POLINOMIOS

I.OBJETIVOS:1. Utilizar la definición y la notación polinómica : P(x), P(x,y).2. Reconocer las características y propiedades de los polinomios, distinguir

sus elementos, determinar sus grados.3. Realizar operaciones básicas con polinomios.4. Utilizar los productos notables, en forma correcta y cuando sea necesario,

para efectuar la multiplicación.II. DESARROLLO DE CONTENIDOS:

Polinomio, es la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos ó nulos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio. En particular y por convencion el monomio es un polinomio de único término.

POLINOMIO.

2.1 DEFINICIÓN: Es la suma finita de expresiones de la forma: axm (si es de una variable) ó de la forma: axmyn (si es de dos variables):

P(x) = :Donde: : es una constante

m, n : son los exponentes enteros no negativos. x , y : son las variables2.2 NOTACIÓN : Adoptaremos la escritura:

P(x) : polinomio de una sola variable "x". P(x,y) : polinomio de dos variables “x” e “y”. P(x,y,z) : polinomio de dos variables “x” e “y”,”z”

Ejemplo:P(x)=13x4-2x+7, es un polinomio de variable x ; donde los coeficientes son

reales: (13, -2, 7)P(x,y)=7xy2-4x3y3+11x2, de variables x, y; de los coeficientes son reales: (7, -4, 11)

2.2.1 POLINOMIO P(x):Un polinomio de variable única “x”, tiene la siguiente forma general:

P(x) = anxn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2+ ....… + a1 x + a0 ; an o.

Donde: x : es la variable n : es el grado del polinomio, n N {0}=No

an , an–1 , an–2 , … a0 : son los coeficienes; an : es el coeficiente principal, an o Si an=1,P(x) es el polinomio mónico. a0 : es el término independiente, ao 0. El grado del polinomio es “n” y escribiremos gr[P(x)] = n. (El polinomio

nulo no tiene grado.)

Ejemplo:P(x) = –10x5 + 3x4 + 16x3 + 4x2 + 20x +35; n=5; an = -10; ao = 35–10, 3, 16, 4, 20, 35 : son los coeficientes 35 : es el término independiente 2.3 PROPIEDADES:

Si P(x) es un polinomio, entonces se cumple que: P(1) = suma de coeficientes del polinomio P(0) = Término independiente en el polinomio

Ejemplo: Para el polinomio: P(x)= 2x3 + 17x2 + 3x – 4 , se tiene que:* P(1) = 2 + 17 + 3 – 4 = 18 = Suma de coeficientes del polinomio* P(0) = 0 + 0 + 0 – 4 = – 4 = Término independiente o constante del polinomio

2.4GRADO DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE P(x) “El exponente entero no negativo de la variable, tal que el coeficiente sea no nulo” Sea : P(x)= axn a 0 , n N {0} GA( P(X) ) = n

* P(x) = 18x3 GA( P(x) ) = 3* Q(x) = 5 = 5x0 GA( Q(x) ) = 0* R(x) = 0x6 = 0 GA( R(x) ) { } .El polinomio cero carece de grado.

Grados en un Polinomio:Grado Relativo: Está referido a una de las variables del polinomio, se denota

por GRx ó GRy y está dado por el mayor exponente de dicha variable.

Ejemplo: Para el polinomio: P(x, y) = x18y7 + x8y21

Son grados relativos:GRx = 18 (El mayor exponente respecto a x)GRy = 21 (El mayor exponente respecto a y)

Grado Absoluto: Está referido a todas las variables a la vez, se denota por GA(P) y está dado por la mayor suma de exponentes en uno de sus términos.

Ejemplo: Para el polinomio: P(x, y) = x30 + x4 y25 + y31 x + x33

GA = 30 29 32 33 GA(P) = 33

GRADO EN LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS CON POLINOMIOS:GA( P Q ) = GA(P) + GA(Q) Ejemplo: (2x3)(7x5) GA = 3 + 5 = 8

GA( )= GA(P) – GA(Q) Ejemplo: 2x4 5x3 GA = 4 – 3 = 1

GA(Pn ) = n GA(P) Ejemplo: (x7 + 5)2 GA = 2(7) = 14

IV. GA ( ) = Ejemplo:

2.5 POLINOMIOS ESPECIALES

Polinomio Ordenado: con respecto a una variable, es aquel donde los exponentes de dicha variable están ordenados de menor a mayor o viceversa (en forma creciente o decreciente).

Ejemplo: P(x) = 22x7 + 5x20 + 3x41 es ordenado en forma creciente.Q(x) = –30x13 + 21x8 + 6x5 es ordenado en forma decreciente.

Polinomio Completo: con respecto a una variable, es aquel donde dicha variable presenta todos los exponentes desde 0 hasta el mayor incluso.

Un polinomio de una sola variable P(x), completo y de grado n . posee “n+1” términos diferentes de grados “menor” o igual que “n”. El

enunciado recíproco es correcto.

Ejemplo:P(x) = x3 + 7x4 + 19 – x2 + 13x es completo, pues siendo de 4º grado tiene 5 términos diferentes, cuyos grados son menores o iguales que 4.

Polinomio Completo y Ordenado: Se establece respecto a una variable, las características de lo mencionado anteriomente.

Los siguientes son polinomios de una sola variable, completos y ordenados:

P(x) = a0 + a1x De 1º gradoP(x) = a0 + a1x + a2x2 De 2º gradoP(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 De 3º gradoP(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 De 4º grado-----------------------------------------

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + …… + anxn De nº grado Polinomio Homogéneo: El que posee dos o más términos y dos o más

variables tal que todos sus términos son del mismo grado absoluto; este grado es designado : “Grado de homogeneidad”

Ejemplo: P(x,y) = 7x4 y3 + 3x5 y2 – 4xy6 es homogéneo de 7º grado Teorema: En todo polinomio homogéneo:

f(x1, x2; ........; xm) de grado de homogeneidad “n”, se verifica:

f(Kx1, Kx2, ..........; Kxm) = Kn f (xj, x2j ..............xm), donde “n”

Ejemplo: Dado el polinomio homogéneo

f(x ; y) =-15x7 –312x5 y2 + 24x4 y3

f (kx; ky) = k7 f(x; y)

GH(P) = 7 Es el grado de homogeneidad

Polinomios Idénticos o Identidad: Dos polinomios, del mismo grado y con las mismas variables, se dice que son idénticos si los términos semejantes tienen coeficientes iguales.

Observación: La noción axiomática que rige la validez de esta afirmación lo enuncia :

PRINCIPIO DE REFLEXIÓN de la igualdad de los números reales: xR : x=x “Todo número real es asi mismo”

Teorema: Todo polinomio grado “n” que se anula para mas de n valores es idénticamente nulo.

Polinomio Idénticamente Nulo: También polinomio cero, aquel que, lal ser reducido, se caracteriza por tener todos sus coeficientes nulos.

Propiedad : Si un polinomio es idénticamente nulo; entonces su valor númerico, para

cualquier valor real que se asigne a sus variables, siempre será igual a 0.

El polinomio es el unico polinomio que carece de grado- Ejemplo: P(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + 0 es el polinomio cero de un variable.

P(x,y) = 0x5y + 0x2y2 + 0y4 el polinomio cero de dos variables.Ejemplo: Los polinomios: P(x) = 16x2 + 45x + 98 y Q(x) = 98 + 45x +

16x2 , son idénticos y se denota así: P(x) Q(x)Ejemplo: Si P(x) = ax3 + bx2 + c , Q(x) = 9x3 + 31x2 + 20 , son idénticos

ax3 + bx2 + c 9 x3 + 31x2 + 20, x R a = 9, b = 31, c = 20

2.6 OPERACIONES CON POLINOMIOSAdición de Polinomios: dados dos polinomios: P y Q, de grados m y n; para obtener la suma de ellos se suman algebraicamente sus términos y se reducen los términos semejantes (aquellos términos de igual parte variable).Notación: P + Q = S , donde: GA (S) máx { m ; n}

Sumar polinomios equivale sumar los coeficientes que afectan a la mismas potencias de x.La suma de los polinomios p y q es el polinomio r de modo que simbólicamente:

Ejemplo: Sean: P(x) = 7x2 + 11x – 31 y Q(x) = 34x3 + 19x + 45 , donde: GA(P) = 2 y GA(Q) = 3 S(x) = P(x) + Q(x) = 7x2 + 11x – 31 + 34x3 + 19x + 45 = 34x3 + 7x2 + 26x – 31

S(x) = 34x3 + 7x2 + 26x – 31 , donde: GA(S) = 3

Ejemplo: Sean A(x) = 10x4 – 29x3 + 46x + 33 y B(x) = – 10x4 + 29x3 + 38x + 21 S(x) = A(x) + B(x) = 10x4 – 29x3 + 46x + 33 + (– 10x4 + 29x3 + 38x +

21) S(x) = 0x4 + 0x3 + 94x + 54 S(x) = 94x + 54 Polinomio suma de

GA(S) = 1 La suma resultante es de grado menor o igual que el máximo

grado de uno de los sumandos.Sustracción de polinomios: dados dos polinomios: P y Q, de grados m y n; la diferencia o resta se realiza así:Notación: P – Q = P + ( –Q ) = D , donde: GA (D) máx { m ; n}Ejemplo: Sean: A(x) = 49x3 – 7x2 + 16 y B(x) = 59x3 – 18x2 – 30

D(x) = A(x) – B(x) = 49x3 – 7x2 + 16 – (59x3 – 18x2 – 30) D(x) = 49x3 – 7x2 + 16 – 59x3 + 18x2 + 30 D(x) = – 10x3 + 11x2 + 46, donde: GA(D) = 3

Multiplicación de Polinomios: Sean los polinomios “p” y “q” de grados “m” y “n”, llamados factores, se obtiene un tercer polinomio “s” llamado producto.Notación: AB = S donde: GA(P) = m + nEntendemos que el producto de los polinomios p y q es el polinomio ”s” de modo que:

Nótese que el grado del polinomio s es la suma de los grados de máximo de n y m.Métodos de multiplicación:Los métodos de multiplicación se sustentan en dos axiomas de R, que se extienden también para polinomios:

Axioma de conmutatividad: a, b : ab = baAxioma de distributividad : a, b, c : a(b + c) =ab + ac ó (a + b)c = ac + bc

Ejemplos:1) 5x2 (4x3 + 11x4) = 5x2.4x3 + 5x2.11x4 = 20x5 + 55x6

El producto de polinomios es una operación asociativa, conmutativa y

posee elemento neutro .

La relación de estas operaciones con el grado es la siguiente:

2.7 PRODUCTOS NOTABLESEstán determinados por las siguientes identidades algebraicas.

Trinomio Cuadrado Perfecto (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Diferencia de Cuadrados (a + b) (a – b) = a2 – b2

Identidades de LEGENDRE (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ó(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

Desarrollo de un Binomio al Cubo

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 ó (a + b)3 = a3+b3+3ab(a+b)(a–b)3 = a3–3a2b+3ab2–b3 ó (a–b)3 = a3–b3–3ab(a–b)

Suma de Cubos (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

Diferencia de Cubos (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

Desarrollo de un Trinomio al Cubo

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c) (b + c)(a+b+c)3 = a3+b3 + c3 + 3(a + b+ c)(ab + bc + ac) – 3abc

Producto de Multiplicar Binomioscon un Término Común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab(x+a)(x+b)(x+c) = x3 + (a+b+c)x2+(ab + bc + ac)x + abc

Identidad de ARGAND (a2 + ab + b2) (a2 – ab + b2) = a4 + a2b2 + b4

Identidad de GAUSS

(a+b+c)(a2+b2+c2–ab – ac – bc) = a3 + b3 + c3 – 3abcAdemás:3abc

En R: a2+b2+c2 = ab + ac + bc a = b = c Si: a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 =

3abc

DIVISION DE POLINOMIOS

3.1DEFINICIÓN. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN.La división algebraica tiene por objeto determinar dos polinomios: COCIENTE y RESIDUO, siendo conocidos los polinomios : DIVIDENDO y DIVISOR no constante.DEFINICION.- Dados los polinomios D(x) y d(x), denominados dividendo y divisor tal que:GA(D) GA(d) > 0 existen dos únicos polinomios q(x) y r(x) que cumplirán: D(x) d(x) .q(x) + r(x)

CLASES DE DIVISION DIVISION EXACTA .- Tendrá residuo r(x) 0el algoritmo de la división resulta como : D(x) d(x) .q(x)

DIVISION NO EXACTA .- Es aquella que si deja residuo r(x) 0.

Del algoritmo, dividiendo ambos entre d(x) , se obtiene:

( El segundo miembro se denomina cociente completo)

3.3 PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN. La división de polinomios se efectúa con respecto a una sola

variable. GA(D) GA(d)>0 GA(q) = GA(D) – GA(d) 0 0GA(r) GA(d) GA(r)máx = GA(d) – 1

3.4 REGLAS DE DIVISION DE POLINOMIOS.Para efectuar una división de polinomios, el dividendo y divisor seran polinomios completos y ordenados en forma descendente, con respecto a la variable de la división. Si faltase algún término ,en el dividendo o en el divisor, éste se completará con “0”.

REGLA DE GUILLERMO JORGE HÖRNER

Es el modo sintético de realización de una división algebraica mediante la condición necesaria y suficiente de existencia, es decir : .

Ejemplo 2: Efectuar la división algebraica :

Obsérvese que falta el término en “x” en el dividendo. Trazando el esquema y completando con “0”

El cociente será: q(x) = 5x3 – 2x2 + 3x + 2 El resto: R(x) = – 4x – 1

Cociente completo será:

REGLA DE PAOLO RUFFINI.Regla se utilizadasa sólo cuando el divisor es de primer grado, o en aquellas divisiones donde luego de un cambio de variable se obtiene un divisor de primer grado.

Ejemplo : Dividir

Completando con “0” el término que falta en el dividendo, el esquema queda como en el primer cuadro. Las operaciones se realizan como se muestra en el segundo cuadro.

Como el coeficiente principal del divisor es igual a “1”, el cociente es verdadero, luego:q(x) = 3x4 + 6x3 + 2x2 + 5x + 15y el resto es: R(x) = 29 3.5 TEOREMA DEL RESTO O REGLA DE RENATO DESCARTES

“El resto de dividir P(x) entre el divisor (ax+b) es valor numérico del polinomio P(x) cuando la variable “x” se sustituye por la raiz del divisor (ax+b), “x=– ” .Es decir, ”

DEMOSTRACIÓN:Supongamos que el resto de la división sea “r” y que el cociente sea q (x), entonces por el algoritmo de la división: D(x) d(x).q(x) + r(x) y

GA(D) GA(d) > 0 Haciendo x = – y reemplazando en la equivalencia anterior, resulta:

R =

Ejemplo : Hallar el resto en la división:

Mediante la regla de Descartes Igualando el divisor a “0” y despejando “x”: x + 1 = 0 x = – 1 Reemplazando en el dividendo: P( – 1 ) = 3(–1)11 + 4(–1)6 – 5(–1)3 –1 Efectuando las operaciones correspondientes, el resultado será el

resto de la división:R = P( – 1 ) = – 3 + 4 + 5 –1 R = 5

Ejemplo : Hallar el resto de dividir:

Mediante la regla de Descartes :

Igualando el divisor a “0” y despejando la mayor potencia de “x”: x3 – 3 = 0 x3 = 3 Arreglos en el dividendo, formando en éste “ x3 ”:

D = (x3)2.x + (x3).x2 + (x3) + 2x – 3 Reemplazando el valor de “x3 ” y efectuando , se obtiene el resto:

R(x) = (3)2.x + (3).x2 + (3) + 2x – 3 R(x) = 3x2 + 11xEl resto es de menor grado que el divisor.

Ejemplo: Hallar el resto de la división:

Mediante la regla de Descartes: Igualando el divisor a “0” y despejemos la mayor potencia de “x”:

(x + 1)(x + 3) = 0 x2 + 4x + 3 = 0 x2 = – 4x – 3 Arreglos en el dividendo: D = [(x+2)2]n + x2 + 5 D = [ x2 + 4x + 4]n +

(x2) + 5 Reemplazando y efectuando , se obtiene el resto :R = [ – 4x – 3 + 4x +

4]n + (– 4x – 3) + 5

R = [ 1 ]n – 4x – 3 + 5 R = – 4x + 3

3.6 RESTOS ESPECIALESLa regla de Descartes o del resto resulta simple cuando el divisor contiene sólo dos términos y es de cualquier grado. Para esto, en algunos casos, previamente se debe transformar el divisor original en otro de sólo dos términos.

Sabemos que: D(x) d(x).q(x) + r(x) y GA(D) GA(d) > 0 I. Si al dividendo y al divisor se les multiplica por una misma expresión

M(x) (M(x) 0) , entonces el resto también queda multiplicado por la misma expresión.

{ D(x) . M(x) } {d(x) . M(x)}. q(x) + r(x) . M(x)

Aplicando la regla de Descartes, se obtendrá como resto será la parte señalada (resto falso). Para hallar el resto correcto, se divide aquel resto falso entre la expresión M(x).

RF(x) = R(x) . M(x) R(x) =

Ejemplo 12 : Determine el resto en la siguiente división:

Multiplicando el dividendo y el divisor por “ x–1 ”:

Se obtiene :

Mediante la regla de Descartes:(1) x3 – 1 = 0 x3 = 1(2) Arreglos en el dividendo: D = 2(x3)19.x – 2(x3)19 + (x3)11 – (x3)10.x2

(3) Reemplazando: R = 2(1)19.x – 2(1)19 + (1)11 – (1)10.x2 R = – x2 + 2x – 1 R = – (x – 1)2

Este resto es falso. Para hallar el resto verdadero, lo dividimos entre la factor por el cual multiplicamos al inicio “x – 1”:

RV = = – (x –1) RV = – x + 1

II. Si al dividendo y al divisor se les divide entre una misma expresión M(x) (M(x) 0), entonces el resto también queda dividido entre M(x).

Si, luego de ésta operación, aplicamos el teorema, lo que se obtendrá como resto será la parte señalada (resto falso). Para hallar el resto verdadero, se multiplica aquel resto falso por la expresión M(x).

RF(x) = R(x) = RF(x) .M(x)

Ejemplo :Hallar el resto de la división:

No podemos cancelar “x + 1” a nuestro libre albedrío; lo que tenemos que hacer es dividir al dividendo y divisor entre “x + 1”, así:

; ahora si, simplificando resulta:

Usando el teorema del resto:(1) x + 2 = 0 x = – 2(2) No hace falta arreglar el dividendo, reemplazando:

R = (– 2 + 1)10[2(–2) + 7] R = 3Pero este resto es falso. Para hallar el resto verdadero se multiplica aquel resto falso por la expresión entre la cual dividimos al inicio, “x + 1”. Entonces, se tendrá que:

RV = 3(x + 1) RV = 3x + 33.7DIVISIBILIDAD POLINOMIALDEFINICION: Se dice que P(x) es divisible entre otro d(x) si y sólo si la

división es

exacta (r(x) 0). Es decir que existe un único polinomio q (x) tal que: P(x) d(x) . q(x)

También se dice que: “ d(x) es un divisor o factor del polinomio P(x)”.

Ejemplo A partir de : x3 – 1 (x – 1)(x2 + x + 1) decimos que : x3 – 1 es divisible entre x – 1 ó : x – 1 es un divisor o factor de x3 – 1

Ejemplo. De la identidad :x4 – 1 (x2 + 1)(x2 – 1)

Afirmamos que : x4 – 1 es divisible entre x2 + 1 ó también : x2 + 1 es un divisor o factor de x4 – 1

También se : x4 – 1 (x + 1)(x2 + 1)(x – 1)de donde se puede decir que : x4 – 1 es divisible entre x + 1

o sino : x + 1 es un divisor o factor de x4 – 1

TEOREMAS DE LA DIVISIBILIDAD POLINOMICA1. Si el polinomio P(x) es divisible separadamente entre (x – a) y (x – b),

donde a b, P(x) será divisible entre el producto (x – a)(x – b).

2. Si el polinomio P(x) es divisible entre el producto (x – a)(x – b), entonces P(x) será divisible separadamente entre (x – a) y (x – b).

P(x) [(x – a)(x – b)]. q(x) P(x) (x – a). q1(x) y P(x) (x – b). q2(x)

3.Si al dividir polinomio P(x) separadamente entre (x – a) y (x – b) , a b, y en ambos casos se obtiene el mismo resto r, al dividir P(x) entre (x – a)(x – b) el resto seguirá siendo r

4.Si dos polinomios F(x) y G(x) son divisibles entre un mismo divisor d(x), entonces la suma o diferencia de dichos polinomios seguirá siendo divisible entre el mismo divisor.

F(x) d(x) . q1(x) y G(x) d(x) . q2(x) F(x) G(x) d(x) . q(x)

TEOREMA DEL FACTORUn polinomio P(x) se anula para x = a, es decir que P(a) = 0, si y sólo si (x – a) es un factor de dicho polinomio. P(x) : P(a) = 0 P(x) (x – a) . q(x)

Ejemplo . El polinomio P(x) = x4 – 5x + 4 se anula para x = 1: P (1) = 1 – 5 + 4 = 0 , entonces:

P(x) (x – 1) . q(x)

FACTORIZACION DE POLINOMIOS ,EN EL CAMPO DE LOS RACIONALES Factorizar es obtener los factores primos de un polinomio. Factorizar es descomponer un polinomio en sus factores primos. Factorizar es expresar un polinomio como el producto de sus factores

primos.4.1. Factor Primo – Número de factores primosEjemplo : x2 – 1 (x + 1) (x – 1)El factor “x + 1” es primo o irreductible.Los principales factores primos más comunes son:De primer Grado: x, y, x + y, x – y, ax + b

Si “a” y “b” son primos entre síDe segundo Grado: x2 + 1, x2 + a2, x2 + x + 1, x2 – x + 1

x2 + xy + y2, x2 – xy + y2

ax2 + bx + c es primo sí:

b2 – 4ac < 0 ó b2 – 4ac no es cuadrado perfectoDe Tercer Grado: x3 + 7; x3 – 7; x3 A

Si A no es cubo perfectox3 + x + 1, x3 – x + 1, etc.

Ejemplo: Sea el polinomio factorizado.P (x) = (x – 1)3 (x + 1)2 (x2 + x + 5)2 (x2 + 1)2

Sus factores primos son:x-1, x+1, x2 + x + 5 y x2 + 1Sus órdenes de multiplicidad o las veces que se repiten son:

3 factores (x – 1)2 factores (x + 1)2 factores (x2 + x + 5) 2 factores (x2 + 1)

4.2. Reglas y casos de FactorizaciónAl factorizar un polinomio, primero se identifica el tipo de polinomio y de ahí se establece el algoritmo a usar. Las reglas y casos más usados son:1. Factor ComúnCuando en un polinomio se repite una o más simbolos en todos los términos, un factor común del polinomio es el símbolo que se repite con el menor exponente.Ejemplo: Factorizar:

A(x) = x4 + 2x3 + x2

Como se repite x, el factor común es: x2

A(x) = x2 (x2 + 2x + 1) Trinomio cuadrado perfecto A(x) = x2 (x + 1)2 Sus factores primos son: x; x + 1

2. Agrupación de términos:Ejemplo: Hallar el número de factores primos de: C(x) = x3 + 2x2 + x + 2

El polinomio tiene 4 términos, agrupamos de 2 en 2. C(x) = (x3 + 2x2) + (x + 2)factoricemos cada grupo por separado C(X) = x2 (x + 2) + (x + 2)como puedes ver: “x + 2” es un factor común para los 2 grupos. C(x) = (x + 2) [x2 + 1] Tiene: 2 factores primos.

Ejemplo: Factorizar: D(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1El polinomio tiene 6 términos, entonces formamos grupos de 2

en 2 ó de 3 en 3.

D(X) = (x5 + x4) + (x3 + x2) + (x + 1)D(x) = x4 (x + 1) + x2 ( x + 1) + (x + 1)

Luego: D(x) = (x + 1) [x4 + x2 + 1] = (x + 1) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1)Ejemplo: Factorizar E(x) = x5 + 2x4 – x3 – 2x2

E(x) = x2 (x3 + 2x2 – x – 2) = x2 [ x2 (x + 2) – (x + 2)]E(x) = x2 (x + 2) [x2 – 1] = x2 (x + 2) (x + 1) (x – 1)

3. Identidad Algebraica – Productos NotablesAlgunos polinomios son productos notables:

Diferencia de cuadrados

a2m – b2n = (am + bn) (am – bn)

Suma y resta de cubos

a3m b3n = (am bn) (a2m am bn + b2n)

Identidad de Arganda4m + a2m b2n + b4n = [a2m + am bn + b2n] [a2m – am bn + b2n]

Ejemplo: Factorizar: G(x) = x9 – 1Binomio: el exponente es múltiplo de 3

es diferencia de cubos:G(x) = x9 – 1 = (x3 – 1) (x6 + x3 + 1)G(x) = (x – 1) (x2 + x + 1) (x6 + x3 + 1)

Ejemplo: Factorizar H(x) = x8 + x4 + 1

H(x) = (x4 + x2 + 1) (x4 – x2 + 1)H(x) = (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) (x4 – x2 + 1)

4. Aspa simpleEjemplo: Factorizar:I(x) = x2 + 6x + 8 Es un trinomio de segundo grado

I(x) = x2 + 6x + 8x 4x 2

Condición: 2x + 4x = 6xLuego: I(x) = (x + 4) (x + 2)

5. Aspa dobleCuando un polinomio tiene 6 términos de grado par, puede aceptar 2 factores de 3 términos.

Ejemplo. FactorizarL(x, y,z) = x2 + 3 x y + 2 y2 + 4 x + 7 y + 3

X 2 y 1 x y 3

Aspa de comprobación (Los extremos)Luego: L(x, y,z) = (x + 2 y + 1) ( x + y + 3)

6. Divisores Binómicos: Teorema del factor: un polinomio tiene un factor primo

lineal de la forma.(Ax + B) ó (x a) El polinomio se anula con x = - ó x

= a; A 0; a 0.

Observa la división exacta: (x3 + 2x2 – 5x + 2)Por la Regla de Ruffini:

1 2 -5 2

1 1 3 -21 3 -2 0

Cociente restoQ(X) = x2 + 3x - 2

x3 – 2x2 – 5x + 2 (x – 1) (x2 + 3x – 2)Probemos con “x – 2”Dividiendo por la Regla de Ruffini:

1 0 1 - 10

(x – 2) 2 2 4 10

1 2 5 0

Resto S(x) = (x – 2) (x2 + 2x + 5) Sumas y restas:

Para completar cuadrados ó para obtener un producto notable, se suma y resta una misma cantidad para luego agrupar y factorizar.Ejemplo: Factorizar:D(x) = x4 + 15 x2 + 64 si bosquejamos un trinomio cuadrado perfecto D(x) = x4 + 15x2 + x2 + 64 – x2

x2 8 x2 8

Hemos sumado y restado x2

Luego D(x) = (x2 + 8)2 – x2

Por diferencia de cuadradosD(x) = (x2 + 8 + x ) (x2 + 8 – x )Luego: D(x) = (x2 + x + 8) (x2 – x + 8)

III- LABORATORIO

1. Luego de efectuar la división: , señale la

suma de coeficientes del cociente.

2. Si la división: es exacta, hallar “m+n”.

3. En la división: el residuo es 8; calcular: a + b.

4. Si el resto de la división: es 5x2 – 3x + 7

Hallar el valor de: m + n + p.5. Hallar la suma de coeficientes del cociente, luego de efectuar la

división:

6. Señale el menor de los coeficientes del cociente, luego de dividir:

7. Calcular el resto de la división:

8. Hallar el resto de la división:

9. Calcule el término independiente del residuo de la división:

10. Si el resto de la división: carece del

término de segundo grado, calcular el valor de “m”.

11. Luego de calcular el resto de: , señale

el coeficiente de su término lineal.

12. Hallar el resto de dividir:

13. Hallar un polinomio P(x) de tercer grado que sea divisible separadamente entre (x + 3) y (x – 2), que su suma de coeficientes sea 12 y que su término independiente sea 12. Dar el resto de dividir: P(x) : (5x + 5).

14. Un polinomio P(x) de tercer grado es tal que su primer coeficiente es 1, es divisible entre (x – 2) y (x + 1) y carece de término cuadrático. Hallar P(1).

15. Un polinomio P(x) de tercer grado, al dividirlo entre (x – 1), (x + 2) y (x – 3) da el mismo resto 3. Si se divide P(x) entre (x + 1) se obtiene como resto 19. Calcular P(4).

16. Hallar el término independiente del polinomio P(x), de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x – 5) y (x – 4) deja el mismo resto 4, pero si se le divide entre (x + 1) y (x – 1) deja como resto 34 y 40 respectivamente.

17. Simplificar la expresión:

18.Hallar (m+n) si la división: , es exacta.

19.En la siguiente división: , el grado del cociente

es el doble del grado del grado del residuo. Hallar el término lineal del residuo.

20.Si la división: x4 + ax3 + b (x – 1)2 tiene residuo: 25x – 15 , calcular: 2a + b.

21.Hallar la suma de los coeficientes del cociente de dividir: (6x7 – 7x6 + 1) (x – 1)2

22.Hallar a suma de coeficientes del cociente de dividir:

si el resto que se obtiene es 5.

23. Si el polinomio: P(x) = , de tercer grado,

carece de término independiente. El término de 1er. Grado tiene un coeficiente igual a 12 veces el del término principal. Calcular a2 + b2 + c2, siendo a < 0.24.Calcular: a2 + b2 si cumple x R: 13 – 2x a (2 – x) + b(1 + x)25.Calcular: a + b + c si se verifica: 5x2 + 19x + 18 a(x–2)(x–3) + b (x–3)(x–1) + c (x–1)(x–2)26.Sea P(x) sobre Q de 3er. Grado tal que: P(x) – P(x – 1) = 2x (3x + 2) y P(0) = 2 Luego de calcular P(x) obtener el producto de sus términos.

27.Sea el polinomio cero. P(x) = ; calcular a

+ b + c.28. Hallar un polinomio P(x) de 1er. Grado tal que la suma de sus coeficientes sea 20 y verifica que P(–1) + P(–2) = –45. Obtener P(6).29.Si: a = 11 + 2 , b = 7 + 5 , c = 11 - 2 , d = 7 – 5 . Calcular: E = ac + bd 30.Simplificar:K=(1+a + a2)(1–a +a2)(1–a4+a8)(1 –a12+a24)–a36

31. Cuantos valores de m hacen que Sea un polinomio32. Determinar si

33. Determinar el valor de “m” de modo que:

Verifique