Leyes de Kirchoff

El puente de Wheatstone

30 de marzo de 2007

Objetivos

Aprender el manejo de un multımetro para medir resistencias, voltajes, y corrientes.

Comprobar las leyes de Kirchoff.

Medir el valor de varias resistencias desconocidas.

Medir la resistividad del material de un alambre.

Material

Figura 1: Montaje del puente de Wheatstone.

1 multımetro digital.

1 fuente de alimentacion de corriente continua.

1 tablero de resistencias (hilos).

1 tablero de resistencia variable (hilo con una regleta corredera).

5 resistencias de 10 Ω, 100 Ω, 1 KΩ, 10 KΩ y 100 KΩ.

5 resistencias de valor desconocido.

1 caja para conectar resistencias.

Cables.

1

Teorıa

En circuitos electricos con ramificaciones, en condiciones estacionarias, la primera ley deKirchoff establece que, en cada nudo del circuito

∑

i

Ii = 0, (1)

donde Ii son los valores de las corrientes que llegan o salen del punto de union. Normalmente setoman como positivas aquellas corrientes que llegan al punto de union y negativas las que salende el. La segunda ley de Kirchoff establece que, en cualquier circuito cerrado de una red,

∑

i

Vi −∑

j

IjRj = 0, (2)

donde Vi son las fuentes de potencial a lo largo del circuito cerrado, Rj las resistencias, e Ij lasintensidades que pasan por ellas. Aplicando esta segunda ley al circuito de la figura 2, obtenemosla ley de Ohm:

V = IR. (3)

R

V

A

I

Figura 2: Circuito VR con un amperımetro.

Igualmente, aplicandola al circuito de la figura 3 se obtiene la regla de suma de resistenciasen serie

V = IR1 + IR2 = I(R1 + R2) ⇒ R = R1 + R2, (4)

R1

V

I

R2

Figura 3: Resistencias en serie.

2

Y aplicando la primera ley de Kirchoff al nodo marcado con un cırculo en la figura 4, y lasegunda ley a los circuitos cerrados que pasan por la fuente de voltaje y por cada una de lasresistencias, obtenemos la regla para resistencias en paralelo:

V = I1R1

V = I2R2

I = I1 + I2 =V

R1

+V

R2

= V

(

1

R1

+1

R2

)

= ⇒1

R=

1

R1

+1

R2

(5)

R1

V

I

R2

I1

I2

Figura 4: Resistencias en paralelo.

A

Rx

R1 R2

R

V

l1 l2

Figura 5: Circuito del puente de Wheatstone.

En el puente de Wheatstone (figura 5), aplicando la segunda ley de Kirchoff a dos circuitoscerrados que pasan por las resistencias superiores y por las inferiores (y en ambos por la fuente)

V = Isup(Rx + R) = Vx + VR

V = Iinf (R1 + R2) = V1 + V2

3

Cuando la intensidad que pasa por el amperımetro es igual a cero, el potencial en sus dosextremos debe ser el mismo, de modo que Vx = V1:

Vx

V=

V1

V⇒

Rx

Rx + R=

R1

R1 + R2

⇒ Rx = RR1

R2

= Rl1l2

. (6)

En la ultima igualdad se ha usado que la resistencia de un hilo viene dada por

R = ρl

A(7)

donde l es la longitud, A = π(d/2)2 es la seccion (area), d es el diametro, y ρ es la resistividaddel material del hilo.

Experimentos

1. Coloquese el multımetro en la posicion “R” para medir resistencias. Pongase una de lasresistencias conocidas en la caja de conexiones y conectense sus extremos con cables a losbornes del multımetro. Ajustese la escala del multımetro al menor valor posible que seasuperior al de la resistencia a medir, y obtengase el valor de esta, que deberıa ser parecidoal nominal. Repıtase con todas las resistencias conocidas y desconocidas.

2. Coloquese el multımetro en las posiciones “V” y “DC” para medir voltajes de corrientecontinua. Conectense sus bornes con los de la fuente de voltaje. Ajustese la escala delmultımetro al valor en que tenga la maxima sensibilidad, sin superar el valor a medir.Obtengase el voltaje de la fuente, que deberıa ser parecido al nominal.

3. Coloquese el multımetro en las posiciones “I” y “DC” para medir intensidades de corrientecontinua. Conectese el multımetro, la fuente de voltaje, y una de las resistencias conocidas,como en la figura 2. Ajustese la escala del multımetro para obtener la maxima sensibilidad ymıdase la intensidad de corriente que pasa por el circuito. Mediante la ecuacion 3, calculesela resistencia, que deberıa ser parecida a la nominal y a la obtenida directamente con elmultımetro. Repıtase con todas las resistencias conocidas y desconocidas. La diferenciaentre los valores nominales y medidos nos dara una estimacion de los errores de medida.

4. Montese el circuito de la figura 5, donde Rx es una de las resistencias de valor desconocidoy R una de las de valor conocido. Ajustense, mediante la regleta del tablero de resistenciavariable, los valores de R1 y R2 de modo que la intensidad que mida el multımetro sea nula.Puesto que los valores mas exactos se obtienen cuando la regleta se encuentra cerca de suposicion central, ajustese el valor de R de modo que se verifique esta condicion. Mediantela ecuacion (6), obtener de esta forma los valores de todas las resistencias desconocidas, ycompararlos con los obtenidos en los apartados anteriores.

5. Procediendo como en el primer apartado, obtenganse los valores de los siguientes conjuntosde resistencias:

R1 en serie con R13

R1 en serie con R13 en serie con R16

R1 en paralelo con R13

R1 en paralelo con R13 en paralelo con R16

(R1 en serie con R13) en paralelo con R16

Comparar estos resultados con los esperados usando las ecuaciones (3) y (4) y los valoresde Ri obtenidos en el primer apartado.

4

6. Procediendo como en el primer apartado, obtenganse los valores de las resistencias de cadauno de los alambres del tablero de resistencias. Usando un calibre y una cinta metrica,mıdanse sus diametros y longitudes, y estımense los errores de estas medidas. Mediante laecuacion 7, hallar la resistividad de cada hilo, poniendo atencion a los cambios de unidades.Propagando los errores de la longitud, del diametro, y de la resistencia, obtener el errorde la resistividad de cada hilo. A partir de las medidas de la resistividad de los distintoshilos, obtener un valor final de la resistividad del material “konstantan”, y una estimacionde su error. De forma similar, obtener la resistividad del material “messing”.

Medidas

Etiqueta R ± ∆R (Ω)

10 Ω100 Ω1 KΩ10 KΩ100 KΩ

R1R3R8R13R16

Cuadro 1: Resistencias medidas con el multımetro en modo resistencia.

V ± ∆V (V) =

Etiqueta I ± ∆I (A) R ± ∆R (Ω)

10 Ω100 Ω1 KΩ10 KΩ100 KΩ

R1R3R8R13R16

Cuadro 2: Voltaje e intensidades medidas con el circuito VR, y resistencias obtenidas a partir deellas. El calculo del error de las resistencias puede posponerse al informe final. Todos los demasvalores y errores deben completarse durante la toma de datos.

5

Longitud (l1 + l2) = l ± ∆l (cm) =

Etiqueta R ± ∆R (Ω) l1 ± ∆l1 (cm) Rx ± ∆Rx (Ω)

R1R3R8R13R16

Cuadro 3: Longitudes l1 medidas con el puente de Wheatstone, y resistencias obtenidas a partirde ellas. El valor y error de las resistencias conocidas R se obtiene de los valores nominalesy/o de los medidos en los apartados anteriores. El calculo del error de las resistencias puedeposponerse al informe final.

Combinacion R ± ∆R medida (Ω) R ± ∆R calculada (Ω)

R1-R13R1-R13-R16

R1|R13R1|R13|R16

(R1-R13)|R16

Cuadro 4: Combinaciones de resistencias medidas y calculadas a partir de las ecuaciones (3)y (4). Los signos (-) y (|) indican “en serie” y “en paralelo”, respectivamente. El error de lasresistencias calculadas puede posponerse al informe final.

Hilo l ± ∆l (cm) d ± ∆d (mm) R ± ∆R (Ω) ρ ± ∆ρ (Ωm)

Konstantan 1.0Konstantan 0.7Konstantan 0.5Konstantan 0.35

Messing 0.5

Resistividad del konstantan ρ ± ∆ρ (Ωm) =

Cuadro 5: Resistividades de diversos hilos obtenidas mediante la ecuacion (7), a partir de sulongitud, diametro, y resistencia. El error de las resistividades puede posponerse al informe final.

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