Caso 1_placa Calentada

METODOS NUMERICOS EN INGENIERIATEMA: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)EDWIN MARTIN PINO VARGAS ESCUELA DE INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIA, UNJBG TACNA

CASO No. 01: ECUACIN DE LAPLACE PARA UNA PLACA CALENTADAFormulacin y solucin del problemaLa ecuacin general de LAPLACE en forma bidimensional puede ser escrita como:

2T 2T 0 x 2 y2Su aproximacin en diferencias finitas ser:

... (1)

Ti 1, j 2Ti , j Ti 1, j x 2

Ti , j 1 2Ti , j Ti , j 1 y 2

0

.... (2)

Para una malla cuadrada x = y

Ti 1, j Ti 1, j Ti , j 1 Ti , j 1 4Ti , j 0 Ti , j (Ti 1, j Ti 1, j Ti , j 1 Ti , j 1 ) / 4

..... (4) ..... (5)

En primera instancia trataremos el caso ms simple, en el cual las temperaturas en las fronteras tienen un valor fijo. Esta es conocida como condicin de frontera tipo Dirichlet, para este caso ilustrado en la figura,

Para este caso presentado en la figura anterior, por ejemplo para el nudo (1,1) se tiene la siguiente ecuacin:

TELEFONOS: 952298638, 241595, #701907 E-MAIL: [email protected]


T2,1 T0,1 T1, 2 T1,0 4T1,1 0 T1,1 (T2,1 T0,1 T1, 2 T1,0 ) / 4

..... (6) ..... (7)

Sin embargo T01=75C y T10=0C, por lo tanto la ecuacin anterior (6) se puede expresar como:

4T1,1 T1, 2 T2,1 754T1,1 T1, 2 T2,1 75

....... (8) ....... (9)

De la misma manera podemos establecer las ecuaciones para los 8 nudos restantes, quedando un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:4 -1 -1 4 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 4 0 0 4 -1 -1 4 -1 -1 4 0 0 4 -1 -1 4 -1 -1 4 -1 -1 -1 -1 -1 -1 T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,3 T1,3 T2,3 T3,3 = 75 0 50 75 0 50 175 100 150

Solucin Numrica usando mtodos matriciales Para la solucin numrica, podemos emplear mtodos matriciales ya utilizados anteriormente y resolver el sistema de ecuaciones, para lo cual completaremos la matriz de coeficientes con valores cero, calcular la inversa y multiplicarla por el vector de coeficientes del lado derecho, obtenindose:



4 -1 0 -1 0 0 0 0 0

-1 4 -1 0 -1 0 0 0 0

0 -1 4 0 0 -1 0 0 0

-1 0 0 4 -1 0 -1 0 0

0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0

0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1

0 0 0 -1 0 0 4 -1 0

0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1

0 0 0 0 0 -1 0 -1 4

T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,3 T1,3 T2,3 T3,3 =

75 0 50 75 0 50 175 100 150

La inversa y multiplicacin por el vector de coeficientes lado derecho da como resultado:

matriz inversa 0.30 0.10 0.03 0.10 0.06 0.03 0.03 0.03 0.01 0.10 0.33 0.10 0.06 0.13 0.06 0.03 0.04 0.03 0.03 0.10 0.30 0.03 0.06 0.10 0.01 0.03 0.03 0.10 0.06 0.03 0.33 0.13 0.04 0.10 0.06 0.03 0.06 0.13 0.06 0.13 0.38 0.13 0.06 0.13 0.06 0.03 0.06 0.10 0.04 0.13 0.33 0.03 0.06 0.10 0.03 0.03 0.01 0.10 0.06 0.03 0.30 0.10 0.03 0.03 0.04 0.03 0.06 0.13 0.06 0.10 0.33 0.10 0.01 0.03 0.03 0.03 0.06 0.10 0.03 0.10 0.30

matriz respuesta T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,3 T1,3 T2,3 T3,3 = 42.86 33.26 33.93 63.17 56.25 52.46 78.57 76.12 69.64



Solucin Numrica usando mtodos iterativos (Mtodo de Liebman) La mayora de soluciones numricas de la ecuacin de Laplace involucran sistemas que son mucho mas grandes, por ejemplo el mismo ejemplo se puede resolver usando una malla mayor como de 12 x 12, lo que resultara en un sistema de 144 ecuaciones algebraicas lineales. Esta situacin hace que una gran cantidad de ceros deben ser empleados y por tanto se requiere gran cantidad de memoria computacional, en tal sentido se debe recurrir a mtodos iterativos para resolver estas ecuaciones elpticas como es el caso del mtodo de Gauss-Seidel, el cual cuando es aplicado a las EDPs, es tambien conocido como el mtodo de Liebmann. Para esta tcnica la ecuacin la expresamos como la propuesta en la ecuacin (7).

T1,1 (T2,1 T0,1 T1, 2 T1,0 ) / 4

..... (10)

La cual se resuelve de manera iterativa de j=1 a n y de i=1 a m. Debido a que la matriz que genera es diagonalmente dominante, este procedimiento convergir en una solucin estable. En algunos casos debemos emplear sobre relajacin para acelerar la razn de convergencia, aplicando la siguiente formula despus de cada iteracin.

Ti ,nuevo Ti ,nuevo (1 )Ti ,anterior j j j

..... (11)

nuevo anterior Donde Ti , j y Ti , j , son los valores de Tij de la iteracin presente y la previa respectivamente y

es un factor de peso que est entre 1 y 2. Usando el mtodo convencional de Gauss-Seidel, las iteraciones continan hasta conseguir que los valores absolutos de todos los errores relativos porcentuales caigan dentro de los criterios preespecificados de parada.

( a )i , j

Ti ,nuevo Ti ,anterior j j Ti ,nuevo j

..... (12)

.100%

Este procedimiento podemos desarrollarlo en forma manual, utilizando la hoja de clculo para iteraciones paso a paso o aplicando el proceso iterativo que brinda la hoja de clculo. Para esto activamos opciones de Excel, formulas y habilitar calculo iterativo donde podemos especificar el nmero mximo de iteraciones y el valor del error o condicin de parada en el proceso de iteracin.



Activada esta opcin, podemos formular la ecuacin (10), sin que se anuncien errores cclicos, y obtener los siguientes resultados para el caso de la malla con 3 x 3.

Si utilizamos cdigo matlab podemos establecer:



clc; clear; a=[4 -1 0 -1 -1 4 -1 0 0 -1 4 0 -1 0 0 4 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 b=[75 0 50 75 0 50 T=[1:9]'; c=a\b; [T,c]

0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0 175

0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 0 -1 4 0 0 0 4 -1 0 -1 4 -1 0 -1 100 150]';

0; 0; 0; 0; 0; -1; 0; -1; 4];

Lo cual arroja como resultados: 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 42.8571 33.2589 33.9286 63.1696 56.2500 52.4554 78.5714 76.1161 69.6429

Al tratarse de un proceso bastante rpido y eficiente podemos discretizar la malla a un nmero mayor de elementos, por ejemplo 10 x 10, de lo cual obtenemos:



Ahora incluiremos a la hoja de clculo el factor de sobre relajacin 1,87



Una vez procesadas las temperaturas segn la malla que se muestra arriba, se procede a crear un archivo de datos tipo .txt, haciendo uso del Notepad u otra aplicacin, al cual hemos denominado placa.txt, el cual contiene los resultados del proceso iterativo usando la hoja electrnica de clculo.

A continuacin elaboramos una codificacin MATLAB, para interpolar las isotermas y sus respectivas direcciones de flujo de calor:clc; clear; A=load ('placa.txt'); % Se importa los datos de la matriz respuesta %Calculo del gradiente usando valores por defecto dx=1, dy=1, por tanto seran correctas las direcciones y magnitudes relativas [px,py]=gradient(A); %Contour, usamos contour para definir curvas de contorno o isolineas %Clabel, que agrega etiquetas de contorno a la grafica %Quiver, toma los datos del gradiente y los agrega a la grafica como %flechas curvas=contour(A); clabel(curvas); hold on quiver(px,-py); hold off



Finalmente proponemos el siguiente cdigo computacional para la solucin de la ecuacin de Laplace para una placa calentada en el caso EDP Elpticas.%function ec_elip(a,b,h,tol,itermax) a=10;b=10;h=1;tol=0.001;itermax=100; n=a/h; m=b/h; k=0; emax=tol; u=zeros(n,m);r=zeros(n,m); u(:,1)=0; u(1,:)=75; u(:,m)=100;u(n,:)=50; while (k=tol) for j=2:1:(m-1) for i=2:1:(n-1) u(i,j)=u(i,j)+r(i,j); r(i,j)=(u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1)-4*u(i,j))/4; if emax

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