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Profesor: Hctor Gonzlez Ayudantes: Nelson Mela, Felipe Luengo,
Javier
Ziga
Anlisis Matricial de Estructuras Solucin Problema 2- Mtodo de
Rigidez Para determinar la rigidez de los resortes helicoidales que
reducen el giro en los apoyos en un 40% primero debemos determinar
que valor tienen estos giros antes de la presencia de los resortes.
Entonces, en virtud de que el marco rgido geometricamente es
simtrico al igual que el estado de cargas que lo solicita, podemos
simplificar el problema al siguiente modelo de la estructura:
Este modelo tiene los siguientes grados de libertad:
Largos ngulo director Donde:
Elemento 1: L1 4 m 1 90deg
Elemento 2: L2 6.5 m 2 atan5
12
2 22.62deg
Propiedades de los elementos: Carga solicitante:
EI 1000 tonf m2 q 0.5 tonf
m
-
Compatibilidades Geomtricas
34
4
32
5
12)tan( rr
r
r
Barra EI inclinada:
Matriz de Transformacin geomtrica
T
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
12
5
Estructura [A]
Momentos de empotramiento perfecto
Corte Momento
Elemento 2: V2
q L2 cos 2
2 M2 q
L2 cos 22
12
Estructura [B]
Matriz de rigidez por elemento y matriz de rigidez diagonal:
k1
4 EI
L1
2 EI
L1
2 EI
L1
4 EI
L1
k2
4 EI
L2
2 EI
L2
2 EI
L2
4 EI
L2
K
4 EI
L1
2 EI
L1
0
0
2 EI
L1
4 EI
L1
0
0
0
0
4 EI
L2
2 EI
L2
0
0
2 EI
L2
4 EI
L2
K
1 103
500
0
0
500
1 103
0
0
0
0
615.38
307.69
0
0
307.69
615.38
-
Matriz de compatibilidad geomtrica [a]:
a
1
0
0
0
0
1
1
0
1
4
1
4
sin 2
L2
sin 2
L2
0
0
cos 2
L2
cos 2
L2
a
1
0
0
0
0
1
1
0
0.25
0.25
0.06
0.06
0
0
0.14
0.14
Matriz de Rigidez de la estructura:
Kest aTK a
Kest
1 103
500
375
0
500
1.62 103
320.38
131.09
375
320.38
193.96
15.51
0
131.09
15.51
37.23
Matriz de Rigidez de la estructtura referida a los grados de
libertad independientes:
Kq TTKest T
Kq
1 103
500
375
500
1.62 103
5.77
375
5.77
482.88
Vector de fuerzas:
R
0
M2
0
V2
R
0
1.5
0
1.5
-
Vector de fuerzas referido a los grados de libetad
independientes:
Q TTR Q
0
1.5
3.6
Desplazamientos de los grados de libertad independientes:
rq Kq1Q rq
5.82 103
2.69 103
0.01
Por lo tanto el giro en el apoyo corresponde a r1= 5.82 103 rad,
necesitamos
reducirlo a un 60% quedando:
r1 submatrix rq 0 0 0 0 0.6 r1 3.49 10
3 rad
Adems como agregamos los resortes en la estructura aparece un
momento en el apoyo que se opone al giro en ese punto, quedando el
estado de carga de la estructura como sigue:
Por lo que nuestro nuevo vector de cargas es:
Q2 M
M
1.5
3.6
y el vector de desplazamientos:
rq2 r2 r3
3.49 103
r2
r3
-
Finalmente resolvemos el siguiente sistema:
Kq rq2 r2 r3
3.4900000000000000000500r2 375r3
1.74500000000000000001615.3846153846153846r2
5.76923076923076922r3
1.30875000000000000005.76923076923076922r2
482.88461538461538462r3
M 0 r2 0 r3 0
Given
M 3.49 500r2 375r3
1.5 1.7450 1615.38461r2 5.76923r3
3.6 1.30875 5.76923r2 482.88461r3
sol Find M r2 r3
Tonf m
sol
1.3
1.97 103
0.01
rad
m
De la ecuacin de rigidez para un resorte helicoidal tenemos:
k 1 M k r1
Obteniendo como resultado de la rigidez del resorte, con un
valor de:
k1.3
3.49 103 k 372.49
Tonf m
rad
Observacin: El valor de la rigidez de ambos resortes es el
mismo, esto por la simetra que presenta la estructura. En cuanto al
valor, este puede variar entre 370 y 376 aproximadamente segn la
cantidad de decimales que se considere en el anlisis. Encontrandose
dentro de este rango es aceptable.
