean C ≡ p(x, y) = 0 y C ′ ≡ q(x, y) · q′(x, y) = 0 dos curvas planas afines sincomponentes comunes. Escribamos C1 ≡ q(x, y) = 0 y C2 ≡ q′(x, y) = 0. Se cumple que el numerode puntos de interseccion de C con C ′, es la suma del numero de puntos de interseccion de C con C1

mas el numero de puntos de interseccion de C con C2.


Demostracion. Basta probar la exactitud de la sucesion

0 → k[x, y]/(p(x, y), q(x, y))·q′(x,y)−→ k[x, y]/(p(x, y), q(x, y) · q′(x, y))

−→ k[x, y]/(p(x, y), q′(x, y)) → 0

Veamos solo que ·q′(x, y) es inyectiva. Si r(x, y) · q′(x, y) = 0 en k[x, y]/(p(x, y), q(x, y) · q′(x, y)),entonces r(x, y) · q′(x, y) = a · p(x, y) + b · q(x, y) · q′(x, y) en k[x, y]. Como p(x, y) y q′(x, y) sonprimos entre si, se cumple que q′(x, y) divide a a y r(x, y) ∈ (p(x, y), q(x, y)), es decir, r(x, y) = 0 enk[x, y]/(p(x, y), q(x, y)).

Sean C ≡ pn(x0, x1, x2) = 0 y C ′ ≡ pm(x0, x1, x2) = 0 dos curvas proyectivas planas, sin compo-nentes comunes y C ∩ C ′ la interseccion de las dos curvas planas.

Si Uhx0

es un abierto afın que contiene a C ∩ C ′, sean x = x1x0

y y = x2x0

coordenadas afines y

escribamos pn(x0,x1,x2)xn0

= pn(1, x, y) = p(x, y) y pm(x0,x1,x2)xm0

= pm(1, x, y) = q(x, y). Entonces

C ∩ C ′ = C ∩ C ′ ∩ Uhx0

= Spec k[x, y]/(p(x, y), q(x, y))

Diremos que el anillo k[x, y]/(p(x, y), q(x, y)) es el anillo de funciones de C ∩C ′, tambien diremos quedimk k[x, y]/(p(x, y), q(x, y)) es el numero de puntos en los que se cortan C y C ′.

El anillo de funciones de C ∩C ′ no depende del abierto afın Uhx0

(que contiene a C ∩C ′) tomado:sea Uh

x1otro abierto afın que contiene a C ∩ C ′ y escribamos x′ = 1

x = x1x0

y y′ = yx = x2

x0y

p′(x′, y′) = pn(x0,x1,x2)xn1

= p(x,y)xn y q′(x′, y′) = pm(x0,x1,x2)

xm1

= q(x,y)xm . Se cumple que x = x1

x0es una

funcion que no se anula en ningun punto de C ∩ C ′ ∩ Uhx0

, e igualmente x′ = x0x1

es una funcion queno se anula en ningun punto de C ∩ C ′ ∩ Uh

x1, luego

k[x, y]/(p(x, y), q(x, y)) = (k[x, y]/(p(x, y), q(x, y)))x = (k[x′, y′]/(p′(x′, y′), q′(x′, y′)))x′

= k[x′, y′]/(p′(x′, y′), q′(x′, y′))

Teorema 7.4.4 (de Bezout). El numero de puntos de interseccion de dos curvas proyectivas planasC ≡ pn(x0, x1, x2) = 0, C ′ ≡ qm(x0, x1, x2) = 0 de grados n y m, sin componentes comunes, es n ·m.

Demostracion. La idea de la demostracion es la siguiente: Supongamos que la recta del infinito (x0)h0

no pasa por C ∩ C ′. Afınmente nuestras curvas se escribiran pn(1, x1, x2) = 0, qm(1, x1, x2) = 0 y lainterseccion es C ∩ C ′ = Spec k[x1, x2]/(pn(1, x1, x2), qm(1, x1, x2)) (nos conviene usar esta notacionporque nos permite pensar afınmente las curvas C y C ′ como curvas en el plano x0 = 1). El “cono”, enA3 = Spec k[x0, x1, x2], que pasa por C∩C ′ y vertice (0, 0, 0), es Spec k[x0, x1, x2]/(pn(x0, x1, x2), qm(x0, x1, x2)).Probaremos que los planos x0 = λ cortan al cono en el mismo numero de puntos. La intersec-cion del cono con el plano x0 = 1 es justamente C ∩ C ′. La interseccion del cono con el planox0 = 0 es la interseccion de pn(x0, x1, x2) = 0, x0 = 0, que son n rectas que pasan por el origen, conqm(x0, x1, x2) = 0, x0 = 0 que son m rectas que pasan por el origen. En conclusion, reducimos elproblema del corte de dos curvas de grados n y m al problema del corte de n rectas con m rectas.

Por cambio de coordenadas homogeneo podemos suponer que (x0)h0 ∩ C ∩ C ′ = ∅. Tenemos que

demostrar quedimk k[x1, x2]/(pn(1, x1, x2), qm(1, x1, x2)) = n ·m

Sea B = k[x0, x1, x2]/(pn(x0, x1, x2), qm(x0, x1, x2)).


Se verifica que B es un k[x0]-modulo sin torsion: Si p(x0) · b = 0, escribamos p(x0) =s∑

i=0

aixi0

y b =r∑

i=0

bi(x0, x1, x2) (siendo los bi(x0, x1, x2) polinomios homogeneos de grado i). Entonces, xs0 ·

br(x0, x1, x2) = 0. Es decir, x0 serıa divisor de cero en B. Si a·x0 = 0 en B, entonces a·x0 = bpn+cqm.Entonces, 0 = b(0, x1, x2)pn(0, x1, x2)+c(0, x1, x2)qm(0, x1, x2). Como pn(0, x1, x2) y qm(0, x1, x2) sonprimos entre si, c(0, x1, x2) ∈ (pn(0, x1, x2)). Es decir, c ∈ (x0, pn), digamos c = c1x0 + c2pn. Luego(a− c1qm)x0 = (b + c2)pn. Como x0 y pn son primos entre si, a− c1qm ∈ (pn). Luego a ∈ (pn, qm) yx0 no es divisor de cero en B.

El morfismo B ↪→ Bx0 es inyectivo. Denotemos A = [Bx0 ]0. Sabemos que Bx0 = ⊕n∈Z

A · xn0 .

Denotemos B+x0

= ⊕n∈N

A · xn0 . Obviamente, B+

x0es un k[x0]-modulo finito y como B se inyecta en B+

x0

es tambien un k[x0]-modulo finito. En conclusion, B es un k[x0]-modulo finito sin torsion, luego libre.Escribamos B = k[x0]⊕ s. . .⊕ k[x0]. Por tanto,

dimk B/(x0) = dimk B ⊗k[x0] k[x0]/(x0) = s = dimk B ⊗k[x0] k[x0]/(x0 − 1)= dimk B/(x0 − 1) = dimk k[x1, x2]/(pn(1, x1, x2), qm(1, x1, x2))

Ası pues, tenemos que demostrar que dimk B/(x0) = n ·m.

dimk B/(x0) = dimk k[x1, x2]/(pn(0, x1, x2), qm(0, x1, x2))

=n,m∑

i,j

dimk k[x1, x2]/(aix1 + a′ix2, bjx1 + b′jx2) =n,m∑

i,j

1 = n ·m

En la teorıa, un concepto pugna por emerger. Dado un espacio topologico, podemos hablar paracada abierto del espacio de las funciones continuas en el abierto. Dada una variedad algebraicaafın X = Spec A, hemos visto que Ua = Spec Aa y hemos dicho que Aa es el anillo de funcionesalgebraicas sobre Ua. Parece que podrıamos decir que en las variedades algebraicas, como en losespacios topologicos, podemos hablar de las funciones algebraicas en cada abierto de la variedad. Esdecir, cuando escribimos X = Spec A, en realidad tenemos en mente la pareja (Spec A,A), y paracada abierto Ua, la pareja (Ua, Aa). Dada un variedad proyectiva, X = Proj k[ξ1, . . . , ξn], hemos vistoque Uh

ξi= Spec k[ ξ1

ξi, . . . , ξn

ξi] y podrıamos decir que k[ ξ1

ξi, . . . , ξn

ξi] es el anillo de funciones algebraicas

sobre Uhξi

. De nuevo, parece que podrıamos decir, para cada abierto de X, cuales son las funcionesalgebraicas en el abierto. Este va a ser el hecho nuclear en la definicion de variedad algebraica (afıno no) que debemos explicitar con detalle y rigor. Para ello, se necesitan los conceptos de haces yespacios anillados, que se estudiaran en cursos posteriores.

Por sencillez, vamos a suponer que k es un cuerpo algebraicamente cerrado.Escribamos Spec k[x1, . . . , xn]/(I + I ′) = {x1, . . . , xn}. Por 6.2.14

k[x1, . . . , xn]/(I + I ′) = (k[x1, . . . , xn]/(I + I ′))x1 × · · · × (k[x1, . . . , xn]/(I + I ′))xn

Diremos que dimk(k[x1, . . . , xn]/(I + I ′))x =Not

µx(C,C ′) es la multiplicidad de interseccion de C con

C ′ en x ∈ C ∩ C ′.

Ejercicio 7.4.5. Calcular la multiplicidad de interseccion en el origen de la curva y2 = x2 + y3 conla curva y3 + x2 = 0.


Proposicion 7.4.6. El numero de puntos de corte de dos curvas, sin componentes comunes, es iguala la suma de las multiplicidades de interseccion en cada uno de los puntos de corte de las dos curvas,es decir,

dimk k[x1, . . . , xn]/(I + I ′) =∑

x∈C∩C′µx(C, C ′)

Dada la curva plana afın p(x, y) = 0, escribamos p(x, y) = pr(x, y) + pr+1(x, y) + · · · + pn(x, y)como suma de polinomios homogeneos. Tenemos que

pr(x, y) = xr · pr(1,y

x) = xr ·

r∏

i=1

(aiy

x+ bi) =

r∏

i=1

(aiy + bix)

Es decir, pr(x, y) es el producto de r-rectas. Diremos que estas rectas son las tangentes de p(x, y) = 0en el origen y que la multiplicidad de C ≡ p(x, y) = 0 en el origen es r, numero que denotaremos porµ(0,0)(C). Por traslaciones estas definiciones se pueden trasladar a todo punto p de p(x, y) = 0. Siµp(C) = 1 diremos que p es no singular. Si µp(C) > 1 diremos que p es singular.

Si dos curvas planas son no singulares en un punto, no es difıcil demostrar que la multiplicidad deinterseccion es uno si no son tangentes en el punto y mayor que uno si lo son. En el caso de que seansingulares, el calculo de la multiplicidad de interseccion es mas difıcil.

Consideremos el nodo y2 − x2 + x3 = 0. Voy a “levantar” esta curva a una curva en A3, demodo que el nudo se deshaga. Consideremos la hipersuperficie de A3, y = zx, que es el conjuntode las rectas y = αx (sobre los planos z = α). Si consideramos la interseccion del cilindro de A3

y2 − x2 + x3 = 0 con la hipersuperficie y = zx, quitamos el eje z y tomamos el cierre de la curvaobtenida obtenemos el levantamiento buscado. En coordenadas, la curva levantada es y2−x2+x3

x2 =( y

x )2 − 1 + x = 0, es decir, la curva z2 − 1 + x = 0 sobre la superficie y = zx. Ası pues, la curvalevantada es Spec k[x, y, z]/(z2−1+x, y−zx) = Spec k[x, z]/(z2−1+x). El calculo de la multiplicidadde interseccion del nodo y2 − x2 + x3 con otra curva plana q(x, y) = qs(x, y) + · · · + qn(x, y) en elorigen se reduce al calculo de la multiplicidad de interseccion de y2−x2+x3

x2 = 0 con q(x,y)xs = 0, como

veremos.

Lema 7.4.7. Sea C ≡ p(x, y) = 0 una curva plana y supongamos que la recta x = 0 no es tangentea la curva en p = (0, 0). Escribamos p(x, y) = pr(x, y) + pr+1(x, y) + · · · + pn(x, y) y p(x,y)

xr =pr(1, y

x ) + pr+1(1, yx )x + · · ·+ pn(1, y

x )xn−r = p(x, z) (donde z = yx) y C ≡ p(x, z) = 0. Consideremos

el morfismo natural i : k[x, y]/(p(x, y)) → k[x, z]/(p(x, z))x 7→ x, y 7→ xz. Se cumple que

1. (k[x, y]/(p(x, y)))x = (k[x, z]/(p(x, z)))x

2. El numero de puntos (distintos o no) de la fibra de p por i∗ es igual al numero de tangentes(distintas o no) de C en p.

3. (i∗)−1(p) = (x)0 ∩ C en Spec k[x, z]. Por tanto por 2., µp(C) coincide con la multiplicidad deinterseccion de (x)0 con C.

4. C = (i∗)−1(p)∐

(C − (x)0).

5. ip : A = (k[x, y]/(p(x, y)))p → B = (k[x, z]/(p(x, z)))p, x 7→ x, y 7→ xz es un morfismo finito.Ademas, ip es un isomorfismo si y solo si p es un punto no singular de C.


Demostracion. El punto 1. es obvio, sin mas que observar que el morfismo inverso es x 7→ x, z 7→ yx .

Tenemos que

(i∗)−1(p) = Spec k[x, z]/(p(x, z), x, xz) = Spec k[z]/(pr(1, z))

y facilmente se concluye el punto 2 y que (i∗)−1(p) = (x)0 ∩ C.Del punto 1. se deduce que C = (i∗)−1(p)

∐(C − (x)0) = (i∗)−1(p)

∐(C − (x)0).

Veamos el punto 5.: Obviamente x es finito sobre A y z tambien, porque cumple la relacion entera

0 = p(x, z) =p(x, y)

xr= (

y

x)r(1 + y) + polinomio en

y

xcon coeficientes en k[x], de grado < r

= zr(1 + y) + polinomio en z con coeficientes en k[x], de grado < r

donde 1 + y es invertible, porque no se anula en p. Luego i es un morfismo finito.Si r = 1 entonces x, z ∈ A e ip es un isomorfismo. Recıprocamente si ip es un isomorfismo entonces

r = #(i∗p)−1(p) = 1 y p es un punto no singular.

Diremos que C = Spec k[x, z]/(p(x, z)) es la explosion de C en p, que el morfismo i∗ : C → C esuna transformacion cuadratica, que (i∗)−1(p) es la fibra excepcional y que (x)0 ⊂ Spec k[x, z] es elciclo excepcional.

Proposicion 7.4.8. Sean C ≡ p(x, y) = 0 y C ′ = q(x, y) = 0 dos curvas planas sin componentescomunes, y p ∈ C ∩ C ′. Se cumple que

µp(C, C ′) = µp(C) · µp(C ′) +∑

pi∈Fibra excep.

µpi(C, C ′)

Demostracion. Podemos suponer que p = (0, 0) y que x = 0 no es tangente a C ni a C ′. Escribamosp(x, y) = pr(x, y)+pr+1(x, y)+ · · ·+pn(x, y), q(x, y) = qs(x, y)+ · · ·+qm(x, y). Podemos suponer quep(x, y) es irreducible, porque µp(C1∪C2) = µp(C1)+µp(C2) y µp(C1∪C2, C

′) = µp(C1, C′)+µp(C2, C

′)(como esencialmente hemos visto en 7.4.3) y la explosion de la union es la union de los explotados.

Consideremos el morfismo

A = (k[x, y]/(p(x, y)))pi

↪→ (k[x, z]/(p(x, z))p = B

Se verifica que i es un morfismo finito y birracional por el lema anterior. Por tanto, el idealanulador I ⊂ A de B/A es no nulo. Como B/A es un A/I-modulo finito, y A/I un k-espacio vectorialde dimension finita tenemos que B/A es un k-espacio vectorial de dimension finita. Por el lema quesigue

dimk A/(q(x, y)) = dimk B/(q(x, y)) = dimk B/(xs · q(x, z))= dimk B/(xs) + dimk B/(q(x, z)) = s · dimk B/(x) + dimk B/(q(x, z))

Ahora bien, por el punto 2. del lema B/(x) = r. En conclusion,

µp(C, C ′) = dimk A/(q(x, y)) = s · r + dimk B/(q(x, z)) = µp(C) · µp(C ′) +∑

pi∈Fibra excep.

µpi(C, C ′)


Lema 7.4.9. Sean A y B k-algebras ıntegras y A ↪→ B un morfismo de k-algebras. Supongamos queA/aA,B/aB y B/A son k-espacios vectoriales de dimension finita. Se cumple que

dimk A/aA = dimk B/aB

Demostracion. Consideremos el diagrama

aA� � //� _

²²

aB� _

²²A� � // B

Entonces

dimk B/aB + dimk aB/aA = dimk B/aA = dimk B/A + dimk A/aA

Observemos que B/A ' aB/aA, b 7→ ab. Por tanto, dimk A/aA = dimk B/aB

Ejercicio 7.4.10. Siguiendo las notaciones de la proposicion anterior, probar que C y C ′ no tienentangentes comunes en p si y solo si pr(1, y

x ), qs(1, yx ) son primos entre si, o equivalentemente si

q(x,y)xs = q(x, z) es invertible en B. Concluir que C y C ′ no tienen tangentes comunes en p si y solo si

su multiplicidad de interseccion en p es igual al producto de la multiplicidad de C en p por la de C ′

en p.

Corolario 7.4.11. La multiplicidad de una curva plana p(x, y) = 0 en un punto es r si existe unacurva no singular en p que corte a la curva con multiplicidad r en el punto, y toda otra curva nosingular en p corta a la curva con multiplicidad mayor o igual que r. Una recta sera tangente a lacurva en el punto si y solo si la corta con multiplicidad mayor que r.

Corolario 7.4.12. La multiplicidad de una curva plana en un punto p es mayor o igual que la sumade las multiplicidades de los puntos de la fibra excepcional de la explosion de la curva plana en elpunto p y es estrictamente mayor si y solo si el ciclo excepcional es tangente a la curva explotada.

Demostracion. Recordemos que µp(C) es igual a la multiplicidad de interseccion del ciclo excepcionalcon la curva explotada. Como el ciclo excepcional es una recta (luego no singular), la multiplicidadde interseccion del ciclo excepcional con la curva explotada es igual a la suma de las multipicidades delos puntos de la fibra excepcional, cuando el ciclo excepcional no sea tangente a la curva explotada.En caso contrario es mayor.

Ejercicio 7.4.13. Sea C ≡ p(x, y) = 0 una curva plana, x′, y′ polinomios que se anulan en el origentales que k[x, y] = k[x′, y′]. Escribamos p(x, y) = p′(x′, y′). Supongamos que x′ no es tangente a Cen el origen. Demostrar que

(k[x, z]/(p(x, z))) x′x

= (k[x′, z′]/(p′(x′, z′))) xx′

Justificar que la explosion de una curva plana en un punto p no depende, localmente en p, del sistemade coordenadas.

7.5. Desingularizacion de curvas planas vıa el contacto maximal 103

7.5 Desingularizacion de curvas planas vıa el contacto maxi-mal

Nuestro objetivo es demostrar que dada una curva plana mediante un numero finito de explosionesobtenemos una curva sin puntos singulares, i.e., una curva no singular. El numero de puntos singularesde una curva plana es finito. Al explotar en un punto singular de multiplicidad µ, la multiplicidad delos puntos de la fibra excepcional es menor que µ, salvo quizas, que solo aparezca un punto en la fibraexcepcional. Tenemos que probar, para demostrar que mediante un numero finito de explosiones todacurva plana desingulariza, que despues de un numero finito de explosiones la multiplicidad baja.

En este apartado vamos a demostrar, dada una curva plana, la existencia de curvas de “contactomaximal”. Es decir, dada una curva y un punto p de ella, existe una curva no singular en p, conmultiplicidad de corte con la curva dada en p maxima. Esta curva, verificara que pasa por el punto ylos puntos de las sucesivas fibras excepcionales (explotando), siempre que no bajen de multiplicidad.Como la multiplicidad de corte de dos curvas es finita (siempre que no tengan componentes comunes)obtendremos que la multiplicidad de una curva en un punto habra de bajar despues de un numerofinito de explosiones. Ası podremos demostrar la desingularizacion de las curvas planas por un numerofinito de explosiones.

Las tecnicas e ideas aquı desarrolladas para la desingularizacion de curvas planas son basicamentelas que se utilizan para la desingularizacion de superficies.

En este apartado supondremos que k es un cuerpo algebraicamente cerrado de caracterıstica cero.

Definicion 7.5.1. Diremos que la aplicacion

D : k[x, y] → k[x, y], D(p(x, y)) = a(x, y)p(x, y) + (b(x, y)∂

∂x+ c(x, y)

∂

∂y)(p(x, y))

es un operador diferencial de orden 1.

Lema 7.5.2. Sea p(x, y) = 0 una curva de multiplicidad m en un punto p ∈ A2 de la curva y seaD : k[x, y] → k[x, y] un un operador diferencial de orden 1. Entonces la curva Dp(x, y) = 0 tienemultiplicidad mayor o igual que m− 1 en p.

Demostracion. Denotemos C ≡ p(x, y) = 0 y D = a(x, y) + D′ con D′ = b(x, y) ∂∂x + c(x, y) ∂

∂y . Secumple que µp(C) = m si y solo si p(x, y) ∈ mm

p − mm+1p . Por tanto, p(x, y) =

∑fi1 · · · fim , con

fij ∈ mp. Ası pues, Dp(x, y) = a(x, y)p(x, y)+∑

fi1 · · ·D′fij · · · fim ∈ mm−1p . Con lo que concluimos.

Lema 7.5.3. Con las notaciones anteriores, existe un operador diferencial D de orden 1, tal queDp(x, y) = 0 tiene multiplicidad m− 1 en p.

Demostracion. Podemos suponer que p es el origen de coordenadas, es decir, mp = (x, y). Escribamosp(x, y) como suma de polinomios homogeneos

p(x, y) = pm(x, y) + pm+1(x, y) + · · ·+ pn(x, y) pm(x, y) =m∑

r=0

λrxrym−r

Como m ≥ 1, en la expresion de pm(x, y), parece x o y. Supongamos que aparece y, es decir, λr 6= 0para algun r 6= m. Entonces

∂

∂yp(x, y) =

m∑r=0

(m− r)λrxrym−r−1+monomios de grado mayor o

igual que m


Comom∑

r=0(m− r)λrx

rym−r−1 6= 0, concluimos que Dp(x, y) = 0 tiene multiplicidad m− 1.

Lema 7.5.4 (fundamental). Sea D : k[x, y] → k[x, y] un operador diferencial de orden 1. Consi-deremos el morfismo inyectivo y birracional k[x, y] ↪→ k[x, z], x 7→ x, y 7→ xz. Existe un operadordiferencial de orden 1 D : k[x, z] → k[x, z] tal que para todo P ∈ k[x, y] (de multiplicidad m en elorigen) se verifica

DP

xm−1= D(

P

xm)

Demostracion. Todo operador diferencial de orden 1 es la suma de una homotecia y una derivacion.Basta demostrar el lema para cuando D sea una homotecia y para cuando sea una derivacion.

1. Sea D = h una homotecia, i.e., DP = h ·P . Tomando D = x ·h se cumple la igualdad requerida.

2. Sea D una derivacion, es decir D = b(x, y) ∂∂x + c(x, y) ∂

∂y . Tenemos que

DP

xm−1= (xD)(

P

xm) + (mDx)(

P

xm) = D(

P

xm)

donde D = m · Dx + xD. Observemos que D es un operador diferencial de orden 1 porquem · Dx es una homotecia y xD es una derivacion de k[x, y]x que deja estable a k[x, z], puesDz = D( y

x ) = Dy − yxDx = Dy − zDx.

Definicion 7.5.5. Sea p ∈ C y Cr → π. . . → C una sucesion de transformaciones cuadraticas. Lospuntos de π−1(p) se les llamara “puntos de la curva C infinitamente proximos” a p.

Teorema 7.5.6 (de existencia de curvas de contacto maximal). Sea p un punto de multiplicidadm de una curva plana C. Existe una curva plana C ′ regular en p que pasa (sus explosiones) por todoslos puntos de C infinitesimalmente proximos a p de multiplicidad m.

Demostracion. Vamos a proceder por induccion sobre la multiplicidad m de C ≡ P = 0 en p.Si m = 1 la propia C es una curva de contacto maximal.Supongamos que m > 1. Consideremos un operador diferencial D de orden 1 tal que DP = 0

tenga multiplicidad m− 1 en p. Por el lema fundamental todo punto de C infinitamente proximo a pde multiplicidad m es un punto de C ′ ≡ DP = 0 infinitamente proximo a p de multiplicidad m − 1:Sigamos las notaciones del lema fundamental. La explosion de C ≡ P = 0 en p tiene de ecuacionesP/xm = 0, la explosion de C ≡ DP = 0 en p tiene de ecuaciones DP/xm−1 = D(P/xm) = 0 (podemossuponer que x = 0 no es tangente ni a P = 0 ni a DP = 0). Por tanto, si un punto de la explosionde C ≡ P = 0 en p tiene multiplicidad m, este sera un punto de la explosion de C ≡ DP = 0 en pde multiplicidad mayor o igual m− 1. Como la multiplicidad no aumenta despues de una explosion,tendremos que si un punto de la explosion de C ≡ P = 0 en p tiene multiplicidad m, este sera unpunto de la explosion de C ≡ DP = 0 en p de multiplicidad m− 1. Argumentando del mismo modocon las curvas explotadas P/xm = 0 y DP/xm−1 = D(P/xm) = 0 concluimos.

Por hipotesis de induccion, existe una curva C ′ regular en p que pasa (sus explosiones) por todoslos puntos infinitamente proximos a p ∈ C ≡ DP = 0 de multiplicidad m − 1. Por tanto, C ′ (y susexplosiones) pasa por todos los puntos de C infinitesimalmente proximos a p de multiplicidad m.

7.6. Problemas 105

Definicion 7.5.7. Diremos que una curva plana p(x, y) = 0 es reducida si p(x, y) = p1(x, y) · · · pr(x, y),siendo los pi(x, y) irreducibles y primos entre si.

Proposicion 7.5.8. Toda curva plana reducida tiene un numero finito de puntos cerrados singulares.

Demostracion. Los puntos singulares de p(x, y) = 0, son las soluciones del sistema p(x, y) = 0, ∂p(x,y)∂x =

0, ∂p(x,y)∂y = 0. Ahora bien, como p(x, y) = 0 es reducida es facil ver que p(x, y), ∂p(x,y)

∂x son primosentre si. Por tanto, el sistema anterior tiene un numero finito de soluciones.

Corolario 7.5.9. Toda curva plana reducida desingulariza mediante un numero finito de transfor-maciones cuadraticas.

Demostracion. El numero de puntos singulares es finito. Sea m la maxima multiplicidad de los puntosde la curva. Sea p un punto de multiplicidad m.

Consideremos una curva P ′ = 0, regular en p, que pase por todos los puntos infinitesimalmenteproximos a p, de multiplicidad m. Como la multiplicidad de interseccion de estas dos curvas es finita,por 7.4.8, tenemos que despues de un numero finito de explosiones la multiplicidad de C ha de bajarestrictamente. Facilmente concluimos por induccion sobre m y el numero de puntos de multiplicidadm.

7.6 Problemas

1. Probar que el conjunto de rectas que pasan por un punto (“haz de rectas”) del plano afın secorresponde con el conjunto de puntos racionales de una recta proyectiva.

2. Probar que el conjunto de conicas que pasan por cuatro puntos no alineados del plano afın secorresponden con los puntos racionales de una recta proyectiva.

3. Probar que el conjunto de conicas que pasan tres puntos no alineados del plano afın y es tangenteen uno de ellos a una recta fijada que pasa por el punto se corresponden con los puntos racionalesde una recta proyectiva.

4. Probar que el conjunto de curvas de grado n de P2 se corresponden con los puntos racionalesde un espacio proyectivo.

5. Probar que el conjunto de curvas afines de grado menor o igual que n de A2 se correspondencon los puntos racionales de un abierto de un espacio proyectivo.

6. Probar que el morfismo k[x] ↪→ k[x, y]/(p(x, y)) es finito si y solo si la curva p(x, y) = 0 no tieneasıntotas verticales.

7. Sea q(x, y) = 0 una conica y p = (0, α) un punto del plano afın que no yace en la conica.Demostrar que la proyeccion de la conica en la recta y = 0, que asigna a cada punto q de laconica el punto de la recta y = 0 obtenido como el corte de la recta que pasa por p y q con larecta y = 0, esta bien definido si y solo si la recta y = α es una asıntota horizontal de la conica.

8. Consideremos el morfismo φ : k[xijk]i+j+k=2 → k[x0, x1, x2], φ(xijk) = xi0x

j1x

k2 . Probar que

induce un morfismo φ∗ : Proj k[x0, x1, x2] → Proj k[xijk]. Demostrar que la antimagen de unhiperplano por φ∗ es una conica.


9. Demostrar que la circunferencia proyectiva es isomorfa a la recta proyectiva.

10. Si X e Y son dos subvariedades proyectivas de Pn, y codim X + codim Y ≤ n, probar queX ∩ Y 6= ∅ y que se cumple que

codim X + codim Y ≥ codim X ∩ Y

11. Sea f ∈ k[ξ0, . . . , ξn] una funcion homogenea que se anula en algun punto de X = Proj k[ξ0, . . . , ξn].Demostrar que

dim(f)h0 ≥ dim X − 1

12. Probar que si una conica tiene un punto singular entonces no es irreducible.

13. Probar que si una cubica plana tiene dos puntos singulares entonces no es irreducible.

14. Probar que si una cuartica plana tiene cuatro puntos singulares entonces no es irreducible.

15. Probar que (0, 0), (2, 0), (0, 2) son puntos singulares de la cuartica plana xy(x + y − 2)− (x2 +y2 − 2x − 2y)2 = 0 ¿Existen mas puntos singulares? Parametrizar esta cuartica (mediante unhaz de conicas).

16. Justificar por que las circunferencias x2 + y2 − 1 = 0, x2 + y2 − 2 = 0 han de ser tangentes enalgun punto del infinito, sin hacer el calculo explıcito de sus tangentes en los puntos del infinito.

17. Poner un ejemplo de dos cubicas planas afines irreducibles, cuyos puntos de corte esten alineados.

Indice de Materias

A-algebra, 59A-algebra finita, 81Algebra de tipo finito, 72Algebra graduada, 59, 94

Anillo, 7Anillo ıntegro, 8Anillo conmutativo con unidad, 7Anillo noetheriano, 70Aplicacion bilineal, 56

Base de trascendencia, 87

Categorıa, 53Cerrado irreducible, 12Componente irreducible, 12Componente sumergida, 77Criterio del ideal de platitud, 62Cuerpo, 7

Descomposicion primaria reducida, 74Dimension de Krull, 83Divisor de cero, 8Divisores elementales, 41Dominio de ideales principales, 35

Elemento algebraico, 82Elemento entero, 82Elemento irreducible, 35Elementos algebraicamente independientes, 85Espacio noetheriano, 71Espectro primo, 10Espectro proyectivo, 94

Formula de la fibra, 17Factores invariantes, 46Funtor contravariante, 53Funtor covariante, 53Funtor representable, 55

Grado de trascendencia, 87

Ideal, 8Ideal p-primario, 73Ideal anulador de un modulo, 27Ideal homogeneo, 94Ideal irreducible, 75Ideal irrelevante, 94Ideal maximal, 9Ideal primario, 72Ideal primo, 8Ideal principal, 35Ideal racional, 10Ideales de Fitting, 46Ideales primos asociados, 77Identidad de Bezout, 35Isomorfismo de funtores, 54

Lema de Euclides, 35Lema de Nakayama, 24Lema de normalizacion de Noether, 85Longitud de un modulo, 30

Modulo, 21Modulo de division, 64Modulo de presentacion finita, 62Modulo de tipo finito, 24Modulo inyectivo, 63Modulo libre, 24Modulo libre de torsion, 37Modulo noetheriano, 69Modulo plano, 61Modulo proyectivo, 62Modulo simple, 29Matriz de Jordan, 43Morfismo algebraico, 87Morfismo birracional, 91Morfismo de algebras, 60

107

108 INDICE DE MATERIAS

Morfismo de anillos, 7Morfismo de modulos, 22Morfismo de variedades algebraicas, 72Morfismo finito, 81Morfismos en una categorıa, 53Multiplicidad de interseccion de dos curvas en

un punto, 99Multiplicidad de una curva plana en un punto,

100

Numero de puntos de corte de dos curvas, 98

Objetos de una categorıa, 53

Polinomio caracterıstico, 48Producto tensorial de modulos, 56Punto generico, 12Puntos no singulares de una curva plana, 100Puntos singulares de una curva plana, 100

Radical de un anillo, 17Radical de un ideal, 72Rango de un modulo, 37Rectas tangentes a una curva en un punto, 100Representante de un funtor, 55

Serie de composicion de modulos, 29Sistema generador de un modulo, 24Soporte de un modulo, 27Subanillo, 7Submodulo, 22Sucesion exacta de modulos, 26Sucesion exacta que rompe, 32

Teorema de Bezout, 98Teorema de Hamilton-Cayley, 48Teorema de la base de Hilbert, 71Teorema de los ceros de Hilbert, 86Teorema del ascenso, 84Teorema fuerte de los ceros de Hilbert, 86Torsion de un modulo, 37

Variedad ıntegra, 87Variedad algebraica afın, 72Variedad proyectiva, 96Variedad racional, 91Variedades catenarias, 90

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Pedro Sancho de Salas Diciembre-2001matematicas.unex.es/~sancho/AlgebraConmutativa/alco0.pdf · En este cap´ıtulo iniciaremos la comprensi´on geom´etrica de cualquier anillo conmutativo