POLARES

Teorema: Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares

coinciden, respectivamente, con el origen y la parte positiva del

eje X de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de

uno a otro de estos dos sistemas puede ejecutarse por medio de

las siguientes fórmulas de transformación.

I) x=r cosθ , y=r senθ , x2+ y2=r 2 ,arctan ( yx )=θ

II)cosθ=± x

√x2+¿ y2, senθ=±x

√ x2+¿ y2 , r=±√x2+ y2 , tan θ= yx¿¿

Demostración: En OHP:

i) OH=OPcosθ⟹x=rcosθ…(1) ii) H P=OP senθ⟹ y=rsenθ…(2)

iii) tanθHPOH

⟹ yx=tanθ…(3)

iv) OH 2+HP2=OP2⟹ x2+ y2=r2…(4)

Ejemplos:

I) Halle las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas

polares son:

1¿P1(2 ,π4) 2¿P2(4 ,

2π3

) 3¿P3(4 ,3 π4

) 4 ¿P4(−2 ,π3

)

5¿P5(8 ,5 π12

) 6¿P6(2 ,5 π4

) 7¿P7(−3 ,5π6

)

8¿P8(3√2 ,3π4

)

Solución: Un punto P(x,y) en coordenadas polares se expresa como

P(r , θ) donde:

x=rcosθ y y=rsenθ , luego, si :

1) P1(2 , π4 )⟹ r=2 y θ= π4, entonces :a¿ x=rcosθ=2cos π

4=2. √2

2⟹ y=√2