OROVILCA – ICA – PERÚ

1.Polígonos.-Son figuras geométricas que resultan de unir un conjunto de puntosmediante segmentos no colineales.

Polígono convexo Polígono cóncavo

2.ELEMENTOS DEL POLÍGONO

A B

C

DE

F

a

b

c

d

e

f

ab

d

qm

f

Vértices:

Lados:

Ángulos internos:

Ángulos externos:

Diagonales:

A, B, C, D, E, F

AB, BC, CD, DE, EF, FA

a, b, d, q, m, f

a, b, c, d, e, f

AD, AC, AE, FB, FC

3.CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.

a) Por la regularidad de sus elementos:

Polígono equilátero.- lados congruentes

Polígono equiángulo.- ángulos congruentes.

Polígono regular.- lados y ángulos congruentes.

b) Por el número de lados.

N° de lados Nombre

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

triángulo

cuadrilátero

pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Nonágono

Decágono

Undecágono

Dodecágono

Pentadecágono

Icoiságono.

4.PROPIEDAD DE LOS POLÍGONOS:

1.En un polígono se cumple que su número de lados, número de vértices, número de ángulos internos y número de ángulos exteriores son iguales.

A B

C

DE

F

a

b

c

d

e

f

ab

d

qm

f

2. En todo polígono la suma de los ángulos externos es igual a 360°

3.Suma de los ángulos interiores.

180 2S n

Donde «n» número de lados.

Ejemplo:

Trazamos todas las diagonales de un vértice y se observa que tenemos tres regiones triangulares.la suma de los ángulos internos de triángulo es 180° y notamos que hay 3 triángulos.

180 3S S = 540°

Aplicando la formula:

180 2S n n= 5

180 5 2S

S = 180°( 3 )

S = 540°

4.Ángulo interno y central ( solo en polígonos regulares)

Ejemplo:

1.Halemos el ángulo interno de un pentágono.( n = 5 )

180 5 2

5im

180 2i

nm

n

540

5im

= 108°

108°

108°

108°

108°108°

360c

mn

El ángulo central será:

360

5im

= 72°

72° 72°

72°

72°72°

5.Númro de diagonales de un vértice.

En un hexágono ( n = 6) se puedetrazar de uno de sus vértices:

d = 6 – 3 = 3 diagonales

d = n - 3

6.Número total de diagonales de un polígono.

3

2T

n nN

En un hexágono ( n = 6 ) el número total de diagonalesserá:

6 6 3

2TN

= 9 diagonales en total

7.Número de diagonales que se pueden trazar de «k» vérticesconsecutivos en un polígono de «n» lados.

V1 V2

V3

V4V5

V6

Tenemos un hexágono ( n = 6 )

( n – 3 )

( n – 3 )

( n – 4 )

( n – 5 )

Del primer vértice :

Del segundo vértice:

Del tercer vértice:

Del cuarto vértice:

Ejemplo:

¿Cómo se llama el polígono, si de 4 sus vérticesconsecutivos se han trazado 13 diagonales?

Desarrollo:

V1 + V2 + V3 + V4 = 13

Entonces:

( n -3 ) + ( n – 3 ) + ( n – 4 ) + ( n – 5 ) + . . . = d

( n -3 ) + ( n – 3 ) + ( n – 4 ) + ( n – 5 ) = 13

4n – 15 = 13

n = 7

Problemas resueltos

Desarrollo:

1.¿Cómo se llama el polígono regularcuya suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a 3 veces lasuma de las medidas de sus ángulosexternos.

180°( n – 2 ) = 3 ( 360° )

n – 2 = 3 ( 2 )

n = 8 octógono

2.¿En qué polígono se cumple , la sumade las medidas de sus ángulos internosexcede en 1080° a la suma de las medidasde sus ángulos externos?

Desarrollo:

1080i extS S

180° ( n – 2 ) – 1080° = 360°

180° ( n – 2 ) = 1440°

n – 2 = 8

decágono

3.¿Cúantas diagonales puede trazarse en un polígono cuyos ángulos internossuman 1980°

Desarrollo:

3

2T

n nN

Primero hallaremos «n»

180 2S n

1980° = 180° ( n – 2 )

11 = n - 2

n = 13

13 13 3

2TN

N = 65 diagonales

4.¿Cúal es el polígono convexo cuya suma de las medidas de susángulos en el centro y externos es igual a la suma de sus ángulos internos?

Desarrollo:

180 ( 2)C extS S n

360° + 360° = 180° ( n – 2 )

4 = n - 2 n = 6

5.¿Cómo se llama el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 30°?

Desarrollo:

El ángulo interno del polígono es 150°

180 2I

n

n

180 2150

n

n

150n = 180n – 360°

360° = 30n n = 12