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I.S.P.Nº 22 “Maestro Addad”
Cuadernillo del CURSO INTRODUCTORIO
INGRESANTES 2019
Profesorado de Educación Secundaria en
Matemática
1
CRONOGRAMA
DIA HORARIO PROFESOR TEMA
Lunes 25/3
18:00 h a 19:50 h INICIO GRUPAL ISP
N°22 Apertura ciclo lectivo 2019
20 h a 22:00 h Viviana Monti Presentación de la Carrera
Martes 26/3
18:00 h a 19:50 h
Alejandra Sader y Jorgelina Vissani
Aprender jugando 20 h a 22:00 h Equipo de Investigación
Miércoles
27/3
18:00 h a 19:50 h Roxana Villegas ¿Qué entendemos por comprensión lectora?
20 h a 22:00 h Equipo de Investigación Conjuntos
Jueves 28/3
18:00 h a 19:50 h Ing. Jorge Álvarez Propiedades 20 h a 22:00 h Daniel Rodill
Viernes 29/3
18:00 h a 19:50 h Martin Pagliaro Simbología matemática
20 h a 22:00 h Equipo de Investigación Conjuntos
DIA
HORARIO
PROFESOR
TEMA
Lunes 01/4
18:00 h a 19:50 h
Martin Pagliaro Simbología matemática
20 h a 22:00 h
Gisela Petracca La docencia y sus mitos
Martes 2/4
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FERIADO
---------------------
Miércoles 3/4 18:00 h a 19:50 h Norma Gómez
Resolución de problemas
20 h a 22:00 h Sandra Lanza y Viviana Monti
La geometria y el Asesinato en el “Amthematics Express”
Jueves 4/4 18:00 h a 19:50 h
Mabel Cerenelli
El origen de los números
20 h a 22:00 h Equipo de Investigación
Conjuntos
Viernes 5/4
18:00 h a 19:50 h
Martin Pagliaro
Simbología matemática
20 h a 22:00 h
Equipo de Investigación
Evaluación diagnostico
Equipo de investigación: Estudiantes de 2° año del profesorado de Matemática: Paula Quiña y
Franco Bulfon
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“Del CURSO INTRODUCTORIO”
En consonancia con lo establecido por el Ministerio de Educación, el ISP N° 22
“Maestro Addad” garantiza el dictado de este curso introductorio, bajo los siguientes
Propósitos y Objetivos:
PROPOSITOS
Diagnosticar los saberes previos de los ingresantes.
Acercar al estudiante al lenguaje simbólico, propio de la matemática.
Introducir al conocimiento de la estructura curricular por año y por campo
disciplinar.
Orientar respecto a los requerimientos básicos para esta formación docente del
nivel superior.
Informar las particularidades institucionales, académicas y reglamentarias del
Instituto.
OBJETIVOS GENERALES
Posibilitar el acercamiento a las distintas áreas y relacionarla con sus saberes.
Interpretar toda clase de textos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Buscar estrategias en la resolución de problemas.
Modelizar situaciones problemáticas.
Luego de haber realizado el recorrido por esta instancia de aprendizaje, los invitamos
a que nos cuenten cual o cuales de los propósitos u objetivos nombrados anteriormente,
creen que se han alcanzado:
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…………………………………………………………………………………………………………
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3
PARA EMPEZAR REFLEXIONANDO….
¿Qué enseñamos los que enseñamos cuando enseñamos?
Enseñar es un verbo. Un profesor es alguien que tiene algo para enseñar, pero
además, lo enseña. Si bien podemos pensar que todos tenemos algo para
enseñar, no todos hacemos de la enseñanza un oficio. Los verbos no nos dan
tanto la idea de lo que las cosas son sino de lo que se puede hacer con ellas.
Enseñar es una tarea, una operación, un trabajo, un oficio. Un oficio es un
quehacer, un estilo. ¿Es útil preguntarse por lo que la enseñanza es? Muchos
profesores no preguntan qué es enseñar, van y enseñan. Más que preguntarse
por lo que enseñan, van y enseñan. Más que preguntarse por lo que la enseñanza
es, por lo que es enseñar, quizá convenga preguntarse por lo que la enseñanza
produce. Borges solía decir que hay gente que no ama suficientemente la poesía y
se dedica a enseñarla. Yo diría que amar lo que uno hace es condición para
enseñar. Pero para poder enseñar un profesor debe estudiar, es decir, apropiarse
de múltiples vocabularios. Diría también que cuando un profesor no tiene nada
para enseñar, debe callarse o dedicarse a otra cosa. La responsabilidad de
enseñar –la responsabilidad de educar- es algo a lo que un país no puede
renunciar. Examinemos buena parte de lo que hacemos cuando enseñamos.
(Antelo, 1999)
¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de la Matemática?
Si se pregunta desprevenidamente cuál es el objetivo de la enseñanza de la
matemática, la respuesta puede ser: lograr hacer cuentas, resolver situaciones
problemáticas de la vida diaria, movernos en un medio socio-económico con
desenvoltura, saber de qué se trata un descuento o un interés, comprender las
condiciones de un préstamo o un gráfico en el diario...y es cierto, para todo ello
nos viene bien la matemática.
Pero hay más, mucho más. La matemática es una ciencia maravillosa que desde
sus orígenes en la antigua Grecia ha transitado por los laberintos del mundo,
visible e invisible...buscando leyes, buscando verdades. Y para ello el ser
humano ha utilizado preciados instrumentos: el pensar y la imaginación.
Estamos ante tiempos de cambios vertiginosos...incluidos los matemáticos que
son los aparentemente más estables. Precisamente la mala fama de la
matemática en la escuela deviene de creer que ella no cambia, que es una
ciencia estructurada, fría y objetiva cuyo único objetivo es la vida práctica. Y no
es asi...como todo, ella está en perpetuo devenir.
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La matemática en las aulas,...Debe ser el ámbito donde se desarrolle el “bichito
de la curiosidad”, del querer saber ¿por qué?, ¿cómo?, del ingenio, la
imaginación y la capacidad de enfocar, analizar, deducir y resolver todo tipo de
situaciones. (Reinhardt, 2007)
Podríamos decir, que el objetivo de la Matemática y de este encuentro, es que ustedes
puedan resolver una situación como la que presentaremos más abajo. La cual aparenta no
tener mucha relación con la matemática, sin embargo es esta ciencia la que nos va a acercar a
la solución.
- “Dos pintoras de brocha gorda Pepa y Juana, pintan una casa. Cuando trabaja Pepa
sola puede pintarla en tres días, mientras que Juana, lo hace en cuatro días.
¿Cuánto tardaran trabajando juntas?”
¿QUE ESTUDIA LA MATEMÁTICA?
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
La matemática experimentó un gran cambio al pasar de ser la ciencia de la aritmética a
ser la ciencia de los símbolos o álgebra. Avanzar desde los números a las letras constituyó un
salto mental, pero el esfuerzo valió la pena. Fueron muchas las generalizaciones que tomaron
forma gracias al aporte de los símbolos algebraicos.
El álgebra nos proporciona una forma peculiar de resolver problemas, un método
deductivo con una vuelta de tuerca. Esa vuelta de tuerca es el “pensamiento
hacia atrás”. Piense por un momento en el problema de elegir el número 25,
sumarle el 17, y obtener 42. Esto es pensamiento hacia adelante. Pero ¿y si, en
lugar de ello, nos dieran la solución 42, y nos hicieran otra pregunta? Ahora
queremos el número que nos dé 42 si le sumamos 25. Aquí es donde interviene
el pensamiento hacia atrás. Queremos el valor de 𝑥 que resuelve la ecuación
25 + 𝑥 = 42 y sustraemos 25 a 42 para obtenerlo.(Crilly, 2009)
CÁLCULO
El cálculo diferencial es una rama de la matemática que permite resolver diversos
problemas donde el cambio de las variables se puede modelar en un continuo numérico para
determinar, a partir de ello, la variación de estos elementos en un instante o intervalo específico.
Al aplicarlo, es posible determinar el momento en que se da una tendencia al alza o a la
baja del mercado a partir de los datos del índice bursátil, determinar la velocidad máxima que un
5
vehículo puede alcanzar en una carretera, el comportamiento que puede mostrar a largo plazo la
concentración de una mezcla o predecir el número de horas-hombre necesarias para un nivel de
producción industrial; los anteriores son ejemplos de la amplia variedad de problemas que pueden
resolverse gracias a esta disciplina.
GEOMETRÍA
En su libro “Las geometrías” el doctor en matemáticas, Juan Pablo Pinasco sostiene que
“La geometría es una de las ramas más antiguas de la matemática. Fue la primera en
desarrollarse como un cuerpo teórico ordenado, con axiomas, teoremas, y demostraciones; este
desarrollo fue imitado luego por el resto de las matemáticas. La propia geometría desarrolló sus
propias ramas, y por ese motivo es difícil hablar hoy de una única geometría. Cada vez que las
herramientas teóricas se demostraron insuficientes para resolver nuevos desafíos, distintos
problemas prácticos motivaron el desarrollo de estas nuevas geometrías.” (Pinasco, 2009)
MODELIZACIÓN
Es habitual, describir a la matemática como “el lenguaje del universo”, ya que nos otorga
la posibilidad de describir, calcular y predecir el comportamiento del mundo que nos rodea, y de
esta manera poder responder las curiosidades del universo. Representar nuestra realidad de
forma simple nos permite entender su comportamiento. Para tal fin se utilizan los modelos
matemáticos. (Boco, 2009)
Un modelo matemático es la representación simplificada de la realidad,
mediante el uso de funciones que describen su comportamiento, o de
ecuaciones que representan sus relaciones. (Boco, 2009,p.8)
Estos modelos resultan en grandes aliados para la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática, y además constituyen la base para estudiar y entender problemas propios de
muchas áreas: economía, ingeniería, medicina, química, física, psicología,etc.
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
La fuerte irrupción de la estadística matemática en el ámbito de las ciencias en general es
un fenómeno relativamente reciente. Es verdad que desde muy antiguo se han hecho cómputos,
tablas, inventarios, empadronamientos, censos, etc., pero el tratamiento matemático de las
masas de datos así acumuladas, a fin de predecir fenómenos con cierta confianza, se inició en el
siglo pasado y se ha perfeccionado en este siglo. En realidad, la estadística no se ha
considerado como una disciplina matemática hasta tiempos muy remotos.
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El nombre de estadística alude al enorme interés de esta rama de la matemática para los
asuntos del Estado, y su introducción en el mundo científico se debe a su importancia
indiscutible para el desarrollo de las ciencias sociales y humanas.
El modo de hacer de la estadística representa la introducción en la matemática de unos
esquemas de pensamientos nuevos, unos paradigmas diferentes de los empleados
anteriormente, que resultan especialmente eficaces para el confrontamiento con un mundo de
problemas, de una complejidad tal, que los métodos clásicos de la matemática eran incapaces
de manejar. La estadística es el campo de la matemática que trata de encontrar las leyes que
rigen el mundo del azar a fin de tomar las decisiones oportunas en aquellos aspectos de nuestro
entorno que parecen estar dominados por lo aleatorio.
¿QUE MATERIAS TE ENSEÑARAN A ENSEÑAR?
PSICOLOGÍA Y EDUCACIÓN
¿Qué relación hay entre la Psicología y la Educación?
Quizás alguien que está interesado por cursar el profesorado en educación secundaria en
matemática se preguntó alguna vez ¿Por qué tengo que estudiar Psicología?
Sin ánimo de dar una respuesta única y acabada, trataré de introducir algunos aspectos
que lo fundamentan.
La educación es un proceso por el cual nos constituímos en humanos y nos
transformamos como persona. Es un proceso por el cual nos convertimos en sujetos sociales,
por eso la Psicología viene a explicar ¿cómo se producen esos procesos? , ¿Cuáles son los
mecanismos por los cuales podemos aprender?, ¿cómo nos vinculamos con el conocimiento?,
¿por qué no aprendemos algo pero otras cosas sí?, etc.
En síntesis, podríamos decir que uno de los aportes más significativos de la Psicología
Educacional es intentar responder a las preguntas por el aprendizaje y por añadidura, a la
enseñanza. Como no hay una única respuesta a estas preguntas, porque no hay una única
forma de definir a la Psicología, es necesario transitar en el espacio curricular Psicología y
Educación, por los distintos enfoques o teorías psicológicas, para acercarnos a las diferentes
concepciones que surgen de las mismas, es decir diferentes formas de entender al sujeto, el
aprendizaje y la enseñanza.
En función de ser una materia que se dicta en un profesorado, este recorrido tiene que
favorecer la formación crítica, reflexiva y comprometida de los futuros docentes que tendrán que
ejercer en contextos variados, inciertos y complejos.
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DIDACTICA
Etimológicamente la palabra didáctica se deriva del griego didaskein: enseñar y tékne:
arte, entonces, se puede decir que es el arte de enseñar.
La didáctica general, está destinada al estudio de todos los principios y técnicas válidas
para la enseñanza de cualquier materia o disciplina. Estudia el problema de la enseñanza de
modo general, sin las especificaciones que varían de una disciplina a otra. Procura ver la
enseñanza como un todo, estudiándola en sus condiciones más generales, con el fin de iniciar
procedimientos aplicables en todas las disciplinas y que den mayor eficiencia a lo que se enseña
La didáctica está constituida por la metodología abordada mediante una serie de
procedimientos, técnicas y demás recursos, por medio de los cuales se da el proceso de
enseñanza- aprendizaje.
PEDAGOGIA
Es aquella construcción discursiva o teórica que se rige sobre lo propiamente educativo;
saberes orientados hacia la educación y a las relaciones humanas, circunstancias educacionales,
problemáticas, etc.
Aplicada con características psicosociales que tienen a la educación como principal interés
de estudio, aportando un conjunto de bases y parámetros para analizar y estructurar la formación
y los procesos de enseñanza-aprendizaje que intervienen en ella, buscando impactar en el
proceso educativo, en cualquiera de las dimensiones que este tenga.
Esta ciencia tiene como objeto de estudio las leyes de educación del hombre en la
sociedad, estudiándolo como un fenómeno socio-cultural específicamente humano, aportando a la
educación un conjunto de bases y parámetros con el cual se busca analizar y estructurar la
educación brindándole un sentido globalizado de modelos para el proceso de enseñanza-
aprendizaje.
La pedagogía como disciplina, es capaz de establecer diversos métodos que posibilitan el
análisis dialéctico educativo-cultural. Su etimología está relacionada con el arte o ciencia de
enseñar, es decir, mantiene relación entre lo instructivo y lo educativo.
“El proceso de enseñanza-aprendizaje, es una función educativa donde la
enseñanza constituye el complemento indispensable para que se dé el
aprendizaje y a la vez se sustenta en él para formar el hecho de la
instrucción” (Guadalupe Fonz).
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AHORA A TRABAJAR!!!
MARTES 26/03
Prof Alejandra Sader y Jorgelina Vissani
Aprender jugando!
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MAS JUEGOS!
El NONOGRAMA es un juego que consiste en pintar o colorear determinado número de casillas
dependiendo de los números que aparecen en la parte superior y lateral. Los números indican la
cantidad de cuadros que se deben colorear. Si hay varios números, se pintan las casillas del
primero se deja uno o más casillas en banco y se pintan las siguientes. El objetivo es descubrir la
imagen oculta.
NONOGRAMA 5 X 5 NONOGRAMA 10 X 10
SHIKAKUS, Juego que consiste en completar áreas, desarrolla la lógica matemática. Dispone de
una cuadrícula donde hay una serie de números. Debemos dividir la cuadrícula en rectángulos, de
forma que cada rectángulo tenga en su interior un solo número que coincide con el área del
rectángulo.
MIERCOLES 27/03
Profesora: Roxana Villegas
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JUEGOS DE CONTEO Y LOGICA
¿Cuántos triángulos en total se observan en la figura?
¿Cuántos cuadrados hay en esta imagen?
Para seguir pensando…¿Qué tanque se llena primero?
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MIERCOLES 27/03
Profesora Roxana Villegas
¿Qué entendemos por comprensión lectora?
Un lector puede comprender un texto cuando puede encontrarle un significado, cuando
puede ponerlo con lo que ya sabe y con lo que le interesa.
La destreza lectora es una capacidad que se desarrollada no solamente en la infancia,
sino que las personas la amplían a lo largo de la vida en distintos contextos y en interacción
con otras personas.
La comprensión se vincula entonces estrechamente con la visión que cada uno tiene del
mundo y de sí mismo, por lo tanto, ante un mismo texto, no podemos pretender una
interpretación única y objetiva.
● El lector otorgará significado a una lectura coordinando informaciones que provienen de
distintas fuentes: el texto, su contexto y los conocimientos que él posee. distinguir ideas
principales de secundarias
● relacionar significados
● organizar secuencias
El lector deberá emplear una serie de habilidades o estrategias que lo ayuden a construir
sus conocimientos, aplicándolos en situaciones diversas y en contextos diferentes.
Hay distintos tipos de comprensión:
Literal: recupera la información explícita del texto, reconoce
lo que lee. Responde a preguntas como: qué, quién, dónde, por qué, si son evidentes en el
texto.
Inferencial: el estudiante tiene que usar toda la información,
sus experiencias anteriores, su intuición para poder plantear conjeturas e hipótesis. Quien
lee va más allá del texto en este tipo de comprensión. Responde a preguntas como: ¿qué
pasaría si…, qué significa…, a qué se refiere…., cuál será el motivo.., que relación habrá…,
qué conclusiones.., qué crees..,etc
Crítica: el estudiante hace juicio valorativo, compara con otras
ideas expuestas por otras autoridades en el tema, o por su propia experiencia. Implica un
ejercicio de valoración y juicio personal. Es la elaboración de argumentos para sustentar
opiniones. Responde a preguntas como: ¿qué crees que es.. cómo podrías calificar…qué
piensas..
Diferentes estrategias para una lectura comprensiva:
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A) LECTURA DE APROXIMACIÓN: Primero se debe realizar una lectura general
para conocer el texto. En esta etapa, el lector interpreta las claves del paratexto1.
Las clases de paratexto son:
Elementos icónicos (organizan la lectura, amplían o aclaran la información). Ejemplos:
Ilustraciones, gráficos, esquemas, diagramas, etc
Elementos verbales (se encuentran en torno al texto) Tapa, contratapa, solapa, índice,
dedicatoria , título, epígrafe, notas al pie, negritas, etc
B) TÉCNICA DE SUBRAYADO: Se trata de resaltar, subrayar las ideas o los
conceptos más importantes, permite concentrarnos en una lectura más analítica y selectiva.
Facilita el repaso para la elaboración de esquemas, resúmenes. Conviene hacerlo con lápiz
para poder borrar en una segunda lectura. En la que podemos usar un color para las ideas o
conceptos principales y otro para los secundarios. Si tengo sólo un color puedo hacer
diferentes trazos. Conceptos son reglas o conjuntos de reglas para clasificar algo, por
ejemplo podemos sintetizar en el concepto “ medios de transporte” una serie de palabras
como: aviones, automóviles, trenes, barcos, etc.
¿Qué debo subrayar?
1° Ubicar el tema: ¿De qué trata el texto? Puede estar explícita o implícito en todo el
texto. El título también nos guía en la comprensión del texto.
2° En la primer lectura contar la cantidad de párrafos (son unidades mínimas del texto)
para ubicar allí las ideas principales y las secundarias que se desarrollan en cada uno. Las
ideas principales son las que tienen que ver directamente con el tema del texto. Las ideas
secundarias son las que aportan algo a la idea central.
1
Paratexto: está conformado por todos aquellos mensajes, expresiones verbales o gráficas que
complementan el contenido principal de un texto. Su finalidad es aportar más información sobre la
obra y ayudar a organizar su estructura.
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3° Marcar las palabras que desconozco.
4° Marcar datos importantes
5° Si en un párrafo es importante todo, no utilizar la técnica del subrayado sino hacer una
línea a los costados. Subrayado lateral. También existen otros subrayados como las
elipsis o nubes para diferencias conceptos.
6° No se debe subrayar en la primera lectura
7° Evitar subrayar párrafos completos
8°subrayar la mínima cantidad posible de palabras
9°Tener un diccionario a mano.
10° Subrayar con lápiz.
C) TÉCNICA DE SUMILLADO: Son los escritos al margen del texto que se realizan
después de haber hecho el subrayado. Deben ser con nuestras palabras. Pueden realizarse a
través de preguntas, por ejemplo si en un párrafo
trata del lugar de nacimiento de alguien, podríamos escribir en el margen ¿dónde nació? O
bien destacar las dudas o llamadas de atención mediantes asteriscos, signos de pregunta.
D) RESUMEN: En una hoja aparte ir escribiendo los conceptos e ideas claves en el
orden que se va presentando en el texto ( por ejemplo hacer una lista). Esto nos permite ver a
qué dar mayor atención y organizar la información. Luego organizarlos según la importancia,
poder comprender qué es importante en un texto. Los conceptos e ideas claves, suelen
aparecer como verbos o sustantivos normalmente rodeados de descripciones.
Es fundamental resumir con nuestras palabras. Antes de realizar el resumen es
importante que se realice la técnica del subrayado, de ese modo si diferenciamos con
distintos colores o tipos de subrayado las ideas principales de las secundarias nos será
más sencillo realizar el resumen.
Verbalizar oralmente a otra persona o a nosotros mismos, lo que creemos haber
comprendido, esta es una forma de encontrarnos con nuestras propias palabras, esta
externalización nos ayuda a reconocer dónde se encuentran aún las dificultades en la
comprensión cuando no podemos hacerlo.
E) TÉCNICA DE MAPA CONCEPTUAL:
1- Lee atentamente el texto y subraya las ideas principales o conceptos.
2- Selecciona un número pequeño de conceptos o ideas.
3- Los conceptos se encierran en un recuadro o en una elipse para verlos mejor.
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4- Coloca los conceptos por orden de importancia; los más importantes o
globalizadores, en la parte superior, y los menos importantes y subordinados a
los anteriores en la parte inferior.
5- Une los conceptos mediante líneas y relaciónalos mediante palabras que
sirvan de enlace (conectores)
6- Una vez terminado, conviene repetir el mapa para mejorar su claridad y
establecer nuevos enlaces o relaciones.
Para quien quiera profundizar en la construcción de mapas conceptuales puede entrar en:
http://www.elartedepresentar.com/2011/04/siete-pasos-para-la-creacion-de-mapas-
conceptuales-en-presentaciones/
Durante la clase puede resultarles muy importante :
· Tomar apuntes. Incorporen algún sistema para la escritura rápida como la
utilización de abreviaturas con signos, como por ejemplo =., +, % . Que copien los
cuadros y esquemas que realiza el profesor en el pizarrón dejando espacio para incluir
las explicaciones que va realizando oralmente. Recordar que las abreviaturas son sólo
válidas para la toma de apuntes personales, no siendo aceptadas en los exámenes o
presentaciones escritas.
· Llevar leídos los textos, adjuntando escritas las dudas que se les presentaron en
la lectura.
· Tener un diccionario a mano( pueden utilizar los recursos que ofrecen las TIC)
Otros componentes que facilitan la comprensión lectora:
· Reglas ortográficas podrán encontrar en :
https://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/listar?etiqueta_id=90525&referente=docent
es
· Normas APA para referenciar libros, citas, producciones audiovisuales, etc.
disponibles en:
https://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/listar?etiqueta_id=90525&referente=docentes
Para finalizar este texto, que tiene la humilde intención de ser sólo una guía de ayuda,
cabe aclarar que, además de todo lo dicho más arriba, también es importante en la lectura el
registro del propio cuerpo, de lo placentero, es decir poder encontrar una posición cómoda. Al leer
se pone en juego la mirada, la voz, la posición corporal: leer es ejercitarse en estos aspectos. La
lectura conlleva también el registro del otro, quien lee no está sólo, porque forma parte de una
comunidad, porque el autor del texto lo acompaña.
No hay verdadera lectura sin un placer en juego.
Profesora Roxana Villegas
Psicóloga
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JUEVES 28/3
Prof. Jorge Alvarez
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VIERNES 29/3
Simbología Matemática
Profesor: Martin Pagliaro
Un símbolo es la representación perceptible de una idea, con rasgos asociados por una
convención socialmente aceptada. En general son conocidos dentro del contexto donde se
encuentren.
La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que
sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos permiten representar conceptos,
operaciones y todo tipo de entidades matemáticas.
La utilización de los símbolos matemáticos son tan importantes como son los signos de
puntuación en una redacción de literatura. La utilización de los mismos puede cambiar el
significado de un número, el resultado de una operación, la interpretación de una aplicación , etc.
La simbología matemática nos permite expresar en forma clara conceptos matemáticos, de
tal manera que los mismos pueden ser interpretados por cualquier persona independientemente
de la lengua que hable.
A continuación veremos una tabla con algunos símbolos matemáticos y la utilización de los
mismos:
SÍMBOLO NOMBRE Y/O LECTURA EJEMPLO
= Igualdad -Igual a 𝑥 = 5
+ Adición-más 3 + 8
− Sustracción-menos 2𝑡 − 𝑡
∗
∙
×
Multiplicación-por
5𝑥 ∙ 𝑥
÷
División-dividido 9𝑥 ÷ 2𝑥
∑ Sumatoria-Suma
sobre..desde...hasta..
∑𝑛=13
1
𝑛=
1
1+
1
2+
1
3
⟹ Implicación- entonces (1)
⟺ Doble implicacación-Sí y solo sí (2)
∧ y (3)
∨ ó (4)
∀ Para todo, para cualquier (5)
∃ Existe al menos un.. (6)
∃! Existe un único (7)
{; } Delimitador de conjunto (8)
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∈ Pertenece 5/3 ∈ 𝑄
∉ No pertenece 𝜋 ∉ 𝑅
⊆ Subconjunto de (9)
⊂ Subconjunto propio (10)
< Es menor 3
4<
8
5
≥ Es mayor o igual 𝑥 ≥ −2
∩ Intersección de conjuntos (11)
∪ Unión de conjuntos (12)
⊥ Perpendicular 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
∥ Paralela 𝐴𝐵⃡ ∥ 𝐶𝐷⃡
/ Tal que (13)
∴ Por lo tanto (14)
1) Sea 𝐴𝐵𝐶 triángulo⇒ �̂� + �̂� + �̂� = 1800
2) Sea 𝐴𝐵𝐶 triángulo, 𝐴𝐵𝐶 es rectángulo (en 𝐴)⇔ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
3) 𝐴 = {𝑥
𝑥< 7 ∧ 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜}
4) 𝐵 = {𝑥
𝑥∈ 𝐴 ∨ 𝑥 = 0}
5) La función 𝑓 es par ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑅
6) ∃𝑥 ∈𝑅
𝑥2+5𝑥+6=0
7) Dados 𝑟 y 𝑃 ∉ 𝑟 ⇒ ∃!𝑠
𝑃∈ 𝑠 ∧ 𝑠 ∥ 𝑟.
(aclaración: 𝑟 y 𝑠 simbolizan rectas y 𝑃 un punto)
8) Visto en 3) y 4)
9) 𝑄 ∪ 𝐼 ⊆ 𝑅
10) Sea 𝐴 subconjunto de 𝐵/𝐴 ≠ 𝐵, entonces decimos que 𝐴 es subconjunto propio de
𝐵. Ejemplo 𝐴 ⊂ 𝐵 teniendo en cuenta 3) y 4).
11) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥
𝑥∈𝐴∧𝑥∈𝐵} . Es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos
conjuntos.
12) 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥
𝑥∈𝐴∨𝑥∈𝐵}. Es el conjunto formado por los elementos de ambos conjuntos.
13) Vistos anteriormente
14) Se utiliza al llegar a una conclusión
Fuentes:
http://lasmatematicas.org/utilizacion-de-los-simbolos-matematicos/
https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos
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Actividades:
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LUNES 01/4
Profesora: Mabel Cenerelli
ORIGEN DE LOS NÚMEROS
Antes de existir el lenguaje escrito, el hombre primitivo se comunicaba con sus semejantes
gesticulando palabras o sonidos, este medio de lenguaje audible se fue perfeccionando al cabo de
miles de años de su continuo uso, hasta llegar a la palabra hablada. Cuando éste deseaba
recordar un hecho o transmitir un acontecimiento a sus congéneres
(Que tiene el mismo género u origen), les comunicaba sus ideas por medio de la pictografía. Esta
consistía en representar por medio de objetos lo que se deseaba expresar ayudado del dibujo o
la pintura, de esta manera el hombre inventó su primera forma de comunicación no hablada,
la escritura pictográfica.
Sistemas de Numeración de las primeras civilizaciones
Desde el Neolítico, los sistemas de cómputo y numeración se fueron complicando y enriqueciendo progresivamente. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos. Así, por ejemplo:
Los primeros signos numéricos egipcios conocidos datan de hace unos 7.000 años. Su
método se basaba en agrupar los elementos de diez en diez, y asignar a cada grupo de diez
un símbolo diferente.
Los babilonios utilizaban, hacia el año 1700 a. C., un sistema de numeración de base 60,
enormemente complicado por la cantidad de numerales que consideraba.
La civilización grecolatina utilizó las letras del alfabeto como signos numerales. Su sistema de
numeración contaba de diez en diez.
En América, la cultura maya usaba desde el siglo IV d. C. un sistema de numeración de base
20, en el que, por primera vez en la historia, se utilizó la noción de número cero.
En la India, se desarrolló un sistema de representación de números del que deriva el actual,
que fue transmitido a Occidente a través de los árabes.
Funciones de los números:
a) Cuantificador: permite contar cuántos objetos hay. Hace posible calcular y realizar
operaciones matemáticas (suma. resta, multiplicación y división).
b) Ordenador: permite saber el lugar que ocupa un elemento en un grupo ordenado.
c) Identificador: permite identificar un objeto entre varios otros similares. Por ejemplo: los
números de teléfonos, el número de las casas.
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28
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Dadas las siguientes proposiciones indique cuál es verdadera y cuál es falsa, justificar:
a) “El producto de un número impar de números negativos es negativo”
b) “La diferencia de dos números positivos es siempre positiva”
c) “El cociente de un número positivo y otro negativo es siempre un número negativo”
d) “La diferencia de un número positivo y otro negativo es siempre un número negativo”
2) Determinar si los siguientes números son o no números racionales:
a) 7,555555.... b) 3,034035036037... c) 1,03034444444.... d) 34,350350350351 2.
3) Determinar si los siguientes números son racionales o irracionales:
a) 1,23234234523456.... b) 1,23232323.... c) 1,234235236237... d) 1,23
4) Representar en la recta real los siguientes radicales cuadráticos: a) √34 b) √21
5) Calcula la fracción irreducible correspondientes a:
a)1,2222222… b) 0,1262626…. c) 0,08755555… d) 38,01343434…
6) Escribe dos números racionales comprendidos entre:
a) 4/5 y 5/7 b) 1 y 3/2 c) -8/9 y 0
7) Para cada una de las siguientes afirmaciones, escribir en el paréntesis correspondiente
una F o una V según sea falsa o verdadera. Justificar
a) El número 1 es un número racional. ( )
b) √25 es un número irracional. ( )
c) 6 y 18
3 indican (representan) números diferentes. ( )
d) Cualquier número irracional es también un número trascendente, como el número π
( )
e) La suma algebraica de dos números irracionales es otro irracional. ( )
8) Determinar si el siguiente número es irracional y cómo se lo nombra.
1 + √5
2
10) Demostración de la obtención de dicho número del ítem anterior a cargo de la Profesora.
29
MIERCOLES 03/4
Profesora: Norma Gómez
"Un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los
alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y
acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad
de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a
resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento
independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello". G. Polya (1944): Cómo plantear y
resolver problemas. México. Trillas.
Actualmente el rumbo de la enseñanza de la matemática está basado en la resolución de
problemas. El enfoque usual consiste en explicar el contenido matemático, presentar el método
para resolver un ejemplo de problema y practicar problemas para aprender el método, es decir,
presentar ejemplos de problemas y enseñar cómo resolverlos para formar estudiantes con el
dominio en los métodos.
Plantear y resolver las siguientes situaciones problemáticas:
I- Se tienen tres barriles de vino de la misma capacidad, pero el nivel de vino en cada uno es
distinto: el primero contiene la mitad de su capacidad, el segundo contiene cinco sextas partes de
su capacidad y el tercero contiene dos terceras partes de su capacidad. Si la cantidad total de vino
es 72L, ¿cuál es la capacidad de los barriles?
II- En casa de Lucía hay 3 cajas con la misma cantidad de bombones: caja A, caja B y caja C.
Para ahorrar espacio, Lucía reparte de forma equitativa los bombones de la caja C entre las otras
dos cajas. Posteriormente, Lucía se come la mitad de los bombones que hay en la caja A. Si en
total quedan 27 bombones, ¿cuántos bombones había inicialmente?
III- Tres hermanos se duchan todos los días a la misma hora, una detrás de otro, cuando el
depósito de agua está completo. El primero consume un tercio del agua del depósito, el segundo
consume la mitad del agua restante y el tercero consume toda el agua que queda en el depósito.
¿Cuál es la capacidad del depósito si los dos primeros consumen un total de 120 litros? ¿Quién
consume más agua?
IV- Se tienen dos números de dos cifras tales que
la primera cifra de ambos números es la misma
la segunda cifra de uno de ellos es el doble de la primera
la segunda cifra del otro número es el triple de la primera
30
la suma de los dos números es 75
¿Qué números son?
V- Una caja contiene 900 tarjetas, numeradas del 100 al 999. Se sacan al azar (sin reposición)
tarjetas de la caja y se anota la suma de los dígitos de cada tarjeta extraída. ¿Cuál es la menor
cantidad de tarjetas que se deben sacar, para garantizar que al menos tres de esas sumas sean
iguales?
VI- En un equipo de fútbol tenemos 11 jugadores, cuyas camisetas están numeradas del 1 al 11.
Elegimos al azar 6 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de sus
camisetas sea impar?
………………………………………………………………………………………………………………..
Profesora: Sandra Lanza
Docentes Siglo XXI
Graciela Frigerio, antes que hacer énfasis en contenidos y saberes, la educación debería priorizar
la relación de los sujetos con ambos
1 de marzo de 2018 | Escribe: Facundo Franco en En común
Graciela Frigerio es una reconocida académica argentina especializada en educación, que en los
últimos años se ha preocupado por los cruces con otras disciplinas como la psicología o el trabajo
Social. Ella prefiere usar la palabra “educador” antes que “docente” para referirse a la profesión,
ya que, según explica, ese término engloba de mejor forma las actividades de quienes se paran
en un grupo para acompañar los procesos de estudiantes. También se preocupa por dejar claro
que muchas de las reflexiones que plantea no son más que hipótesis, aunque las fundamenta con
especial cuidado. Frigerio estuvo en Montevideo para preparar un ciclo de seminarios y ateneos
que coordina junto con la psicóloga y educadora Carmen Rodríguez (ver recuadro). La académica
conversó con la diaria sobre la forma en que está planteado el debate educativo en la actualidad y
se refirió a muchas de las ideas que se desarrollan en el último libro que co-coordina: Trabajar en
instituciones: los oficios del lazo.
-En diversas publicaciones y conferencias has hablado del rol político de la educación, ¿a
qué refiere esa idea?
–Educar no es un oficio que pueda pensarse desde ninguna neutralidad. No hablo sólo de lo
escolar, porque educar lo desborda; aludo a que cuando nacemos y recibimos una filiación que
viene de la familia, ella es insuficiente para que uno se instale en el territorio de lo social. Para que
a uno le toque la parte de lo común a la que tiene derecho, hace falta estar inscripto en el territorio
de lo social. Para mí es la educación la que te inscribe en ese territorio, en el sentido de que te
instituye. Más allá del vocabulario de lo familiar, es la que te brinda las palabras para decir el
31
mundo, la que te vuelve un sujeto de la polis, ya no un sujeto de la familia. Educar, que es un
oficio apasionante y minucioso, concierne la vida de los sujetos, la que, según cómo se dé la
historia, puede volverse vivible, plena, digna, habitada por el entusiasmo existencial, o puede ser
una vida que está siempre lamentando y no vive. Cuando uno es considerado un deshecho, un
marginal o un carenciado por políticas que no son las de la educación, es obvio que ahí la vida
transcurre en la supervivencia y tiene un componente mortífero muy fuerte. Hay tendencias que
dicen que educar es una cuestión de procedimientos, de juntar contenidos con sujetos, y que lo
que tenés que hacer es ponerlo en acción. Por supuesto que esas cosas cuentan, pero el efecto
de la educación es constitutivo de la subjetividad, que te pone adentro o afuera del mundo común
compartible.
-¿Qué rol puede jugar la educación con personas que no tienen otras necesidades básicas
insatisfechas, en un contexto en el que muchos sectores de la población que antes no lo
hacían están prolongando su estadía en el sistema educativo?
–La idea de instituir al otro como semejante. Para que el otro pueda vivir como semejante, no
alcanza con la educación, tenés que ser reconocido en el territorio social y político. Eso implica
políticas que no son de la órbita de la educación. Te podés encontrar con políticas que apuntan a
confirmar el rasgo de semejanza, y, en consecuencia, distribuir, compartir, no excluir; y con
políticas que se la pasan borrando la semejanza del otro. Para que haya sociedad tengo que verte
como un semejante, lo que implica verte como un sujeto diferenciado. Si lo que hago es borrar y
limar la semejanza en lugar de verte como un semejante, te constituyo como algo –ya no alguien–
sobre lo que puedo avanzar sin miramiento. Puedo estar equivocada, pero desde las leyes de
obligatoriedad, la educación escolar ha ampliado el tiempo de permanencia dentro del sistema
educativo, y ha ampliado la invitación –bajo el modo curioso de una exigencia– a que todo el
mundo esté adentro. Eso no ha producido necesariamente los efectos que se calculaban. Pero
también les dicen que no al sistema educativo los herederos históricos del sistema educativo, es
decir, los que forman parte de ciertos sectores sociales, tienen cierto poder adquisitivo, no la
pasan mal en la vida desde una perspectiva contable-económica. ¿A qué le dicen no los chicos
que le dicen que no a la escuela? No digo que a veces la escuela no propicia el sí, pero a veces
es una vía indirecta de decirle que no a una propuesta de mundo que ha dejado de ser atractiva
para las nuevas generaciones. Algunos no quieren el mundo globalizado que otros pregonizan, no
les interesan el mundo de emprendeduristas que otros proclaman, ni un mundo donde la idea de
valor esté asociada exclusivamente a lo monetario y la educación oficie de mercancía. No tienen a
quién decírselo, excepto a la escuela. La actualidad exige a las instituciones y a los sujetos que
trabajan ahí un particular esfuerzo para conservar la posición política de decir: “Yo estoy acá para
compartir lo que entendí del mundo y para habilitar que lo que no comprendí sea accesible para
los otros”. Es imposible avanzar en la resignificación de lo educativo-escolar si no se avanza en la
resignificación de que todo otro merece, necesita y tiene derecho a ser reconocido en el territorio
de lo social.
32
-¿Qué características debe asumir el rol del educador en este contexto?
–Hay una hipótesis de que el sistema educativo pasó demasiado tiempo poniendo énfasis en unos
saberes que parecen traducirse en contenidos. Y pasó mucho tiempo en pensar cómo,
metodológicamente, eso se ponía en juego. Quizás habría que imaginar que, a cambio de
concebir una acumulación propietaria capitalista de saberes y contenidos, lo que esté en juego,
que es lo que está temblando y deshilachado, no son los contenidos y los saberes, sino la relación
con los contenidos y los saberes. Por supuesto que las disciplinas tienen que hacer disponibles
distintos saberes, si no, no tendría mucho sentido lo escolar. Pero una cosa es trabajar con esto y
otra cosa es darle centralidad. Muchas veces los grandes dicen que los jóvenes no se interesan
por nada, que han perdido la curiosidad, y uno se pregunta qué es lo que desvirtuó o se
deshilachó: es la posición del sujeto como sujeto que quiere saber. Una relación con el saber
implica una relación con el mundo; por eso, con varios colegas hablamos de que estos oficios, que
tienen muchos nombres de bautismo (educador, educador social, psicopedagogo, fonoaudiólogo,
psicólogo, trabajador social, artista, etcétera) son oficios del lazo y tienen que volver a reanudar
esa trama en la que la relación con el mundo implica un reacomodamiento del propio mundo
interno. Es un trabajo de enlazar, de asociar, asegurar pasajes, y esto implica también un trabajo
de desenlazar. Cuando hablamos de los chicos que tienen ciertas características descriptas por la
sociología a propósito de su origen, quizás el carácter político de la educación resida en que uno
nace en un lugar que no eligió, en un grupo, en un nicho de crianza, en una tierra, una lengua por
la que no le preguntaron, y que ese origen debe ser siempre respetado, pero nunca debe
transformarse en una condena. Hoy tenemos muchos chicos condenados por su origen, incluso
cuando se quiere hacer políticas llamadas de “discriminación positiva”, porque estas no
desmienten que siguen siendo discriminados.
-¿Cuál es tu opinión sobre la incorporación de la tecnología en la educación?
–La tecnología es producto de los saberes y los conocimientos. El problema es cuando se
fetichiza, como la mercancía. Junto con otros colegas discutimos la fetichización de la tecnología.
Algunos autores dicen que vivimos en tiempos de bulimia tecnológica. Hay una apetencia por las
nuevas tecnologías que no necesariamente se traduce en deseo de saber. No estamos muy
seguros de que acumular datos, saber navegar, simplificar el lenguaje, perder vocabulario, y,
sobre todo, dejar de mirar a un otro a los ojos, conduzca a un mundo común donde den ganas de
vivir. No hay que menospreciarlas ni se pueden descartar, pero tampoco hay que hacer que las
nuevas tecnologías suplanten lo propiamente humano de un encuentro interpersonal,
intergeneracional, un encuentro de subjetividades, con toda los conflictos que eso implica. Lo
propio de lo humano es hacerse cargo de esos conflictos de que hay otro; si no, no hay mundo
posible. Cierta bulimia de nuevas tecnologías se traduce por una inapetencia de saberes en el
sentido profundo: no hablo de googlear y resolver lo que me hayan preguntado. Lo que era propio
de los hombres era la curiosidad; si no, no hubiera habido mundo.
33
-Muchas disciplinas suelen hablar de la educación, ¿qué lugar adquiere lo pedagógico
cuando se toca el tema?
–La complejidad de la educación no podría ser mirada desde una disciplina. No hay una que
pueda cubrir el campo de las instituciones, los sujetos, los saberes, las relaciones de saberes;
necesitás nutrirte de varias cosas que tienen que dialogar entre sí. Quizás parte del problema es
que no hay ese diálogo, hay voluntad aplicacionista: viene una disciplina que acaba de hacer un
nuevo recorte y dice: “Soy yo la que te va a decir cómo [hacerlo]”, olvidando que las tendencias
hegemónicas dentro de las disciplinas han tenido su momento de apogeo, de declive y hasta de
descarte, porque han venido otros modos de decir el mundo que han resultado más apropiados.
Una cosa es poner en diálogo las disciplinas, y otra es someter la educación a las disciplinas,
habilitando que disciplinas que originalmente no pensaban la cuestión de la educación pasen a ser
amas de la escena. Para esto también hay que recuperar el orgullo del oficio de ser educador, de
hablar en una pedagogía que es polifónica, plurilingüista. Cuando el campo propio de la educación
está desvalorizado, desjerarquizado, desimbolizado –a lo que han contribuido no pocas políticas–,
es muy fácil para otra disciplina tomar la supremacía. La teoría no está para decir el deber ser.
Tiene sentido si te permite comprender los haceres, no para que, desde un púlpito académico, se
proclame el único modo en que la vida es vivible.
-¿Qué rol debería jugar la formación de los educadores en el siglo XXI?
Es una hipótesis y puedo estar equivocada, pero podríamos cambiar los contenidos de la
formación docente, podríamos trasladarla de una institución a otra. Sin embargo, [no la
cambiaremos] a menos que nos preguntemos qué tipo de continente para el pensar estamos
instituyendo, qué tipos de relaciones con el saber estamos propiciando, qué tipo de ruptura con
una división. Parte de lo que quizás nos acontezca es esa estéril querella de una división forzada
entre teorías y prácticas. La educación requiere lo que Laurens Cornú llama “epistemología de la
acción”; renunciar a poner un antes y un después: primero hago y luego pienso, primero pienso y
luego hago, o por un lado teorizo y por el otro hago las prácticas. Es un pensar haciendo y un
hacer pensándose. Eso implica una construcción de los lazos que habiliten el registro donde la
división se disuelva y se opere el verbo “elucidar”, que [Cornelius] Castoriadis aportó cuando
imaginó las instituciones: saber lo que se piensa, pensar lo que se hace. Todo eso en una cosa
que se amasa, llega un momento en el que no se podría distinguir. Por lo demás, importa volver a
significar la formación.
-En estos días en Uruguay se ha debatido sobre la repetición escolar, ¿cuál es tu postura
sobre el tema?
-La palabra repetición arrastra una idea de "otra vez lo mismo". Repetir así no es necesariamente
elaborativo ni superador, podría entenderse como un castigo si eso te condena a volver a pasar
por el mismo obstáculo que no pudo ser removido en una oferta curricular. Pareciera que queda a
cargo del sujeto y del paso del tiempo, pero si hay que volver a pasar, hay que hacerlo de otro
modo. De lo contrario, lo único que te puede producir es una especie de hartazgo, de
34
aburrimiento, desencanto, decepción, y una frustración gratuita. Si hay un obstáculo, no
necesariamente es del sujeto, puede ser de la relación, de la representación social sobre el
contenido. Por ejemplo, las matemáticas son un obstáculo para una parte importantísima de la
población. No es un problema de la matemática sino del lugar político que se le dio, que permite
borrar el carácter político de la enseñanza, diciendo que finalmente habría una disciplina que
dictamina: sos bueno o no sos bueno para la matemática. La matemática no está hecha para
dividir a la gente, depende de la relación en la que te iniciaron con ese objeto. Cuando uno tiene
un obstáculo lo tiene con un objeto creado e inventado por el sistema educativo, no
necesariamente con la disciplina. Aquello con lo que uno está en contacto no es necesariamente
la filosofía de la disciplina, uno está en contacto con una currícula que todos admiten que es
arbitraria, se define en función de líneas de fuerza y de corrientes teóricas y políticas. Entiendo
que la gente diga "cómo va a pasar si no aprobó", pero también habrá que revisar ciertos criterios
evaluativos, y quizás poner a la población escolar a resguardo de lo que algunos llaman la pulsión
de prueba, o sea, que el otro esté todo el tiempo siendo examinado. No digo que uno no tenga
que tener datos sobre los resultados para saber lo que pasa, pero lo que importa en educación
son los efectos, que se van a dar después, en otros territorios, con otra gente, en otras edades de
la vida. La evaluación se ha fetichizado, se ha entronizado, se ha vuelto una dictadura. No solo
hacia el interior del sistema educativo, se está aplicando en otros territorios que hacen a los
trabajos de los oficios del lazo con los humanos, y ahora hay un metropatrón global que establece
los que sí y los que no. Tuvimos el norte, el sur, el este y el oeste, ahora tenemos por arriba o por
debajo de no sé cuánto [puntaje] en las pruebas PISA. Habría que preguntarse sobre este afán de
control, no es cierto que antes no se supiera lo que pasaba en educación, ni tampoco que lo que
se sabe acerca de lo que pasa esté construyendo políticas que conlleven al reconocimiento.
https://educacion.ladiaria.com.uy/articulo/2018/3/segun-graciela-frigerio-antes-que-hacer-
enfasis-en-contenidos-y-saberes-la-educacion-deberia-priorizar-la-relacion-de-los-sujetos-con-
ambos/#subscribe-footer
Prof. Viviana Monti
La geometría y el Asesinato en el “Amthematics Express”
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Del libro….
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MATERIAL PARA TRABAJAR CON EL EQUIPO DE INVESTIGACION
El lenguaje matemático
Actividades:
1. Unir con flechas cada símbolo con su significado
Pertenece
Entonces
Existe un único
Igual
Para todo
Subconjunto de
Tal que
Por lo tanto
Si y sólo si
=
/
∴
∃!
∈
⊆
∀
↔
→
2. Completar con el símbolo correspondiente.
a. Argentina…….a América Latina.
b. Aprobé Matemática……..mi nota fue de 6 o más.
c. La edad de mi papá es……que mi edad.
d. 6-4………4-6.
e. Para cada país………capital.
f. Tengo 9 materias…….haré 9 carátulas.
3. Traducir las siguientes frases a simbología matemática o viceversa.
a. Para todo número natural existe un número posterior.
b. ∀x∈Z, ∃yy=x-1
c. El triple de un número es igual al doble de su posterior.
d. 3x+1=x2
43
e. Si el ángulo AOB es mayor que 90 grados y menor que 180 grados, es obtuso.
Conjuntos. Conjuntos Numéricos. Operaciones.
A continuación nos proponemos realizar una revisión de las operaciones en el conjunto de los
números reales. Para lo que es necesario también hacer una revisión de cada uno de los
conjuntos numéricos. Pero a su vez, el estudiar conjuntos numéricos nos impone la necesidad de
revisar mínimamente la noción de conjunto, junto con algunas relaciones entre ellos. Para esta
revisión, nos basta con repasar conceptos tales como pertenencia a un conjunto; inclusión de un
conjunto en otro, unión de conjuntos, intersección de conjuntos. Daremos en este capítulo
apenas las relaciones entre conjuntos necesarias para dar un contexto a nuestro abordaje sobre
números. Asimismo, haremos una revisión de los conjuntos de los números naturales, enteros,
racionales, irracionales y reales junto con las operaciones y las propiedades más relevantes.
Conjuntos
Ideas, Conceptos y Definiciones
La idea de conjunto es muy intuitiva y en su definición más primaria podemos afirmar que:
Un conjunto es una colección de objetos que llamaremos elementos
Vamos a usar letras mayúsculas para denotar conjuntos y letras minúsculas para denotar
elementos. Así, A es un conjunto y x un elemento. La definición de conjunto no hace ningún tipo
de alusión con respecto a los elementos del conjunto. En particular, no determina si el conjunto
tiene una cantidad finita de elementos, infinita, si los elementos guardan alguna relación entre sí
(es decir, si son clasificables), etc.
Notación de Conjuntos
A los conjuntos los denotaremos entre llaves, así, por ejemplo, el conjunto
A = {1, 2, 4, π}
es un conjunto cuyos elementos parecen no guardar relación alguna.
En cambio, el conjunto
B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
es el conjunto de números naturales pares.
44
Cuando los elementos que componen un conjunto guardan una cierta relación entre sí, podremos
describir a un conjunto por comprensión. De esta manera, el conjunto
B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . }
puede ser descripto como
B = x, tal que x es un natural par
Cuando un conjunto está dado por la totalidad de sus elementos, se dice que el conjunto está
definido por extensión. Cuando lo que define al conjunto es la cualidad de sus elementos decimos
que el conjunto está definido por comprensión.
Denotamos como ∅ al conjunto que no tiene elementos. Y lo denominamos conjunto vacío.
En lo que sigue veremos relaciones entre elementos y conjuntos y entre conjuntos. Es necesario
que nos vayamos familiarizando con la notación conjuntista, ya que nos será útil durante toda la
carrera.
Pertenencia e Inclusión
Cuando un elemento x cualesquiera está dentro de un conjunto A decimos que x pertenece a A y
lo denotamos
x A.
Cuando dados dos conjuntos, A y B, en el que todos los elementos de A están también en B
decimos que A está incluido en B y se denota
A B
En términos simbólicos, decimos
A B si y solo si x A → x B
Unión e Intersección de Conjuntos
La unión e intersección entre conjunto son operaciones: Esto significa que a cada par de
conjuntos, A y B unir A con B da como resultado un nuevo conjunto que se obtiene a partir de
ambos. Lo mismo ocurre con la intersección.
Unión
Dados dos conjuntos, A y B definimos como unión de A y B al conjunto denotado por
A B
45
y es el conjunto formado por todos los elementos de A y los elementos de B, sin repeticiones.
Claro que existe una manera más formal de escribirla, pero escribámosla después de un ejemplo.
Consideremos
A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 5, 7}.
Entonces
A B = 1, 2, 3, 4, 5, 7
notemos que el 3 que pertenece a los dos conjuntos no lo repetimos. Esto significa que los
elementos que componen A ∪ B son aquellos que están en A o están en B. La definición es,
entonces,
x A B ←→ x A o x B
A∪B
Intersección
La intersección de dos conjuntos es el conjunto que obtiene con los elementos que son comunes
a ambos conjuntos. Esto es, si A y B son conjuntos, la intersección entre A y B, la denotamos
A ∩ B
y se define a través de
x A ∩ B ←→ x A y x B
46
A∩B
En lo que sigue nos abocaremos a estudiar conjuntos numéricos, es decir, conjuntos cuyos
elementos son números.
Actividades:
1. Dados los conjuntos por extensión, escribirlos por comprensión
a. A = {1, 3, 5, 7, 9}
b. B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
c. C = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}
d. D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
2. Dados los siguientes conjuntos
A = {2, 4, 6, 8, 10, 11, 13},
B = {1, 3, 5, 6, 8, 10, 13, 15}
C = {x N /x impar y múltiplo de 5}
Hallar:
a. A B
b. A ∩ B
c. B ∩ C
d. A ∩ (B C)
e. B ∩ (A ∩ C)
3. Simboliza matemáticamente los siguientes enunciados
a. m es un número par
b. m es un número impar
c. m es la suma de un número par con otro número par.
d. m es el producto de un número par con otro número impar
e. m es la suma de un número par con otro número impar
f. m es el producto de dos impares
g. m es el producto de dos pares
h. m es la suma de un múltiplo de 5 con un múltiplo de 7.
i. m es la diferencia entre el cubo de un múltiplo de 3 y los cuadrados de un múltiplo de 5.
j. m es la suma de dos números impares.
47
k. m es el cubo de la suma de dos números pares consecutivos
l. m se obtiene a partir de multiplicar tres enteros consecutivos.
m. Dado m∈Z obtiene la suma del cubo de su anterior con el triple del cuadrado de su
siguiente.
n. El número m es tal que la diferencia entre el cubo de su siguiente con su anterior es un
múltiplo de 4.
o. m es un número que se obtiene a partir de sumar un múltiplo del cuadrado de 3 con el
cubo de un múltiplo de 2.
4. Escriban tres números racionales y tres números irracionales mayores que 2 y menores
que 6.
5. Escriban tres números irracionales mayores que 3,2 y menores que 3,3.
6. Ordenen de menor a mayor los siguientes números:
1,73 1,73 2 3 43 1,3 1,42 1,41 1,3
7. Indica cuáles de las siguientes expresiones decimales se pueden escribir como fracción:
a. 1,391221112222111112222221111111….
b. 0,62346234623462346234…..
c. 5,21043210432104321043210….
d. 3,1421142214231424142514261….
8. ¿Cuáles son racionales? ¿Cuáles irracionales?
a. 0,5 b. 0,515253 c. 4,141141114 d. 7 e. 2√36 f. √25
9. Ordena de menor a mayor los números reales siguientes y ubícalos en el diagrama de
conjuntos:
1,9 ; 2110 ; 0,019 ; 10 ; -0,019 ; 84 ; -1
10. ¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta.
a. la expresión como fracción del número 1,13,73 es 1137
b. el número √23 es irracional.
48
Las disciplinas expuestas y trabajadas, no constituyen la totalidad de las
áreas académicas que te formaran en este profesorado, el objetivo del
presente CURSO INTRODUCTORIO es darte un panorama de los
contenidos que comenzaras a transitar en esta hermosa aventura de ser
PROFESOR/PROFESORA DE MATEMÁTICA.
Sección Matemática
49
ANEXOS
50
ANEXO I
51
52
53
ANEXO II
SEGUNDO AÑO:
PARA CURSAR
CAMPO DE FORMACIÓN
UNIDAD CURRICULAR
DEBE TENER REGULARIZADA
DEBE TENER APROBADA (AÑO)
GENERAL INSTITUCIONES EDUCATIVAS ………………... HISTORIA Y POLÍTICA DE LA EDUCACIÓN ARGENTINA
PEDAGOGÍA 1º ………………….. INSTITUCIONES EDUCATIVAS 2º
ESPECÍFICA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA II ……………….. CÁLCULO II ………………… GEOMETRÍA II ……………….. FÍSICA I ………………. DIDÁCTICA ESPECÍFICA I ……………….. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA II
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA I 1º GEOMETRÍA I 1º ………………… ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA I 1º CÁLCULO I 1º ………………... ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA I 1º GEOMETRÍA I 1º ……………….. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA I 1º CÁLCULO I 1º …………………... DIDÁCTICA Y CURRICULUM 1º …………………. CÁLCULO I 1º GEOMETRÍA I 1º ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA I 1º
………………. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA I 1º
DE LA PRÁCTICA
PRÁCTICA DOCENTE II
DIDÁCTICA Y CURRICULUM 1º MODELIZACIÓN MATEMÁTICA I 1º
PRÁCTICA DOCENTE I 1º
54
PARA CURSAR:
CAMPO DE FORMACIÓN
UNIDAD CURRICULAR
DEBE TENER REGULARIZADA
DEBE TENER APROBADA (AÑO)
GENERAL INSTITUCIONES EDUCATIVAS ………………... HISTORIA Y POLÍTICA DE LA EDUCACIÓN ARGENTINA
…………………..
PEDAGOGÍA 1º ……………… PEDAGOGÍA 1º
ESPECÍFICA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA II ……………….. CÁLCULO II ………………… GEOMETRÍA II ……………….. FÍSICA I ………………. DIDÁCTICA ESPECÍFICA I ……………….. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA II
………………… ………………... ……………….. ………………….. ………………….
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA I 1º GEOMETRÍA I 1º …………………... ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA I 1º CÁLCULO I 1º …………………... ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA I 1º GEOMETRÍA I 1º ……………….. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA I 1º CÁLCULO I 1º ………………….. DIDÁCTICA Y CURRICULUM 1º ………………. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA I 1º
55
ANEXO III
56
BIBLIOGRAFÍA
● Leliwa,S. y otra (2011) Psicología y Educación. Una relación indiscutible. Córdoba;
Brujas ed.
● Boco, Mónica (2009) Funciones elementales para construir modelos matemáticos.
Colección Las ciencias naturales y la matemática. Ministerio de Educación de la
Nación. Instituto Nacional de Educación Tecnológica. Buenos Aires
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