MÉTODO PÓLYA PARA RESOLVER PROBLEMAS

PASO 1: ENTENDER EL PROBLEMA. 1.- ¿Entiendes todo lo que dice? 2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? 3.- ¿Distingues cuáles son los datos? 4.- ¿Sabes a qué quieres llegar? 5.- ¿Hay suficiente información? 6.- ¿Hay información extraña? 7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

PASO 2: CONFIGURAR UN PLAN. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final). 1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2.- Usar una variable. 3.- Buscar un Patrón 4.- Hacer una lista. 5.- Resolver un problema similar más simple. 6.- Hacer una figura. 7.- Hacer un diagrama 8.- Usar razonamiento directo. 9.- Usar razonamiento indirecto. 10.- Usar las propiedades de los Números. 11.- Resolver un problema equivalente. 12.- Trabajar hacia atrás. 13.- Usar casos 14.- Resolver una ecuación

15.- Buscar una fórmula. 16.- Usar un modelo. 17.- Usar análisis dimensional. 18.- Identificar sub-metas. 19.- Usar coordenadas. 20.- Usar simetría.

PASO 3: EJECUTAR EL PLAN. 1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. 2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!). 3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

PASO 4: MIRAR HACIA ATRÁS. 1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? 2.- ¿Adviertes una solución más sencilla? 3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue:

Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas: Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1.- Acepta el reto de resolver el problema. 2.- Reescribe el problema en tus propias palabras. 3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar... 4. -Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. 5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples. 6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo. 7.- Analiza el problema desde varios ángulos. 8.- Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9.- Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. 10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. 11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá. 12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fué el paso clave en tu solución. 14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después. 15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas. 16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

PROBLEMARIO DE:_________________________________

1. Una señora tiene 2 hijas en edad escolar. El producto de su edad con las edades de sus hijos, es de 230, ¿cuál es la diferencia de edad entre sus hijas?

2. El polígono de la figura tiene todos sus ángulos rectos, ¿cuál es el perímetro de polígono?

3. Colorea la mitad de los círculos del dibujo de manera que siempre haya dos círculos coloreados en cada recta y en cada uno de los círculos grandes.

4. Se tienen 6 sabores diferentes de helados. Ernesto quiere comprar helado con dos bolas y quiere saber cuántas posibles combinaciones puede hacer.

5. Los cinco círculos son congruentes (iguales) entre sí. Dibuja una recta que divida la figura en dos partes tales que las áreas de las regiones cubiertas por los círculos sean iguales.

6. Tres cuadrados con lado de longitudes 10 cm 8 cm y 6 cm, respectivamente se colocan uno al lado del otro. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

7. Si AB = 10 cm y BC = 8 cm, ¿cuánto mide el diámetro de la circunferencia? (AC y BC son perpendiculares a los ejes)

8. Si las primeras cuatro figuras son.

¿Cuántos cuadraditos hay en la figura 20?

Fig. 4Fig. 3Fig. 2Fig. 1

12 cm

8 cm

2 cm

B C

A

9. El año pasado una patineta costaba $100.00 y un casco $40.00, este año el costo de la patineta aumentó 12% y el del casco un 5%, ¿cuánto fue el aumento en el costo de ambos?

10. Utilizando seis números 6 y tres operaciones expresa el número 123.

11. María estaba calculando el área de un círculo y por error usó el valor del diámetro en lugar del radio: ¿Qué operación puede hacer con su resultado para obtener el área correcta?

12. Reparte los números del 1 al 9 de manera que obtengas horizontal, vertical y diagonalmente números que sean divisibles entre 3, sin importar si los lees de izquierda a derecha, de arriba hacia abajo o viceversa, (El 3 y el 8 están fijos).

13. Un antiguo acertijo popular dice, cada pájaro en su olivo y sobra un pájaro: dos pájaros en cada olivo y sobra un olivo. ¿Cuántos olivos son?

14. La mamá de Heberto hizo un pastel de chocolate, una mitad la guarda en el refrigerador y la otra mitad la divide en cuatro partes. Le da una a Heberto, otra a su papá, otra a su hermana y una para ella. ¿Qué parte del pastel se comió Heberto?

15. Cuando son las 9 de la noche, ¿qué fracción del día ha transcurrido?

16. Ocho y ocho y ocho y ocho me dan 120. Coloca los signos +,−,× entre estos números y los paréntesis que sean necesarios, de tal forma que se cumpla la igualdad 8__ 8__ 8__ 8 = 120.

17. El cuerpo está formado por cubos iguales. Si cada cubito pesa 2.5 gr., ¿cuánto pesa el cuerpo?

18. Usando el plano cartesiano, di cuánto vale el área en unidades cuadradas, de un triángulo con vértices de (0, 0), (1.5) y 7,3).

19. La rueda delantera de la bicicleta de Andrés tiene 4 m de circunferencia y la trasera tiene 5 m de circunferencia. ¿Cuántas vueltas más dio la rueda delantera que la trasera mientras que Andrés recorrió 400 metros?

20. ¿Qué número multiplicado por 8 nos da el doble de 36?

21. ¿Qué número sigue: 2, 3, 5, 9, 17, 33, ...?

22. En enero Juan vende el litro de leche a $8.00, en febrero se da cuenta de que está perdiendo dinero y sube el precio un 25%. A finales de marzo se da cuenta de que la gente le está dejando de comprar leche y baja el precio un 20%. ¿Cuál es la diferencia del precio de la leche entre enero y marzo?

23. ¿Cómo formarías 3 cuadrados iguales con 4 palitos de 1 centímetro de largo y 4 de medio centímetro?

8

3

24. Una caja contiene 20 pelotas amarillas. 9 rojas y 6 azules. Si las pelotas son seleccionadas al azar, ¿cuál es el menor número de pelotas que necesitas sacar de la caja para asegurar que tienes al menos dos pelotas de cada color?

25. El primer “panal” está formado por 7 hexágonos y 30 palitos, el segundo por 12 hexágonos y 49 palitos, ¿cuántos palitos necesitarás para formar un “panal” de 37 hexágonos?

26. Utilizando cada una de las cifras: 1, 2, 3 y 4 una vez, se pueden escribir diferentes números, ¿cuál es la diferencia entre el más grande y el más pequeño de los números que se construyen así?

27. Un rompecabezas cuadrado está formado por 2 piezas cuadradas y 5 piezas rectangulares iguales. Si cada una de las piezas cuadradas tiene 225 cm2 de área, ¿cuál es el perímetro de cada una de las 5 piezas rectangulares?

28. Si el único hermano de la única hermana de tu padre tiene un hijo único, ¿qué parentesco tiene contigo?

29. Todas las fichas de un juego de dominó están colocadas formando una cadena. Si en un extremo la cadena termina con un 5, ¿cuántos puntos hay en el otro extremo?

30. Se diseña una loseta recortando cuadrantes de círculo de cada vértice de un cuadrado de lado 12 cm. Si se colocan tres de estas losetas en fila, ¿cuál es el perímetro de la figura que se forma?

31. Encuentra un número entero que al duplicarlo sea la tercera parte de 90.

32. Colorea seis de los diez círculos del dibujo, de manera que siempre haya dos círculos coloreados en cada recta.

33. Tomando como punto fijo el centro, ¿cómo quedaría la figura si la rotamos 216° a favor de las manecillas del reloj?

Fig. 3Fig. 2Fig. 1

4 cm

12 cm

1A

A D S

H

CB

E

34. Considera todos los rectángulos cuyos lados sean números enteros y cuyo perímetro mida 16 cm, ¿cuál de ellos tiene área máxima?

35. El profesor Gerardo tiene 2 sacos, 3 pantalones y 4 corbatas, todos distintos. ¿De cuántas formas diferentes se puede vestir?

36. ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada si el lado del cuadrado mide 8 cm?

37. Si un lado de un rectángulo mide 6 cm y su área es de 24 cm 2

¿Cuánto mide el perímetro?

38. Tu computadora tiene un virus. Cada número x entre 2 y 9 se ha sustituido por la suma de todos los anteriores incluyéndolo a él. Por ejemplo, 5 ha sido sustituido por 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, si tecleas 1 + 3 + 9, ¿qué resultado te dará la computadora?

39. ¿Cuál es el siguiente término de la sucesión?

23 ,

49 ,

827 ,

1681,⋯

40. Los cuadrados ABCD y EFGH son iguales, y el área del cuadrado

sombreado es

19 del área de ABCD. Si el

cuadrado sombreado tiene 49 cm2 de área, ¿cuál es el área de ARGS?

41. Moviendo únicamente un palito, haz que la siguiente igualdad sea correcta.

42. Una noche de mucho trabajo, un Valet Parking estacionó 320 automóviles. El 20% de los clientes le dio $10.00 de propina, la mitad del 50% de los que quedaban, le dio $20.00 y el resto no le dio nada. ¿Cuánto ganó?

43. Tenemos tres piezas de cartulina de forma rectangular. Si las coloco de la forma que indica la figura, obtengo un cuadrado que tiene 24 centímetros de perímetro.

Colocándolas de otra manera, sin superponerlas, obtengo un rectángulo. ¿Cuál sería el perímetro de ese rectángulo?

44. David, Alba y Esther son más altos que Daniel. Esther, Gabriel y Daniel son más bajos que David. Si los ordenas de mayor a menor, David y Gabriel ocupan posiciones con número par. ¿Cuál de todas las personas que hemos citado es la de menor estatura?¿Podrías situar todos los nombres, de más alto a más bajo?

45. Forma palabras con las siguientes reglas: la primera palabra es a; para armar una nueva palabra cada vez que tengas una a la cambias por una b y cada que tengas una b la cambias por una ba. Siguiendo estas reglas las primeras palabras son: a, b, ba, bab, babba. ¿Qué palabra sigue?

A D S

H

C

GFR

B

E

3 cm

5 cm

9 cm6cm

16cm

3 cm

46. Dibujando tres cuadrados, separa todos y cada uno de los siete círculos.

47. En la siguiente suma cada letra distinta representa un dígito distinto. ¿Cuál es el valor posible de A?

48. Un semáforo tarda 45 segundos en verde, 4 en amarillo y 30 en rojo, y sigue el orden verde-amarillo-rojo-verde-amarillo-rojo. Si a las 7:00 a.m. cambia de rojo a verde, ¿de qué color estará a las 2:34 p.m.?

49. Si divides el rectángulo de 16 cm x 9 cm como se muestra, puedes formar un cuadrado con las 4 piezas. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado?

50. Los números del 1 al 9 se colocaron en los 5 anillos olímpicos de tal forma que la suma en cada anillo es 11. ¿Los puedes colocar de tal forma que la suma en cada anillo sea 14?

51. Las siguientes 7 piezas son las piezas de un Tangram de 12 cm x 12 cm. ¿Cuál es el área del paralelogramo?

52. ¿Cuál es el mínimo número de cuadritos que tienes que rellenar para que tanto m como m’ sean rectas de simetría del cuadrado?

53. Dos Kilogramos de monedas de 20 centavos equivalen en dinero a un kilogramo de monedas de 50 centavos. Si cada moneda de 20 centavos pesa 8 gr, ¿cuánto pesa una moneda de 50 centavos?

54. En un grupo de diez estudiantes, cada uno pesa 58 kg en promedio, si se sabe que tres personas del grupo pesan en promedio 65 kg cada una, ¿cuánto pesa en promedio cada una de las siete personas restantes?

A B

+ B A

C D C

8

7

24

96

5

13

m m’

55. La señora Núñez repartió 17 chocolates entre sus hijos. A cada una de las niñas les dio cuatro chocolates, mientras que a los niños les dio solamente tres. ¿Cuántos hijos (niños y niñas) tiene la señora Núñez?

56. Si G, H, I y J son los puntos medios de los lados de ABDE, y la distancia FJ es la misma que la distancia HC. ¿Cuánto mide el área de la parte sombreada?

57. Usando un reloj de arena de siete minutos y otro de once minutos. ¿Cuál es la manera más sencilla de medir quince minutos necesarios para hervir un huevo?

58. Cinco niños juegan a las escondidas en el patio de su escuela, cuatro se esconden y otro los busca. En ese patio hay sólo 3 escondites, los que diario usan: atrás del árbol, atrás del bote de basura y bajo la banca (en donde caben dos niños), les toca esconderse a Ana, Beto, Carlos y David. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir en los escondites?

59. Un rectángulo ABCD es dividido en cuatro rectángulos como se muestra en la figura. Las áreas de tres de ellos son las que están escritas dentro (no se conoce el área del cuarto rectángulo), ¿cuánto mide el área del rectángulo ABCD?

60. Ana y Mateo se están repartiendo una bolsa de dulces. Se la van a repartir de la siguiente manera: Primero Mateo toma un dulce; Ana toma dos; Mateo toma tres; Ana toma cuatro. Así sucesivamente cada uno toma un dulce más del que tomó el anterior. Ana es la última que toma dulces y la bolsa queda entonces vacía. Ana tiene 20 dulces más que Mateo. ¿Cuántos dulces contenía la bolsa?

61. El triángulo equilátero grande tiene 48 cm de perímetro. El perímetro del segundo triángulo es la mitad de primero y el perímetro del tercero es la mitad del segundo. ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada?

62. La abuela guarda bolsitas de té en una caja con 6 casillas como la que muestra la figura. Tiene 6 variedades de te: Negro, Verde, Manzanilla, Hierbabuena, Canela y Limón. Pone cada variedad en una casilla, y nunca pone el Negro y el Verde en las casillas de en medio ni en casillas vecinas. ¿De cuántas maneras distintas puede acomodar las 6 variedades de té en la caja?

63. Un artesano vende el par de aretes en $20.00 y las pulseras a $30.00 cada una. También tiene una oferta especial: vende un juego de un par de aretes y una pulsera en $40.00. El sábado el artesano vendió 72 pulseras, algunas en los juegos y otras sueltas y 80 pares de aretes,

J HF

I

C

DE

G

BA

3 cm

6 cm

3 cm

Resultado:

Resultado:

8,00 cm

3

6

BA

30 cm220 cm2

D C

12 cm2

Pueb lo

Un so lo se ntid o

algunos en los juegos y otros sueltos. El sábado vendió 52 juegos de oferta. ¿Cuánto dinero se llevó el artesano ese día por el total de las ventas?

64. ¿Cuántos triángulos isósceles distintos se pueden formar, de tal manera que las longitudes de sus lados sean números enteros y su perímetro sea 25?

65. El hexágono E F G H I J tiene todos sus lados iguales y el perímetro igual a 90. Los cuatro triángulos son iguales; DC = 18 y H es el punto medio. Si el perímetro de cada triángulo es igual a 36, ¿cuánto mide el perímetro del rectángulo ABCD?

A J I D

E H H

B F G C

66. Alberto está entrenando para un campeonato de ciclismo. Cada mañana sale de su pueblo tomando uno de los 7 caminos secundarios que hay hacia la carretera principal. Los caminos secundarios son de doble sentido (puede ir y regresar por ellos). El camino principal es de un solo sentido (sólo puede avanzar en una dirección). Una vez en el camino principal recorre una parte y regresa por un camino secundario, diferente al que tomó al inicio. Si una ruta consiste en salir del pueblo por un camino secundario, recorrer parte del camino principal y regresar por un camino secundario diferente ¿Cuántas rutas diferentes puede hacer Alberto?

67. En la figura siguiente, ¿qué fracción del área del hexágono regular representa el área del triángulo ABC?

68. Se tiene que llenar la siguiente cuadrícula con los números del 1 al 5, de tal forma que cada número aparezca únicamente una vez en cada columna y en cada renglón. Completa los números que faltan en la cuadrícula. ¿Cuál es el número que va en el centro de la cuadrícula?

5 4

5 3 2

1 3

5

3

69. Si el lado del cuadrado mide 4 cm, P es su centro y Q el punto medio del lado. ¿Cuál es la superficie de la región sombreada?

70. Numeré 2010 tarjetas del 1 al 2010 y quité aquéllas que terminaban con 7. Después volví a numerar las que me quedaban y

C

por último quité las que terminaban en 3. Al final, ¿cuántas tarjetas me quedaron?

71. Tenemos una piscina cuadrada rodeada de césped, como muestra el dibujo. Si P, Q, R y S son los puntos medios de los lados del cuadrado grande y cada uno de estos lados mide 10 metros, calcula el área de la piscina.

72. Cuando se escriben los números:

¿Cuál es el dígito que ocupa la

posición 2002? Nota: en la lista anterior el dígito siete (de 17) ocupa la posición 25.

73. Al detective O’Thales le han enviado en un microfilm un mensaje con la clave para abrir la caja fuerte donde se encuentran los documentos secretos. El mensaje dice lo siguiente: “La clave es el menor número que se puede dividir exactamente por todos los números del 1 al 9." ¿Cuál es el número de la clave que tendría que utilizar el detective?

74. . Calcula el área del triángulo ABC. (Un cuadrito es 1 unidad de área).

75. ¿Qué fracciones se deben quitar de la suma para que la suma de las fracciones restantes sea igual a 1? Encuentra todas las posibilidades

12+ 13+ 14+ 16+ 18+ 110

+ 112

76. En una circunferencia hemos inscrito un rectángulo y en él un rombo, tomando los puntos medios de los lados del rectángulo. Si el diámetro del círculo es de 10 cm, ¿cuánto mide el perímetro del rombo?

77.Una línea de camiones ha decidido premiar con pasaje gratis a todos las personas que la suma de las cifras del número que aparece en su boleto de camión sea 21. La promoción durará sólo por el mes de Marzo, así que mandaron imprimir boletos que van del 1 al 2000. ¿Cuántos boletos de éstos darán pasaje gratis a los usuarios?

78. En una noche de mucho trabajo, un Valet Parking estacionó 320 coches. El 20% de los clientes le dio $10.00 de propina, la mitad del 50% de los que quedaban le dio $20.00 y el resto no le dio nada ¿Cuánto ganó?

79. Un semáforo tarda 45 segundos en verde, 4 en amarillo y 30 en rojo, y sigue el orden verde-amarillo-rojo-verde-amarillo-rojo. Si a las 7:00 a.m. cambia de rojo a verde, ¿de qué color estará a las 2:34 p.m.?

80. Una caja contiene 20 pelotas amarillas, 9 rojas y 6 azules. Si las pelotas son seleccionadas al azar, ¿cuál es el menor número de pelotas que necesitas sacar de la caja para asegurar que tienes al menos dos pelotas de cada color?

81. El cuadrado de la figura está dividido en dos rectángulos iguales. Cada rectángulo tiene 60 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

82. Mónica escribe todos los números de dos cifras en los cuales, la suma de los dos dígitos que forman el número es 8. Luego suma todos los números que escribió. ¿Cuál es el resultado que obtiene Mónica?

83. Alex, Leo, Adrián y su perro Rex se pesan en las siguientes balanzas:

Pero además sabemos que:

¿Cuánto pesa el perro Rex?

84. Si la separación del punteado en que se dibujaron las siguientes figuras es de 1 cm, ¿cuál es el área de cada una de las siguientes figuras?

85. Juan armó esta figura con tres fichas cuadradas y dos fichas rectangulares iguales. Las tres fichas cuadradas forman una rectangular.

La ficha rectangular tiene 56 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura que armó Juan?

86.El rectángulo ABCD tiene 88 cm de perímetro. Al trazar una paralela al lado AB, el ABCD queda partido en un cuadrado y un rectángulo más pequeño. El perímetro del rectángulo más pequeño es 14 cm menos que el perímetro del cuadrado. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo ABCD?

87.El rectángulo AEFG tiene 72 cm de perímetro y el ABCD tiene 48 cm de perímetro, AB=15cm y BE=2.DG. ¿Cuál es la longitud de AG?

88.Con pedazos de madera cuyas bases (arriba y abajo) son triángulos equiláteros de lado 4 cm, Juan construyó una pirámide de 4 pisos. Desde arriba la pirámide se ve como se muestra en la figura (en el nivel de más arriba sólo hay una pieza). ¿Cuántas piezas usó Juan?

89.En un edificio se numeraron todas las puertas de las oficinas utilizando placas que contenían un dígito cada una (por ejemplo, al numerar la 14ª puerta se usaron dos placas, una con el número 1 y otra con el 4). Si se utilizaron 35 placas, ¿cuántas puertas hay?

90. A Rosa le gusta calcular la suma de los dígitos que ve en su reloj digital (por ejemplo, si el reloj marca las 21 : 17 Rosa obtiene 11). ¿Cuál es la máxima suma que puede obtener?

91. Un paquete de galletas cuesta $10.00 pero por cada tres paquetes te regalan otro paquete. ¿Cuántos paquetes a lo más se pueden conseguir con $150.00?

92. Un pedazo de papel que tiene la forma de hexágono regular, como el que se muestra, se dobla de manera que las tres esquinas marcadas se tocan en el centro del hexágono. ¿Qué figura se obtiene?

93.¿Cuál es el perímetro de la estrella si se sabe que la estrella está formada por cuatro círculos iguales de radio 5cm, un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros?

94. En la figura se tiene que llegar del círculo A al círculo B siguiendo las flechas. En cada camino se calcula la suma de los números por los cuales se pasó. ¿Cuántas sumas diferentes se pueden obtener?

95. Andrés, Esteban, Roberto y Marco se encontraron en un concierto en Zacatecas. Ellos vienen de distintas ciudades: Puebla, Durango, DF y Veracruz. Se sabe que Andrés y el muchacho de Veracruz llegaron a Zacatecas temprano en la mañana el día del concierto y ninguno de ellos venía de Puebla ni del DF. Roberto no es de Veracruz y llegó a Zacatecas al mismo tiempo que el muchacho de Puebla. A Marco y al muchacho de Puebla les gustó mucho el concierto. ¿De dónde venía Marco?