Programa - Universitat de València · 2006-03-09 · Líneas de transmisión y guías de ondas Concepto de modo. Clasificación de los modos Cálculo de e t. 9 V. Muñoz Sanjosé

1

V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo Curso 2003-2004

Programa

• 20.1 Introducción• 20.2 Concepto de modo. Clasificación de los modos• 20.3 Líneas de transmisión. Propagación entre dos planos paralelos.• 20.4 Estudio elemental de una guía rectangular• 20.5 Parámetros característicos.• 20.6 Cavidades resonantes.

Lección 20Líneas de Transmisión y guías de ondas

2


Bibliografía

Collin Lección 3Jackson Lección 8Pomer Lección 18Reitz-Milford-Christy Lección 18

Lección 20Líneas de Transmisión y guías de ondas

3


02

22 =

∂∂

−∇tEEr

rεµ

jwteEE −= 0

rr022 =+∇ EE

rrεµω 022 =+∇ EkE

rr

0=∂∂

+∇=∇ zt uzr ( ) ( ) zyxiezfyxezyxE jwt

ii ,,)(,,, == −

0)()()( 22

22 =+

∂∂

+∇ zfekezfz

ezf xxxt

Líneas de transmisión y guías de ondasConcepto de modo. Clasificación de los modos

εµω=k

4


0)(

11 22

22 =+

∂∂

+∇ kzf

zfe

e xtx

0)( 222 =−+∇ xzxt ekkefkzf

z2

2

2

−=∂∂

EkzE

z

rr

22

2

−=∂∂ zjkjwt

xxzeeeE −= )( wtzkj zeeE −= r

r

fz

vkt

z==

∂∂ ω

φ

tzkz ωφ −=


22

21zkz

ff

−=∂∂

5


zt uzr

∂∂

+∇=∇

( ) tjzikzt

tjzik eeeeeeeE zz ωω −− +==rrrr

( ) tjzikzt

tjzik eehheehH zz ωω −− +==rrrr

Concepto de modo. Clasificación de los modos

Líneas de transmisión y guías de ondas

tBEx∂∂

−=∇r

r

tDHx∂∂

=∇r

r

6


tBEx∂∂

−=∇r

r

( ) ( ) ( ) tjzjkzt

tjzjkztzzt eehhjeeeexujk zz ωω µω −− +=++∇

rrrrr0

( )ztzzztzzzttt hhjexujkexujkexexrrrrrrrr

+=++∇+∇ 0µω

ztt hjexrr

0µω=∇



ttzzzzt hjexujkuxerrrr

0µω=+∇

ttzzztz hjexujkexurrrr

0µω=+∇−

(1)

(2)

7


tDHx∂∂

=∇r

r

ztt ejhx rr0εω−=∇

ttzzztz ejhxujkhxu rrrr0εω−=+∇−


(3)

(4)

8


( ) ( ) tztzzzztzz hxujexuxujkexuxurrrrrrr

0µω=+∇−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ztzzz

zzttzzzzzztztzz hxuejjk

juueeuujkuueeuu ∇+−=−+∇−∇−rrrrrrrrrrrr

001

εωµω

( ) ( ) ztzz

zz

tzzt hxuk

ejk

ejke ∇+−=−+∇rrr 0

00 µω

εωµω

ztztzz

tz

z ehxuk

ek

jjk ∇−∇=

+−

rr 0002 µωµεω ( ) ztzztztz ejkhxujek ∇+∇−=+−

rr000

22 µωµεω

( )ztzztzz

t ejkhxujkk

e ∇+∇−−

=rr

022

1µω ( )ztzztz

zt hjkexuj

kkh ∇+∇

−=

rr022

1εω


Cálculo de et

9




Modo TM (o E) hz=0 ez≠0

( )ztzztzz

t ejkhxujkk

e ∇+∇−−

=rr

022

1µω ( )ztz

zt ejk

kke ∇

−= 22

1r

( )ztzztzz

t hjkexujkk

h ∇+∇−

=rr

022

1εω

( ) ( )tzz

ztzz

t exuk

exujkk

h rrrr0

022

1 εωεω =∇

−=

kkZk

he

Z z

t

tTM0

0

0 ===ωε

rr

Ω== 3770

00 ε

µZ

10



Modo TE (o H) hz ≠ 0 ez = 0


( )ztzztzz

t ejkhxujkk

e ∇+∇−−

=rr

022

1µω

( )ztzz

t hjkkk

h ∇−

= 22

1r

zzt

tTE

kkZ

khe

Z 00 ===

ωεrr

20ZZZ TETM =

( )ztzztzz

t hjkexujkk

h ∇+∇−

=rr

022

1εω

( ) ( )tzz

ztzz

t hxuk

hxujkk

errrr 0

022

1 µωµω −=∇−

−=

11



Modo TEM hz = 0 ez = 0

( )ztzztzz

t ejkhxujkk

e ∇+∇−−

=rr

022

1µω

0≠thr

( )ztzztzz

t hjkexujkk

h ∇+∇−

=rr

022

1εω

kkkk zz =⇒=− 0220≠ter ⇒

0=∇ tt hxr

0=∇ tt exr

( ) 00

ZZcE

Bexukh TEMtzt =⇒=⇒=

rrrrr

µω

Modos híbridos hz ≠ 0 ez ≠ 0

( ) ( )yxyxe tt ,, φ−∇=r 0=∇ tter ( ) 0,2 =∇ yxtφ

0=∇ tthr

12


( ) 0,2 =∇ yxtφ

−=

02

20

10

20 V

oSenV

SenV

φ

ee ttrr

=−∇= φ

Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión.

( )tzt exukh rrr

0µω=

zjkt

zjkt eeeEE φ−∇===

rrr zjktzt eexukHH rrrr

0ωµ==

13


zjkeVV 0=

0

22

IdlJldhS

sS

t == ∫∫rr

zjkeII 0=

JDjHxrrr

+=∇ ω st Jhxnrrr

=

0=texnrr

0=∇ hxtr


Líneas de transmisión.

( ) ( )[ ] 012

2

1

2

1

2

1

VSSlddldldlde

S

S

S

St

S

St −=−−=−=∇−= ∫∫∫ φφ

φφ

rrrr

14


0112

2

2 =∂∂

+

∂∂

∂∂

ϕφφ

rrr

rr

01=

∂∂

∂∂

rr

rrφ

21 ln CrC +=φ arenV == 0φ

bren == 0φ

210 ln CaCV += 21 ln0 CbC += bCC ln12 −=

=

ba

VCln

01 ( )

( )babr

Vln

ln0=φ

Líneas de transmisión y guías de ondasLíneas de transmisión. Línea coaxial

15


( ) ( )jkzrjkzrjkz

r eru

abVe

ru

baVe

ruE

rrrr

lnln00 =−=

∂∂

−=φ

( )jkzjkz

tz eru

abVkeexukH ϕ

ωµωµ

rrrr

ln0

00

==

( )jkzz

rs eau

abVkHxuHxnJ

rrrrrr

ln0

0ωµ===


zjkeVV 0=

( ) ( )abVkda

abaVkI

ln2

ln0

0

2

0

0

00

πωµ

ϕωµ

π

== ∫

zjkeII 0=

16


( )( ) ( )abVkda

rdrd

abVkrdrduExHP

b

az

b

a lnln21Re

21 2

0

0

2

02

20

0

2

0

*

ωµπ

ϕϕ

ωµϕ

ππ

=== ∫∫∫∫r


( ) ( )abVkIVVIP

ln2

21

21Re

21 2

0

000

* πωµ

===

0

00 IVZ =

∫= zSdHxEPrrr

*Re21

17



Análisis de parámetros distribuidos

∫=S

dSHHII

L **

00

0rrµ

∫=S

dSEEVV

C **

00

rrε

∫+

=21

**

00 SS

m dSHHIIRR

rr

∫= dSEEVV

G **

00

'' rrωε

dvHBLIIUV

Tm

rr∫==

21

21

21

21 *

00

dvDECVVUV

Te

rr∫==

41

41 *

00

εεε ′′+′=

18




19


tiLdziRdzdz

zvvv

∂∂

+=

∂∂

+−tiLiR

zv

∂∂

−−=∂∂

tvCdzvGdzdz

ziii

∂∂

+=

∂∂

+−tvCvG

zi

∂∂

−−=∂∂



20


ztiL

ziR

zv

∂∂∂

−∂∂

−=∂∂ 2

2

2

2

22

tvC

zvG

zti

∂∂

−∂∂

−=∂∂∂



∂∂

+∂∂

+

∂∂

+=∂∂

2

2

2

2

tvC

tvGL

tvCGvR

zv

( ) 02

2

2

2

=−∂∂

−∂∂

+−∂∂ RGv

tvLC

tvRCLG

zv

( )( )jwtzjVev −= γRe ( ) 022 =−+++− RGLCwRCLGjwγ

21


IjwLRzV )( −−=∂∂ VjwCG

zI )( −−=∂∂

( ) 0)( 22

2

=+++−∂∂ VLGRCjwVLCwRGzV

zjzj eVeVV γγ −−+ += ( )[ ] 212 )( LGRCjwLCwRG +++−=γ

( )zjzjzjzj eVeVjwLR

eIeIV γγγγ γ −−+−−+ −−

=−= 21

−−

=−

=jwCGjwLRjwLRZc γ



( )[ ] LCwLGRCjwLCwRGGR

=+−−−==

= 212 )(

00

γεµε

εµC

LCCLZc ====

22


( ) ( )tzxHtzxE ,,;,,rr

cteEx = xx uee rr0= ae012 =−φφ

yy uceh rr

0

0

µ=

xjwtikz ueeeE rr

−= 0y

jwtikz ueeceH rr

−=0

0

µ of kwv

µε0

1==

( ) 200

20

0

20

0

0

0

20*

211

21

21

21Re

21 hZe

Ze

ceHxEN =====

µε

µ

rrr

Líneas de transmisión y guías de ondasPropagación entre dos planos paralelos

¿Habrá solución TEM?z

x y

23


0≠ze ( ) 0222 =−+∇ zzzt ekke

( ) zxzzz

z ekekkxexe 2222

2

)( −=−−=∂∂

⇒ xBsenkxkAe xxz += cos

000 =⇒=⇒= Aex z πnakaBsenkeax xxz =⇒=⇒=⇒= 00

22

−=⇒=ankk

ank

nzxππ

Solución TM


22

−=ankk

nzπ

24


axnBsenez

π=

axnB

kkjex

zx

πcos=

axnB

kk

Zje

Zh

xxTMy

πcos11

0

== 22

−

==

ank

wkwvnz

fπ

( )axnB

kkk

ZhehZe

ZhxeN

x

zyxy

TMxTMttz

π222

0

22* cos121

21

211

21Re

21

=====rr


abBkkk

ZaB

kkk

ZbdSNP

x

z

x

zaxby

yx

zz2

20

22

000

141

21

21

=== ∫==

==

25


2

002

22

−=

−=

an

ankk

nzπ

εµωπ

0=nzk


Frecuencia de corte

anc

an

ncππ

εµω ==

00

1

TMomodningunexistenoSi c1ωω <

26


0≠zh

( )xkBxAsenkkkjkh xxxx

zx cos2 +−=

xBsenkxkAh xxz += cos

000 =⇒=⇒= Bex y

22

−=⇒=ankk

ank

nzxππ

( )xkBxAsenkkkjk

ke xxx

x

z

zy cos2

0 +−−=ωµ

anknakeax

nxxyπ

π =⇒=⇒=⇒= 0

axnAhzπcos=

−=

axnAsenk

kjkh xx

zx

π2

−−=

axnAsenk

kjk

ke x

x

z

zy

πωµ2

0

Solución TE


( ) 022222 =+∇=−+∇ zxztzzzt hkhhkkh

27


( )wtzkj zeyxeE −= ),(r ( )wtzkj zeyxhH −= ),(

rr

( ) 0222 =−+∇ ekke ztrr ( ) 0222 =−+∇ hkkh zt

rr

0,0:,0 ==== zy EEaxx 0,0:,0 ==== zx EEbyy

00 == zz HyETEM 00 ≠= zz HyETE

00 =≠ zz HyETM 00 ≠≠ zz HyEhibridos

Líneas de transmisión y guías de ondasGuía de sección rectangular

y

x ba

28



Solución TM

yxt uy

ux

rr2

2

2

22

∂∂

+∂∂

=∇ ( ) 011 222

2

2

2

=−+∂∂

+∂∂

zkkyg

gxf

f

02222 =−−− zyx kkkk xkBxAsenkxf xx cos)( += ykDyCsenkyg yy cos)( +=

)()( ygxfez =

0,00 === yxparaez 0== DBxAsenkxf x=)(

yCsenkyg y=)(

yxsenkAsenke yxz = byaxparaez === ,0πmakasenk xx =⇒= 0

πnbkbsenk yy =⇒= 022

2

−

−=

bn

amkkz

ππ ( ) ( )wtzkjwtzkjzz

zz eybnsenx

amAseneeE −− ==

ππ

29


ybnsenx

amA

am

kkjke

z

zx

πππ cos22 −=

ybnx

amsenA

bn

kkjke

z

zy

πππ cos22 −=

ybnx

amsenA

bn

kkjh

zx

πππεω cos220

−−

=

ybnsenx

amA

am

kkjh

zx

πππεω cos220

−=


30


( )( )ykDysenkCxkBxsenkAh yyxxz coscos ++=

( )( )yDsenkykCxkBxsenkAkkk

jkh yyxxyz

zy −+

−= coscos22

( )( )ykDysenkCxBsenkxkAkkk

jkh yyxxxz

zx coscos22 +−

−=

000 =⇒== Axparahx 000 =⇒== Cyparahy

( )( ) ykxkBykDxkBh yxyxz coscoscoscos ==


Solución TE

( )ztzz

t hjkkk

h ∇−

= 22

1r

31


ykxBsenkkkkjkh yxx

z

zx cos22 −

−= yxsenkkBk

kkjkh yxy

z

zy cos22 −

−=

amkaxparah xxπ

=⇒== 0bnkbyparah yyπ

=⇒== 0

222

−

−=

bn

amkkz

ππ ysenkxkBkkk

je yxyz

x cos220

−−

=µω

ykxBsenkkkk

je yxxz

y cos220

−=

µω

t

t

he

Z v

r

= Ω== 3770

00 ε

µZ

kkZkZ zzTM

00

==ωε zz

TE

kkZ

kZ 0

0 ==ωµ


32


kz=0 corte del modo w de corte par el modo TMnm

2220

−

−=

bn

amk ππ

µε22 wk =

22

1

+

=

bn

amwc

ππµε

Las frecuencias mas pequeñasentre los TMnm corresponden a n=m=1

(b>a)

Las frecuencias mas pequeñas entre los TEnm corresponden a m=0 y n=1 si b>a el TE10 sera el fundamental

Líneas de transmisión y guías de ondasParámetros característicos de una guía

33


Velocidad de fase T

bn

amk

wkwv g

zf

λ

ππ=

−

−

==22

2

Longitud de onda de la guía λgg

zk λπ2

=

2

2

0022

cwwk == µε cv f >

+

−

=22

2

2

1bn

am

wc

cv fππ


34


cvc

kwv

fzg <==

∂∂

=2

L

Transporte de energía ∫=Seccion

SdHxEPrrr) *

21Re)Re(

ztt udShxeSdHxE rrrrrr** =

Impedancias


35


Caso TM

( ) === ztztz

ztt udSexuxekwudShxeSdHxE rrrrrrrrrr

0** ε

( ) ( ) ( )[ ] dSekwudSeueeeu

kwudSexuxe

kw

tz

ztztttzz

ztztz

20**00 rrrrrrrrrrrr εεε=−=

dSehdSekwP

Seccionttt

Seccionz∫∫ ==

rrr

21

220ε


36


dSehdShkwP

Seccionttt

Seccionz∫∫ ==

rrr

21

22

0εCaso TE

LBLELuuu +=

Energía almacenada

( ) =+=== ∫∫∫ dVeedVEdVDEuV

ztVV

LE22

0

2

0*

41

41

41 rrrrr

εε

( )dSeeLLdSdVV

zt∫ +=== 2204

1 rrε


37


Cavidades resonantes

a

b

c Caja paralelepípeda metálica

0=ter

cpkzπ

=

Líneas de transmisión y guías de ondasCavidades resonantes

2

2

zkpc π

=

ZkzZ

z2

2

2

−=∂∂ zkBzAsenkZ zz cos+=

38


czpsen

byn

axmAhz

πππ coscos=

Caso TE nos quedamoscon senkz z para que hz se anule en z=0 y z=c

Caso TM nos quedamoscon coskz z para que se anule la componente transversal.Ni n ni m pueden ser cero, p si que puede ser cero

czp

bynsen

axmAsenez

πππ cos= 2222 kkkk zyx =++

2222

+

+

=

cp

bn

am

cπππω

Líneas de transmisión y guías de ondasCavidades resonantes

n o m pueden ser cero (uno deellos) p ≠0

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