DR. JOSÉ DIONICIO ZACARIAS FLORES

jzacarias@fcfm.buap.mx

ESTIMACIÓNPUNTUAL Y POR INTERVALO (PARTE 3)

ESTIMACIÓN POR INTERVALO

Métodos de

I. C, PARA DIFERENCIAS ENTRE MEDIAS

Intervalo de confianza para µ1-µ2, σ1, y σ2 conocidas. Si 𝑥1 y 𝑥2 son los

valores de las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2

tomadas de poblaciones normales con las varianzas conocidas σ21 y σ2

2 un

intervalo de confianza del (1-α)100%, para µ1-µ2 está dado por

( 𝑥1 - 𝑥2) − 𝑧𝛼2∙

σ21

𝑛1+

σ22

𝑛2< µ1−µ2 < ( 𝑥1 − 𝑥2) + 𝑧𝛼

2∙

σ21

𝑛1+

σ22

𝑛2

También de acuerdo al Teorema del Límite Central, este resultado puede ser utilizado

para muestras aleatorias independientes tomadas de poblaciones no normales con la

varianzas conocidas σ21 y σ2

2 , siempre que n ≥ 30.

I. C, PARA DIFERENCIAS ENTRE MEDIAS

Intervalo de confianza para µ1-µ2, σ1, Y σ2 desconocidas. Si 𝑥1 y 𝑥2 son los

valores de las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2

tomadas de poblaciones normales con las varianzas desconocidas pero iguales,

un intervalo de confianza del (1-α)100%, para µ1-µ2 está dado por

( 𝑥1 - 𝑥2) − 𝑡 𝛼 2,𝑛1+𝑛2−2 ∙ 𝑠𝑝1𝑛1+1𝑛2< µ1−µ2 < ( 𝑥1 − 𝑥2) + 𝑡 𝛼 2,𝑛1+𝑛2−2 ∙

𝑠𝑝1𝑛1+1𝑛2

Donde Sp es la raíz cuadrada del valor del estimador ponderado de la varianza de la

población: 𝑆𝑝 =(𝑛1−1)𝑠

21 +(𝑛2−1)𝑠

22

𝑛1+𝑛2−2

• Para el caso en que las varianzas son desconocidas e diferentes, su intervalo de

confianza es

• ( 𝑥1 - 𝑥2) − 𝑡 𝛼 2,𝑛1+𝑛2−2∙ 𝑠𝑝

𝑆12

𝑛1+𝑆22

𝑛2< µ1−µ2 < ( 𝑥1 − 𝑥2) + 𝑡 𝛼 2,𝑛1+𝑛2−2

∙

• con:

• 𝑣 = 𝑆12

𝑛1+ 𝑆22

𝑛2

2

𝑆12

𝑛1

2

(𝑛1−1)+

𝑆22

𝑛2

2

(𝑛2−1)

, grados de libertad

EJEMPLO

• Se realizó un estudio para comparar el contenido de nicotina de dos marcas de

cigarrillos. Diez cigarrillos de la marca A tuvieron un contenido de nicotina en promedio

de 3.1 miligramos con una desviación estándar de 0.5 miligramos, mientras que ocho

cigarrillos de marca B tuvieron un contenido de nicotina en promedo de 2.7 miligramos

con una desviación estándar de 0.7 miligramos. Suponiendo que los dos conjuntos de

datos son muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas iguales,

construya un intervalo de confianza del 95% de la diferencia real en el contenido

promedio de nicotina de las dos marcas de cigarrillos.

• Respuesta.

• De acuerdo a la información proporcionada se tiene:

Para la marca A: n1 = 10, 𝑥1 = 3.1, s1 = 0.5

Para la marca B: n2 = 8, 𝑥2 = 2,7, s2 = 0.7

• Para = 0.05 y n1 +n2 -2 = 16 grados de libertad, recurriendo a las tablas de la t Student

se tiene t.025,16 = 2.120, de donde el valor de sp es

𝑠𝑝 =9 0.25 +7(0.49)

16= 0.596

Por lo que el intervalo de confianza del 95% para µ1-µ2 es

(3.1-2.7) – 2.120(0.596) 1

10+1

8< µ1-µ2 < (3.1-2.7) + 2.120(0.596)

1

10+1

8

O -0.20 < µ1-µ2 < 1.00

Interpretación: observemos que este I.C. nos hace ver que la diferencia de las medias podría

ser cero, y de aquí que no se puede concluir que haya una diferencia real en el contenido de

nicotina de las dos marcas.

EJEMPLO

• Se piensa que estudiantes de licenciatura de contaduría pueden

esperar un mayor salario promedio al egresar de la licenciatura,

que el que esperan los estudiantes de administración.

Recientemente se obtuvieron muestras aleatorias de ambos

grupos de un área geográfica relativamente homogénea,

proporcionando los datos que se encuentran en la tabla

siguiente. Determinar un intervalo de confianza unilateral

inferior del 90% para la diferencia entre los salarios promedio

para los estudiantes de contaduría y los de administración µc –

µa al egresar de la licenciatura (suponiendo las varianzas

iguales).

TABLA DE SALARIOS

SOLUCIÓN

• De acuerdo a los datos, nc = 10, na = 14, 𝑥c = 16250, 𝑥a = 15400, 𝑆2𝑐 = 1187222.22

• 𝑆2𝑎 = 1352307.69, 𝑆2𝑝 = 1284772.73, Sp = 1133.48, así:

• 16250-15400 – (1.321)(1133.48) 1

10+

1

14= 230.05

• Por lo que se concluye que un intervalo de confianza unilateral del 90% para la diferencia

real entre los salarios promedios es de $230.05

PROBLEMAS DE CLASE Y CASA

PROBLEMAS DE CLASE

• Durante varios años, se había aplicado una prueba de

nivel de matemáticas a todos los alumnos de primer

ingreso de cierta universidad. Si 64 estudiantes,

seleccionados al azar en este período, tardaron en

promedio 28.5 minutos en resolver la prueba con una

varianza de 9.3 minutos, construya un intervalo de

confianza del 99% del tiempo promedio verdadero que

tardó un alumno de primer ingreso en resolver el

examen.

PROBLEMAS DE CLASE

• Una muestra tomada al azar de una población normal de

tamaño n1 = 16 con σ1 = 4.8 tiene la media 𝑥1 = 18 y una

muestra aleatoria de tamaño n2 = 25 tomada de una

población normal diferente con σ2 = 3.5 tiene la media 𝑥2

= 23. Determine un intervalo de confianza del 90% para

µ1-µ2.

PROBLEMAS DE CLASE

• Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de

ruptura media de una fibra. Diseña un experimento en el que se

observan las tensiones de ruptura, en libras, de 16 hilos del

proceso seleccionados aleatoriamente. Las tensiones son 20.8,

20.6, 21.0, 20.9, 19.9, 20.2, 19.8, 19.6, 20.9, 21.1, 20.4, 20.6,

19.7, 19.6, 20.3, y 20.7. Supóngase que la tensión de ruptura

de una fibra se encuentra modelada por una distribución normal

con desviación estándar de 0.45 libras. Construir un intervalo

de confianza estimado del 98% para el valor real de la tensión

de ruptura promedio de la fibra.

PROBLEMAS DE CLASE

• Con referencia al ejercicio anterior, ¿cuáles de las siguientes proposiciones

son apropiadas para la interpretación del intervalo de confianza?

PROBLEMAS DE CASA