proyeccion estereografica

ASIGNATURA MINERALOGÍA

Módulo 1: Cristalografía

Dra. Amancay N. Martinez

2010

TABLA DE CONTENIDOS GENERALIDADES ..........................................................................................................2 Introducción.......................................................................................................................2 Definición de mineral.........................................................................................................2 Análisis de la definición.....................................................................................................2 Historia de la mineralogía ..................................................................................................3 Nombre de los minerales....................................................................................................4 CRISTALOGRAFÍA .........................................................................................................6 Introducción.......................................................................................................................6 Proceso de cristalización ....................................................................................................6 Orden interno en los cristales .............................................................................................7 Elementos geométricos de un cristal...................................................................................7 Diagramas ordenados y sus propiedades.............................................................................7 Morfología cristalina..........................................................................................................9 Medición de los ángulos cristalinos....................................................................................9 Simetría cristalina ............................................................................................................10 Reglas de simetría ............................................................................................................12 Elementos cristalográficos ...............................................................................................13 Clases de simetría y sistemas cristalográficos...................................................................15 Grupo Isométrico .............................................................................................................15 Grupo Dimétrico ..............................................................................................................15 Grupo Trimétrico .............................................................................................................16 Holoedría y meroedría .....................................................................................................17 Notación y simbología .....................................................................................................17 Parámetros .......................................................................................................................18 Índices de Miller ..............................................................................................................19 Forma ..............................................................................................................................20 Formas abiertas................................................................................................................21 Formas cerradas ...............................................................................................................21 Formas simples y combinadas..........................................................................................21 Tipos de formas ...............................................................................................................22 Tipos de caras ..................................................................................................................24 Zonas ...............................................................................................................................25 Hábito cristalino...............................................................................................................25 Proyecciones cristalinas ...................................................................................................25 Proyección esférica ..........................................................................................................25 Proyección estereográfica ................................................................................................27 Plantillas estereográficas - red de Wulff ...........................................................................29 Orientación de los cristales...............................................................................................30 El dominio fundamental y las siete formas derivadas .......................................................30 Procedimiento en la proyección de cristales .....................................................................32 Las 32 clases cristalinas ...................................................................................................33 Maclas .............................................................................................................................44 Origen de las maclas ........................................................................................................46 Ley de maclas ..................................................................................................................47 Polimorfismo ...................................................................................................................50 Politipismo.......................................................................................................................54 Pseudomorfismo ..............................................................................................................54

Dra. Amancay Martinez Cristalografía-Módulo 1

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GENERALIDADES

Introducción La mineralogía es la ciencia que estudia las sustancias cristalinas de la naturaleza, o sea, los minerales, su estructura interna, su forma y su clasificación, con la finalidad de ampliar su conocimiento. Se divide en cristalografía, mineralogía determinativa y mineralogía óptica. Definición de mineral Mineral: sólido natural homogéneo con una composición química definida aunque no fija y una distribución atómica ordenada. Ese ordenamiento interno de los átomos o iones integrantes se ve reflejado en la expresión exterior de los cristales, en sus caras planas. Se forma mediante un proceso inorgánico. Cristal: es un cuerpo sólido, limitado naturalmente por superficies planas que constituyen la expresión exterior de un ordenamiento interno de los átomos o iones integrantes. En la naturaleza los cristales pueden no ser perfectos y no todas las caras tener el mismo desarrollo. Análisis de la definición Al decir Sólido natural estamos distinguiendo entre sustancias formadas por procesos naturales y sustancias sintetizadas en el laboratorio. Al decir Sólido homogéneo estamos pensando en una sustancia sólida que no puede ser subdividida físicamente en simples componentes químicos. Se excluyen los gases y los líquidos, por lo tanto el H2O en forma de hielo es un mineral pero el H2O líquida no lo es. Por lo tanto el mercurio líquido tampoco lo es. Al decir Composición química definida implica que puede expresarse mediante una fórmula química específica. Por ejemplo: Cuarzo = SiO2

Pero la mayoría de los minerales no tienen una composición definida con exactitud. Para el caso de la dolomita CaMg(CO3)2 no es siempre un carbonato puro de Ca y Mg, ya que puede contener cantidades de Fe y Mn reemplazando al Mg. Como estas cantidades varían se dice que su composición no es fija. Por lo tanto la expresión de su composición química se puede expresar así, manteniendo la misma proporción: CaMg(CO3)2 = Ca:Mg:CO3 = 1:1:2 = Ca(Mg, Mn, Fe)(CO3)2 Al decir Disposición atómica ordenada se indica la existencia estructural de un entramado de átomos ordenados según un modelo geométrico regular, que le confiere el carácter cristalino a los minerales. Los sólidos como el vidrio, que carecen de una disposición atómica ordenada reciben el nombre de amorfos. Tanto estos como el agua líquida y el mercurio, sin un orden interno reciben el nombre de mineraloide.


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De acuerdo con la definición tradicional, un mineral se forma mediante procesos inorgánicos, pero existen compuestos orgánicos que pueden acoplarse a la definición de mineral. Por ejemplo, el carbonato de calcio de las conchillas de los moluscos, dado que la concha de una ostra y su perla están en su mayor parte constituida por aragonito que es idéntico al formado por un proceso inorgánico. Otro ejemplo son el azufre y el hierro precipitado a partir de bacterias, sin embargo, el petróleo y el carbón están excluidos de la definición, ya que no tienen composición química definida ni distribución atómica ordenada. Historia de la mineralogía El surgir de la mineralogía como ciencia es relativamente reciente pero no la práctica en las artes mineralógicas. En las pinturas rupestres realizadas por hombres primitivos se utilizaron pigmentos naturales hechos de hematita roja y óxidos de manganeso negro y las herramientas de pedernal eran posesiones importantes durante la Edad de Piedra. Las pinturas funerarias del valle del Nilo realizadas hace casi 5000 años fueron efectuadas usando malaquita, metales preciosos, lapislázuli y esmeraldas. Cuando se dio paso a las Edades de Bronce y de Hierro se ampliaron las posibilidades de aprovechamiento de los minerales. Durante la época del Imperio Romano fueron de capital importancia los centros mineros de oro, hierro y cobre de Hispania. Después se aseguraron los suministros de estaño con los yacimientos de casiterita de Cornualles en Britania. El filósofo griego Theophrastus (372-287 a.C.), discípulo de Aristóteles, fue el primero en realizar el primer trabajo escrito sobre mineralogía. Siglos más tarde, el escritor romano Cayo Plinio Segundo (23-79 d.C.) publicó su obra “Historia Natural”, sentando las bases de estudio de la mineralogía. El nacimiento de la mineralogía como ciencia ocurre en el año 1556 con la publicación del libro “De Re Metallica” escrito por el médico alemán Georgius Agricola. Este libro incluye la primera recopilación de minerales. Steno en 1669 contribuyó al desarrollo de la cristalografía con su estudio de los cristales de cuarzo. Observó que a pesar de la procedencia, tamaño o constitución, los ángulos entre las caracas correspondientes eran constantes. En 1780 Carangeot inventó el goniómetro de contacto para la medida de los ángulos interfaciales de un cristal. Años más tarde, Romé de I´Lsle realizó medidas de los ángulos faciales que confirmaron el trabajo de Steno y formuló la ley correspondiente. René Haüy en 1784 demostró que los cristales estaban constituidos por acumulación de pequeños bloques idénticos que denominó moléculas integrales, hoy conocidas como células unitarias. Más tarde en 1801, Haüy desarrolló la teoría de los índices racionales para las caras de un cristal. Wollaston en 1809 inventó el goniómetro de reflexión que permitió una alta exactitud y medidas precisas de las posiciones de las caras de un cristal. El goniómetro de contacto sirvió para suministrar datos necesarios para el estudio de la simetría cristalina, convirtiendo así a la cristalografía en una ciencia exacta.


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En 1850 von Groth, es el primero que adopta sistemas químicos de clasificación, agrupando los minerales en diez clases. Estas clasificación se han ido modificando hasta llegar a la más utilizada hoy: la de Strunz, que divide los minerales en nueve clases atendiendo a criterios cristaloquímicos y estructurales.

1. elementos nativos 2. sulfuros 3. halogenuros 4. óxidos e hidróxidos 5. nitratos, carbonatos y boratos 6. sulfatos, cromatos, molibdatos y wolframatos 7. fosfatos, arseniatos y vanadatos 8. silicatos 9. sustancias orgánicas

El naturalista francés Cordier en 1815 desarrolló el método de inmersión al observar por primera vez fragmentos de minerales triturados a través de su microscopio. La utilidad del microscopio en el estudio de los minerales se acrecentó gracias a la invención de una dispositivo de polarización que permitió el estudio del comportamiento de la luz en las sustancias cristalinas. Dicho dispositivo fue creado por el escocés William Nicol, quien provocó que el microscopio de luz polarizada se convirtiera un instrumento fundamental en los estudios mineralógicos. El descubrimiento de mayor repercusión del siglo veinte debe ser atribuido a Max von Laue y colaboradores, quienes demostraron que los cristales podían difractar los rayos X, por lo que la difracción de rayos X se convirtió en un método imprescindible. En 1914 se publicaron por W. H. Bragg y W. L. Braga en Inglaterra las primeras determinaciones de la estructura de un cristal. Los equipos modernos conectados a una computadora, permiten realizar una determinación rápida de la estructura compleja de un cristal. La microsonda electrónica desarrollada durante la primera década de 1960 permitió el estudio químico de los minerales a nivel de micro-escala, constituyendo otro instrumento importante a la hora de efectuar ensayos rutinarios. Nombre de los minerales Los minerales se clasifican en función de un principal componente químico, anión o complejo aniónico, presente en el mineral. Estos pueden ser un óxido, sulfuro, silicato, carbonato, fosfato, etc. Esto es útil porque la mayoría de los minerales contienen un solo anión principal. La determinación detallada y la identificación de los minerales requiere técnicas especializadas como ser análisis químicos, medida de las proporciones físicas, como la densidad, propiedades ópticas y los parámetros de rayos X que están relacionados con la estructura cristalina del mineral. Sin embargo la nomenclatura mineral no sigue una regla fija. Los minerales fueron nombrándose en función de alguna propiedad física, química, teniendo en cuenta el lugar donde fue encontrado, un personaje famoso, un mineralogista, o cualquier otra consideración particular. Por ejemplo: Albita (NaAlSi3O8) del latín albus: blanco en alusión a su color. Rhodonita (MnSiO3) del griego rhonon: una rosa en alusión a su color rosa propio.


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Chromita (FeCr2O4) por la cantidad de cromo presente en este mineral. Magnetita (Fe2O3) por sus propiedades magnéticas. Franklinita (ZnFe2O4) por la localidad Franklin en New Jersey donde es abundante el Zn. Sillimanita (Al2O3) en honor al profesor Benjamín Silliman (1779-1864) de la Universidad de Yale.

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CRISTALOGRAFÍA Introducción La cristalografía es la ciencia que estudia los cristales en su estructura interna, su forma y su clasificación. Los cristales son los minerales que poseen caras cristalinas, planas y pulidas y desarrollan formas geométricas. Sin embargo, son cristales de todas formas, tenga o no caras cristalinas, ya que poseen estructura interna ordenada. Por lo que un sólido homogéneo que posee un orden interno tridimensional puede considerarse un cristal. La cristalografía comenzó como una rama de la mineralogía, hoy en día es una ciencia aparte. En esta materia se verán las nociones básicas donde sentar las bases para la segunda parte de la materia mineralogía. De acuerdo al mayor o menor desarrollo de las caras cristalinas podemos hacer una primera clasificación de los cristales en:

� Euhedrales: cuando presentan todas sus caras desarrolladas. � Subhedrales: cuando algunas de sus caras están bien desarrolladas. � Anhedrales: cuando no presentan desarrollo en sus caras.

Hay sustancias microcristalinas donde su naturaleza cristalina se reconocer a partir del uso del microscopio y otras son criptocristalinas, donde su patrón regular se observa a partir de la difracción de rayos X. Las sustancias amorfas son cristalinas pero carecen de estructura interna ordenada, por lo que se denominan mineraloides. La cristalografía puede dividirse en: Estructural: analiza la estructura de los motivos (átomos, moléculas, etc.) Geométrica: estudia el ordenamiento de los motivos, se ocupa de la forma externa. Física: trata las propiedades físicas. Proceso de cristalización Los cristales se forman a partir de disoluciones, fundidos y vapores. Los átomos en estos estados desordenados tienen una disposición al azar, pero al cambiar la temperatura, presión y concentración pueden agruparse en una disposición ordenada característica del estado cristalino. Los cristales pueden formarse de una disolución por descenso de la temperatura o de la presión. También se puede formar a partir de una masa fundida de igual forma que las disoluciones. Por otro lado, aunque la cristalización a partir de un vapor es menos corriente, los principios básicos son muy parecidos. A medida que el vapor se enfría, los átomos y moléculas separadas se van aproximando entre sí, hasta formar un sólido cristalino. Un ejemplo es la formación de copos de nieve a partir de aire saturado de vapor de agua.


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Orden interno en los cristales El orden interno tridimensional de un cristal es la repetición de un motivo (una unidad del diagrama) de tal motivo que los alrededores de cada motivo son idénticos, con una coma como motivo. En los cristales los motivos pueden ser moléculas (H2O), aniones (SiO4) o iones (Ca2+) o combinaciones. Elementos geométricos de un cristal Al observar un cristal diferenciamos:

� Caras: son los planos que determinan la forma y que constituyen la repetición indefinida de su estructura interna.

� Aristas: son el resultado de la intersección de dos caras.

� Vértice: corresponden a la intersección de dos o más aristas.

El teorema de EULER dice que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos.

C + V = A + 2 Diagramas ordenados y sus propiedades Los diagramas ordenados constituyen un estado energético menor que el estado aleatorio. Cualquier movimiento que sitúa el motivo original en coincidencia con el mismo motivo original en coincidencia con el mismo motivo es cualquier región del diagrama se considera como una operación. Por lo tanto, un diagrama homogéneo puede engendrarse a partir de un simple motivo mediante una serie de operaciones geométricas (homogéneo significa que cada motivo unidad posee una relación semejante con el resto del diagrama). Los tipos de operaciones geométricas mediante las cuales pueden engendrarse diagramas homogéneos son: traslación, rotación y una combinación de ambas. La traslación en una sola dimensión produce un diagrama lineal a intervalos iguales a la distancia de traslación t como se ilustra en la Figura 1a. La rotación por si sola, a través de un ángulo α alrededor de un eje imaginario, engendra una secuencia del motivos a lo largo de un círculo. La orientación de las sucesivas unidades difiere en el ángulo α, como se observa en la Figura 1b. La traslación y la rotación conjuntas generan un diagrama regular siempre que el eje de rotación sea paralelo a la dirección de traslación. Esto da lugar a un movimiento de tornillo (Figura 1c).


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Figura 1: generación de diagrama por a) traslación, b) rotación y c) combinación de traslación y rotación.

Los tipos anteriores de operaciones dan lugar a diagramas en los cuales el motivo original y los engendrados a partir del mismo son idénticos en orientación mutua. Así se engendran diagramas congruentes. Las operaciones adicionales, como ser un espejo plano o un centro de simetría, producen diagramas en los cuales el motivo original está relacionado con el nuevo engendrado por una imagen especular o una inversión. La relación entre los motivos de tales diagramas se denomina enantiomorfa, significando que los motivos están relacionados por un espejo o una inversión y que no pueden superponerse entre sí.

Figura 2: a) motivos derecho e izquierdo relacionado con la reflexión en un espejo, b) motivos relacionados por inversión a través de un centro.


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La rotación alrededor de un eje, la reflexión mediante un espejo y la inversión alrededor de un punto se denominan operaciones de simetría. Los elementos de simetría de los cristales son direcciones particulares, que cumplen condiciones de simetría, determinados por la disposición de los átomos dentro de la estructura cristalina. Morfología cristalina Ya que los cristales se forman por la repetición de una unidad estructural en tres dimensiones, las superficies limitantes dependen en parte de la forma de la unidad. También dependen del medio externo en el cual se desarrolla el cristal. Medio externo incluye a todas las influencias externas, tales como temperatura, presión, naturaleza de la disolución y la probabilidad de un espacio abierto para su crecimiento. Puesto que la estructura interna de cualquier sustancia cristalina es constante y puesto que las caras cristalinas tienen una relación definida con esa estructura, se deduce que las caras tienen una relación definida una con otras. Este hecho fue observado por Nicolás Steno en 1669, quien dijo que: “los ángulos entre las caras equivalentes de los cristales de la misma sustancia medidos a la misma temperatura son constantes”. Por esta razón, la morfología cristalina es importante ya que permite identificar a las especies cristalinas a partir de su estudio. Medición de los ángulos cristalinos Los ángulos que se me miden entre las normales a las caras cristalinas caracterizan un cristal y deben medirse cuidadosamente. Con esos datos se determina la simetría del cristal y su clase cristalina. Los ángulos se miden con un goniómetro que puede ser de reflexión cuando es más moderno y donde se hace incidir un rayo de luz sobre las caras cristalinas (Figura 3).

Figura 3: goniómetro de reflexión de dos círculos con montaje de cristal a la derecha, telescopio en la parte superior izquierda y fuente luminosa en la parte inferior izquierda.

Un instrumento más sencillo es el goniómetro de contacto utilizado en cristales de mayor tamaño y es menester que el plano determinado por los dos brazos del goniómetro esté exactamente en ángulo recto con la arista entre las caras a medir. Debe saberse que es


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el ángulo interno el que se registra. En el caso de la Figura 4, el ángulo necesario es el de 40 grados.

Figura 4: goniómetro de contacto para la medición del ángulo α.

Simetría cristalina La forma externa del cristal bien formado refleja la presencia o ausencia de los elementos de simetría, tales como, ejes de rotación, ejes de giro inversión, centros de simetría y planos de simetría. En los cristales imperfectos o pobremente desarrollados la simetría no es evidente, pero puede deducirse a partir de una medida de la relación angular de sus caras. Los elementos de simetría que pueden reconocerse en un cristal son: Eje de simetría: dirección alrededor de la cual un cristal puede girar 360° n veces, por posiciones análogas puede ser de 1, 2,3,4 y 6, con ángulos de rotación de 180°, 120°, 90° y 60° respectivamente. Estos ejes se denominan correlativamente: EJE DE ORDEN UNO (n=360º), DIGIRA (n=180º), TETRAGIRA (n=90º), TRIGIRA (n=120º), HEXAGIRA (n=60º). Eje de simetría EQUIVALENTES son aquellos que pueden sustituirse entre sí, sin que el aspecto del cristal se modifique. Por ejemplo los ejes tetragonales del cubo (Figura 5). Figura 5: ejemplos de rotaciones que hacen coincidir el motivo con una unidad idéntica para ejes

de rotación de orden 1, 2, 3, 4 y 6.


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Planos de simetría: es el plano (m) que divide al cristal en dos partes iguales de tal forma que una se comporta con respecto a la otra como un cuerpo y su imagen en el espejo. Puede no existir o presentarse 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, planos de simetría. Los planos perpendiculares a un eje de simetría ternario, cuaternario, senario se denominan "planos principales", los que no cumplen esta condición se denominan "planos secundarios". Centro de simetría: se dice que un cristal posee centro de simetría (i), cuando al hacer pasar una línea imaginaria desde un punto cualquiera de su superficie a través del centro, se halla sobre dicha línea y a una distancia igual, más allá del centro, otro punto similar al primero. Caras paralelas y similares en los lados opuestos del cristal indican un centro de simetría. Existen ejes de giro inversión al combinar rotación con inversión (Figura 6) y se dice -1 y se escribe 1 con una barra por encima (1). El motivo original gira 360º de modo que vuelve a su posición original y es invertido entonces respecto a un centro. Produce el mismo efecto que un centro de simetría. Existen ejes de rotoinversión 1, 2, 3,4 y6.

Figura 6: operaciones de giro inversión en motivos unitarios, donde se efectúa la rotación y la inversión a través del centro de simetría.


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También hay ejes de giro reflexión al combinar rotación con reflexión. El motivo original gira 360º de modo que vuelve a su posición original y es invertido según un plano especular (m). La combinación de todas estas operaciones de simetría permite obtener idénticas configuraciones a partir de un mismo elemento geométrico inicial. Por lo tanto se logran las siguientes equivalencias: 1 ~ S2 ~ i 2 ~ S1 ~ m 3 ~ S6 ~ 3 + i 4 ~ S4 6 ~ S3 ~ 3/m ~ 1S3 + m perpendicular Reglas de simetría

1) Un centro de simetría, un plano de simetría y una gira de orden par normal al plano, son elementos tales que la presencia de dos de ellos condiciona la existencia del tercero.

2) Un centro de simetría, un plano de simetría y una gira de orden impar normal, son elementos tales que la presencia de dos de ellos excluye la presencia del tercero.

3) N planos de simetría vinculados por una recta común formaran entre si ángulos diedros de valor 180º/n, la recta de intersección será un eje de simetría de orden n.

4) N digiras coplanares formaran entre si ángulos iguales de valor 180º/n, perpendicular al plano que las contiene, existirá un eje de simetría de orden n.

De la aplicación de estas cuatro leyes fundamentales es posible deducir que: a) en los cristales es posible hallar solamente un eje senario, uno o tres cuaternarios, uno o cuatro ternarios, o uno, dos, tres, cuatro o seis ejes binarios. b) se pueden determinar 31 formas correctas de asociar elementos de simetría y establecer 32 clases de simetría, una de las cuales implica la carencia total de elementos de simetría (Tablas 1 y 2).

Tabla 1: las 32 clases de simetrías cristalinas.


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Tabla 2: las 32 clases de simetrías cristalinas y el contenido de la simetría.

Elementos cristalográficos Ejes cristalográficos: Se ha encontrado conveniente al describir los cristales suponer que ciertas líneas imaginarias, los ejes cristalográficos, se toman paralelos a las aristas que corresponden a la intersección de las caras cristalinas principales. Además, las posiciones de los ejes cristalográficos vienen más o menos fijadas por la simetría de los cristales, pues en la mayor parte de los cristales son ejes de simetría o normales a los planos de simetría. Se considera una terna de ejes cristalográficos, designados como: a,


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b, c. Aquí los tres ejes de longitudes diferentes son mutuamente perpendiculares entre sí y cuando se colocan en la orientación normal son como sigue: - El eje a es horizontal y está en posición delante-atrás. - El eje b es horizontal y está en posición derecha-izquierda. - El eje c es vertical. Los extremos de cada eje se designan con el signo más o menos (+ o -). El extremo frontal de a, el extremo derecho de b y el extremo superior de c son positivos, mientras que los opuestos son negativos. Los ángulos que forman los ejes entre sí se denominan (Figura 7): - Alfa: α entre b y c - Beta: β entre a y c - Gama: γ entre a y b

Figura 7: ejes cristalográficos del sistema rómbico.

Estos conforman la cruz axial, salvo para los sistemas trigonales y hexagonales. Los seis sistemas cristalinos están referidos a las siguientes direcciones axiales y ángulos axiales: Triclínico: tres ejes desiguales que se cortan todos según ángulos oblicuos. Monoclínico: tres ejes desiguales, dos de los cuales forman entre si un ángulo agudo y el tercero es perpendicular al plano de los otros dos. Rómbico: tres ejes mutuamente perpendiculares, todos ellos de diferente longitud. Tetragonal: tres ejes mutuamente perpendiculares, dos de los cuales (los ejes horizontales) son de igual longitud, pero el eje vertical es más corto o más largo que los otros dos. Hexagonal: cuatro ejes cristalográficos, tres ejes horizontales iguales que se cortan bajo ángulos de 120º, el cuarto vertical es de longitud diferente y perpendicular al plano de los otros tres. Cúbico o isométrico: tres ejes mutuamente perpendiculares de longitudes iguales.


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Clases de simetría y sistemas cristalográficos Las clases de simetría a la que pertenece un cristal, están dada por el conjunto de sus elementos de simetría (Figura 8). Mediante la combinación de ejes y planos se han determinado 32 clases de simetría que se agrupan en siete sistemas cristalográficos y estos a su vez en tres grupos, de acuerdo a las relaciones de longitud y angularidad de sus ejes. Estos son sistema rómbico, tetragonal, hexagonal, trigonal, cúbico, monoclínico, triclínico.

Figura 8: elementos de simetría expresados en función de la simetría cristalina. De izquierda a derecha: eje 6 (E6), eje 2 (E2), centro de simetría (c) y plano (m).

Grupo Isométrico - SISTEMA CÚBICO: Los tres ejes cristalográficos tienen la misma longitud y son perpendiculares entre sí. Los elementos de simetría característicos de este sistema son 4 trigiras. a = b = c α = β = γ = 90° Ejemplos de minerales cúbico: Halita NaCl, Pirita FeS2, Galena PbS, las cuales forman entre otros cubos. Diamante de forma octaédrica, Magnetita Fe3O4 forma entre otros octaedros. Granate, p. ej. Almandina Fe3Al2(SiO2)4 de forma rombododecaédrica, de forma icositetraédrica. Grupo Dimétrico Presenta dos ejes iguales y un tercero desigual. - SISTEMA TETRAGONAL: Dos ejes iguales (horizontal) y un tercero (vertical) de longitud diferente, todos perpendiculares entre sí. Tienen como elemento de simetría característico una tetragira coincidiendo con el eje "c". a = b ≠ c α = β = γ = 90° Ejemplos de minerales tetragonales: Zircón (ZrSiO2), Casiterita SnO2. - SISTEMA HEXAGONAL: En este sistema intervienen cuatro ejes cristalográficos en lugar de tres. Los tres horizontales son iguales entre sí y se cortan a 120°. El vertical es mayor o menor que los anteriores. Entre los extremos positivos, como los tres ejes


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horizontales son intercambiables entre sí, normalmente se les designa con a1, a2, a3. El eje a1 se orienta desde atrás derecha (-) hasta adelante izquierda (+), el eje a2 de izquierda (-) a derecha (+) y el eje a3 desde adelante derecha (-) hacia atrás izquierda (+). El elemento de simetría característico es una hexagira coincidente con el eje "c" o

una trigira con un plano normal (1S3+m perpendicular = 6). a1 = a2 = a3 ≠ c α = β = γ = 90°, δ= 120° Ejemplos de minerales hexagonales: Apatito Ca5(F, OH, Cl)(PO4)3 y grafito C pertenecen al sistema hexagonal. - SISTEMA TRIGONAL: Presenta las mismas relaciones axiales que el sistema anterior pero el elemento de simetría característico es una trigira coincidiendo con el eje "c". a1 = a2 = a3 ≠ c α = β = γ = 90°, δ= 120° Ejemplos de minerales trigonales: Calcita CaCO3 y Dolomita CaMg(CO3)2 pertenecen al sistema trigonal y forman a menudo romboedros. Grupo Trimétrico Los tres ejes son de diferente longitud. - SISTEMA RÓMBICO: Posee tres ejes perpendiculares, todos de distinta longitud. Los elementos de simetría característicos de este sistema son tres digiras (3S2) o una digira y dos planos perpendiculares entre sí (1S2+2m perpendicular), que pasan por él. a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90° Ejemplos de minerales rómbicos: Olivino (Mg,Fe)2(SiO4). - SISTEMA MONOCLÍNICO: Los cristales se refieren a tres ejes desiguales, dos de los cuales se cortan según un ángulo oblicuo y el tercero es perpendicular al plano de los otros dos. Los ángulos y son iguales mayor de 90°. Sus elementos de simetría característicos son una digira, un plano o la combinación de ambos (1S2+M perpendicular). a ≠ b ≠ c α = γ = 90° β > 90° Ejemplos de minerales monoclínicos: muscovita, yeso, talco y ortosa. - SISTEMA TRICLÍNICO: Tres ejes desiguales y tres ángulos desiguales entre sí y diferente de 90°. Se distingue porque carece de elementos de simetría o posee centro en las formas holoédricas. a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90°


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Ejemplos de minerales triclínicos: Albita: NaAlSi308 y Cianita: Al2SiO4 Holoedría y meroedría La holoedría o clase holoédrica corresponde a cada uno de los siete sistemas cristalinos que tiene una clase con el máximo número de elementos de simetría que pueda presentarse. A esta clase se la denomina holoédrica. Las restantes clases son las meroédricas o clases meroédricas. Las que presentan la mitad de las caras equivalentes a la forma Holoédrica correspondiente reciben el nombre de hemiédricas. Notación y simbología Entre las notaciones de simetría propuestas, las de Hermann-Maugin es la más aceptada y mediante la cual es posible expresar la simetría externa de los cristales. Según la mencionada simbología, los elementos de simetría se expresan de la siguiente manera:

1. los ejes de simetría se indican con los números 1, 2, 3, 4 y 6. 2. los ejes de giro inversión se indican con barras encima 1, 2,3,4 y 6. 3. los planos de simetría se indican con la letra m. 4. un eje con un plano de simetría normal a él se indica 2/m, 3/m, 4/m y 6/m.

Estos símbolos pueden contener 1, 2 o hasta 3 términos según el caso y cada uno de ellos representa la simetría a lo largo de una dirección cristalográfica ideada conforme las necesidades de cada uno de los sistemas. En el sistema cúbico, el primer número esta asociado con la simetría asociada a cada uno de los ejes cristalográficos a, b y c, el segundo se refiere a las direcciones diagonales no contenidas en los planos axiales y el tercero corresponde a las direcciones axiales contenidas en dichos planos. Si se considera que el símbolo de la clase hexaquis-octaédrica es 4/m -3 2/m, se puede deducir la totalidad de los elementos de simetría: 3E4 que coinciden con a, b y c, 4E3, 9 planos de simetría y centro de simetría (Figura 9). En los sistemas hexagonales y trigonales el símbolo consta de tres términos: el primero especifica la simetría asociada con el eje c, el segundo a los ejes a1, a2 y a3 y el tercero a las direcciones bisectoras de a1, a2 y a3. Si todas las clases de simetría del sistema hexagonal están caracterizadas por la presencia de un E6 coincidente con el eje cristalográfico principal, necesariamente en el primer término del símbolo para cada una de ellas deberá figurar un 6 o 6 De la misma manera y tendiendo en cuenta que a las

Figura 9: localización de los ejes de simetría en 432 respecto a un esquema cúbico.


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clases del sistema trigonal las caracteriza la presencia de un S3, el primer termino para cada una de ellas deberá tener un 3 o 3 Para el sistema tetragonal, el símbolo consta de tres términos, el primero de ellos especifica la simetría a lo largo del eje cristalográfico c, el segundo la de los laterales a y b y el tercero la de las bisectrices a a y b. todos los símbolos de las clases de este sistema tienen en primer termino un 4 o 4que evidencia la presencia de un S4 o S4coincidiendo con la dirección del eje cristalográfico principal. En el sistema rómbico, a cada eje cristalográfico le corresponde un termino del símbolo, al eje a el primero, b el segundo y c el tercero. A cada una de las clases del sistema monoclínico les corresponde un símbolo de solo un término, este indica simetría binaria y deberá coincidir con el eje cristalográfico b. En el sistema triclínico, la simetría es ínfima y el símbolo consta solo de un término que indica la presencia o ausencia de centro de simetría, -1 equivale a -i. los cristales que pertenecen a la clase triclínica pedial de símbolo 1, carecen de elementos de simetría. Parámetros o índices de Weiss Las caras cristalinas se definen mediante su intersección con los ejes cristalográficos y determinar su relación con ellos, si los corta o si es paralela a los mismos o si corta a los tres. También hay que terminar a qué distancia relativa corta la cara a los diferentes ejes. En la Figura 10 se ve un cristal de azufre del sistema rómbico y su distribución de caras y ejes. Cuando los parámetros se asignan a las caras de un cristal sin conocimiento de las dimensiones de la celda unitaria, una cara que corta a los tres ejes reciben la asignación arbitraria de los parámetros unitarios 1a, 1b, 1c. Esta cara llamada cara unitaria, es generalmente la mayor en el caso en que haya diversas caras que cortan los tres ejes. La Figura 11 muestra un cristal rómbico con caras que todas ellas cortan a los tres ejes. La cara mayor y sombreada y que corta a los tres ejes cristalográficos en sus extremos positivos se toma como la cara unitaria y sus parámetros unitarios son 1a, 1b, 1c. La intersección de la cara más pequeña por encima de ésta puede estimarse prolongando las aristas de esta cara en la dirección de los ejes a y b. Los parámetros de la cara superior se convierten en 2a, 2b, 2/3c respecto a la cara unitaria. Estas intersecciones pueden dividirse por el factor común 2, resultando 1a, 1b, 1/3c. Este ejemplo ilustra cómo los parámetros expresan valores relativos y no medidas reales de corte.

Figura 10: intersección de algunas caras cristalinas en la parte superior de un cristal rómbico.


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Figura 11: intersección relativa de las caras sobre un cristal rómbico, todas ellas cortan los tres ejes cristalográficos.

Índices de Miller Se utilizaron muchos métodos de notación para explicar la intersección de las caras cristalinas con los ejes cristalográficos. El mas utilizado son los índices de Miller, que tiene mas ventajas que los parámetros antes discutidos. Los índices de Miller de una cara consisten en una serie de números enteros que fueron deducidos de sus parámetros por la inversión. Los índices de una cara están dados de forma que los tres números se refieren a los ejes a, b y c, respectivamente y por consiguiente, las letras que definen a los ejes se omiten. Los índices expresan una relación, pero al objeto de simplificar se omiten también (Figura 12).

Figura 12: intersecciones e índices de Miller de algunas caras modificando los vértices de un cubo.


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Para las dos caras de la Figura 11 los parámetros son: 1a, 1b, 1c y 2a, 2b, 2/3c. Invirtiendo resulta: 1/1, 1/1, 1/1 y 1/2, 1/2, 3/2, respectivamente. Para la cara unitaria el índice de Miller resulta (111) y (113) luego de multiplicar por 2. El índice se lee “uno uno uno” y no se utilizan las comas, salvo que aparezcan números de dos dígitos, por ejemplo: (1,14,3). En las caras que cortan los extremos negativos de los ejes cristalográficos, se sitúa una línea sobre el número apropiado, como se ilustra en la figura 13. Por ejemplo: (111) se lee: “uno menos uno uno” y se escriben entre paréntesis.

Figura 13: índices de Miller respecto a los extremos positivos y negativos de los ejes cristalográficos.

Cuando se desconocen las intersecciones exactas se puede utilizar el símbolo general (hkl), donde cada letra h, k, l representa un número entero sencillo y son los recíprocos de intersecciones racionales pero no definidas a lo largo de los ejes a, b y c. el símbolo también indica que una cara corta a los tres ejes cristalográficos. Si una cara es paralela a uno de los ejes cristalográficos y corta a los otros dos, el símbolo resulta: (0kl) cara paralela al eje a (h0l) cara paralela al eje b (hk0) cara paralela al eje c Una cara paralela a dos de los ejes se considera que corta al tercero en la unidad y los índices son: (100) cara corta al eje a (010) cara corta al eje b (001) cara corta al eje c Forma De manera vulgar el vocablo forma se usa para dar idea del aspecto externo, sin embargo, en cristalografía, la forma externa se designa con la palabra hábito, mientras que forma constituye un grupo de caras cristalinas, las cuales tienen todas la misma relación con los elementos de simetría y exhiben las mismas propiedades físicas y


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químicas, pues todas tienen debajo los mismos átomos en el mismo orden geométrico. El número de caras que pertenecen a una forma viene determinado por la simetría de la clase cristalina. Aunque las caras de una forma pueden tener diferentes tamaños y conformaciones debido a la mala formación del cristal, la semejanza es evidenciada por estrías naturales, corrosiones o crecimientos (Figura 14). Estas diferencias pueden verse luego de aplicar ácido sobre el cristal.

Figura 14: apariencia de distintas formas: a) cuarzo hexagonal, división romboédrica, b) apofilita tetragonal, c) pirita cúbica.

Las formas se denominan encerrando a los índices de Miller entre llaves tal como {hkl}, {010}, etc. A la hora de determinar los índices para determinar una zona conviene utilizar los positivos. Por lo tanto, (111) se refiere a una cara especifica, mientras que {111} abarca a las ocho caras. En cada clase cristalina existe una forma, cuyas caras cortan a los tres ejes a diferente distancia que se conoce como forma general {hkl}. Todas las demás pueden presentarse como formas especiales. Formas abiertas Las formas abiertas son caras o conjuntos de caras equivalentes que conforman planos infinitos y que por sí solas no cierran el espacio. Su existencia solo es concebible en asociación con otras formas que las puedan cerrar. Son formas abiertas: pedión, pinacoide, domo, esfenoide, prismas y pirámides (Figura 15). Formas cerradas Un grupo de caras equivalentes constituyen una forma cerrada si en conjunto cierran el espacio y aunque pueden combinarse con otras, por si solas, pueden constituir un cristal. Son formas cerradas: bipirámides, biesfenoides, romboedro, trapezoedro, escalenoedros y todas las presentes en el sistema cúbico (Figura 15). Formas simples y combinadas Una forma es simple cuando constituye por si misma un cristal y deberá ser una forma cerrada. Si en cambio se asocian dos o más formas, cerradas o abiertas, con idéntica simetría, éstas se consideran como combinadas. Algunas combinaciones son


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características para ciertos cristales, como ser el cuarzo que presenta una asociación de romboedro, trapezoedro diagonal y prisma hexagonal (Figura 15). Tipos de formas Pedión: forma que corresponde a una sola cara. Pinacoide: figura formada por dos caras paralelas. Domo: dos caras no paralelas, simétricas con relación a un plano de simetría. Esfenoide: dos caras no paralelas, simétricas con relación a un eje de rotación binario. Biesfenoide: forma cerrada de cuatro caras, en la que las dos caras del esfenoide superior alternan con las dos caras del esfenoide inferior. Prisma: es una forma abierta compuesta de 3, 4, 6, 8 o 12 caras, todas ellas paralelas al mismo eje. Pirámide: es una forma abierta compuesta de 3, 4, 6, 8 o 12 caras no paralelas entre si que se cortan en un punto. Escalenoedro: forma cerrada de 8 caras el tetragonal o 12 caras el hexagonal, con las caras agrupadas en pares simétricos. En las formas de 8 caras aparecen dos pares de caras arriba y dos pares de caras abajo relacionadas entre si por un eje de giro inversión cuaternario. Las 12 caras del escalenoedro hexagonal presentan tres pares de caras arriba y tres pares de caras abajo en posición alternada relacionadas entre si por un eje de giro inversión ternario. Trapezoedro: forma cerrada de 6, 8, 12 o 24 caras con 3, 4 o 6 caras superiores giradas con respecto de las 3, 4 o 6 caras inferiores. Estas formas son el resultado de un eje ternario, cuaternario o senario combinado con ejes binarios perpendiculares. Además existe un trapezoedro isométrico de 24 caras. Bipirámide: forma cerrada de 6, 8, 12, 16 o 24 caras. Las bipirámides pueden considerarse como formadas por reflexión de una pirámide mediante un plano de simetría horizontal. Romboedro: seis caras que constituyen una forma cerrada. Tres de ellas en la parte superior alternan con las otras tres de la parte inferior giradas entre si 60º.


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Figura 15: formas generales y algunos elementos de simetría.


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Figura 15 (cont.): formas generales y algunos elementos de simetría.

Tipos de caras Tipos de caras: en relación con los ejes cristalográficos las caras de los cristales pueden tener las siguientes posiciones generales: - Cara Pinacoidal: cuando corta a un eje y es paralela a los otros dos. - Cara Prismática: cuando corta a dos ejes y es paralela al tercero. - Cara Piramidal: cuando corta a los tres ejes.


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Zonas En muchos cristales existe una clara disposición de un grupo de caras de modo que sus aristas de intersección sean mutuamente paralelas. Consideradas en conjunto, estas caras forman lo que se conoce como “zona”. La línea a través de centro del cristal que sea paralela a aquella arista, se conoce con el nombre de “eje de zona”. Una zona puede simbolizarse con los índices de Miller y se denota entre corchetes. En la Figura 16 puede observarse el eje de zona paralelo al eje c, por lo que la zona se denota [001] y está integrada por las caras que no cortan al eje c, como ser: (100), (010), (100) y (010).

Figura 16: eje de zona paralelo al eje c.

Hábito cristalino El término hábito se usa para designar las formas generales de los cristales como cúbica, octaédrica, prismática. El hábito cristalino varía con el medio ambiente y es rara vez los cristales muestran una forma geométrica ideal. Pero aun en cristales mal formados o defectuosos, la evidencia de la simetría está presente en el aspecto físico de las caras y en la disposición simétrica de los ángulos interfaciales. Proyecciones cristalinas La proyección de un cristal es un medio de representar un medio de representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional. Por ejemplo, la proyección clinográfica es una manera de ilustrar a un cristal con una perspectiva tal que parece una fotografía de dos dimensiones del mismo. También existe la proyección esférica y la estereográfica. Proyección esférica Con el fin de situar las caras de acuerdo con sus relaciones angulares y sin consideración de su forma o tamaño, podemos usar la proyección esférica. Si bien esta proyección es tridimensional, es la base para la estereográfica en dos dimensiones. Para entender como se genera la proyección esférica imaginemos un modelo hueco de un cristal que contenga en su interior un punto brillante de luz. Situemos ahora el cristal dentro de una


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esfera hueca de material traslúcido y hagamos que el punto luminoso ocupe su centro. Si hacemos un orificio en cada cara del cristal de tal manera que el rayo de luz que emerge por el orificio sea perpendicular a la cara, estos rayos de luz incidirán en la superficie interna de la esfera y harán una mancha brillante. Si marcamos en la esfera la posición de cada mancha de luz y eliminamos el cristal, tendremos un registro permanente de las caras del cristal. Cada una de estas caras está representada en la esfera por un punto denominado polo de la cara. Ésta es la proyección esférica (Figura 18). La posición de cada polo y por lo tanto, sus relaciones angulares con los demás pueden fijarse mediante sus coordenadas angulares en la esfera. Esto es similar a las coordenadas de latitud-longitud en la superficie terrestre. Por ejemplo, las coordenadas 74º 00´ Longitud Oeste y 40º 45´ Latitud Norte sitúa el punto de ubicación de la ciudad de New York. Esto significa que el ángulo medido en el centro de la Tierra, entre el plano del Ecuador y una línea trazada desde el centro de la Tierra a aquel punto en New York es exactamente 40º 45´ y el ángulo entre el meridiano de Greenwich y el meridiano que pasa por el punto citado, medido hacia el Oeste en el plano del Ecuador, es exactamente 74º 00´ (Figura 17). En la Tierra la latitud se mide en grados Norte o Sur desde el Ecuador, mientras que el ángulo que se emplea en la proyección esférica es la colatitud o ángulo polar (ρ), que se mide en grados desde el polo Norte. El polo Norte de una proyección cristalina tiene por tanto una colatitud de 0º y en el Ecuador 90º. Son positivos los valores correspondientes al hemisferio superior y negativos los del hemisferio inferior. La ciudad de New York tendría un valor de ρ de 49º 15´.

Figura 17: latitud y longitud de la ciudad de New York.

La “longitud cristalina” del polo de una cara en proyección esférica se mide en grados hasta 180º, en sentido de las agujas del reloj o en sentido inverso desde el meridiano origen análogo al meridiano de Greenwich. Para situar este meridiano de referencia, el cristal se orienta de manera convencional con la cara (010) a la derecha del cristal. El


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meridiano que pase por el polo de esta cara se toma como origen. Así para determinar cualquier la longitud cristalina de cualquier cara del cristal, se hace pasar un meridiano por el polo de esta cara y el ángulo entre éste y el meridiano cero se mide en el plano del Ecuador. Este ángulo se designa con la letra φ. Son positivos los valores correspondientes al hemisferio superior y negativos los del hemisferio inferior. La ciudad de New York tendría un valor de φ de 74º 00´. Si la esfera se corta por un plano, la intersección será un círculo. Los círculos de diámetro máximo son los formados por planos que pasan por el centro y tienen por diámetro el de la esfera. Estos son los círculos máximos. Todos los demás círculos formados por otros planos que corten la esfera son círculos menores. El círculo máximo que pase por el polo Norte y Sur de la proyección se denomina círculo máximo vertical.

Figura 18: proyección esférica de algunas formas isométricas.

Proyección estereográfica Es importante al reducir la proyección esférica de un cristal a una superficie plana, que se preserve la relación angular de las caras de modo que revelen la verdadera simetría, lo que se logra mediante la proyección estereográfica. La proyección estereográfica es una representación en un plano de la mitad de la proyección esférica, usualmente el hemisferio Norte. El plano de la proyección es el plano ecuatorial de la esfera y el círculo primitivo que limita a la proyección es el mismo Ecuador. Si se fuera a mirar los polos de las caras cristalinas situadas en el hemisferio Norte de la proyección esférica con el ojo puesto en el polo Sur, las intersecciones de las visuales con el plano ecuatorial serían las que indicarían los polos correspondientes en la proyección estereográfica. Así se construye una proyección estereográfica trazando líneas desde el polo Sur a los polos de las caras del hemisferio Norte. Los polos


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correspondientes en la proyección estereográfica se sitúan donde estas líneas cortan al plano ecuatorial (Figura 19). Puesto que en la práctica se sitúan los polos directamente en la proyección estereográfica, es necesario determinar las distancias estereográficas en relación con los ángulos de la proyección esférica. La Figura 19 representa una sección vertical a través de la proyección esférica de un cristal en el plano “meridiano cero” esto es, el plano que contiene el polo de (010). N y S son el polo Norte y el polo Sur de la esfera de proyección, respectivamente y O es el centro del cristal proyectado. Consideremos la cara (011). OD es la perpendicular a la cara (011) y D es el polo de esta cara en la proyección esférica. La línea desde el polo Sur, SD, corta la línea del plano del Ecuador FG en el punto D´ que es el polo estereográfico de (011). El ángulo del triángulo NOD es el doble que el ángulo de DOS, o sea, ρ=ρ/2. Para diferenciar los polos del hemisferio superior de los del hemisferio inferior se marcan los primeros con cruces o puntos negros y los segundos con círculos.

Figura 19: relación entre la proyección esférica y la estereográfica (dibujo superior) y sección de la esfera de proyección mostrando la relación entre los polos esféricos y los estereográficos (dibujo inferior).


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Cuando los polos de las caras del cristal se sitúan estereográficamente como se acaba de explicar, se hace patente la simetría de la distribución (Figura 20) y también la distribución quedan plasmadas todas las caras que pertenecen a una determinada zona.

Figura 20: proyección estereográfica de algunas caras del sistema isométrico.

Plantillas estereográficas - red de Wulff En la proyección estereográfica se facilita mucho la medición y trazado de ángulos mediante una plantilla. En la Figura 21 se representa una de 5 cm de radio, conocida como red de Wulff en honor a un cristalógrafo ruso, G. V. Wulff. Tanto los círculos máximos como los menores están dibujados en la plantilla a intervalos de 2 grados. Sobre ella pueden situarse el conjunto de polos correspondientes a la proyección de un cristal y luego leer correctamente los ángulos entre dos caras cualesquiera. Para ubicar el polo relacionado a una cara cuyos valores de coordenadas polares se conocen, se procede de la siguiente manera: 1) se señala con una marca sobre un papel transparente el valor de φ sobre el círculo máximo ecuatorial. 2) se gira el papel transparente hasta hacer coincidir la marca anterior con un círculo vertical NS-EO. 3) se marca el valor correspondiente a ρ teniendo en cuenta que el valor 0º coincide con el centro de la red, este punto es el polo de la cara cuyas coordenadas polares son φ y ρ. El valor angular entre dos caras cualesquiera, pueden obtenerse haciendo coincidir los puntos de sus respectivos polos con uno de los círculos máximos de la red y contando sobre el mismo la cantidad de grados entre ambos.


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Figura 21: plantillas estereográficas - red de Wulff.

Orientación de los cristales Los ejes cristalográficos pueden ser usados como un sistema de referencia para determinar la orientación de los cristales sobre el plano de proyección, la red de Wulff. En los sistemas cúbico, tetragonal y rómbico, el eje c coincide con la red perpendicular al centro del plano de proyección, los restantes a y b, se ubican según los diámetros NS y EO de la red, respectivamente. En los sistemas hexagonal y trigonal el eje c es normal al centro de la red, los demás yacen sobre el plano de proyección a 120º unos de otros, a2 debería ubicarse según el diámetro EO. En el sistema monoclínico el eje c es vertical y emerge desde el centro de la red, el eje b yace según el diámetro EO y el eje a se ubica sobre el plano vertical que también contiene al eje c. debido a que estos dos últimos no son ortogonales, se deberá conocer el valor angular de β para establecer el punto de emergencia del eje a positivo. En el sistema triclínico, el eje c es vertical al plano estereográfico, tanto los ejes a y b deberán ubicarse a partir de la medida de los ángulos interfaciales. Para ubicar un cristal en la superficie de proyección tomando como referencia sus elementos de simetría, deberá tenerse en cuenta la relación que guardan estos con los ejes cristalográficos y tener en cuenta lo antes explicado. El dominio fundamental y las siete formas derivadas El dominio fundamental es una porción del espacio de la esfera de proyección que, por acción de las operaciones de los elementos de simetría de la clase correspondiente, llena todo el espacio sin dejar huecos ni superponerse a otros dominios.


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En la Figura 22 se representan los dominios fundamentales de todos los sistemas cristalográficos, conformados por triángulos esféricos, los que normalmente están delimitados por los planos de simetría correspondiente a la holoedría. En los sistemas monoclínicos y triclínicos los dominios quedan definidos por los círculos de zonas de los ejes cristalográficos. El polo de una cara puede tener siete posiciones dentro del dominio. Las restantes caras equivalentes del cristal se repiten en el espacio mediante las operaciones de simetría correspondientes a los elementos de simetría de cada una de las clases. El polo 1 se dispone en el interior del dominio y corresponde a una cara que corta a todos los ejes a diferente distancia, por proyecciones se obtiene la forma general {hkl}, que le da nombre a la clase de simetría correspondiente. La forma general es siempre la que tiene el mayor número de caras dentro de las siete de su clase. Los polos 2, 3 y 4 se ubican en los lados del triángulo esférico y pueden ocupar cualquier posición a lo largo de ellos. En los vértices del triángulo se ubican los polos 5, 6 y 7 y sus posiciones son invariables. Cualquiera de las seis formas generadas a partir de la proyección de cada uno de ellos se denomina forma especial.

Figura 22: dominios fundamentales de los sistemas cristalinos.

En la Figura 23 se distinguen los campos positivos-negativos, derechos-izquierdos y superiores-inferiores.

Figura 23: posiciones relativas de las formas en los sistemas cristalinos.


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Procedimiento en la proyección de cristales Resulta útil seguir la siguiente metodología:

1) esquematizar el cristal en estudio (proyección clinográfica) 2) determinar todos sus elementos de simetría 3) reconocer el sistema cristalográfico y la clase de simetría 4) orientar el cristal en la red de Wulff 5) efectuar la proyección de los elementos de simetría 6) determinar la cantidad de formas presentes 7) delimitar sobre la red de Wulff los dominios correspondientes al sistema que

pertenece el cristal, sobre la base lograda marcar los polos de las caras que caigan sobre el dominio fundamental, teniendo en cuenta que: a) primero marcar, si los hubiera, los polos de las caras sobre los vértices del triángulo esférico, o sea, los polos 5, 6 y 7. b) luego marcar los polos restantes sobre los lados e interior del triángulo.

8) multiplicar los polos marcados en el punto anterior por medio de las operaciones vinculadas a los elementos de simetría presentes.

9) señalar los nombres y notación de todas las formas presentes en el cristal. Debe controlarse que estén todas las señaladas en el punto 7 y revisar que todas las caras del cristal hayan sido proyectadas.

A continuación un ejercicio a modo de ejemplo:


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Las 32 clases cristalinas


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Maclas En general los minerales carecen de caras cristalinas bien formadas, pero su origen cristalino y su orden interno, se pone de manifiesto en sus características físicas, ópticas y a partir también de la difracción de rayos X. Bajo ciertas condiciones dos o más granos minerales o cristales crecen conjuntamente de forma racional y simétrica. Tales crecimientos conjuntos controlados cristalográficamente, se denominan maclas o cristales gemelos. Las direcciones reticulares de una unidad en una macla poseen una relación cristalográfica definida con las direcciones reticulares de la otra. Las operaciones que pueden relacionar un cristal con su contrapartida en la macla son las siguientes:

1. reflexión por un plano especular (plano de macla) 2. rotación alrededor de una dirección cristalina común a ambas (eje de macla) 3. inversión respecto de un punto (centro de macla)

Las maclas se definen por su ley de macla, la cual indica si hay un centro, un eje o un plano de macla y da la orientación cristalográfica de dichos ejes o planos. La superficie según la cual los dos cristales individuales están unidos en macla se conoce como superficie de composición de macla. Si esta superficie es un plano, se la conoce como plano de composición, que puede ser el plano de macla. Si la ley de macla puede ser definida solo por un plano de macla, éste es siempre paralelo a una cara posible de un cristal, pero nunca lo es a un plano de simetría. El eje de macla es un eje zona o una dirección perpendicular a un posible plano reticular, pero nunca puede ser un eje de simetría par (2, 4 o 6) si la rotación considerada es de 180º. En algunos cristales una rotación de 90º alrededor de un eje binario puede ser considerada como una operación de macla. Los cristales maclados se designan generalmente con el nombre de maclas de contacto o maclas de penetración. Las maclas de contacto tienen una superficie de unión definida, que separa los dos cristales, y la macla viene definida por un plano de macla tal como el {111} en la Figura 24. Las maclas de penetración están formadas por distintos cristales interpenetrados que tienen una superficie de unión irregular y la ley de macla queda definida por un eje de macla (Figura 25).

Figura 24: a) octaedro con un plano de macla posible b-b. b) octaedro maclado sobre {111} en espinelo.


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Figura 25: maclas de penetración. a) dos cubos de fluorita interpenetrados maclados según [111] como eje de macla. b) dos cristales de piritoedro en la pirita formando la cruz de hierro con eje de

macla [001]. c) ortosa mostrando la ley de macla de Carlsbad en la cual los cristales se interpenetran maclados por una rotación de 180º alrededor del eje c.

Maclas repetidas o múltiples se forman por tres o mas partes macladas según la misma ley. Si todas las superficies de composición sucesivas son paralelas, el grupo resultante es una macla polisintética (Figura 26).

Figura 26: a) albita maclada según {010}. b) el mismo maclado polisintético bajo un microscopio de polarización, donde la relación de láminas claras y oscuras están relacionadas con una

reflexión sobre {010}.

Si los planos de composición sucesivos no son paralelos, resulta la macla cíclica (Figura 27). Cuando un gran número de cristales en una macla polisintética están estrechamente agrupados, las caras cristalinas o las exfoliaciones que cruzan los planos de composición muestran estrías, debido a las posiciones invertidas de los cristales adyacentes.

b


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Figura 27: maclado cíclico en a) rutilo, b) crisoberilo.

Origen de las maclas Las maclas de crecimiento son el resultado de un emplazamiento de átomos o iones sobre la parte exterior de un cristal en crecimiento de tal forma que la distribución regular de la estructura del cristal original y por lo tanto de su red, se ve interrumpida. La nueva estructura formada constituirá una macla. Este tipo de maclas constituyen accidentes que tienen lugar durante el crecimiento libre o ser errores de nucleación y puede considerarse como macla primaria. Se reconoce por la presencia de un límite con frecuencia irregular entre las unidades de la macla o por la interpenetración de ambas. Las maclas de transformación se presentan en los cristales luego de su formación y representan un maclado secundario. Pueden tener lugar cuando una sustancia cristalina formada a una temperatura relativamente alta se enfría, con lo cual adopta una estructura de simetría distinta a la estable a temperaturas superiores. Por ejemplo, podría ser la transformación presente para el KAlSi3O8 donde pasa desde sanidina a microclino, pasando por ortoclasa u ortosa. El microclino presenta la forma maclada que se ilustra en la Figura 28, conocida con el nombre de maclas de microclino, “tartán” o arpillera. El diagrama entramado se ve bajo el microscopio, entre polarizadores cruzados y corresponde a dos tipos de maclas que responden a las leyes de la albita y del periclino. Esta combinación de maclas es una característica clave en el cambio de simetría, desde el sistema monoclínico de la ortosa al sistema triclínico del microclino. En esta transición desde una temperatura más elevada se pierden el plano de simetría y el eje de rotación binaria, dando lugar a una nucleación de dominios triclínicos que están relacionados por maclas.

Figura 28: microfotografía de un maclado de transformación en el microclino en un microscopio de polarización. La sección de la fotografía es paralela a (001) y las leyes de macla son albita y periclino.


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Las maclas de deslizamiento (o deformación) tienen lugar cuando una sustancia cristalina se deforma por aplicación de una tensión mecánica. Es otro tipo de macla secundaria. Si la tensión produce deslizamiento de los átomos a escala pequeña, se producen cristales maclados Si el deslizamiento es grande puede ocurrir la ruptura del cristal sin formación de maclas. La macla de deformación es muy corriente en los metales y en las calizas deformadas, como se observa en cristales de calcitas maclados polisintéticamente. De manera semejante, las plagioclasas sometidas a metamorfismo pueden presentar maclas de deformación. Ley de maclas Sistema triclínico Los feldespatos son los mejores ejemplos de maclas en el sistema triclínico. Están casi siempre maclados según la ley de albita, con el segundo pinacoide {010} como plano de macla (Figura 26). Otro importante tipo de macla en los feldespatos triclínicos es la ley de periclino, con el eje de macla {010}. Cuando como ocurre con el microclino, las maclas de albita y periclino están íntimamente mezcladas y solo por medio de un microscopio puede verse el diagrama típico de entramado (Figura 28). Sistema monoclínico En el sistema monoclínico, las maclas según un pinacoide {100} y {001} son las más corrientes. La Figura 29 representa una macla de yeso con el primer pinacoide {100} como plano de macla. En la Figura 30a se observa una macla de Manebach de la ortosa, en la cual el pinacoide básico {001} es el plano de macla. La ortosa forma también una macla de penetración de acuerdo con la ley de Carlsbad, en la cual el eje cristalográfico c es el eje de macla y los integrantes se unen por una superficie irregular, aproximadamente paralela a {010} (Figura 25c). La macla de Baveno se encuentra también en la ortosa, donde el plano de macla es paralelo a una cara del prisma de primera especie (Figura 30b).

Figura 29: cristal de yeso con plano de macla {100}.


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Figura 30: maclas de a) Manebach y b) Baveno en el feldespato.

Sistema rómbico En el sistema rómbico, el plano de macla es frecuentemente paralelo a una cara del prisma. La macla de contacto del aragonito (Figura 31a), la macla cíclica del mismo mineral, en sección transversal (Figura 31b) y la macla cíclica de la cerusita (Figura 31c) están todas macladas en {110}. Figura 31: a - b) macla de contacto en aragonito sobre {110}, c) malca ciclica de la cerusita sobre

{110}.

El mineral estaurolita, que es monoclínico con un ángulo β de 90º, es pseudorómbico y morfológicamente aparece como un mineral rómbico. Presenta dos tipos de maclas de penetración. En una con {031} como plano de macla se produce una cruz en ángulo recto (Figura 32). En la otra con el plano de macla {231} resulta una cruz con ángulo de 60º.

Figura 32: macla de estaurolita, a) plano de macla {031}, b) plano de macla {231}.

(c)


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Sistema tetragonal El tipo de macla más común en el sistema tetragonal tiene {011} como plano de macla. Cristales de casiterita y rutilo, maclados según está ley, se muestran en la Figura 33.

Figura 33: maclas de casiterita y rutilo sobre {011}, a) casiterita, b) rutilo.

Sistemas hexagonal y trigonal En la división hexagonal de este sistema, las maclas son raras y poco importantes, en cambio, en la división romboédrica, especialmente la calcita, sirven como ilustración de tres leyes de macla. El plano de macla puede ser {0001}, con el eje c como eje de macla (Figura 34a) o puede ser el romboedro positivo {1011}. Pero el maclado en el romboedro negativo {01-12}, es más corriente y puede originar maclas de contacto (Figura 34b) o maclas polisintéticas como resultado de las presión.

Figura 34: maclas de calcita, a) maclado sobre {0001}, b) maclado sobre {0112}.

En la clase trapezoédrica trigonal, el cuarzo nos muestra diversos tipos de maclas. En la Figura 35a se representa la ley de Brasil, cuyo plano de macla es perpendicular al eje cristalográfico a. Aquí los integrantes, uno derecho y otro izquierdo, han formado una macla de penetración. En la Figura 35b se muestra una macla de Delfinado del tipo de penetración, con el eje c como eje de macla y están compuestas por dos individuos derechos o izquierdos. En la Figura 35c se ilustra la ley de Japón con el plano de macla {1122}.


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Figura 35: maclas de cuarzo, a) maclado de Brasil, b) macla de Delfinado, c) macla japonesa.

Sistema cúbico En la clase hexaquisoctaédrica del sistema cúbico, el eje de macla es un eje ternario y el plano de macla es así paralelo a la cara del octaedro. La Figura 24 nos muestra un octaedro con el plano bb como posible plano de macla y un octaedro maclado según está ley, formado una macla de contacto. Este tipo de macla es común en el espinelo y de aquí su nombre de macla de espinelo. La Figura 25a representa dos cubos, formando una macla de penetración con el eje ternario de giro inversión como eje de macla. Polimorfismo La habilidad de una sustancia química específica para cristalizar en más de un tipo de estructura se denomina polimorfismo. Las diversas estructuras de tal elemento químico o compuesto se llaman formas polimorfas o polimorfos. Ejemplos de algunos minerales polimorfos se dan en la Tabla 3. En el cambio de una forma polimorfa de una sustancia en otra se distinguen tres tipos principales de mecanismos: desplazamiento, reconstructivo y orden-desorden.

Tabla 3: ejemplos de minerales polimorfos.


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En una reacción polimorfa por desplazamiento el ajuste interno al pasar de una forma a otras es muy pequeño y requiere poca energía. La estructura por lo general, queda totalmente intacta y los enlaces entre los iones no deben romperse, solo es necesario un ligero desplazamiento de los átomos (o iones) y un reajuste de los ángulos de enlace entre los iones. Este tipo de transformación es instantáneo y reversible. Por ejemplo, el pasaje de la forma del cuarzo bajo al alto, por encima de los 573º C. Como la forma de alta temperatura del cuarzo tiene mayor simetría que la forma de baja temperatura, puede resultar una macla como consecuencia de la transformación (macla de transformación), como ser la macla del Delfinado, representación macroscópica de este fenómeno. En una reacción polimorfa reconstructiva el reajuste interno de ir de una forma a otra es externo. Lleva consigo la ruptura de enlaces atómicos y una reunión de las unidades estructurales en una distribución diferente. Este tipo de transformación requiere gran cantidad de energía, es muy lenta y no reversible. Un ejemplo es el cambio de tridimita o cristobalita a cuarzo bajo. La cristobalita y la tridimita se forman a altas temperaturas y presiones bajas y es necesaria una gran cantidad de energía para reconstruir la red de SiO2 de la cristobalita y tridimita. Ambos minerales son meta-estables, sin embargo, están presentes en flujos volcánicos muy antiguos, lo que refleja el importante reajuste de la estructura, como ocurre entre el grafito y el diamante o entre la calcita y el aragonito. En la Figura 36 puede observarse las estructuras del polimorfo del carbono, el diamante y el grafito. El diamante tiene una estructura excepcionalmente ligada y con fuertes enlaces, en la cual cada átomo de carbono esta ligado por enlaces poderosos y altamente direccionales a cuatro carbonos vecinos dispuestos en los vértices de un tetraedro regular. La presencia de hojas de átomos de carbono bastante espaciadas en la estructura, paralelas a los planos {111} explica la exfoliación prominente del diamante.


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Figura 36: a) representación parcial de la estructura del diamante, b) la estructura del grafito en láminas paralelas a {0001}. Las líneas verticales representan los enlaces atómicos entre capas

sucesivas.

La estructura del grafito representada en la Figura 36b consta de hojas de anillos hexagonales de seis átomos, en los cuales cada átomo de carbono puede ser considerado como ligado por fuertes enlaces covalentes a sus tres vecinos más próximo en el plano de la hoja. El cuarto queda libre para vagar por la superficie de la hoja, creando una carga eléctrica dispersa que presta al grafito una conductibilidad eléctrica relativamente elevada. En contraste con esto y debido a su estructura, el diamante es uno de los mejores aislantes eléctricos conocidos. Las hojas que componen el cristal de grafito están apiladas de tal maneras que alternativamente están en idéntica posición y las hojas intermedias están desplazadas. Las fuerzas perpendiculares a las hojas son muy débiles, lo que le produce la perfecta exfoliación basal y el fácil deslizamiento paralelo a las hojas. Existe otro tipo de polimorfismo llamado transformación orden-desorden. Generalmente se presenta en las aleaciones, pero también ocurre en los minerales. Una aleación de composición AB con 50% de A y 50% de B puede existir en varios estados de desorden, de los cuales hay dos condiciones extremas, uno completamente desordenado y otro perfectamente ordenado. En un estado perfectamente ordenado, los átomos de A están distribuidos en una perfecta y regular repetición respecto de los átomos B (Figura 37a). El átomo A está siempre en una posición estructural 1 y el átomo B en una posición estructural 2.


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Figura 37: Ilustración esquemática del polimorfismo orden-desorden en la aleación A-B.

En la Figura 37b puede verse un estado algo desordenado respecto a la distribución atómica de dicha aleación. Aquí la distribución no está perfectamente ordenada, pero no llega a ser aleatoria. De cada cuatro posiciones número 1, tres están ocupadas por A (en valor medio) y una está ocupada por B (un valor medio). Lo opuesto ocurre con las posiciones número 2. En otras palabras, en la Figura 37b la relación de probabilidades de ocupación de la posición 1 por los átomos A y B es 3:1. En la Figura 37c se muestra de manera esquemática un estado de desorden total para la aleación AB. El desorden total, a escala atómica implica igual posibilidad de encontrar átomos A o B en un lugar específico de la estructura. Dicho de otro modo, la probabilidad de que una posición atómica determinada sea ocupada por un tipo de átomo en lugar de otro es igual a 1. Esto significa que en una representación grafica como la de la Figura 37c, cada posición atómica puede ser representada igualmente por la ocupación de A o de B (en sentido estadístico). Un ejemplo de polimorfismo orden-desorden en un mineral es el presentado por el feldespato potásico (KAlSi3O8), en el cual el Al ocupa una posición estructural idéntica al Si, a quien reemplaza en el mineral. La forma de alta temperatura, la sanidina, muestra una distribución desordenada de Al en la red de SiO2. El feldespato de baja temperatura, el microclino, en cambio muestra una distribución ordenada de Al en la red de SiO2. Existen también estadios intermedios entre la sanidina y el microclino.


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Politipismo El politipismo es una variedad de polimorfismo, cuando tiene lugar dos polimorfos solo difieren por en el apilamiento de láminas o capas idénticas en dos dimensiones. Las dimensiones perpendiculares a las láminas o capas de apilamiento no serán idénticas sino múltiplos de ellas. Como ocurre con el ZnS, donde la única diferencia entre la esfalerita y la wurtzita es el empaquetamiento. También ocurre lo mismo con las micas. Pseudomorfismo La existencia de un mineral con la forma cristalina externa de otra especie mineral se denomina pseudomorfismo. Si un mineral se altera de forma que la estructura interna cambie, pero la forma externa prevalezca, se dice que se ha formado una pseudomorfosis o falsa forma. Por ejemplo, la pirita Fe2S puede convertirse en limonita FeO OH nH2O pero conserva su aspecto externo. La pseudomorfosis se denomina de acuerdo con la manera según la cual se formó: 1) sustitución: en este tipo existe una renovación gradual del material primario con un simultáneo reemplazo del mismo por otro, sin reacción química entre ambos. Un ejemplo es la sustitución por sílice de las fibras de la madera hasta formar una madera petrificada. 2) incrustación: se deposita una capa de un mineral sobre los cristales de otro. Por ejemplo, cuarzo formado sobre cristales de fluorita. Luego la fluorita puede desaparecer por disolución y su presencia anterior queda indicada por el “molde” que dejó en el cuarzo. 3) alteración: se forma a partir de una adición parcial de material nuevo o por una renovación parcial del material primario. La transformación de anhidrita CaSO4 a yeso CaSO4 2H2O o el cambio de galena PbS a anglesita PbSO4. Puede encontrarse núcleos del mineral primario sin alterar.

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