PRINCIPIOS Y MÉTODOS DE ANÁLISIS LÓGICO - · PDF fileEl nacimiento de la teoría de conjuntos recibió un fuerte impulso desde ciertas discusiones filosóficas acerca de la noción

PRINCIPIOS Y MÉTODOS DE ANÁLISIS LÓGICO

2 RODOLFO J. RODRIGUEZ-RODRIGUEZ U.R.L.: http://cariari.ucr.ac.cr/~rodolfor

E-mail: [email protected]

CONTENIDOS TEMÁTICOS: 1 Teoría de conjuntos 3 1.1 Introducción 3 1.2 La paradoja de Burali-Forti 4 1.3 La paradoja de Russell (1902) 5 1.4 Propuestas de solución a las paradojas 6 1.5 Los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos: 8 1.5.1 Conjunto 8 1.5.1.1 Definiciones de los conjuntos por extensión o intensión 8 1.5.1.2 Conjunto Finito, Infinito 9 1.5.1.3 Conjunto nulo o vacío 9 1.5.1.4 Subconjunto, propio, igualdad 10 1.5.1.5 Contener e incluir 10 1.5.1.6 Igualdad 10 1.5.1.7 Conjunto potencia, particiones y Conjunto Universo 11 1.5.1.7.1 Unión e intersección de conjuntos 12 1.5.1.8 Diferencia, diferencia simétrica y complemento 12 1.5.1.9 Ejemplos 13 1.5.1.10 Actividades sobre conjuntos 13 1.5.1.11 Propiedades de las operaciones booleanas entre conjuntos 13 1.5.1.12 Tablas de membresía 14 1.5.1.12.1 Actividad. Prueba por tablas de membresía. 16 1.5.1.13 Correspondencia y mapeo 16 1.5.1.14 Equivalencia 16 1.5.1.14.1 Propiedades y relaciones 16 1.5.1.14.2 Conjuntos equivalentes y números cardinales 17 1.6 Diagramas de Euler-Veen 18 1.6.1 Conjuntos y Diagramas de Veen 18 1.6.1.1 Actividades sobre conjuntos 21 1.6.2 Adecuación de los diagramas de Veen 22 1.6.3 Bibliografía sobre Teoría de Conjuntos 23 2 Proposiciones categóricas, conjuntos y diagramas de Veen 24 2.1.1 Cuadro de proposiciones categóricas simplificadas 25 2.1.2 Distribución 25 2.2 Contenido existencial del las proposiciones categóricas 25 2.2.1.1 Actividad. Falacias existenciales 28 2.3 Representación simbólica para las proposiciones categóricas 29 2.4 Diagramación para las proposiciones categóricas 31 2.4.1 Actividad. Representación de proposiciones categóricas 35 2.5 Silogística y diagramas de Venn 36 2.5.1.1 Graficación de Diagramas para silogismos categóricos 36 2.5.1.2 Pasos para su graficación 38 2.5.1.3 Representación de forma tradicional, boolena y diagramación 38 2.5.1.4 Simbolización y representación de la Premisa Mayor 38 2.5.1.5 Simbolización y representación de la Premisa menor 38 2.5.1.6 Ubicación de la conclusión y de la validez o invalidez del silogismo 39 2.5.1.7 Determinación de validez 42 2.5.1.8 Bibliografía 42 2.5.2 Actividades. Diagramas de Venn para silogismos categóricos. 43




1 Teoría de conjuntos

1.1 Introducción

El descubrimiento de la teoría de conjuntos se debe al matemático alemán de origen ruso:

George Ferdinand Lwdwig Cantor (1845-1918) el cual, después de una dura lucha entre los

años 1874 y 1887, consiguió ver aceptada su teoría entre la comunidad de los matemáticos y

los lógicos. El “horror infiniti” era lo común entre los matemáticos del siglo XIX que

consideraban que la noción de infinito actual pertenece a la provincia de la filosofía (Crosley,

J. N., 1972, p.147).

La noción de infinito tiene sus orígenes en el pensamiento religioso y fue introducida en la

ciencia por los griegos. El nacimiento de la teoría de conjuntos recibió un fuerte impulso desde

ciertas discusiones filosóficas acerca de la noción de infinito actual o real, discusiones que

se remontan a Aristóteles y se encuentran en sistemas teológicos como los de Agustín de

Hipona y Tomás de Aquino y en distintos filósofos como, Lucrecio, Hasdai Crescas, Gregorio

Rimini, Descartes, Spinoza, Leibniz, Locke, Kant, etc. (Cfr. Crosley, J. N., 1972, p.147;

Fraenkel, A. A., 1959, p. 10).

En el contexto matemático del siglo XIX el infinito aparece por lo general sólo en su forma

“potencial”1. Partiendo de esta forma, A. L. Cauchy y sus sucesores establecieron los

rigurosos fundamentos del cálculo en la primera mitad de ese siglo. El infinito potencial puede

ilustrarse mediante un ejemplo muy sencillo: la expresión 01

lim )( =→ ∞n

n [léase: el límite de

1/n, cuando n tiende al infinito es cero(o infinitamente pequeño)] no es más que la abreviatura

de la afirmación “puede hacerse que el cociente 1/n se aproxime a 0 con cualquier

precisión deseada si el entero positivo n se toma suficientemente grande. En esta

afirmación no se plantea lo “infinitamente grande” o lo “infinitamente pequeño”, y el

símbolo ∞ sirve tan sólo como la notación concisa (Fraenkel, A.A., 1959, pp. 9-10)

Esta línea o tradición matemática es propulsada por Gauss. En una carta a Schumacher en

1831: “En las matemáticas las magnitudes infinitas nunca pueden tomarse como algo final; el

infinito es sólo un façon de parler, que significa un límite al actual ciertas proporciones pueden

aproximarse tan cercanamente como se desee cuando se permite que otras se incrementen

indefinidamente” (Fraenkel, A. A., 1959, p. 10). Ante una autoridad como Gauss, la mayoría de

los matemáticos y científicos en general se adhirieron a esta tradición, lo que llevó a la

supresión, por un período de dos décadas, a la teoría del infinito real.

No obstante, la influencia directa sobre Cantor vienen de las argumentaciones acerca de las

propiedades paradójicas de la noción de infinito actual (en particular la equivalencia entre un

conjunto infinito y una parte propias del él mismos) contenidas en la obra póstuma del clérigo

B. Bolzano: Paradoxien des Unendlichen, publicada en 1850, donde utiliza por vez primera la

1 La noción de Potencia proviene de la tradición de la ontología aristotélica, entendiéndose como un

predicado del ser opuesto al acto. En este sentido potencia se entiende como la posibilidad de llegar a ser, en sentido aristotélico es un modo preparatorio del acto, en tanto este último es la existencia misma del ser o del objeto.




palabra “Menge” (conjunto). Cantor en 1870 partió de problemas matemáticos concretos en

la teoría de funciones de una variable real, problemas que implican distinguir un número finito o

infinito de puntos “excepcionales”, como, los puntos de discontinuidad. En 1883, publica el

quinto de sus artículos, denominado: “Sobre agregados infinitos lineales de puntos”(1879-

1884), donde escribe lo siguiente:

“La descripción de mis investigaciones en la teoría de los agregados ha alcanzado un

estadio donde la continuación de estas investigaciones ha venido a depender de la

generalización del concepto de entero positivo real más allá de los límites actuales; aun

generalización que toma una dirección que, hasta donde yo sé, nadie ha considerado

aún.

Dependo de esta generalización del concepto de número en tal medida que sin ella no

podría lograr libremente ni siquiera pequeños avances en la teoría de los conjuntos.

Espero que esta situación llegue a justificar, o a excusar de ser necesario, la

introducción en mis argumentos de ideas aparentemente extrañas. De hecho el

propósito no es otro que el de generalizar o extender la serie de de los enteros reales

más allá del infinito. Por atrevido que esto pudiera parecer, expreso no sólo la esperanza

sino también la firme convicción de que a su tiempo esta generalización será reconocida

como un paso natural, apropiado y bien sencillo. Con todo tengo plena conciencia de

que al adoptar tal procedimiento me coloco en oposición a los criterios más extendidos

respecto al infinito en las matemáticas, así como a las opiniones en boga sobre la

naturaleza del número” (Cfr. Fraenkel, A. A., 1959, p. 12).

No es extraño, pues, que las relaciones entre la filosofía y la teoría de conjuntos – y en

particular, las relaciones entre la teoría de conjuntos y la lógica- sean particularmente

estrechas. Precisamente y sobre esta base es que Cantor comienza a delimitar el concepto de

conjunto (1882, 1883). Las definiciones clásicas de Cantor sobre lo que es un conjunto,

pertenecen a 1895 y 1932, "Un conjunto es una colección como totalidad de objetos definidos

y distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Los objetos son llamados los elementos

(o miembros) del conjunto”(1932 )2.(Cfr. Crosley, J. N., 1972, p.147-148; Fraenkel, A. A., 1959,

p. 13-14).

No obstante se puso de manifiesto que esta definición de conjunto llevaba a ciertas

circularidades insalvables como lo son las paradojas de B. Russell y B. Burali Forti.

1.2 La paradoja de Burali-Forti

Esta es la primera paradoja descubierta en al época contemporánea (1895) y nace en el seno

de la teoría cantoriana de conjuntos (Heijenoort, J.V.1967,p.46). Esta es la paradoja del mayor de

los ordinales:

Todo conjunto bien ordenado tiene un número ordinal. Aún más el conjunto de todos los

ordinales es bien ordenado, por consiguiente el conjunto de todos los ordinales tiene un número 2 “Unter einer ´Menge´ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohluntersshidenen

Objekten m unserver Anschauung order unseres Denkens (welche die Elemente von M genannte warden) zu einem Gazen(1932). Gesammelte Abhandlugen mathematischen un philosophischen Inhalts. E. por E. Zermelo, Berlín. 1961




ordinal, digamos Ù. Pero el conjunto de todos los ordinales hasta e incluyendo un ordinal dado, es

bien ordenado; así que tiene un número ordinal que excede en uno al ordinal dado, en

consecuencia, el conjunto de todos los ordinales, incluyendo W tiene el número ordinal Ù + 1,

que es el mayor. Por consiguiente , Ù no es número ordinal de todos los

ordinales(Suppes, P.,1960,p.7).

Cesare Burali Forti publicó esta paradoja en una memoria titulada: “Una questioni sui numeri

transfiniti” (Una cuestión sobre los números transfinitos), utilizando el formalismo introducido por

Peano. La paradoja conlleva un verdadero absurdo. Su publicación provocó algunas discusiones

entre los matemáticos, y en particular Poincaré presentó en Ciencia y método una discusión de

esta paradoja, cuya existencia parecía imputar a la lógica simbólica, además de formular algunas

exigencias a los que quisieran utilizar correctamente el lenguaje de la lógica. Hadamard también

se ocupó de esta contradicción de la teoría cantoriana de conjuntos, y llegó a la conclusión de que

había que rechazar la existencia de una colección de todos los ordinales en un conjunto. A partir

de ese momento se descubrieron otras paradojas por el el mismo Cantor, Dedikind y la de Russell,

que se presenta a continuación.

1.3 La paradoja de Russell (1902)

La paradoja de Russell, surge al plantearse la existencia del Conjunto de todos los conjuntos que

no son elementos de si mismos. Russell realiza la siguiente división:

� (1) El conjunto de los elementos que no son elementos de si mismos y,

� (2) El conjunto de los elementos que son elementos de si mismos.

Así, la clase de los objetos abstractos, al ser el mismo un objeto abstracto, es miembro de si

mismo y por ello es del tipo 1. No pasa así con la clase de los Ornitorrincos, no es en si

misma un Ornitorrinco y por ende pertenece a 2. Ahora bien, sea la clase r, la "clase Russell", es

definida por las siguientes condiciones:

(1) para cada x, x∈r si y solo si x ∉ x

(O sea, para cada x, x pertenece a la clase de las clases que no se pertenecen a si mismas, si y

solo si x no se pertenece a si mismo)

Por sustitución se obtiene:

(2) r ∈ r si y solo si r ∉ r

(O sea, la clase de las clases que no se pertenecen a si mismos, se pertenece a si misma, si y

solo si no se pertenece a si misma.)

En breve, si la clase de las clases que no se pertenecen a si mismas se pertenece a si misma,

entonces no debería pertenecerse a si misma; pero si no se pertenece a si misma, debería

pertenecerse a si misma (Heijennoort, J. V.,1967,p.46).

Estas paradojas conmovieron a los matemáticos hasta el punto que Dedekind, por ejemplos se

desanimó tanto que retrasó a sabiendas durante ocho años la publicación de la tercera edición de

su obra: “Was sin und was solleb di salen”(La naturaleza y el significado de los números).

Algunos de ellos, perplejos ante las mismas, aceptaron compromisos no sólo a nivel de la teoría

de conjuntos, sino también en partes importantes de análisis. Otros, por fin, entre ellos hay que




contar a Zermelo y Russell, decidieron emprender una revisión sistemática de la teoría de

conjuntos, el primero de ellos elaborando una axiomatización, y el segundo con la

colaboración estrecha de Whithead, llevando a cabo una sistematización de las matemáticas en el

monumental tratado de Principia mathematica(1910-1953) (Collete, J. P., 1975, pp.552-557).

Ante la aparición de paradojas se propusieron en la primera década del siglo XX, tres vías de

solución independientes.

1.4 Propuestas de solución a las paradojas

1.4.1 Intuicionista

Sostenida por el matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), que

reafirmaba la opinión kantiana que los juicios matemáticos son sintéticos y a priori3 (Church,

A., Matemática, en: Runes, D. D., 1960, p. 241). El intuicionismo incorpora una teoría distinta

de los fundamentos del análisis y que, como es sabido, vacía en gran manera la teoría de los

conjuntos. Estos no responden a las paradojas de una manera tajante: se ha tratado de

abusos y extralimitaciones de la lógica y el lenguaje. Cuando la lógica y el lenguaje han

dejado de corresponder con la verdadera matemática es que se suceden las paradojas (Ruiz

Z., A, 2003, p. 543). En este sentido, se rechaza las definiciones impredicativos (-concepto

que había sido introducido por Poincaré en 1906, que son aquellas que definen un miembro

concreto de cualquier clase en la que se hace referencia a la totalidad de los miembros de

dicha clase. Poincaré consideró circularmente viciosas estas definiciones, por lo que no

debían admitirse-) (Church, A., Definición impredicativa, en:: Runes, D. D., 1960, p. 186).

Asimismo se rechaza el supuesto de que todas las cosas que satisfacen una condición dada

puedan reunirse en un conjunto al que tratar como cosa individual. Además se rechaza la ley

de tercero excluido, aplicado enunciados que incluyan conjuntos infinitos. No son aceptables

expresiones como: “Todo número par mayor de que 2 puede expresarse como la suma de

dos primos”, porque hay infinitos números primos mayores que 2 y es imposible examinarlos

todos, uno por uno y decidir si son o no la suma de dos números primos(Church, A.,

Intuicionismo matemático, en: Runes, D. D., 1960, pp. 195-196)

1.4.2 Teoría de tipos de Russell

Salva las paradojas, partiendo del rechazo del rechazo definiciones impredicativas. Esta teoría

fue incorporada a los Principia Mathematica (1910-13). Consistía en una Teoría simple de los

Tipos lógicos a la cual se superponía una teoría ramificada.

1.4.2.1 Teoría simple de los tipos

Divide el universo del discurso en una jerarquía:

TIPO 0: Individuos X0

TIPO 1: Conjuntos de Individuos X1

TIPO 2: Conjuntos de conjuntos de Individuos X2

3 I. Kant, en su obra Crítica de la Razón Pura (1781), establece que el conocimiento se dan en dos tipos de

juicios: los anlíticos y los sinteticos, los primeros se establece que el predicado se encuentra contenido en el sujeto(son explicativos) los sintéticos son aquellos en que el prdicado se encuentra fuera del contenido del sujeto. Estos últimos pueden ser a priori y a posteriori .Los juicios sintéticos a priori son necesarios y universales, y son los juicios del conocimiento científico.




. .

. .

TIPO N: Conjunto de conjuntos de.... X3

Las reglas de formación se restringen de tal manera que la formula:

"X e Y" , estará bien formada solo si el índice de tipos de " Y " es superior en uno al de "

X ". Así por lo tanto, la fórmula: " X e X " está mal formada, y la propiedad de no ser

miembro de si mismo, esencial en la paradoja de Russell, no puede expresarse

(Hack,S.,1978, Idem).

1.4.2.1.1 Teoría ramificada de tipos lógicos

Esta también se refiere a una jerarquía de órdenes, pero ahora sobre las "

Proposiciones "(oraciones cerradas) y "Funciones proposicionales" (oraciones abiertas).

Se tendrá también la restricción de que ninguna proposición (función proposicional) podrá ser

"acerca de". Es decir, un cuantificador no podrá abarcar proposiciones (funciones

proposicionales) del mismo orden o superior que el suyo propio. Esta teoría se aplica a las

paradojas criterios de "verdad" y "falsedad" autoreferentes. Así una proposición del orden n,

será verdadera o falsa en el orden n+1. La teoría ramificada de los tipos fue desarrollada

posterior a Russell por Leon Chwistek, en 1921, y F. P. Ramsey, en 1926. Por otro lado, Norbert

Wiener en 1914 y Kazimierz Kuatowski en 1921 mostraron que los predicados poliádicos pueden

se definidos en términos de predicados monádicos. Esto posibilitó presentar la teoría de una

forma simplificada (Ferrater, M., J y H. Leblanc, 1955, p.166-167).

Las teorías de los tipos resolvían entonces el problema de las paradojas surgidas en el

contexto de la teoría cantoriana de conjuntos, pero pagando como precio ciertas

consecuencias como afirmaba Quine “innaturales e inconvenientes”, como es el caso que la

teoría no permite que una clase tenga más que miembros de un tipo, la clase universal origina

una serie infinita de clases cuasi-universales para cada tipo y, en cada tipo, naturalmente.

1.4.3. Enfoque axiomático.

Donde los axiomas restringen lo que sea un conjunto sin necesidad de proporcionar una

definición directa (Cf. Crosley, J. N., 1972, p.147-148). La teoría de conjuntos del matemático

alemán Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953), evita la división de las clases pero

impone restricciones en otra dirección. Zermelo establece un repertorio de axiomas destinado

a salvar las paradojas de la teoría de conjuntos4. A diferencia de los intuicionistas, sigue

considerando la teoría de conjuntos como la más fundamental de los apartados de la

matemática. Zermelo sugería la necesidad de reconstruirla sobre la base de una serie de

principios capaces de sostener la doctrina generalmente aceptada, pero elegidos de tal modo

que no dieran lugar a contradicciones. A estos efectos, reconocía la imposibilidad de probar la

consistencia de sus axiomas, pero alegaba que estos últimos permitían al menos soslayar las

antinomias recientemente descubiertas. El rasgo esencial del método propuesto consiste en la

restricción de la libertad con que Cantor hablaba de conjuntos, dando entrada en la teoría sólo

4 “Über die Grundlagen der Mengenlerhre”, Mathematische Annalen, LXV, 1908, pp. 261-81




aquellos conjuntos cuya existencia se halle garantizada por sus axiomas ( (I)determinación,

(II)conjuntos elementales, (III)selección, (IV)conjunto-potencia, (V)conjunto-unión,.

(VI)Elección, (VII) Infinitud). En la teoría de Zermelo no hay distinción de tipos, pero evitan las

contradicciones conocidas considerando permisibles sólo aquellos conjuntos que no sean

demasiado vastos. En particular, el dominio de los conjuntos no puede, a su vez, ser admitido

como un nuevo conjunto ( Kneale, W y M, 1972, pp. 633-635).

1.5 Los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos:

1.5.1 Conjunto

La siguiente definición fue formulada por el creador de la teoría de conjuntos, George

Cantor.

a. Definición 1:

"Un conjunto es una colección como totalidad de objetos definidos y distintos de

nuestra intuición o nuestro pensamiento. Los objetos son llamados los elementos (o

miembros) del conjunto”(1932 )5 .

En este sentido se dice que un conjunto contiene a sus elementos, o que los elementos

pertenecen al conjunto. Así, el término “definido” significa que, dado un conjunto C, debería

ser posible decidir para cualquier objeto(al menos en principio) si pertenece o no a C, aun

cuando no podemos de hecho afirmar cuál de los dos sea el caso. “Distintos” significa que

todos los elementos del mismo conjunto son diferentes, es decir que un cierto objeto está o no

contenido en un conjunto dado, pero que no está contenido “repetidamente”.

� Elemento: como cada uno de los objetos definidos y distintos que constituyen un

conjunto.

� Pertenencia: es la relación que se da de los elementos con el conjunto que forman.

Es posible estipular una convención para simbolizar, conjuntos elementos y pertenencia. Se

utilizan letras minúsculas para los elementos, mayúsculas para los conjuntos y un símbolo

especial para la pertenencia.

De modo que el hecho de que b sea un elemento del conjunto A, se escribirá

Ab∈

que se lee "b pertenece a A" y si por el contrario escribimos

Ab∉

se leerá "b no pertenece a A", es decir, el objeto b no es un elemento del conjunto A.

1.5.1.1 Definiciones de los conjuntos por extensión o intensión

Un conjunto viene determinado por los elementos que lo componen por lo que una manera de

definir un conjunto, consiste en escribir todos sus elementos; se denomina definición por

5 “Unter einer ´Menge´ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohluntersshidenen

Objekten m unserver Anschauung order unseres Denkens (welche die Elemente von M genannte warden) zu einem Gazen(1932). Gesammelte Abhandlugen mathematischen un philosophischen Inhalts. E. por E. Zermelo, Berlín. 1961




extensión.

Un conjunto viene determinado por los elementos que lo componen y esto se puede denotar

encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión(escribir todos sus

elementos), o su propiedad característica, si se define por comprensión o

intensionalmente..

Ejemplos:

� A := {1,2,3, ... ,n} Por extensión

� B := {p ∈ Z | p es par} Por intensión o comprensión

Ejemplos por intensión y sus referentes por extensión:

� U = { X | X son los días de la semana } = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,

sábado, domingo }

� A = { X | es semana inglesa } = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes };

� B = { X | es día impar (empezando con lunes) } = { lunes, miércoles, viernes, domingo }

� C = { X | X es el día de la semana, cuya palabra tiene un número de letras menor que

9 } = { lunes, martes, jueves, viernes, sábado, domingo }

Ejemplo :

El conjunto S de los números naturales menores que 6, está formado por los números:

0,1,2,3,4 y 5 lo que se indicará con el símbolo:

S = {0,1,2,3,4,5}

verificándose que 0 ∈ S y 7 ∉ S.

Sin embargo, es falso que {0} ∈ S dada la distinción existente entre el 0 como elemento del

conjunto S y el conjunto que se puede formar con el 0 como único elemento; aunque todo

conjunto puede ser elemento de otro y así, si se define como conjunto T:

T = {0, 1, 2, 3, 4, 5, {0}} se puede escribir que 0∈ T y {0}∈ T

Ejemplos de conjuntos:

o Ø : el conjunto vacío, que carece de elementos.

o N: el conjunto de los números naturales.

o Z: el conjunto de los números enteros.

o Q : el conjunto de los números racionales.

o R: el conjunto de los números reales.

o C: el conjunto de los números complejos.

1.5.1.2 Conjunto Finito, Infinito

Es posible distinguir distintos tipos de conjuntos. La primera distinción relevante es entre

conjuntos finitos e infinitos en el sentido obvio de que un conjunto C es finito si hay un entero

positivo n, tal que C contienen exactamente n, y no más, elementos diferentes; de otro modo

C es infinito.

1.5.1.3 Conjunto nulo o vacío

En este sentido, se puede distinguir un conjunto impropio que no contiene miembros en




absoluto. A este conjunto se le denomina: conjunto nulo, o conjunto vacío, y se le denota por

Ø.

Si A es un conjunto cualquiera, la proposición: Ø ⊄ A es falsa, ya que, si fuera verdadera,

habría algún elemento de Ø. que no sería elemento de A, cosa imposible pues no tiene ningún

elemento. Según los principios de no contradicción y del tercio excluido es verdadera la

proposición Ø ⊆ A.

1.5.1.4 Subconjunto, propio, igualdad

Definición I: Si S y T son conjuntos y si todo elemento de S pertenece también a T, se

dice que S es un subconjunto de T. En particular, S es un subconjunto propio de T, si T

contiene al menos un elemento que no pertenece a S.

Se escribe S ⊆ T (S es un subconjunto de T) o

S ⊂ T (S es subconjunto propio de T) y, en caso contrario: A ⊄ B.

1.5.1.5 Contener e incluir

Un conjunto contiene sus elementos e incluye sus subconjuntos

1.5.1.6 Igualdad

Se dice que los conjuntos S y T son iguales (S = T) si cada uno es subconjunto del

otro, es decir contienen los mismos elementos. De otra manera se dice que son diferentes ( S

≠ T).

La relación de igualdad definida aquí no es una identidad en el sentido de Leibniz

(identitas indescernibilium, es decir los objetos que no pueden ser distinguidos unos de

otros son idénticos) de la misma manera que la relación 2 = 6/3 no expresa identidad. Por

tanto, la definición no implica necesariamente que siempre que S = T, S y T sean ellos

elementos de exactamente los mismos conjuntos. La relación “=” sólo denota igualdad de

extensión o extensionalidad. De esto se puede poner por ejemplo que: el conjunto de los

números primos pares es igual al conjunto cuyo único elemento es 2.

Otro ejemplo surge en el contexto de la historia de las matemáticas del siglo XIX. A

principios de ese siglo, se descubrió, para la sorpresa del mundo matemático, que no todas las

ecuaciones algebraicas pueden ser resueltas “algebraicamente” (esto es, por medio de las

cuatro operaciones elementales y por extracción de raíz), sino, en general, sólo las ecuaciones

de grado 1, 2, 3, 4, en otras palabras, el conjuntos G de los grados de las ecuaciones

resolubles en forma general es igual al conjunto F cuyos elementos son los enteros 1, 2, 3 y 4.

Sin embargo, la afirmación “en el siglo XVIII se desconocía si el conjunto G era igual al

conjunto F” (es decir, si la ecuación general de grado 5, por ejemplo, tenía o no solución)

es verdadera. Con todo, si en esta afirmación reemplazamos G por el conjunto F que le es

igual, se obtiene un absurdo.

De acuerdo con lo estipulado, un conjunto está completamente determinado (en sentido de

distinguirse de otros conjuntos) por la totalidad de sus elementos. Por tanto, el conjunto cuyos

elementos son exactamente a, b, c, d,… puede ser y será denotado por




{a, b, c, d,…}

El orden de los elementos dentro de las llaves: { } es arbitrario; por ejemplo, { 1, 2, 3 } = {

3, 2, 1 }. En particular, se sigue que existe un único conjunto nulo Ø. Si C es infinito, los puntos

(…) son inevitables y en cada caso particular se asume que si significado es obvio; por

ejemplo, el conjunto de todos los enteros positivos se denota por {1, 2, 3, … }, el conjunto de

todos los pares por {2, 4, 6, … }. El uso de los puntos también es conveniente para conjuntos

finitos que contienen “muchos” elementos.

Pueden darse ejemplos de conjuntos finitos con cualquier número deseado de elementos,

digamos n,

{1, 2, 3 , …, n} o { 0, 1, 2,…, n-1 }

Un ejemplo sencillo de un conjunto infinito es el con junto de todos los enteros positivos.

Otra instancia aparentemente sencilla o intuitivamente obvia es el continuo – por ejemplo el

conjunto de todos los puntos (matemáticos) situados en un segmento de un círculo o de una

línea recta infinita.

TABLA 1 ___________________________________________________

Propiedades de la igualdad e inclusión de conjuntos

• Reflexiva : A = A y A ⊆ A

• Simétrica : A = B ⇒ B = A

• Antisimétrica : (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇔ A = B

• Transitiva : (A = B ∧ B = C ) ⇒ A = C

A ⊆ B y B ⊆ C implican A ⊆ C 6

Para la última propiedad de la tabla anterior: la transitiva de la inclusión resulta de considerar

que si A ⊆ B, entonces todo elemento de A pertenece a B; y si B ⊆ C, todo elemento de B, y

por tanto los de A, pertenecen a C; luego, A ⊆ C.

1.5.1.7 Conjunto potencia, particiones y Conjunto Universo

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama particiones de A, y se

denota P(A), o conjunto potencia de A. Se le denota como N2 .

Ejemplos:

a).- Si A = { 1, 2 } como podemos ver el conjunto tiene dos elementos y el conjunto potencia

tendrá 422 = elementos y son:

{ }{ }{ }{ }∅= ,2,1,2,12N

b).- Si ahorra el conjunto N consta de tres elementos el, N = {1,2,3}, el conjunto potencia tendrá

8 elementos y son:

{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }∅= ,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,2,12N

c) Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} el conjunto de todos los subconjuntos de A que se pueden

6 Simbología: ∧ : conjunción(y), ⇒ : implicación(si..entonces), ⇔ : bimplicación (si y sólo si, equivalencia)




construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia, es el siguiente:

N2 ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},

{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},{2,8,4,3,},

{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}

Teorema: Si un conjunto N es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia N2

tendrá n2 elementos.

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado

U, se suele considerar a dicho U como conjunto universo o de referencia.

1.5.1.7.1 Unión e intersección de conjuntos

La unión (suma) (símbolo: U ) y la intersección (producto interior) (símbolo: I ) de

dos conjuntos C1, C2 se definen, respectivamente como el conjunto que contiene todos los

elementos de C1 o C2 (o de ambos) y como el conjunto que contiene todos los elementos que

pertenecen a ambos, a C1 y a C2. La unión corresponde así a la operación lógica “o” no

exclusiva (disyunción; vel en latín) (símbolo: ∨ ), y la intersección a la operación “y”

(conjunción)(símbolo: ∧ ). Para garantizar la existencia de la intersección en todos los caso,

aun cuando C1 y a C2 sean ajenos (sin elementos en común), se debe admitir al conjunto nulo.

Definiciones comprensivas:

A U B : = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Unión

A I B := {x | x ∈A ∧ x ∈ B} Intersección

Las operaciones de unión o intersección pueden extenderse fácilmente de dos conjuntos a un

número finito de conjuntos, a una sucesión infinita de conjuntos (C1, C2,… Ck,… )7, e incluso

cualquier conjunto de conjuntos. Ambas operaciones son conmutativas y asociativas, y se

hallan conectadas por dos leyes distributivas.

1.5.1.8 Diferencia, diferencia simétrica y complemento

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B = {a ∈A | a ∉ B}. Asimismo,

se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A ∆ B = (A - B) U (B - A). Si A ∈ P (U),

a la diferencia U - A se le llama complemento de A respecto de U, y se denota

abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano). Si A y B son subconjuntos

cualesquiera de U se verifica:

o Ø ' = U.

o U ' = Ø.

o (A')' = A.

o A ⊆ B ⇔ B' ⊆ A’.

o Si A = {x ∈ U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = {x ∈U | p(x)

es una proposición falsa}. 7 En una sucesión el orden de los elementos es importante, en contraste con el caso de los conjuntos, donde

el orden es irrelevante; el conjunto Ck arriba mencionado es el elemento k-ésimo de la sucesión. Los paréntesis ( ), denotan sucesiones.




Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A

I B'.

1.5.1.9 Ejemplos

Dados tres conjuntos A, B, C siguientes:

Es posible establecer lo siguiente: A unión con B y A intersección con C da como resultado los siguientes conjuntos:

Asimismo A intersección con B e intersección con C

El Conjunto Universal para ambos queda definido como el siguiente:

También es posible establecer el conjunto diferencia de A con B y de B con A de la siguiente: manera: A -B = {1,3,5} B - A = {6,8} 1.5.1.10 Actividades sobre conjuntos

1) Desarrolle una respuesta para cada uno de los siguientes puntos.

a) ¿A quien se le considera el padre de la Teoría de Conjuntos?

b) ¿Qué es un conjunto?

c) Definir la intersección entre conjuntos.

d) ¿Cuál es la diferencia entre una intersección y una unión?

e) ¿Cuál es la diferencia entre complemento y diferencia de conjuntos?

f) ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f,

o}?

g) Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

h) ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}

i) Obtener la diferencia A - B si A = {c, o, r, a, z, n} y B = {h, i, p, e, r, t, n, s, o}

2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?

a) A = { x I x es día de la semana}

b) B = { vocales de la palabra conjunto}

c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}

d) D = {x I x es un número par}

e) E = {x I x < 15}

1.5.1.11 Propiedades de las operaciones booleanas entre conjuntos

En este caso, las llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las

siguientes propiedades:




PROPIEDADES

UNION

INTERSECCION

1.- Idempotencia A ∪ A = A A ∩ A = A

2.- Conmutativa A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

3.- Asociativa A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

4.- Absorción A ∪ ( A ∩ B ) = A A ∩ ( A ∪ B ) = A

5.- Distributiva A ∪ ( B ∩ C ) =

( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

A ∩ ( B ∪ C ) =

( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

6.- Complementariedad A ∪ A' = U A ∩ A' = Ø

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una

estructura de álgebra de Boole. Además de éstas, se verifican también las siguientes

propiedades:

A ∪ Ø = A,

A ∩ Ø = Ø

Elemento nulo

A ∪ U = U,

A ∩ U = A Elemento universal

(A ∪ B )' = A' ∩ B'

( A ∩ B )' = A' ∪ B' Leyes de Morgan

1.5.1.12 Tablas de membresía

Las identidades entre conjuntos se pueden demostrar utilizando tablas de membresía.

Consideramos cada combinación de conjuntos a la que puede pertenecer un elemento y

verificamos que los elementos de una misma combinación de conjuntos pertenecen a ambos

conjuntos de la identidad. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa un 1.

Para indicar que elemento no está en el conjunto se usa un 0. Así es posible establecer las

siguientes tablas de verdad:

Tabla de Membresía para A´

(Complemento de A)

A A´

1 0

0 1

Tabla de Membresía para BA ∪ A B BA ∪ 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0




Tabla de Membresía para BA ∩ A B BA ∩ 1 1 1 1 0 0 0 1 O 0 0 0

Con base en las tablas de membresía anteriores para conjuntos complementarios, unión o

intersección es posible probar identidades, para cualquier conjunto dado. Así para probar:

, se realiza la siguiente tabla de membresía:

A B C

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Esta tabla de membresía anterior, muestra combinaciones de conjuntos. Esta tabla tiene ocho

filas. Como las columnas: y son idénticas, entonces la

identidad es válida.

Otra identidad que puede ser probada por una tabla de membresía es la siguiente:

)( CBA ∩∪ = ( ) ( )CABA ∪∩∪ :

A B C CB ∩ )( CBA ∩∪ BA ∪ CA ∪ ( ) ( )CABA ∪∩∪

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

En este caso es posible comparar la columna de: )( CBA ∩∪ y la de ( ) ( )CABA ∪∩∪ y

se puede descubrir que son las mismas, por lo tanto se cumple la identidad. En caso contrario

no lo serían. Así por ejemplo BA ∪ ≠ CA ∪ , se demuestran su no identidad por la tabla de




membresía anterior, pues las columnas no son las mismas. Y así en lo sucesivo se pueden

realizar o no por medio de tablas de membresía, prueba de identidad o no identidad para

cualquier otro conjunto (Cfr. Rosen, K., 2003, pp. 71-87; Gill, A., 1976, pp. 11-15).

1.5.1.12.1 Actividad. Prueba por tablas de membresía.

Probar por medio de tablas de membresía las propiedades sobre las operaciones booleanas

entre conjuntos, establecidas en la tabla anterior.

1.5.1.13 Correspondencia y mapeo

Si cada elemento t de un conjunto T, hablamos de una correspondencia univalente

(unívoca). No obstante, el mismo t puede corresponder a diferentes elementos s, como en el

caso de la relación padre e hijo ( t es el padre de s). Aun cuando esta clase de correspondencia

es fundamental para la teoría de las funciones (“función univalente”), en lo que sigue estaremos

mucho más interesados con una especialización adicional, a saber, correspondencias uno a

uno (biunívocas), por medio de las cuales un único t de T corresponde a cada s de S y, más

aún, un único s corresponde a cada t; esto es, los miembros de S pueden ser apareados con

aquellos de T. En otras palabras, la correspondencia univalente es entonces también invertible

en forma única.

La correspondencia entre esposos y esposas es biunívoca en una sociedad monogámica

pero sólo unívoca en un poliándrica. A la correspondencia uno a uno de los miembros de T con

aquellos de S se llama también un mapeo de T sobre S, o entre S y T. La última expresión se

justifica por la simetría entre S y T, basada en el carácter biunívoco de la correspondencia.

1.5.1.14 Equivalencia

Definición: S es equivalente a T, en símbolos S≡ T , si existe un mapeo del conjunto T

sobre el conjunto S.

Obviamente, cualquier conjunto es equivalente a sí mismo ( S≡ S ); más aún, S≡ T implica T≡ S dada la simetría del mapeo. De las relacione S≡ T s y T≡ U se sigue que S≡ U en

vista de la existencia de mapeos simultáneos de S sobre T y de T sobre U. Estas tres propiedades

de S≡ T se expresan definiendo que la relación de equivalencia como: reflexiva, simétrica y

transitiva. Claramente, la relación de igualdad tiene estas mismas tres propiedades.

Debido a la simetría, S≡ T pueden también expresarse diciendo que “S y T son

equivalentes”.

Si S contiene más de un miembro, entonces varios mapeos entre S y cualquier conjunto

equivalente, y habrá un número infinito de ellos en caso de que S sea un conjunto infinito.

Si S contienen más de un miembro, entonces existen varios mapeos entre S y cualquier

conjunto equivalente, y habrá un número infinito de ellos en caso de que S sea un conjunto infinito.

1.5.1.14.1 Propiedades y relaciones

“x es un número primo” es una propiedad (de enteros x) o en términos generales un

predicado monádico. “ x≡ y ” y “x es menor que y” son predicados diádicos o, por concisión,

relaciones (binarias). Esta distinción entre las proposiciones no se revela por lo general en la




estructura gramatical de las proposiciones correspondientes y así fue pasado por alto por los

lógicos, desde Aristóteles hasta la segunda mitad del siglo XIX. Sólo con el desarrollo de la lógica

simbólica, y en particular debido al trabajo de Bertrand Russell, percibieron los matemáticos y los

lógicos la diferencia fundamental entre propiedades y relaciones ( binarias, ternarias, …n-arias).

Relaciones ternarias son, por ejemplo, expresiones tales como “x + y = z” o “ y se encuentra

entre x y z (donde x, y, z, son puntos en una línea).

La distinción entre una propiedad y una relación (binaria) puede hacerse notar en la siguiente

historia jocosa. Una mujer visita a su amiga que a dado a luz unos gemelos y dice “tus criaturas

están tan preciosas , en particular la de la izquierda”. Más tarde otra amilla llega y dice “tus

criaturas son tan parecidas, en particular la de la izquierda. Gramaticalmente, los dos enunciados

tienen la misma estructura, pero, “ser precioso” es una propiedad y “ser parecido” es una relación.

1.5.1.14.2 Conjuntos equivalentes y números cardinales

La importancia del concepto de correspondencia uno a uno para el concepto de número,

entendiendo por ello número cardinal finito, fue señalada por Descartes, y más notablemente por

Hume. Así, el número cardinal 5 es común a todos los conjuntos que son equivalentes al

conjunto de los dedos de una mano humana, o equivalentes al conjunto {0,1,2,3,4}. Habiendo

admitido al conjunto vacío Ø, también admitimos al número 0 como el cardinal de Ø.

Definición de cardinalidad (primera aproximación) A: Conjuntos equivalentes tienen

cardinales iguales y, conversamente, todos los conjuntos con cardinales iguales son

equivalentes.

No obstante, esta primera definición no hace una definición explícita de número cardinal.

Cantor trató de remediar esta deficiencia por medio de una definición por abstracción8, que

dice: El término “cardinal” significa el concepto que “a través del proceso de pensamiento”

se deriva de un conjunto C, al hacer abstracción de la cualidad de los miembros de C y del

orden en que son dados El resultado de este doble acto de abstracción el cardinal o

potencial de C, se denota por C

Definición de cardinalidad (segunda aproximación) B: El cardinal de C es el conjunto de

todos los conjuntos que son equivalentes a C.

Esta definición se originó en Frege (1884) y Russel (1903/10). No obstante puede conducir a

inconvenientes círculos viciosos, típico de las paradojas, similares suscitadas a partir de la

definición de Conjunto de Cantor. En este sentido se han plateado varias objeciones provenientes

de algunos filósofos contra la Definición A o la B, queda tan sólo el punto respecto a la B de que

difícilmente definiría ordinariamente se entiende por número cardinal y, por lo tanto, que la

definición no sería “aplicable”. Esta objeción revela una completa incomprensión de la naturaleza

de una definición. No se trata de una afirmación que pueda ser verdadera o falsa, sino de una

estipulación que, en principio, es arbitraria y puede venir a ser más o menos útil. La definición B,

a pesar de su novedoso carácter, puede usarse muy fácilmente. En cuanto a su naturaleza

8 Las definiciones por abstracción, usadas esencialmente ya por Leibniz, constituyen una importante

especialización de un tipo general de definiciones algunas veces llamadas “definiciones matemáticas constructivas”.




abstracta, esto lo comparten las definiciones de conceptos tales como “continuo”, “dimensión” y

otros. Se habían considerado estos conceptos como intuitivamente claros pero, debido al creciente

desarrollo de la ciencia, se vio que requerían de un análisis profundo. A propósito, e analogía con

B, un número real se define como un conjunto infinito de números racionales.

Tanto en la Definición A como en la Definición B no se ha hecho ninguna asunción respecto al

carácter finito de los conjuntos implicados, ambas son también adecuadas para definir los

cardinales de conjuntos infinitos, usualmente llamados cardinales transfinitos en contraste con

los cardinales finitos 0, 1, 2, 3,… Pero la posibilidad de definir los cardinales transfinitos de esta

manera no implica que este concepto tenga un significado real.

1.6 Diagramas de Euler-Veen

Un diagrama de Euler-Venn tiene como fin representar clases de objetos o de cosas, que como

elementos de un conjunto tienen alguna característica en común. Así por ejemplo, puede

pensarse en el conjunto de las letras que tienen en común ser vocales: { }uoiea ,,,, ,cuyo

respectivo diagrama conjuntista sería:

Originalmente Leonard Euler propuso el siguiente tipo de diagramas para representar las

clases S y P:

El problema de los diagramas de Euler es que algunas veces las proposiciones categóricas

enlazan dos términos de igual extensión. En este caso, el modelo debería ser un círculo con

otros dos círculos concéntricos de igual radio. Por ello, acabaron por imponerse los diagramas

de Venn.

1.6.1 Conjuntos y Diagramas de Veen

John Venn (1834-1923) en su libro Lógica Simbólica, clarifica ideas presentadas originalmente

por Boole. En este libro presenta un desarrollo sistemático de un método de un método que

utiliza figuras geométricas, conocido como diagramas de Venn. Hoy día estos diagramas son

una herramienta primordial para analizar argumentos lógicos e ilustrar relaciones entre

conjuntos.

En este mismo sentido la teoría intuitiva de conjuntos acude a los diagramas de Veen para

realizar las representaciones de sus objetos. Así, los conjuntos de suelen representar

gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos. Así,




todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de

obtener una idea más intuitiva. Los siguientes, son una serie de diagramas, que utilizan los

métodos tradicionales en Teoría de Conjuntos, que supone que cada círculo simboliza una

clase, si este círculo se encuentra vacío, se trata de una clase sin elementos y se ha sido

rellenada o coloreada, entonces esa clase se considera no vacía. Esta convención no

diferencia entre clases totales y clases con algún o algunos elementos.

Elementos de A:

{ }AxxA ∈= |

Subconjunto A de B: BA ⊂

{ }BxAxxBA ∈→∈=⊂ |

Unión entre A y B: BA ∪ :

Unión entre A, B y C: CBA ∪∪

{ }CxBxAxxCBA ∈∨∈∨∈=∪∪ |




Intersección entre A y B:

Intersección entre A y B: ∅=∩ BA

{ }BxAxxBA ∉∧∉=∩ |

Intersección entre A, B y C: CBA ∩∩

{ }CxBxAxxCBA ∈∧∈∧∈=∪∪ |

Diferencia de A con B: A – B:

Diferencia de B con A: B – A

{ }BxAxxAB ∈∧∉=− |




Complemento de A, con A´:

{ }UxAxxA ∈∧∉=′ |

Complemento del complemento de A: ( A´ )´:

( ) AA =′

′

Casos derivados: Intersección de C con A´ :

AC ′∩

El caso: ( ) CBA ′∪∩ , sería el siguiente:

1.6.1.1 Actividades sobre conjuntos

1. Por medio de los diagramas de Venn, represente los siguientes conjuntos:

a) CBA ∩∩

b) CBA ∩∩

c) ( )CBA ∩∪




d) ( )CBA ∪∩′

e) ( )BAC ′∪∩

2. Determinar por medio de diagramas de Venn, si se cumplen las siguientes

igualdades

a) )( CBA ∩∪ = ( ) ( )CABA ∪∩∪

b)

c) ( ) ( ) ( )BABABABA ∩∪∩′∪′∩=∪

d) ( ) BACBA ∪=−∪

e) ( ) ( ) ∅=−∩− BCCA

1.6.2 Adecuación de los diagramas de Veen

Con el propósito de poder dar cuenta de las diferencias entre clases vacías, indefinidas y

clases con algún y algunos elementos se reformulará la diagramación anterior, -en el contexto

de la propuesta de Venn y para dar cuenta de las formulaciones algebraicas de George Boole-,

introduciendo las siguientes convenciones.

Conjunto Complementario. En el diagrama, el área exterior del círculo indica la presencia de

todos aquellos individuos que no son S. En el diagrama ese hecho lo denota _S o también

como ~S, es decir No-S o complemento de S.

Conjunto Universo. El conjunto universal (o universo), Universo-discurso o dominio es

denotado por U. Este puede ser asumido como el “Super-conjunto”, o unión entre el conjunto S

y _S (S y su complemento):




Clase Neutra. Este Diagrama de Venn representa a la clase neutra de los S. En el caso de que

existan, los miembros de ese círculo, serían siempre S.

.

Clase vacía. El sombreado interior del círculo nos indica que no contiene nada. Es decir, el

círculo está vacío de individuos que sean S.

Clase no vacía. La presencia de la "x" en el interior del círculo nos indica que existe al menos

un elemento en la clase S, es decir, que la clase de los S no está vacía.

1.6.3 Bibliografía sobre Teoría de Conjuntos

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• Ferrater Mora, J. y H. Leblanc (1955). Lógica Matemática. México: Fondo de Cultura

Económica.2da ed.(1962/83)p.164

• Feys, R., F. B. Ficht (1980).Los símbolos de la Lógica Matemática. Madrid: Paraninfo

• Fraenkel, A. (1959/66). Teoría de Conjuntos y Lógica. México: UNAM, 1976

• Garrido, Manuel (1974).Lógica Simbólica. Madrid: Editorial Tecnos, S.A. 6ta reimpresión:

1983.

• Gill, A.(1976).Applied Algebra for the Computer Sciences. USA. Prentice Hall International Inc.

• Góngora, Enrique (1983).Introducción al pensamiento Lógico Matemático. San José: EUNED.

• Freund, Max (1983).La concepción semántica de la verdad en: Conocimiento y poder. San

José: Editorial Nueva Década

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• Quine, W. V. O.(1970). Filosofía de la lógica Madrid: Alianza Editorial, S. A. Cuarta Edición:

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Matemática y otros ensayos sobre lógica. Santiago: Universidad de Chile. 1968

• Suppes, Patrick (1960) Teoría axiomática de conjuntos. Cali: Editorial Norma. 1968.

• Hamilton, A.G.(1981). Lógica para matemáticos. Madrid: Paraninfo

• Hilbert, D. y W. Ackerman (1972). Elementos de lógica teórica. Madrid: Editorial Tecnos. 2da

edición 1975

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• Mates, Benson (1965). Lógica matemática elemental. Madrid: Editorial Tecnos, 1987.

• Kowalski, R.(1979). Lógica, Programación e Inteligencia Artificial. Madrid: Ediciones Días de

Santos, S.A.

• Rodríguez, R.(1995). El mundo de la lógica: de la paradoja a la verdad. San José: EIDOS.

• Rosen, K. H. (2003). Matemática Discreta y sus aplicaciones. Madrid: McGraw-Hill.

• Rooss, Keneth A. y Ch. R. B. Wright (1986). Matemáticas Discretas. México: Prentice Hall

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• Rossley,J.N. et al.(1972). ¿Qué es la lógico matemática? Madrid: Tecnos S.A. 1988.

• Smullyan, R.(1992).Satán, Cantor y el Infinito. Barcelona: Editorial Gedisa, S.A.

2 Proposiciones categóricas, conjuntos y diagramas de Veen

Existen cuatro formas típicas de proposiciones categóricas clasificadas por cualidad

(Afirmativa/Negativa) o cantidad (Universal/Particular):

Universal

Afirmativa

Universal

Negativa

Particular

Afirmativa

Particular

Negativa

A E I O

Todos los tiburones

son carnívoros

Ningún tiburón es

vegetariano

Algunos tiburones

son carnívoros

Algunos tiburones no

son vegetarianos

Esquemáticamente:

Todos los tiburones son carnívoros

Todo S es P

Cuantificador Sujeto cópula Predicado




2.1.1 Cuadro de proposiciones categóricas simplificadas

A E

Todos S es P Ningún S es P

I O

Algún S es P Algún S no es P

2.1.2 Distribución

Un término de una proposición se dice que es DISTRIBUIDO si el enunciado se refiere a todo

ítem de su categoría. Una proposición distribuye un término si se refiere a todos los miembros

de la clase designada por ese término. El término sujeto de una proposición “A” está distribuido

en (o por) esta proposición, mientras que su término predicado no está distribuido en (o por)

ella. Lo anterior significa que “Todo Se es P” quiere decir que “Todo” vale para “S”, pero no vale

para “P”. Otro caso distinto: “Ningún atleta es fumador” (E). Aquí se excluye a la totalidad de la

clase de los atletas de la clase de los fumadores. Sin embargo también se dice que la totalidad

de los fumadores está excluida de la clase de los atletas, por lo tanto el cuantificador “ningún”

se distribuye tanto en el Sujeto como en el Predicado. Así sucede que la verdad de Ningún

Atleta es fumador, implica la verdad de que Ningún fumador es Atleta y viceversa.

A continuación el cuadro de distribución de las proposiciones categóricas:

PROPOSICIÓN MODO S P

Todos los S son P

Algunos S son P

Ningún S es P

Algunos S no son P

A

I

E

O

Distribuido

No distribuido

Distribuido

No distribuido

No distribuido

No distribuido

Distribuido

Distribuido

2.2 Contenido existencial del las proposiciones categóricas

Se dice que una proposición tiene “contenido existencial” cuando denota “la existencia” de

objetos de alguna clase especifica. En este sentido, una proposición tiene un rango

extensional determinado por las propiedades semánticas de la conjunción de los rasgos

semánticos de sus términos constitutivos. Así, la proposición “hay rosas en el jardín” se le

asigna un contenido óntico-existencial a sus términos, mientras que la proposición “No hay

unicornios azules” no lo tiene. Por otro lado en el caso, las enunciación proposiciones

particulares, establece un compromiso óntico, pues subdetermina el contenido existencial de al

menos un elemento de las clases denotadas por sus términos. La proposición “Algunos

mamíferos son acuáticos” afirma que existe al menos un mamífero que es acuático. Y la

proposición: “Algunos mamíferos no son acuáticos” afirma que existe al menos un mamífero

que no es acuático. Ambas proposiciones particulares afirman que las clases designadas por

sus términos sujetos no son vacías, esto es, tienen miembros.

Excepciones aparentes a lo anterior, son enunciadas tales como “En las obras de

Shakespeare aparecen algunos fantasmas” y “En La Ilíada se describe algunos dioses

griegos”. Estos enunciados son verdaderos a pesar del hecho de que no hay fantasmas ni

dioses griegos. Pero un poco de reflexión revelará que esas aparentes excepciones están




formuladas de una manera engañosa. Esos enunciados no afirman realmente la existencia de

fantasmas o de dioses griegos; lo que afirman es solo que hay otras proposiciones que se

afirman o que se hallan implícitas en las obras de Shakespeare y en La Ilíada. Las

proposiciones de Shakespeare y de Homero pueden no ser verdaderas, pero ciertamente es

verdad que sus escritos contienen dichas proposiciones o las implican. Y es solo esto lo que lo

afirman las aparentes excepciones. Fuera de estos contextos literarios o mitológicos bastante

poco comunes, las proposiciones I y O tienen contenido existencial (Cfr. Copi, 1953/61,

pp. 191-195).

Si se admite que la proposiciones I y O tienen contenido existencial, entonces se

desprende del Cuadro de oposición tradicional que las proposiciones A y E también

tienen contenido existencial.

En efecto, si I se sigue validamente de la correspondiente proposición A por

subalternación, entonces I afirma existencia, y por ende A también debe afirma

existencia. Análogamente, E debe de tener contenido existencial, si O lo tiene. “El

contenido existencial de A y E también se desprende del I y O, si admitimos la validez de

la conversión por limitación de A y de la contraposición por limitación de E”.

En este punto surge una dificultad. Si las proposiciones A y O correspondientes tienen

contenido existencial, entonces pueden ser ambas falsas. Si “Todos los osos polares de

la Antartida son blancos” y “Algunos osos polares de la Antartida no son blancos” afirma

que existen Osos Polares en la Antartida, entonces ambas son falsas si en la Antartida no

hay osos polares. Y si las proposiciones A y O pueden ser ambas falsas, entonces no

son contradictorias. Entonces: ¿hay algo erróneo en el Cuadro de Oposión tradicional?. Al

parecer, si es correcto que la subalternante A y E implican a las subalternas I y O, entonces se

equivoca al sostener que las proposiciones A y O correspondientes son contradictorias.

También parece equivocado al sostener que I y O son subcontrarias.

Es posible argumentar favorablemente o rehabilitar el Cuadro de Oposición tradicional, así

como la conversión por limitación y la contraposición limitación introduciendo el concepto

de presuposición. Algunas preguntas (complejas) pueden ser respondidas por un “sí” o un

“no” sólo si se presupone que ya se ha dado una respuesta definitiva a una pregunta

anterior. Así, puede darse razonablemente una respuesta por “sí” o por “no” a la pregunta

“¿Gastó usted el dinero que robó?” sólo si se admite la presuposición de que usted robó

algún dinero. Análogamente puede decirse que las cuatro proposiciones categóricas de

forma típica presuponen que las clases a las que se refieren tienen miembros. Esto es,




las preguntas acerca de la verdad o falsedad y de las relaciones lógicas existentes entre ellas

sólo son admisibles si se presupone que ya ha sido respondida por al afirmativa la pregunta

existencial. Si se hace esta presuposición general de que todas las clases designadas por

los términos (y sus complementos) tienen miembros, entonces la conversión y la

contraposición por limitación son válidas, y lo son las relaciones establecidas en el Cuadro

de Oposición tradicional: A y E son contrarias, I y O son subcontrarias, las subalternas se

infieren válidamente de sus subalternantes, y A y O son contrarias, así como E e I. (Cfr. Copi,

1953/61, pp. 191-195).

Para Aristóteles, los grupos de elementos que componen los términos de las proposiciones

categóricas no podías ser clases vacías. Siempre existirían representantes de dichas clases.

La presuposición existencial necesaria y suficiente para la corrección de la lógica aristotélica

tradicional se hallan en estrecho acuerdo con el uso castellano ordinario en muchos casos. Si

por ejemplo, que se afirma que “Todos las fresas sobre la mesa son de María ”, y luego

miramos la mesa y encontramos que no hay ninguna fresa sobre la mesa. Típicamente, no se

considera que este hecho hace verdadera la proposición, ni tampoco que la hace falsa. Más

bien se presupondría más que no hay fresas sobre la mesa, indicando en este caso particular

la presuposición existencial era equivocada.

Hay, sin embargo, varias objeciones que hacer a esa presuposición existencial de carácter

general. En primer lugar, aunque conserva las relaciones tradicionales entre proposiciones

categóricas, lo hace a costa de reducir su poder de hacer afirmaciones. La presuposición

existencial hace imposible para toda proposición categórica de forma típica negar la

existencia de miembros de las clases designadas por sus términos. En segundo lugar,

presuposición existencial no está en completo acuerdo con el uso ordinario. Por ejemplo,

la proposición “Todos los transgresores serán penados por la ley”, lejos de presuponer que

la clase de los transgresores tienen miembros, habitualmente se la entiende como dirigida a

asegurar que la clase es vacía. Y en tercer lugar, a menudo se razona sin hacer ninguna

presuposición de existencia. En física, por ejemplo, la primera ley del movimiento de Newton

afirma que: “todo cuerpo sobre el cual no actúan fuerzas externas persiste en su estado

de reposo o de movimiento uniforme rectilíneo”. Pero ningún físico desea presuponer que

existen realmente cuerpos sobre los que no actúan fuerzas externas(Cfr. Copi, 1953/61, pp.

191-195).

Sobre la base de objeciones como éstas, la lógica formal moderna renuncian a hacer

presuposición existencial general, aunque su decisión los obliga a abandonar parte de la lógica

aristotélica tradicional. En contraposición a la interpretación tradicional o aritetolica, el

tratamiento moderno de las proposiciones categóricas de forma típica es llamado “Booleano”

por el lógico y matemático ingles George Boole (1815-1864), uno de los fundadores moderna

lógica simbólica. Entonces, el contexto de la lógica formal moderna, la existencia de una

clase o conjunto no implica necesariamente la existencia de individuos, por lo que las clases o

conjuntos pueden ser conjuntos vacíos.




En la interpretación booleana las proposiciones I y O tienen contenido existencial, de modo

que cuando la clase S es nula, las proposiciones “Algún S es P” y “Algún S no es P” son

falsas. Las proposiciones universales A y E son consideradas como las contradictorias de

las proposiciones O e I, respectivamente. Si S es una clase nula, ambas proposiciones

particulares son falsas y sus contradictorias “Todo S es P” y “Ningún S es P” ambas son

verdaderas. En la interpretación booleana se considera que las proposiciones

universales no tienen contenido existencial. Sin embargo, una proposición universal

formulada en castellano ordinario que afirma existencia puede ser representada en la

formulación booleana. Para lograr esto, se usan dos proposiciones, la universal booleana no

existencial y la correspondiente particular existencial (Cfr. Copi, 1953/61, pp. 191-195).

Esto significa que la proposiciones A y E pueden ser ambas verdaderas, y por lo tanto, no

son contrarias, y que las proposiciones I y O pueden ser falsas y, por consiguiente, no son

subcontrarias. Además, puesto que A y E pueden ser verdaderas e I y O falsas, las

inferencias basadas en la subalternación no son válidas; esto significa que las relaciones

representadas por las diagonales (contradictorias), es lo que queda del Cuadro de

Oposición Tradicional. La obversión sigue siendo válida aplicada a cualquier proposición,

pero la conversión (y la contraposición) por limitación debe de ser considerada como

inválida en general. La conversión mantiene su validez para las proposiciones E e I y la

contraposición para las proposiciones A y O.

Si no se afirma explícitamente que una clase tiene miembros, erróneo sería suponer que los

tiene. De todo razonamiento que cometa este error se dirá que comete la falacia

existencial. (Cfr. Copi, 1953/61, pp. 191-195).

2.2.1.1 Actividad. Falacias existenciales

A luz del examen precedente del contenido existencial, explicar en qué paso (o pasos)

los siguientes razonamientos comenten falacia existencial:

I. 1) Ningún matemático ha cuadrado el círculo.

Por lo tanto, 2) Nadie que halla cuadrado el círculo es un matemático.

Por lo tanto 3) Todos los que cuadrado el círculo son matemáticos.

Por lo tanto 4) Algún no-matemático ha cuadrado el círculo.

II 1) Ningún ciudadano ha logrado lo imposible.

Por lo tanto 2) Nadie que haya logrado realizar lo imposible es un ciudadano.

Por lo tanto 3) Todos los que han logrado realizar lo imposible son no-ciudadanos.

Por lo tanto 4) Algunos que han logrado realizar lo imposible son no-ciudadanos.

III 1) Ningún acróbata puede levantarse a sí mismo por los cordones de sus zapatos.

Por lo tanto, 2) Nadie que pueda levantarse a sí mismo por los cordones sus zapatos.

Por lo tanto, 3) Alguien que puede levantarse a sí mismo por los cordones de sus zapatos

no es acróbata. (De la cual se deduce que hay al menos un ser que puede elevarse a sí

mismo por los cordones sus zapatos).

IV 1) Es verdad que: Ningún unicornio es un animal que se encuentra en el




Zoológico Bronx.

Por lo tanto, 2) Es falso que: Todos los unicornios son animales que se encuentran en el

Zoológico Bronx.

Por lo tanto, 3) Es verdad que: Algunos unicornios no son animales que se encuentran el

Zoológico Bronx . (Del cual se desprende que existe al menos un unicornio).

V. 1)Es falso que: Algunas sirenas son miembros de clubes de estudiantes.

Por lo tanto, 2) Es verdad que: Algunas sirenas no son miembros de clubes de

estudiantes.(Del cual se desprende que existe al menos una sirena).

(Cfr. Copi, 1953/61, pp. 191-195).

2.3 Representación simbólica para las proposiciones categóricas

Dada que la interpretación booleana de las proposiciones categóricas dependen

estrechamente de la noción de clase nula, es conveniente tener un símbolo especial para

representarla. Se utiliza con este propósito el símbolo ∅ para afirmar que la clase designada

por el termino S no tiene miembros, se escribe entonces un signo de igualdad entre S y ∅ .

Así la ecuación ∅=S afirma que no hay ningún S, o sea que S no tiene miembros.

Afirmar que la clase designada por S tiene miembros equivocados, equivale a negar que sea

vacía. Afirmar que hay al menos un elemento de S es negar la proposición simbolizada por

∅=S . Simbolizamos esta negación cruzando con una raya oblicua el signo de igualdad.

La desigualdad: ∅≠S afirma que hay al menos un S mediante la negación de que S sea

nula.

Las proposiciones categóricas de forma típica se refieren a dos clases y, por

consiguiente, las ecuaciones que la representan son un poco más complicadas. Si cada

una de las clases tiene ya un símbolo que la s designa, la clase de todas las cosas que

pertenecen a ambas puede representarse colocando uno junto al otro los símbolos de las

clases originales. Por ejemplo si la letra S designa la clase de todas las sátiras y la letra P la de

todos los poemas, entonces la clase de todas las cosas que son al mismo tiempo sátiras y

poemas se representa con el símbolo SP, que designa la clase de todos los poemas satíricos

(o de todas las sátiras poéticas). La parte común, o los miembros comunes, a las dos clases es

llamada el producto o la intersección de las clases. El producto de las dos clases es la clase

de todas las cosas que pertenecen a ambas. El producto de la clase de todos los americanos y

la clase de todos los marineros es la clase de todos los marineros americanos.

Esta nueva noción permite simbolizar las proposiciones E y I en forma de ecuaciones y

desigualdades. La proposición: E: “Ningún S es P” afirma que ningún miembro de la clase de

S es miembro de la clase P, esto es, que no hay cosas que pertenezcan a las dos clases. Esto

puede formularse de otra manera, diciendo que el producto de las dos clases es vacío; lo cual

se simboliza con la ecuación ∅=SP . La proposición I “Algún S es P” afirma que al menos

un miembro de la clase S es también miembro de la clase P. Esto significa que el producto de




las clases S y P no es vacío, lo cual se simboliza mediante la desigualdad ∅≠SP . Con el

objeto de simbolizar las proposiciones categóricas A y O es conveniente introducir un nuevo

método para representar los complementos de las clases. El complemento de la clase de

todos los ovíparos es la clase de todas las cosas que no son ovíparos, la clase de todos los no-

ovíparos. Si la letra S simboliza la clase de todos los ovíparos, simbolizaremos la clase de los

no-ovíparos por: S (léase “no S”), o sea mediante el símbolo de la clase original con una

raya encima. La proposición: A: “Todo S es P” afirma que todos los miembros de la clase S

son también miembros de al clase P, es decir, que no hay ningún miembro de la clase S

que no sea miembro de P, o (por obversión) que “Ningún S es no-P”. Esta, como toda la

proposición E, afirma que el producto de las clases designas por sus términos sujeto y

predicado es vacío; se lo simboliza por la ecuación ∅=PS . De la proposición O “Algún

S no es P” se obtiene por obversión la proposición lógicamente equivalente “Algún S es

no-P”, que se simboliza por la desigualdad ∅≠PS (Cfr. Copi, I., 1953/72, pp. 191-202).

En sus formulaciones simbólicas, las relaciones entre las cuatro proposiciones categóricas de

forma típica aparecen con gran claridad. Cuando se simboliza las proposiciones A y O como:

∅=PS y ∅≠PS , respectivamente, es obvio que son contradictorias, como es

igualmente obvio que las proposiciones E e I: ∅≠SP y ∅=SP son contradictorias.

Esta es la interpretación que adopta la lógica contemporánea y así el cuadro de oposiciones

aristotélico pierde las aristas laterales, es decir, para las proposiciones categóricas universales

A y E no tienen contenido existencial, pero lo tienen las categóricas particulares I, O, pues la

versión algebraica desarrollada por George Boole en su libro: The Mathematical Análisis of

Logia, being essay towards a calculus of deductive reasoning en 1847(Cfr Boole, G., 1984, pp.

53-86), la representación mediante una desigualdad, la cual señala que no es vacía la

intersección de las dos clases, esto es en el caso de la I: Algunos S son P, representadas

como: ∅≠SP y la O: Alguno S no son P: ∅≠PS , entonces de la verdad de las

proposiciones categóricas universales no se sigue la verdad de las respectivas proposiciones

categóricas particulares, es decir, desaparece la relación de subalternación. Pero si además la

clase S es vacía, entonces es verdadero tanto ∅≠SP como ∅=PS . De esto se

sigue que, a diferencia del cuadro de oposición aristotélico, ahora podrán ser verdaderos a la

vez las proposiciones categóricas A y E y falsas las proposiciones categóricas particulares, I,O,

por lo que ya no habrá proposiciones categóricas contrarias ni subcontarias, así como

tampoco valdrá la relación de subalternación. El cuadro, es reducido a sus dos grandes

diagonales, esto es, sigue habiendo enunciados contrarios: A y O, por una parte, y E e I por la

otra.




El cuadro de oposición a partir de la formulación booleano puede representarse así:

(Cfr. Robles García, 1995, pp. 60-62)

2.4 Diagramación para las proposiciones categóricas

Se puede representar diagramáticamente las proposiciones mediante loa diagramas de las

clases a las cuales se refieren. Se representa una clase por un círculo rotulado con el término

que designa a esa clase. Así, la clase S es representada mediante el diagrama siguiente:

El anterior es el diagrama de una clase, no de una proposición. Simplemente representa a la

clase S, pero no hace ninguna afirmación acerca de ella. Para diagramar la proposición que

afirme la ausencia de miembros en S, sea que no hay ningún S, sombreamos todo el anterior

del círculo que representa S, indicando de esta manera que no contiene nada, que está vacío.

Para diagramar la proposición que afirma la existencia de S, a lo que interpretamos como

afirmando que hay al menos un miembro de S, colocando una X en el anterior del círculo

que representa a S, indicando de esta manera que hay algo en su interior, que no está vacío.

Así, las dos proposiciones “no hay S” y “hay S” se hallan representadas, respectivamente, por

los dos diagramas siguientes:

∅=S ∅≠S

Se debe observar, de paso, que el círculo destinado a diagramar la clase S sirve también para

diagramar la clase, pues, así como el anterior del círculo representa a todos los miembros de

S, su exterior representa a todos los miembros de S. Para diagramar una proposición

categórica de forma típica se requiere dos círculos en vez de uno. El esqueleto o el armazón

para diagramar cualquier proposición categórica de forma típica cuyos términos sujeto y




predicado abreviamos mediante S y P, se construye trazando dos círculos que se intersecan,

como en la siguiente figura:

En la figura anterior, se presenta el diagrama de al dos clases S y P, pero no es el diagrama

de ninguna proposición relativa a ellas. No afirma que ninguna de ellas o ambas tengas

miembros, ni tampoco lo niega. De hecho hay más de dos clases diagramadas por los dos

círculos que se intersecan. La parte del círculo rotulado S que no se superpone con el círculo

rotulado P es el diagrama de todos los S que no son P y puede considerarse que representa el

producto de las clases S y No-P. Se puede rotularlo S No-P. Las partes de ambos círculos que

se superponen representan el producto de las clases S y P; es el diagrama de Todos las cosas

que pertenecen a ambas. Lo rotulado SP. La parte del círculo rotulado P que no se superpone

con el círculo rotulado S, es el diagrama de todas las P que no son S y representa el producto

de las clases S y P .Lo rotulado S No-P. Finalmente, la parte del diagrama que es exterior a

ambos círculos representa a todas las cosas que no estañen S ni en P . Es de la cuarta clase,

rotulada No S No-P. Si insertamos todos estos rótulos, la anterior se convierte en la siguiente:

Se puede interpretar este diagrama, por ejemplo, términos de las diferentes clases

determinadas por la clase de todos los mamíferos(S) y al clase de todos los animales acuáticos

(P). SP es el producto de estas dos clases, que contienen todas aquellas cosas que

pertenecen a ambas, y solamente a ellas. Todo miembro de SP debe de ser miembro de S y P;

todo miembro debe ser al mismo tiempo un español y un pintor. Esta clase producto SP es la

clase de todos los mamíferos acuáticos, que contiene entre otros, a los Delfines y las Ballenas.

S No-P es el producto de la primera clase y el complemento de la segunda; contiene todas

aquellas cosas, y sólo aquellas, que pertenecen a la clase S pero no a la clase P. Es la clase

de todos los mamíferos que no son acuáticos, todos los mamíferos no-acuáticos; no

contendrán a Ballenas, Delfines pero incluirán Elefantes y o Camellos, entre muchos otros. S

No-P es el producto de al segunda clase y el complemento de la primera, o sea es la clase de

todos los animales acuáticos que no son mamíferos. Finalmente No-S No-P es el producto de

los complementos de las dos clases originales y contiene todos aquellos entes, y sólo

aquellos, que no son mamíferos ni acuáticos. Es realmente, una clase muy amplia, pues

contiene no solamente reptiles y aves, peces, crustáceos, plantas, hongos, bacterias, virus,

como también cosas, como Ovíparos, Terrestres, Cefalópodos, artrópodos, arácnidos, etc

Todas estas clases están diagramadas en al figura anterior, donde las letras S y P deben




interpretarse como acabamos de indicar. Esto permite también descubrir 4 áreas, que han sido

numéricamente simbolizadas en el diagrama anterior.

Si se sombrean las diversas partes de este cuadro o si insertamos x en ellas, podemos

representar cualquiera de las cuatro proposiciones categóricas de forma típica. Para

representar la proposición; A “Todo S es P”, simbolizada por ∅=_

PS , simplemente

sombreamos la parte del diagrama que representa a la clase SP, para indicar de este modo

que no tiene miembros, que es nula. Para representar la proposición: E “Ningún S es P”,

simbolizada por ∅=PS , sombreamos la parte del diagrama que corresponde a la clase SP,

indicando así que está vacía. Para representar la proposición: I “Algún S es P” simbolizada

por ∅≠PS , insertamos una x el al parte del diagrama que represente a la clase SP. Esta

inserción que la clase producto no es vacía, sino que tiene al menos un miembro. Finalmente

para la proposición: O “Algún S no es P”, simbolizada por ∅≠_

PS , insertamos una x

en la parte del diagrama que representa a la clase SP a fin de indicar que no es nula, sino que

tiene al menos un miembro. Colocamos uno junto al otro, los diagramas de las cuatro

proposiciones categóricas de forma típica revelan muy claramente sus diferentes significados.

Debemos destacar un aspecto de estos Diagramas de Venn (así llamados por el matemático y

lógico John Venn, que fue el primero en introducirlos). El simple diagrama de los círculos,

rotulados pero sin ninguna otra indicación, representa clases, pero no expresan proposiciones.

Dejar un espacio en blanco no significa nada, ni que hay miembros de la clase representada

por este espacio ni que no los hay. Un diagrama sólo puede expresar una proposición si tiene

una parte de él sombreada o el la cual se inserta una X.

Modo Proposición categórica

Simbolización booleana

Simbología Conjuntista

Diagrama de

Veen

A Todo S es P ∅=_

PS

E Ningún S es P ∅=PS

I Algún S es P ∅≠PS

∅≠∩ PS

∅=∩ ´PS

∅=∩ PS




O Algún S no es P ∅≠_

PS

El cuadro anterior presenta las representaciones diagramáticas para cada una de las

proposiciones categóricas: A, E, I, O. Así, para representar la proposición: A: “Todo S es P”,

simbolizada por ∅=_

PS se debe sombrear la parte del diagrama que representa a la

clase S No-P. Así la clase de Todas los aves son ovíparas, es sinónimo que la clase de los

aves que no son ovíparas es vacía. Y para representar la proposición: O “Algún P no es S”,

simbolizada por ∅≠_

PS , se inserta una x en la parte del diagrama que corresponde a la

clase S No-P. Lo que mostraría si fuera el caso de la proposición: Algún reptil es ovíparo, que

la case de los reptiles-ovíparos, no es vacía y que al menos existe un reptil que es ovíparo en

dicha clase.

Los diagramas de Venn constituyen una representación gráfica de las proposiciones

categóricas de forma típica, en los cuales se muestran las inclusiones y las exclusiones no

espaciales de las clases. Reflejan las relaciones estructurales y las analogías y diferencias

entre los diversos tipos de proposición categórica. Los esquemas representativos de

A(Universal Afirmativa) y O ( particular negativa) son diametralmente opuestos y no dejan

superponer, pues la zona negada o sombreada o el gráfico de A es la señalada positivamente

en el gráfico O. Esta oposición gráfica es reflejo de la relación lógica de contradicción o de

incompatibilidad que existe entre A y O. Otro tanto sucede, de manera análoga, con E

(universal negativa) e I (particular afirmativa) y sus correspondientes diagramas. En este

aspecto esta nueva formulación en los modelos de Venn, coinciden con la lógica tradicional.

Además, esta modelación de Veen, separa radicalmente las proposiciones universales de las

particulares no sólo por razón de la cantidad, sino porque las proposiciones particulares

importan afirmación de existencial (como lo indica la X de sus respectivos diagramas), mientras

que las universales no dicen nada positivo respecto de este punto(pues el sombreado de sus

respectivos esquemas indica sólo negación de existencia). A partir de esto se descubre que los

diagramas de Venn, invalidan determinadas tesis de la teoría tradicional de la inferencia, tanto

inmediata como mediata. Esto se evidencia, en el cado que el sujeto de una proposición

categórica es un término extensional de una clase vacía, es decir, carente de elementos, como

la clase de los icosaedros o de los centauros (Garrido, 1974, pp.153-154).

A la propuesta que sostiene que las proposiciones categóricas cuyos sujetos tengan por

extensión a clases vacías, son verdaderas si son universales y falsas si particulares, se le

denomina teoría del compromiso o “importe existencial de la proposición categórica. De

acuerdo con este principio, no sería válido, en principio, pasar por inferencia de la generalidad

a la particularidad, ni por ello, de una proposición de tipo A a una proposición de tipo I. Porque

sino se dispone de información adicional previa relativa a la efectiva existencia de individuos,

∅≠∩ ´PS




una inferencia semejante podría dar lugar al transito de lo verdadero a lo falso. En este

sentido, todas aquellas zonas de la teoría tradicional de la inferencia que impliquen el

paso de lo general a lo particular sin información previa relativa a la existencia de

individuos quedan sujetas a ese riesgo (Cfr. Garrido, 1974, pp.155-156). Esto sucede en la

teoría tradicional de la inferencia inmediata con las leyes de subalternación y de conversión

accidental, que permiten el paso directo de proposiciones de tipo A a proposiciones de tipo I.

(Cfr. Garrido, 1974, p. 156).

El problema del compromiso existencial no ha encontrado una solución teórica totalmente

satisfactoria. En la práctica, posiblemente sea el mejor expediente como ha indicado Church,

condicionar el uso de las proposiciones categóricas universales a presuposiciones de contexto

que permitirán o no, según el caso, la aplicación de las referidas leyes de subalternación y

conversión accidental. La explicación formal de presuposiciones existenciales defendida por

Strawson y algunos autores contemporáneos suele acarrear a su vez diversos inconvenientes

formales de tipo inferencial (Cfr. Garrido, 1974, p. 158). .

2.4.1 Actividad. Representación de proposiciones categóricas

Expresar cada una de las proposiciones siguientes como ecuaciones o desigualdades,

representando cada clase por la primera letra de la palabra castellana que la designa y

simbolizada por medio del diagrama de Venn.

a) Algunos escultores son pintores.

b) Ningún buhonero es millonario.

c) Todos los comerciantes son especuladores.

d) Algunos músicos no son pianistas.

e) Ningún tendero es miembro de este club.

f) Algunos líderes políticos de gran reputación son pillos.

g) Todos los médicos autorizados a ejercer en este estado son graduados de Facultades

médicas que han aprobado exámenes de capacitación especiales.

h) Algunos corredores de bolsa que aconsejan a sus clientes acerca de las inversiones no

son socios de compañías cuyos valores recomiendan.

i) Todos los puritanos que rechazan todo placer inútil son ajenos a mucho de lo que hace la

vida digna de ser vivida.

j) Ninguna pintura moderna presenta una semejanza fotográfica con los objetos que representa.

k) Algunos activistas estudiantiles son hombres y mujeres de edad media que tratan de

recuperar su juventud perdida.

l) Todos los sabios medievales eran piadosos monjes que vivían en monasterios.

m) Algunos empleados públicos no son ciudadanos de espíritu cívico.

n) Ningún magistrado sujeto a elección y destitución será un tirano castigador.

o) Algunos pacientes que exhiben todos los síntomas de al esquizofrenia son maniaco-

depresivos.

p) Algunos pasajeros de nuevos y grades aviones a chorro no son clientes satisfechos.




q) Algunos sacerdotes son partidarios militantes del cambio social radical.

r) Algunos firmes defensores del orden existente no son miembros de partidos políticos.

s) Ningún oleoducto construido en territorios extranjeros es una inversión segura.

t) Todas las películas pornográficas son amenazadas para la civilización y la decencia.

2.5 Silogística y diagramas de Venn

Del mismo modo que la Silogística tradicional suministra un conjunto de principios y Reglas

para decidir que Silogismos son válidos y cuáles son inválidos; los Diagramas de Venn

constituyen también un buen sistema gráfico para decidir acerca de la validez o invalidez de

tales Silogismos. Debe tomarse en cuenta, que los diagramas de Veen, heredan la teoría del

compromiso existencial de las proposiciones categóricas, pero en este caso llevada a la

inferencia mediata de la silogística. De esto se deriva que algunos modos silogísticos

tradicionales como Darapti, que constan de dos premisas universales (AA, en este caso), y sin

embargo introducen una conclusión particular I, no pueden considerarse como inferencias

válidas. Lo mismo puede aplicarse a Felapton, Bramantip y Fesapo.

Para saber como operar con los Diagramas de Venn, en relación con los Silogismos, es

necesario tener en cuenta los siguientes puntos:

1. Existencia de tres círculos en mutua intersección:

2. Los 3 círculos interrelacionados generan la figura siguiente:

3. Además de entender el significado de los círculos y sus Intersecciones, hay que

tener en cuenta, para operar, las convenciones anteriormente establecidas entre Clase

Neutra, No vacía y vacía.

2.5.1.1 Graficación de Diagramas para silogismos categóricos

Un diagrama de Veen para un Silogismo Categórico puede ser representado gráficamente y

por zonas numéricas. Cada término se representa por un círculo. Así se intersecan lo tres

círculos, para representar todas las conjunciones booleanas de los tres términos del silogismo

categórico de la siguiente manera:




Área Representa

3 SPM

6 SP~M

2 S~PM

5 S~P~M

4 ~SPM

7 ~SP~M

1 ~S~PM

8 ~S~P~M

Nota: ~S es equivalente a: _

S

Estos tres círculos son un mecanismo para probar la validez o invalidez del silogismo

categórico. Para lograr esto se necesita determinar:

• Cómo etiquetar el diagrama

• Qué marcar en lugar del diagrama.

• Dónde se debe poner las marcas

• Cómo interpretar los resultados

La siguiente tabla señala las correspondencias entre los términos y las regiones

Premisa En:

PM 3, 4

P~M 6,7

M~P 1, 2

SM 2, 3

S~M 5, 6

M~S 1,4

Conclusión En:

SP 3, 6

S~P 2, 5

P~S 4, 7




2.5.1.2 Pasos para su graficación

� Se simbolizan las premisas y la conclusión, conceptualizando los términos como clases o

conjuntos.

� Se traslada la información de las premisas al diagrama. Hay que tener en cuenta que si una

de las premisas es universal y la otra es particular se debe comenzar diagramando la universal,

aunque sea la premisa menor.

� NUNCA SE GRAFICA LA CONCLUSIÓN, ya que es justamente lo que debe ser obtenido

para comprobar si surge como consecuencia necesaria de las premisas.

� Verificar si al diagramar las premisas, también ha quedado diagramada en forma explícita la

conclusión. En este caso la forma es válida. De lo contrario es inválida.

� Cuando la información dada por las premisas no permite decidir en cual sector de los

dos es posible, debe diagramarse la X de existencia, ésta debe dibujarse en la frontera

entre ambos. Este diagrama no permite afirmar que la cruz pertenezca necesariamente a

alguno de los dos sectores y por lo tanto estas formas son inválidas.

Ejemplo 1:

Todo diputado es político.

Ningún trabajador honesto es político.

Ningún trabajador honesto es diputado.

Forma tradicional

Forma Boolena

Diagrama de Venn

Todo P es M

Ningún S es M

Ningún S es P

P~M = ∅ (6, 7)

SM = ∅ (2, 3)

SP = ∅ (3, 6)

2.5.1.3 Representación de forma tradicional, boolena y diagramación

Con el objetivo de determinar la validez o invalidez de un silogismo, lo primero es el diseño de

un diagrama de Veen para las tres clase M, P, S. Asimismo se debe determinar la forma

tradicional, por medio del reconocimiento de su modo y su figura. En este ejemplo en concreto,

se trata de la segunda figura y cuyo modo es AEE. Con base en esto, se pasa a la

representación boolena de cada una de las premisas y de la conclusión.

2.5.1.4 Simbolización y representación de la Premisa Mayor

La primera premisa o premisa Mayor, Todo M es P, es posible representarlas como P~M = ∅ .

Inmediatamente se rellenan o se representan como vacías en el diagrama de Venn, las

regiones que son P~M, es decir, las 6 y la 7, a la vez, que se colocan entre paréntesis lo

número de las regiones, a la derecha de la forma boolena.

2.5.1.5 Simbolización y representación de la Premisa menor

Con la segunda premisa o premisa menor, se realiza el mismo procedimiento. Asi, se tiene que




su formulación booleanas es: SM = ∅ . Por lo que se descubre que las regiones SM son las

regiones 2 y 3, lo que se señala entre paréntesis a la derecha de la formulación boolena. Se

pasa entonces a rellenar en el diagrama como clase vacía a los SM, de las regiones 2 y 3. Al

finalizar se tiene que las clases vacías en el diagrama de Veen son las regiones: 2, 3, 6, 7.

2.5.1.6 Ubicación de la conclusión y de la validez o invalidez del silogismo

Entonces se busca la conclusión: SP = ∅ , en las premisas previamente representadas. Por lo

que si se encuentra representada entonces se considera que se deriva válidamente de las

premisas, y hace entonces el silogismo válido. En caso contrario el silogismo es inválido. En

este caso se trata de un silogismo válido.

Ejemplo 2:

Todos los defensores de los derechos humanos son socialistas

Todos los ecologistas son socialistas

Todos los ecologistas son defensores de los derechos humanos

Forma tradicional

Forma Boolena

Diagrama de Venn

Todo P es M

Todo S es M

Todo S es P

P~M = ∅ (6, 7)

S~M = ∅ (5, 6)

S~P = ∅ (2, 5)

Se trata de AAA, en la segunda figura. La premisa mayor P~M = ∅ (6, 7), y la premisa menor:

S~M = ∅ (5, 6), no dan suficientes elementos de juicio para sustentar la conclusión, puesto

que la región dos requerida por la conclusión, no se encuentra representada em las premisas,

por lo que la información de las premisas es menor a la información de la conclusión, por lo que

esta última no se deriva válidamente de las premisas. Así entonces, el silogismo es inválido.

Ejemplo 3:

Algunos delincuentes juveniles son producto de hogares disfuncionales

Todo delincuente juvenil es un individuo desajustado socialmente

Algunos individuos desajustados socialmente son producto de hogares disfuncionales




Forma tradicional

Forma Boolena

Diagrama de Venn

Algunos M son P

Todo M es S

Algunos S son P

MP ≠ ∅ (3, 4)

M ~S ≠ ∅ (1, 4)

SP ≠ ∅ (3,6)

En este caso se trata de la figura 3, con un modo IAI. En el caso que aparezca antes una

particular que una universal en las premisas, es recomendable empezar por las universales.

Así en este caso aparece una particular afirmativa como Premisa Mayor y una Universal

afirmativa como premisa menor. Entonces de acuerdo con lo anterior se empieza a representar

la universal: Todo M es S, con: M ~S ≠ ∅ , por lo que las regiones correspondientes son la 1 y

la 4, por lo que se procede a rellenarlas en el diagrama de Venn. Luego se procede con la otra

premisa que es una particular afirmativa, cuya representación boolena es: MP ≠ ∅, cuyas

regiones son la 3 y la 4. Pero de estas dos regiones, la 4 ya se había representado como vacía,

por lo que a la afirmación existencial de la Premisa Mayor, le corresponde sólo la región 3. Así

entonces, se procede a marcar una X en esta región. Finalmente se procede a buscar la

conclusión dentro de la representación de las premisas. La conclusión, que es una particular

afirmativa, informa que: SP ≠ ∅, le corresponde las regiones 3 y 6, pero para que sea

cumpla lo afirmado por la particular afirmativa, de Algunos S son P, basta con que exista un

solo elemento o en 3 o en 6. De acuerdo a lo representado con las premisas en el diagrama de

Veen, aparece al menos un elemento en la clase: “o 6 o 3”, pues la X se encuentra en 3 y por

ende la información de la conclusión se encontraba previamente en las premisas. En este

caso se considera válido el silogismo.

Ejemplo 4:

Algunos individuos saludables no son economistas neoliberales

Ningún economista neoliberal es ecologista

Algunos ecologistas son individuos saludables

Forma tradicional Forma Boolena Diagrama de Venn

Algún P no es M

Ningún M es S

Algún S es P

P~M ≠ ∅ (6, 7)

MS = ∅ (2, 3)

SP ≠ ∅ (3,6)

Se sigue el mismo procedimiento que en los casos anteriores, es decir, se representa primero

la premisa menor, por ser de carácter universal, obteniéndose: MS = ∅, por lo que se rellena




las regiones 2 y 3, que son las MS. Luego se representa la otra premisa, que es la particular

negativa con: P~M ≠ ∅, que es tiene como regiones 6 y 7. Como con esta última no se

puede definir si se encuentra en la región 6 o en la 7, entonces la X correspondiente, debe

colocarse entre la frontera de las regiones 6 y 7. Finalmente cuando se busca la conclusión,

que es una particular afirmativa, representada con: SP ≠ ∅ y que le corresponderían las

regiones 3 y 6, se descubre que por una parte, 3 se encuentra vacío, por lo que no es una

información atinente para la conclusión. Además en la otra región, no es posible decidir de

acuerdo a las premisas si existirá al menos un elemento, pues en el diagrama de Veen, se

muestra que existe un elemento en 6 o en 7, pero no se sabe con certeza si ese elemento se

encuentra en 6 o en 7. Por lo tanto el silogismo es inválido.

Ejemplo 5:

Ningún pingüino vuela

Algunas aves vuelan

Algunas aves no son pingüinos


Ningún P es M

Algún S es M

Algún S no es P

PM =∅ (3, 4)

SM ≠ ∅ (2, 3)

S ~P ≠ ∅ (2, 5)

En este caso se tiene como premisa mayor es una universal categórica negativa, cuya

representación es: PM =∅, y cuyas regiones de PM son la 3 y cuatro, por lo que se procede

a rellenarlas. Luego la premisa menorr es una particular afirmativa, cuya representación es: SM

≠ ∅ , y las regiones SM son la 2 y la 3. Pero la tres ya se había representado como vacía en la

premisa anterior, procediéndose entonces a colocar la X en la región 2. Finalmente se busca la

conclusión cuya representación es: S ~P ≠ ∅ y cuyas regiones son la 2 y la 5. En esta caso

la formulación de la conclusión exige que exista cuando menos un elemento o en 2 o en 5, y de

acuerdo al diagrama esto se cumple, pues existe al menos un elemento en 2. Se concluye

entonces que el silogismo es válido.

Ejemplo 6:

Todos los felinos son carnívoros

Algunos felinos son pumas

Algunos pumas son carnívoros





Todo M es P

Algún M es S

Algún S es P

M ~P =∅ (1, 2)

MS ≠ ∅ (2, 3)

S P =∅ (3, 6)

En este caso, la premisa mayor es una universal afirmativa, simbolizada en su forma boolena

como: M ~P = ∅ y que conlleva a sombrear las regiones: 1, 2. Luego la premisa menor es una

particular afirmativa, representada como: MS ≠ ∅ , determinando que debería existir al menos

un elemento en las regiones 2 y 3. Pero como la región 2 ya quedó sombreada, es decir se

encuentra vacía entonces se coloca la X en tres. La conclusión es una particular afirmativa: S P

=∅ , en las regiones 3 y 6. Esto significa que esta conclusión particular exige la existencia de

al menos un elemento en las regiones o 3 o 6. Como la representación de las premisas

demuestra que existe al menos un elemento en la región 3, es posible descubrir que la

información de la conclusión está contenida en la información de las premisas. Por ende el

silogismo es válido.

2.5.1.7 Determinación de validez

Debe tenerse claro entonces, que al llegar a la conclusión esta debe estar ya representada.

Sino lo estuviese todavía, de modo que la información de la conclusión añade algo al diagrama

el silogismo, este silogismo es entonces inválido, puesto que las premisas deben contener la

conclusión para que el silogismo sea válido. Si la conclusión es universal, el sector relativo

debe ya estar sombreado, si es particular, debe aparecer una X en alguno de los sectores

propios, claramente dentro de un sector específico y no sobre una línea.

2.5.1.8 Bibliografía

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2.5.2 Actividades. Diagramas de Venn para silogismos categóricos.

Usando diagramas de Venn, determine la validez o invalidez de las siguientes formas silogísticas.

1. AAA-2 2. EAE-3

3. IEO-4 4. EAA-4

5. OAI-3 6. OAO-3

7. EIA-2 8. EIO-2

9. AAI-1 10. AEO-1

11. AEE-3 12. AEO-1

13. AOI-1 14. OEO-4

15. EIO-1 16. IEO-1

17. IAI-2 18. OAO-1

19. EAE-1 20. EII-3

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PRINCIPIOS Y MÉTODOS DE ANÁLISIS LÓGICO - · PDF fileEl nacimiento de la teoría de conjuntos recibió un fuerte impulso desde ciertas discusiones filosóficas acerca de la noción