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Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y SistemasEscuela de FísicaUniversidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Semestre 02-2006
I. Señales 2D : ImágenesPropiedades básicas de las imágenes.Representación de las imágenes en las bases de Dirac y de Fourier
II. Teoría General de Señales y Sistemas 2DSistemas LSI (Linear Shift Invariant)Sistemas Formadores de imágenesMáscaras
III. Mejora de la ImagenMejora en el dominio espacialMejora en el dominio de las frecuencias espaciales
IV. El Procesador Óptico La lente convergente como procesador óptico de FourierSistema 4F
ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS 2DImágenes
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Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y SistemasEscuela de FísicaUniversidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Semestre 02-2006
I. Señales 2D : ImágenesPropiedades básicas de las imágenes
Señal temporal (1 D)
Señal espacial (2 D)
),(),( yxIyxf intensidad
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Semestre 02-2006
I. Señales 2D : ImágenesPropiedades básicas de las imágenes
),( yxfyx,Si y son continuas la imagen es ANÁLOGASi y son discretas la imagen es DIGITAL yx, ),( yxf
En las imágenes digitales se habla de dos conceptos fundamen-tales:
Muestreo: PixelesCuantización: Niveles de gris
discretización de x,y
discretización de I (x,y)
• pixel
• el valor es el nivel de gris
La digitalización de una imagen análoga comprende los dosprocesos: Muestreo y Cuantización
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Semestre 02-2006
I. Señales 2D : ImágenesPropiedades básicas de las imágenes
Muestreo
• Para no perder información en la digitalización de una imagen análoga, es necesario aplicar con sumo cuidado el denominado Teorema del Muestreo (… más adelante)
• El efecto del muestreo de una imagen, varía su resolución espacial. A medida que la resolución espacial va decreciendo, se va aumentando el tamaño del pixel y los detalles de la imagen se van perdiendo.
128 x 128 64 x 64 32 x 32
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I. Señales 2D : ImágenesPropiedades básicas de las imágenes
Cuantización
• El efecto de la cuantización viene dado por la imposibilidad de tener un rango infinito de valores para la intensidad de los pixeles.
• La representación de los niveles de gris con números enteros dependerá del número de bits (n) empleados (2n). Si se em- plean 8 bits, se dispondrá de 256 niveles de gris (0 a 255), obteniéndose imágenes con un rango dinámico de 48 db.
1 bit 2 bit 3 bit 8 bit
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Semestre 02-2006
I. Señales 2D : ImágenesPropiedades básicas de las imágenes
Histograma
• Un histograma de una imagen informa sobre el número de pixeles que hay para cada nivel de gris. Normalizado a la unidad, puede entenderse como la probabilidad de que un valor determinado de gris aparezca en la imagen:
n
nrh kk
rk es el k-ésimo nivel de gris, n es el número total de pixeles, nk es el número de pixeles con valor de gris rk y k= 0,.., L-1, donde L es el número de niveles de giris.
• Analizando el histograma se pueden obtener conclusiones sobre el contraste de la imagen.
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Semestre 02-2006
I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Dirac
Una imagen se puede considerar como una colección de puntos dispuestos en un arreglo matricial, cada uno conun nivel de gris determinado por f(x,y). En otras palabrasla imagen se puede representar como una superposicón de deltas de Dirac (impulsos) modulados por f(x,y).
Caso Continuo:
Caso Digital:
yxyxfydxdyyxxyxfyxf ,,, ,,
yxyxfyyxxyxfyxf nm
M
m
N
nnm ,,, ,,
1
0
1
0
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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Una imagen f(x,y) se puede considerar como una superpo-sición de perfiles de ondas planas armónicas:
Caso Continuo: Imagen Análoga
yxyfxfj
yx dfdfeffFyxf yx ,, 2
yfxfjffF yxyx 2exp,
es decir,
en donde F(fx,fy) es la trasnformada de Fourier de f(x,y),
dxdyeyxfffF yfxfjyx
yx
2 ,,
aunque para el caso de imágenes f(x,y) es real, F(fx,fy) es compleja en genral:
yx ffjyxyx effFffF , ,,
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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Interpretación Física de la Transformada de Fourier y de las frecuencias espaciales
• Si en c la separación entre máximos es de 1 cm., decimos que el período fundamental espacial x es igual a 1 cm y que la frecuencia espacial fundamental es igual a 1 cm-1
xx f
1
yy f
1
xx fk 2yy fk 2
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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Interpretación Física de la Transformada de Fourier y de las frecuencias espaciales
Si la escena de la figura fuera infinita en extensión, sería periódicacon período espacial 2L, y se podría representar como una serie deFourier bidimensional. El hecho de ser finita implica que su represen-tación se debe realizar con la transformada de Fourier bidimensional.
xx f
1
yy f
1
xx fk 2yy fk 2
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Semestre 02-2006
I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Interpretación Física de la Transformada de Fourier
Ideas fundamentales:
• Cada componente del espectro de Fourier corresponde a un perfil de onda plana armónica. • La componente confrecuencia CERO (componente CD) es la que aporta la información del background (fondo) de la imagen. Es decir corresponde al promedio en nivel de gris de la imagen.
• La componente con menor frecuencia espacial-diferente de CERO- es el armónico fundamental.
• Las componentes con frecuencias espaciales bajas son las responsables de los cambios suaves de la imagen.
• Las componentes con frecuencias espaciales altas son las responsables de los cambios bruscos de la imagen (bordes).
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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Caso Discreto: Imagen Digital
1
0
1
0
2exp ,,M
u
N
v
vN
yu
M
xjvuFyxf
1
0
1
0
2exp ,1
,M
x
N
y
yN
vx
M
ujyxf
MNvuF
Para su calculo computacional se suele utilizar algoritmosDenominados FFT (Fourier Fast Transform).
yxf , yxf , vuF , vuF , vu, vu,
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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Importancia de la Fase: Experimento de Oppenheim
vu,1
vu,2
vuF ,1
vuF ,2
yxf ,1
yxf ,2
vuF ,2 vu,1
vuF ,1 vu,2con
con
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Semestre 02-2006
I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon)
• Es la base de la digitalización.
• ¿Cuál es el mínimo número de muestras y cómo deben estar espaciadas para que no se pierda la información? En otras palabras, ¿cuál debe ser el período de muestreo o la frecuencia de muestreo, para digitalizar una señal análoga?
LA RESPUESTA CORRECTA LA DA EL DENOMINADOTEOREMA DEL MUESTREO
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Semestre 02-2006
I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): UNIDIMENSIONAL
g kT g kT g kT1 2 3
En general hay un conjunto infinito de señales que pueden generar un conjunto dado de muestras. Sin embargo, si la señal es de banda limitada y si las muestras son tomadas lo suficientementecercanas, las muestras representarán unívocamente a la señaly la podremos reconstruir perfectamente.
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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): UNIDIMENSIONAL
Muestreo de una señal:
(A) Función g t
.
(B) Transformada G
.
C)Función muestreadora p t
.
(D) Transformada P
,
g tM(E) Función muestreada
(F) Transformada GM
,
cM ff 2 cN ff 2 Frecuencia de Nyquist
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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): UNIDIMENSIONAL
Recuperación de la señal:
A) Colección de espectros de G
:
GM
(A)Transformada inversa : g tM
(C) Filtro:
D) Transformada inversa del filtro:
G rectcM 2
(E) Filtrado:
(F) Transformada inversa : g t
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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): BIDIMENSIONAL
yxf , vuF , vuF ,
vuPvuFvuFM ,,,
yxp , vuP ,
yxpyxfyxfM ,,, vuPvuFvuFM ,,,
vuF ,
muestreo
recuperación
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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier
Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): BIDIMENSIONAL
•El teorema de muestreo tiene una interpretación física muy simple en el análisis de imágenes:
El intervalo de muestreo debe ser escogido deun tamaño menor o igual a la mitad del menordetalle de interés en la imagen.
•Es interesante anotar que la DFT (Transformada Discreta de Fourier) se aprovecha del teorema de muestreo para realizar la TF (Transformada de Fourier).
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II. Sistemas 2DSistemas LSI (Linear Shift Invariant)
n
kkknk yxfayxfayxfayxfayxf
12211 ,,....,,,
n
kkknn yxgayxgayxgayxgayxg
12211 ,,...,,,
yxfSyxg kk ,,
yxfSyxg ,,
nymxfSnymxg ,,
Lineal:
Si
Entonces
En donde,
Invariante bajo desplazamiento
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II. Sistemas 2DLa Función de Punto Esparcida (PSF): h(x,y)
yxSyxh ,,
Si se conoce el PSF de un sistema LSI, se podrá fácilmentecalcular la señal g(x,y) de salida para cualquier entrada f(x,y)
1
0
1
0
, ,,M
m
N
nnmnm yyxxyxfyxf
1
0
1
0
, ,,M
m
N
nnmnm yyxxhyxfyxg yxhyxfyxg ,,,
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Semestre 02-2006
II. Sistemas 2DSistemas Formadores de imágenes: La Función de Punto Esparcida (PSF): h(x,y)
Ejemplo: Sistema Óptico (lente)
La imagen sería la superposición de discos de Airy. El disco deAiry es la respuesta de la lente a un objto puntual.
Imágenes obtenidas de: http://micro.magnet.fsu.edu/primer/anatomy/numaperture.html
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III. Sistemas 2DMejora de la Imagen en el dominio espacial: el empleo de máscaras: h(x,y)
yxhyxfyxg ,,,
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Semestre 02-2006
III. Sistemas 2DMejora de la Imagen en el dominio espacial: el empleo de máscaras: h(x,y)
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
49
1, yxh
Filtros Paso-Bajo: Difumina la imagen
Media 7x7
61825186
1850715018
25711007125
1850715018
61825186
852
1, yxh
Gauss 4
Filtros Paso-Alto: Acentúa los bordes
11111
11111
112611
11111
11111
, yxh
Sharpen 5
11111
11111
112411
11111
11111
, yxh
Laplaciano 3
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III. Sistemas 2DMejora de la Imagen en el dominio de las frecuencias: H(fx,fy)
,,, xfyxhyxg vuFvuHvuG ,,,
vuFvuHyxg ,,, 1
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III. Sistemas 2DMejora de la Imagen en el dominio de las frecuencias: H(fx,fy)
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IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico
Luz laser Lentes
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IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico
El espectro electromagnético
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•La función de tramitancia del elemento óptico (filmina) es una función arbitraria f(x,y).
•f(x,y) se puede expresar como la suma de un conjunto de funciones armónicas de diferentes frecuencias espaciales. Es decir:
•Por tanto, U(x,y,z) puede expresarse como una superposición de ondas planas:
con:
Propagación de una onda en términos de la transformada de Fourier
yxyfxfi
yx dfdfeffFyxf yx2,,
yxzikyfxfi
yx dfdfeeffFzyxU zyx2,,,
IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico
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La onda incidente normal se ha convertido en una onda plana cuyovector de onda presenta unos ángulos de inclinación , es decir, la filmina se ha comportado como una red de difracción:
Propagación de una onda en términos de la transformada de Fourier
IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico
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yxzikyfxfi
yx dfdfeeffFzyxU zyx2,,,
U(x,y,z) expresado como una superposición de ondas planas:
IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico
Propagación de una onda en términos de la transformada de Fourier
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Descomposición
IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico
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Lente: Procesador Óptico IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico
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Semestre 02-2006
Procesamiento óptico: Sistema 4f
IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico
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Semestre 02-2006
Procesamiento óptico: Sistema 4f : filtraje
IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico