-
CAPTULO 7] ESTADO ESTABLE SENOIDAL EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA
105Tabla 7-1
Circuito en dominio de frecuenciaDiagrama fasorial
Forma de impedancia Forma de admitancia
R (n) G (S)z- y-
Corriente y voltajeen fase '; 8 = 0
Y=GN..Z=RN..
R
GY-
w(~_, 1
Corriente atrasada con respectoal voltaje 0 < 8
-
106 ESTADO.ESTABLESENO.IDALEN EL DOMINIO.DE FRECUENCIA
[CAPITULO. 7
7.3 Un circuito Re en serie, con R = 10 Q tiene una impedancia
con un ngulo de 45 ai,= 500 Hz.Encuntrese la frecuencia a la cual
la magnitud de la impedancia es (a) el doble que contI, (b) un
medio que con i..
Sil
-jXc z
R
R
Fig.7-8 Flg.7-'
De 10 - Xc = ZI~, Xc = 10 Q y ZI =14.14 Q.(a) Para el doble de
la magnitud,
10- jXc = 2S.2SL!b, Xc = V (2S.2Sf - (lOf = 26.45noEntonces, ya
que Xc es inversamente proporcional a f,
/2= 189Hzo
(b) Una magnitud Z3 = 7.07 Q es imposible; la menor magnitud
posible es Z - R = 10 Q.
7.4 Un circuito de dos elementos en serie tiene un voltaje V =
240~ V Y una corriente1= 50! -600 A. Determnese la corriente que
resulta cuando la resistencia se reducea (a) 30%, (b) 60% de su
valor primitivo.
(a)
(b)
z =!. = 240&: = 4.8~ = 2.40+ j4.16 n1 SOI.=f:iX.
30% x 2.40= 0.72 ZI = 0.72+ j4.16 = 4.22~ n1\= 4.:~ 56.8L::8QZ
A
60% x 2.40= 1.44 'k = 1.44+ j4.16 = 4.40~ nh = 240&: 54.5~
A
4.40~
7.5 Para el circuito mostrado en la figura 7-10, obtngase Zeq y
calclese I.Para impedancias en serie
Entonces
Zo.= lO&: +4.47~ = 12.0+ j4.0 = 12.65LJ.MJ: n
1= ~ == l00&: = 7.91/-18,430 A7.., 12.65LJ.MJ:
-
CAPTULO 7] ESTADO ESTABLE SENOIDAL EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA
107
IOL(L n
lOOL(L V ~ 5.0n j8.0 n Zrn-r c:::J}----
4.47/63.4n -2.5/-15 A + SOML VFig. '-lO Fig.7-11
7.6 Evalese?a impedancia Z en el circuito de la figura 7-11
z == 2O&t = 10.0+ j17.3 n
- (0 G) 0 0+ l-snv 15n -110 n
j8.66 n
Entonces, ya que las impedancias en serie se suman,
5.0+ j8.0 + Z. = 10.0+ j17.3 o z. = 5.0+ j9.3 !l
7.7 Calclese la impedancia equivalente Zeq y la admitancia Yeq
para el circuito de cuatro ra-mas de la figura 7-12.
Usando las admitancias,
Y. = j~ = -jO.20 S
Y2= 5+ ;8.66 0.05- jO.087 S
1Y3= 15= 0.067 S
Y4= _~1O=jO.10S
Entonces Yeq= Y. + Y2+ Y3+ Y4= 0.117- jO.l87 = 0.221/-58.0 S
1z; =y = 4.53~ neqy
Fig. '-12
7.8 La corriente total 1 que entra al circuito mostrado en la
figura 7-12 es 33.0! -13.0 A.Obtnganse la corriente de rama 13 y el
voltaje V.
V= lZ."q = (33.0~X4.53~) = 149.5~ V
L=VY3=(149.5~)(1~~)=9.97~ A
7.9 Obtngase z.q e Yeq para el circuito de la figura 7-13.z. =
10+ j20 = 22.4~!l ~ = 15- j15 = 21.2/-45 !l
_ Z.~ _ (22.4mm(21.2~)Zcc- Z. +~ - (10+ j20) + (15_ j15)
18.63L1JZ:!l
1Yeq= Z = 0.0537~ S
-
108 ESTADO ESTABLE SENOIDAL EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA
[CAPITULO 7
+-iOn 15 n 1 4.0 nZe.,- v ZI iOn
jwn -j15 n j3.0 n
Fig.7-13 Fig.7-14.....J
7.10 Encuntrese Z1 en la red de tres ramas de la figura 7-14, si
1= 31.5! 24.00 A para unvoltaje aplicado de V= 50.0! 60.00 V.
y = ~ = 0.630~ = 0.510 - j0.370 S
Entonces . 1 10.510 - ,0.370 = Y 1+ 10+ 4.0 + j3.0
de donde Y1 = 0.354 ~ S y Z1 = 2.0 + i 2.0 Q.
7.11 Las constantes R y L de una bobina pueden obtenerse
conectando la bobina en serie conuna resistencia conocida y
midiendo el voltaje de bobina Vx, el voltaje del resistor V, y el
vol-taje total VT (Fig. 7-15). La frecuencia debe conocerse tambin
pero los ngulos de fase delos voltajes no se conocen. Dado que f =
60 Hz, V1 = 20 V, V, = 22.4 V Y VT = 36.0 V,encuntrese R y L.
+ VxwL
+ VT
,----,+ VI -
___ J,~\/I~~~~ , ~v. ::+L -.J
"-------.,v--------'iOn
Fig.7-15 Fig.7-16
Los voltajes medidos son valores efectivos (vase el apndice A);
pero para los clculos de impedanciano hay diferencia en usar ya sea
los valores efectivos o pico.
La corriente (efectiva) es 1 = V/10 = 2.0 A. Entoncesz; = ~04=
11.2 n z; = ~~ = 18.0n
Del diagrama de impedancia, figura 7-16,
(18.0Y = (10+ RY + (wLY(11.2Y = R2 + (wLY
donde w = 2rt60= 377 rad/s. Resuelto simultneamente,R =4.92 n
L=26.7 mH
7.12 En el circuito en paralelo mostrado en la figura 7-17, los
valores efectivos de las corrientesson: I,= 18.0 A, 11= 15.0 A, IT
= 30.0 A. Determnense R y XL'
El problema puede resolverse en forma similar a la que se us en
el problema 7.11, pero con eldiagrama de admitancia.
El voltaje (efectivo) es V = ](4.0) = 60.0 V; entoncesy.== t=
0.300 S 1Y1 = 4.0 = 0.250 S
-
;:" -j4 o10O
CAPTULO 7] ESTADO ESTABLE SENOIDAL EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA
109
-Ir Y, =0.250 SR
+V 4.00
Fig. '-17
Del diagrama de admitancia, figura 7-18,Fig.7-18
(o500f = (0.250t af +Bl(o.300f = al +Bl
lo cual da G = 0.195 S, BL = 0.228 S. Entonces1
R = a=5.i30 y
Le. XL = 4.39 Q.
7.13 Evalese V3 en la figura 7-19.Ya que las impedancias e tn en
serie
v3= (z;+~+Z:3)VT= (1~5j7)150~= 128.8~ V
+
+VJ j15 O
100 251!N:.A ti,30
150~ V 6- j8 n
Fig.7-19 FIa.7-20
7.14 Encuntrense I1 e 12 en el circuito en paralelo de la figura
7-20.
En este caso, Zeq = ZIZ2I(ZI + ~), y la frmula de la divisin de
corriente se convierte
11= (z;~ ZzPT = (13~ j4) 25fH. = 18.4~ A_(_Z_\I _(3-i4) _I:z-
Zt+ ZzrT - 13_ j4 25fH. - 9.19~ A
(o, mejor, 12 = 1, - 11).
7.15 Encuntrese el fasor de voltaje VAB (el potencial al punto A
- el potencial al punto B) enel circuito mostrado en la figura
7-21.
Los dos lazos contienen las corrientes I1 e 12 como se muestra;
por tanto, no pasa corriente a travs dela reactancia de i20.
W[}!X.11= 10+.jlO = 1.41~ A
50~I:z= 5 _ j5 = 7.07JSr A
-
llO ESTADO ESTABLE SENOIDAL EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA
[CAPITULO 7
50 jlO O y 50 B
:J- Vs +
20[JffV + ~:J-j5 O12+ Vs -
A 50 X
Fig.7-21
Ahora bien, VAB = VAX+ Vxy + VYB. En el primer lazo VAx = Vs =
11(5) = 7.07/-150 V. En larama de conexin, Vxy = l(i20) = O. y en
el segundo lazo VYB = -Vs = -12(5) = 35.4~. Entonces,
y as
VAS = 7.07~- 35.4~ = -28.6- j1.83 = 28.7Ll8ll V
y+
100 h! j2 O 40 50I1! V A B18~ A A B
j8.66 O200 j6 O
X
X
Fig.7-22 Fig.7-23
7.16 En el circuito de dos ramas en paralelo de la figura 7-22
obtngase el fasor de voltaje VAB
Aplicando los mtodos de divisin de corriente, 11= 4.64~ A e 12=
17.4~ A. Puede con-siderarse cualquier trayectoria AXB o AYB. Se
escoge la primera.
VAS = VAX + VXB = 11(20)- 12(j6)= 92.8L12QX+ 104.4~ = 11.6~
V
7.17 En el circuito en paralelo de las figuras 7-23, VAB = 48.3!
30 V. Encuntrese el voltaje apli-cado V.
Por divisin de voltaje en las dos ramas:
V j8.66 VBX = 5+ j8.66
o v = (-0.268 + jl)V AS = (1.035~)(48.3~) = 50.0~ V
7.18 El diagrama fasorial voltaje-corriente mostrado en la
figura 7-24 es para un circuito de dos ra-mas en paralelo.
Encuntrense las mpedancas de rama y su impedancia equivalente.
z, =~= 5.39~= 5.0+ j2.0 n
~=~=4.24~=3.0-j3.0 nZeq = Zl~ = 22.85~ = 2 83~ n
ZI + ~ 8.0- jl.O .
-
o~~ ~A
ESTADO ESTABLE SE OIDAL E EL DOMINIO DE FRECuE TCIA 111
v = 63.6/-450 V
Flg.7-24
Obtnganse los elementos del circuito en serie correspondientes
al diagrama fasorial de vol-.~e-
-
- +1 51J!L.. n V,+
lOOI!r V + 4&1:. n V2+
10/-20" n V]
Fig.7-27 Fig.7-28
112 ESTADO ESTABLE SE OIDAL EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA
[CAPlTULO 7
7.23 Una resistencia de 25 Q est en serie con un segundo
elemento del circuito; la frecuencia del cir-cuito es de 500 Hz.
Encuntrese el elemento si la corriente (a) atrasa al voltaje
aplicado por 20;(b) adelanta por 20. Resp. (a) 2.9 mH; (b) 35
.t.F
7.24 Dtermnense las constantes del circuito de dos elementos en
serie si el voltaje aplicado
v = ISOsen (SOOOt + 45") (V)
resulta en una corriente i = 3.0 sen (SOOOt- 15) (A). Resp. 25
Q, 8.66 mH
7.25 Un circuito en serie de R = 10 Y e = 40 .t.F tiene un
voltaje aplicado v = 500 cos (2500t - 20)(V). Encuntrese la
corriente resultante i. Besp. 25-J2cos (2500t + 25) (A)
7.26 La figura 7-27 muestra el diagrama fasorial
voltaje-corriente de un circuito de dos elementos enserie a la
frecuencia angular de 300 rad s. Encuntrense los elementos si las
magnitudes del fasorson 200 V Y 20 A. Resp. , 20 mH
V
7.1:1 Tres impedancia s estn en serie: Z = 3.0~ Q, Z2= 10~~ Q,
Z3= 5.0~ Q. Encun-trese el voltaje aplicado V, si el voltaje a
travs de Z es 27.0 ~ V. Besp, 126.5 ~ V
. 7.28 Para el circuito de tres elementos en serie mostrado en
la figura 7-28, (a) encuntrese la corriente1; (b) encuntrese el
voltaje a travs de cada impedancia y constryase el diagrama
fasorial qUEmuestre que V. + V2 + V3= 100~ V. Resp. (a) 6.28/-917
A; (b) Vase la figura 7-29
Fig.7-29
7.1!J Encuntrese Z en el circuito en serie mostrado en la figura
7-30, si V = 13.05 ~ V.Resp. 4.0 - 15.0 Q
7.30 Determnense la impedancia equivalente y la adrnitancia del
circuito de cuatro ramas en paralekmostrado en la figura 7-31.
Resp. 4.54 L51Jl0 Q, 0.220 / -07 9 S
-
- l 5fl. ~ j5 n ) 15 n ;: :::( 3 j8.66 n?
CAPITULO 7] ESTADO ESTABLE SENOIDAL EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA
113
7.31 Encuntrese Z en el circuito en paralelo de la figura 7-32,
si V = 50.0~ V e 1 = 27.9~A. Resp. 5.0 / -.30 Q
9fl+
z
+120/-1200 V j2 n
Fig.7-30
-\O fl
Fig.7-31
-1 3fl
7.32 Obtnganse la conductancia y la susceptancia
correspondientes a un voltaje V = 85.0 ~ V Yuna corriente
resultante 1= 41.2/ -14100 A. Resp. 0.471 S, 0.117 S
(capacitiva)
7.33 Un circuito de dos ramas en paralelo, con impedancias en
ramas
Z. = 15.0~ n 'k = 2O.0~ ntiene un voltaje aplicado V = 240~ V.
Determnese la corriente total obteniendo primero laadmitancia
equivalente. Resp. 27.4 ~ A
v z 5fl-j4 fl
Fig.7-32
. 7.34 Una admitancia consta de 1.77 mS de conductancia y 1.77
mS de susceptancia inductiva. Encun-trense la resistencia y la
reactancia de la impedancia correspondiente.Resp. 282 Q, 282 Q
(inductiva)
7.35 Para el circuito serie-paralelo mostrado en la figura 7-33
obtngase la admitancia equivalente.Resp. 0.135/ -6213 S
2 n j5 nR,
5fl j2 n3fl
-j4 fl jwL,
Fig.7-33(a) (b)
Fig.7-34
7.36 Una bobina prctica contiene resistencia lo mismo que
inductancia y puede representarse ya seapor un circuito en serie
como por un circuito en paralelo, como se sugiere en la figura
7-34.Obtnganse Rp y Lp en trminos de Rs y L;
(WL.)2 R;Resp. Rp = R. +~, 4, = L, + w2L.
-
IO[!L V IOQ!r V
114 ESTADO ESTABLE SENOIDAL EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA
[CAPITULO 7
731 Obtngase V en la figura 7-35, dado un voltaje aplicado V =
150/-4.5 VResp. 120.0/-813 V
'k= j3 Ov +
Fig.735
7.38 Cinco impedancias estn conectadas en serie. La impedancia Z
= 15.0~ tiene un voltajeV= 2.5 ~ V. Encuntrese V4 para Z4 = 6.5 ~
~1 Resp. 1.08~ V
7.39 Obtnganse las corrientes II e I2 en la figura 7-36. Resp.
3.80 / -643 A, 2.85/-893 A
16.5/-750 A
- III !12 ll315.0l!L A)15a!r O [ 20~ O [ 0.015[!L S [ O.OSOQ!r S
I 0.082/-700 SIII ~2l
Fig.736 FIg.737
7.40 Con referencia a la figura 7-13, obtngase la corriente
total si la corriente en la rama 15 - 115 es-' de 2.5~ m.A. Resp.
2.85/-142 ]0 mA
1041 En la figura 7-37 se muestran tres admitancias en paralelo.
Obtnganse las tres corrientes de rama.Resp. 2.24/3]]6 A, 7.46/61]6"
A, 12.2/-3884 A
7.42 Un circuito de dos ramas en paralelo, con Z = 9~ Q, divide
a IT = 5.0~ A en forma talque I2 = 3.0 /98 13 A. Encuntrese Z2'
Resp. 12.0 + jO Q
7.43 En la red mostrada en la figura 7-38, encuntrese el voltaje
VAB' Resp. 5.96~ V
30 30
.8 j4 O 100 A-j4 O
Fig.738
-
CAPTULO 7] ESTADO ESTABLE SENOIDAL EN EL DOMINIO DE FRECUENCIA.
n 115
7.44 Una combinacin en serie de R y C est en paralelo con una
resistencia de 20.0 Q con una fuentede frecuencia de 60 Hz, la
corriente total, de 7.02 A (amplitud) se divide de modo que el
resistor de20.0 Q toma 6.0 A Y la rama RC 2.3 A (amplitudes).
Evalense R y C. Resp. 15.0 Q, 53.2 .tF
7.45 En la red mostrada en la figura 7-39 las magnitudes de las
corrientes de 60 Hz se conocen:IT = 29.9 A, I1 = 22.3 A, e I2 = 8.0
A. Obtnganse las constantes R y L del circuito.Resp. 5.8 Q, 38.5
mH~-1 1, !12,Ir son 15 n
~ BR )jwL 15 n lOOL!t v A
~ son jXLT
Fig.7-39 Fig.7-40
7.46 Obtngase la magnitud de voltaje VAB en la red de dos ramas
en paralelo de la figura 7-40, siXL es (a) 5 Q, (b) 15 Q, (e) O Q.
R.esp. 50 V, cualquiera que sea XL'
7.47 En la red mostrada en la figura 7-41, VAB = 36.1~ V.
Encuntrese el voltaje de fuente V.Resp. 75L=OO:'. V
~10n j4 nV A B
5n
Fig.7-41
