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7/24/2019 Practica EDO
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PRCTICA DESISTEMAS FSICOS
MEDIANTESIMULACIN DE EDOEcuaciones Diferenciales - Rebeca Leal
Romero
AGUSTN EMMANUEL RAMREZ RODRGUEZ/MTR-04DMircoles, 25 de febrero
de 2015
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Resumen
En el presente documento se presentan losresultados obtenidos en
la solucin de unproblema de aplicacin de
EcuacionesDiferenciales.
Como primer parte, se describe una breveintroduccin al tema.
En el desarrollo se muestra la forma en la que sele dio solucin
al problema, as como los pasosque se siguieron para llevar a cabo
dicha tarea.
Posteriormente se encontrarn con losresultados obtenidos.
Finalmente se mencionan brevemente lasconclusiones alcanzadas
con la realizacin de la
prctica.
INTRODUCCIN
Una ecuacin diferencial es una ecuacin queinvolucra derivadas (o
diferenciales) de unafuncin desconocida de una o ms variables. Sila
funcin desconocida depende slo de unavariable, la ecuacin se llama
una ecuacin
diferencial ordinaria. Sin embargo, si la funcindesconocida
depende de ms de una variable laecuacin se llama una ecuacin
diferencialparcial.
Un ejemplo de ecuacin diferencial ordinariaes:
Un ejemplo de ecuacin diferencial parcial es:
El orden de una ecuacin diferencial est dadopor el orden mayor
de su derivada. El grado deuna ecuacin diferencial est dado por
elexponente del mayor orden de su derivada.
DESARROLLO
El problema a resolver es el siguiente: Se le diosolucin a la
siguiente aplicacin: Cul es lacarga sobre un capacitos de 4 cargado
por 12 durante un tiempo =, considerando elsiguiente circuito?
Se solucion con el mtodo lineal.
RESULTADOS
()= 3.034 10
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Introduccin
Una ecuacin diferencial es una ecuacin queinvolucra derivadas (o
diferenciales) de unafuncin desconocida de una o ms variables. Sila
funcin desconocida depende slo de una
variable, la ecuacin se llama una ecuacindiferencial ordinaria.
Sin embargo, si la funcindesconocida depende de ms de una variable
laecuacin se llama una ecuacin diferencialparcial.
Un ejemplo de ecuacin diferencial ordinariaes:
Un ejemplo de ecuacin diferencial parcial es:
El orden de una ecuacin diferencial est dadopor el orden mayor
de su derivada. El grado deuna ecuacin diferencial est dado por
elexponente del mayor orden de su derivada.
APLICACIN EN LA INGENIERAEl descubrimiento de Newton y Leibniz
en elsiglo diecisiete sobre las ideas bsicas del clculointegral fue
crucial para el avance que sufrieronlas matemticas, y ms importante
fue, si cabe,la relacin que encontraron entre el clculointegral y
el diferencial, ya que consiguieronfundirlos en uno solo. Una de
las aplicaciones de
este descubrimiento fue la fsica aplicada, dcese,la
Ingeniera.
El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocaya la existencia de la
relacin entre la tangente enun punto a una curva (derivada) y el
rea de unaregin limitada de una curva (Integral Definida),pero
fueron Newton y Leibniz los quecomprendieron la importancia de esa
relacin.
La derivada se utiliz, en principio, para elclculo de la
tangente en un punto, y pronto sevio que tambin serva para el
clculo develocidades, y en consecuencia para el estudio dela
variacin de una funcin.
Desde los primeros pasos en el clculodiferencial, de todos es
conocido que dada una
funcin y = f(x), su derivada= (), en
forma de diferencial de una funcin de una solavariable, es
tambin una funcin que se puedeencontrar mediante ciertas reglas
como elTeorema Fundamental del Clculo Integral, quenos muestra la
vinculacin entre la derivada de
una funcin y la integral de dicha funcin;
si F(x)es la funcin integral que debe ser integrable enel
intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal
que a c btenemos que ()=() si a x b, existe entonces en cada
punto x delintervalo abierto (a,b), en el que f es continua, ypara
tal x tenemos ()= () quedandodemostrado la relacin entre Integral
yDerivada.
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Desarrollo
Se le dio solucin a la siguiente aplicacin: Cules la carga sobre
un capacitos de 4 cargadopor 12 durante un tiempo =,considerando el
siguiente circuito?
Aplicacin de la ley de Kirchhoff:
+=
En la ecuacin anterior sustituimos lasexpresiones de voltaje
utilizando Ley deOhm:
+ () =
()=
Ahora obtenemos una ecuacin diferenciallineal, la cual ser
resuelta por el mtodo desolucin lineal.
()() +
1 ()=
() +
1 ()=
P(t)=1/RCQ(t)=E/R
Aplicacin de la frmula:
()=
Una vez aplicada la frmula, se resuelve:
()=
+
Del resultado anterior, despejamos q(t):
()= + Ahora utilizamos las condiciones utilizamos
otorgadas para obtener la solucin delproblema:
(0)= 0
()= +
0 = + 0 =(12)(410) + = 4.8 10
(5.610
)=
(12
)(410
)+
4.8 10
(5.610)= 3.034 10
Posteriormente se verificaron los resultados conel software
Derive 6.
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Resultados
()= 3.034 10
Por lo anterior, podemos concluir que en uninstante de tiempo RC
la carga en el capacitores de 3.03410.
Conclusiones
Con esta prctica pudimos darnos cuenta queexisten mtodos de
solucin sistematizados yautomatizados para las
EcuacionesDiferenciales Ordinaria. Estos mtodos seencuentran a
nuestro alcance.
Adems de lo anterior, podemos darnos cuentaque el uso de
software no slo sirve parasimplificar la tarea de resolver
EcuacionesDiferenciales, sino que adems, podemosutilizarlo como
herramienta de apoyo para laverificacin de resultados.
Referencias
Sitio web: http:// es.slideshare.net/ juliocesarmontoya/
aplicaciones -de- las-ecuaciones - diferenciales; fecha de
bsqueda: 26 de febrero de 2015.
Sitio web:
http://html.rincondelvago.com/aplicaciones-de-las-ecuaciones-diferenciales-de-primer-y-segundo-orden.html;
fecha de bsqueda: 26 de febrero de 2015.
Sitio web:
http://es.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoff; fechade bsqueda:
26 de febrero de 2015.
