Preparado por: Claudio Urrutia Rojas INTERÉS SIMPLE Preparado por: Claudio Urrutia Rojas Para uso exclusivo de estudiantes de la UNED MATEMATICA FINANCIERA

Preparado por: Claudio Urrutia Rojas

INTERÉS SIMPLE

Preparado por: Claudio Urrutia RojasPara uso exclusivo de estudiantes de la UNED

MATEMATICA FINANCIERACódigo: 413

Este es un material de apoyo que ha sido elaborado para presentar en forma más gráfica el concepto, pero no sustituye el material sugerido para el curso


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Cuánto comproHOY?

Cuánto comproen 3 AÑOS?

Si tengo una suma de dinero

HOY

EL VALOR DEL DINERO NO ES CONSTANTE EN EL TIEMPOUNA SUMA HOY VALE MAS QUE EN EL FUTURO

Si con ¢10.000 compro 10

hamburguesas (a ¢1.000 cada

una)

Con ¢10.000 compraré solo 7 hamburguesas (a ¢1.430 cada

una)

VALORPRESENTE

VALORFUTURO




EL VALOR DEL DINERO NO ES CONSTANTE EN EL TIEMPOUNA SUMA EN EL FUTURO EQUIVALE A UNA SUMA MENOR DE HOY

Si tendré una suma de dinero en 3 Años

Con cuánto compro lo

mismo HOY?

Cuanto comproen 3 AÑOS?

Hoy requiero solo ¢12.000 (20 kilos de

azucar a ¢600 cada uno)

Con ¢16.000 compraré 20

kilos de azucar (a ¢800 cada

uno)

VALORPRESENTE

VALORFUTURO


ENTIDADFINANCIERA(INTERMEDIARIO)

SOLICITANTE DE DINERO

PROVEEDOR DE CAPITAL

INTERESCantidad pagada

por el uso del dinero de terceras

personas

INTERESCantidad ganada

por la inversión del dinero en activos

financieros

TASA

PASI

VATASA ACTIVA

EL INTERES PUEDE REPRESENTAR EL COSTO DE LAS DEUDAS (PASIVOS) O EL RENDIMIENTO SOBRE LAS INVERSIONES (ACTIVOS)

INTERÉS

MATEMATICA FINANCIERA


Es el interés que se genera (gana o paga) sobre un capital que permanece constante durante todo el plazo de la operación. Es decir, que el interés ganado en cada periodo no se capitaliza o no se agrega al capital original, por lo cual el monto de interés es igual en todos los periodos durante el plazo de la operación

INTERÉS SIMPLE

AÑO 0 1 2 3

Supongamos que invierto ¢10.000 a una tasa del 20% anual, durante 3 años

MONTO ACUMULADO O VALOR FUTURO

Monto que resulta, en una fecha futura, de adicionar los intereses generados (a una tasa de interés) al principal o capital invertido, en un plazo determinado

Si invierto hoy,cuanto tendrémás adelante?

VALOR ACTUAL OVALOR PRESENTE

?VALOR FUTURO


AÑO 0 1 2 3

Los ¢10.000 ganan intereses al 20% anual, es decir ¢2.000 cada año, que durante 3 años suman ¢6.000, por lo que al final del periodo se acumularan los ¢10.000 que se depositaron más los ¢6.000 de intereses para un total de ¢16.000


INTERÉS SIMPLE

En una acumulación a interés simple, se acumula el Capital, más los intereses de cada periodo

10.000 (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20)

2.000 2.000 2.000 = 6.000 10.000

16.000

InteresCapital


AÑO 0 1 2 3

10.000 (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20)

2.000 2.000 2.000 = 6.000 10.000

16.000

El Valor que se acumula en el futuro, corresponde al Capital (Valor Actual), más los intereses de cada periodo, que se puede representar así:

Valor Futuro = Capítal + Ints Periodo 1 + Ints Periodo 2 + Ints Periodo 3 + . . . . + Ints Periodo t

que expresado en forma más simple sería:

VF = VA + (VA x i) + (VA x i) + (VA x i) + . . . + (VA x i)

y que una vez simplificado quedaría en la siguiente fórmula:

VF = VA (1 + i x t)

Donde VF = Valor Futuro o Monto total acumulado con interesesVA = Capital o Valor Actual del monto invertidoi = Tasa de Interést = Tiempo o número de periodos

InteresCapital


INTERÉS SIMPLE

VA + (VA x i) + (VA x i) + (VA x i) = VF


AÑO 0 1 2 3

10.000 (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20) (10.000 x 0,20)

2.000 2.000 2.000 = 6.000 10.000

16.000

En este Ejemplo, un Capital de ¢10.000, depositado durante 3 años al 20% anual, aplicando la Fórmula tendría el siguiente resultado:

VF = VA (1 + i x t)= 10.000 (1 + 0,20 x 3)= 16.000

En este caso como el interés es anual, se aplica normalmente en la formula. Pero si el periodo es menor a un año, debe trabajarse con la proporción de año correspondiente.

InteresCapital


INTERÉS SIMPLE


Por ejemplo, un depósito durante 6 meses, corresponde a un 6/12 de año. O un deposito durante 90 días, corresponde a la 90/360 proporción de un año.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 2: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢12.000, durante 45 días al 24% anual:

VF = VA (1 + i x t) = 12.000 (1 + 0,24 x 45/360) = 12.360

AÑO 0 1

7.000 (10.000 x 0,18 x 9/12) 945 = 945 7.000

7.945

Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ejemplo 1: Cuál es el monto acumulado de un depósito de ¢7.000, durante 9 meses al 18% anual:

VF = VA (1 + i x t) = 7.000 (1 + 0,18 x 9/12 ) = 7.945 Se usa la

proporción de año porque la tasa de interés es anual


INTERÉS SIMPLE




AÑO 0 1 2 3

Supongamos que recibiré ¢20.000 dentro de 3 años y que la tasa de interés es de 20% anual

?VALOR ACTUAL OVALOR PRESENTE

Si recibiré másadelante. Cuan-to vale hoy?

VALOR FUTURO


AÑO 0 1 2 3

Los ¢20.000 que se recibirán dentro de 3 años, equivales a ¢16.667 un año antes, a ¢14.286 dos años antes y a ¢12.500 tres años antes. Es decir, si poseo hoy ¢12.500 que deposito al 20% anual a interés simple durante tres años, dentro de tres años tendré ¢20.000. Por lo tanto, los ¢20.000 que recibiré dentro de 3 años, tienen un Valor Presente de ¢ 12.500

INTERÉS SIMPLEVALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL

20.000

(10.000/(1,20) 16.667

(10.000/1,40) 14.286

(10.000/1,60) 12.500

El Valor presente, corresponde al Valor Futuro, descontado a una tasa de interés, por los periodos correspondientes, que se deduce de la fórmula de Valor acumulado o futuro y se expresa de la siguiente forma:

VF VA = --------------

(1 + i x t)

20.000VA = -------------------- = 12.500 (1 + 0,20 x 3)


Por ejemplo, un suma a recibir dentro de un plazo determinado, cuanto vale hoy o cual es su valor actual.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: A cuanto equivale hoy una suma de ¢600.000, a recibir dentro de 4 años, si la tasa de interés o rendimiento es del 18% anual:

VA = VF / (1 + i x t) = 600.000 / (1 + 0,18 x 4 ) = 348.837

AÑO 0 1

190.000

(190.000 / (1 + 0,22 x 9/12)163.090

Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ejemplo 2: Cuál es el valor actual de ¢190.000 dentro de 9 meses, si el interés es 22% anual:

VA = VF / (1 + i x t) = 190.000 / (1 + 0,22 x 9/12) = 163.090

Se usa laproporción de año porque la tasa de interés es anual

INTERÉS SIMPLEVALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL




Ejemplo 1: Cuantos años deben transcurrir, para que ¢12.000 depositados hoy, se dupliquen, si la tasa de interés es de 24% anual?

VF = VA (1 + i x t) 24.000 = 12.000 (1 + 0,24 x t) (1 + 0,24 x t) = 24.000 / 12.000 0,24 t = 2 - 1

t = 1 / 0,24 = 4,1667 años = 4 años y 2 meses

Como tasa de interés es anual, el tiempo resultante está expresado en años.

Ejemplo 2: A qué tasa de interés, ¢40.000 se transforman en ¢100.000, en 8 años?

VF = VA (1 + i x t) 100.000 = 40.000 (1 + i x 8) (1 + i x 8) = 100.000 / 40.000 8 i = 2,5 - 1

i = 1,5 / 8 = 0,1875 = 18,75% anual

Como los periodos están en años, la tasa de interés resultante es anual


Ejemplo 4: A qué tasa de interés anual, ¢300.000 se transforman en ¢315.000, en 2 meses?

VF = VA (1 + i x t) 315.000 = 300.000 (1 + i x 2) (1 + i x 2) = 315.000 / 300.000 2 i = 1,05 - 1

i = 0,05 / 2 = 0,025 = 2,,5% mensual

i Anual = 2,5% x 12 = 30% anual

Como los periodos están en meses, la tasa de interés resultante es mensual. Para calcular tasa anual debe multiplicarse por 12.

Ejemplo 4-B: A qué tasa de interés anual, ¢300.000 se transforman en ¢315.000, en 2 meses?

VF = VA (1 + i x t) 315.000 = 300.000 (1 + i x 2/12) (1 + i x 2/12) = 315.000 / 300.000 0,1667 i = 1,05 - 1

i = 0,05 / 0,1667 = 0,30 = 30% anual

El mismo Ejemplo anterior pero expresando los periodos en años (2 meses son 2/12 de año)

Ejemplo 3: Cuantos meses deben transcurrir, para que ¢50.000 depositados hoy, crezcan un 50%, si la tasa de interés es de 20% anual?

VF = VA (1 + i x t) 75.000 = 50.000 (1 + 0,20 x t) (1 + 0,20 x t) = 75.000 / 50.000 0,20 t = 1,5 - 1

t = 0,5 / 0,20 = 2,5 años

t (Meses) = 2,5 x 12 = 30 meses

Como tasa de interés es anual, el tiempo resultante está expresado en años. Para expresarlo en meses debe multiplicarse por 12.

PERIODOS Y TASAS DE INTERÉS

Como los periodos están en fracción de año, la tasa de interés resultante es anual




Desea Pagar X

Veamos un Ejemplo:

Un empresario tiene tres obligaciones de ¢1,000, ¢3,000 y ¢4,600 con vencimiento a los 3, 8 y 11 meses respectivamente. Propone cambiar estas deudas para realizar un solo pago dentro de 8 meses. Qué monto tendría que pagar si la tasa de interés simple es del 15% anual?

AÑO 0 1Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.000 (1 + 0,15 x 5/12) + 3.000 + 4.600 / (1 + 0,15 x 3/12) = XX = 8.496,23

Deberá pagar ¢8.496,23 en el mes 8, que es equivalente a las sumas que adeuda

Debe Pagar 1.000 3.000 4.600

Como desea pagar en mes 8, se debe llevar todas las sumas que debe pagar a dicho mes, a la tasa de interés simple del 15% anual. El monto resultante es lo que debe pagar.


INTERÉS SIMPLEECUACIONES EQUIVALENTES

1.000 (1 + 0,15 x 5/12) + 3.000 + 4.600 / (1 + 0,15 x 3/12) = X (1 + 0,15 x 2/12) + X

Pero si quisiera pagar mediante 2 sumas iguales, la primera en el mes 6 y la segunda en el mes 8. De cuanto sería cada pago? (Utilice como fecha focal el mes 8).

AÑO 0 1

Debe Pagar 1.000 3.000 4.600

Desea Pagar X X

Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Como desea pagar en 2 fechas, debe definirse una de ellas (fecha focal) a la cual se llevarán todas las sumas: las que debe pagar y las que quiere pagar, (para hacerlas iguales) a la tasa de interés simple de 15% anual. El resultado dará el monto de los pagos.

1.000 (1 + 0,15 x 5/12) + 3.000 + 4.600 / (1 + 0,15 x 3/12) = X (1 + 0,15 x 2/12) + X 8.496,23 = 2,025 X

X = 8.496,23 / 2,025X = 4.195,67

Deberá hacer 2 pagos de ¢4.195,67 cada uno; el primero en el mes 6 y el otro en el mes 8, que son equivalentes a las sumas que adeuda

¢1,000 en mes 3: Se lleva al mes 8, Avanzar 5 meses

¢X en mes 6: Se lleva al mes 8, Avanzar 2 meses

¢3,000 en mes 8: Queda igual pues ya está en mes 8

¢4,600 en mes 11: Se trae al mes 8, Regresar 3 meses

¢X en mes 8: Queda igual pues ya está en mes 8




2. Valor Futuro o Monto Acumulado:

Calcular el capital final que tendríamos si invertimos ¢350.000 durante 9 meses al 15% anual.

Mediante Fórmula:

VF = VA x (1 + i x t) = 350.000 x (1 + 0,15 x 9/12) = 389.375

Se usa fracción de año porque tasa es anual



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4. Valor Presente o Valor Actual:

Juan recibirá ¢5.000.000 dentro de 4 años y medio. A cuanto equivale hoy, si la tasa de interés es del 15% anual?

Mediante Fórmula:

VF 5.000.000VA = -------------- = ------------------- = 2.985.074,63 (1 + i x t) (1 + 0,15 x 4,5)


INTERÉS SIMPLEEJERCICIOS

VF = VA x (1 + i x t)

1.400.000 = 1.000.000 x (1 + i x 20)

1.400.000-------------- = (1 + i x 20) 1.000.000

0,20 i = 1,4 - 1

i = 0,4 / 0,20 = 0,02 = 2%

i anual = 2% x 12 = 24%

5. Tasa de Interés:

María deposita ¢1.000.000 en el banco y luego de 20 meses tiene acumulados ¢1.400.000. Qué tasa de interés anual le ha reconocido el banco?

Los periodos están en meses, por lo que la tasa resultante es mensual. Para convertirla a anual debe multiplicarse por 12, o rhacer el ejercicio colocando el tiempo en fracción de año (20/12)

VF = VA x (1 + i x t)

5.000.000 = 2.500.000 x (1 + i x 42/12)

i = 0,28571428 = 28,57%

La tasa es del 28,57% anual

6. Tasa de Interés:

Si se deposita ¢2.500.000 en un banco y al cabo de 3 años y 6 meses se duplican. Qué tasa de interés está pagando el Banco?

Los periodos están en fracción de año porque la tasa es anual



VF = VA x (1 + i x t)

750.000 = 700.000 x (1 + i x 120/360 )

750.000-------------- = (1 + i x 0,3333) 700.000

0,3333 i = 1,071429 - 1

i = 0,071429 / 0,3333 = 0,214286 = 21,43%

Es mejor recurrir a Juan: se ganará 20% pero el Banco se ganaría 21,43%

7. Tasa de Interés o Valor Actual

Don José cuenta con una pagaré por ¢750.000 que vence en 120 días. Ahora tiene una necesidad de ¢700.000, para lo cual puede recurrir a su amigo Juan, quien desea ganarse un rendimiento de 20% anual. También puede recurrir al banco local, que está dispuesto a dar la suma requerida a cambio de dicho pagaré. Que opción es la mejor para Don José?

Los periodos están en fracción de año por lo que tasa resultante es anual.

RESOLUCIÓN:

a) CALCULANDO TASA DE INTERÉS

VF = VA x (1 + i x t)

750.000 = VA x (1 + 0,20 x 120/360 )

VA = 750.000 / 1.06666 = 703.125

Es mejor recurrir a Juan: le dará ¢703.125 y el Banco solo le daría ¢700.000

Se utiliza fracción de año porque la tasa es anual.b) CALCULANDO

VALOR PRESENTE



VF = VA x (1 + i x t)

VF = 800.000 x (1 + 0,20 x 9/12) = 920.000

Dentro de 9 meses tendrá ¢920.000, que al depositar ¢750.000 tendrá ¢1.670.000, los cuales continuaran depositados y se transformaran en los ¢2.400.000 que desea acumular en:

VF = VA x (1 + i x t)

2.400.000 = 1.670.000 x (1 + 0,20 x t/12)

2.400.000-------------- = (1 + 0,20 x t/12) 1.670.000

1,437126 = (1 + 0,0166667 t)

t = ( 1,437126 - 1 ) / 0,0166667 = 26,2275 = 26,2 meses

Transcurren 9 meses hasta realizar el segundo depósito y luego 26,22 meses para acumular los ¢2.400.000. En total deben transcurrir 35,22 meses

8. Valor Futuro o Monto Acumulado:

María deposita hoy ¢800.000 en el banco y dentro de 9 meses deposita otros ¢750.000. Cuanto tiempo debe transcurrir para acumular ¢2.400.000 si el banco reconoce una tasa de 20% anual?

Los periodos están en fracción de año porque la rasa es anual

Periodos expresados en meses (dividido entre 12) por lo que resultado es en meses


3.000.000 3.000.000 3.000.000 VA = 3.500.000 + --------------------- + ------------------ + --------------------- (1 + 0,18x 6/12) (1 + 0,18) (1 + 0,18x18/12)

VA = 3.500.000 + 2.752.293,58 + 2.542.372,88 + 2.362.204,72

VA = 11.156.871,18

El valor actual del crédito es menor al de contado. Debe adquirirlo a crédito


9. Valor Presente o Actual:

Un comprador puede adquirir un automóvil de contado en ¢11.500.000 o a crédito pagando ¢3.500.000 de prima y tres cuotas semestrales de ¢3.000.000 cada una. Cual opción es más favorable si puede invertir su dinero al 18% anual?

VF = VA x (1 + i x t)

1.660.000 = 1.600.000 x (1 + 0,18 x t)

t = 0,208333333 (años)

En días: 75 (Corresponde a 0,208333333 x 360)

10. Fecha en que Acumula un Monto:

El 12 de marzo del 2007, una persona deposita en el Banco Local ¢1.600.000. En qué fecha el principal más los intereses sumarían ¢1.660.000, si el Banco reconoce una tasa de interés del 18% anual?

Del 12 al 31-Mar.07 : 19Abril 2007 : 30 75Mayo 2007 : 26

Es decir, el 26 de mayo 2007 se acumula la suma requerida

Tiempo requerido Fecha en que se acumula



11. Ecuaciones Equivalentes:

Adolfo debe ¢200.000 con vencimiento en cuatro meses, ¢250.000 con vencimiento a 8 meses y ¢400.000 con vencimiento a 12 meses. Negocia pagar sus deudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 9 y 12 meses. Determine el importe de cada pago, suponiendo un rendimiento del 24% (Tome como fecha focal el mes 12).

AÑO 0 1

Debe Pagar 200 250 400

Desea Pagar X X

Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Se debe hacer igual lo que se debe pagar con lo que se desea pagar, pero como el dinero tiene valor diferente en el tiempo, se deben expresar todas las sumas en valores de una misma fecha (fecha focal). En este caso, se lleva todo a valores del mes 12.

Debe pagar 200 en mes 4; llevados a mes 12 son: VF = VA x (1 + i x t) = 200 x (1 + 0,24 x 8/12) Debe pagar 250 en mes 8; llevados a mes 12 son: VF = VA x (1 + i x t) = 250 x (1 + 0,24 x 4/12)Debe pagar 400 en mes 12; como ya están en mes 12 son: 400

Desea pagar X en mes 9; llevados a mes 12 son: VF = VA x (1 + i x t) = X x (1 + 0,24 x 3/12)Desea pagar X en mes 12; como está en mes 12 son: X



AÑO 0 1

Debe Pagar 200 250 400 270 232

Desea Pagar X X X(1,06)

Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Si lo que tiene que pagar debe ser equivalente a lo que desea pagar, hacemos una igualdad entre lo que ellas, de la siguiente forma:

200 x (1 + 0,24 x 8/12) + 250 x (1 + 0,24 x 4/12) + 400 = X x (1 + 0,24 x 3/12) + X

232 + 270 + 400 = 1,06 X + X

902 = 2,06 X

X = 902 / 2,06 = 437,8640777

En valores del mes 12 debe pagar 902

Desea pagar 2 sumas iguales. Expresadas en mes 12

La forma de plantear este ejercicio es la siguiente:

Llevar de mes4 al 12, osea

8 meses


4 meses

Ya está en messea, se

mantiene igual


3 meses

Ya está en messea, se

mantiene igual

Los 2 pagos que quiere realizar serán de ¢437.864,08 cada uno (en el mes 9 y en el 12)

11. Ecuaciones Equivalentes (Continuación)


muchas gracias . . .

Claudio Urrutia RojasUNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA

INTERÉS SIMPLE

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