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5. Equilibrio estático de un sistema:::

Ecuaciones:

Resultantes son cero El sistema está en equilibrio.

En general:

Fi = 0

M0 = 0

Sistema general coplanar fuerzas:

Tres variables desconocidas en el sistema coplanar.

Tres ecuaciones estáticas para encontrar 3 variables.

Equilibrio de un sistema:

Un sistema estructural está en equilibrio estático cuando la resultante de todas las fuerzas y

momentos es igual a cero.

Equilibrio de parte de un sistemas:

Si todo un sistema estructural está en un estado de equilibrio estático, cualquier parte del mismo

también debe estar en equilibrio estático.

Para que exista un estado de equilibrio coplanar, las siguientes tres condiciones deben ser

satisfechas simultáneamente:

Fx = 0, Fy= 0, M= 0

Los subíndices (x,y) representan los ejes a lo largo de los cuales las componentes Fx y Fy son

estudiadas. Estos ejes pueden o no ser ortogonales. La sumatoria de momentos M es tomada

alrededor de un eje cualquiera normal al plano de la estructura. La combinación de estas

ecuaciones es admisible, puesto que las tres son independientes.

La sumatoria puede ser tomada en diferentes puntos:

Mj = 0, Mk = 0, ....... Mi = 0,

Puesto que el equilibrio se debe mantener en cualquier sitio.

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Fuerza Normal: Descripción

La fuerza normal N en una sección dada es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas y componentes actuando normales a un lado de la sección.

Fuerza Cortante:

La fuerza cortante o tangencial es simplemente la fuerza V en una sección, la cual es igual a la

suma algebraica de todas las fuerzas y componentes de las fuerzas actuando paralelas a la

sección transversal considerada.

Momento Flector:

El momento flector M en una sección es igual a la suma algebraica de todas las parejas de fuerzas

y momentos estáticos de todas las fuerzas actuando a un lado de la sección considerada, con

respecto a su centroide.

Para un elemento estructural PLANO tres tipos de fuerzas ocurren en una sección transversal en el

centroide de cada parte o sección determinada:

Fuerza normal = Nx

Fuerza cortante = Vy

Momento flector con respecto al eje Z = Mz

Para un elemento estructural ESPACIAL seis tipos de fuerzas ocurren en una sección transversal

en el centroide de cada parte o sección determinada:

Fuerza normal = Nx

Fuerzas cortantes = Vy , Vz

Momentos con respecto a los tres ejes globales = Mx, My, Mz

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Estructura Geométricamente Estable:

Una estructura es geométricamente estable si para cualquier movimiento incipiente de la

estructura una resistencia al movimiento es desarrollada. Esto requiere al menos la presencia de

tres fuerzas de soporte no concurrentes y no paralelas.

Estructura Geométricamente Inestable:

La estructura tiene un número suficiente de reacciones pero están incorrectamente colocadas para

asegurar estabilidad. Las reacciones no son concurrentes.

Existen varios metodos para determinar la estabilidad geometrica:

Metodo de las dos barras

Metodo de las tres barras

Método de la articulación y la barra

Método de las tres articulaciones

Metodos de las dos barras:

Un sistema geométrico estable que puede formarse agregando a un sistema invariable un nudo

mediante dos barras que no se encuentren en línea recta.

Al disco 1 se agrego la articulación 4 a través de las barras I y H, luego la articulación 3 a través

de las barras F y E, y así sucesivamente.

Las articulaciones 6 y 4 o barras llegando a estos nudos no puede permitirse debido a que el

sistema es instantáneamente variable.

Estable Inestable

Inestable

Metodo de las tres barras:

Dos discos forman un sistema geométricamente estable si se vinculan a través de tres barras que

no se corten en un punto ni que sean paralelas.

Estable Inestable

Métodos de la articulación y la barra:

Dos discos forman un sistema geométricamente estable si se vinculan a través de una articulación

y de una barra que no pase por la articulación.

Estable Inestable

Metodo de las tres articulaciones:

Tres discos forman un sistema geométricamente estable si se vinculan a través de tres

articulaciones que no se encuentren en línea.

Estable Inestable

En la formación de cerchas dos principios básicos aplican:

1. La base o sistema de arranque puede ser un pórtico con tres articulaciones amarrado por

dos articulaciones externas a una cimentación rígida.

2. Por un triángulo de tres articulaciones, cuya rigidez es independiente de la cimentación.

Cercha Dependiente Cercha independiente

(Tres reacciones externas)

* Adicionando a cada sistema básico dos barras por cada nuevo nudo, la cercha es formada siendo dependiente o

independiente de acuerdo a la formación de la base.

Si hay menos de tres reacciones independientes desconocidas (incógnitas), la estructura planar no está en equilibrio y es estáticamente inestable puesto que no hay suficientes incógnitas para satisfacer las ecuaciones de equilibrio simultáneamente.

Si las reacciones son iguales al número de ecuaciones externas suministradas por el

sistema, la solución de las mismas se puede obtener mediante un análisis estático de igual número de incógnitas y ecuaciones simultaneas.

Si tres o mas bielas son concurrentes o paralelas, ellas no son suficientes para mantener

el sistema planar de cargas en equilibrio general. En otras palabras, la estructura puede ser determinada pero su configuración geométrica impide la estabilidad general del sistema.

Estable: Tres reacciones no comcurrentes Inestable: Tres reacciones no paralelas

Inestable: Dependiendo del valor de F la estructura

rota y se cae Inestable: Tres reacciones paralelas

Inestable: Tres reaciones concurrentes Estable: Tres reaciones no concurrentes

Estable: Tres reacciones no concurrentes en un

mismo punto

Estable: reacciones no concurrentes Inestable: Reacciones concurrentes

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Estructura Estáticamente Determinada:

Una estructura es estáticamente determinada si sus reacciones y fuerzas internas pueden ser determinadas a partir de las ecuaciones de equilibrio.

Estructura Estáticamente Indeterminada:

Una estructura es estáticamente indeterminada si sus reacciones y fuerzas internas no pueden ser computadas a partir de las ecuaciones de equilibrio y condiciones de deformación deben ser consideradas.

Se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio simultáneamente:

Fy = 0

Fx = 0

M0 = 0

Menos de tres reacciones son insuficientes, por tanto la estructura es Estáticamente Inestable.

Mas de tres reacciones pueden ser encontradas si existe la posibilidad de establecer

ecuaciones especiales mediante la presencia de articulaciones o guías intermedias.

Las ecuaciones especiales están determinadas por:

Articulación interna Guia vertical Guia horizontal

Una viga es estáticamente determinada si el número de ecuaciones de equilibrio (3) y el numero

de ecuaciones especiales son iguales al número de reacciones (r). Entonces:

r = 3 + s

donde la variable s representa el numero de ecuaciones especiales y r son las reacciones

externas.

Ejemplos tipícos:

Vigas en voladizo

Vigas simples - simplemente soportadas en ambos extremos

Vigas con uno o dos voladizos

Vigas compuestas - Combinación de todas las anteriores con voladizos conectados por

articulaciones o guías internas. Cada articulación interna equivale a una ecuación especial de momento.

Ejemplos tipicos de vigas:

vigas simples

Vigas simples con voladizos

Vigas compuestas

Ejemplos típicos de pórticos y arcos triarticuladas :

Arco simple triartculado portico simple triarticulado

Arco compuesto isostático Pórtico compuesto isostático

Una cercha es estáticamente determinada si puede ser calculada por ecuaciones de equilibrio

estático. Es indeterminada si no puede ser calculada por las ecuaciones de equilibrio estático y se

deben usar deformaciones para obtener las redundantes. En número de redundantes es definido

por:

GI = (b+r )– (2n)

donde,

GI = Grado de indeterminación (número de redundantes),

r = Número de reacciones,

b = Fuerzas internas de la estructura; b = Numero de barras,

2n = Ecuaciones de equilibrio externo; n = numero de nudos

Determinación Estática: Una cercha plana es estáticamente determinada si:

GI = b + r - 2n = 0

Determinación Estática y Estabilidad Geométrica: Una cercha plana es estáticamente determinada y geométricamente estable si:

GI = b + r - 2n = 0 y det (A) 0

Geométricamente Inestable: Una cercha plana es geométricamente inestables si:

GI = b + r - 2n < 0 y det (A) = 0

Estáticamente y geométricamente Inestable: Una cercha plana es estáticamente y geométricamente inestables si:

GI < b + r – 2n y det (A) = 0

Estáticamente Indeterminada: Una cercha plana es estáticamente determinada si:

GI = b + r - 2n > 0

Estáticamente Indeterminada: Una cercha plana es estáticamente determinada si:

GI = b + r - 2n > 0

b =23, r =3, n =14 GI = b + r -2n = 26-28 = -2

Estáticamente Inestable

b =25, r =3, n =14 GI = b + r -2n = 28-28 = 0

Estáticamente Estable

b =27, r =3, n =14 GI = b + r -2n = 30-28 = +2

Estáticamente Indeterminada

Estructura Geométricamente Inestable:

Reacciones son paralelas

Para establecer la indeterminación de una estructura plana se define el número de redundantes

así:

GI = (3b+r ) – (3n + s)

donde,

GI = grado de indeterminación (número de redundantes),

r = número de reacciones,

3b = fuerzas internas de la estructura; b = numero de barras,

3n = ecuaciones de equilibrio externo; n = numero de nudos,

s = número de ecuaciones especiales.

Las ecuaciones especiales están determinadas por:

Articulación interna Guia vertical Guia horizontal

Ejemplo:

n = 4

s = 3

b = 3

r = 8

3b + r 3n + s

3 x 3 + 8 3 x 4 +

3

17 15

n = Numero de nudos

s = Numero de articulaciones

b = Numero de barras

r = Numero de reaccioens

Estructura estatica indeterminada GI = 2

Alternativa de solución:

n = 7

s = 3

b = 6

r = 8

3b + r 3n + s

3 x 6 + 8 3 x 7 + 3

26 24

n = Numero de nudos

s = Numero de articulaciones

b = Numero de barras

r = Numero de reaccioens

Estructura estaticamente indeterminada GI = 2

n = 8

s = 2

b = 7

3b + r 3n + s

3 x 7 + 8 3 x 8 +

2

r = 8 29 26

Estructura estaticamente indeterminada GI = 3

n = 7

s = 0

b = 6

r = 9

3b + r 3n + s

3 x 6 + 9 3 x 7 +

0

27 21

Estructura estaticamente indeterminada GI = 6

Caso especial:

s = número de elementos que llegan al nudo menos uno.

n = 18

s = 19

b = 21

r = 11

3b + r 3n + s

3 x 21 + 11 3 x 18 + 19

63+11 54+19

74 73

Estructura estaticamente indeterminada GI = 1

Tres dimeciones:

Seis fuerzas internas: F, Vx, Vy, Mx, My, Mz

n = 8

s = 0

b = 8

r = 24

6b + r 6n + s

6 x 8 + 24 6 x 8 + 0

72 48

Estructura estaticamente indeterminada

GI = 24