LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
PLACA CALENTADA
MODELAR EL COMPORTAMIENTO DE LA TEMPERATURA A LO EXTENSO DE UNA
PLACA DE ZINC UTILIZANDO EL METODO DE LIEBMANN
PROYECTO FINAL
JUAN CARLOS VELASQUEZ GUTIERREZ
WILLIAM OVIEDO OVIEDO
PROFESOR:
Esteban Velilla HernndezIng. Electricista, MSc
FACULTAD DE INGENIERIADEPARTAMENTO DE INGENIERIA
ELECTRICAMETODOS NUMERICOSMEDELLIN-ANTIOQUIA2012
PLACA CALENTADA
MODELAR EL COMPORTAMIENTO DE LA TEMPERATURA A LO EXTENSO DE UNA
PLACA DE ZINC UTILIZANDO EL METODO DE LIEBMANN
PROYECTO FINAL
Objetivo Principal:
Utilizar el mtodo de Liebmannpara encontrar los valores que
modelan el comportamiento de la temperatura a lo extenso de una
placa de zinc, es decir utilizando un plano cartesiano en esta se
puede ubicar una temperatura determinada en un punto especfico.
Objetivos especficos:
Comprobar que los resultados tericos encontrados con el mtodo
son iguales o muy aproximados a los que se registran con los
instrumentos de medicin.
Hacer una simulacin en el computador.
Justificacin del proyecto:
La temperatura es una variable involucrada en muchos procesos
industriales y en la vida cotidiana, el saber modelar su
comportamientonos permitir controlarla y saber cuanta temperatura
se puede desplazar en una rea determinada para realizar una
actividad o una aplicacin especfica.
Materiales e instrumentos para realizar el experimento:
Alcohol Industrial.
Mecheros.
Placa de zinc
Estructura para montar la placa de zinc.
Multimetro marca UNI T serie UT33C:
Realmente utilizaremos este instrumento como termmetro digital,
bajo esta opcin se tiene que sus rangos estn entre:
-40C ~ 1000C para grados Centgrados
-40F ~ 1832F para grados Fahrenheit
Nota: Por la funcin que va a prestar y que no va a medir otra
variable diferente a la temperatura a este multimetro lo vamos a
seguir llamando termmetro digital.
Papel y lpiz
Sistema de Grabacin en video (Computador con Cmara instalada
videocmara)
Computador
COSTOS DEL PROYECTO:
Mecheros $ 25.000 PESOS
Placa de zinc 900 cm2 $ 2.000 pesos
Estructura para montar la placa de zinc $ 0
Multmetro marca UNI T serie UT33C $ 25.000 pesos
Alcohol Industrial $ 1.800 pesos
Total costo del Proyecto: $53.800 pesos
PROCEDIMIENTO:
Se inicia el experimento al activar el sistema de grabacin, se
empieza a grabar de tal forma que en un mismo plano quede la placa
de zinc (en donde su cara superior se dibujar un plano cartesiano
con coordenadas en eje X y el eje Y), el termmetro digital donde se
vea los valores que registra, se encienden los mecheros (mnimo dos)
cada uno con diferentes temperaturas ubicados cada uno a un lado de
la placa y por debajo; la placa estar montada sobre una base que
permita sostener esta y ubicar los mecheros debajo de ella. Luego
de cierto tiempo que la temperatura sea constante (donde estn
ubicados los mecheros), se medida y se tomar para las condiciones
iniciales, luego se ubican nueve puntos en forma matricial sobre la
placa utilizando las coordenadas cartesianas, se toma la
temperatura que se encuentran en ellos. Ahora en el computador se
crea un programa basado en matlab o en excel y se adapta el mtodo
de Liebmann para que sea ejecutado por el programa, encontrando las
incgnitas de las temperaturas en cada uno de estos puntos; luego se
compara los resultados tericos con los reales, se sacan
conclusiones.
Ahora para hallar la ecuacin partimos de la ecuacin de
Laplace:
= 0 (1)
Y utilizando la ecuacin laplaciana en diferenciasse llega a:
Ti+1,j + Ti-1,j + Ti,j+1 + Ti,j-1 -4Ti,j = 0ecuacin laplaciana
en diferencias (2)
Al despajar la ecuacin se obtiene:
Ti,j = (3)
Y se resuelve de manera iterativa para J=1 hasta n e i=1 hasta
m. Como la ecuacin 2 es diagonalmente dominante, este procedimiento
al final converger a una solucin estable.
Los errores relativos porcentuales se estiman mediante:
(4)
Con el anterior mtodo y utilizando las iteraciones que sean
necesarias se podr determinar la temperatura en cada uno de los
puntos seleccionados.
FOTOS DEL PROYECTO
ALGORITMO EN MATLAB
function respuesta=lib(ts,ti,tiz,tde,s,fp,N)
clcfprintf('\t\t\t\t MTODO DE LIEBMANN\n\n\n\n') a=0; b=0; c=0;
d=0; e=0; f=0; g=0; h=0; i=0; E=0;A=[a b c;d e f;g h
i];iffp>E
for k=1:1:Nfor j=1:1:3for l=1:1:3if l==1 &
j==1gg=(h+tiz+d+ti)/4;ggg=s*gg+(1-s)*g;
elseif l==2 & j==1hh=(i+ggg+e+ti)/4;hhh=s*hh+(1-s)*h;elseif
l==3 & j==1ii=(tde+hhh+f+ti)/4;iii=s*ii+(1-s)*i;elseif l==1
& j==2dd=(e+tiz+a+ggg)/4;ddd=s*dd+(1-s)*d;
elseif l==2 & j==2ee=(f+ddd+b+hhh)/4;eee=s*ee+(1-s)*e;
elseif l==3 & j==2ff=(tde+eee+c+iii)/4;fff=s*ff+(1-s)*f;
elseif l==1 & j==3aa=(b+tiz+ts+ddd)/4;aaa=s*aa+(1-s)*a;
elseif l==2 & j==3bb=(c+aaa+ts+eee)/4;bbb=s*bb+(1-s)*b;
elseif l==3 & j==3
cc=(tde+bbb+ts+fff)/4;ccc=s*cc+(1-s)*c;
break; endend
endend
endendendendend
end
end%if k==2Eggg=abs((ggg-g)/ggg)*100;%RESULTADOS
fprintf(' Nro. iter (1,1) (2,1) (3,1) (1,2) (2,2) (3,2) (1,3)
(2,3) (3,3) error para T1,1\n');
fprintf( '%12f',k,ggg,hhh,iii,ddd,eee,fff,aaa,bbb,ccc,Eggg);
E=Eggg;g=ggg;h=hhh;i=iii;d=ddd;e=eee;f=fff;a=aaa;b=bbb;c=ccc;
endelseendend
li(347,26,420,28,0.35,1,20)
Datos reales:(1,1)= 39(2,1)= 33 (3,1)= 28(1,2)= 47 (2,2)= 39
(3,2)= 30(1,3)= 71 (2,3)= 105 (3,3)= 43
Conclusiones
Los resultados reales encontrados con los instrumentos de
medicin son aproximados a los que se hallaron por el mtodo de
liebmann. Puesto que por este mtodo hay que tener en cuenta que
esta basado en un sistema ideal mientras que en la realidad tenemos
muchos factores que afectan la medicin exacta de la temperatura en
dichos materiales; un ejemplo de ello, se utiliz una base metlica
para soportar la lamina de zinc, lo cual genero perdida de calor
por conductividad atraves de ella y fuera de esto , para tener
mejores resultados en la toma de temperaturas necesitbamos un medio
aislado de cambios que no afectaran la medicin de los
instrumentos.
Por otro lado, la teora del mtodo advierte que la temperatura
debe ser constante en toda la longitud donde se encuentra la fuente
de calor, mientras que aqu solo utilizamos una en un punto medio
que no abarca toda la longitud de dicho lado , dando como resultado
lo explicado en el anterior prrafo.
En conclusin, el mtodo de liebmann es de gran utilidad para
aplicaciones basadas en placas que sean sometidas a variaciones de
temperaturas
