Probabilidad 28-02-2016

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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III


Sandra Vergara CardozoProbabilidad y Estad́ıstica Fundamental Grupo I

Universidad Nacional de Colombia

28 de febrero de 2016

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Tabla de Contenido

Elementos del analisis combinatorio

Principios de conteo

Formula de la multiplicación

Permutaciones con Repetición

Permutaciones

Permutaciones sin Repetición

Combinación

Combinación sin repetición

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Tabla de Contenido

Probabilidad

Conceptos iniciales

Espacio de medida de probabilidadMedida de probabilidad condicional

Probabilidad Subjetiva

Regla de la Suma

Regla de la Multiplicación

Probabilidad Conjunta

Teorema de Bayes

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Bibliografia

Lind, Marchal, Mason. Estad́ıstica para administración y

econoḿıa.

Mongomery D. Estad́ıstica aplicada a la Ingenieŕıa.

Blanco, Liliana. Probabilidad.

Canavos. Probabilidad y Estad́ıstica

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Elementos del análisis combinatorio

Podŕıamos contar

Número de alumnos por grupo

Número de llamadas telefónicas recibidas en una oficina pord́ıa.

Número de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogotá

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Podŕıamos contar




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Podŕıamos contar




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Podŕıamos contar




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Cuántos números de 3 (tres) cifras se pueden formar con los

d́ıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losd́ıgitos. . .

Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..

Para responder las preguntas

“Cuántos”

“ Cuál es el número“

Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.

Hay varias posibilidades cuales son ?

C B´ d P b b l d d U d d III

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“Cuántos”




C B´ i d P b bilid d U id d III

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“Cuántos”




C B´ i d P b bilid d U id d III

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“Cuántos”




C t B´ i d P b bilid d U id d III

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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III





“Cuántos”




C e t s B´si s de P b bilid d U id d III

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“Cuántos”




Conceptos Básicos de Probabilidad Unidad III

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“Cuántos”





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Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el número de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos

4 × 3 × 2 = 24

Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.

Halle los números de cinco cifras que se pueden formar con losd́ıgitos del 0 al 9 que sean múltiplos de 5 y donde no sepueden repetir los d́ıgitos


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4 × 3 × 2 = 24




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Conceptos Basicos de Probabilidad Unidad III


4 × 3 × 2 = 24




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4 × 3 × 2 = 24




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Hay 6048 números de cinco (5) cifras todas diferentes y que sonmúltiplos de cinco (5).

6 × 7 × 8 × 9 × 2 = 6048


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Si el número de resultados posibles de un experimento es pequeño,resulta relativamente fácil contarlos.

Ejemplo del dado :


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p


Si el número de resultados posibles de un experimento es pequeño,resulta relativamente fácil contarlos.

Ejemplo del dado :


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p


Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra

existiran mxn formas de hacer ambas.

Numero total de arreglos = (m) × (n)

Para tres eventos :

Numero total de arreglos = (m) × (n) × (o )


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p





Para tres eventos :



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Para tres eventos :



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Para tres eventos :



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Un vendedor de automóviles desea anunciar que por $23.000.000,

usted puede comprar un auto convertible, sedan 2 puertas o unmodelo de 4 puertas, y además puede elegir si desea que los rinessean sólidos o deportivos. Cuantos arreglos diferentes de modelos yrines puede ofrecer el comerciante?


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Podemos utilizar la formula de la multiplicación para verificar (m:número de modelos, n: tipo del rin)

Total de arreglos posibles = (m) × (n) = (3) × (2) = 6

Si el orden no importa, es una combinación.

Si el orden śı importa es una permutación.


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“ Si una operación o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p 1 formas, el segundo

de p

2 formas , el tercero de p

3 formas ,. . . , y el k-ésimo de p

k formas.

La operación se puede realizar

p 1 × p 2 × . . . . × p k formas


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“ Si una operación o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p 1 formas, el segundo

de p



k formas.


p 1 × p 2 × . . . . × p k formas


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“ Si una operación o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p 1 formas, el segundode p



k formas.


p 1 × p 2 × . . . . × p k formas


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Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?

Rta. a

Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?

Rta. b


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Rta. a


Rta. b


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Rta. a


Rta. b


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Rta. a


Rta. b


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Rta. A ( 8 × 10 = 80)

Rta. B (3 × 5 × 4 × 4 = 240)


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41/360

Rta. A ( 8 × 10 = 80)

Rta. B (3 × 5 × 4 × 4 = 240)


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Permutaciones con repetición

Si elegimos n situaciones y elegimos r de ellas, las permutaciones

posibles son:

n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces ) = nr

Seŕıan n posibilidades para la primera elección, consiguientemente

hay n posibilidades para la segunda elección, y aśı sucesivamente.


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posibles son:

n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces ) = nr




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posibles son:

n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces ) = nr




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Hace algunos años la empresa Wendy’s Hamburgers anunció queteńıa 256 formas de preparar un hamburguesa. Usted puede elegiru omitir, cualquier combinación de lo siguiente para su

hamburguesa: mostaza, salsa de tomate, cebolla, pepinillos,tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga.

¿Es cierto lo que dice el anuncio? Indique cómo obtuvo surespuesta


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Hace algunos años la empresa Wendy’s Hamburgers anunció queteńıa 256 formas de preparar un hamburguesa. Usted puede elegiru omitir, cualquier combinación de lo siguiente para su

hamburguesa: mostaza, salsa de tomate, cebolla, pepinillos,tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga.

¿Es cierto lo que dice el anuncio? Indique cómo obtuvo surespuesta


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Usted puede elegir u omitir.

mostaza

salsa de tomate

Cebolla

pepinillostomate en rebanadas

Aderezo

mayonesa

lechuga

n es el número de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)


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mostaza

salsa de tomate

Cebolla


Aderezo

mayonesa

lechuga



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mostaza

salsa de tomate

Cebolla


Aderezo

mayonesa

lechuga



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mostaza

salsa de tomate

Cebolla


Aderezo

mayonesa

lechuga


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mostaza

salsa de tomate

Cebolla


Aderezo

mayonesa

lechuga



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mostaza

salsa de tomate

Cebolla


Aderezo

mayonesa

lechuga



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54/360


mostaza

salsa de tomate

Cebolla


Aderezo

mayonesa

lechuga



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mostaza

salsa de tomate

Cebolla


Aderezo

mayonesa

lechuga



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Si se tiene el evento 1, ocurre n1 formas distintas y por cada unade ellas un evento 2 ocurre en n2 formas diferentes y aśısucesivamente hasta el evento k, el número de formas totalesposibles distintas de ocurrencia de todos los k eventos es.

n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk


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Permutaciones sin repetición

¿ Cómo puedes ordenar el número de sillas en el salón de clases ?

60 ∗ 59 ∗ ... ∗ 1 =


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Sean n enteros positivos:

Se define el factorial de n, denotado por n!, como:

n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1

Por definicion 0! = 1

n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!


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n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1


n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!


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n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1


n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!


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n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1


n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!


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n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1


n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!


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Permutación

Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.

Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el número total

de permutaciones distintas es:

nP r = n!(n−r )!

n, número total de objetos.

r , número de objetos seleccionados

el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.


Una permutación es una combinación ordenada.


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Permutación




nP r = n!(n−r )!







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Permutación




nP r = n!(n−r )!







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Permutación




nP r = n!(n−r )!







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Permutación




nP r = n!(n−r )!







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Permutación




nP r = n!(n−r )!






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Permutación




nP r = n!(n−r )!







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Permutación

P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r ) . . . (2)(1) =

n!

(n − r )!

n, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados





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Permutación

P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r ) . . . (2)(1) =

n!

(n − r )!






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Permutación

P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r ) . . . (2)(1) =

n!

(n − r )!






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Permutación

P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r ) . . . (2)(1) =

n!

(n − r )!






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Permutación

P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r ) . . . (2)(1) =

n!

(n − r )!






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Permutación

P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r ) . . . (2)(1) =

n!

(n − r )!






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Permutación

P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r ) . . . (2)(1) =

n!

(n − r )!






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Permutación

P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!

nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)

(n − r ) . . . (2)(1) =

n!

(n − r )!

n

, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados





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Ej: Con referencia al grupo de tres partes electrónicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?

n=3, son 3 partes para ensamblar

r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular

nP r = n!(n−r )! =

3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6

Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectrónicas, denotadas por A, B, C

ABC , BAC , CAB , ACB , BCA, CBA



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nP r = n!(n−r )! =

3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6





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nP r = n!(n−r )! =

3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6





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82/360




nP r = n!(n−r )! =

3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6





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nP r = n!(n−r )! =

3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6





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nP r = n!(n−r )! =

3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6





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nP r = n!(n−r )! =

3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6





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Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de producción. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?

n=8, r=3

nP r = n!(n−r )! =

8!5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336

Hay un total de 336 acomodos diferentes.


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n=8, r=3

nP r = n!(n−r )! =

8!5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336



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n=8, r=3

nP r = n!(n−r )! =

8!5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336



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n=8, r=3

nP r = n!(n−r )! =

8!5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336



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Si nueve bolas distinguibles entre si son colocadas al azar encatorce (14) cajas, la probabilidad de que ninguna caja reciba masde una bola es :

Un ascensor inicia el recorrido con 10 personas y se detiene en 15pisos . Cual es la probabilidad de que máximo una persona deje elascensor en el mismo piso ?


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Si nueve bolas distinguibles entre si son colocadas al azar encatorce (14) cajas, la probabilidad de que ninguna caja reciba masde una bola es :

Un ascensor inicia el recorrido con 10 personas y se detiene en 15pisos . Cual es la probabilidad de que máximo una persona deje elascensor en el mismo piso ?


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Permutaciones sin repetición de n elementos tomadostodos a la vez

De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras delalfabeto PROBABILIDAD

12 × 11 . . . × 1 = 12! = 479001600


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Permutaciones sin repetición de n elementos tomadostodos a la vez

De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras delalfabeto PROBABILIDAD

12 × 11 . . . × 1 = 12! = 479001600


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94/360

Permutaciones sin repetición de n elementos tomados de ren r

De cuantas formas diferentes se pueden sentar 6 alumnos en unsalón de clase de 45 puestos?

45P 6


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95/360

Permutaciones sin repetición de n elementos tomados de ren r

De cuantas formas diferentes se pueden sentar 6 alumnos en unsalón de clase de 45 puestos?

45P 6


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96/360

Combinaciones

Recordando, el orden no importa, es una combinación.

Con repetición:

como billetes en tu billetera (10000,10000,50000,50000,50000)

Sin repetición: como números del baloto (13,1,25,7,3,32,52)


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Combinaciones


Con repetición:



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98/360


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Combinaciones


Con repetición:




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Combinaciones sin repetición

Aśı funciona el baloto. Los números se eligen de uno en uno, y sitienes los números de la suerte (en el mismo orden) GANASTE!


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Combinaciones sin repetición

Aśı funciona el baloto. Los números se eligen de uno en uno, y sitienes los números de la suerte (en el mismo orden) GANASTE!


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102/360

Si el orden śı importa (permutaciones).

Si el orden no importa (combinaciones).

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103/360


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104/360

Se tomaron 3 colores diferentes

Amarillo

Rojo

Azul.

Las posibilidades son:

El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)

El orden no importa: (1 2 3)


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105/360


Amarillo

Rojo

Azul.


El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)



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106/360


Amarillo

Rojo

Azul.


El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)



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Amarillo

Rojo

Azul.


El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)


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108/360


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109/360


Amarillo

Rojo

Azul.


El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)



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110/360

Las permutaciones son 6 posibilidades.

Una manera fácil de saber de cuántas maneras ”1 2 3”se pueden

ordenar.3! = 3x 2x 1

Realicemos para 5 colores diferentes


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Combinación

Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier selección se le llama una combinación.

nC r = n!

r !(n − r )!

nC r (r !) =n P r = n!

(n − r )!

El número de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.


Coeficiente binomial.


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Combinación


nC r = n!

r !(n − r )!

nC r (r !) =n P r = n!

(n − r )!





C b ´

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Combinación


nC r = n!

r !(n − r )!

nC r (r !) =n P r = n!

(n − r )!





C bi i´

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117/360

Combinación


nC r = n!

r !(n − r )!

nC r (r !) =n P r = n!

(n − r )!





C bi i´

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118/360

Combinación


nC r = n!

r !(n − r )!

nC r (r !) =n P r = n!

(n − r )!





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119/360

Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamaño r

0 ≤ r ≤ n

El número de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse

con la formula:

nC r = n!

r !(n − r )!

4C 3 = 4!

3!(4 − 3)! = 4

El número de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total

de 4, sin importar el orden.


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120/360


0 ≤ r ≤ n


con la formula:

nC r = n!

r !(n − r )!

4C 3 = 4!

3!(4 − 3)! = 4




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121/360


0 ≤ r ≤ n


con la formula:

nC r = n!

r !(n − r )!

4C 3 = 4!

3!(4 − 3)! = 4



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123/360


0 ≤ r ≤ n


con la formula:

nC r = n!

r !(n − r )!

4C 3 = 4!

3!(4 − 3)! = 4




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124/360


0 ≤ r ≤ n


con la formula:

nC r = n!

r !(n − r )!

4C 3 = 4!

3!(4 − 3)! = 4




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125/360

Ej: Los ejecutivos C,D,F han se de ser elegidos como comité paranegociar una fusión de empresas, sólo existe una combinaciónposible de estos tres. El comité formado por C,D,F equivale al

integrado por D,F,C .

3C 3 = 3!

3!(0)! = 1


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126/360

Ej: Los ejecutivos C,D,F han se de ser elegidos como comité paranegociar una fusión de empresas, sólo existe una combinaciónposible de estos tres. El comité formado por C,D,F equivale al

integrado por D,F,C .

3C 3 = 3!

3!(0)! = 1

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128/360

Ej: A un departamento de mercadotecnia se le ha diseñado quediseñe códigos de colores para las 42 ĺıneas de discoscompactos(CD) que comercializa la empresa EWQ.

Se van a utilizar 3 colores en cada ĺınea de CD , pero unacombinación de tres colores que se utilizan en una ĺınea no puedenno puede reordenarse y utilizarse para identificar otra ĺıneadiferente.

Esto significa que si se usaran los colores amarillo, verde y violeta(o cualquier otra combinación de estos tres colores) no se podŕıa

emplear para identificar otra ĺınea. ¿Serán adecuados siete coloresformados tres a la vez para codificar adecuadamente las 42 ĺıneas ?

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130/360

El número de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un totalde 7, sin importar el orden.

7C 3 =

7!

3!(7 − 3)! = 35

7P 3 = 7!

(7 − 3)! =

7!

4!

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132/360

Cuántos helados de dos sabores diferentes nos pueden servir enuna heladeŕıa que tiene el siguiente surtido de sabores : chocolate,vainilla, mamey, fresa, mango, coco ?

6C 2 = 6!

2!(6 − 2)! = 15

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Combinaciones con repetición

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Combinaciones con repeticion

= (n+r −1)!r !(n−1)!

Coeficiente binomial negativa


Ejercicios

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Ejercicios

1. Supóngase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.

De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?

Rta. 4200

Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina

en la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.Cuantas combinaciones pueden darse ?


Ejercicios

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Ejercicios



Rta. 4200




Ejercicios

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137/360

Ejercicios



Rta. 4200




Ejercicios

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138/360

Ejercicios



Rta. 4200



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139/360


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140/360

Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5ĺıneas de armado, en la segunda 4 ĺıneas de armado y en la tercera,6 ĺıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?

Rta. 120 formas

Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el d́ıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionará , varia elorden de las visitas.

¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?Rta. 720


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Rta. 120 formas




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Rta. 120 formas




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Rta. 120 formas




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Sin repeticion

Permutación nP r , Combinación nC r

Se seleccionan 3 colores sin repetición de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco

nP r =4 P 3 = 24

nC r =4 C 3 = 4

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Sin repeticion



nP r =4 P 3 = 24

nC r =4 C 3 = 4


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Sin repeticion



nP r =4 P 3 = 24

nC r =4 C 3 = 4

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151/360

Es de gran ayuda la teoŕıa de probabilidad, a la quefrecuentemente se denomina ciencia de la incertidumbre

El empleo de esta teoŕıa de la probabilidad permite -a quientoma decisiones con información limitada- analizar los riesgosy minimizar el azar inherente.


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Es de gran ayuda la teoŕıa de probabilidad, a la quefrecuentemente se denomina ciencia de la incertidumbre

El empleo de esta teoŕıa de la probabilidad permite -a quientoma decisiones con información limitada- analizar los riesgosy minimizar el azar inherente.


Introducción

Introducción

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153/360

El calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro .(Inferencia estad́ıstica o estad́ıstica inferencial)

La inferencia estad́ıstica se ocupa de obtener conclusionesacerca de la población basándose en una muestra.

Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomardecisiones, resulta importante que se evalúen en forma

cient́ıfica todos los riesgos impĺıcitos conocidos


Introducción

Introducción

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Introducción

Introducción

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Probabilidad

Probabilidad

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156/360

ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.

ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.

EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.


Probabilidad

Probabilidad

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Probabilidad

Probabilidad

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Probabilidad

Probabilidad

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Probabilidad

Probabilidad

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Probabilidad

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Probabilidad

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165/360


Probabilidad

Conceptos iniciales de probabilidad

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166/360

Experimento aleatorio

Espacio muestral : w elementos de Ω

Espacios muestrales discretos

Espacios muestrales continuos


Probabilidad


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167/360






Probabilidad


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168/360






Probabilidad


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169/360






Probabilidad

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170/360

FinitoΩF o tambíen Ω1Lanzar un dado Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Infinito Enumerable

Número de autos que pasan por una autopista.Ω2 = {0, 1, 2,...}

Infinito No numerable

Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estad́ıstica.Ω3 = {x ∈ R/x ≥ 0}


Probabilidad

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Infinito Enumerable





Probabilidad

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172/360


Infinito Enumerable




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173/360


Probabilidad

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174/360


Infinito Enumerable





Probabilidad

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175/360


Infinito Enumerable





Probabilidad

8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016

176/360


Infinito Enumerable




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177/360


Probabilidad

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178/360


Infinito Enumerable





Probabilidad

σ-álgebra

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179/360

Sea Ω = Φ. Una colección de subconjuntos de Ω es unaσ-álgebra sobre Ω, si

Ω ∈

A ∈ → Ac ∈

Si A1, A2,... ∈ →α

i =1 Ai ∈

Los elementos de se llaman eventos.= p (Ω)


Probabilidad

Espacio media de probabilidad

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180/360

Espacio de probabilidad : tripleta (Ω, ,P )

P : Medida de probabilidad.

Def :

P (A) ≥ 0 ∀ ∈ P (Ω) = 1

A1, A2,... ∈ , disjuntos →α

i =1 =

α

i =1 P (Ai )

P: Medida de probabilidad sobre (Ω, )

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181/360


Probabilidad

Probabilidad como frecuencia relativa

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182/360

Espacio medible

Operaciones entre eventos

Mutuamente excluyentes


Probabilidad


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183/360

Espacio medible




Probabilidad


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184/360

Espacio medible




Probabilidad

Frecuencia relativa f r (A)

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185/360

Suponga un experimento aleatorio n veces.

Se mantienen condiciones mas o menos constantes.

f r (A) = n(A)

n

n(A): Número de veces que ocurre el evento A


Probabilidad


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186/360



f r (A) = n(A)

n



Probabilidad


8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016

187/360



f r (A) = n(A)

n



Probabilidad


8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016

188/360



f r (A) = n(A)

n



Probabilidad

Elementos con probabilidad desigual (No uniformes)

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189/360

Ω es finito

= ρ(Ω)

Elementos con probabilidades distintas


Probabilidad

Medida de probabilidad condicional P (•|A)

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190/360

(Ω, ,P ) espacio de probabilidad (tripleta) A, B ∈ con P (A) ≥ 0

Probabilidad del evento B , bajo la condición A

P (B |A) = P (A ∩ B )P (A)

También se demuestra que P (•|A) es una medida de probabilidad

A partir de P (B |A)P (A ∩ B ) = P (A)P (B |A)


Probabilidad

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191/360

La Probabilidad de la certidumbre es 1.

P (sucesocierto ) = 1

P (sucesoimposible ) = 0

0 ≤ P (E j ) ≤ 1


Probabilidad

8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016

192/360




0 ≤ P (E j ) ≤ 1


Probabilidad

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193/360




0 ≤ P (E j ) ≤ 1


Probabilidad

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194/360

El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento .Un experimento es toda acción bien definida la cual produceun único resultado.

Un conjunto es una colección de objetos.

Los objetos de un conjunto son sus elementos.

El conjunto de todos los resultado posibles de un experimentoes el espacio muestral.

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Probabilidad

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El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento .Un experimento es toda acción bien definida la cual produceun único resultado.

Un conjunto es una colección de objetos.

Los objetos de un conjunto son sus elementos.

El conjunto de todos los resultado posibles de un experimentoes el espacio muestral.


Probabilidad

El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es el

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198/360


espacio muestral .

Para el dado, el espacio muestral es :

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω,... son llamados pntos muestrales.

6

i =1

P (E j ) = 1


Probabilidad


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espacio muestral .


Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


6

i =1

P (E j ) = 1


Probabilidad


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200/360


espacio muestral .


Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


6

i =1

P (E j ) = 1

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201/360


Probabilidad


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202/360


espacio muestral .


Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


6

i =1

P (E j ) = 1


Probabilidad

La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654 1705) miembro de una

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203/360

siglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de una

familia Suiza de matemáticos estableció las leyes básicas de laprobabilidad moderna.

Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teoŕıa de la probabilidad .

La historia se remonta los juegos del azar.En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teoŕıa de la probabilidad .

Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basándose en probabilidad de muerte a una edadconcreta


Probabilidad

La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654 1705) miembro de una

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Probabilidad

La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de una

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La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de una

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siglo XVII Jacob Bernoilli (1654 1705) miembro de una



La historia se remonta los juegos del azar.En la actualidad se observa qu

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