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Pruebas de HipótesisMedidas de AsociaciónModelo de Regresión
Modelo de series de tiempo
Curso de nivelación Estadística y Matemática
Pruebas de hipótesis, Mínimos Cuadrados Ordinarios y Modelos
ARIMA
Luis Diego Fernández Gómez
Programa Técnico en Riesgo, 2017
Luis Diego Fernández Gómez Regresión
Pruebas de HipótesisMedidas de AsociaciónModelo de Regresión
Modelo de series de tiempo
Agenda
1 Pruebas de Hipótesis
2 Medidas de Asociación
Asociación
Medidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de Regresión
Regresión Lineal Simple
Mínimos Cuadrados Ordinarios
Medidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempo
Estadísticos importantes
Estacionariedad
Identi�cación del modelo
Luis Diego Fernández Gómez Regresión
Pruebas de HipótesisMedidas de AsociaciónModelo de Regresión
Modelo de series de tiempo
Pasos para realizar una prueba de hipótesis
Prueba de hipotesis
Enuncia la H0 y la H1, además del nivel de signi�cancia (α).
Seleccionar el estadístico de prueba apropiado y calcular el
valor del estadístico de prueba de los datos muestrales.
Establecer la región crítica (cálcule los grados de libertad si es
el caso).
Tome la decisión.
Si el valor del estadístico de prueba cae en la región crítica o siel P-value es menor que el nivel de signi�cancia, rechazar la H0.
Concluya en términos del problema.
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Modelo de series de tiempo
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Agenda
1 Pruebas de Hipótesis
2 Medidas de Asociación
Asociación
Medidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de Regresión
Regresión Lineal Simple
Mínimos Cuadrados Ordinarios
Medidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempo
Estadísticos importantes
Estacionariedad
Identi�cación del modelo
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Modelo de series de tiempo
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Asociación
¾Qué es la asociación?
Es la relación entre dos variables. Existe una relación entre dos
variables si los valores de una variable tienden a ocurrir con
más frecuencia con ciertos valores de otra variable. Busca
medir la fuerza o intensidad de la relación.
Para determinar la medida de asociación a calcular se debe
determinar primero el nivel de medición de las dos variables en
estudio.
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Modelo de series de tiempo
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Ejemplos medidas de Asociación
Si tenemos variables nominales
Clasi�cación Urbana Rural Total Fila (total marginal)
Por encima del promedio
PromedioFrecuencia Conjunta
Por debajo del promedio
Total columna (total marginal)
Si tenemos variables de intervalo o razón
ρ =cov (X ,Y )
σXσY
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AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Agenda
1 Pruebas de Hipótesis
2 Medidas de Asociación
Asociación
Medidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de Regresión
Regresión Lineal Simple
Mínimos Cuadrados Ordinarios
Medidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempo
Estadísticos importantes
Estacionariedad
Identi�cación del modelo
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Modelo de series de tiempo
AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Correlación de Pearson
Pasos
Primero realizar un grá�co de dispersión.
Para determinar la existencia o no de la relación entre las
variables.
Análizar la forma o patrón de la relación, aquí repasaremos la
relación lineal
Dirección de la relación.
Luego se debe calcular el coe�ciente de correlación de Pearson:
Cuanti�car la relación lineal entre las variablesSi ρ = 1, existe una asoción lineal positiva.Si ρ =−1, existe una asoción lineal negativa.Si ρ = 0, no hay relación lineal pero puede existir unaasociación no lineal.
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AsociaciónMedidas de asociación para variables intervalo y razón
Correlación de Pearson
Pasos
ρX ,Y =∑nx=1
(Xi −X
)(Yi −Y
)(n−1)σXσY
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
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2 Medidas de Asociación
Asociación
Medidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de Regresión
Regresión Lineal Simple
Mínimos Cuadrados Ordinarios
Medidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempo
Estadísticos importantes
Estacionariedad
Identi�cación del modelo
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal simple
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Modelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal simple
El modelo de regresión se basa en métodos estadísticos para
estimar relaciones teoricas y poner a prueba estas teorías así
como poner en práctica algunas conclusiones.
Es importante determinar si la relación entre las variables son
deterministicas o estocásticas (aleatorias).
Serie estocástica una parte conocida (sistemática) susceptiblede predecir y de una parte totalmente desconocida (aleatoria).Serie determinística el futuro se puede predecir sin error. Esuna variable que está determinada o �ja y que no cambia deuna muestra a otra.
Ejemplo
Y = β0 + β1x + ε
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal simple
Datos muestrales
Yi = β0 + β1Xi + εi
Yi = Yi + εi
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1 Pruebas de Hipótesis
2 Medidas de Asociación
Asociación
Medidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de Regresión
Regresión Lineal Simple
Mínimos Cuadrados Ordinarios
Medidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempo
Estadísticos importantes
Estacionariedad
Identi�cación del modelo
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Míminos Cuadrados Ordinarios
¾Qué son los mínimos cuadrados ordinarios?
Se basa en la idea de determinar una recta que se ajuste a los
datos muestrales mejor que cualquier otra recta.
Por lo tanto, busca mínimizar el error al cuadrado de los datos.
MCO
n
∑i=1
(Yi − Yi
)= εi
n
∑i=1
(Yi − Yi
)2=⇒mınima
n
∑i=1
(Yi − β0− β1Xi
)2=⇒mınima
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal simple
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Modelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Míminos Cuadrados Ordinarios
Modelo Simple
β0 = Y − β1X
β1 =Cov (X ,Y )
Var (X )
Modelo Múltiple
β =(X ′X
)−1X ′Y
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Regresión lineal multiple
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Modelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Supuestos MCO
Supuestos de especi�cación y forma
La variable X (explicativa) está dada.
No correlación entre el término de error y las variables
explicativas.
El modelo esta bien especi�cado.
Lineal en los parámetros.
Supuestos sobre el residuo
No autocorrelación.
Homocedasticidad.
Normalidad.
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Agenda
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2 Medidas de Asociación
Asociación
Medidas de asociación para variables intervalo y razón
3 Modelo de Regresión
Regresión Lineal Simple
Mínimos Cuadrados Ordinarios
Medidas de Bondad de Ajuste
4 Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempo
Estadísticos importantes
Estacionariedad
Identi�cación del modelo
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Modelo de series de tiempo
Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Error estándar de la estimación
Error estándar de la estimación
Medida del grado de dispersión de los valores de Yi alrededor
de la recta de regresión
Fórmula
Se =
√√√√∑
(Yi − Yi
)2n−k
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Coe�ciente de Determinación
Coe�ciente de Determinación
Mide que parte de la variabilidad total de la variable
dependiente es explicada por el modelo.
Fórmula
R2 =SCE
SCR
R2 = (correlaci on)2 =Cov (Y ,X )2
σ2x σ2
y
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Coe�ciente de Determinación
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Regresión Lineal SimpleMínimos Cuadrados OrdinariosMedidas de Bondad de Ajuste
Limitaciones
Algunas limitaciones
No pueden determinar relaciones Causa-Efecto.
Problema cuando dos variables no relacionadas parecen
presentar alguna relación (Correlación espurea).
Restricción de linealidad de los parámetros.
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Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Agenda
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2 Medidas de Asociación
Asociación
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3 Modelo de Regresión
Regresión Lineal Simple
Mínimos Cuadrados Ordinarios
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Componentes de una serie de tiempo
Estadísticos importantes
Estacionariedad
Identi�cación del modelo
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Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Series de tiempo
Qué es una serie de tiempo?
Las series de tiempo son colecciones de observaciones sobre un
determinado fenómeno efectuadas en sucesivos momentos del
tiempo, usualmente equiespaciados. Corresponde a una
realización de un proceso generador de datos.
Yt−k , ...,Yt−2,Yt−1,Yt ,Yt+1,Yt+2, ...,Yt+h
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Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Series de tiempo
Componentes de una serie de tiempo
Tendencia (T): Es un movimiento de larga duración que se
mantiene durante todo el período de observación.
Movimientos cíclicos (C): Son oscilaciones alrededor de la
tendencia producidos por periodos alternativos de prosperidad
y depresión.
Variación estacional (E): Son los movimientos que se
producen dentro del año y que se repiten de un año a otro. Se
observa en algunas series de periodicidad mayor al año
(mensual, trimestral, semanal, etc).
Movimientos irregulares (I): Son las oscilaciones erráticas o
accidentales que obedecen a variadas causas. No siguen ningún
patrón (son impredecibles).
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Series de tiempo
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
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Asociación
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3 Modelo de Regresión
Regresión Lineal Simple
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Componentes de una serie de tiempo
Estadísticos importantes
Estacionariedad
Identi�cación del modelo
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Estadísticos
Autocorrelación
La correlación entre Yt y Yt−k se conoce como autocorrelación de
orden k y se denota como ρk . (rk es el estimador muestral). Yt−kse le conoce como rezagada k periodos.
rk =∑n−kt=1
(Yt − Y )(Yt−k − Y )
∑nt=1(Yt − Y )2
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Estadísticos
Autocorrelación parcial
La correlación parcial mide el grado de asociación entre Yt y Yt−k ,cuando el efecto de otros rezagos es removido. La correlación
parcial es calculada mediante una ecuación de regresión, donde los
coe�cientes de los rezagos de Y representan la correlación parcial,
del siguiente modo
Yt = β0 + β1Yt−1 + β2Yt−2 + ...+ βkYt−k + εi
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
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Asociación
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Componentes de una serie de tiempo
Estadísticos importantes
Estacionariedad
Identi�cación del modelo
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Qué es la estacionariedad?
Estacionariedad
Se dice que el proceso está en equilibrio estadístico alrededor
de un valor medio.
La distribución de probabilidad es común e invariante en el
tiempo:
La media es única (local y global) y representativa de todo elperíodo analizado.La varianza es constante y �nita.La función de autocorrelación decae rápidamente en el tiempo.Un shock en un momento dado tiene efecto en el corto plazo.
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Serie estacionaria
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Serie no estacionaria
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Qué tipos de modelos se pueden utilizar
Ar(p)
Yt = c + φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + ...+ φpYt−p + εt
Ma(q)
Yt = c + θ1εt−1 + θ2εt−2 + ...+ θqεt−q + εt
Arma(p,q)
Yt = c + φ1Yt−1 + ...+ φpYt−p + θ1εt−1 + ...+ θqεt−q + εt
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Modelo de series de tiempo
Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Pronóstico
Autoselección del modelo
Existen diversos algorítmos que permiten determinar el orden más
adecuado para un modelo ARIMA, en nuestro caso se utiliza el
siguiente cómando:
Ejemplo
auto.arima(x,d=NA,D=NA,
max.p=5,max.q=5,max.P=2,max.Q=2,
max.order=5,max.d=2,max.D=1,start.p=2,
start.q=2,start.P=1,start.Q=1,
stationary=FALSE,seasonal=TRUE)
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Pronóstico
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Componentes de una serie de tiempoEstadísticos importantesEstacionariedadIdenti�cación del modelo
Bibliografía
Woodridge, J.
Introducción a la Econometría. Thomson Learning, 2001.
Maddala, G.
Introducción a la EconometríaPrentice Hall, 1996.
Woodridge, J.
Econometric Analysis of Cross Section And Panel Data. MIT
press, 2010.
Webster L., Allen
Estadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.
Luis Diego Fernández Gómez Regresión
