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7/18/2019 Plano

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Cosenos Directores de una Recta en el Espacio

Si dos rectas en el mismo PL son coplanarias, tales rectas pueden cortarse o no; si

no se cortan son paralelas ( ) (a).

Si 2 rectas cualquiera en el espacio no son coplanarias, se llaman rectas que secruzan (b).

Se llama ángulo de 2 rectas que se cruzan al formado por 2 rectas cualesquiera que

se cortan. Se llaman rectas paralelas ( ), a las rectas dadas que tienen el mismo

sentido.

La dirección de una recta cualquiera en el espacio se determina por los ángulos que

forma con los ejes coordenados. Si la recta l no pasa por el origen sus ángulos

corresponden a los ángulos de l que es a la recta original.

Si la recta l se considera dirigida en el sentido de P2 a P! entonces los 3 cosenosdirectores son"

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d

zzCos

d

yyCos

d

xxCos

21

21

21

−

=

−=

−=

γ

β

α

Ejemplo No 1! #allar los cosenos directores de la recta l que pasa por los puntos

P! (2,!,$2) % P2 ($2,&,&) % está dirigida de P2 a P!.

"oluci#n!

$31$332Cos

$1$

2

$3

31Cos

$1$

2

$3

2)(2Cos

$3

2$%1&

3)2(3)(12)(2d 222

−=−−=

−=−

=

−=−−

=

=

++=

−−+++++=

γ

β

α

La suma de los cuadrados de los cosenos directores de cualquier recta es igual a la

unidad"

'os2α'os2β'os 2γ !

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N'ER" D*REC+RE" DE ,N- REC+- L EN E. E"/-C*

Los n*meros directores de una recta l en el espacio son n*meros +eales

proporcionales a sus cosenos directores"

a0Cosα b0Cosβ c0Cosγ

donde 'osα, 'osβ, 'osγ son los cosenos directores de la recta. La nomenclatura delos n*meros directores de una recta es" a b c 4

a 5 Cosα b 5 Cosβ b Cosγ

donde 5 2

a2

6 b2

6 c2

222

cbak ++±=

Por lo tanto"

222

222

222

cba

cCos

cba

bCos

cba

aCos

++

±=

++

±=

++

±=

γ

β

α

el signo depende del sentido de la recta.

a b c4x2 7x1 y2 7 y1 z2 7 z14

Ejemplo No 2! l segmento dirigido P!P2 tiene por cosenos directores -/, $2/, &/.Si la distancia de P! a P2 es / % las coordenadas de P2 son (0, 2, !2) calcular lascoordenadas de P!.

"ol!'osα -/ 'osβ $2/ 'osγ &/

- 12 1! $2 %2 %! & z2 z!

- 0 1! $2 $2 %! & !2 z!

1! 2 %! 3 z! 4

/1 (2 8 9)

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N:meros Directores de una recta perpendicular a dos dadas

Sean 5a!, 6!, c!,7 % 5a2, 62, c27 los n*meros directores dados de 2 rectas no ll, l ! % l2

respecti8amente % 5a, 6, c7 los n*meros directores de una recta l cualesquiera,

perpendicular a am6as rectas l! % l2 se tiene la siguiente relación.

Ejemplo No 3! #allar un sistema de n*meros directores para una rectas cualquiera

l que sea al PL que contiene al triángulo cu%os 89rtices son" P! (2,

$!, !) P2 ($&, 2, 2) P& ( &, &, $2)

Sol" /ara /1/2 ;$ 3 14

/1/3 1 % ;34

a!a 6!6 c!c 3

a2a 626 c2c 3

22

11

22

11

22

11

ba

bac

acacb

cb

cba

=

=

=

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133%

13a

113

$1b

23%1

3$c

−=

−

=

−=

−

−

=

=

−

=

-n<ulo Entre dos rectas

l ángulo formado por 2 rectas dirigidas cu%os n*meros directores son 5a!, 6!, c!7 %

5a2, 62, c27 está dado por"

'os θ (a!a2 6!62 c!c2 ) d!d2

cos θ ± 22

22

22

21

21

21

212121

cbacba

ccbbaa

++++

++

l do6le signo :ndica

dos 8alores de θ suplementación entre s:.

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E. /.-N

na sola ecuación representa una super<cie, una cur8a en el espacio se representa

por 2 ecuaciones rectangulares

independientes.

=orma <eneral de la ecuaci#n de un /.

na recta es ⊥ a un PL si es ⊥ a toda recta

del PL, sin considerar si la recta del + pasa

por el pie de perpendicularidad o no. #a% un

n*mero in<nito de rectas a un PL cada

una de ellas se llama normal al plano

Sea P! (1!, %!, z!) un punto <jo % n una recta <ja en el espacio.

Sean 5=, >, '7 los n*meros directores de n, % P(1,%,z) un punto cualquiera ≠ de P!

so6re el PL % l la recta que une a P! % P, entonces l % n son perpendiculares entre si.

La ecuación que de<ne al PL es" =1 >% 'z ? 3 (!) donde =, >, ' % ? son

constantes % son los n*meros directores de n; por lo menos uno de los & coef. =, >,

' ≠ 3; como los n*meros directores de l son 51$1!, %$%!, z$z!7 la ecuación (!) se puede

descri6ir como"

- (x;x1) 6 >(y;y1) 6 C (z;z1) 8

Ejemplo No % #allar la ecuación PL que pasa por el punto P! ($2, $!, @) % es ⊥ a la

recta l de terminada por los puntos P2 (2,$!,2) % P& ($&,!,$2).

"oluci#n"

cuación del PL.

= (1$1!) > ((%$%!) ' (z$z!) 3

los n*meros directores del l son"

5$& $2, ! !, $2 27 5 $@, 2, $A7

5@, $2, A7

'omo l es ⊥ al PL los n*meros directores de su normal son tam6i9n 5@, $2, A7

∴ @ (12) 2 ( % !) A (z$@)3

@1 2% Az !2 3

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*N+ERCE/C*?N DE ,N- ",/ER=*C*E ">RE ,N E@E CRDEN-D

La intersección de una super<cie so6re un eje coordenado es la coordenada

correspondiente del punto de intersección de la super<cie % el eje coordenado.

La traza de una super<cie so6re un PL coordenado es la cur8a de intersección de la

super<cie % el eje coordenado.

La intersección de un PL % el eje B es u punto so6re el eje B, por lo tanto las

coordenadas C%D % CzD son cero (% z 3).

La intersección de un PL % el PL BE esta dado por" =1 >% ? 3,

z 3

La intersección de un PL % el PL BF esta dado por" =1 'z ? 3, % 3

La intersección de un PL % el PL EF esta dado por" >% 'z ? 3, 1

3

Ejemplo No $! La ecuación de un PL es" @1 !3% 2z 23 3. #allar sus

intersecciones con los ejes coordenados, las ecuaciones de sus trazos so6re los ejes

coordenados % construir la <gura.

"ol!

Gntersección con el aje B" Gntersección con el eje E"@1 23 3 !3% 23 3 1 A % 2

Gntersección con el eje F" cuación de la taza so6re el PL BE"2z 23 3 @1 !3% 23 3, z 3 z !3

cuación de la taza so6re el PL BF" cuación de la taza so6re el PL EF"@1 2z 23 3, % 3 !3% 2z 23 3, 1 3

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n el ejemplo anterior las trazas limitan aquella porción del PL situada en el !er

octante, como un PL es ilimitado en su e1tensión solo se presenta una porción de el.

Ecuaci#n simAtrica de un /.

La ecuación general de un /. (-x 6 >y 6 Cz 6 D 8) puede cam6iarse a su forma

simAtrica o forma de las intersecciones, si se escri6e en 6ase a los puntos de

intersección con los ejes.

DeBnici#n! Sea el PL cu%as intersecciones respecti8as con los ejes B, E, F son los

n*meros CaD, C6D % CcD diferentes de cero, presenta la forma"

x0a 6 y0b 6 z0c 1

DeBnici#n! La ecuación del PL que pasa por los tres puntos dados no colineales P !

(1!, %!, z!), P2 (12, %2, z2), P& (12, %&, z&) en forma determinante es"

333

222

111

zyx

zyx

zyx

zyx

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Ejemplo No &! scri6ir en forma de determinantes la ecuación del PL que pasa por

los tres puntos (-,2,3), (A,$!,2) % (&,A,$!). = partir de ella Halle la ecuación del PL.

"oluci#n! La ecuación en forma de determinantes es"

1%3

21%

82&zyx

−

−

esta6leciendo el sistema de ecuaciones a partir de la ecuación general del PL (-x 6

>y 6 Cz 6 D 8) % de los puntos del PL.

&- 62> 6 8C 6 D 8%- 7 > 6 2C 6 D 8

3- 7 %> 7 C 6 D 8

+esol8iendo el sistema se o6tienen los siguientes 8alores"

= ?22 > $ 022 d ' $ !&22 ?

Planteando la ecuación

−

=+−−−D

228DzD

22

13Dy

22

x

22

D

x 6 y 6 13z 7 22 8 Ecua del /.

Ejemplo No ! #allar la ecuación del PL cu%as intersecciones con los ejes B, E, F

son @, &,! respecti8amente.

"oluci#n! Se ocupa la fórmula de las intersecciones o ecuación sim9trica"

81$z1$y$x3

1z1$y$$x3

1$11

z

3

y

$

x

1c

z

b

y

a

x

=+−+=++−

=++−

=++

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=orma Normal de la Ecuaci#n de un /.

xCosα 6 yCosβ 6 zCosγ 7 p 8

donde CpD es un R⊕

% representa la longitud de la normal trazada desde el origenHacia el PL. = partir de la de<nición anterior se esta6lecen las siguientes relaciones.

r

15

C>-

15

)C>(-E *

)C>(-5 CosCosCos

222

2222

2222222

±=

++

±

++=

++=++ γ β α

Cosα

5- Cosβ

5> Cosγ

5C 'osenos directores;p 5D

Para las e1presiones anteriores se tienen las siguientes condiciones"

a) Si ? ≠ 3 r es de signo contrario a ?.

6) Si ? 3 % ' ≠ 3 r % ? tienen el mismo signo.

c) Si ? ' 3 % > ≠ 3 r % > tienen el mismo signo.

d) Si ? ' > 3 entonces = ≠ 3 % r % = son del mismo signo.

Ejemplo No ! La ecuación de un PL es 21 % 2z - 3 +educir dicHa ecuación

a la forma normal % Hallar la longitud de la recta normal % los ángulos directores de

la ecuación normal.

"ol" = 2 > $! ' 2 ? $-

r ± √22 $!2 22

± √ 4

r ± &

como ? es negati8o, r&, la ecuación de la forma normal es"

Cos α -0r 203 Cos β >0r ;103 Cosγ 203

023

2

3

1

3

2 =−+− z y x

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la longitud de la normal es" 2

α 'os$! (2&) A3I !!

los ángulos directores son" β 'os

$!

($!&) !34I 20γ 'os$! (2&) A0I !!

Distancia entre un /. y un punto

DeBnici#n Sea δ un PL cualquiera % P(1, %, z) un punto que no pertenece al P Lδ, la

distancia entre el PL % el P (1, %, z) esta dada por"

δ

x Cosα

6 yCosβ

6 zCos γ

p

222 C>-

DCz>y-xd

+±

+++±=

+

Ejemplo 9! La normal de un PL tiene una longitud de @ % dos de sus ángulos

directores son aA@I % 6 -3I. #allar la ecuación del P L.

"oluci#n" 'osα 'os A@I =d √22

'osβ 'os -3I >d Jd2 =2 >2 '2A 2 ! '2' ± !

'os γ ! J 'os γ 2 $J

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∴ la ecuación del PL es"

818zyx2

818zyx2

28$z2

1y

2

1x

2

2

=−−+

=−++

=−++

Ejemplo No 18! #allar la distancia del origen a cada uno de los PLs paralelos"

A1 A% /z !0 3 (!)A1 A% /z 2/ 3 (2)

"ol! Para el PL(!) la distancia al P (3, 3, 3) es

2%)(%1(8)%(8)%(8)d 222 −=+−+ −+−= d

;2

2

Para el PL (2) la distancia al P (3,3, 3) es

3%)(%

2(8)%(8)%(8)d

222 −=+−+

++−= d ;3 3

REC+- NR-. DE ,N /.-N

l PL que pasa por /1 (x1y1x1) % tiene la recta normal de<nida por ai 6 bj 6 c5

8, tiene como ecuación"

a (x;x1) 6 b(y;y1) 6 c (z6z1)8

donde a b c4 son los n*meros directores de la normal.

Ejemplo No 11! ncontrar una ecuación del PL que pasa por el punto (@, $2, A) %

tiene un 8ector normal i 6 2j 6 35 8

"ol! ! (1 $ @) 2 (% 2) &(z $ A)3x 6 2y 6 3z 7 13 8

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= partir de tres puntos contenidos en un PL se puede o6tener la ecuación de dicHo

PL, o6teniendo los 8ectores a % b (o n*meros directores); calculando axb se o6tiene

un 8ector normal (recta normal) a dicHo PL.

Ejemplo No 12! ncontrar una ecuación del PL determinado por los puntos P!

(A, $&, !) P2 (-, $A, /) % P& (!,2,&).

"ol! Los puntos P!, P2 % P& son puntos con tenidos en el PL, por lo tanto los

n*meros directores (o 8ectores) a % 6 correspondientes a 21// % 31// son"

a 2 ;1 &4 b ;3 $ 14

l 8ector axb es normal al PL,

1$3

&12

5 ji

axb

−

−= ;31i 7 28 F 6 5

Sus n*meros directores son ;31 ;28 4 tomando como 6ase el PL la ecuación del

PL es"

$&! (1 A) 23 (%&) / (z !) 3

$&!1 23% /z @/ 3

31x 6 28y 7 z 7 $ 8

REC+-

Sea l la recta de intersección de 2 PLs diferentes cualesquiera cu%as ecuaciones

son"

=!1 >!% '!z ?! 3

=21 >2% '2z ?2 3

'ualquier punto que satisfaga am6as ecuaciones está so6re cada uno de los P Ls %

por lo tanto esta so6re su intersección l, as: mismo cualquier punto que est9 so6re l

de6e estar so6re cada uno de los PLs.

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La l:nea recta es una cur8a del espacio caracterizada por la propiedad de que sus

n*meros directores son id9nticos o proporcionales a los n*meros directores

correspondientes de cualquier segmento de la recta.

La ecuación de una recta en función de sus n*meros directores se conoce como"

ecuaci#n de la Gorma simAtrica.

czz

byy

axx 111 −=−=−

en función de los cosenos directores la ecuación de la recta es"

γ β α cos

zz

cos

yy

cos

xx 111 −=

−=

−

La recta que pasa por el punto P! (1!, %!, z!) % cu%os n*meros directores son a b

c4 tiene por ecuación.

x 7x1 5a

y 7 y1 5b

z 7 z1 5c

5 cte ≠8

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Si los n*meros directores 5a, 6, c7 son todos ≠ 3, las ecuaciones pueden escri6irse

en la forma simAtrica (descrita antes). Si una o dos de los n*meros directores

a b c4 de la recta son cero, la ecuación de la recta toma la forma.

x x1 cuando a 8

y y1 cuando b 8

z z1 cuando c 8

la forma sim9trica de la ecuación para el primer caso seria"

x x1 y 7 y10b z 7 z10c

Ejemplo No 13! #allar la ecuación de la recta que pasa por el punto ($-, 2, A) % es

⊥ al PL @1 0% !2 3

"ol! ?e la ecuación del PL se deduce que ' 3 % z A por lo tanto % la ecuación

del PL seria"

(x6&)0 $ (y;2)0 z%

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EC,-C*NE" /-R-H+R*C-"

La recta que pasa por el punto P! (1!, %!, z!) % tiene los ángulos directores, tiene por

ecuaciones param9tricas.

x x1 6 t Cos

y y1 6 t Cos

z z1 6 t Cos

donde el parámetro t representa la long de P! a un punto cualquiera P(1, %, z) donde

t puede ser positi8a negati8a dependiendo de su posición, o puede ser igual a cero

si P! coincide con P.

Ejemplo 1%! #allar la ecuación de la recta que pasa por el punto (A, 3, @) % es a

la recta cu%os n*meros directores son 5!, $!, &7.

"ol! 3

5

11

4 −=

−=

− z y x

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