Practica N2

Practica N3Amplificador Diferencial.

Objetivos.-

1.- Entender la configuracin diferencial con el uso del OPAM2.- Explicar el uso de los OPAM como un circuito diferencial .

Desarrollo de la experiencia.

1.- Amplificador DiferencialProcedimiento.

a) Implementar el circuito mostrado en la Fig. 1

b) Use dos fuentes DC adicional y ajstelo a los valores indicado en la Fig. 1.

c) Grafique la forma de onda en la salida (R1) del operacional.

VDD=12V VEE= -12V

Fig. 1

2.- Amplificador diferencial en modo comn

a) Armar el circuito de la Figura 2

b) Para un Ecm=5V pico

c) Ajustar el potencimetro de tal manera que Vo =0

d) Mida los valores de las resistencias usadas

Fig. 2

Cuestionario Previo.

1.- Cul es la principal ventaja del amplificador diferencial en relacin con el amplificador restador de la practica 3, con las modificaciones del caso?2.- Desarrolle la ecuaciones de un circuito diferencial

3.- Aplique los resultados de la pregunta anterior al esquema de la Figura 1

4.- Diga cual es la justificacin de la implementacin del circuito de la figura 2 Bibliografa.

Robert F. Coughlin, Frederick F. Driscoll Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales.

Prof. Mg. Ever CifuentesGeometra diferencial de curvas

En matemticas, la geometra diferencial de curvas propone definiciones y mtodos para analizar curvas simples en Variedades de Riemann, y en particular, en el Espacio Eucldeo.

ndice [ocultar]

1 Longitud de arco

2 Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frnet-Serret

3 Curvatura y torsin

4 Plano osculador

5 Centro de curvatura

6 Teorema fundamental de curvas

7 Vase tambin

8 Referencias

8.1 Bibliografa

8.2 Enlaces externos

Longitud de arco[editar]

Artculo principal: Longitud de arco

Dada una curva suficientemente suave (diferenciable y de clase C^2(\Iota)\,), en \mathbb{R}^3 y dado su vector de posicin \mathbf r(t) expresado mediante el parmetro t;

\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k \qquad t \in [a,b] \,

se define el llamado parmetro de arco s como:

s =\phi(t)= \int_{a}^{t} \sqrt{\left [ x'(\tau) \right ] ^2 + \left [ y'(\tau)\right ]^2 + \left [z'(\tau)\right ] ^2} \, d\tau

La cual se puede expresar tambin de la siguiente forma en la cual resulta ms fcil de recordar

s =\phi(t)= \int_{a}^{t} {\left \Vert \mathbf{r}'(\tau) \right \|}d\tau

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:

\mathbf{\tilde{r}}(s)=\left (\tilde{x}(s), \tilde{y}(s), \tilde{z}(s) \right)

donde

\tilde{x}(\phi(t))=x(t), \qquad \tilde{y}(\phi(t))=y(t), \qquad \tilde{z}(\phi(t))=z(t)

son las relaciones entre las dos parametrizaciones.

Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frnet-Serret[editar]

Vista esquemtica del vector tangente, vector normal y vector binormal de una curva hlice.

Dada una curva parametrizada r(t) segn un parmetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:

\mathbf{T}(t)=\mathbf{N}(t)\times \mathbf{B}(t) o bien \mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \right \|}

\mathbf{B}(t)=\mathbf{T}(t)\times \mathbf{N}(t) o bien \mathbf{B}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) \right \|}

\mathbf{N}(t)=\mathbf{B}(t)\times \mathbf{T}(t) o bien \mathbf{N}(t)=\frac{[\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)]\times \mathbf{r}'(t)}{\left \Vert [\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)]\times \mathbf{r}'(t) \right \|}

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre s, juntos configuran un sistema de referencia mvil conocido como Triedro de Frnet-Serret a raz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante que para una partcula fsica desplazndose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio direccin por unidad de tiempo de la velocidad o aceleracin normal.

Si la curva est parametrizada segn la longitud de arco, como se explic en la seccin anterior las frmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

\mathbf{T}(s) = \frac{d\tilde{\mathbf{r}}(s)}{ds} \qquad

\mathbf{N}(s) = \frac{1}{\chi}\frac{d\mathbf{T}(s)}{ds} \qquad

\mathbf{B}(s) = \frac{1}{\tau}\left( \frac{d\mathbf{N}(s)}{ds}+\chi\mathbf{T}\right)

Donde los parmetros y anteriores designan respectivamente a la curvatura y a la torsin.

Curvatura y torsin[editar]

La curvatura es una medida del cambio de direccin del vector tangente a una curva, cuanto ms rpido cambia ste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es ms grande la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:

\chi(t) = \frac{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t) \right \|}{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \right \|^3}

Si la curva est parametrizada por el parmetro de longitud de arco, la anterior ecuacin se reduce simplemente a:

\chi(s) = \left \Vert \mathbf{\tilde{r}}''(s) \right \|

Adems de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.

La torsin es una medida del cambio de direccin del vector binormal: cuanto ms rpido cambia, ms rpido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y ms retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsin es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Para el caso general la torsin viene dada por:

\tau(t) =

\frac{\mathbf{r}'(t) \cdot \left (\mathbf{r}''(t) \times \mathbf{r}'''(t) \right )}{\left \Vert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) \right \|^2}

Si la curva est parametrizada por el parmetro de longitud de arco, la anterior ecuacin se reduce a:

\tau(s) = \frac{\mathbf{\tilde{r}}'(s) \cdot

\left (\mathbf{\tilde{r}}''(s) \times \mathbf{\tilde{r}}'''(s) \right )}{\left \Vert \mathbf{\tilde{r}}''(s) \right \|^2}

Plano osculador[editar]

En cada punto de una curva, el plano osculador es el plano que contiene a su vector tangente y al vector normal a la curva. Para una partcula desplazndose en el espacio tridimensional, el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleracin y la velocidad. La ecuacin de este plano viene dada por:1

\det \begin{vmatrix}

x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\

x'_0 & y'_0 & z'_0 \\

x''_0 & y''_0 & z''_0

\end{vmatrix} = 0

Donde:

(x_0, y_0, z_0) \,, el punto de la treyectoria.

(x'_0, y'_0, z'_0) \,, el vector velocidad en el punto considerado.

(x, y, z) \,, las coordenadas de un punto genrico del plano osculador.

Si se tiene una partcula en la posicin \mathbf{x}_p, movindose con velocidad \mathbf{v} y sometida a una aceleracin \mathbf{a} \ne \mathbf{0} el plano osculador viene dado por el conjunto de puntos:

(\mathbf{v}\times \mathbf{a})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{x}_p) = 0

Obviamente si la partcula tiene un movimiento rectilneo el plano osculador no est definido.

Centro de curvatura[editar]

Ilustracin de la circunferencia osculatriz en el punto P de la curva C, en la que se muestra tambin el radio y centro de curvatura.

En un entorno de un punto de una curva puede ser aproximado por un crculo, llamado crculo osculador por estar contenido en el plano osculador. El radio del crculo osculador coincide con el radio de curvatura (inverso de la curvatura). El centro de dicho crculo puede buscarse como:

\mathbf{r}_c(t) = \mathbf{r}(t) -

\frac{\|\mathbf{r}'(t)\|^2(\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}''(t))}{\| \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\|^2}\mathbf{r}'(t)+

\frac{\| \mathbf{r}'(t) \|^4}{\| \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\|^2}\mathbf{r}''(t)

O ms sencillamente en funcin del parmetro de arco como:

\mathbf{\tilde{r}}_c(s) = \mathbf{\tilde{r}}(s) +

\frac{\mathbf{\tilde{r}}''(s)}{\| \mathbf{\tilde{r}}''(s)\|^2}

Teorema fundamental de curvas[editar]

El teorema fundamental de curvas que enunciamos a continuacin nos dice que conocido un punto de una curva y su vector tangente, la curva queda totalmente especificada si se conoce la funcin de curvatura y de torsin. Su enunciado es el siguiente:

Sea J\subset\R un intervalo. Dadas dos funciones continuas y de J\, a \R y dado un sistema de referencia fijo (ortonormal) de \mathbb{R}^3, {x0; e1, e2, e3}, entonces existe una nica curva parametrizada de \R^3, \mathbf{x}:J\to\R^3 y tales que:

La curva pasa por x0, y el vector tangente T a la curva en ese punto coincide con e1.

A lo largo de la curva pueden definirse tres campos vectoriales T(s), N(s) y B(s) llamados respectivamente vector tangente, normal y binormal, perpendiculares entre s y tales que en el punto inicial coinciden con e1, e2, e3 (es decir, T(0) = e1, N(0) = e2, B(0) = e3).

Se cumplen las siguientes ecuaciones:

\begin{cases}

\cfrac{d\mathbf{x}(s)}{ds} = \mathbf{T}(s) &

\cfrac{d\mathbf{T}(s)}{ds}=\chi(s) \mathbf{N}(s) \\

\cfrac{d\mathbf{N}(s)}{ds}=-\chi(s) \mathbf{T}(s)+\tau(s) \mathbf{B}(s) &

\cfrac{d\mathbf{B}(s)}{ds}=-\tau(s) \mathbf{N}(s) \end{cases}

O bien escrito matricialmente

\begin{bmatrix}

\dot{T}\\

\dot{N}\\

\dot{B} \\

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

0 & \chi & 0 \\

-\chi & 0 & \tau \\

0 & -\tau & 0 \\

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

T\\

N\\

B\\

\end{bmatrix}

donde el punto es la derivada con respecto al arcoparmetro s.

Esto tiene implicaciones fsicas interesantes, por ejemplo, la trayectoria de una partcula queda especificada si se conocen la posicin inicial, la velocidad inicial y la variacin en el tiempo de las derivadas segundas (que estn relacionadas con la curvatura y la torsin). Es por eso por lo que las leyes de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange se expresan en trminos de derivadas de segundo orden (que es necesario complementar con la posicin y velocidades iniciales).

Vase tambin[editar]

Geometra diferencial de superficies

Referencias[editar]

Volver arriba Spiegel & Abellanas, p. 120

Bibliografa[editar]

Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autnoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.

Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Frmulas y tablas de matemtica aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos[editar]

Ver el portal sobre Matemtica Portal:Matemtica. Contenido relacionado con Matemtica.

Categora: Geometra diferencial

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