Prácticas de Cálculo - CECyTEQ F-J 2017...misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se eleva a una potencia

Ene/1017

Prácticas de Cálculo

CECYTEQ LIC. DALIA GONZÁLEZ MUÑOZ

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA


Elaboró: Lic. Dalia González Muñoz 1

INTRODUCCIÓN

El objetivo del área de matemáticas del curso de Cálculo diferencial es estudiar las funciones mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Actualmente tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones. Ante la presencia irreversible de las nuevas tecnologías de información y comunicación en la vida cotidiana, es necesario clarificar los diferentes roles y usos que puedan tener en la educación, y revisar y evaluar las principales tendencias escolares. Una de las principales ventajas de su utilización apunta en la dirección de lograr una forma de recapturar el “mundo real” y reabrirlo al estudiante en el interior del aula

con amplias posibilidades de interacción y manipulación de su parte. En éste curso queremos impulsar la utilización de nuevas tecnologías, se eligió el software GEOGEBRA, que como ventaja para todos es un interactivo libre de geometría, álgebra y cálculo. Éste software es básicamente un procesador algebraico y un procesador geométrico, es decir, un compendio de matemáticas con software interactivo que reúne diferentes disciplinas ya mencionadas y por eso también puede ser usado en Física. Por lo que hemos realizado algunas prácticas en donde el alumno verificará el conocimiento adquirido en el aula mediante el uso de éste software. Queda claro que con esto no se sustituirá el trabajo realizado por el docente en el aula, sabemos que cada docente proporciona las herramientas necesarias y suficientes para que el alumno logre las competencias tanto genéricas como disciplinares.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 1

ISAAC NEWTON 3

Práctica 1. Desigualdades . 4

Práctica 2. Función Polinomial 6

Práctica 3. Función Irracional 8

Práctica 4. Función Exponencial 10

Práctica 5. Límites 12

Práctica 6. Continuidad 14

Práctica 7. Derivada 15

Práctica 8. Recta Tangente y Recta Normal 17

Práctica 9. Máximos y Mínimos 19

Práctica 10. Creciente y Decreciente 21

Rúbrica para Evaluar las prácticas 23

Bibliografía 24

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



ISAAC NEWTON

(1642-1727)

Isaac Newton nació en las primeras horas del 25 de diciembre de 1642, en un pueblito agrícola de Inglaterra en el año de la muerte de Galileo; no fue un niño prodigio, como muchos grandes matemáticos, al contrario. Nació sietemesino en una familia pobre, tuvo grandes problemas de salud y dificultades en los estudios; como era débil físicamente, no jugaba con los niños de su edad, escribía poesías, dibujaba y construía cometas con faroles que remontaba de noche para asustar a la gente.

En junio de 1661, Newton fue admitido en el Trinity College de Cambridge, y se matriculó como fámulo, ganando su manutención a cambio de servicios domésticos, pese a que su situación económica no parece que lo exigiera así. Allí empezó a recibir una educación convencional en los principios de la filosofía aristotélica (por aquel entonces, los centros que destacaban en materia de estudios científicos se hallaban en Oxford y Londres), pero en 1663 se despertó su interés por las cuestiones relativas a la investigación experimental de la naturaleza, que estudió por su cuenta.

En 1661 cerró la universidad debido a una plaga que invadió la región y Newton volvió a su pueblo; allí, en dos años de experimentos y reflexiones solitarias, sentó las bases de sus grandes descubrimientos: la ley de la gravitación universal, el cálculo infinitesimal, el teorema del binomio y la naturaleza de la luz; tenía 23 años.

En el caso de análisis infinitesimal, se creó con Leibiniz una larga y cruel polémica, que siguió durante todo el siglo XVIII entre los matemáticos ingleses y los del continente europeo, los primeros acusaban a Leibiniz de haber traducido la obra de Newton, los segundos lo acusaban a Newton de ser ladrón. La verdad es que los dos hombres inventaron el cálculo infinitesimal independientemente, Newton lo hizo varios años antes que Leibiniz pero publicó sus trabajos después.

Newton murió a los 84 años de edad, fue enterrado en la Abadía Real de Westminster, junto con los grandes de Inglaterra. Ante su tumba Voltaire, el filósofo francés que estaba exiliado en Londres, pronunció su célebre frase: “El mundo está

progresando: Inglaterra honra a sus matemáticos cuando los demás países honran a sus hombres de guerra.

«Sir Isaac Newton fue interrogado acerca de cómo descubrió la gravedad.

Yo contesté: pensando, pensando en ello todo el tiempo».

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 1. DESIGUALDADES

OBJETIVO: Que el alumno observe el comportamiento de una desigualdad. MARCO TEÓRICO:

Desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Los signos de las desigualdades son: Mayor que (>), Menor que (<), Menor o igual que (<), Mayor o igual que (>). Algunas propiedades de las desigualdades.

1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplica o se divide por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplica o se divide por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. 5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo. 6) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se eleva a una

misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se eleva a una potencia

impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 8) Si un miembro es positivos y se elevan a una misma potencia par positiva, el

signo de la desigualdad cambia.

Inecuación: es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llaman también desigualdades de condición. Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación. DESARROLLO: Abre el archivo de la práctica 1. Tendrás ésta imagen.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



Realiza los cambios necesarios, observa la función y contesta lo que se te pide. 1) Llena la siguiente tabla para la desigualdad 1.Llena otra tabla igual para la

desigualdad menor que. Abs(ax+b)>c a b c Escribe la desigualdad Gráfica Intervalo 10 4 1 1 -2 1 1 -7 2 -2 10 2 -2 8 2 -2 1 2 -1 1 4 -1 2 3 -1 -8 1 4 -8 3 4 10 -2

2) Llena la siguiente tabla para la desigualdad 2.

a b c Escribe la desigualdad Gráfica Intervalo 1 -3 1 1 4 1 1 5 1 1 -7 1 1 1 -5 -3 -3 5 -3 4 5 -3 0 1 1 0 1 0 2 -3 0 2 2

3) Deja fija alguna constante y cambia otras. ¿Qué observas?

Nota: especifica los cambios. ________________________________________________________________________________________________________________________

4) Realiza los cambios que quieras y obtén tus conclusiones. Específica que cambios estás realizando y cuáles son los resultados. ________________________________________________________________________________________________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 2. FUNCIÓN POLINOMIAL

OBJETIVO:

Que el alumno de acuerdo al tipo de función, reconozca sus características; así como calcule el domino y rango.

MARCO TEÓRICO:

Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio de una variable, es decir, la potencia más alta que aparece en x.

F(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0 Donde an, an-1, an-2,…a1, a0 son números reales (an ≠0) y n es un número entero no negativo.

El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que “f” toma.

DESARROLLO:

Abre el archivo de la práctica 2. Tendrás ésta imagen.

Realiza los cambios necesarios, observa la función y contesta lo que se te pide.

1) Si a=0, b=0, c=0 y d=3. ¿Qué observas y cómo se llama la función? ____________________________________________________________

2) Si a=0, b=0 y d=5. ¿Qué observas al hacer estos cambios? ____________________________________________________________

c Escribe la función Dominio Rango -11 -6 -0.5 0 2.5 4

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

http://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/functions.html



7.5 10 19

3) Si a=0, b=0 y c=0.5. ¿Qué observas al hacer estos cambios? ____________________________________________________________

d Escribe la función Dominio Rango -11 -6 -0.5 0 2.5 4 7.5 10 19

¿Qué tipo de función es?_________________

4) Si a=0 y d=4. ¿Qué observas al hacer estos cambios? ____________________________________________________________

b c Escribe la función Dominio Rango -11 3 -6 3 -0.5 3 -1 -5 0 -5 4 -5 7.5 0 10 0 19 0


5) Si c=1, d=-1.

a b Escribe la función Dominio Rango -11 3 -6.5 3 -0.5 3 -1 -5 0 -5 4 -5 7.5 0 10 0 19 0 2 2 2 -4 -4 -4


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 3. FUNCIÓN IRRACIONAL

OBJETIVO:


MARCO TEÓRICO:

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:

donde g(x) es una función polinómica o una función racional.

Si n es par, el radical está definido para g(x) > 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x).

DESARROLLO:



1) ¿Qué sucede si a=0?_____________________________ 2) Realiza los cambios con respecto de a. ¿Qué observas?

______________________________________________________

a Escribe la función Dominio Rango -10 -6.5 -5.5 -3.2 -1.5 -1 0 1 2

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



3 3.5 5 7 9 10

¿Qué tipo de función es?___________________________________________

3) ¿Qué pasa si le cambias el signo a la función? F(x)= −√𝑥2 − 𝑎 __________________________________________________________

a Escribe la función Dominio Rango -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

4) ¿Qué pasa si le cambias el signo a la función? F(x)= √𝑥2 + 𝑎 __________________________________________________________


Escribe tus conclusiones, especifica tus cambios. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 4. FUNCIÓN EXPONECIAL

OBJETIVO:


MARCO TEÓRICO:

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones “f” y “g” no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial. Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde “e” es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. DESARROLLO:



1) ¿Qué sucede si a=0 y b=0?_____________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



2) Realiza los cambios con respecto de a. ¿Qué observas? ______________________________________________________

a Escribe la función Dominio Rango -10 -8 -7 -5 -4 -2 -1 0 1 4 7 8 10

3) ¿Qué pasa si le cambias el signo a la función? F(x)=-eax+b __________________________________________________________

4) Realiza los cambios ahora en b. ¿Qué observas? __________________________________________________________

b Escribe la función Dominio Rango -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

5) Realiza los cambios ahora en c. ¿Qué observas? ____________________________________________________________


Escribe tus conclusiones, especifica tus cambios. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 5. LÍMITES

OBJETIVO:

Que el alumno realice el cálculo de límites.

MARCO TEÓRICO: Decimos que el número L es el límite de F(x) cuando x tiende a “a” siempre que podamos hacer que el número F(x) se acerque a L tanto como queramos, escogiendo simplemente x suficientemente cerca, aunque no igual al número a.

Propiedades de los límites

Propiedad de la constante. Si F(x)=C, donde C es una constante (entonces F(x) es una función constante), entonces: lim

𝑥→𝑎𝐹(𝑥) = lim

𝑥→𝑎𝐶 = 𝐶

Propiedad de la suma. Si ambos límites: lim𝑥→𝑎

𝐹(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim𝑥→𝑎

𝐺(𝑋) = 𝑀 existen, entonces: lim𝑥→𝑎

[𝐹(𝑥) ∓ 𝐺(𝑥) = lim𝑥→𝑎

[𝐹(𝑥) ∓ lim𝑥→𝑎

𝐺(𝑋) = 𝐿 ∓ 𝑀 (El límite de una suma es la suma de los límites; el límite de la diferencia es la diferencia de los límites.)

Propiedad del producto. Si ambos límites: lim𝑥→𝑎

𝐹(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim𝑥→𝑎

𝐺(𝑋) = 𝑀 existen, entonces: lim

𝑥→𝑎[𝐹(𝑥)𝐺(𝑥) = [lim

𝑥→𝑎

[𝐹(𝑥)][lim𝑥→𝑎

𝐺(𝑋)] = 𝐿𝑀

(El límite de un producto es el producto de los límites.) Propiedad del cociente: Si ambos límites. lim

𝑥→𝑎𝐹(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim

𝑥→𝑎𝐺(𝑋) = 𝑀 existen y si M ≠

0, entonces: lim𝑥→𝑎

[𝐹(𝑥)

𝐺(𝑥)] =

lim𝑥→𝑎

[𝐹(𝑥)]

[ lim𝑥→𝑎

𝐺(𝑋)=

𝐿

𝑀

(El límite del cociente es el cociente de los límites, siempre y cuando el límite del denominador no se anule.)

Propiedad de la raíz. Si n es un entero positivo y si a>0 para valores pares de n, entonces: lim𝑥→𝑎

√𝑥𝑛

= √𝑎𝑛

Propiedad de sustitución. Suponga que: lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) =

𝐿 𝑦 𝑞𝑢𝑒 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝐿)

, entonces: lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓( lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐿) .

DESARROLLO:


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



En la entrada de cálculos simbólicos, anotarás los límites y obtendrás como resultados una función, grafícala y realiza el cálculo del límite que se te pide. Anexarás las gráficas impresas.

Límites Función Resultante Resultado 1) lim

𝑥→3

𝑥−1

𝑥+2

2) lim𝑥→2

𝑥2 − 3𝑥 + 1 3) lim

𝑥→5√2𝑥 − 3

4) lim𝑥→

1

2

3𝑥 + 5

5) lim𝑥→−3

|11 + 6𝑥|

6) lim𝑥→2

𝑥2−4

𝑥2+𝑥−6

7) lim𝑥→−1

𝑥+1

𝑥2−𝑥−2

8) lim𝑥→3

𝑥2−9

𝑥−3

9) lim𝑥→5

𝑥3−125

𝑥2+4𝑥−45

10) lim𝑥→−7

3𝑥2+13𝑥−56

𝑥3+343

Escribe tus conclusiones

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 6. CONTINUIDAD

OBJETIVO:

Que el alumno analice las funciones y averigüe si son continuas o discontinuas.

MARCO TEÓRICO: Suponga que la función f está definida en una vecindad de a. decimos que f es continua en a si lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) existe y, además, que el valor de este límite es f(a). En otras palabras, f es continua en a si lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) Para que una función sea continua debe satisfacer tres condiciones:

1. La función f debe estar definida en a [de modo que f(a) exista]. 2. Debe existir el límite de f(x) cuando x tiende a “a”. 3. Los números de las condiciones 1 y 2 deben se iguales.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) Si cualquiera de éstas condiciones no satisface, entonces f no es continua en a. Si la función f no es continua en a, decimos que es discontinua, o bien que a es una discontinuidad de f. Intuitivamente, una discontinuidad de f es un punto donde la gráfica tiene un “hueco” o “salto” de cierto tipo. DESARROLLO: Abre el archivo de la práctica 6. Tendrás ésta imagen.

Realiza los cambios. Anexa las gráficas impresas.

Función Demostración Continua o discontinua

Y= 5x+1

Y= 2x2+3x-2

Y=√3𝑥 + 5

Y=𝑥+2

𝑥−3

Y={𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 < 2

𝑥2 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

Y= 𝑥2−4

𝑥−2

Y= 2

𝑥−1

Escribe tus conclusiones _________________________________________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 7. DERIVADA

OBJETIVO:

Que el alumno calcule la derivada de una función.

MARCO TEÓRICO:

Derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función, al incremento de la variable independiente, cuando ambos tienden a cero. Regla de los 4 pasos, y=f(x):

1) Asignar a un valor determinado x1 de la variable independiente un incremento arbitrario ∆x, sustituir x por x1+∆x en la función para obtener la función incrementada, o sea, designando por ∆y el incremento de la función: y+∆y= f(x1+∆x).

2) Obtener el incremento ∆y correspondiente a la función, restando la función dada de la función incrementada: ∆y= f(x1+∆x)- f(x1).

3) Obtener la razón ∆y: ∆x del incremento de la función al incremento de la variable, o sea: ∆y

∆x=

f(x1+∆x)−f(x1)

∆x.

4) Obtener el límite de esta razón, haciendo que ∆x tienda a cero, es decir, lim

∆x→0

∆y

∆x; con este límite se obtiene el valor de la derivada de la función.

Una manera de indicar la derivada de una función consiste en escribir lim

∆x→0

∆y

∆x =dy

dx

que es una notación de G.G. Leibniz. Dx, que es la de Cauchy, y´ de Lagrange.

DESARROLLO:


Realiza el cálculo de la derivada de las siguientes funciones.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



Función Derivada Tipo de función Y= 5x+1

Y= 2x2+3x-2

Y=√3𝑥 + 5

Y=𝑥+2

𝑥−3

Y=√𝑥2 − 25

Y= 𝑥2−4

𝑥−2

Y= 2

𝑥−1

Y= x3+1

Y= -x2+2x

Y=√𝑥 − 4

Y= 𝑥

𝑥−3

Y=−√16 − 𝑥2

Y= 𝑥2−9

𝑥−3

Y= ln(x+3)

Y=ln(8-2x)

Y=2x+3

Y=31-x

Y=x3-2x+1

Y=2x3+x2-x-1

Escribe tus conclusiones ____________________________________________________________________________________________________________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 8. RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL

OBJETIVO:

Que el alumno calcule la ecuación de la recta tangente y la recta normal.

MARCO TEÓRICO:

Tangente: recta que toca en un punto a una curva.

Normal: recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.

La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m=𝑑𝑦

𝑑𝑥 está dada por:

y-y1=𝑑𝑦

𝑑𝑥 (x-x1)

La ecuación de la recta normal a una curva en el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m=−

1𝑑𝑦

𝑑𝑥

está dada por:

y-y1= =−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥

(x-x1).

DESARROLLO:


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



Realiza los cambios siguientes. Si x=2, c=1, a=1. d Derivada Tangente Normal -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

Realiza los cambios siguientes. Si x=-1, d=1, a=1. c Derivada Tangente Normal -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

Realiza los cambios siguientes. Si x=1, c=1, d=1. a Derivada Tangente Normal -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

Realiza los cambios que sugieras y escribe tus conclusiones.

Escribe los cambios sugeridos.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 9. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

OBJETIVO:

Que el alumno realice el análisis de una función. MARCO TEÓRICO:

Comportamiento Máximos y Mínimos de una función

Definición

1) Se dice que una función f(x) tiene un máximo local M en x=x0, si f(x)>f(x) para toda x en el intervalo (a, b) tal que x0, pertenezca a dicho intervalo.

2) Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local m en x=x0, si f(x)<f(x) para toda x en el intervalo (a, b) tal que x0, pertenezca a dicho intervalo.

3) Si f(x) tiene un máximo o mínimo local en x=x0, entonces la pendiente de la recta tangente (derivada) en dicho punto es igual a cero.

Donde: M=punto máximo m=punto mínimo Criterios de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos

a) Si f´(x)>0, para toda x∈ (a, x0) y f´(x)<0, para toda x∈ ( x0, b) (es decir, la derivada cambia de valores positivos a negativos), entonces en f(x0) existe un valor máximo local.

b) Si f´(x)<0, para toda x∈ (a, x0) y f´(x)>0, para toda x∈ ( x0, b) (es decir, la derivada cambia de valores negativos a positivos), entonces en f(x0) existe un valor mínimo local.

c) Si para toda x∈ (a, b) y f´(x) tiene un mismo, entonces en f(x) no tiene valor máximo ni mínimo local.

Intervalos donde crece o decrece una función 1) Una función es creciente en el intervalo (a, b), y f´(x)>0 para toda x ∈ (a, b). 2) Una función es decreciente en el intervalo (a, b), y f´(x)<0 para toda x ∈ (a, b).

Concavidad y punto de inflexión de una función

1) Una función es cóncava hacia arriba en el intervalo (a, b) si para toda x ∈ (a, b), f´´(x)>0. 2) Una función es cóncava hacia abajo en el intervalo (a, b) si para toda x ∈ (a, b), f´´(x)<0. 3) Una función tiene un punto de inflexión en (x0, f(x0)) si f´´(x0)=0.

DESARROLLO:


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



Realiza los cambios siguientes. Si b=1, c=1, d=1.

a Función Máximo Mínimo Raíces -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

Realiza los cambios siguientes. Si a=1, c=1, d=1.

b Función Máximo Mínimo Raíces -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

Realiza los cambios siguientes. Si a=1, b=1, d=1.

c Función Máximo Mínimo Raíces -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

Realiza el cambio de “d” escribe tus conclusiones.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



PRÁCTICA 10. CRECIENTE Y DECCRECIENTE

OBJETIVO:

Que el alumno realice el análisis de una función. MARCO TEÓRICO:

Comportamiento Máximos y Mínimos de una función

Definición

4) Se dice que una función f(x) tiene un máximo local M en x=x0, si f(x)>f(x) para toda x en el intervalo (a, b) tal que x0, pertenezca a dicho intervalo.

5) Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local m en x=x0, si f(x)<f(x) para toda x en el intervalo (a, b) tal que x0, pertenezca a dicho intervalo.

6) Si f(x) tiene un máximo o mínimo local en x=x0, entonces la pendiente de la recta tangente (derivada) en dicho punto es igual a cero.

Donde: M=punto máximo m=punto mínimo Criterios de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos

d) Si f´(x)>0, para toda x∈ (a, x0) y f´(x)<0, para toda x∈ ( x0, b) (es decir, la derivada cambia de valores positivos a negativos), entonces en f(x0) existe un valor máximo local.

e) Si f´(x)<0, para toda x∈ (a, x0) y f´(x)>0, para toda x∈ ( x0, b) (es decir, la derivada cambia de valores negativos a positivos), entonces en f(x0) existe un valor mínimo local.

f) Si para toda x∈ (a, b) y f´(x) tiene un mismo, entonces en f(x) no tiene valor máximo ni mínimo local.

Intervalos donde crece o decrece una función 3) Una función es creciente en el intervalo (a, b), y f´(x)>0 para toda x ∈ (a, b). 4) Una función es decreciente en el intervalo (a, b), y f´(x)<0 para toda x ∈ (a, b).

Concavidad y punto de inflexión de una función

4) Una función es cóncava hacia arriba en el intervalo (a, b) si para toda x ∈ (a, b), f´´(x)>0. 5) Una función es cóncava hacia abajo en el intervalo (a, b) si para toda x ∈ (a, b), f´´(x)<0. 6) Una función tiene un punto de inflexión en (x0, f(x0)) si f´´(x0)=0.

DESARROLLO:


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



Realiza los cambios siguientes. Si b=1, c=1, d=1.

a Función Derivada Creciente Decreciente -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

Realiza los cambios siguientes. Si a=1, c=1, d=1.

b Función Derivada Creciente Decreciente -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

Realiza los cambios siguientes. Si a=1, b=1, d=1.

c Función Derivada Creciente Decreciente -6 -3.5 -1 0 1 3 7 10

Realiza el cambio de “d” escribe tus conclusiones. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



RÚBRICA PARA EVALUAR LAS PRÁCTICAS

CATEGORÍA 4 3 2 1 Orden y Organización

El trabajo es presentado de una manera ordenada, clara y organizada que es fácil de leer.

El trabajo es presentado de una manera ordenada y organizada que es, por lo general, fácil de leer.

El trabajo es presentado en una manera organizada, pero puede ser difícil de leer.

El trabajo se ve descuidado y desorganizado. Es difícil saber qué información está relacionada.

Dibujos o diagramas

Los diagramas y/o dibujos son claros y ayudan al entendimiento de los procedimientos.

Los diagramas y/o dibujos son claros y fáciles de entender.

Los diagramas y/o dibujos son algo difíciles de entender.

Los diagramas y/o dibujos son difíciles de entender o no son usados.

Terminología matemática y notación

La terminología y notación correctas fueron siempre usadas haciendo fácil de entender lo que fue hecho.

La terminología y notación correctas fueron, por lo general, usadas haciendo fácil de entender lo que fue hecho.

La terminología y notación correctas fueron usadas, pero algunas veces no es fácil entender lo que fue hecho

Hay poco uso o mucho uso inapropiado de la terminología y la notación.

Uso de manipuladores

El estudiante siguió consistentemente las instrucciones durante la lección y solamente usó los manipuladores según se indicó.

El estudiante siguió consistentemente las instrucciones durante la mayor parte de la lección y utilizó los manipuladores según se le indicó.

Los manipuladores distraen al estudiante, pero cuando se le indica los utiliza adecuadamente.

Los manipuladores distraen al estudiante y éste no los utiliza adecuadamente para la situación matemática.

Conclusión Todos los problemas fueron resueltos.

Todos menos 1 de los problemas fueron resueltos.

Todos menos 2 de los problemas fueron resueltos.

Varios de los problemas no fueron resueltos.

Estrategia y procedimientos

Por lo general, usa una estrategia eficiente y efectiva para resolver problemas.

Por lo general, usa una estrategia efectiva para resolver problemas.

Algunas veces usa una estrategia efectiva para resolver problemas, pero no lo hace consistentemente

Raramente usa una estrategia efectiva para resolver problemas.

Errores matemáticos

90-100% de los pasos y soluciones no tienen errores matemáticos.

Casi todos (85-89%) los pasos y soluciones no tienen errores matemáticos.

La mayor parte (75-85%) de los pasos y soluciones no tienen errores matemáticos.

Más del 75% de los pasos y soluciones tienen errores matemáticos.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



BIBLIOGRAFÍA

http://loscreadoresdelcalculoosy.blogspot.mx/2012/07/los-creadores-del-calculo-isaac-newton.html

http://www.biografiasyvidas.com/monografia/newton/

Aurelio Baldor. (1992). ÁLGEBRA. México: Publicaciones Cultural.

Edwards, C.H. y Penney, D.E. (1997) CÁLCULO Diferencial e Integral.(4a. Ed.)México: Prentice-Hall Leithold, Louis.(1998) El Cálculo.(7a Ed.) México: Harla. Anfossi, A. y Flores Meyer, M.A. (2001) CÁLCULO Diferencial e Integral (14a ed). México: Progreso. Aguilar Márquez, Arturo, Bravo Vázquez, Fabián, Gallegos Ruíz, Hernán, Cerón Villegas, Miguel y Reyes Figueroa, Ricardo. (2009). MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS (2a ed.). México: Prentice Hall Granville, William Anthony (2010). Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA



http://www.biografiasyvidas.com/monografia/newton/

Documents

Prácticas de Cálculo - CECyTEQ F-J 2017...misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se eleva a una potencia