proporcionalidad

7/17/2019 proporcionalidad

http://slidepdf.com/reader/full/proporcionalidad-568e0f0b032a8 1/29

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICAMASSUCCO – ARRARAS - MARAÑON DI LEO

TRANSFORMACIONES EN EL PLANOTEORIA DE LA PROPORCION

Página 1

PROPORCIONALIDAD

Razón o Relación entre cantidades

Se llama así al resultado de comparar dos cantidades, la primera de ellas llamadaantecedente y la segunda consecuente. Estas cantidades las representaremos en formafraccionaria (aunque no es exactamente una fracción), de la siguiente manera:

AntecedenteConsecuente

Por ejemplo si tenemos la razón 7 a 4, el antecedente será 7 y el consecuente será 4.

Nuestra razón quedará:

4

7

Proporciones:Es la igualdad entre dos razones.

Por ejemplo, si tenemos: las razones 2 es a 3 y 6 es a 9

Se escribirán:9

3

3

2 y

Si las comparo (como si se tratara de fracciones comunes):

96

32 y (Recordemos que en comparación de fracciones multiplico cruzado)

Tenemos que 18361892 == x y x Como los resultados son iguales (en ambos casos es 18) podemos

afirmar que son fracciones equivalentes, pero además están formando una proporción.La proporción se lee 2 es a 3, como 6 es a 9.

EjemploEn la calle 6 esquina 50 de la Ciudad de La Plata está emplazado un

obelisco cuya altura se quiere medir. Para ello se cuenta sólo con una cinta métrica debolsillo de 2 m. de longitud. Aprovechando la ubicación en la cercanía de un poste de

parada de transporte público y utilizando la propiedad de los cuerpos de producir (a lamisma hora) sombras proporcionales a su altura. Se mide:

obelisco poste T. Palturas h ( incog.) 3,50 m.sombras 8 m. 1,40 m.

Se establece la proporción:

hh

h m

3 50

8

1 408

3 50

1 40

20

, ,

,

,

.

= = •

=





Página 2

Magnitudes Proporcionales

Las magnitudes proporcionales pueden ser de dos clases:1.- Magnitudes Directamente Proporcionales:

Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otratambién debe ser multiplicada por el mismo número; para conservar la proporción, odividiendo a una de ellas por un número, la otra también debe ser dividida por el mismonúmero.

Por ejemplo, si tenemos:4

7 Si se quiere formar una proporción, entonces tendremos que

multiplicar o dividir por el mismo número tanto a 7 como a 4:

7 x 4 ⇒ 284 x 4 ⇒ 16

Hemos formado:16

28

4

7= Nótese que en este caso ambas cantidades aumentan.

(Pueden disminuir las dos).

Son ejemplos de magnitudes directamente proporcionales:- El tiempo y las magnitudes de trabajo realizadas (a mayor tiempo, mayor trabajo

realizado).- La cantidad y el precio (a mayor cantidad, mayor precio).

- El peso y el precio (a mayor peso, mayor precio).- El tiempo de trabajo y el sueldo de un trabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo).- El espacio con la velocidad (recorremos mayor distancia, si vamos a mayor

velocidad).- El espacio con el tiempo (recorremos mayor distancia en mayor tiempo).

Las magnitudes a y b son directamente proporcionales si siempre: constante=b

a

(Si una se anula, la otra también lo hará), o bien b constante •=a

Ejemplos:t v E •= Si v es constante E y t son directamente proporcionales, ya que

al multiplicar E por un número, t debe ser multiplicada por el mismo número paraconservar la igualdad.Igualmente xm y •= x e y son directamente proporcionales, si m es constante.

En general si se tienen fórmulas al estilo 2cm E •= Si c2 es constante, E y m son directamente proporcionales.Si m es constante, E y c2 son directamente proporcionales.





Página 3

2.- Magnitudes Inversamente Proporcionales:

Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra quedadividida por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra debe sermultiplicada por el mismo número para obtener el mismo resultado.

Ejemplo:8=• V P Para mantener la igualdad. Si P aumenta al doble, V debe disminuir a

la mitad.

Son magnitudes inversamente proporcionales:- El número de obreros y el tiempo para realizar una obra(mas obreros, menos

tiempo)- Las horas de trabajo y los días que se trabaja (más horas, menos días).

- La velocidad y el tiempo (a mayor velocidad, menor tiempo en recorrer unadistancia).

Las magnitudes a y b son inversamente proporcionales, si constante=• ba . Nóteseque NUNCA pueden anularse.

Regla de Tres Simple

La Regla de Tres Simple se apoya en los criterios de las magnitudes proporcionales,entonces tendremos dos clases:

1.- Regla de Tres Simple Directa.

Se utiliza para magnitudes directamente proporcionales.

Por ejemplo, si tenemos que 5 libros cuestan 26 pesos, queremos saber cuantocostarán 15 libros.

Supuesto 5 libros $ 26Pregunta 15 libros x

Se establece la proporción x

26

15

5= de donde 78$5

1526=⇒=

•

x x

2.- Regla de Tres Simple Inversa.

Se utiliza para magnitudes inversamente proporcionales.

Por ejemplo, si 4 obreros hacen una pequeña construcción en 12 días. ¿Cuántos díasdemorarán 6 obreros?

Supuesto 4 obreros 12 díasPregunta 6 obreros x

Se establece la igualdad días x x 86124 =⇒= ••





Página 4

Problemas:

1. Si un ciclista viaja a 20 Km/h durante 24 hs. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismocamino a 25 Km/hs?

2. Para embotellar el contenido de un barril se necesitan 300 botellas de 0,75 lts.¿Cuántas botellas de 0,50 lts son necesarias para embotellar el contenido delbarril?

3. Si 6 martillos cuestan $ 26. ¿Cuánto habría que pagar por 11 martillos?4. Si la decena de facturas cuesta $ 11 y el Kg de pan $ 5. ¿Cuánto habrá que

pagar por 3 docenas y media de facturas y ¾ Kg de pan?

Ejercicios:

1.- Completar el siguiente cuadro si se sabe que x e y son directamenteproporcionales.

x 2 3 1 0 12y 5 7 25

2.- Completar el siguiente cuadro si se sabe que x e y son inversamenteproporcionales.

x 2 3 1 8 12y 5 7 25

PORCENTAJE

El “x % de una cantidad Q” corresponde a una notación que se refiere al valor "100

" Q x

Esta expresión se lee “ el x por ciento de la cantidad Q”. No tiene sentido hablar deporcentaje si la cantidad Q no está especificada explícita o implícitamente.

Esta cantidad se denomina referente.El valor que puede tomar x es cualquiera, es decir x es cualquier número real.

Todo el mundo se ha encontrado alguna vez con información del siguiente tipo entitulares de periódicos:

1. El pan subió un 4,5 %2. Los matrimonios han disminuido en un 27 %





Página 5

La idea subyacente en todos estos titulares es que hubo un cambio y su magnitud seexpresa como porcentaje. En el cuerpo de la información debiera quedar claro el objeto y

el marco temporal al que se refiere el cambio.Así en el primer ejemplo la información periodística se puede referir a que el precio delpan (el objeto del cambio), que podemos llamar M, aumento de un mes a otro (marco

temporal), en una magnitud de

100

5,4M. Esto es que, en un mes, el precio del pan subió

de M a M +

100

5,4M.

En el segundo ejemplo si se llama N al número de matrimonios realizados en un año, lainformación se puede referir a que el número de matrimonios realizados al año siguiente

fue de N -

10027

N

OPERATORIA CON PORCENTAJES

Operatoria básica:

Como se vio en la definición “x por ciento de Q” equivale al valor

100

xQ, luego, aplicar

un porcentaje a algo significa sencillamente a multiplicar por el factor en cuestión y dividir

por 100:

Ejemplos:

• El 2,8 % de 98 es

100

8,298 = 2,744

• El 300 % de 24 es

100

30024 = 72

• Si el precio del quintal de harina en el mes de Junio era de $ 75453 una baja deun 0,32 % en el precio para el mes siguiente equivale a una disminución de

100

32,075453 pesos que es aproximadamente de $ 241, así el precio para Julio

sería de aproximadamente $ 75211.

Notemos que es totalmente equivalente escribir “ Q100

1 ó 0,01 Q”.

Resulta entonces más rápido escribir “0,2 Q” que “ Q100

20” para efectuar cálculos con

el 20 % de Q.





Página 6

Ecuaciones y porcentajes

Para determinar que porcentaje de una cierta cantidad B corresponde otra cantidad A,sólo hace falta plantear la ecuación de primer grado:

A = B x

100 luego

B

A x 100=

Ejemplos:

1. Averiguar qué porcentaje de 500 es 8:

x x

585001008 =⇒= entonces 6,15

8=⇒= x x luego 8 corresponde al 1,6 % de 500

2. El valor del pasaje en ómnibus subió en $ 10. Si el pasaje es de $ 250 antes del alza,

el porcentaje de alza es x, que se puede calcular así: 250100

10 x

= , luego

4250

1000=⇒= x x entonces el precio del pasaje subió un 4 %.

Aplicación de porcentajes.

Los porcentajes pueden ser aplicados reiteradamente, hay que tener el cuidado dedistinguir el referente cada vez.

Ejemplos:

• Si en Mayo las naranjas subieron un 9,4 % y en Junio bajaron un 8 %. ¿Cuál esel porcentaje neto de variación del valor de las naranjas?

Si M es el precio antes de Mayo, el precio a fines de Mayo alcanzó el valor de:

')094,1(094,0 M M M M ==+

Posteriormente a fines de junio el valor de las naranjas se modificó a:

M M M M M M M )00648,01(00648,1)094,1(()92,0('92,0')08,01('08,0' +====−=−

La variación neta (en este caso aumento) es de 0,648 % con respecto al precio anteriorde Mayo.

• Si inicialmente un artículo fue rebajado en un 15 % y luego en un 12 %. ¿Cómo seobtiene la rebaja neta?





Página 7

Si el precio inicial del artículo era P después de la primera rebaja pasa a ser:

')85,0( PP = y después de la segunda rebaja pasa a ser:

PPPP )252,01(748,0)88,0()85,0(')88,0( −=== ,es decir una rebaja neta de 25,2 %.

Promedio de porcentajes.

Al igual que en los casos anteriores se debe tener mucho cuidado cuando se pretendecalcular un porcentaje promedio.

Ejemplo:Se pretende determinar el porcentaje de personas en el país que fuma a partir

de los siguientes datos:

Región %defumadores

Número dehabitantes

1 47 % 804212 43 % 972343 43% 67564

Se debe recordar que el porcentaje esta asociado al referente, en este caso el número dehabitantes por región:El número de fumadores en la primera región es: 377988042147,0 =•

Aplicación: calcular el número de fumadores por región, agregarlos en la tabla y obtenerel número total de personas que fuman en el país.

ACTIVIDADES:

a) Hallar el 72 % de 4.500b) Si el 4 % de un número es 70. ¿Cuál es el número?c) Un artículo cuyo precio de lista es $ 148 tiene un descuento del 10 % por pago

contado, pero si se paga con tarjeta recibe un descuento adicional del 5 % sobreel precio de contado. ¿Cuánto se paga si se usa tarjeta?

d) Hallar la fracción equivalente al 75 % de95

e) ¿Qué porcentaje de 800 es 20?f) Hallar el 50 % de 70 y el 70 % de 50. Comparar los resultados.g) Un préstamo se puede obtener a una tasa del 1 % mensual sobre saldos.

¿Cuánto habría que pagar por $ 3.000 de préstamo si debe devolverse en 3cuotas mensuales compuestas de $ 1.000 cada una más el interés devengado?

h) Un cultivo de bacterias aumenta su población en 24 % diario. ¿Qué porcentajehabrá aumentado en 3 días?

i) Con un descuento del 20% el precio de un televisor en un hipermercado es de$890. ¿Cuál era el precio original?





Página 8

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:

Si multiplicamos ambos miembros de la proporciónd

c

b

a= por el producto de los

consecuentes b.d , obtenemos:a d b c• = •

que se enuncia:

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

O bien si escribimos:a

c

b

d = la razón de los antecedentes es igual a la razón

de los consecuentes.Si tenemos una serie de razones iguales:

n

n

ba

ba

ba === ...............

2

2

1

1 se verifica a a ab b b

ab

n

n

1 2

1 2

1

1

+ + +

+ + +=..........

..........

La suma de antecedentes es a la suma de los consecuentes, como un antecedentecualquiera es a su consecuente. En efecto, si llamamos r al valor común de las razones

dadas, resulta: r b

a

b

a

b

a==== K

3

3

2

2

1

1 de donde

a b r a b r a b r n n1 1 2 2= = =; ; ........

y si se hace la suma de antecedentes y consecuentes

a a ab b b

r ab

ab

ab

n

n

n

n

1 2

1 2

1

1

2

2

+ + +

+ + += = = = =..........

.....................

ACTIVIDADES:

Ejercicio Nº 1.- Recorrimos 4 librerías y encontramos los siguientes carteles de oferta:

LIBRERÍA 1.Cajas de minas HB Precio ($)

5 2,25

7 4,25

8 5,25


5 2,00

7 2,50

8 3,00





Página 9


5 2,25

7 3,15

8 3,60


5 2,15

7 3,05

8 3,50

¿En cuál de las librerías el precio es proporcional a la cantidad de cajas que secompran?.

Ejercicio Nº 2.- Un ferretero envasa tornillos en bolsas de 50 unidades. Necesita 72bolsas para envasar la totalidad. Si ahora debe colocarlos en bolsas de 150 unidades. a)¿Cuántas bolsas tendría que utilizar?b) Si precisa solo 40 bolsas, ¿Cuántos tornillos coloca por bolsa?

Ejercicio Nº 3.- Utilizando la propiedad de las proporcionesd

d ca

ba +=+

Hallar x e y , si x + y = 60.





Página 10

Ejercicio Nº 4.- Si por un proyecto de Arquitectura de una Obra valuada en $ 40.000 se

cobró un honorario de $ 3.200. ¿Qué porcentaje le correspondió al proyectista ?Ejercicio Nº 5.- Tres arquitectos se asocian para comprar una propiedad a refaccionar,aportando c/u de ellos $30.000, $40.000 y $50.000. Si al final de la obra logran unbeneficio de $24.000. ¿Cuánto debe cobrar c/u si las ganancias deben ser proporcionalesal capital aportado?

Ejercicio Nº 6.- Para construir una pared de 30 cm de espesor se necesitan lossiguientes materiales y cantidades de cada uno de ellos. Completar la tabla.

m3 Ladrillos Cemento Arena

1 120 11 bolsas 0,293

10

33

50

SEMEJANZAS. ESCALAS.

Una noción intuitiva de la semejanza entre figuras y aún entre cuerpospuede darse si se hace referencia a los juguetes que utilizan las niños y que en no pocoscasos son modelos a escala casi perfectos. Una foto de las que se utilizan para elDocumento Nacional de Identidad es asimismo una representación de un rostro en unacierta escala; el globo terráqueo, el mapamundi, el planisferio, los mapas, los planos deterrenos y edificios son asimismo representaciones realizadas mediante figuras

semejantes mucho más pequeñas que las reales.Puede establecerse en cada caso una relación entre el dibujo y el objeto

real que se denomina razón de semejanza o más simplemente escala.En el ejemplo del obelisco, si representáramos conjuntamente con el

poste de parada de transporte público en escala, lo haríamos mediante figuras muchomás pequeñas que las reales; dibujarlas en escala 1:400 significaría que en el dibujo 1cm. corresponde a 400 cm., o sea, a 4 m. de la figura real.

Decir que un plano está en escala 1:100 implica que cada centímetro del dibujorepresenta 100 centímetros de distancia real.





Página 11

En algunos casos, fundamentalmente los mapas, en lugar de indicarse lacorrespondiente razón de semejanza se utiliza un segmento llamado escala gráfica

graduado generalmente en kilómetros.

Conocida la escala gráfica puede calcularse la razón de semejanza comocociente entre la longitud medida en el mapa y la que se indica en la escala.

Si la escala gráfica de la figura anterior, tuviera una longitud de 10 cm.correspondería a una razón de semejanza.

000.300

1

.000.000.3

.10

.30

.10==

cm

cm

km

cm o sea : 1 : 300.000

Una escala puede medirse sobre una recta, una parábola, un arco decircunferencia, etc., denominándose en cada caso rectilínea, parabólica, circular, etc. yser además uniforme (proporcionalidad entre las medidas de la escala y la numeraciónsobre la misma) o variable (cuadrática, cúbica, logarítmica, etc.)

En general la construcción de figuras en forma gráfica exige comooperación previa el establecimiento de una escala, que en cada caso particular debe sercompatible con el problema que se aborde.

Para cada problema particular resulta imprescindible, entonces,

determinar mediante comparación entre el máximo tamaño del dibujo y la dimensiónmáxima de la figura a graficar, la escala en que deberá realizarse la representación.

Supongamos por ejemplo que queremos graficar en una hoja oficio(22 cm x 35 cm.) la planta de una vivienda ubicada en un terreno de 10 m. x 20 m.

Colocando en forma vertical la máxima dimensión y dejando un margen mínimo de 5 cm.,la longitud vertical útil será entonces de 25 cm.

La escala deberá ser:

25

20

25

2000

1

80

cm

m

cm

cm

.

.

.

. .= =

Como existen escalímetros con razones de escalas convencionalmente predeterminadas,usaremos la escala más próxima que es 1:100, resultando las dimensiones del dibujo de10 cm x 20 cm.

30 km.201050





Página 12

ACTIVIDADES:

Ejercicio N° 1.- En el plano de la figura se utiliza una escala 1:100. ¿Quélongitud tiene en el plano un segmento que en la realidad mide 4,20m?

Ejercicio N° 2.- Un segmento del plano tiene una longitud igual a 0,027 m. ¿Cuál

es en la realidad la longitud de ese segmento?

Ejercicio Nº 3.- Un triángulo tiene lados de longitud 5,3 cm.; 8,1 cm.; 7,5 cm. yotro semejante con él tiene perímetro 0,50 m. Hallar sus lados y la razón desemejanza.

Ejercicio Nº 4.- En un papel de 40 cm. x 60 cm. se desea representar un plano dela planta de un edificio de 20 m. x 50 m. Hallar la escala en que debe dibujarse siel margen mínimo debe ser de 5 cm.





Página 13

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Existen distintos tipos de transformaciones, cuya naturaleza depende de la ley que lasrige: las que conservan la forma, llamadas HOMOTECIAS y las que conservan lasdistancias llamadas ISOMETRIAS.

HOMOTECIAS

Definición: Homotecia de centro O y razón k es una transformación plana en la que cadapunto P tiene por imagen a P` obtenida por la relación d(OP`)= k d(OP)[distancia entre O y P`= k veces distancia OP]

Es posible encontrar la transformación de cualquier subconjunto de puntos del plano

Ej: Hallar la homotecia de centro O y razón 3 del cuadrado ABCD

Si ABCD es cuadrado A`B`C`D` también, como se observa la figura A`B`C`D` también esun cuadrado, es decir conserva la forma.

O P P`

Transformado de P (en este caso k=3) es P’

O

A

BD

C

A`

B`

C``

D`

OA`= 3 OAOB`= 3 OB

OC`= 3 OCOD`= 3 OD

Si la razón es positiva Si la razón es negativa

B` A`





Página 14

Actividad:1) Verificar que siendo AB//CD sus transformaciones A’ B’ // C’ D’

2) Verificar que los ángulos correspondientes son iguales3) Realizar el cociente de las longitudes AD / A`D`; AB / A`B`; ¿Qué relación haycon la razón?

Para pensar:La homotecia de razón 1 ¿qué transformaciones produce?¿Y la razón 0?¿Y la razón -1?

Ejercicios1. Las medidas de dos ángulos complementarios están en una razón 2/3. Encontrar

las medidas de los ángulos.2. Las medidas de dos ángulos suplementarios están en una razón 3/5. Encontrar

las medidas de los ángulos.3. Un segmento de 112 cm se divide en una razón 3 a 5. Encontrar la longitud de lossegmentos.

4. Las áreas de dos triángulos están en una razón de 4 a 9. El triángulo máspequeño tiene un área de 100 cm 2. Encontrar el área del triángulo grande.

El concepto de homotecia está ligado al de proporción y éste al de ESCALA.Cuando se dibuja un plano éste conserva una relación métrica entre el dibujo y la realidadque se representa, llamada escala. Así un plano en escala 1:25 significa que en él porcada unidad de medida del dibujo se representan 25 de esas unidades en la realidad.

Existen distintos tipos de proporción aplicables a la Arquitectura, siendo la más famosa la

proporción áurea. [φ= 1,618…]

La proporción áurea o Divina proporción se conoce desde muy antiguo. En Egipto,Grecia, Roma, las más bellas esculturas y construcciones arquitectónicas están basadasen ese canon.El Partenón es un ejemplo notable de su uso.





Página 15

También Leonardo da Vinci fue seducido por esa peculiar medida, tratando de vincular laarquitectura y el cuerpo humano.

En el Vitrubio representa las proporciones que podían establecerse en el cuerpo humano.

En otro orden de ideas Leonardo De Pisa (1179 – 1250) (Fibonacci) resuelve el famosoproblema del nacimiento de los conejos:

Hallar el nº de conejos que se reproducen a partir de una pareja de ellos que tiene unanueva pareja cada mes, siendo el tiempo de maduración para su aptitud reproductiva de3 meses desde su nacimiento.

La solución al problema encontrada fue la sucesión de números.

1 2 3 5 8 13 21 24 55 89 144 233 610 987 1597 2584 4181 6765 10946etc.

Donde la ley de formación a partir de los dos primeros es que el siguiente es igual a lasuma de los dos anteriores, siendo la sucesión de infinitos términos.

Con este dibujo Leonardo da Vinci ilustró el libro La Divina Proporción deLuca Pacioli editado en 1509. En dicholibro se describen cuales han de ser lasproporciones de las construccionesartísticas. En particular, Pacioli proponeun hombre perfecto en el que lasrelaciones entre las distintas partes desu cuerpo sean proporciones áureas.Estirando pies y manos y haciendo

centro en el ombligo se dibuja lacircunferencia. El cuadrado tiene porlado la altura del cuerpo que coincide,en un cuerpo armonioso, con la longitudentre los extremos de los dedos deambas manos cuando los brazos estánextendidos y formando un ángulo de 90°con el tronco. Resulta que el cocienteentre la altura del hombre (lado delcuadrado) y la distancia del ombligo a lapunta de la mano (radio de lacircunferencia) es el número áureo.





Página 16

La proporción áurea está relacionada con la sucesión de Fibonacci

Si se divide cada número de la sucesión por el número anterior se encontrará que seacerca al número φ, es decir, dados números mayores de la sucesión la proporción seacercará al número φ. En síntesis el límite de la proporción se aproxima al número deoro. Esta es la propiedad más significativa de la sucesión, como se evidencia en elcuadro siguiente.

Nº Nºanterior

División resultado

2 1 2/1 2

3 2 3/2 1,55 3 5/3 1,6666…8 5 8/5 1,613 8 13/8 1,62521 13 21/13 1,615384…34 21 34/21 1,619047…55 34 55/34 1,617647…89 55 89/55 1,6181818…144 89 144/89 1,66179775…233 144 233/144 1,6180555…

Pero. ¿Cómo se obtiene esa razón de proporcionalidad?Según Platón no hay manera de combinar dos cosas sin una tercera, debe haber unarelación entre ellas que los ensamble. La mejor ligazón es el todo.

En este caso se trata de dividir un segmento en media y extrema razón.Geométricamente y Algebraicamente es la partición asimétrica más lógica e importante acausa de sus propiedades matemáticas y estéticas.

Dado un segmento cualquiera AB se lo divide en dos partes en un punto C de modo queel segmento MAYOR es al MENOR como el TODO es al MAYOR

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

a b

A C B





Página 17

Para obtener el valor de a partir de esta razón considérese lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 (unidad del dibujo) y que la de a sea x.Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

Multiplicando ambos miembros por x ,y reordenando:

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dossoluciones de la ecuación son:

61803,12

511 ≅

+= x

61803,0

2

512 −≅

−= x

La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que elnúmero áureo es irracional, ya que incluye la raíz de un número positivo.

Historia del número áureoExisten numerosos textos que sugieren que el número áureo se encuentra comoproporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargono existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usadoconscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. Tambiénes importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener

resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se puedaconsiderar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntosrelativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas quedefienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluyeque es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureoEl primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una línea recta está dividida en media y extrema razón cuando la líneaentera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Pero, ¿Cómo se hace para dividir geométricamente un segmento en esta proporción?

Nota curiosa: Calcular ϕ ϕ ϕ ϕ

−22 ;;

1

y sacar conclusiones

Que por negativo no puede ser lalongitud de un segmento.





Página 18

Se puede de muchas formas, siendo sencillo partir de un rectángulo áureo, que seconstruye a partir de un cuadrado de lado unidad.

Se marca el punto medio G de la base, se toma la distancia con un compás hasta uno delos vértices superiores y con un arco llevamos esta medida a la prolongación de la base,encontrando el punto E. El rectángulo ADEF es áureo, como también la ampliación,BCEF si suprimimos el cuadrado inicial.

El rectángulo ADEF es áureo porque sus lados AD y DE están en la proporción del

número áureo, dado que por construcción GC =2

1

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

GE=GB= ( )2

51

2

1 22

=+

Resultando evidente que

DE = DG + GE =2

5

2

1+ =

2

51 +

De donde, finalmente

.......618,112

51

=

+

= AD

DE ...618,1=ϕ

Por otra parte, los rectángulos ADEF y BCEF son semejantes, de modo que éste últimoes asimismo un rectángulo áureo

A B F

D C EG





Página 19

Para dividir un segmento cualquiera como el DK se construye un rectángulo áureo concualquier unidad a partir de D. Luego se traza la diagonal DF la que prolongada corta a la

perpendicular por K en L, permitiendo construir el rectángulo DKLN. Con radio DN. Sehalla O y se construye el cuadrado DOPN.Se observa que por ser semejantes los triángulos DFE y DLK se mantiene la proporción(por el Teorema de Thales).

ACTIVIDAD

1) Construir un rectángulo áureo tal que el MENOR de sus lados sea de 4 cm.2) ídem anterior tal que el MAYOR se sus lados sea 4 cm.3) Si se toma el lado menor de un rectángulo áureo como unidad. ¿Qué superficie

tiene el rectángulo en esas unidades?4) Ídem anterior si la unidad es el lado mayor.5) Dibujar un pentágono regular y sus diagonales. Analizar qué relación hay entre la

medida del lado y las diagonales.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN A LA ARQUITECTURA

1) Se quiere construir la fachada de un local comercial, de modo tal quecontenga una puerta doble y dos vidrieras adjuntas del mismo alto tal comomuestra la figura.

a) Sabiendo que la altura de la puerta es de 2,5 m realizar la construccióngráfica de forma tal que cada vidriera y su puerta se encuentren en divinaproporción.

b) Hallar gráficamente la altura de la fachada de modo tal que se forme ladivina proporción a partir del ancho total de la fachada.

D

C

N

M A E O K

B F

P L





Página 20

2) Consideremos un cantero cuadrado por cuya diagonal pasa un camino de2,5 m de longitud. Suponiendo que queremos ampliar ese canterollevándolo a la forma de un rectángulo áureo. ¿Cuánto deberán medir suslados?

3) Un arquitecto desea construir un jardín de invierno de forma rectangular,cuyas dimensiones guarden una relación áurea. Partiendo de que el anchodisponible para el recinto es de 2 m, se desea conocer el largo que tendrádicho jardín.

4) El gobierno de la provincia de Buenos Aires, está llevando a cabo laconstrucción de un complejo habitacional. El estudio de suelo arrojó comoresultado que la altura máxima de cada uno de los edificios deberá ser de10 m.El gobierno pone como condición que los frentes de los edificios deberánser armoniosos en sus dimensiones. ¿Cuántos deberá medir el ancho deledificio para que el mismo mantenga las proporciones del “número de oro”?

5) Una institución educativa propone conservar en su fachada exterior unaproporción áurea. Sabiendo que el ancho del terreno es de 20 m y teniendoque contar con una puerta de acceso de 2 m de alto. ¿Cuál debería ser laaltura de la fachada y el ancho de la puerta?

Eje de simetría

A

E

B C G

H

M

2.5m

EDF





Página 21

Muchos ornamentos arquitectónicos utilizan la espiral áurea, que se obtiene

fácilmente a partir de un rectángulo áureo.

El logo del Museo de Ciencias Naturales de La Plata está compuesta de dos espiralesuna de ellos áurea y la otra logarítmica, representando la belleza y la armonía quehay en la naturaleza.





Página 22

ISOMETRIAS

TRASLACIONESSon transformaciones en el plano que se obtienen por aplicación de un vector a cadapunto del mismo.Dado un vector y un punto P del plano se obtiene P` por aplicación a P de un vectorequipolente al dado.

Se puede aplicar a cualquier figura

El traslado de ABCD es A´B´C´D´, observándose que se conservan todas susmedidas y forma. Muchas veces se usan traslaciones para diseñar plantas deedificios, por ejemplo, repitiendo un módulo constructivo tantas veces como seanecesario.

A

B

D

CA´

B`

D´

C`





Página 23

O un motivo ornamental, como almenas o botellas.

Módulos repetidos

O motivos de azulejos o cerámicos

SIMETRIA CENTRAL

Son transformaciones en el plano que se obtienen por aplicación del opuesto de unvector.Se denomina simetría Central de centro un punto O del plano a la transformación que hacecorresponder a cada punto A otro que designaremos por A’ tal que el punto O sea el puntomedio del segmento AA’.(¿Qué es un caso particular de homotecia?)

De la definición se deduce que las rectas que pasan por el centro son dobles, es decir, setransforman en sí mismas y si una recta no pasa por el centro, se transforma en otraparalela.





Página 24

SIMETRÍA AXIALSe denomina simetría axial de eje una recta dada e a una transformación que hace

corresponder a cada punto A del plano otro punto A’ de forma que la recta e sea mediatrizdel segmento AA’.

De la definición se deduce que los únicos elementos dobles que existen en una simetríaaxial son el eje e y las rectas perpendiculares al eje.

Si elegimos tres puntos A, B, C y hallamos sus simétricos que denominaremos A’, B’, C’respectivamente, se observa que el sentido de giro al recorrer los primeros en un orden, escontrario a del recorrido de sus homólogos en el mismo orden.





Página 25

Las medidas no se alteran pero las figuras no son superponibles en el plano.

Rotación

Se denomina rotación de centro un punto O del plano y ángulo orientado ϕ, al movimientoque transforma un punto A en otro A’ tal que OA = OA’ y el ángulo AOA’, con vértice enO es igual en amplitud y sentido al ángulo ϕ.

De la definición se deduce que en un giro, cualquiera que sea el ángulo ϕ, son dobles elcentro O y las circunferencias de centro en O, si bien estas no son de puntos dobles.

TESELACIONES

Son maneras de cubrir el plano con piezas regulares o irregulares. Solo son posibles tresteselaciones con polígonos regulares solamente: con triángulos equiláteros, cuadrados yhexágonos. También se usan combinaciones de polígonos regulares.

Analice las siguientes teselaciones y señale los movimientos planos necesarios paraobtenerlas a partir de su movimiento básico y su plantilla

e

A B

C

C`

B`

A`





Página 26

Ejemplos





Página 27





Página 28





Ejemplos de teselaciones

Documents

proporcionalidad