Primeraparte:Funcionestrigonometricas(cont).Tiempoestimado:1.3h

Las funciones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante, se han definido a partir de las

fuciones seno y coseno . Sus gráficas, dominios y rangos se resumen a continuación:

Función Tangente:

Como tan � =����

���� , y este cociente tiene sentido siempre que cos� ≠ 0 , entonces el dominio de la

función Tangente es el cojunto de los números reales diferentes a los múltiplos impares de π/2.

Para valores de θ muy cercanos a π/2, senθ produce valores positivos cercanos a 1, mientras que los

valores de cosθ son casi cero, positivos cuando θ<π/2 y negativos cuando θ>π/2 por lo tanto los valores

de f(θ)=tanθ son muy grandes (positivos ) cuando θ<π/2 y muy negativos cuando θ>π/2, como se

puede apreciar en la gráfica. El comportamento descrito anteriormente no sólo ocurre para puntos

cercanos a π/2, también a cualquier número real de la forma � = �2� + 1� ��, � ∈ ℤ (los múltiplos

impares de π/2).

Dominio Rango Periódo

ℝ − �� ∈ ℝ|� = �2� + 1� �2, � ∈ ℤ� ℝ � , es decir tan�� + �� = tan�

Ejercicio: A partir de la gráfica y del hecho que la función tangente es perídica, ¿para que valores de � la

función tan � es cero?

Función Cotangente:

1. DATOS DE IDENTIFICACIÓN

Asignatura: Cálculo Diferencial

Docente: Alirio Gómez Programa : INGENIERÍA

Semestre: 4 Fecha de elaboración: 21- 07-2013 Guía Nº: 2 Título: Funciones.

Alumno: Grupo: CB-N-2

Dominio Rango Período

ℝ − � ∈ ℝ|� = ��, � ∈ ℤ ℝ �

Observese que el dominio de la función cotangente son todos los números reales excepto los

múltiplos de �.

Ejercicios:

1. Escribir seis números reales que NO pertenezcan al dominio de la función cotangente.

2. Use transformaciones de funciones (NO USAR TABLA) para realizar la gráfica de las funciones ���� = cot�−�� y g�x� = −cot � a partir de la gráfica de la función cotangente. 3. A partir de la gráfica y del hecho que la función cotangente es períodica, determine todos los número reales � para los cuales cot� = 0 . Funciones Secante y Cosecante:

Las gráficas de las funciones secante y cosecante (trazos en azul) se pueden construir a partir de las del coseno y del seno (trazos en gris) respectivamente como puede verse a continuación.

Función Dominio Rango Período

Secante ℝ − � ∈ ℝ|� = ��, � ∈ ℤ �−∞,−1� ∪ 1,∞� 2� Cosecante ℝ − �� ∈ ℝ|� = �2� + 1� �

2, � ∈ ℤ� �−∞,−1� ∪ 1,∞� 2�

Ejercicios:

1. Determinar un intervalo en el que la función secante es positiva.

2. Usar la gráfica de la función cosecante para determinar los números reales para los cuales csc� = −1.

3. Existe algún número real tal que sec� = 0.

4. Dado que sin�

=√�

�, hallar csc

�

y csc �2� +

�

� .

Ejercicios adicionales:

1. Usar transformaciones de funciones para graficar las siguientes funciones a partir de alguna de las

gráficas de las funciones trigonométricas.

a). f�x� = tan2� b). 2 +�

�cos�� − �

��

2. Las funciones seno y coseno son periódicas y su período es 2�. Las funciones de la forma sin�� y cos�� dónde � ∈ ℝ también lo son. Así, por ejemplo f(x) = cos3x es periódica pues f(x) = cos 3x =cos�3x+ 2π� =cos �3 �x + �

���� = � �� + �

���. El periodo es

��

� . En general, si y = sin�� o y = cos��, � ≠ 0 el

período es ��

� .

3. Usted hace una videograbación de una carrera de automóviles desde una tribuna ubicada a 132ft de la

pista; sigue un automóvil que se desplaza desde una distancia � desde el punto P de la pista que está justo en frente de usted. Escriba una ecuación que relacione el ángulo de su cámara con la distancia entre el vehículo y punto P.

Segunda parte: Aplicaciones. Tiempo estimado 1h.

Longitud de Arco: En círculo de radio r la longitud s del arco que subtiende un ángulo central θ es � = ��.

Área del sector circular: En un círculo de radio r el área de un sector de

ángulo central � en radianes es � =

���� .

Ejemplo:

a.) Determina la longitud de un arco de un circulo de radio 5m que subtiende un ángulo de 60o .

b.) Hallar el área del sector circular con ángulo central 30o si el radio del círculo es 4m.

Solución

a.) Como 60o=�/3. Por lo tanto, a longitud de arco es � = �� = 5 ∗�

�=��

�

b.) Para usar la fórmula del área de un sector circular, se debe encontrar el ángulo central del sector en

radianes: 30o=30 � �

��� = �

�. Así � =

���� =

��16� �

�=

��.

Velocidad lineal y velocidad angular.

Suponga que un punto se mueve a lo largo de un círculo de radio r. La velocidad lineal es la razón a la

que está cambiando la distancia recorrida, de modo que la velocidad lineal es la distancia recorrida

dividida entre el tiempo transcurrido. La velocidad angular es la razón a la cual cambia el ángulo central �,

así que la velocidad angular es el número de radianes que cambia este ángulo dividido entre el tiempo

transcurrido. Así, si � = �� es la distancia que recorre el punto en el tiempo �:

Velocidad angular � =�

� , Velocidad lineal � =

�

�.

Ejemplo

Una máquina de viento es usada para generar electricidad. La máquina del viento tiene una hélice con

aletas de 12 ft de longitud (ver figura). Sí la hélice está rotando a 3 revoluciones por segundo. ¿Cuál es la

velocidad lineal en pies por segundo de las puntas de las aletas?

Solución:

Como una revolución es un giro, la distancia recorrida durante una revolución es 2��

y el ángulo barrido es 2�.

Velocidad angular � =�������������

=�������������

� ��

��������ó�� = 6� radianes

por segundo.

Velocidad lineal de la punta de las aletas: � =�

�=��

�= �� = 12�6�� = 72� ≈ 226.1947 pies por

segundo

Ejercicios:

1. Los extremos superior e inferior de una hoja de limpia parabrisas están a 34pulg y 14pulg del punto

central, respectivamente. Mientras esta en operación el limpiador abarca 135o. Encuentre el área barrida

por la hoja.

2. se emplea un malacate de radio 2 pies (ft) para levantar cargas pesadas. Si el malacate da 8

revoluciones cada 15 segundos, encuentre la velocidad a la cual sube la carga (despreciar el

espesor de la cuerda).

3. La figura muestra un pistón conectado a una rueda que gira a 10 revoluciones por

segundo (rps). Si el punto P está en (1,0) cuando t=0, entonces � = 20��, donde � es el tiempo en

segundos.

a). Use los triángulos en la gráfica para para mostrar que

� = � + √5� − �� = cos(20��) +�25 − �sin�20�����

b). Use la expresión del numeral (a) para encontrar (aproximar con dos decimales) la posición del pistón

(el valor de x) para � = 0 y � = 0.01 segundos.

Tercera parte: Funciones 1 a 1 y funciones inversas. Tiempo aprox: 40min

1. Graficar las siguientes funciones: ���� = 3� + 2,���� = ��,ℎ��� = sin �.

2. Determinar los valores del dominio de f para los cuales ���� = 1.

3. Determine los valores para los cuales ���� = 1.

4. hallar todos los valores en el dominio de h tales que ℎ��� = 1

5. ¿Cuáles de las anteriores funciones asignan a un sólo en el dominio el número real 1 como imagen?

6. Usar diagramas de Ven para ilustrar un caso de una función que asigne a elementos diferentes en el

dominio imágenes diferentes y otra que no.

La propiedad anterior se precisa en la siguiente:

Definición: (Funciones inyectivas o uno a uno): Se dice que una función es uno a uno si nunca toma el

mismo valor dos veces ; es decir, ��� � ≠ ����� siempre que � ≠ ��.

La anterior definición es equivalente a que la función cumpla la siguiente propiedad:

Si �(� ) = �(��) entonces � = ��.

Ejemplo: La función ���� = 3� + 2,es uno a uno.

En efecto:

Si �(� ) = �(��) entonces:

3� + 2 = 3�� + 2 Luego

3� = 3�� Dividiendo por 3: � = �� A partir de la gráfica es posible determinar si la función es inyectiva usando el siguiente criterio: Prueba de la recta horizontal: Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal interseca su grafica más de una vez.

Inyectiva No inyectiva. Función inversa:

Sea � una función uno a uno, con dominio A y rango B. Entonces su función inversa �� tiene dominio B y rango A y se define: �� ��� = � ⟺ ���� = � para cualquier � en B. Ejemplo:

La función ���� = � �

� es la función inversa de � = ���� = 3� − 2. Porque ���� = ! �

�="#�$ �

�=

#����$ �

�= �

Si las funciones � y �� son inversas entonces ���� ��� = � y �� ����� = �.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Todas las funciones periódicas no son inyectivas ¿por qué? Sin embargo es posible restringir estas funciones a un subconjunto de su dominio donde la función sea uno a uno y el conjunto de imágenes igual al rango de la función original.

En la siguiente tabla se describe el subconjunto al que se restringe cada una de las funciones

trigonométricas y la función inversa.

Para definir las funciones trigonométricas inversas basta sólo con rescribir la definición en cada caso,

así por ejemplo:

sin� � = � ⇔ sin� = �

cos� � = � ⟺ cos� = �

tan� � ⟺ tan � = �

Los dominios y los rangos se especifican en la siguiente tabla.