Pract03E.fin

7/31/2019 Pract03E.fin

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UNIVERSIDAD

NACIONAL

DE

INGENIERA

CLCULO POR ELEMENTOS FINITOS

PRCTICA N3 - ARMADURAS

Integrante:

ASENCIO SIFUENTES ILVI AYSER 20081046K

Seccin:

MC 516B

Especialidad:

INGENIERA MECATRNICA

Fecha de realizacin:

28 de octubre

Fecha de entrega del informe:

02 de noviembre

2011 - II


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ARMADURAS PLANAS Pgina 1

ARMADURAS PLANAS

Problema

Un pequeo puente de ferrocarril est construido con miembros de acero que tiene cada unoun rea transversal de 3250 mm2. Un tren se detiene sobre el puente y las cargas aplicadas auna de las armaduras del puente se muestran en la figura P4.8. Estime cunto se muevehorizontalmente el punto R debido a esta carga. Determine tambin los desplazamientosnodales y los esfuerzos en lo elementos.DATOS:E = 200GPa=2.10^5N/mm2A = 3250mm2.

Solucin:

1. MODELO REAL


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2.-COORDENADAS NODALES Y COSENOS DIRECTORES

NODO X(mm) Y(mm)

1 0 0

2 1800 3117.7

3 5400 3117.7

4 9000 3117.7

5 3600 0

6 7200 0

7 10800 0

Para cada elemento finito se define:

Dnde: 3.-TABLA DECONECTIVIDAD

ELEMENTO NODO GDL Le(mm) l m

(1 ) ( 2) 1 2 3 4

1 1 2 1 2 3 4 3600 0.5 0.866

2 1 5 1 2 9 10 3600 1 0

3 2 3 3 4 5 6 3600 1 0

4 2 5 3 4 9 10 3600 0.5 -0.866

5 3 4 5 6 7 8 3600 1 0

6 3 5 5 6 9 10 3600 -0.5 -0.866

7 3 6 5 6 11 12 3600 0.5 -0.866

8 4 6 7 8 11 12 3600 -0.5 -0.866

9 4 7 7 8 13 14 3600 0.5 -0.866

10 5 6 9 10 11 12 3600 1 0

11 6 7 11 12 13 14 3600 1 0

4.-MATRICES DE RIGIDEZ LOCALES

Las matrices de rigidez locales estn determinados por

( ) [ ]Para cada elemento


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6.-VECTOR CARGA

Las barras se consideran de peso despreciable, por lo que las nicas fuerzas queactan sobre ellas son las cargas aplicadas y las reacciones

El vector carga se expresar: 7.-ECUACIN DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez la determinamos por la siguiente ecuacin: Como los nodos (1) y (7) estn empotrados, su desplazamiento ser cero. Luego el vectordesplazamiento ser: Entonces, para calcular las fuerzas en cada elemento finito tomamos el siguiente subsistema:Resolviendo este sistema de ecuaciones:

|

|


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Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: 0 0 3.084 -3.51 1.6 -7.24 -0.05 -3.73 0.75 -6.57 2.31 -7 3.133 0

Y tambin las reaccionesR1= 0.0 kNR2 =513 kNR14 = 616 kN

8.-ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos para cada elemento finito, aplicamos la siguiente ecuacin:

( )

Obteniendo:


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% Programa para ARMADURAS PLANASclcdisp('=============================================================');nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS=');

disp('-------------------------------------------------------------');ne=input('INGRESE EL NUEMERO DE ELEMENTOS=');disp('-------------------------------------------------------------');A=input('INGRESE EL AREA DE LA SECCIONE(mm^2)=');disp('-------------------------------------------------------------');E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2)=');disp('-------------------------------------------------------------');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(Solo nodos)=');ni=[];for i=1:nddisp('========================================================');

disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO '); disp(i);n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= ');

enddisp('=============================================================');F=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=');disp('-------------------------------------------------------------');CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [Posicin Valor]=');disp('-------------------------------------------------------------');%Inicio del programalm=[]; A;krs=zeros(2*nd);Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[];le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[];[fc,cc]=size(CC1);for i=1:2*nd

cont=0;for j=1:fc

if i==CC1(j,1)cont=1;c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2);

endendif cont==1

CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2;elseCC(i,1)=0; CC(i,2)=0;

endendfor i=1:ne

le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2);

l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i);%COSENOS DIRECTORESm(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i);ps1=tc(i,1)*2-1; ps2=tc(i,1)*2; ps3=tc(i,2)*2-1;

ps4=tc(i,2)*2;krs(ps1,ps1)=l(i)^2; krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i); krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;

krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-

l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2;


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krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i);

krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2;

Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd);

endfor i=1:2*ndif i==CC(i,1)

Q(i,1)=CC(i,2);else

FC=[FC;F(i)];for j=1:2*nd

if j~=CC(j,1)acuh=[acuh,Kij(i,j)];

endend

endacuv=[acuv;acuh]; acuh=[];

endQ1=acuv\FC;for i=1:2*nd

if i~=CC(i,1)Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1);if f>=2

Q1=Q1(2:f,1);end

endendfor i=1:2*nd

if i==CC(i,1)r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);j=i*10000; R=[R;r j];

endendR=R/10000;ESF=[];for i=1:ne

ps1=tc(i,1)*2-1; ps2=tc(i,1)*2; ps3=tc(i,2)*2-1; ps4=tc(i,2)*2;ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i)m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)];

endformat short%Resultadosdisp('===========================');disp(' RESULTADOS');disp('===========================');disp('LOS DESPLAZAMIENTOS(mm)');disp(Q);disp('---------------------------')disp('LAS REACIONES');disp('REACCIN(KN) POSICIN');disp(R);disp('---------------------------')disp('LOS ESFUERZOS(MPa)');disp(ESF');


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disp('===========================');

RESULTADOS CON EL PROGRAMA MATLABINGRESE EL NUMERO DE NODOS=7-------------------------------------------------------------

INGRESE EL NUEMERO DE ELEMENTOS=11-------------------------------------------------------------INGRESE EL AREA DE LA SECCIONE(mm^2)=3250-------------------------------------------------------------INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2)=200000-------------------------------------------------------------INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(Solo nodos)=[1 2;1 5;2 3;2 5;3 4; 3 5;3 6;46;4 7;5 6;6 7]==============================================================INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

1

N(X)= 0

N(Y)= 0==============================================================INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

2

N(X)= 1800N(Y)= 3117.7==============================================================INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

3

N(X)= 5400N(Y)= 3117.7==============================================================

INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO4

N(X)= 9000N(Y)= 3117.7==============================================================INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

5

N(X)= 3600N(Y)= 0==============================================================INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

6

N(X)= 7200N(Y)= 0==============================================================INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

7

N(X)= 10800N(Y)= 0


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=============================================================INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=[0 -280000 0 0 0 0 0 0 0 -210000 0 -280000 0 -360000]'-------------------------------------------------------------INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [Posicin Valor]=[1 0;2 0;14 0]

-------------------------------------------------------------===========================RESULTADOS

===========================LOS DESPLAZAMIENTOS (mm)

00

3.0839-3.50361.5917-7.2369-0.0497-3.73330.7461

-6.57642.3129-6.99283.1337

0

---------------------------LAS REACIONESREACCIN (KN) POSICIN

0.0000 1.0000513.3333 2.0000616.6667 14.0000

---------------------------LOS ESFUERZOS (MPa)-82.901541.4507-82.901382.9015-91.1915-8.29028.290291.1917-91.191787.046445.5957


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ANEXOSOLUCION UTILIZANDO EL PROGRAMA FEMAP

Haremos los mismos pasos que el problema anterior, cuando sea necesario se colocaran pasos que

requieran una explicacin extensa.Para la solucin nos guiaremos de la siguiente disposicin de nodos y elementos, que se muestra en lasiguiente figura:

Unidades en Femap

Abro un parntesis para comentar el tema de unidades en

FEMAP: es fundamental configurar el programacorrectamente, debe ser el primer paso que se debe hacercuando se abra FEMAP por primera vez. Debes ir a "File >Preferences... > Geometry/Model" y establecer lasunidades de longitud en las que se va a trabajar en FEMAP(metros, milmetros o pulgadas). Personalmente meencuentro muy cmodo usando milmetros como unidadde longitud.

Cuando se carga FEMAP por primera vez la librera demateriales por defecto es "material.esp" que est en elsistema de unidades PSI americano (lbf, psi, inches). Si enel paso anterior has establecido "milmetros" como tu

unidad de longitud entonces en "File > Preferences... >Library/Startup" debers cargar el fichero depropiedades de materiales en sistema METRICO para queel modelo de elementos finitos sea coherente. En el campo"Material" debers navegar hasta el directorio donde hayas instalado FEMAP & NX Nastran yseleccionar el fichero: "mat_eng_mm-N-tonne-degC-Watts.esp". En este fichero las propiedades dematerial estn en las siguientes unidades:


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FEMAP Version 10.1.1SC Material Library

$ Engineering Materials Library for FEMAP v10.1in Metric Units$ Notes:

$ Units are as follows:$ E : MPa (N/mm^2)$ G : Mpa$ NUXY : dimensionless$ Expansion Coefficient Alpha, a : mm/mm/degC$ Conductivity, k : Watt/mm-degC$ Specific Heat, Cp : J/Tonne-degC$ Stress Limits, SIGYLD : Mpa$ Mass Density : Tonne/mm^3$ Reference Temperature : degCOtra manera de ver resultados:

View/Select.

Colocamos lo siguiente:

Damos en Deformed and Contour Data


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Ejemplo desplazamiento:

Resultados:

Desplazamientos

Fuerzas


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Esfuerzos


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CONCLUSIONES

Las sumatoria de las fuerzas halladas es igual a cero, lo cual se traduce en que el sistema esten equilibrio de traslacin, estas fuerzas tambin podran hallarse de forma analtica en

funcin del grfico.

Este tipo de anlisis es muy recomendado debido a que a partir de ste, podremos deducir elcomportamiento (deformaciones) de cualquier armadura sometida a diferentes fuerzas,siempre y cuando estas estn aplicadas en las posiciones nodales.

Todos los problemas de armaduras planas tienen como mnimo 2 apoyos rgidos pero tambinpueden tener ms de dos apoyos. En este tipo de problemas podemos distinguir dos tipos deincgnitas las de desplazamientos y las de fuerzas, si el nmero de apoyos rgidos aumentan

entonces las incgnitas de fuerzas aumenta

Para modelar, se considera cada miembro de la estructura como un elemento ideal sin masa. Serequiere que todas las cargas y reacciones estn aplicadas solo en los nodos y que todos losmiembros estn conectados entre s por medio de articulaciones sin friccin.

Cada miembro de la estructura est sujeto a dos fuerzas; es decir, cada elemento real de laarmadura est en tensin o compresin directa. Dichas fuerzas son descompuestas en lascomponentes del sistema global.

Los resultados son congruentes con la teora de esttica ya que la sumatoria de fuerzas es iguala cero tanto en el eje vertical como en el eje horizontal.

El clculo por elementos finitos para el clculo de armaduras planas tiene una tiene unaaproximacin muy exacta, el error es pequeo, debido a que el MatLab trabaja con un mayor

nmero las cifras; al comparar los resultados en forma analtica con la de elementos finitos el

error del clculo es casi cero.

Este mtodo de elementos finitos es aplicable a cualquier estructura en el plano, lo msimportante es poder ingresar la tabla de conectividad correctamente, pues este ser un trabajo

tedioso si la estructura consta de muchos elementos. La ventaja de este mtodo es la facilidad

de clculo por medio del MATLAB, ya que se sigue una rutina y es de fcil clculo para un

nmero de elementos muy grande, que resultara casi imposible de resolverlo analticamente.

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