Principio Del Impulso y La Cantidad de Movimiento

VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN

5.4 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Este método se basa en el principio del impulso y la cantidad de movimiento, y se usa para resolver problemas que implican fuerza, masa, velocidad y tiempo. Es de particular interés en la resolución de problemas que implican movimiento impulsivo e impacto.

Considere una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F. La segunda ley de Newton puede expresarse en la forma

Donde mv es la cantidad de movimiento lineal de la partícula. Al multiplicar ambos lados de la ecuación (13.27) por dt e integrar a partir del tiempo t1 hasta el tiempo t2, se escribe

o, al trasponer el último término,

La integral en la ecuación (13.28) es un vector conocido como impulso lineal, o simplemente impulso, de la fuerza F durante el intervalo considerado. Al descomponer F en componentes rectangulares, se escribe

y se advierte que las componentes del impulso de la fuerza F son, respectivamente, iguales a las áreas bajo las curvas que se obtienen al graficar las componentes Fx, Fy y Fz en función de t (figura 13.16). En el caso de una fuerza F de magnitud y dirección constantes, el impulso se representa mediante el vector F(t2 - t1), que tiene la misma dirección que F.

Si se usan unidades del SI, la magnitud del impulso de una fuerza se expresa en N ∙s. Sin embargo, al recordar la definición del newton, se tiene


que es la unidad que se obtuvo en la sección 12.4 para la cantidad de movimiento lineal de una partícula. De tal modo, se verifica que la ecuación (13.28) es dimensionalmente correcta. Si se usan unidades de uso común en Estados Unidos, el impulso de una fuerza se expresa en lb ∙ s, la cual es también la unidad que se obtuvo en la sección 12.4 para la cantidad de movimiento lineal de una partícula.

La ecuación (13.28) expresa que cuando sobre una partícula actúa una fuerza F durante un intervalo dado, la cantidad de movimiento final mv2 de la partícula puede obtenerse al sumar vectorialmente su cantidad de movimiento inicial mv1 y el impulso de la fuerza F durante el intervalo considerado (figura 13.17). Se escribe

Adviértase que si bien la energía cinética y el trabajo son cantidades escalares, la cantidad de movimiento y el impulso son cantidades vectoriales. Para obtener una solución analítica, es necesario entonces sustituir la ecuación (13.30) por las correspondientes ecuaciones de componentes

Cuando varias fuerzas actúan sobre una partícula, debe considerarse el impulso de cada una de las fuerzas. Se tiene

La ecuación que se obtuvo representa una relación entre cantidades vectoriales; en la solución real de un problema, ésta debe sustituirse por las correspondientes ecuaciones de las componentes. Cuando un problema incluye dos o más partículas, cada partícula puede considerarse por separado y la ecuación (13.32) se escribe para cada partícula. También es posible sumar vectorialmente las cantidades de movimiento de todas las partículas y los impulsos de todas las fuerzas implicadas. Se escribe entonces

Puesto que las fuerzas de acción y reacción ejercidas por las partículas entre sí forman pares de fuerzas iguales y opuestas, y puesto que el intervalo de t1 a t2 es común para todas las fuerzas implicadas, los impulsos de las fuerzas de acción y reacción se cancelan y sólo necesitan ser considerados los impulsos de las fuerzas externas.


Si no se ejerce fuerza externa sobre las partículas o, de manera más general, si la suma de las fuerzas externas es cero, el segundo término en la ecuación (13.33) se anula y la ecuación (13.33) se reduce a

que expresa que la cantidad de movimiento total de las partículas se conserva. Considere, por ejemplo, dos botes, de masa mA y mB, inicialmente en reposo, que están siendo jalados uno por el otro (figura 13.18).

Si se ignora la resistencia del agua, las únicas fuerzas externas que actúan sobre los botes son sus pesos y las fuerzas de flotación ejercidas sobre ellos. Puesto que estas fuerzas están equilibradas, se escribe

Donde v´A y v´B representan las velocidades de los botes después de un intervalo finito. La ecuación obtenida indica que los botes se mueven en direcciones opuestas (uno hacia el otro) con velocidades inversamente proporcionales a sus masas.

MOVIMIENTO IMPULSIVO

Una fuerza que actúa sobre una partícula durante un breve intervalo que es lo suficientemente grande para producir un cambio definido en la cantidad de movimiento se conoce como fuerza impulsiva y el movimiento resultante se denomina movimiento impulsivo. Por ejemplo, cuando se golpea una pelota de béisbol, el contacto entre el bate y la pelota se realiza durante un intervalo Δt muy corto. Sin embargo, el valor promedio de la fuerza F ejercida por el bate sobre la pelota es muy grande, y el impulso resultante F Δt es lo suficientemente grande para cambiar el sentido de movimiento de la pelota (figura 13.19).


Cuando actúan fuerzas impulsivas sobre una partícula, la ecuación (13.32) se convierte en

Las fuerzas no impulsivas incluyen el peso de un cuerpo, la fuerza ejercida por un resorte o cualquier otra fuerza que se sabe que es pequeña comparada con una fuerza impulsiva. Las reacciones desconocidas quizá sean o no impulsivas; sus impulsos deben consecuentemente incluirse en la ecuación (13.35) siempre que no se haya demostrado que se pueden ignorar.

En el caso del movimiento impulsivo de varias partículas, es posible usar la ecuación (13.33), la cual se reduce a

Donde el segundo término implica sólo fuerzas impulsivas externas. Si todas las fuerzas externas que actúan sobre las diversas partículas son no impulsivas, se anula el segundo término en la ecuación (13.36) y esta ecuación se reduce a la ecuación (13.34). Se escribe

Que expresa que la cantidad de movimiento total de las partículas se conserva. Esta situación ocurre, por ejemplo, cuando dos partículas que se mueven libremente chocan entre sí. Sin embargo, se debe advertir que mientras se conserva la cantidad de movimiento total de las partículas, su energía total no se conserva en general. Los problemas que implican el choque o impacto de dos partículas se estudiarán en detalle en las secciones 13.12 a 13.14.

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Estas ecuaciones expresan que la resultante y el momento resultante alrededor del punto fijo O de las fuerzas externas son, respectivamente, iguales a las razones de cambio de la cantidad de movimiento lineal y de la cantidad de movimiento angular alrededor de O del sistema de partículas.


Al integrar las ecuaciones (14.10) y (14.11) en t desde t1 hasta t2, se escribe

Al recordar la definición del impulso lineal de una fuerza, se nota que las integrales en la ecuación (14.32) representan los impulsos lineales de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema. Hay que referirse de manera similar a las integrales en la ecuación (14.33) como los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas. De tal modo, la ecuación (14.32) expresa que la suma de los impulsos lineales de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual al cambio en la cantidad de movimiento lineal del sistema. De manera similar, la ecuación (14.33) expresa que la suma de los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas es igual al cambio en el momento angular alrededor de O del sistema.

Para clarificar el significado físico de las ecuaciones (14.32) y (14.33), se rearreglan los términos en estas ecuaciones y se escribe

En los incisos a) y c) de la figura 14.8 están dibujadas las cantidades de movimiento de las partículas del sistema en los tiempos t1 y t2, respectivamente.

Figura 14.8Figura 14.8Figura 14.8Figura 14.8Figura 14.8Figura 14.8Figura 14.8Figura 14.8Figura 14.8


En el inciso b) se indica un vector igual a la suma de los impulsos lineales de las fuerzas externas y un momento de par igual a la suma de los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas. Por simplicidad, se ha supuesto que las partículas se mueven en el plano de la figura, aunque el análisis presente sigue siendo válido en el caso de partículas que se mueven en el espacio. Al recordar de la ecuación (14.6) que L, por definición, es la resultante de la cantidad de movimiento mi v i, se nota que la ecuación (14.34) expresa que la resultante de los vectores mostrados en los incisos a) y b) de la figura 14.8 es igual a la resultante de los vectores indicados en el inciso c) de la misma figura. Si se recuerda de la ecuación (14.7) que HO es el momento resultante de las cantidades de movimiento mi v i, se advierte que la ecuación (14.35) expresa de manera similar que el momento resultante de los vectores en los incisos a) y b) de la figura 14.8 es igual al momento resultante de los vectores en el inciso c). Juntas, las ecuaciones (14.34) y (14.35) expresan entonces que las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t1 y los impulsos de las fuerzas externas desde t1 hasta t2

forman un sistema de vectores equipolente al sistema de las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t2. Esto se ha indicado en la figura 14.8 mediante el uso de signos de más y de igualdad en color azul.

Si ninguna fuerza externa actúa sobre las partículas del sistema, las integrales en las ecuaciones (14.34) y (14.35) son cero, y estas ecuaciones producen

De este modo se verifica el resultado obtenido en la sección 14.6: si ninguna fuerza externa actúa sobre las partículas de un sistema, la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular alrededor de O del sistema de partículas se conservan. El sistema de la cantidad de movimiento inicial es equipolente al sistema de la cantidad de movimiento final y, por lo tanto, la cantidad del movimiento angular del sistema de partículas alrededor de cualquier punto fijo se conserva.


EJERCICIO - Una pelota de béisbol de 4 oz se lanza con una velocidad de 80 ft/s hacia un bateador. Después de que la bola es golpeada por el bate B, adquiere una velocidad de 120 ft/s en la dirección que se indica. Si el bate y la bola están en contacto 0.015 s, determine la fuerza impulsiva promedio ejercida sobre la pelota durante el impacto.

SOLUCIÓN

Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento a la pelota. Puesto que el peso de esta misma es una fuerza no impulsiva, puede ignorarse.

mv1+∑ Imp1→2=mv2

¿

− 41632.2

(80 ft /s)+Fx (0.015 s )=

41632.2

(120 ft / s)cos 40 °

F x=+89.0 lb

(+↑ ) componente y :0+F y Δt=mv2 sen 40°

F y (0.015 s )=

41632.2

(120 ft /s)sen 40 °

F y=+39.9 lb

A partir de sus componentes Fx y Fy se determina la magnitud y dirección de la fuerza F:

F=√ (Fx )2+(F y )2

F=√ (89 )2+(39.9 )2

F=97.53 lb


Dirección

⦨=arctan (F y

Fx)

⦨=arctan (39.989 )=24.14⦨=24.14 °

EJERCICIO 15.1 – A un bloque de 5 lb se le imparte una velocidad inicial de 10 pies /seg hacia arriba por una pendiente lisa de 45 °. Determine el tiempo durante el cual se mueve hacia arriba antes de detenerse.

(+↗ )m (v x )1+∑ Fxdt=m (vx )2

532.2

(10 )+(−5 sen 45 ° )t=0

t=−1.553.53

=0.439 seg

t=0.439 seg


EJERCICIO 15.10 – El gabinete de 20 lb se somete a la fuerza F=(3+2 t ) lb, donde t está en segundos. Si el gabinete inicialmente se mueve hacia abajo del plano con una rapidez de 6 pies/seg, determine cuanto tiempo le lleva a la fuerza detener el gabinete. F siempre actúa paralela al plano.

(+↙ )m (v x )1+∑ Fxdt=m (vx )2

2032.2

(6 )+20 sen20 ° t−∫0

t

(3+2 t )dt=0

3.72+6.84 t−(3 t+ 2 t22 )=03.72+6.84 t−3 t−t 2=0

−t 2+3.84 t+3.72=0

t=−b±√b2−4 ac2a

t=−(3.84 )+√(3.84)2−4 (−1)(3.72)

2(3.72)=−0.80 seg

t=−(3.84 )−√ (3.84 )2−4 (−1 ) (3.72 )

2 (3.72 )=4.64 seg

t=4.64 seg


EJERCICIO 15.20 – Determine la velocidad de cada bloque 2 seg después de que los bloques se sueltan del punto de reposo. Ignore la masa de las poleas y la cuerda.

2S A+SB=l

2V A+V B=0

V A=−V B

2

(+↑ )mv1+∑∫Fdt=mv2

0+2T (2 )−10 (2 )= 1032.2

V A

4 T−20=0.31V A ---- 1

(+↓ )mv1+∑∫Fdt=mv2

0−(2 )T +50 (2 )= 5032.2

V B

−2T+100=1.55V B ---- 2

Sustituyendo V A=−V B

2 en ecuación 1

4 T−20=0.31 (−V B

2)

4 T−20=−0.155V B

V B=4T−20−0.155

V B=−25.80T+129.03

V B En ecuación 2

−2T+100=1.55(−25.80T +129.03)

−2T+100=−39.99T+199.99

−2T+39.99=199.99−100

SBSA

Bloque A

2 T

10 Lb

Bloque B

T

50 Lb


37.99T=99.99

T=99.9937.99

T=2.63

T en ecuación 1

4 (2.63)−20=0.31V A

10.52−20=0.31V A

V A=−9.480.31

=−30.48 ft /seg

V A=30.48 ft /seg

T en ecuación 2

−2(2.63)+100=1.55V B

−5.26+100=1.55V B

V B=94.741.55

V B=61.12 ft /seg

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