Laboratorio de Física I (UNTreF)

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PRACTICA DE LABORATORIO Nº4 Movimiento Oscilatorio Armónico Simple y Amortiguado

Sergio Román Chamorro (S.r.chamorro@hotmail.com)

Guillermo Bianucci (guillebianucci@hotmail.com)

Se realizó un experimento para determinar la constante de elasticidad de un resorte y posteriormente

calcular la frecuencia angular, de modo que este oscilando libremente el cuerpo. A través de los datos

obtenidos con Logger Pro y Origin, comprobando la ley de Hooke para los cuerpos en oscilaciones libres,

cuyas frecuencias tanto en los ajustes lineales y no lineales, dieron aproximadas entre sí, ajuste lineal

(13,92 ± 0,06) 1/s y del ajuste no lineal (13,593 ± 0,002) 1/s. Este resultado fue lo esperado ya que se

utiliza el mismo resorte y la misma masa. La segunda parte, el caso de subamortiguamiento de las pesas

sumergidas en un vaso graduado con agua, le aplicamos una fuerza para calcular su frecuencia angular

(ω), la cual fue de (14,95± 0,07) 1/s. En ambos casos, el parámetro W del ajuste no lineal, son

aproximados, con una propagación de error de 0,02, lo cual está dentro de lo esperado que la frecuencia del

amortiguado sea mayor a la de oscilaciones libres.

1. INTRODUCCIÓN

Leyes de Newton

Las leyes de Newton no son producto de deducciones matemáticas, sino una síntesis que los físicos han

descubierto al realizar un sinnúmero de experimentos con cuerpos en movimiento.

La primera ley de newton dice que un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con

velocidad constante (que puede ser cero) y aceleración cero [1]. La segunda Ley de Newton dice que si una

fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, éste se acelera. La dirección de aceleración es la misma que la

dirección de la fuerza neta. El vector de la fuerza neta es igual a la masa (m) del cuerpo multiplicado por su

aceleración (ẍ) [2]. La segunda ley de Newton se puede simbolizar de la siguiente manera.

∑ �⃗� = 𝑚�̈� (1)

La tercera ley de Newton dice que si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B (una “acción),

entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una “reacción”). Estas dos fuerzas tienen la misma magnitud pero

dirección opuesta, y actúan sobre diferentes cuerpos [3].

El valor de la fuerza se mide en Newton (N) y esta tiene unidades de masa por aceleración (Kg *m/s2).

Ley de Hooke

La ley de Hooke establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es

directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo.

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del

resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida por el resorte con la elongación provocada por la fuerza

externa aplicada al extremo del mismo. Se la representa en la siguiente ecuación.

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𝐹(𝑥) = −𝑘𝑥 (2)

En la cual (k) es la constante elástica del resorte y (x) es su elongación o variación que experimenta su

longitud. La constante k siempre es positiva. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que

actúa sobre la partícula está dirigida hacia la posición de equilibrio.

Movimiento Armónico Simple (M.A.S) [3]

El movimiento armónico simple, es un movimiento periódico y vibratorio en ausencia de fricción, producido

por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición, y que queda

descrito en función del tiempo por una función senoidal ( Seno o Coseno).

Mediante la ecuación (2) de la ley de Hooke, aplicando la ecuación de la segunda ley de Newton (1), el

M.A.S se puede definir entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial.

Siendo (m) la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo ω2=k/m se obtiene la siguiente ecuación

donde w es la frecuencia angular del movimiento.

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 = 𝑎(𝑡) = −𝜔2𝑥 (3)

La solución de esta ecuación diferencial se puede escribir como:

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos (𝜔𝑡 + 𝜙) (4)

La posición en función del tiempo (la elongación) es x(t) es igual a la amplitud del movimiento, que es la

elongación máxima (A), por el coseno de omega (frecuencia angular ω) por tiempo (t) más Phi (𝜙), que es

la fase inicial e indica el estado de oscilación en el instante t=0 de la partícula que oscila.

La frecuencia angular se puede escribir como:

𝜔 = √𝑘

𝑚 (5)

La constante k tiene unidades de Newton sobre metro (N/m). Y la frecuencia angular tiene unidades de uno

sobre segundo (1/s), que equivale a Hertz.

La frecuencia de oscilación, que se mide en Hertz, se la puede escribir como:

𝑓 =𝜔

2𝜋 (6)

El periodo se lo escribe como:

𝑇 = 1

𝑓=

2𝜋

𝜔

En la cual T (Periodo) es igual a 1 sobre frecuencia (f), que es lo mismo que decir, 2π sobre omega (ω).

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Oscilaciones amortiguadas [4]

Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de fricción son disipativas y el

trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el

movimiento está amortiguado, salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es

mayor que cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio. La rapidez

con la que se produce este regreso depende de la magnitud del amortiguamiento, pudiéndose dar dos

casos distintos: el sobreamortiguamiento y el movimiento críticamente amortiguado. Cuando el

amortiguamiento no supera este valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado,

semejante al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye exponencialmente con el

tiempo.

A la ecuación (2) de la ley de Hooke, se le agregara una constante, por lo tanto se puede escribir como:

𝑚ẍ = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣 (7)

En la cual (m) es la masa, (ẍ) es la aceleración, (k) es la constante de elasticidad del resorte, (x) es la

elongación que hace el resorte, (b) es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad y

(v) es la velocidad.

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la

aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x, dicha

solución es:

𝑥 = 𝐴 𝑒−𝑏

2𝑚𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) (8)

En la cual A es la elongación del resorte, e-(b/2m)t es el decaimiento exponencial, (b/2m) se la denomina “ϒ”

la cual es la constante de amortiguamiento y sen(ωt+ϕ) es la fase del movimiento.

La frecuencia se puede escribir como:

𝜔 = √𝜔𝑜2−𝛾2 = √ 𝑘

𝑚− [

𝑏

2𝑚]

2 (9)

Cuadrados Mínimos

El concepto de cuadrados mínimos nos permite determinar la expresión matemática de recta que describe

mejor la relación entre datos. Consiste en elegir los parámetros de la recta, tanto la pendiente como la

ordenada, de manera que se pueda minimizar la suma de los cuadrados de las distancias a cada dato a la

recta de ajuste Ej: (d12, d2

2, d32, d4

2…dn2). Este procedimiento se lleva a cabo por medio de la ecuación de

Chi Cuadrado.

𝜒2 = ∑ [𝑦𝑖−(𝑎𝑥𝑖+𝑏)

𝜎𝑖]

2𝑁𝑖=1

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Chi cuadrado (X2) es igual a la sumatoria dela cual i=1 es la primera medición y N es la cantidad de veces

medidas, Y1es la posición en el eje vertical, (a) es la pendiente, (b) es la ordenada al origen y σi es el desvío

estándar. El objetivo es minimizar la suma de los cuadrados de los errores.

La ecuación horaria de la velocidad en función del tiempo para un cuerpo bajo aceleración constante (como

en caída libre) se puede expresar como la ecuación:

V(t) = V(t0)+a(t-t0)

En la cual la Velocidad en función del tiempo V(t) es igual a la velocidad en tiempo cero V(t0) más la

aceleración por la diferencia del tiempo final menos el tiempo inicial a(t-t0).

El método de cuadrados mininos tradicional presenta un problema, solo se considera los errores en el eje Y.

Por lo tanto si tenemos dos parámetros en los cuales no podemos despreciar el error, porque no sabemos

si se puede despreciar o cuál de ellos es más grande, debemos determinar la pendiente y su error con el

ajuste tomando los ejes de una forma, y luego determinar la pendiente y el error con los ejes al revés.

Materiales utilizados

Para llevar a cabo la actividad se utilizaron interfaz de recolección Labquest mini, es necesario para toda la toma

de datos y mediciones que hará el software Logger pro, un pie, pesas, resorte, sensor de fuerzas, sensor de

posición, vaso graduado con agua en su interior.

El sensor de posición se lo utilizó para estudiar de manera cualitativa el movimiento de la oscilación del resorte.

El sensor funciona emitiendo pulsos de ultrasonido (de alta frecuencia), rebota contra los objetos que

obstaculizan el pulso y vuelve al sensor, de esta manera registra el tiempo de viaje (ida y vuelta) y puede

determinar la distancia a la cual se encuentra el objeto. Debe tomarse ciertas precauciones, una de ellas es que

el pulso se expande en forma de cono. Esto puede provocar que se produzcan rebotes con elementos que se

encuentran a los costados del sistema a estudiar. Otra precaución es conservar una distancia mayor a 20 cm,

porque en distancias menores a esas el sensor no recolecta bien los datos.

El sensor de fuerza se lo utilizó para medir la fuerza que es ejercida por las pesas.

Objetivo

El objetivo de esta práctica, fue, en principio calcular la constante de elasticidad (k) del resorte. Luego con

la constante como dato, calculamos y comparamos la frecuencia angular en cada caso, oscilación libre y

amortiguada, haremos la comparación con sus respectivos errores y plasmaremos una conclusión acerca de

ello. Es necesario contar con el Origin y el Logger pro para hacer todas las mediciones de distancia y fuerza.

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2. DESARROLLO EXPERIMENTAL

Estudio de oscilaciones libres

Para esta primera parte del experimento, armamos el sistema que utilizaremos (figura 1). Luego colocamos en el extremo inferior del resorte un soporte con una masa de (0,005±0,001) kg y tres pesas con un peso total de (0,030±0,001) kg.

Dejaremos que la masa este en su posición de equilibrio. Luego, a través del logger pro, le indicaremos que el sensor de posición ponga el “cero” sobre la posición de equilibrio. De esta manera, a la ecuación 4, le agregaremos una constante B que indicara la posición de equilibrio, y oscilara entre B+A y B-A.

Con la puesta a punto, le damos una fuerza a las pesas para que el resorte comience a oscilar. Con el Logger Pro, medimos la fuerza y la distancia a medida que oscila. Las muestras se transcriben al Origin. Haremos un ajuste lineal por cuadrados mínimos, tomando en el eje X la posición (distancia) y en el eje Y tomaremos la fuerza , en el error de Y pondremos el error de la fuerza. El error del sensor de fuerza es de 0,01N (Newton) y el error del sensor de posición es de 0,001m que nos da el fabricante. Nos dará una pendiente negativa, el “slope” de esa pendiente será nuestra constante de elasticidad del resorte (k).

La relación funcional del grafico de la pendiente es que la elongación es proporcional a la fuerza que es ejercida, y esto se lo conoce como la ley de Hooke. Cabe mencionar que despreciamos la resistencia con el aire sobre las pesas, y tomamos las pesas como un cuerpo puntual.

Luego, al obtener “K” y conocer la masa suspendida, se puede saber cuál es ω y su error mediante la siguiente fórmula:

(10)

Recordar que al explicitar “L”, se hace referencia que “ω” se obtiene a partir de un ajuste lineal.

Figura 1. Sistema en el cual se estudio la Ley de Hooke.

Sensor de fuerza

Resorte

Pie

Pesas

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Para obtener “ωοNL” realizamos un ajuste no lineal y se lo calculó con la siguiente ecuación:

(11)

Luego se realiza un ajuste no lineal, en el Origin, colocando en el Eje X el tiempo, y en el eje Y la fuerza

ejercida por el resorte. De todos los datos que nos dara el resultado de ese ajuste no lineal, solo

tomaremos el parámetro (W) el cual es el que nos interesa. Con esto se procede a hacer las cuentas para

calcular ω0NL y la propagación de su error.

Estudio de Oscilaciones Amortiguadas

Para el estudio de las oscilaciones amortiguadas, se utiliza un sistema similar a las oscilaciones libres, pero

con las pesas sumergidas en un fluido (agua), que fue contenida en un vaso graduado. Las pesas fueron

sumergidas a tal profundidad de modo que al realizar las oscilaciones se mantengan debajo del agua.

Se procede a tomar las mediciones de la fuerza a través del Logger Pro. Se transcriben los datos al Origin y

se hace un ajuste no lineal. Con esos datos calculamos la frecuencia angular con el ajuste no lineal.

Para obtener “ωοA” se lo calculó con la siguiente ecuación:

(12)

(13)

Antes de calcular “ωοA” de la ecuación (13), se debió calcular ω y γ de las ecuaciones (12).

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3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

La pendiente del gráfico.1 nos indica el coeficiente de elasticidad del resorte que fue objeto de estudio. Teniendo como resultado (5,82 ± 0,05) N/m. El coeficiente de elasticidad es el mismo para cada uno de los casos analizados debido que el resorte utilizado fue el mismo.

Para obtener “ωοL” y su error se utilizó la ecuación (10) y nos dio como resultado (13,92 ± 0,06) 1/s

Posición (m)

Fu

erza

(N

)

Gráfico 1. Representación grafica de la fuerza que ejerce el resorte en función de la posición.

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El “ωοNL” y “Δωο” obtenido a partir de la ecuación (11) nos dio como resultado (13,593 ± 0,002) 1/s

Y el parámetro W que nos interesa del ajuste lineal es (0,23156 ± 3,06E-5).

El “ωοA” y “ΔωοA” obtenido de las ecuaciones (13) dio como resultado, (14,95± 0,07) 1/s

Y el parámetro W del ajuste no lineal es (0,211±0,001).

(N

(s)

Gráfico 2. Representación gráfica de la fuerza ejercida por el resorte en función del tiempo.

Fu

erza

(N

)

(s)

Gráfico 3. Representación grafica de la fuerza ejercida por el resorte en un fluido en funcion del tiempo.

Fu

erza

(N)

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4. CONCLUSIONES

En principio calculamos la constante de elasticidad del resorte, de forma indirecta, a través de los datos que

obtuvimos de los sensores de fuerza y de posición. Luego con esa constante, que utilizamos durante todo el

experimento, estimamos las frecuencias angulares de cada caso, oscilación libre por un lado y oscilación

amortiguada por otro, y comparamos la frecuencia angular (omega) de las oscilaciones libres del ajuste

lineal (13,92 ± 0,06) 1/s y del ajuste no lineal (13,593 ± 0,002) 1/s. Estos resultados estimados, están dentro

de lo esperado, ambas frecuencias tienen una estimación aproximada. También a partir de esto podemos

deducir que se cumple la ley de Hooke.

Con respecto la frecuencia angular del ajuste no lineal de las oscilaciones subamortiguadas, de la cual nos

dio (14,95± 0,07) 1/s, se puede apreciar que es mayor que las de oscilaciones libres. En el caso

subamorituguado, influye la viscosidad del agua, lo cual, se opone al movimiento creando resistencia, y de

esa forma detener la fuerza aplicada en poco tiempo. Esto se da porque, los parámetros W, de la oscilación

libre con ajuste no lineal y la oscilación subamortiguada con ajuste no lineal, son aproximados en valor.

Podemos deducir, matemáticamente, que ω de ambos casos serán aproximadamente iguales. Es esperado

entonces que, de la suma de ω y ϒ del caso subamoriguado, la frecuencia de mayor que en los casos de

oscilaciones libres.

Referencias

[1].Física universitaria,Sears-Zemansky, porHugh D. Young & Roger A. Freedman,

12aed. Vol. 1, Página 117. Pearson Educación, México (2009). ISBN 978-607-442-

288-7.

[2]. Física universitaria, Sears-Zemansky, porHugh D. Young & Roger A. Freedman,

12aed. Vol. 1, Página 123. Pearson Educación, México (2009). ISBN 978-607-442-

288-7.

[3] https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple

[4] http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/mases/mases.html