Problemas de selectividad - Junta de Andalucía · a) Comprueba que la recta de ecuación y ex 1 e2 es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e. b) Calcula

Departamento de Matemáticas Página 1

I.E.S. “HIPONOVA”, MONTEFRÍO

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. INTEGRAL DEFINIDA

14.01.- Sean RRf : y RRg : las funciones definidas respectivamente por:

2)(

xxf y

21

1)(

xxg

a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. 14.02.- Considera el recinto limitado por las siguientes curvas:

2xy , 2

2 xy , 4y

a) Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas. b) Calcula el área del recinto.

14.03.- Calcula 1

1)4(ln dxx (ln denota el logaritmo neperiano)

14.04.- Sea RRf : la función definida por 32)(2 xxxf .

a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta 2x + y – 7 = 0 y el eje OX, calculando los puntos de corte.

c) Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

14.05.- Sea RRf : la función definida por 33)(23 xxxxf .

a) Halla, si existe, el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es y = 3 – x b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta del apartado

anterior.

14.06.- Calcula

1

0 2

2

422dx

xx

x.

14.07.- Calcula 4

0 2cos

dxx

x. (Sugerencia: integración por partes)

13.01.- Sean RRf : y RRg : las funciones definidas mediante

)2()( xxxf y 4)( xxg

a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

13.02.- Calcula

4

22

2

56dx

xx

x.



13.03.- De la función RRf : definida por f(x) = a x3 + b x2 + c x + d se sabe

que alcanza un máximo relativo en x = 1, que la gráfica tiene un punto de

inflexión en ( 0, 0) y que 1

0 4

5)( dxxf . Calcula a, b, c y d.

13.04.- Sean f y g las funciones definidas por xxf 2)( y 1

2)(

xxg

para 1x . a) Calcula los puntos de corte entre las gráficas de f y g. b) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. c) Halla el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

13.05.- Calcula

4

2 1dx

e

e

x

x

. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable x

et .

13.06.- Sea RRg : la función definida por g(x) = - x2 + 6x – 5.

a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de g en el punto de abscisa x = 4.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta x – 2y + 2 = 0. Calcula el área de este recinto.

13.07.- Calcula 2

0

)2(

dxxsenx .

13.08.- Sea Rg ,0: la función definida por )ln()( xxg (donde ln

denota el logaritmo neperiano). a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta y = 1. Calcula los

puntos de corte entre ellas. b) Calcula el área del recinto anterior.

12.01.- Sean RR:g,f las funciones definidas por )x(sen)x(f y )xcos()x(g

respectivamente.

a) Realiza un esbozo de las gráficas de f y g en el intervalo

20

, .

b) Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas

0x y 2

x .

12.02.- Sea RR:f la función definida por xx)x(f 43 .

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y = -x – 2, determinando los puntos de corte de ambas gráficas.

c) Calcula el área del recinto anterior.



12.03.- Sean RR:g,f las funciones definidas por xx)x(f 22 y

xx)x(g 42 respectivamente.

a) Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.

b) Calcula el área de dicho recinto. 12.04.- Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las

rectas y = 4x, y = 8 – 4x y la curva y = 2x – x2. a) Realiza un esbozo de dicho recinto.

b) Calcula su área. 12.05.- Calcula los valores de a y b sabiendo que la función R),(:f 0

definida por xlnbxa)x(f 2 , donde ln denota la función logaritmo

neperiano, tiene un extremo relativo en x = 1 y que )4ln(827)(4

1 dxxf .

12.06.- Sea f una función continua en el intervalo 32, y F una función primitiva

de f tal que F(2) = 1 y F(3) = 2. Calcula:

a) 3

2

dx)x(f b) 3

2

75 dx))x(f( c) 3

2

2dx)x(f))x(F(

12.07.- Sea la función f definida por 1

22

x

)x(f para x ≠ -1 y x ≠ 1.

a) Halla una primitiva de f. b) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas

y la gráfica de f en el intervalo k,2 sea ln 2, donde ln denota el logaritmo

neperiano.

12.08.- Sea dxx

xI

1

0 11

a) Expresa la integral I aplicando el cambio de variable xt 1 .

b) Calcula el valor de I.

12.09.- Sea RR:f la función definida por 4

92

x)x(f

.


b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta x + 2y = 5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

12.10.- Sean las funciones RR:f y R),[:g 0 definidas por 4

2x

)x(f

y x)x(g 2 respectivamente.

a) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto que limitan.



b) Calcula el área de dicho recinto. 11.01.- Calcula el valor de b > 0 sabiendo que el área de la región comprendida entre

la curva xy y la recta y = bx es de 3

4 unidades cuadradas.

11.02.- Considera las funciones RR:g,f definidas por 26 xx)x(f y

xx)x(g 22 .

a) Esboza sus gráficas en unos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

11.03.- Sean RR:g,f las funciones definidas por 44

1 2 x)x(f y

12 x)x(g .

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = -2.

b) Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta 5 xy . Calcula el área de este recinto.

11.04.- Sean RR:g,f las funciones definidas por x)x(f 34 y 2x)x(g .

a) Esboza las gráficas de f y de g. Determina sus puntos de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y de g.

11.05.- Calcula dx)xcos(x2

0

.

11.06.- Calcula un número positivo a, menor que 2, para que el recinto limitado por la

parábola de ecuación 2

2

1xy y las dos rectas horizontales de ecuaciones ay

e 2y tenga un área de 3


11.07.- Dada la función RR:f definida por 1322 xx)x(f .

a) Prueba que las rectas 1 xy e 13 xy son tangentes a su gráfica.

b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior.

11.08.- Sea R),(:f 1 la función definida por )xln()x(f 1 , donde ln

denota la función logaritmo neperiano. a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje OY y la recta y = 1.

Calcula los puntos de corte de las gráficas. b) Halla el área del recinto anterior.

10.01.- Calcula dx)x(sen2

0

. Sugerencia: Efectúa el cambio tx .



10.02.- Considera la función f dada por f (x) = 5 – x y la función g definida como

x

4)x(g para 0x .

a) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte.

b) Calcula el área de dicho recinto.

10.03.- Considera las funciones f y g : R R definidas por

x)x(g,x2)x(f2 .

a) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. 10.04.- Dada la función R),0(:f definida por xln)x(f se pide:

a) Comprueba que la recta de ecuación 2e1xey es la recta normal a la

gráfica de f en el punto de abscisa x = e. b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la

recta normal del apartado a). 10.05.- Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el área del recinto comprendido entre

la parábola xaxy2 y la recta 0xy es de 36 unidades cuadradas.

10.06.- Considera la función f : R R dada por f(x) = x2 + 4. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de coordenadas y la recta de

ecuación y = 2x + 3. Calcula su área.

10.07.- Dada la función f definida por 4x5x

3)x(f

2 para 1x y 4x .

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas x = 2, x = 3.

10.08.- Considera la función f : R R definida por x2x)x(f .

a) Esboza su gráfica. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la

recta de ecuación x = 3.

10.09.- Sean f , g : R R las funciones 3x2x)x(f2 y 1x

2

1)x(g

2 .

a) Esboza las gráficas de f y g, y halla su punto de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de

ordenadas.

09.01.- Considera las funciones f, g : R R definidas por 2x6)x(g,x)x(f

a) Esboza el recinto limitado por sus gráficas. b) Calcula el área de dicho recinto.



09.02.- La recta tangente a la gráfica de la función f : R R, definida por

3nxmx)x(f2 , en el punto ( 1, -6) es paralela a la recta de ecuación y = -x.

a) Determina las constantes m y n. Halla la ecuación de la recta tangente. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente

y el eje de ordenadas.

09.03.- La curva 2x

2

1y divide al rectángulo de vértices A( 0, 0), B( 2, 0), C( 2, 1) y

D( 0, 1) en dos recintos. a) Dibuja dichos recintos. b) Halla el área de cada uno de ellos.

09.04.- Sea f : R R la función definida por 1xx)x(f .

a) Esboza la gráfica de f. b) Comprueba que la recta de ecuación y = x es la recta tangente a la gráfica de f

en el punto de abscisa x = 0. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente.

09.05.- Considera la curva de ecuación x3xy3 .

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = -1. b) Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y = 2. 09.06.- Sea R),0(:f la función definida por )xln(1)x(f , siendo ln la

función logaritmo neperiano.

a) Comprueba que la recta de ecuación xe

11y es la recta tangente a la gráfica

de f en el punto de abscisa x = e. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y la

recta tangente del apartado a). 09.07.- Se consideran las funciones R),0[)x(f y RR:)x(g definidas

por 2x

3

1)x(g,x3)x(f .

a) Haz un esbozo de sus gráficas. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones.

09.08.- a) Calcula dxxsenx

b) Sean las funciones RR:g,f definidas por 1x)x(g,1x)x(f2 .

Calcula el área del recinto limitado por sus gráficas. 09.09.- Las dos gráficas del dibujo

corresponden a la función R),0(:f definida por

1 2 3 4 5 6x

y



)xln(2x

2)x(f y a su derivada R),0(:'f (ln denota logaritmo

neperiano). a) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f’. b) Calcula el área de la región sombreada.

09.10.- Sean RR:f y RR:g las funciones de finidas por xx)x(f2

y 2)x(g .

a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g. Esboza dichas gráficas. b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas. 09.11.- Calcula un número positivo a, menor que 4, para que el recinto limitado por

la parábola de ecuación 2xy y las dos rectas de ecuaciones 4y e ay

tenga un área de 3


08.01.- Dadas las funciones R,0:f y R,0:g definidas por

x)x(f y 3 x)x(g , determina el área del recinto limitado por las gráficas

de f y g.

08.02.- Sea f: R R la función definida por dxcxbxa)x(f23 . Se sabe

que f tiene un máximo local en x = 1, que el punto ( 0, 1) es un punto de

inflexión de su gráfica y que 1

0 4

9xd)x(f . Calcula a, b, c y d.

08.03.- Sea R),0(:g la función dada por xln)x(g (ln denota logaritmo

neperiano).

a) Justifica que la recta de ecuación xe

1y es la recta tangente a la gráfica de g

en el punto de abscisa x = e. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la

recta tangente del apartado anterior.

08.04.- Dada la función g: R R definida por 1xx2)x(g2 .

a) Esboza la gráfica de g.

b) Calcula 2

0xd)x(g

08.05.- Sean RR:f y RR:g las funciones definidas por

1x)x(f2 y 2x2)x(g .

a) Esboza las gráficas de f y g. b) Halla el área del recinto limitado por dichas gráficas.

08.06.- Calcula

1

2 2)1x)(xx(

dx.



08.07.- Sea f: R R la función dada por x2e)x(f .

a) Justifica que la recta de ecuación xe2y es la recta tangente a la gráfica de

f en el punto de abscisa 2

1x .

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior

08.08.- Sean RR:f y RR:g las funciones definidas mediante:

x4x)x(f3 y 6x3)x(g

a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y de g. b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

08.09.- Calcula 1

0xd)1xln(x (ln denota la función logaritmo neperiano).

08.10.- Sean RR:f y RR:g las funciones dadas por 2x)x(f y

a)x(g (con a>0). Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de

las funciones f y g es 3

4. Calcula el valor de la constante a.

08.11.- Sea f: R R la función definida por

2xsix6

2xsixx)x(f .

a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f. c) Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas.

08.12.- Calcula 6

1

2xd)xln(x (ln denota la función logaritmo neperiano).

08.13.- Sea RR:g la función definida por xxx4

1)x(g

23 .

a) Esboza la gráfica de f. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de

abscisa x = 2. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de abscisas.

07.01.- Sea la función f: R R definida por 2xx)x(f .

a) Estudia la derivabilidad de f en x = 2. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. 07.02.- Sea R),1(:f la función definida por )1x(Ln)x(f .

a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.



b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1.

07.03.- Sean f: R R y g: R R definidas por 23x3x)x(f y 3x)x(g .

a) Esboza las gráficas de f y g calculando sus puntos de corte. b) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas de f y

g.

07.04.- Sean f: R R y g: R R definidas por 1xe)x(f

y x1e)x(g

.

a) Esboza las gráficas de f y g y determina su punto de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g.

07.05.- Sea la función f: R R definida por 2)3x(x)x(f .

a) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Haz un esbozo de la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado entre la gráfica de f y el eje de abscisas.

07.06.- Sea f: (-2, 0) R la función definida mediante

0x1si2

x

1x2six

)x(f2

a) Determina α y β sabiendo que f es derivable.

b) Halla

1

2dx)x(f


0xsie

0xsix1)x(f

x

.

a) Determina el valor de α sabiendo que f es derivable. b) Haz un esbozo de la gráfica de f.

c) Calcula 1

1dx)x(f .

07.08.- Calcula: a)

dx

1x

4x32

.

b) 4

0dx)x2cos(x

07.09.- Calcula β > 0 para que el área del recinto limitado por las gráficas de las

funciones f: R R y g: R R definidas por 2x)x(f y

222x)x(g sea 72 (unidades de área).

07.10.- Sea f: R R la función definida por 2x)x(f .



a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX. Calcula su área.

06.01.- Sea f la función definida por

0xsixe

0xsi1e)x(f

2x

x

a) Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta de ecuación x = -1.


1xsi1x

1xsix

a

)x(f2

a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x + 2 = 0 y x – 2 = 0.

06.03.- Sea I =

2

0 2

3

dxx1

x.

a) Expresa I aplicando el cambio de variable t = 1 + x2. b) Calcula el valor de I.

06.04.- El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones a

xy

2

e axy ,

con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a. 06.05.- Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función xseny y las

rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisas x = 0 y x = π.

06.06.- Sean las funciones R,0:g,f dadas por 2x)x(f y x)x(g ,

donde λ es un número real positivo fijo. Calcula el valor de λ sabiendo que el

área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones es 3

1.

06.07.- Sea la función R2,0:f definida por

2x1si)x2(Ln

1x0sixLn)x(f

a) Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1.

b) Calcula 5'1

1dx)x(f

06.08.- a) Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas 2

x1

15y

e 1xy

2 .



b) Calcula el área de dicho recinto.

05.01.- Considera la función f: R R definida por 2

x

e)x(f

.


b) Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f, la recta de ecuación x = 2 y la tangente obtenida en a).

05.02.- Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f: R R definida por f(x) = x2 ex y a su función derivada f’.

a) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f’. b) Calcula el área de la región sombreada.

05.03.- Se sabe que la función R),0(:f definida por

8xsi

4x

32x

8x0siax

)x(f 2

es continua en ,0 .

a) Halla el valor de a.

b) Calcula 10

0dx)x(f

05.04.- Sea la función f: R R definida por

02

042)(

2xsix

xsixxf

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica.

b) Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas.

05.05.- Calcula 0

1dx)x2(Ln , siendo Ln la función logaritmo neperiano.

05.06.- Considera la función f: R R definida por f(x) = x2 – 5x + 4. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =

3. b) Calcula el área de la región acotada que está limitada por el eje de ordenadas, por

la gráfica de f y por la recta tangente obtenida.



05.07.- La gráfica de la función f: R R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c es la que aparece en el dibujo.

a) Determina f. b) Calcula el área de la región sombreada.

05.08.- Calcula las siguientes integrales:

a) dx)1x5cos(

b)

dx2x

1

3

c) dxexx31

0

05.09.- De una función f: R R se sabe que f(0) = 2 y que f’(x) = 2x. a) Determina f. b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, por el eje de abscisas y

por las rectas de ecuaciones x = -2 y x = 2.

05.10.- Considera la integral definida

8

3dx

1x1

1I

a) Exprésala aplicando el cambio de variables t1x1 .

b) Calcula I.

04.01.- Considera la función f: R R definida por xx)x(f .

a) Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

b) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.

04.02.- Considera la función f: R R definida por f(x) = ex + e-4x. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus

extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = 0 y x = 2.

04.03.- Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficie

sombreada.



04.04.- Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y = 2x y por

las curvas de ecuaciones 2xy e

2

xy

2

.

04.05.- Calcula

0

2 2dx

3x2x

1.

04.07.- Considera la integral definida

9

1dx

x1

1I .

a) Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variable tx1 .

b) Calcula I.

04.08.- Sea f: R R la función definida por 1x3

2x

3

1)x(f

2 .

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de la misma que tenga de ordenada y = 1, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa.

b) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.

04.09.- Considera las funciones R),0(:f y RR:g definidas,

respectivamente por: f(x) = Ln x y g(x) = 1 – 2x,

siendo Ln x el logaritmo neperiano de x. Calcula el área del recinto limitado por las rectas x = 1 y x = 2 y las gráficas de f y g.

04.10.- Determina b sabiendo que b>0 y que el área del recinto limitado por la

parábola de ecuación 2

bx3

1y

y los ejes coordenados es igual a 8.

04.11.- Determina b sabiendo que b>0 y que el área de la región limitada por la curva de ecuación y = x2 y la recta y = bx es igual a 9/2.

)x(Lny



1.- Sea f: R R la función definida por 3

x

e)x(f .

a) ¿En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?. Halla la ecuación de dicha recta tangente.

b) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.

2.- Se sabe que la función f: R R definida por f(x) = ax2+bx+c tiene máximo absoluto en el punto de abscisa x = 1, que su gráfica pasa por el punto (1,4) y que

16dx)x(f3

1 .Halla a, b, c.

3.- Sea f: R R la función definida por f(x) = x2-2x+2. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =

3. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida

y el eje OY.

4.- Se sabe que la función f: R R definida por f(x) = x3+ax2+bx+c tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en

el punto de abscisa x = 1. Conociendo además que 6dx)x(f1

0 , halla a, b y c.

5.- Dadas la parábola de ecuación y = 1+x2 y la recta de ecuación y = 1+x , se pide:

a) Área de la región limitada por la recta y la parábola. b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

6.-Determina el valor positivo de para el que el área del recinto limitado por la

parábola de ecuación y = x2 y la recta y = x es 1.

7.- Sea f: R R la función definida por 3 x)x(f

a) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida. c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

8.- En la figura adjunta puedes ver representada en

el intervalo [0,2] la gráfica de la parábola de ecuación y = x2/4. Halla el valor de m para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales.

9.- Consideremos F(x)= x

0dt)t(f

a) Si f fuese la función cuya gráfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las



siguientes afirmaciones, razonando la respuesta:

i) F( )=0

ii) F’( )=0

iii) F es creciente en (0, )

b) Calcula F(1) siendo 1t

1)t(f

10.- Calcula el valor de

3

1

x2 dxe·5x .

11.- Considera las funciones f , g : R R definidas por x)x(f g(x) = 6 – x2.

a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas de f y g. a) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.

12.- F: R+ R la función definida por x

0dttt2)x(F .

a) Determina F( 1 ). b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa x

=1.

13.- Considera las funciones f , g : [0 , ] R definidas por f(x) = 2senx y g(x) = sen(2x).

a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas de f y g. b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.

14.- Sea f: R R la función definida por 4xx)x(f

a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f en x=4. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

15.- Esboza el recinto limitado por los ejes de coordenadas y las gráficas de las

funciones y = 1 e y = Lnx. Calcula su área.

16.- Calcula

1

0 2

3

dx2xx

1x3.

17.- Determina un polinomio P(x) de segundo grado sabiendo que

P(0) = P(2) =1 y

2

03

1dx)x(P .

18.- Sea f: R R la función definida por f(x) = xe-x .Esboza el recinto limitado por la curva y = f(x) ,los ejes coordenados y la recta x = -1. Calcula su área.



19.- Esboza el recinto limitado por la gráfica de la parábola y=- (x-2)2 – 2 , la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa x=3, el semieje positivo de abscisas y el semieje negativo de ordenadas. Calcula su área.

20.- Sea f: R R la función definida por f(x) =2x3-6x+4. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente al máximo relativo de la función.

21.- Sea f: R R la función definida por 1x)x(f2

a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f.

c) Calcula 2

0dx)x(f

22.- Se considera la función f: (-1, +∞) R definida

por

1

11)1()(

xsixLnx

xsixaxf

a) Determina el valor de a sabiendo que f derivable.

b) Calcula 2

0dx)x(f .

23).- Sea f: R R la función definida por x12x9x2)x(f23

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

b) Determina los extremos relativos a y b de f con a<b y calcula b

adx)x(f .

24).- Sea f: R R definida por

0xsixmx1

0xsix1

1

)x(f2

a) Determina m sabiendo que f es derivable.

b) Calcula 1

1dx)x(f

25).- Se considera la función f: [0,4] R definida por :

4x3six4

3x1si)1x(

16

1x0six4

)x(f2

a) Esboza la gráfica de f. b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. 26).- a) Dibuja el recinto limitado por la curva y = ½+cosx , los ejes de coordenadas y la

recta x = . b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. 27).- Calcula el área encerrada entre la curva y = x3 –4x y el eje de abscisas.



28).-Calcula la siguiente integral definida

2

0 2 3x4x

dx ¿Qué representa

geométricamente? 29.-a) Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas

y = x2 +1, y = 2/x e y = x-1. b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.

30.- a) Dibuja el recinto limitado por la curva 4

x9y

2 ,la recta tangente a esta curva

en el punto de abscisa x=1 y el eje de abscisas. b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.

31.- a) Representa las curvas de ecuaciones y = x2 - 3x + 3 e y = x, calculando dónde se

cortan. b) Halla el área del recinto limitado por dichas curvas.

32.- De la función f: R R definida por

1xsicx

1xsi,baxx)x(f

2

se sabe que es derivable en todo su

dominio y que en los puntos x = 0 y x = 4 toma el mismo valor. a) Halla a, b y c.

b) Calcula 2

0dx)x(f .

33- Sea la función f: R R definida por 4

1x2x)x(f

2 .

a) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de f y sus tangentes en los puntos de abscisa x0=1/2 y x1=-1/2. b) Prueba que el eje de ordenadas divide el recinto anterior en dos que tienen igual área.

34.- a) Halla el área del triángulo formado por el eje OX y las rectas tangente y

normal a la curva de ecuación y = e-x en el punto de abscisa x = -1. b) Halla el área de la región limitada por la curva de ecuación y = e-x y el eje

OX para los valores -1 ≤ x ≤ 0.

35.- a) Calcula los extremos relativos y absolutos de la función f: [-7, 1] R definida por f(x) = x3 + 6x2 + 49.

b) Sea β el punto en el que f alcanza su máximo absoluto. Calcula

7dx)x(f .

36.- Considera la función f: R R definida por f(x) = | x + 1 |. a) Represéntala gráficamente. b) Estudia su derivabilidad.

c) Calcula 3

2dx)x(f .



37).-Considera la función f: R R definida por f(x) = | x |. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Dibuja la gráfica de f.

c) Halla 2

2dxx .

38).-Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x2 y la recta y =

1 en dos regiones de igual área mediante una recta y = a .Halla el valor de a.

39).- Sea f: R R definida por

1xsi2x2x

1xsi10x5)x(f

2

a) Esboza la gráfica de f. b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la

recta x=3. 40).- Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la

parte curva tiene como ecuación x1

2x2y

41.- Sea la función f: R R definida por f(x) = x3 - 3x2 + 2. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en su punto de

inflexión. b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f, la recta tangente en su

punto de inflexión y el eje OY. c) Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

42.- Sea la función f: R R definida por

x3six6

3x0six

0xsi,x

)x(f2

2

a) Determina los puntos en los que f es derivable y en cada uno de ellos calcula su derivada.

b) Calcula 3

3dx)x(f3 .

43.- Enuncia el Teorema Fundamental del Cálculo Integral y aplícalo para determinar los máximos y mínimos relativos de la función f definida por f(x) =

x

0

3 dt)t4t( .

44.- Para cada r ≥ 1 se define fr: [ 0, ∞) [ 0, ∞) mediante fr(x) = xr.



a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de fr en el punto ( 1, 1). b) Halla el área A(r) de la región limitada por la gráfica de fr, su tangente en el

punto ( 1, 1) y el eje OX. c) ¿Para qué valor de r ≥ 1 es el área máxima? 45.- a) Enuncia la regla de Barrow.

b) Usa el cambio de variable x = sen t para calcular 1

0

2 dxx1 . (Recuerda

que teníamos que 2 cos2 t = 1 + cos 2t ). 46.- Determina el área limitada por la curva y = ex - x, su tangente en el punto ( 1, e-1) y

el eje OY.

47.- Sea la función f: R R definida por f(x) = |x+2||x-2|. a) Determina los puntos en los que f es derivable y halla sus extremos locales.

b) Calcula 3

0dx)x(f2 .

48.- Representa gráficamente las curvas cuyas ecuaciones son y = x4 - x2 e y = x2

y determina el área de la región que limitan en el primer cuadrante.

49.- De la función f: R R se sabe que si x no es un número entero entonces f es derivable en x y se tiene que f´(x) = x. Pero si x es entero entonces f no es derivable en x. a) ¿Es f continua en x = 10?

b) Halla, si es posible, 1.0

01.0dx)x(f3 .

50.- En el intervalo [-4, 4] se define la función F(x) = x

0

2 dtt16 .

a) ¿Cuánto vale F´(2)? Enuncia el teorema que utilices. b) ¿Cuánto vale F(4)? (véase el ejercicio 44). c) Interpreta geométricamente la función F.

51.- Considera la función f: R R definida por f(x) = 2 + x - x2 .Calcula a, a < 2, de

forma que 2

a 2

9dx)x(f .

52.- Calcula el valor de a, positivo, para que el área encerrada entre la curva y= ax - x2

y el eje de abscisas sea 36. Representa la curva que se obtiene para dicho valor de a.

53.- Considera la función f: R R definida de la forma f(x) = 1 + x |x|. a) Halla la derivada de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

c) Calcula 2

1dx)x(fx .



54.- De la función f: R R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un

máximo relativo en x=1,un punto de inflexión en (0,0), y que 1

0 4

5dx)x(f . Hallar

f. 55.- a) Dibuja la región limitada por la curva de ecuación y = x(3 - x ) y la recta de

ecuación y = 2x - 2. b) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.

56.- Calcula el valor de la integral dx6xx

3x12xx22

1 2

23

.

57.- a) Dibuja el recinto limitado por las curvas y = ex+2, y = e-x, x = 0. b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.

58.- De una función integrable, f: [-1, 1] R, se sabe que para cada x en dicho intervalo se tiene |f(x)|≤ 1 + x2.

De los números -3, -2, -1, 2´5 y 2´75 ¿cuáles pueden ser el valor de la integral

1

1dx)x(f . Justifica la respuesta.

59.- Las coordenadas ( a, b) del centro de gravedad de una lámina de densidad uniforme que está limitada por la curva y = sen x y la porción del eje OX comprendida entre x=0 y x= π/2 vienen dadas por:

2/

0

2/

0

2

2/

0

2/

0

dxsenx2

dx)senx(by

dxsenx

dxxsenxa

a) Describe el método de integración por partes.

b) Calcula el centro de gravedad sabiendo que 4

dx)senx(2/

0

2

.

60.- Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = sen x, y = cos x, x = 0,

x = π/3. Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

61.- La figura siguiente representa la gráfica de una función f: [ 0, 7] R

Sea F: [ 0, 7] R la función definida por F(x) = x

0dt)t(f .

a) Calcula F(4) y F(7).



b) Dibuja la gráfica de F explicando cómo lo haces. 62.- La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en m/s por la

siguiente gráfica: a) Calcula la función espacio recorrido. b) Dibuja la gráfica de la función espacio

recorrido. c) Prueba que el área bajo la curva que da

la velocidad coincide con el espacio total recorrido.

63.- a)Halla la recta tangente a la curva de ecuación y = x3 - 3x en el punto de abscisa

x=-1. b) Dibuja el recinto limitado por dicha tangente y la curva dada y calcula su área.

64.- Considera las funciones f: R R y g: R R definidas por: f(x) = x2 + 3x + 2 g(x) = -x2 - 3x + 10. a) Representa gráficamente ambas funciones. b) Halla el área de la región del plano que está formada por todos los puntos ( x,

y) que cumplen que f(x) ≤ y ≤ g(x). 65.- Dibuja y halla el área de la región limitada por la recta y = -x + 3 y la curva de

ecuación y = x2 - 4x + 3.

66.- a) Dibuja la región del plano limitada por la gráfica de la función f: [ 0, 1] R definida por f(x) = Ln ( 1 + x ), la recta tangente a la gráfica de f en el origen y la recta x = 1.

67.- Dibuja y calcula el área del recinto limitado por la curva de ecuación 2

x1

2y

y las rectas de ecuaciones x = 1 e y = 3x + 2. 68.- Dibuja y calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g:

R R dadas por f(x) = x2 g(x) = x3 - 2x.

69.- De las funciones f y g: R R se sabe que:

3dx)x(f2,3dx)x(f,3dx))x(g)x(f(3,3dx))x(g)x(f(3

1

2

1

3

2

2

1

Calcula, si es posible, 3

1dx)x(g y, si no es posible, di por qué.

70.- La gráfica de la función f de la figura corresponde a una función polinómica de grado 2.



a) Determina la expresión algebraica de la función f. b) Calcula el área de la región sombreada.

71.- Sea f: R R la función definida por:

0xsixsenx

0xsix)x(f .

a) Estudia la derivabilidad de f.

b) Calcula 2/

1dx)x(f2

.

72.- Dibuja y calcula el área del recinto limitado por la recta y + x = 0 y la curva

de ecuación y = x2 + 4x + 4. 73.- Halla b sabiendo que la recta y = b divide en dos partes que tienen la misma

área a la región acotada por la curva de ecuación y = 9 - x2 y el eje de abscisas.

74.- a) Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral. b) Aplica dicho teorema para calcular las abscisas de los máximos y mínimos locales

de la función f: R R definida por x

0

3 dt)t4t()x(f sin efectuar la

integración.

75.- Sea f: [-a, a] R , con a>0, una función continua tal que a

a0dx)x(f .

Responde razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Es necesariamente f(x) = 0 para todo x Є [-a, a]?

b) ¿Es necesariamente a

a0dx)x(f ?

c) ¿Es necesariamente a

a0dx)x(f ?

d) ¿Cuánto vale a

adxx2)x(f ?

76.- a) Estudia, según los valores de b la derivabilidad de la función f definida

por:

0xsi1bxx

0xsi,1x

1

)x(f2

b) Calcula 3

1dx)x(f .

77.- Considera la función f: [ 0, 4] R , dada por f(x) = ( x + 1) e-x.



a) Halla el máximo y el mínimo de la función en el intervalo dado y los puntos en los que se alcanzan dichos valores.

b) Calcula el área de la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las dos rectas cuyas ecuaciones son x = 0, x = 4.

78.- a) Describe el procedimiento de integración por partes.

b) ¿Cuál es el área de la región limitada por la gráfica de la función f: (0, ∞) R definida por f(x) = (Ln(x))2, el eje OX y las rectas de ecuaciones x=1 y x=e?

79.- a) Describe el procedimiento de integración por cambio de variable.

b) Calcula 2

1dx1xx .

80.- a) De todas las rectas tangentes a la gráfica de la función f: R R definida por f(x) = ex-1, halla la que pasa por el origen de coordenadas.

b) Dibuja la región delimitada por la gráfica de f, la recta tangente hallada en el apartado anterior y el eje de ordenadas. c) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.

81.- a) Halla el punto de inflexión de la función f: R R definida por f(x) = x e-

x. b) Dibuja la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y la recta x = b

donde b es la abscisa del punto de inflexión hallado en el apartado anterior. c) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.

82.- a) Dibuja la región limitada por la recta de ecuación y = 3 y las gráficas de las

funciones f y g definidas en todo R por f(x) = 3 x2 y g(x) = 1 - x2. b) Calcula el área de dicha región.

83.- a) Dibuja la región limitada por las curvas de ecuaciones y2 = x e y = / x-2

/. b) Calcula el área de dicha región.

84.- a) Estudia la derivabilidad de la función f: R R definida por f(x) = /x/ ex.

b) Halla 1

0dx)x(f .

85.- Sea la función f: R R definida por f(x) = (x - 2) ex. a) Determina los intervalos en los que la función f es creciente. b) Dibuja la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas de

ecuaciones x = 1 y x = 3. c) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.

86.- Una locomotora sale de una estación y viaja durante una hora a lo largo de una

trayectoria rectilínea. La velocidad de la locomotora al cabo de t horas viene dada, en km./h., por la fórmula v(t) = 400t3 - 1200t2 + 800t ( 0≤ t ≤1 ). a) Calcula el espacio total que recorre la locomotora.



b) Determina la velocidad máxima que alcanza la locomotora y el instante en que lo hace.

87.- Considera la función f: R R definida por f(x) = ex sen(2x).

a) Sea la función F: R R definida por x

0dt)t(f)x(F . ¿Qué dice el

teorema fundamental del cálculo integral sobre la función F? b) Halla F(π). 88.- a) Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = x - x2 e y = x4 - x2.

b) Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

89.- La función f: R R definida por

1xsi

kx

2

1xsi,kx3

)x(f

2

es

derivable en todo su dominio. a) ¿Cuánto vale k? ¿Cuánto vale f´(1)? Justifica las respuestas. b) Para ese valor de k, dibuja la región limitada por la gráfica de f, los ejes y la recta

x=2. c) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.

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Problemas de selectividad - Junta de Andalucía · a) Comprueba que la recta de ecuación y ex 1 e2 es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e. b) Calcula