Proporcionalidad alumnos(2014)

8/19/2019 Proporcionalidad alumnos(2014)

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4 Proporcionalidad

4.1. Razones y medición.

4.2. Proporcionalidad y variación.

4.3 Variación directamente proporcional

4.4 Variación inversamente proporcional

Introducción

La proporcionalidad es uno de los conceptos matemáticos ampliamente difundidos en la

población, esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La

proporcionalidad es un caso particular de las variaciones lineales, el factor constante de

proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes, y

consiste en la relación que existe entre dos magnitudes, si una de ellas aumenta, el valor

de la otra aumenta (o disminuye) en la misma proporción a la otra. l cociente entre los

valores correspondientes de las dos magnitudes es siempre constante y se dice que a es

directamente proporcional con b si!

a

b=k

"l número k es constante y se le llama razón de proporcionalidad.

#or e$emplo% la receta para preparar & 'ot caes especifica que se necesitan los

siguientes ingredientes!

taza de 'arina

taza de lec'e

* 'uevo

cuc'arada de mantequilla

+onsiderando que cada persona se come 'ot caes, estos ingredientes nos servir-an

para * personas, cómo adaptar la receta para / personas0 1egún los estudios, la

mayor-a de la gente calcular-a las cantidades para una persona (dividiendo entre *) y

luego las multiplicar-a por el número real de personas (diez), otras se dar-an cuenta que

bastar-a con multiplicar los ingredientes que son para dos personas por 2, quedando por

1


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e$emplo 2 tazas de 'arina para diez personas. 1e dice entonces que la cantidad de

ingredientes es proporcional al número de personas.

Razón y mediciones

+uando comparamos dos números reales a y b, siendo b3/ a trav4s de una división y en

cualquiera de sus formas!

a

b ; a ÷ b ; a :b

(se debe leer a es a b)

ntonces se tiene la comparación por cociente de dos magnitudes, llamada razón.

Las cantidades a y b que se comparan tiene que ser de la misma naturaleza, por e$emplo

vamos a suponer que tenemos dos listones, de los cuales uno, el listón A, mide */

cent-metros, mientras que el listón B mide / cent-metros, entonces la razón del listón

A respecto al listón B nos dará una idea de qu4 parte es A respecto a B, 'ablando de

listones en los dos casos.

+ontinuando con el mismo e$emplo de los listones, al 'acer la división tenemos!

Raz ó n de A respectoa B=20

10=2

Lo que indica que la longitud de A es dos veces la longitud de B

5ay que tomar en cuenta que no es lo mismo decir la razón de A respecto a B, que decir

la razón de B con respecto a A, en el segundo caso tendr-amos lo siguiente!

Raz ó n de B respecto a A=10

20=

1

2

Lo que indica que B es1

2 de A, en otras palabras B es la mitad de longitud que ".

$emplos!

2


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. n el salón de ro6 'ay 7/ alumnos, de ellos *2 son mu$eres y 2 son 'ombres,

+uál es la razón de mu$eres a 'ombres0

Raz ó n de mujeres respectoa los hombres=25

15

=5

3

La razón es5

3 es decir, *2 mu$eres son cinco tercios de 2 'ombres en el grupo,

en otras palabras por cada 2 mu$eres 'ay 'ombres

*. La longitud de una varilla es de cent-metros y la razón respecto a otra es de a 2

(!2). +uál es la longitud de la otra varilla0

3

5

=33

x

"l realizar el producto cruzado y despe$ando x%

1e concluye que la longitud de la otra varilla es de 22 cent-metros

. La edad de 8ernando es de * a9os y la de "ntonio es de *7 a9os. +uál es la razón

de edad de 8ernando respecto a la de "ntonio0 Razón de la edad de Fernandorespecto a la de Antonio

21

24=

7

8

La razónes 7

8esdecir , que Fernandotiene

7

8dela edadde Antonio .

3

+omo estamos mencionando que la razón de la

varilla de cent-metros está a razón de5

3

con respecto a otra, entendemos que la varilla más

corta es la de cent-metros, entonces

cent-metros son las tres quintas partes de lo que


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Proporcionalidad y variación.

+uando se comparan por igualdad dos razones se llama proporción, si consideramos los

números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre

c y d , la cual se puede representar de las siguientes formas!

a

b=

c

d ; a :b=c : d ; a :b : : c :d

(se lee a es a b como c es a d ) b 3 / y d 3 /

:na proporción está formada por cuatro números llamados términos: a y d se llaman

extremos y b y c se llaman medios.

n todas las proporciones se cumple la siguiente propiedad fundamental! el producto

de los extremos es iual al producto de los medios.

;e lo anterior podemos concluir que si una proporción es una igualdad entre dos

razones, entonces una proporción se puede convertir en una ecuación al desconocer uno

de los valores, por e$emplo!2

3=6

9

sta proporción se lee! dos es a tres como seis es a nueve.

#odemos comprobar que el producto de *(


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espejando quedar!a x=6 (10)12

=5

l valor de x para que la igualdad se cumpla es 2.

n el caso de que la incógnita se encuentre ubicada en otro lugar, podemos cambiar de

posición el producto de los extremos, por e$emplo!

2

x=

8

12

"ntonces8 x=2(12)

espejando x=2(12)8

=3

$emplo!

1. "ncontrar el #alor de x en32

x =

4

5

"ntonces4 x=5(32)

espejando x=5(32)4

=40

#ara que la igualdad se cumpla x tiene que valer 7/

2. "ncontrar el #alor de x en 3:12= x : 24 "ntonces12 x=3(24)

espejando x=3(24)12

=6

#ara que la igualdad se cumpla x tiene que valer &

3. "ncontrar el #alor de x en 7

15=21

x

"ntonces7 x=15(21)

espejando x=15(21)

7=45

#ara que la igualdad se cumpla x tiene que valer 72

La variación proporcional cuenta con múltiples aplicaciones en diferentes áreas, por

e$emplo en f-sica, se expresa la velocidad de un automóvil como el cociente entre dos

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magnitudes distintas! el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo. +uando

estas magnitudes var-an proporcionalmente, el móvil describe un movimiento uniforme.

>tro e$emplo lo encontramos en el área de qu-mica donde la masa de las sustancias

obtenidas en una reacción siempre es proporcional a la masa de las sustancias que

reaccionan.

n general, cuando deseamos comparar dos magnitudes, establecemos relaciones

matemáticas entre ellas a trav4s de los modelos como el de proporcionalidad, basta con

considerar si es un modelo de proporcionalidad directa o un modelo de proporcionalidad

inversa.

Variación directamente proporcional

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#ara que dos magnitudes sean directamente proporcionales a otras dos, se debe cumplir

que si una de ellas aumenta, el valor de la otra aumenta en la misma proporción a la otra

o viceversa, por e$emplo si un auto gasta en promedio / litros de gasolina por cada */

m. de recorrido, quiere decir que el número de litros consumidos por el auto es

directamente proporcional a los ilómetros recorridos o viceversa (los ilómetros

recorridos es directamente proporcional al número de litros consumidos), a mayor

número de litros consumidos, mayor será la distancia recorrida, o a mayor distancia

recorrida mayor el consumo de litros.

/ litros ? */ m.

*/ litros ? *7/ m.

*2 litros ? // m. . . . .

@omando en cuenta la relación anterior se deduce que si se forman razones con los

valores de ambas magnitudes, la constante de proporcionalidad es siempre la misma,

por tanto es otra forma de ver las magnitudes directamente proporcionales.

La gráfica de dos magnitudes que están en proporción directa, es un con$unto de puntos

que están sobre una recta creciente que pasa por el origen del sistema de coordenadas.

"nalizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra tambi4n

aumenta.

$emplos!

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. xiste una relación directa entre el número de naran$as y el peso entre ellas. 1i una

naran$a pesa = gramos, podemos observar que entre más naran$as, más peso!

naran$a ? = gramos

* naran$as ? & gramos

naran$as ? 27 gramos

. .

. .

. .

La razón en este caso es 1

18

#artiendo de la razón anterior podemos resolver algunos cuestionamientos

relacionados con estos dos valores, por e$emplo si tenemos 2 naran$as +uál es el

peso correspondiente0

+omo los valores se encuentran en proporciones directas podemos escribir la

siguiente igualdad!

1

15=

18

x

Al resol#er para x x=15 (18 )=270

ncontrando que el peso correspondiente es de *A/ gramos.

;e igual manera si conocemos el peso podemos encontrar el número de naran$as

correspondientes, por e$emplo si sabemos que una bolsa de naran$as pesa //

gramos +uántas naran$as se encuentran dentro de la bolsa0

n este caso la igualdad quedar-a de la siguiente manera!

1

x=

18

300

Al resol#er para x x=300

18=20

1e obtiene que el número de naran$as dentro de la bolsa corresponde a */.

*. 1i compramos una canastilla de seis refrescos por 7= pesos y queremos saber el

costo de sólo un refresco, su valor seria más de 7= pesos o menos0, +uál es el

precio de un refresco0

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#or deducción lógica sabemos que el precio de un refresco será menor de 7= pesos,

sin embargo, este valor lo podemos calcular mediante proporciones directas, porque

a menos refrescos menos dinero!

61=48 x

Al resol#er para x x=48

6=8

+on lo que se encuentra que un refresco tiene un costo de = pesos.

. :n comerciante compra cierta cantidad de pantalones para vender, los cuales le

cuestan &/// pesos. ;espu4s compra y le cuestan


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ayuda a calcular el valor de una cuarta cantidad conociendo el valor de las otras tres.

Las dos magnitudes deben ser directamente proporcionales.

#ara resolver una regla de tres simple directa se aplica el mismo m4todo de las

proporciones directas, los problemas son similares, pero a menudo los resultados en

razones y proporciones se relacionan con los de porcenta$e, los cuales siguen una

proporción directa, por e$emplo la expresión =B significa que de cada // partes se

tomarán =, esto es =C// y, por consiguiente se pueden resolver utilizando el mismo

procedimiento de las proporciones directas.

$emplos!

. :na persona que gana D2*// por quincena, invierte D&A& quincenales en pagar un

pr4stamo al banco, qu4 porcenta$e de su sueldo gasta en pagar al banco0

#ara resolver este problema se plantea una proporción como la siguiente! si de

D2*// que gana ocupa D&A& en pagar el pr4stamo, entonces ganando D// ocupará

x cantidad.

Eotemos que se 'a utilizado // como base para plantear dic'a proporción, ya quese pide el porcenta$e (cuánto por cada //) utilizado en pagar al banco

quincenalmente.

"s decir : 5200

676=100

x

Al resol#er para x x=676(100)

5200=13

F determinamos entonces que el porcenta$e de su sueldo quincenal que destina para

pagar al banco es del B

*. n un salón de 7= alumnos de la clase de razonamiento lógico, el porcenta$e de

aprobados fue de un A2B. +uántos alumnos aprobaron el curso0

#ara responder el cuestionamiento primero razonamos que A2B implica que de

cada // alumnos, A2 'an aprobado el curso, pero como en el salón 'ay 7=, x

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representar-a a los aprobados, y para encontrar este valor, se plantear-a la siguiente

proporción!

75

10=

x

48

Al resol#er para x x=75(48)100

=36

Lo cual significa que & alumnos de los 7= que 'ab-a en el salón de la clase de

razonamiento lógico aprobaron el curso.

. n el súper se ofrece un /B de descuento en pantalones para caballeros al pagar

en ca$a% si se pagó en ca$a por un pantalón A2 pesos. cuál es el precio del

pantalón marcado originalmente0

175

70=

x

100

Al resol#er para x x=175(100)

70=250

1e concluye que *2/ pesos es el precio marcado originalmente en el pantalón.

Variación inversamente proporcional

#ara que dos magnitudes sean inversamente proporcionales a otras dos, se debe cumplir

la siguiente regla! si una de ellas aumenta" el valor de la otra disminuye en la misma

proporción a la otra o viceversa. l producto entre los valores correspondientes de las

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n este caso 'ay que tener en cuenta que los A2

pesos ya tienen incluido el descuento, por lo que

realmente se está pagando A/B del valor marcado

en el pantalón, y que este precio es mayor a los

A2 pesos, por lo que realmente se tiene que

buscar el //B que es el valor original del

pantalón, quedando la proporción de la siguiente

manera!


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dos magnitudes se mantienen siempre constante y se dice que a es inversamente

proporcional con b si!

ab=k

"l número k se le llama constante o razón de proporcionalidad inversa. Getomando ele$emplo del auto, si a'ora nos dicen que el auto tarda en trasladarse de un lugar a otro, &

'oras via$ando a una velocidad de 7/ mC'rs. Hu4 pasa si aumenta la velocidad a &/

mC'rs0, como el auto via$ara más rápido razonamos que el tiempo en recorrer la misma

distancia será menor, entre más rápido via$a el auto menos tiempo tarda en recorrer la

misma distancia, esto quiere decir que la velocidad del auto es inversamente

proporcional al tiempo consumido o viceversa (el tiempo consumido es inversamente

proporcional a la velocidad del auto).

7/ mC'rs. ? & 'rs.

&/ mC'rs ? 7 'rs.

=/ mC'rs ? 'rs.

. .

>bservando la relación anterior podemos inferir que si se forman productos entre las

dos magnitudes I7/(&)J*7/, &/(7)J*7/ y =/()J*7/K, surge una constante llamada

razón de proporcionalidad inversa.

La gráfica de dos magnitudes que están en proporción inversa, es un con$unto de puntos

que están sobre una 'ip4rbola.

"nalizando el gráfico anterior, se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra

disminuye.

$emplos!

. +onsideremos a dos alba9iles, los cuales terminan un traba$o en / d-as.

n este caso existe una relación inversamente proporcional entre el número dealba9iles y el número de d-as en que terminan el traba$o.

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* alba9iles ? / d-as

7 alba9iles ? 2 d-as

= alba9iles ? *.2 d-as. .. .

1e observar que entre más alba9iles se tienen en la construcción, menos d-as

tardaran en 'acer el mismo traba$o, o si se utilizan más d-as para realizar el traba$o,

quiere decir que se utilizaron menos traba$adores.

La razón de proporcionalidad inversa en este caso es */)/(* = .

+onociendo este valor podemos resolver algunos cuestionamientos relacionados

con estos dos valores, por e$emplo si tenemos / alba9iles +uál será el número de

d-as en terminar la obra0

+omo los valores se encuentran en proporciones inversas podemos escribir la

siguiente igualdad!

2

10=

10

x

La solución será igual que en las proporciones directas0

La respuesta a este cuestionamiento es Eo,

obser#a elresultado : x=10(10)

2=50

"l resolver de esta manera, podemos observar que estamos equivocados, porque si

tenemos más alba9iles 4stos se tardaran menos d-as en realizar el mismo traba$o,

por lo cual no puede dar una respuesta de 2/.

La solución correcta se obtiene de la siguiente manera! al identificar que es una

proporción inversa, debemos invertir (cambiar) el orden en que escribimos la parte

de la proporción en la que se encuentra la incógnita!

s decir si tenemos2

10=

10

xdebemos de invertir las posiciones en donde se

encuentra la x, quedando%2

10=

x

10 y resolvemos para x el producto cruzado

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espejando x=2(10)10

=2

;ándonos como resultado dos d-as, la cual es una respuesta lógica.

#ota: algunos catedráticos recomienda invertir (cambiar) el orden en donde no se

encuentra la incógnita, pero al final el resultado es el mismo, por e$emplo

retomando los datos del problema anterior, si sabemos que una obra se termino en

*/ d-as, +uántos traba$adores la realizaron0

l planteamiento de la proporción inversa es!2

x=

10

20

+ambiando la razón en donde no se encuentra la incógnita.

2

x=

20

10

Al resol#er para x tenemos x=2(10)20

=1

1i una obra se termina en */ d-as, el número de alba9iles que traba$o fue de uno.

*. :n barco petrolero cargado tarda & d-as en llegar a su destino a una velocidad

constante de */ nudos. " cuántos nudos realizó el via$e de regreso sin carga, si

tardo 7 d-as en completarlo0

n este caso existe una proporción inversa, porque si tardó menos d-as en realizar

el via$e de regreso, indica que lo 'izo a mayor velocidad.


4=

20

x

+ambiando la razón en donde se encuentra la incógnita.

6

4=

20

x

Al resol#er para x tenemos x=6(20)

4=30

Lo cual indica que al regresar el barco ten-a una velocidad de / nudos.

. ;urante un 'uracán, protección civil ten-a en un alberge alimento pensado para 2/ personas durante una semana (A d-as), en el momento de la contingencia los

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alimentos sólo duraron 2 d-as. +uántas personas acudieron al alberge en el

momento de la contingencia0

1e trata de otro problema de proporcionalidad inversa, porque a menor d-as que

duro los alimentos, indica que fue mayor el número de personas que acudieron al

alberge en el momento de la contingencia.


x =

7

5

+ambiando la razón en donde se encuentra la incógnita.

x

350=

7

5

Al resol#er para x tenemos x=7(350)

5=490

Lo cual indica que en el momento de la contingencia acudieron 7

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