PLACAS DELGADAS MEDIANTE

MÉTODOS CLÁSICOS

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS II4O DE I.C.C.P.

PorR. Gallego Sevilla,

G. Rus Carlborg y A. E. Martínez Castro

Departamento de Mecánica de Estructuras e Ingeniería Hidráulica ,Universidad de Granada

Edificio Politécnico Fuentenueva, C/ Severo Ochoa s/n, CP 18071Granada

Octubre de 2007

Placas delgadas (Teoría de Kirchhoff). Resumen

Ecuación de gobierno:

w,xxxx + 2 · w,xxyy + w,yyyy =p(x, y)

D(0.1)

Donde:

D =E h3

12 (1− ν2); I =

h3

12; D =

E I1 − ν2 (0.2)

yx

P(x, y)

QxQy

Myx

Mxy

My

Mx

A partir del campo de desplazamientos verticales, w(x, y), se obtienen:

Giros:θx =

∂w∂x

= w,x; θy =∂w∂y

= w,y (0.3)

Momentos unitarios:

Mx = −D[

w,xx + ν w,yy]

My = −D[

w,yy + ν w,xx]

Mxy = −2 G I w,xy = −D (1 − ν) w,xy

(0.4)

siendo G =E

2 (1 + ν).

Cortantes unitarios:Qx = −D

[

w,xxx + w,xyy]

Qy = −D[

w,yyy + w,yxx] (0.5)

Cortante generalizado en bordes:

Vx = −D[

w,xxx + (2 − ν) w,xyy]

Vy = −D[

w,yyy + (2 − ν) w,yxx] (0.6)

I

Índice general

Placas delgadas (Teoría de Kirchhoff). Resumen I

Capítulo 1. Placas delgadas rectangulares 11.1. Placas delgadas rectangulares. Método de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Carga puntual. Función de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Carga distribuida en una linea y = η0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4. Carga distribuida en una linea y = f (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5. Momento puntual My . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6. Momento distribuido My(x) en una línea y = η0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.7. Superficie de carga lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.8. Superficie de carga en un parche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Placas delgadas rectangulares. Método de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Función de carga con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Placa rectangular sometida a carga uniforme. Placa tetraapoyada . . . . . . . . 131.2.3. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento My

en dos bordes paralelos (caso simétrico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento en

dos bordes paralelos (caso antimétrico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.5. Placa rectangular tetraapoyada sometida a una ley de carga lineal . . . . . . . 16

II

CAPÍTULO 1

Placas delgadas rectangulares

1.1. Placas delgadas rectangulares. Método de NavierEl método de Navier es aplicable en las siguientes condiciones:

1. Placa rectangular, de dimensiones a × b.2. Condición de apoyos simples en los cuatro bordes (placa tetraapoyada en bordes rectos).

w = 0; w,nn = 0

Considérese la referencia R(O; x, y, z), situada en una esquina de la placa, con x ∈ [0, a] e y ∈

[0, b]. La ecuación de gobierno de flexión de placas delgadas es la siguiente:

∆2w(x, y) =p(x, y)

D(1.1)

siendo:

∆2 = w,xxxx + 2 w,xxyy + w,yyyy

w(x, y) ⇒ Campo de desplazamiento vertical, positivo en sentido z positivo.p(x, y) ⇒ Carga superficial, positiva en sentido z positivo.

D ⇒ Rigidez de la placa de espesor h, y constantes elásticas E, ν, con D =E h3

12 (1− ν2).

La solución general es:

w(x, y) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

wnm sen(n π x

a

)

sen(m π y

b

)

(1.2)

donde n, m ∈�

, y

wnm =1

π4 D·

pnmFnm

; Fnm =

[

(na

)2+

(mb

)2]2

(1.3)

Los coeficientes pnm corresponden con el desarrollo en serie de Fourier doble con extensión imparpara la carga:

pnm =4

a b

∫ a

0

∫ b

0p(x, y) sen

(n π xa

)

sen(m π y

b

)

dxdy (1.4)

p(x, y) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

pnm sen(n π x

a

)

sen(m π y

b

)

(1.5)

1

1.1.1. Carga uniforme

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. La carga esconstante, de valor p0.

x

z

ab

y

p(x, y) = p0

Desplazamiento:

w(x, y) =∞

∑n=1,3,5...

∞

∑m=1,3,5,...

16 p0n m π6 D Fnm

sn(x) sm(y) (1.6)

con:

Fnm =

[

(na

)2+

(mb

)2]2

(1.7)

sn(x) = sen(n π x

a

)

sm(y) = sen(m π y

b

)

(1.8)

2

1.1.2. Carga puntual. Función de Green.

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. La carga esuna fuerza puntual, de valor p0.

x

z

ab

y

p(x, y) = p0 δ(x −ξ ; y − η)

ξη

Desplazamiento:w(x, y) = p0 · K(x, y;ξ , η) (1.9)

K(x, y;ξ , η) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

4a b π4 D Fnm

sn(ξ) sm(η) sn(x) sm(y) (1.10)

donde sn, sm vienen dadas en Eq. (1.8) y Fnm en Eq. (1.7).La función K(x, y;ξ , η) es la función de Green (o solución fundamental) al problema de placas

delgadas rectangulares con condiciones de contorno en apoyos simples.

La solución para una carga p(x, y) puede construirse a partir de la función de Green.

w(x, y) =∫ a

0

∫ b

0p(ξ , η) K(x, y;ξ , η) dξdη (1.11)

3

1.1.3. Carga distribuida en una linea y = η0.

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. La carga eslineal, distribuida según la función q(x) en una línea de y constante, de valor η0.

x

z

ab

y

q(x)

η0

Carga:p(x, y) = q(x) δ(y− η0) (1.12)

Desplazamiento:

w(x, y) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

4π4 a b D Fnm

· sm(η0) sn(x)sm(y)γn (1.13)

con:γn =

∫ a

0sn(ξ)q(ξ)dξ (1.14)

Si la función q(x) se expresa mediante su desarrollo en serie (en seno), se tiene:

q(x) =∞

∑k=1

qk sk(x);

qk =2a

∫ a

0p(x) sk(x)dx (1.15)

k ∈�

.La expresión del desplazamiento queda:

w(x, y) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

qn 2 sm(η0)

b π4 D Fnmsn(x) sm(y) (1.16)

Para carga constante q(x) = q0, y la integral en Eq. (1.14) queda:

γn =

2 q0 an π

n impar

0 n par(1.17)

Por tanto:

w(x, y) =∞

∑n=1,3,5...

∞

∑m=1

8 q0n π5 b D Fnm

sm(η0) sn(x) sm(y) (1.18)

4

1.1.4. Carga distribuida en una linea y = f (x).

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyadaen sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. La cargaes lineal, distribuida según la función q(x) en una línea definida en el plano xy según la funcióny = f (x).

x

z

ab

y

q(x)

y = f (x)

Carga:

p(x, y) = q(x) δ(y− f (x)) (1.19)

Coeficientes de la carga:

pnm =4

a b

∫ a

0q(x)sn(x) sm( f (x)) dx (1.20)

Desplazamiento:

w(x, y) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

pnmπ4 D Fnm

sn(x)sm(y) (1.21)

Caso particular: y = c x.

pnm =4

a b

∫ a

0q(x)sn(x) sen

(m π c xb

)

dx (1.22)

Caso particular. Carga constante en una diagonal: q(x) = q0; y = (b/a) x.

pnm =4 q0a b

∫ a

0sen

(n π xa

)

sen(m π x

a

)

dx =2 q0

bδnm (1.23)

donde δnm es la delta de Kronecker, definida como sigue:

δnm =

1 si n = m

0 si n 6= m(1.24)

5

1.1.5. Momento puntual My

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. En el puntode coordenadas (ξ , η) actúa un momento My.

x

z

ab

yξη

My

Desplazamiento:

w(x, y) =4 My

π3 a b2D

∞

∑n=1

∞

∑m=1

sn(ξ) cm(η) mFnm

sn(x) sm(y) (1.25)

con:

cm(η) = cos(m π η

b

)

(1.26)

6

1.1.6. Momento distribuido My(x) en una línea y = η0

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. En la líneay = η0 se aplica un momento My, distribuido (My(x) = ∑∞

n=1 Mn sn(x))

x

z

ab

y

My(x)

η0

Desplazamiento:

wnm =2 m Mn

b2 π3 D Fnmcos

(mπ η0b

)

(1.27)

llamando cm(η0) = cos(mπ η0

b

)

se tiene:

w(x, y) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

2 m Mn Cm(η0)

b2 π3 D Fnmsn(x) sm(y) (1.28)

7

1.1.7. Superficie de carga lineal

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. La carga es dela forma p(x, y) = p0/b · y (triangular en y).

x

z

ab

y

p0

Carga:

p(x, y) = p0yb

(1.29)

Término wnm

wnm =−8 p0

n m π6 D Fnm· (−1)m, con n impar (1.30)

w(x, y) = −8 p0π6 D

∞

∑n=1,3,5,...

∞

∑m=1

(−1)m

n m Fnmsn(x) sm(y) (1.31)

8

1.1.8. Superficie de carga en un parche

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. La carga esconstante en un parche, con variable x ∈ [0, a] e y ∈ [b/2, b].

b

x

z

p0

y

a

b/2

Desplazamiento:

w(x, y) =8 p0π6 D

∞

∑n=1,3,5,...

sn(x)

n·

[

∞

∑m=1,3,5,...

sm(y)

m Fnm−

∞

∑m=2,4,6,...

1 − (−1)m/2

m Fnmsm(y)

]

(1.32)

9

1.2. Placas delgadas rectangulares. Método de LevyEl método de Levy es aplicable en las siguientes condiciones:

1. Placa rectangular, de dimensiones a × b.2. Condición de apoyos simples en dos bordes paralelos. w = 0, w,nn = 0.

El método de Levy presenta ventajas sobre el método de Navier, en general:

Se elimina en parte el fenómeno de Gibbs para la representación de cargas con valores no nulosen los bordes perpendiculares a los simplemente apoyados.Las series convergen más rápido.Sólo hay 1 sumatorio.

Considérese la siguiente figura:

x y?

?

Condicionescualesquiera

a

z

b

p(x, y)

La función de carga, p(x, y), se expresa en serie, como sigue:

p(x, y) =∞

∑n=1

gn(x) sen(λn y) (1.33)

con:λn =

n π

b(1.34)

La función gn(x) se obtiene mediante integración:

gn(x) =2b

∫ b

0p(x, y) sen(λn y) dy (1.35)

La función de desplazamientos tiene forma de serie en seno:

w(x, y) =∞

∑n=1

wn(x) sen(λn y) (1.36)

Sobre esta serie, se observa que:

El coeficiente wn no es una constante. Es una función de x.Por construcción, la serie cumple las condiciones de contorno en y = 0 e y = b.

Las funciones wn(x) se determinan sustituyendo las derivadas de la ecuación (1.36) en la ecuaciónde gobierno:

∆2w(x, y) =p(x, y)

D(1.37)

10

La ecuación diferencial para wn(x) es:

d4wn(x)

dx4 − 2 λ2n

d2wn(x)

dx2 + λ4n wn(x) =

gn(x)

D(1.38)

Esta ecuación se puede reescribir con una notación más compacta,

wIVn (x)− 2 λ2

n wI In (x) + λ4

n wn(x) =gn(x)

D(1.39)

Esta ecuación es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), lineal, con coeficientes constantes.Su solución se obtiene sumando dos soluciones: la del problema homogéneo, wh

n(x), que es siemprela misma, y depende de cuatro constantes (An, Bn, Cn, Dn) más una solución particular,wp

n(x), quedepende de la función gn(x).

wn(x) = whn(x) + wp

n(x) (1.40)

Solución del problema homogéneo:La E.D. a resolver es:

(whn)IV(x)− 2 λ2

n (whn)I I(x) + λ4

n whn(x) = 0 (1.41)

Su solución general es:

whn(x) = (An + Bn λn x) Sh(λn x) + (Cn + Dn λn x) Ch(λn x) (1.42)

donde Ch = cosh y Sh = senh.

Solución del problema particularSe resuelve sustituyendo wn por wp

n en la ecuación 1.39.

Finalmente, imponiendo las condiciones de contorno en x = 0, x = a se resuelven las constantes(An, Bn, Cn, Dn). Una buena elección de la referencia, en problemas con simetría o antimetría,facilita la expresión de la solución. Para eso se han introducido las funciones hiperbólicas

11

1.2.1. Función de carga con coeficientes constantes

En este caso, gn(x) = bn (constante). Así:

p(x, y) =∞

∑n=1

bn sen(λn y) (1.43)

La solución particular es fácil de obtener. La ED para determinarla es la siguiente:

(wpn)IV(x)− 2 λ2

n (wpn)I I(x) + λ4

n wpn(x) =

bnD

(1.44)

Probando una solución de la forma wpn(x) = ω

pn, (una constante), se tiene:

ωpn =

bnD λ4

n(1.45)

Y la solución general será:

w(x, y) =∞

∑n=1

[

(An + Bn λn x) Sh(λn x) + (Cn + Dn λn x) Ch(λn x) +bn

D λ4n

]

sen(λn y) (1.46)

12

1.2.2. Placa rectangular sometida a carga uniforme. Placa tetraapoyada

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. La carga esconstante, de valor p0.

x

ab

p0

y

z

Se considera la referencia R(O; x, y, z) mostrada en la figura.Desplazamiento:

w(x, y) =2 p0 b4

D ∑∞

n=1,3,5,...1

(n π)5 Ch(αn)×

[

2 Ch(αn) + λn x Sh(λn x)− (2 +αn Th(αn)) Ch(λn x)]

sen(λn y)

(1.47)

con:λn =

n π

b

αn =n π a2 b

(1.48)

13

1.2.3. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento My en dosbordes paralelos (caso simétrico)

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. En dos bordesparalelos actúa una distribución de momentos simétrica, My(x).

x

y

z

a

My

b

Se considera la referencia R(O; x, y, z) mostrada en la figura. Se consideran las distribuciones demomentos aplicados tales que My(x, b/2) = My(x,−b/2). El problema es simétrico en esta referen-cia. Obsérvese que los momentos son positivos considerando su signo como momentos internos.

El momento se desarrolla en serie como:

My(x) =∞

∑n=1

Mn sin(λn x) (1.49)

Los coeficientes Mn se obtienen integrando:

Mn =2a

∫ a

0M(x) sin(λn x) (1.50)

Desplazamiento:

w(x, y) =a

2 π D

∞

∑n=1

Mnn Ch(αn)

·

[

b2

Th(αn) Ch(λn y)− y Sh(λn y)

]

sin(λn x) (1.51)

o bien:

w(x, y) =∞

∑n=1

Mn2 λn D Ch(αn)

·

[

b2

Th(αn) Ch(λn y)− y Sh(λn y)

]

sin(λn x) (1.52)

con:λn =

n π

a

αn =n π b2 a

(1.53)

14

1.2.4. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento en dos bordesparalelos (caso antimétrico)

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. En dos bordesparalelos actúa una distribución de momentos antisimétrica, My(x).

x

y

z

a

My

b

Se considera la referencia R(O; x, y, z) mostrada en la figura. Se consideran las distribuciones demomentos aplicados tales que My(x, b/2) = −My(x,−b/2). El problema es antisimétrico (o anti-métrico) en esta referencia. Obsérvese que los momentos son positivos considerando su signo comomomentos internos.

El momento se desarrolla en serie como:

My(x) =∞

∑n=1

Mn sin(λn x) (1.54)

Los coeficientes Mn se obtienen integrando:

Mn =2a

∫ a

0M(x) sin(λn x) (1.55)

Desplazamiento:

w(x, y) =a

2 π D

∞

∑n=1

Mnn Sh(αn)

·

[

b2

Cth(αn) Sh(λn y)− y Ch(λn y)

]

sin(λn x) (1.56)

o bien:

w(x, y) =∞

∑n=1

Mn2 λn D Sh(αn)

·

[

b2

Cth(αn) Sh(λn y)− y Ch(λn y)

]

sin(λn x) (1.57)

con:λn =

n π

a

αn =n π b2 a

(1.58)

15

1.2.5. Placa rectangular tetraapoyada sometida a una ley de carga lineal

Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada ensus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν. Se aplica unacarga distribuida, de valor máximo q.

b

a

q

qy

x

Superficie de carga:

p(x, y) =2 q y

b(1.59)

Desplazamiento:

w(x, y) =2 q a4

D

∞

∑n=1,3,...

1(n π)5 Sh(αn)

·

{

4yb

Sh(αn)− [2 +αnCth(αn)] Sh(λn y) + λn y Ch(λn y)

}

sen(λnx)

(1.60)

con:αn =

n π b2 a

(1.61)

λn =nπ

a(1.62)

16