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Filtri passivi 1
Progetto di filtri Filtri di Butterworth Filtri di Chebishev
Filtri passivi 2
?
scattering di matrice
)(2)(s
tensionedi guadagno )(
2221
1211
21
1
2
ss
ssS
sAs
E
VsA
V
V
Filtri passivi 3
Le H possibili sono infinite, ma esistono un
certo n. di caratteristiche standard
Procedura di progetto e sintesi di una rete
1. Approssimazione
Generare una funzione di trasferimento che soddisfi certe specifiche
(ampiezza o fase etc.,).
Metodi in forma chiusa: il problema è risolto attraverso un certo numero
di passi utilizzando formule e trasformazioni in forma chiusa
(Butterworth, Chebyschev, etc) per la risposta in ampiezza.
• Soluzioni molto precise
• Pochi calcoli
• Adatti per caratteristiche con distorsione in ampiezza costante a
tratti, all’interno di certe tolleranze.
Metodi iterativi: a partire da una soluzione iniziale attraverso un metodo
di ottimizzazione si ottengono una serie di soluzioni migliori finché un
certo criterio non è soddisfatto.
• Molti calcoli
• Adatti per caratteristiche arbitrarie
2. Realizzazione
Conversione delle caratteristiche del filtro nella corrispondente rete
elettrica (ne esiste generalmente più di una).
3. Studio delle imperfezioni
Al passo 1. i coefficienti della funzione di trasferimento sono
determinati con elevata precisione; la realizzazione al punto 2. è
ottenuta assumendo gli elementi ideali (C senza perdite, L senza C
parassite, amplificatori con larghezza di banda infinita, etc.)
Occorre studiare l’effetto delle imperfezioni (tolleranze, non linearità,
etc.) mediante analisi di tolleranza, analisi di sensibilità, analisi del
rumore, etc..
4. Implementazione
Filtri passivi 6
Filtri passivi 7
La frequenza a -3 dB è indipendente dall’ordine del filtro.
L’ attenuazione fuori banda è pari a N*20db/decade.
Soddisfano bene i requisiti in banda passante, meno bene in banda oscura
o proibita (i filtri di Chebyschev distribuiscono l’accuratezza in modo
uniforme su banda passante e proibita).
La risposta in fase in banda passante è “abbastanza” lineare.
Filtri passivi 8
N crescente, > selettività
1/2
1
1 w
Questa caratteristica e l'ideale nelle applicazioni audio ad alta fedeltà in cui è assolutamente necessario che il filtro amplifichi
della stessa quantità tutti i segnali con frequenza compresa nella banda passante.
n
n
Pulsazione
normalizzata
wn=w/wt
Pulsazione di taglio
wnt=1 (w=wt)
per qualunque n n
Filtri passivi 9 .....
!2
)1(1
1
1 2xxx
n
n n
n
n
n
n
n
n n
Filtri passivi 10
n n
n
Filtri passivi 11
Progetto di un filtro di Butterworth
In fase di progetto vengono fornite come specifiche
•L’ ATTENUAZIONE
• I LIMITI ESTREMI della banda passante e di quella oscura.
A partire dalle specifiche occorre determinare
•il grado del filtro N (il numero dei componenti)
•la frequenza di taglio ft
presenti nelle formule di trasformazione.
Filtri passivi 12 0
ws-wp
wt
Filtri passivi 13
piccola attenuazione
grande attenuazione
massimo al rispetto
dB 3αff t 2N
N
tf
f2
1
1
tt
nf
f
w
ww
N
tf
f2
1log10
Filtri passivi 14
Specifiche Specifiche
Il progettista deve ottenere un filtro che rispetti le specifiche
Filtri passivi 15
10/221
21
10/221
21
10)(
)(log20
10)(
)(log20
s
p
js
js
js
js
ss
pp
w
w
w
w
I valori riportati in ordinate si ricavano dall’espressione di
Si definisce inoltre la selettività del filtro
1s
p
f
fk
Filtri passivi 16
110
110
10
10
s
p
P
xx
x
xx
xxx
P
P
xxOx
dx
dx
23.0110
3.21)(3.2101010
3.210)10ln(1010
essendo ,10/ Posto
10/
20
0
Filtri passivi 17
ft
Filtri passivi 18
Progetto il filtro che rispetti le specifiche.
N
t
p
f
f2
1log10
N
t
s
f
f2
1log10
N
t
p
f
f2
N
t
s
f
f2
Filtri passivi 19
In cui e’ tutto noto tranne N
110
110
10
10
s
p
Filtri passivi 20
Caratteristica
più ripida
ft
Filtri passivi 21
N
t
p
f
f2
tf
'tf
tf 'tf
Filtri passivi 22
Noto wt e N, conosco la risposta in ampiezza. Devo risalire alla funzione di
trasferimento corrispondente s21(s).
La procedura è detta Sintesi di Darlington. La funzione di trasferimento che
si ottiene è a soli poli del tipo, per il filtro normalizzato,
wnt=1
n n
Il filtro passabasso prototipo
Filtri passivi 23
Esistono diverse realizzazioni possibili per la funzione di
trasferimento di Butterworth AV=V2/V1
Rete
a scala
LC
R01=R02=R0=1W
Realizzazione tipica: rete a scala LC
E1 V2
+
V1
-
Filtri passivi 24
L4 C4
C5 L5
k pari
k dispari
Lk ( )
Ck ( )
Posso ottenere i coefficienti anche con Matlab (‘butter’)
wtn=1rad/s
R0=1W
Filtri passivi 25
Filtri passivi 26
gn+1 è
• R del carico, se gn è una capacità
• G del carico, se gn è una induttanza
Passa-basso prototipo – valori degli elementi
Filtri passivi 27
Filtri passivi 28
Per esempio,
•per R0=1 kW, per mantenere inalterata la risposta in
frequenza devo moltiplicare tutte le impedenze per 103.
•per wt=10 krad/s cambio la scala delle w di un fattore 104.
wt
Filtri passivi 29
Scaling dei moduli: modificare le impedenze di una rete di un dato
fattore (R0) mantenendo invariata la risposta in frequenza. Questa
operazione produce nuove impedenze con nuovi valori dei componenti
Filtri passivi 30
wt
wtL wt
wt wt
wt
wt
wt
wt
Imponendo che l’impedenza non muti
Scaling in frequenza: operare una traslazione della risposta in
frequenza verso l’alto/basso lungo l’asse delle frequenze, lasciando
inalterata l’impedenza. Questa operazione produce nuove impedenze
con nuovi valori dei componenti, per i componenti dinamici.
Filtri passivi 31
ft wt
Filtri passivi 32
Hf
LLL
Ff
CCC
t
n
t
n
t
n
t
n
w
w
1082
2162
n
n
L
C
Filtri passivi 33
Specifiche
p
s
f
fk
110
110
10
10
s
p
Filtri passivi 34
wn w
wt wt wt
wt
wt
Filtri passivi 35
L’induttanza diventa una capacità
La capacità diventa una induttanza
wt
wt
Filtri passivi 36
N.B. I filtri passa-basso avevano zeri di trasmissione all’infinito.
Ora gli zeri sono nell’origine.
wt
wt wtN
wt2
wt
Filtri passivi 37
Si trasformano le specifiche dal passa-alto al passa-basso, ponendo
ww
1' e
f
1f'
Le specifiche del passa-basso sono
'
s
s
'
p
p
f
1 ' f
f'
1per
f
1 ' f
f'
1per
ss
pp
ff
ff
Si calcolano N e wt’ per il passa-basso imponendo
'
s
'
p
ff'per
ff'per
s
p
Si realizza la rete e si effettuano le trasformazioni per tornare al passa-alto
ntnt
n
ntnt
n
t
ttn
CCfLC
LLfCL
sfs
f
ss
w
w
w
1
2
1
1
2
1
22'
Omettiamo il segno –
vista la simmetria.
Filtri passivi 38
Esempio Progettare un filtro passa-alto che soddisfi le seguenti specifiche
1kHz fper 50
10kHzfper 1
dB
dB
Le specifiche del passa-basso corrispondente
Hz10 fper 50
Hz10f'per 1-3
-4
dB
dB
382.21
)1052.1log(
log
log
1052.110
23.0
110
110
1.010
10
31
3
2/510/
10/
1
3
4
'
'
Nk
KN
k
f
f
f
fk
s
p
p
s
s
p
Sovraspecificare in banda passante
Filtri passivi 39
Sovraspecificando in banda passante, si impone
4t
3
't
4't
6
t
's
's
1028.4 Hz;10813.61
f
Hz101.468ff
f110log50
cui da
ff'per
w
t
s
f1 1
2
10-4/4.28 10-4/4.28
10-4/8.56
Passa-basso normalizzato Passa-alto
Filtri passivi 40
Specifiche
p
s
f
fk
110
110
10
10
s
p
Filtri passivi 41 s s
p p
ffper αα
ffper αα
(ft/f)2N
(ft/f)2N]
ft
ft
Filtri passivi 42
(ft/fp)2N]
(ft/fs)2N]
ft
ft
Filtri passivi 43
ft’
ft
ft’ ft
ft
Filtri passivi 44
Filtri passivi 45
Filtri passivi 46
Filtri passivi 47
arccos(x)]cos[N(x)TN
Filtri passivi 48
T0(x)
Filtri passivi 49
T1
T2
…
TN
Filtri passivi 50
Filtri passivi 51
Filtri passivi 52
Chebyshev rispetto a Butterworth rilassa la richiesta di in banda passante per aumentare la pendenza
nella banda di transizione: a parità di ordine del filtro e di parametri di tolleranza, si ottengono
transizioni più ripide rispetto a Butterworth.
E’ caratterizzato da una risposta in ampiezza con oscillazioni di ampiezza costante in banda passante
(ripple) e la riposta viene anche chiamata equi ripple. Questa caratteristica fa si che il filtro presenti in
prossimità della frequenza di taglio una pendenza molto elevata.
E’ utilizzato soprattutto nelle telecomunicazioni quando è necessaria un'elevata pendenza di taglio e
si e disposti a sacrificare sia la massima piattezza che la presenza di un ritardo temporale variabile
con la frequenza.
Filtri passivi 53
[ Per N pari, s21(0)=1/(1+2) ]
Filtri passivi 54
Filtri passivi 55
pulsazione caratteristica
n n n n
n
n
wnw/w0; w0 pulsazione caratteristica/ di transizione, puls. estrema
della banda passante. Non è la pulsazione di taglio a 3db.
Filtri passivi 56
(ovvero da p come vedremo).
Specifiche
wp ws
wwp
wws
w
Filtri passivi 57
Passa-basso normalizzato
2
21
2
21 )1(s)(s passante banda la in tutta che nota Si w
Filtri passivi 58
.
210
222p
1
110
)1log(10))1(1log(10)1(
Dim.
p
w
Nnp T
Filtri passivi
Filtri passivi 60
Filtri passivi 61
p
Filtri passivi 62
Filtri passivi 63
0.83 H
1.68 F
1.68 F
2.83
Filtri passivi 64
0 )1(6 N
2N-2 2N
20N*log(f/f0)
N
TN N
N-1
Chebyshev funziona quindi meglio di Butterworth, nel senso che le stesse prestazioni sono
ottenute con meno componenti (N minore). Ad esempio, per avere una “piattezza” nella
banda passante di 0.1 dB e un’attenuazione di 20 dB per f =1.25⋅f0, è sufficiente un filtro di
Chebyshev di ordine 8, contro un filtro di Butterworth di ordine 19.
Filtri passivi 65
Filtri passivi 66
Filtri passivi 67
Filtri passivi 68
Specifiche
w wp
w ws
w wp ws
Filtri passivi 69
per il passa-basso era
k=fp/fs p
Filtri passivi 70
sono apici, non esponenti
p p p
Filtri passivi 71
Filtri passivi 72
Filtri di Chebyscev inversi
N
Filtri passivi 73
Utilizzano un Chebyshev ed un Chebyshev inverso.
Permettono di ottenere la massima ripidità nella transizione tra le 2 bande,
col n. minore di componenti.
Ciò si ottiene ammettendo ripple sia in banda passante che in stopband.
Filtri ellittici (di Cauer)
N=5 RN è la funzione razionale ellittica di ordine N,
troppo complessa per essere
studiata in maniera qualitativa; La
complessità dell’espressione di RN rende
difficile fare considerazioni intuitive
sull’andamento dei filtri ellittici.
Non esiste una procedura semplice per il
progetto dei filtri ellittici. La soluzione
migliore è l’uso di programmi appositi.
w
w22
2
21
1
1
NR
s
Filtri passivi 74
Il filtro di Bessel è caratterizzato da una risposta in fase la più lineare
possibile in banda passante ovvero un ritardo di gruppo massimamente
piatto in banda passante. Questa caratteristica fa si che il filtro introduca un
ritardo temporale uguale per tutti i segnali con frequenza compresa nella
banda passante.
E’ idoneo per ritardare segnali.
Il filtro di Bessel è utilizzato soprattutto nelle telecomunicazioni quando
sono presenti molti filtri in cascata ed il ritardo temporale introdotto è
notevole.
La pendenza nella banda di transizione è bassa in confronto agli altri filtri.
Il filtro di Bessel
75
Filtro Accuratezza guadagno Linearità fase
Butterworth media media
Chebyschev buona cattiva
Ellittico ottima pessima
Bessel cattiva buona
Bontà nell’approssimarne il guadagno:
dimensione della banda di transizione,
attenuazione, oscillazioni
I filtri di Butterworth costituiscono una
famiglia di filtri che soddisfa bene i requisiti
sul guadagno in banda passante e meno
bene in banda di transizione.
Filtri passivi 76
Un filtro di Butterworth dell’ 8° ordine prodotto
dalla “Dallas Maxim” ha un costo di circa 1.98 €.
Mentre un filtro del quarto ordine prodotto dalla
“Texas Instruments” ha un costo (il valore è
fornito in dollari) di circa 1 €.
KSPECIFICATIONS: Active Filters
Filtri realizzati come switched-capacitor in grado di
cambiare il proprio valore di capacità interne.
Filtri passivi 77
Filtri passivi 78
Filtri passivi 79
Filtri passivi 80
Filtri passivi 81